제곱 삼항식에 대한 인수분해 정리. 제곱 삼항식의 인수분해: 예 및 공식

제품을 얻기 위해 다항식을 확장하는 것은 때때로 혼란스러워 보입니다. 하지만 그 과정을 차근차근 이해한다면 그리 어렵지 않습니다. 이 기사에서는 제곱 삼항식을 인수분해하는 방법을 자세히 설명합니다.

많은 사람들이 제곱 삼항식을 인수분해하는 방법과 이것이 수행되는 이유를 이해하지 못합니다. 처음에는 이것이 쓸모없는 운동으로 보일 수 있습니다. 그러나 수학에서는 그렇게 하는 것이 없습니다. 식을 단순화하고 계산의 편의를 위해 변환이 필요합니다.

ax² + bx + c 형식의 다항식, 제곱 삼항식이라고 합니다."a"라는 용어는 음수 또는 양수여야 합니다. 실제로 이 식을 이차 방정식이라고 합니다. 따라서 때로는 다르게 말합니다. 분해 방법 이차 방정식.

흥미로운!제곱 다항식은 가장 큰 차수인 제곱 때문에 호출됩니다. 그리고 삼항식 - 3개의 구성요소 항 때문에.

다른 종류의 다항식:

• 선형 이항(6x+8);
• 입방 사변형(x³+4x²-2x+9).

제곱 삼항식의 인수분해

먼저 표현식이 0과 같으면 근 x1과 x2의 값을 찾아야 합니다. 뿌리가 없을 수도 있고, 하나 또는 두 개의 뿌리가 있을 수도 있습니다. 뿌리의 존재는 판별식에 의해 결정됩니다. 공식은 마음으로 알아야 합니다: D=b²-4ac.

D의 결과가 음수이면 근이 없습니다. 양수이면 두 개의 뿌리가 있습니다. 결과가 0이면 루트는 1입니다. 뿌리도 공식으로 계산됩니다.

판별식의 계산 결과가 0이면 모든 공식을 적용할 수 있습니다. 실제로 공식은 -b / 2a로 간단히 축약됩니다.

수식 다른 값판별자가 다릅니다.

D가 양수인 경우:

D가 0인 경우:

온라인 계산기

인터넷에는 온라인 계산기. 인수분해하는 데 사용할 수 있습니다. 일부 리소스는 솔루션을 단계별로 볼 수 있는 기회를 제공합니다. 이러한 서비스는 주제를 더 잘 이해하는 데 도움이 되지만 잘 이해하려고 노력해야 합니다.

유용한 비디오: 제곱 삼항식 인수분해

예

우리는 당신을 볼 수 있도록 초대합니다 간단한 예이차 방정식을 인수분해하는 방법.

실시예 1

여기서 D가 양수이기 때문에 결과가 2x가 될 것임을 분명히 보여줍니다. 수식으로 대체해야 합니다. 근이 음수이면 수식의 부호가 반대로 됩니다.

우리는 분해 공식을 알고 있습니다. 제곱 삼항승수: a(x-x1)(x-x2). 우리는 값을 괄호 안에 넣습니다: (x+3)(x+2/3). 지수의 항 앞에 숫자가 없습니다. 이것은 단위가 있다는 것을 의미합니다.

실시예 2

이 예는 근이 하나인 방정식을 푸는 방법을 명확하게 보여줍니다.

결과 값을 대체합니다.

실시예 3

주어진: 5x²+3x+7

먼저 이전의 경우와 같이 판별식을 계산합니다.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

판별식이 음수이므로 근이 없습니다.

결과를 받은 후 대괄호를 열고 결과를 확인하는 것이 좋습니다. 원래 삼항식이 나타나야 합니다.

대체 솔루션

어떤 사람들은 판별자와 친구가 될 수 없었습니다. 제곱 삼항식을 인수분해하는 또 다른 방법이 있습니다. 편의상 방법을 예시로 보여줍니다.

주어진: x²+3x-10

우리는 2개의 괄호로 끝나야 한다는 것을 알고 있습니다: (_)(_). 표현식이 x² + bx + c와 같을 때 각 괄호의 시작 부분에 x를 넣습니다: (x_) (x_). 나머지 두 숫자는 "c"를 제공하는 곱입니다. 이 경우 -10입니다. 이 숫자가 무엇인지 알아보려면 선택 방법만 사용할 수 있습니다. 대체된 숫자는 나머지 용어와 일치해야 합니다.

예를 들어 다음 숫자를 곱하면 -10이 됩니다.

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. 아니요.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. 아니요.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. 아니요.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. 맞다.

따라서 x2+3x-10 표현식의 변환은 (x-2)(x+5)와 같습니다.

중요한!표지판을 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.

복소수 삼항식의 분해

""가 1보다 크면 어려움이 시작됩니다. 그러나 모든 것이 보이는 것만큼 어렵지는 않습니다.

인수분해를 하려면 먼저 인수분해가 가능한지 확인해야 합니다.

예를 들어 3x²+9x-30이라는 표현식이 있다고 가정합니다. 여기서 숫자 3은 대괄호에서 제외됩니다.

3(x²+3x-10). 결과는 이미 알려진 삼항식입니다. 답은 다음과 같습니다. 3(x-2)(x+5)

제곱한 항이 음수인 경우 분해하는 방법은 무엇입니까? 이 경우 괄호에서 숫자 -1이 제거됩니다. 예: -x²-10x-8. 그러면 표현식은 다음과 같이 보일 것입니다.

계획은 이전 계획과 거의 다릅니다. 몇 가지 새로운 것이 있습니다. 2x²+7x+3이라는 표현식이 주어졌다고 가정해 봅시다. 답은 (_) (_)로 채워야 하는 2개의 대괄호 안에도 작성됩니다. X는 두 번째 대괄호에, 나머지는 첫 번째 대괄호에 기록됩니다. (2x_)(x_)와 같이 보입니다. 그렇지 않으면 이전 계획이 반복됩니다.

숫자 3은 숫자를 제공합니다.

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

주어진 숫자를 대입하여 방정식을 풉니다. 마지막 옵션이 맞습니다. 따라서 2x²+7x+3 표현식의 변환은 (2x+1)(x+3)과 같습니다.

기타 사례

표현식을 변환하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 두 번째 방법에서는 방정식의 해가 필요하지 않습니다. 그러나 항을 제품으로 변환할 가능성은 판별식을 통해서만 확인됩니다.

공식을 사용할 때 어려움이 없도록 이차 방정식을 푸는 연습을 하는 것이 좋습니다.

유용한 비디오: 삼항식의 인수분해

결론

어떤 식으로든 사용할 수 있습니다. 그러나 둘 다 자동으로 작동하는 것이 좋습니다. 또한 자신의 삶을 수학과 연결시키려는 사람들은 이차방정식을 잘 풀고 다항식을 인수분해하는 방법을 배워야 합니다. 다음 모든 수학 주제는 이를 기반으로 합니다.

제곱 삼항식의 인수분해는 다음을 참조합니다. 학교 과제모두가 조만간 직면하게 될 것입니다. 그것을 하는 방법? 제곱 삼항식을 인수분해하는 공식은 무엇입니까? 예제를 통해 단계별로 살펴보겠습니다.

일반 공식

제곱 삼항식의 인수분해는 이차 방정식을 풀어서 수행됩니다. 이것은 여러 가지 방법으로 해결할 수 있는 간단한 문제입니다. 판별식을 찾고 Vieta 정리를 사용하여 존재하고 그래픽 방식솔루션. 처음 두 가지 방법은 고등학교에서 공부합니다.

일반 공식은 다음과 같습니다.1x 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

작업 실행 알고리즘

제곱 삼항식을 인수분해하려면 Wit's theorem을 알아야 하고, 해결하기 위한 프로그램이 있어야 하며, 그래픽으로 솔루션을 찾거나 판별 공식을 통해 2차 방정식의 근을 찾을 수 있어야 합니다. 제곱 삼항식이 주어지고 인수분해해야 하는 경우 동작 알고리즘은 다음과 같습니다.

1) 방정식을 얻기 위해 원래 표현식을 0으로 동일시하십시오.

2) 유사한 용어를 제공합니다(필요한 경우).

3) 어떤 것의 뿌리를 찾아라 알려진 방법. 근이 정수와 작은 숫자라는 것을 미리 알고 있는 경우 그래픽 방법을 사용하는 것이 가장 좋습니다. 근의 수는 방정식의 최대 차수와 같다는 것을 기억해야 합니다. 즉, 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

4) 대체 가치 엑스식 (1)로.

5) 제곱 삼항식의 인수분해를 적는다.

예

연습을 통해 이 작업이 수행되는 방식을 마침내 이해할 수 있습니다. 다음은 제곱 삼항식의 인수분해를 보여주는 예입니다.

표현식을 확장해야 합니다.

알고리즘을 사용합시다.

1) x 2 -17x+32=0

2) 유사한 용어는 축소

3) Vieta 공식에 따르면 이 예의 근을 찾기가 어렵기 때문에 판별식에 다음 식을 사용하는 것이 좋습니다.

D=289-128=161=(12.69) 2

4) 주요 분해 공식에서 찾은 뿌리를 다음과 같이 대체합니다.

(x-2.155) * (x-14.845)

5) 그러면 답은 다음과 같습니다.

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

판별자가 찾은 해가 Vieta 공식과 일치하는지 확인합시다.

14,845 . 2,155=32

이 근에 대해 Vieta 정리가 적용되고 올바르게 찾았습니다. 이는 우리가 얻은 인수분해도 정확함을 의미합니다.

마찬가지로 12x 2 + 7x-6을 확장합니다.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

이전의 경우 솔루션은 정수가 아니었지만 실수, 계산기로 쉽게 찾을 수 있습니다. 이제 더 많은 것을 고려하십시오 복잡한 예, 여기서 근은 복소수입니다. x 2 + 4x + 9를 인수분해합니다. Vieta 공식에 따르면 뿌리를 찾을 수 없으며 판별식이 음수입니다. 뿌리는 복잡한 평면에 있을 것입니다.

D=-20

이를 기반으로 관심 있는 근을 -4 + 2i * 5 1/2 및 -4-2i * 5 1/2 (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

루트를 일반 공식에 대입하여 원하는 확장을 얻습니다.

또 다른 예: 표현식 23x 2 -14x + 7을 인수분해해야 합니다.

우리는 방정식을 가지고 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

따라서 근은 14+21,166i이고 14-21,166i. 대답은 다음과 같습니다.

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(엑스- 14+21.166i ).

판별자의 도움 없이 풀 수 있는 예를 들어보겠습니다.

이차 방정식 x 2 -32x + 255를 분해해야 합니다. 물론 판별식으로도 풀 수 있지만 이 경우 근을 찾는 것이 더 빠릅니다.

x 1 = 15

x2=17

수단 x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

세상은 수많은 숫자에 잠겨 있습니다. 모든 계산은 도움으로 발생합니다.

사람들은 훗날 속임수에 넘어가지 않기 위해 숫자를 배운다. 교육을 받고 자신의 예산을 계산하는 데 엄청난 시간을 할애해야 합니다.

수학은 인생에서 큰 역할을 하는 정확한 과학입니다. 학교에서 아이들은 숫자를 배운 다음 그에 대한 행동을 배웁니다.

숫자에 대한 작업은 곱셈, 확장, 더하기 등 완전히 다릅니다. 간단한 공식 외에도 더 복잡한 동작도 수학 연구에서 사용됩니다. 모든 값을 알 수 있는 수많은 공식이 있습니다.

학교에서 대수학이 나타나 자마자 단순화 공식이 학생의 삶에 추가됩니다. 미지수가 두 개인 경우 방정식이 있지만 다음을 찾으십시오. 간단한 방법으로작동 안 할 것이다. 삼항식은 다음의 도움으로 3개의 단항식의 합성물입니다. 간단한 방법뺄셈과 덧셈. 비에타 정리와 판별식을 사용하여 삼항식을 풉니다.

제곱 삼항식을 인수로 인수분해하는 공식

두 가지가 정확하고 간단한 솔루션예시:

• 판별자;
• 비에타의 정리.

제곱 삼항식에는 미지수의 제곱과 제곱이 없는 숫자가 있습니다. 문제를 해결하기 위한 첫 번째 옵션은 Vieta 공식을 사용합니다. 간단한 공식입니다 unknown 앞에 오는 숫자는 최소값이 됩니다.

숫자가 미지수 앞에 있는 다른 방정식의 경우 판별식을 통해 방정식을 풀어야 합니다. 끝났어 어려운 결정, 그러나 판별식은 Vieta의 정리보다 훨씬 더 자주 사용됩니다.

초기에 방정식의 모든 변수를 찾으려면 예제를 0으로 올려야 합니다. 예제의 솔루션을 확인하고 숫자가 올바르게 조정되었는지 확인할 수 있습니다.

판별자

1. 방정식을 0과 동일시할 필요가 있습니다.

2. x 앞의 각 숫자를 숫자 a, b, c라고 합니다. 첫 번째 제곱 x 앞에 숫자가 없으므로 1과 같습니다.

3. 이제 방정식의 해는 판별식을 통해 시작됩니다.

4. 이제 판별식을 찾았고 두 개의 x를 찾았습니다. 차이점은 어떤 경우에는 b 앞에 플러스가 오고 다른 경우에는 마이너스가 온다는 것입니다.

5. 두 개의 숫자를 풀면 -2와 -1이 나옵니다. 원래 방정식으로 대체:

6. 이 예에서는 두 가지가 밝혀졌습니다. 올바른 옵션. 두 솔루션이 모두 정확하면 각각이 참입니다.

더 복잡한 방정식도 판별식을 통해 풉니다. 그러나 판별식 자체의 값이 0보다 작으면 예제가 잘못된 것입니다. 검색의 판별자는 항상 루트 아래에 있으며 음수 값은 루트에 있을 수 없습니다.

비에타의 정리

첫 번째 x 앞에 숫자가 오지 않는 쉬운 문제, 즉 a=1을 푸는 데 사용됩니다. 옵션이 일치하면 Vieta 정리를 통해 계산이 수행됩니다.

어떤 삼항식을 풀기 위해방정식을 0으로 올릴 필요가 있습니다. 판별식과 Vieta 정리의 첫 번째 단계는 동일합니다.

2. 이제 두 가지 방법 사이에 차이점이 있습니다. Vieta의 정리는 "건조한" 계산뿐만 아니라 논리와 직관도 사용합니다. 각 숫자에는 고유한 문자, b, c가 있습니다. 정리는 두 숫자의 합과 곱을 사용합니다.

기억하다! 숫자 b는 항상 반대 기호로 추가되고 숫자 c는 변경되지 않습니다!

예제에서 데이터 값 대체 , 우리는 얻는다:

3. 논리 방식을 사용하여 가장 적합한 숫자로 대체합니다. 가능한 모든 솔루션을 고려하십시오.

1. 숫자는 1과 2입니다. 더하면 3이 되고 곱하면 4가 되지 않습니다. 적합하지 않습니다.
2. 값 2 및 -2. 곱하면 -4가 되지만 더하면 0이 됩니다. 적합하지 않습니다.
3. 숫자 4와 -1. 곱셈에 음수 값이 포함되어 있으므로 숫자 중 하나에 빼기가 포함됨을 의미합니다. 덧셈과 곱셈에 적합합니다. 올바른 옵션입니다.

4. 숫자를 확인하고 배치하고 선택한 옵션이 올바른지 확인하는 것만 남아 있습니다.

5. 온라인 검사를 통해 -1이 예제의 조건과 일치하지 않는다는 것을 알았습니다. 이는 잘못된 솔루션임을 의미합니다.

추가할 때 음수 값이 예에서는 숫자를 대괄호 안에 넣어야 합니다.

수학에는 항상 간단한 작업그리고 복잡하다. 과학 자체에는 다양한 문제, 정리 및 공식이 포함됩니다. 지식을 이해하고 올바르게 적용하면 계산에 어려움이 있을 것입니다.

수학은 지속적인 암기가 필요하지 않습니다. 솔루션을 이해하고 몇 가지 공식을 배워야 합니다. 점차적으로 논리적 결론에 따라 유사한 문제, 방정식을 푸는 것이 가능합니다. 그러한 과학은 언뜻 보기에는 매우 어려워 보이지만 숫자와 과제의 세계에 뛰어들면 관점이 크게 바뀝니다. 더 나은 쪽.

기술 전문항상 세계에서 가장 많이 찾는 것으로 남아 있습니다. 이제 세상에서 현대 기술수학은 모든 분야에서 없어서는 안될 속성이 되었습니다. 에 대해 항상 기억해야 합니다. 유용한 속성수학.

대괄호가 있는 삼항식의 분해

일반적인 방법으로 해결하는 것 외에도 대괄호로 분해하는 또 다른 방법이 있습니다. Vieta의 공식과 함께 사용됩니다.

1. 방정식을 0과 동일시하십시오.

도끼 2 + bx+ c= 0

2. 방정식의 근은 그대로 유지되지만 0 대신 대괄호 확장 공식을 사용합니다.

도끼 2 + bx + c = 에이 (더블 엑스 1) (더블 엑스 2)

2 엑스 2 – 4 엑스 – 6 = 2 (엑스 + 1) (엑스 – 3)

4. 솔루션 x=-1, x=3

제곱 삼항식의 인수분해문제 C3의 부등식이나 매개변수 C5의 문제를 해결할 때 유용할 수 있습니다. 또한 Vieta의 정리를 알면 많은 B13 단어 문제를 훨씬 빨리 풀 수 있습니다.

물론 이 정리는 처음 통과하는 8학년 입장에서 생각해 볼 수 있다. 그러나 우리의 임무는 시험을 잘 준비하고 가능한 한 효율적으로 시험 과제를 해결하는 방법을 배우는 것입니다. 따라서 이 수업에서는 접근 방식이 학교 접근 방식과 약간 다릅니다.

Vieta의 정리에 따른 방정식의 근에 대한 공식많은 것을 알고 있습니다(또는 적어도 본 적이 있습니다):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

여기서 'a, b' 및 'c'는 제곱 삼항식 'ax^2+bx+c'의 계수입니다.

정리를 쉽게 사용하는 방법을 배우기 위해 그것이 어디에서 왔는지 이해합시다(이 방법을 기억하는 것이 정말 쉬울 것입니다).

방정식 `ax^2+ bx+ c = 0`이 있다고 합시다. 더 많은 편의를 위해 `a`로 나누고 `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`을 얻습니다. 이러한 방정식 축소 이차 방정식이라고합니다.

중요한 수업 포인트: 근이 있는 모든 정방 다항식은 대괄호로 분해될 수 있습니다.우리의 것이 `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`로 표현될 수 있다고 가정합니다. 여기서 `k`와 ` l` - 일부 상수.

대괄호가 어떻게 열리는지 봅시다.

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

따라서 `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`입니다.

이것은 고전적인 해석과 약간 다릅니다. 비에타의 정리- 그것에서 우리는 방정식의 뿌리를 찾고 있습니다. 에 대한 조건을 찾을 것을 제안합니다. 브래킷 확장- 그래서 공식에서 빼기를 기억할 필요가 없습니다(`x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`를 의미). 그러한 두 개의 숫자를 선택하는 것으로 충분합니다. 그 합은 평균 계수와 같고 곱은 자유 항과 같습니다.

방정식에 대한 해가 필요하면 루트 `x=-k` 또는 `x=-l`(이 경우 대괄호 중 하나가 0으로 설정되므로 전체 표현식이 0과 같을 것입니다).

예를 들어 알고리즘을 보여 드리겠습니다. 정방 다항식을 대괄호로 분해하는 방법.

예 1. 제곱 삼항식을 인수분해하는 알고리즘

우리가 가진 경로는 제곱 삼항식 `x^2+5x+4`입니다.

감소합니다(`x^2`의 계수 하나와 같은). 그는 뿌리가 있습니다. (확실히 판별식을 추정하고 0보다 큰지 확인할 수 있습니다.)

다음 단계(모든 작업을 수행하여 학습해야 함 훈련 작업):

1. 다음 표기법을 만드십시오. $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ 점 대신에 여유 공간을 두십시오. 적절한 숫자와 기호를 추가할 것입니다.
2. 모두보기 가능한 옵션, 숫자 `4`를 두 숫자의 곱으로 분해하는 방법. 우리는 방정식의 근에 대한 "후보" 쌍을 얻습니다: `2, 2` 및 `1, 4`.
3. 평균 계수를 얻을 수 있는 쌍을 추정하십시오. 분명히 '1, 4'입니다.
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$라고 쓰세요.
5. 다음 단계는 삽입된 숫자 앞에 기호를 배치하는 것입니다.

   괄호 안의 숫자 앞에 어떤 표시가 있어야 하는지 영원히 이해하고 기억하는 방법은 무엇입니까? 그것들을 확장하십시오(대괄호). 첫 번째 거듭제곱에 대한 `x` 앞의 계수는 `(± 4 ± 1)`(아직 부호를 알지 못함 - 선택해야 함)이며 `5`와 같아야 합니다. 분명히 여기에 $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$에 두 개의 플러스가 있습니다.

   이 작업을 여러 번 수행하면(안녕하세요, 교육 작업!) 이 작업에는 더 이상 문제가 없습니다.

방정식 `x^2+5x+4`를 풀어야 한다면 이제 그 해법은 어렵지 않습니다. 그 뿌리는 `-4, -1`입니다.

두 번째 예. 서로 다른 부호의 계수를 사용하여 제곱 삼항식의 인수분해

방정식 `x^2-x-2=0`을 풀어야 합니다. 반면 판별식은 양수입니다.

우리는 알고리즘을 따릅니다.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 2의 정수 인수분해는 `2 · 1`뿐입니다.
3. 우리는 요점을 건너 뜁니다. 선택할 것이 없습니다.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. 우리 숫자의 곱은 음수입니다(`-2`는 자유 항). 즉, 하나는 음수이고 다른 하나는 양수입니다.
   그들의 합이 `-1`(`x`의 계수)과 같기 때문에 `2`는 음수가 됩니다(직관적인 설명 - 2는 두 숫자 중 더 큰 숫자이며 음의 방향으로 더 "끌어당길" 것입니다). 우리는 $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$를 얻습니다.

세 번째 예. 제곱 삼항식의 인수분해

방정식 `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84를 정수 인수로 분해: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. 숫자의 차이(또는 합)가 5가 되어야 하므로 '7, 12' 쌍이 됩니다.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

희망, 이 제곱 삼항식을 대괄호로 분해당연하게도.

방정식에 대한 해가 필요하면 `12, -7`입니다.

훈련을 위한 작업

다음은 쉽게 할 수 있는 몇 가지 예입니다. Vieta의 정리를 사용하여 해결됩니다.(Mathematics, 2002에서 가져온 예)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

기사가 작성된 지 몇 년 후 Vieta 정리를 사용하여 이차 다항식을 확장하기 위한 150개의 작업 모음이 나타났습니다.

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