Obliquo chiamato questo tipo di flessione, in cui tutti i carichi esterni che causano la flessione agiscono su un piano di forza che non coincide con nessuno dei piani principali.

Si consideri una barra fissata a un'estremità e caricata all'estremità libera con una forza F(Fig. 11.3).

Riso. 11.3. Schema di progettazione per una curva obliqua

Forza esterna F applicato ad angolo rispetto all'asse y. Decomponiamo la forza F nei componenti che giacciono sui piani principali della trave, quindi:

Momenti flettenti in una sezione arbitraria presa a distanza z dall'estremità libera, sarà pari a:

Pertanto, in ciascuna sezione della trave agiscono contemporaneamente due momenti flettenti, che creano una piega nei piani principali. Pertanto, una curva obliqua può essere considerata un caso speciale di curva spaziale.

Le sollecitazioni normali nella sezione trasversale della trave con flessione obliqua sono determinate dalla formula

Per trovare le sollecitazioni normali di trazione e compressione più elevate nella flessione obliqua, è necessario selezionare la sezione pericolosa della trave.

Se i momenti flettenti | M x| e | Il mio| raggiungono i loro valori massimi in una certa sezione, allora questa è la sezione pericolosa. Così,

Le sezioni pericolose comprendono anche le sezioni in cui i momenti flettenti | M x| e | Il mio| raggiungere contemporaneamente valori sufficientemente grandi. Pertanto, con la flessione obliqua, potrebbero esserci diverse sezioni pericolose.

In generale, quando - sezione asimmetrica, cioè l'asse neutro non è perpendicolare al piano della forza. Per le sezioni simmetriche, la flessione obliqua non è possibile.

11.3. Posizione dell'asse neutro e punti pericolosi

in sezione trasversale. Condizione di resistenza alla flessione obliqua.

Determinazione delle dimensioni della sezione trasversale.

Movimenti in flessione obliqua

La posizione dell'asse neutro in flessione obliqua è determinata dalla formula

dove è l'angolo di inclinazione dell'asse neutro rispetto all'asse X;

L'angolo di inclinazione del piano della forza rispetto all'asse A(Fig. 11.3).

Nella sezione pericolosa della trave (nell'incasso, Fig. 11.3), le sollecitazioni ai punti d'angolo sono determinate dalle formule:

Nella flessione obliqua, come nella flessione spaziale, l'asse neutro divide la sezione trasversale della trave in due zone: la zona di tensione e la zona di compressione. Per una sezione rettangolare, queste zone sono mostrate in fig. 11.4.

Riso. 11.4. Schema di una sezione di una trave schiacciata in una curva obliqua

Per determinare le sollecitazioni estreme di trazione e compressione, è necessario tracciare tangenti alla sezione nelle zone di trazione e compressione, parallelamente all'asse neutro (Fig. 11.4).

Punti di contatto più lontani dall'asse neutro MA e Insieme a sono punti pericolosi rispettivamente nelle zone di compressione e di tensione.

Per le materie plastiche, quando le resistenze di progetto del materiale della trave in trazione e compressione sono uguali tra loro, cioè [ σ p] = = [s c] = [σ ], nella sezione pericolosa è determinata e la condizione di resistenza può essere rappresentata come

Per le sezioni simmetriche (rettangolo, sezione a I), la condizione di resistenza ha la forma seguente:

Dalla condizione di forza derivano tre tipi di calcoli:

Controllo;

Progettazione - determinazione delle dimensioni geometriche della sezione;

Determinazione della capacità portante della trave (carico consentito).

Se è nota la relazione tra i lati della sezione trasversale, ad esempio per un rettangolo h = 2b, quindi dalla condizione della forza del raggio schiacciato, è possibile determinare i parametri b e h nel seguente modo:

o

definitivamente.

I parametri di ogni sezione sono determinati in modo simile. Lo spostamento completo della sezione della trave durante la flessione obliqua, tenendo conto del principio di indipendenza dell'azione delle forze, è definito come la somma geometrica degli spostamenti nei piani principali.

Determina lo spostamento dell'estremità libera della trave. Usiamo il metodo Vereshchagin. Troviamo lo spostamento verticale moltiplicando i diagrammi (Fig. 11.5) secondo la formula

Allo stesso modo, definiamo lo spostamento orizzontale:

Quindi lo spostamento totale è determinato dalla formula

Riso. 11.5. Schema per la determinazione della cilindrata piena

in una curva obliqua

La direzione del movimento completo è determinata dall'angolo β (Fig. 11.6):

La formula risultante è identica alla formula per determinare la posizione dell'asse neutro della sezione della trave. Questo ci permette di concludere che , cioè la direzione di deflessione è perpendicolare all'asse neutro. Di conseguenza, il piano di deflessione non coincide con il piano di carico.

Riso. 11.6. Schema per determinare il piano di deflessione

in una curva obliqua

Angolo di deviazione del piano di deflessione dall'asse principale y sarà maggiore, maggiore sarà lo spostamento. Pertanto, per una trave a sezione elastica, per cui il rapporto Jx/Jy una grande flessione obliqua è pericolosa, poiché provoca grandi deformazioni e sollecitazioni nel piano di minor rigidità. Per un bar con Jx= Jy, la deflessione totale si trova nel piano della forza e la flessione obliqua è impossibile.

11.4. Tensione eccentrica e compressione della trave. Normale

sollecitazioni nelle sezioni trasversali della trave

Tensione eccentrica (compressione) è un tipo di deformazione in cui la forza di trazione (compressione) è parallela all'asse longitudinale della trave, ma il punto della sua applicazione non coincide con il baricentro della sezione trasversale.

Questo tipo di problema viene spesso utilizzato nella costruzione quando si calcolano le colonne dell'edificio. Considera la compressione eccentrica di una trave. Indichiamo le coordinate del punto di applicazione della forza F attraverso x F e in F, e gli assi principali della sezione trasversale - attraverso x e y. Asse z dirigere in modo tale che le coordinate x F e a F erano positivi (Fig. 11.7, a)

Se trasferisci il potere F parallelo a se stesso da un punto Insieme a al baricentro della sezione, quindi la compressione eccentrica può essere rappresentata come la somma di tre semplici deformazioni: compressione e flessione su due piani (Fig. 11.7, b). Così facendo, abbiamo:

Sollecitazioni in un punto arbitrario della sezione sotto compressione eccentrica, giacente nel primo quadrante, con coordinate x e y possono essere trovati in base al principio di indipendenza dell'azione delle forze:

raggi quadrati di inerzia della sezione, quindi

dove X e y sono le coordinate del punto di sezione in cui viene determinata la sollecitazione.

Quando si determinano le sollecitazioni, è necessario tenere conto dei segni delle coordinate sia del punto di applicazione della forza esterna che del punto in cui viene determinata la sollecitazione.

Riso. 11.7. Schema di una trave a compressione eccentrica

In caso di tensione eccentrica della trave nella formula risultante, il segno "meno" dovrebbe essere sostituito dal segno "più".

Allunga (compressione)- questo è il tipo di carico della trave, in cui nelle sue sezioni trasversali sorge un solo fattore di forza interna - la forza longitudinale N.

In trazione e compressione, le forze esterne vengono applicate lungo l'asse longitudinale z (Figura 109).

Figura 109

Utilizzando il metodo delle sezioni, è possibile determinare il valore del VSF - la forza longitudinale N sotto carico semplice.

Le forze interne (sollecitazioni) che si verificano in una sezione trasversale arbitraria durante la tensione (compressione) vengono determinate utilizzando congetture di sezioni piane di Bernoulli:

La sezione trasversale della trave, che è piana e perpendicolare all'asse prima del carico, rimane la stessa sotto carico.

Ne consegue che le fibre della trave (Figura 110) sono allungate della stessa quantità. Ciò significa che le forze interne (cioè le sollecitazioni) che agiscono su ciascuna fibra saranno le stesse e distribuite uniformemente sulla sezione trasversale.

Figura 110

Poiché N è la risultante delle forze interne, N \u003d σ · A, significa che le normali sollecitazioni σ in tensione e compressione sono determinate dalla formula:

[N/mm 2 = MPa], (72)

dove A è l'area della sezione trasversale.

Esempio 24. Due aste: una sezione circolare con diametro d = 4 mm e una sezione quadrata con lato 5 mm sono tese con la stessa forza F = 1000 N. Quale delle aste è più caricata?

Dato: d = 4 mm; a = 5 mm; F = 1000 N.

Definire: σ 1 e σ 2 - nelle aste 1 e 2.

Decisione:

In tensione, la forza longitudinale nelle aste è N = F = 1000 N.

Aree della sezione trasversale delle aste:

; .

Sollecitazioni normali nelle sezioni trasversali delle aste:

, .

Poiché σ 1 > σ 2, la prima barra tonda viene caricata di più.

Esempio 25. Un cavo attorcigliato da 80 fili con un diametro di 2 mm viene teso con una forza di 5 kN. Determina la sollecitazione nella sezione trasversale.

Dato: k = 80; d = 2 mm; F = 5 kN.

Definire: σ.

Decisione:

N = F = 5 kN, ,

poi .

Qui A 1 è l'area della sezione trasversale di un filo.

Nota: la sezione del cavo non è un cerchio!

2.2.2 Diagrammi delle forze longitudinali N e delle sollecitazioni normali σ lungo la lunghezza della barra

Per calcolare la forza e la rigidità di una trave caricata in modo complesso in trazione e compressione, è necessario conoscere i valori di N e σ in varie sezioni trasversali.

Per questo, i diagrammi sono costruiti: traccia N e traccia σ.

Diagramma- questo è un grafico delle variazioni della forza longitudinale N e delle sollecitazioni normali σ lungo la lunghezza della barra.

Forza longitudinale N in una sezione trasversale arbitraria della trave è uguale alla somma algebrica di tutte le forze esterne applicate alla parte restante, cioè un lato della sezione

Le forze esterne F, che allungano la trave e dirette lontano dalla sezione, sono considerate positive.

L'ordine di tracciare N e σ

1 Le sezioni trasversali dividono la trave in sezioni i cui confini sono:

a) sezioni alle estremità della trave;

b) dove sono applicate le forze F;

c) dove cambia l'area della sezione A.

2 Numeriamo le sezioni, iniziando con

fine libero.

3 Per ogni trama, utilizzando il metodo

sezioni, determiniamo la forza longitudinale N

e tracciare il grafico N su una scala.

4 Determinare la sollecitazione normale σ

su ogni sito e incorporare

scala della trama σ.

Esempio 26. Costruite i diagrammi N e σ lungo la lunghezza della barra a gradini (Figura 111).

Dato: F 1 \u003d 10 kN; F 2 = 35 kN; A 1 \u003d 1 cm 2; A 2 \u003d 2 cm 2.

Decisione:

1) Dividiamo la trave in sezioni, i cui confini sono: sezioni alle estremità della trave, dove vengono applicate le forze esterne F, dove l'area della sezione trasversale A cambia - ci sono 4 sezioni in totale.

2) Numeriamo le sezioni, partendo dall'estremità libera:

da I a IV. Figura 111

3) Per ogni sezione, utilizzando il metodo delle sezioni, determiniamo la forza longitudinale N.

La forza longitudinale N è uguale alla somma algebrica di tutte le forze esterne applicate al resto della trave. Inoltre, le forze esterne F, che allungano la trave, sono considerate positive.

Tabella 13

4) Costruiamo su una scala il diagramma N. La scala è indicata solo da valori positivi di N, sul diagramma il segno più o meno (estensione o compressione) è indicato in un cerchio nel rettangolo del diagramma. I valori positivi di N sono tracciati sopra l'asse zero del diagramma, i valori negativi - sotto l'asse.

5) Verifica (orale): Nelle sezioni in cui vengono applicate forze esterne F, sul diagramma N ci saranno salti verticali di entità uguale a queste forze.

6) Determiniamo le sollecitazioni normali nelle sezioni di ciascuna sezione:

; ;

; .

Costruiamo il diagramma σ su una scala.

7) Visita medica: I segni di N e σ sono gli stessi.

Pensa e rispondi alle domande

1) è impossibile; 2) è possibile.

53 Le sollecitazioni di trazione (compressione) delle aste dipendono dalla forma della loro sezione trasversale (quadrato, rettangolo, cerchio, ecc.)?

1) dipendono; 2) non dipendono.

54 La quantità di sollecitazione nella sezione trasversale dipende dal materiale di cui è composta l'asta?

1) dipende; 2) non dipende.

55 Quali punti della sezione trasversale di un tondino sono carichi di più in tensione?

1) sull'asse della trave; 2) sulla superficie del cerchio;

3) in tutti i punti della sezione le sollecitazioni sono le stesse.

56 Le barre di acciaio e legno con la stessa area della sezione trasversale sono allungate dalle stesse forze. Le sollecitazioni che si verificano nelle aste saranno uguali?

1) nell'acciaio, la sollecitazione è maggiore;

2) in legno, la tensione è maggiore;

3) le stesse sollecitazioni appariranno nelle aste.

57 Per una barra (Figura 112), tracciare i diagrammi N e σ se F 1 = 2 kN; F 2 \u003d 5 kN; A 1 \u003d 1,2 cm 2; A 2 \u003d 1,4 cm 2.

Calcolo di una trave a sezione tonda per resistenza e rigidità torsionale

Calcolo di una trave a sezione tonda per resistenza e rigidità torsionale

Lo scopo dei calcoli per la resistenza e la rigidità torsionale è determinare tali dimensioni della sezione trasversale della trave, in cui le sollecitazioni e gli spostamenti non supereranno i valori specificati consentiti dalle condizioni operative. La condizione di resistenza per le sollecitazioni di taglio ammissibili è generalmente scritta come Questa condizione significa che le sollecitazioni di taglio più elevate che si verificano in una trave intrecciata non devono superare le corrispondenti sollecitazioni ammissibili per il materiale. La sollecitazione torsionale ammissibile dipende da 0 ─ la sollecitazione corrispondente allo stato pericoloso del materiale e dal fattore di sicurezza accettato n: ─ carico di snervamento, nt è il fattore di sicurezza per la materia plastica; ─ resistenza alla trazione, nв - fattore di sicurezza per materiale fragile. A causa del fatto che è più difficile ottenere valori negli esperimenti di torsione che in tensione (compressione), quindi, molto spesso, le sollecitazioni torsionali ammissibili vengono prese in base alle sollecitazioni di trazione ammissibili per lo stesso materiale. Quindi per l'acciaio [per la ghisa. Quando si calcola la resistenza delle travi intrecciate, sono possibili tre tipi di attività, che differiscono nella forma di utilizzo delle condizioni di resistenza: 1) verifica delle sollecitazioni (calcolo di prova); 2) selezione della sezione (calcolo del progetto); 3) determinazione del carico ammissibile. 1. Quando si controllano le sollecitazioni per determinati carichi e dimensioni di una trave, le maggiori sollecitazioni di taglio che si verificano in essa vengono determinate e confrontate con quelle fornite dalla formula (2.16). Se la condizione di resistenza non è soddisfatta, è necessario aumentare le dimensioni della sezione trasversale o ridurre il carico che agisce sulla trave o utilizzare un materiale di maggiore resistenza. 2. Quando si seleziona una sezione per un dato carico e un dato valore di sollecitazione ammissibile dalla condizione di resistenza (2.16), viene determinato il valore del momento polare di resistenza della sezione trasversale della trave I diametri della circolare solida o sezione anulare del raggio si trovano dall'ampiezza del momento polare di resistenza. 3. Nel determinare il carico ammissibile per una data tensione ammissibile e momento polare di resistenza WP, in primo luogo, sulla base di (3.16), viene determinata la coppia ammissibile MK e quindi, utilizzando il diagramma di coppia, viene stabilita una connessione tra K M e momenti torsionali esterni. Il calcolo della resistenza della trave non esclude la possibilità di deformazioni inaccettabili durante il suo funzionamento. Grandi angoli di torsione della barra sono molto pericolosi, in quanto possono portare a una violazione della precisione delle parti in lavorazione se questa barra è un elemento strutturale della macchina di lavorazione, oppure possono verificarsi vibrazioni torsionali se la barra trasmette momenti torsionali variabili nel tempo , quindi anche la barra deve essere calcolata per la rigidità. La condizione di rigidità è scritta nella forma seguente: dove ─ il più grande angolo relativo di torsione della trave, determinato dall'espressione (2.10) o (2.11). Quindi prenderà la forma la condizione di rigidità per l'albero. Il valore dell'angolo di torsione relativo consentito è determinato dalle norme e per vari elementi strutturali e diversi tipi di carichi varia da 0,15 ° a 2 ° per 1 m di lunghezza della trave. Sia nella condizione di resistenza che in quella di rigidità, per determinare max o max , utilizzeremo le caratteristiche geometriche: WP ─ momento polare di resistenza e IP ─ momento di inerzia polare. Ovviamente, queste caratteristiche saranno diverse per sezioni trasversali tonde solide e anulari con la stessa area di queste sezioni. Con calcoli specifici si può vedere che i momenti d'inerzia polari e il momento di resistenza per una sezione anulare sono molto maggiori che per una sezione circolare circolare, poiché la sezione anulare non ha aree vicine al centro. Pertanto, una barra a sezione anulare in torsione è più economica di una barra a sezione rotonda piena, cioè richiede un minor consumo di materiale. Tuttavia, la realizzazione di una tale barra è più complicata, e quindi più costosa, e questa circostanza deve essere tenuta in considerazione anche nella progettazione di barre operanti in torsione. Illustreremo la metodologia per calcolare la trave per resistenza e rigidità torsionale, nonché ragionare sull'efficienza, con un esempio. Esempio 2.2 Confrontare i pesi di due alberi, le cui dimensioni trasversali sono selezionate per la stessa coppia MK 600 Nm alle stesse sollecitazioni ammissibili attraverso le fibre (su una lunghezza di almeno 10 cm) [cm] 90 2,5 Rcm 90 3 Separazione lungo le fibre durante la piegatura [u] 2 Rck 2.4 Spaccatura lungo le fibre durante il taglio 1 Rck 1.2 - 2.4 fibre

Quando si allunga (spremendo) il legno al suo interno sezioni trasversali sorgere solo sollecitazioni normali. La risultante delle corrispondenti forze elementari o, dA - forza longitudinale N- può essere trovato usando il metodo della sezione. Per poter determinare le sollecitazioni normali per un valore noto della forza longitudinale, è necessario stabilire la legge di distribuzione sulla sezione trasversale della trave.

Questo problema è risolto sulla base protesi a sezione piatta(ipotesi di J. Bernoulli), che recita:

le sezioni della trave, che sono piatte e normali al suo asse prima della deformazione, rimangono piatte e normali all'asse anche durante la deformazione.

Quando una trave viene allungata (realizzata, ad esempio, per maggiore visibilità dell'esperienza in gomma), in superficie chiè stato applicato un sistema di graffi longitudinali e trasversali (Fig. 2.7, a), è possibile assicurarsi che i rischi rimangano diritti e tra loro perpendicolari, cambiare solo

dove A è l'area della sezione trasversale della trave. Omettendo l'indice z, otteniamo infine

Per le sollecitazioni normali viene adottata la stessa regola dei segni delle forze longitudinali, cioè quando allungato, le sollecitazioni sono considerate positive.

Infatti la distribuzione delle sollecitazioni nelle sezioni di trave adiacenti al luogo di applicazione delle forze esterne dipende dal metodo di applicazione del carico e può essere irregolare. Studi sperimentali e teorici mostrano che questa violazione dell'uniformità della distribuzione delle sollecitazioni è carattere locale. Nelle sezioni della trave, distanziate dal luogo di carico ad una distanza approssimativamente uguale alla maggiore delle dimensioni trasversali della trave, la distribuzione delle sollecitazioni può essere considerata pressoché uniforme (Fig. 2.9).

La situazione considerata è un caso speciale principio di San Venant, che può essere così formulato:

la distribuzione delle sollecitazioni dipende essenzialmente dal metodo di applicazione delle forze esterne solo in prossimità del luogo di carico.

In parti sufficientemente lontane dal luogo di applicazione delle forze, la distribuzione delle sollecitazioni dipende praticamente solo dall'equivalente statico di queste forze e non dal metodo della loro applicazione.

Quindi, candidarsi Principio di San Venant e divagando dalla questione delle sollecitazioni locali, abbiamo l'opportunità (sia in questo che nei capitoli successivi del corso) di non essere interessati a modalità specifiche di applicazione delle forze esterne.

In punti di un brusco cambiamento nella forma e nelle dimensioni della sezione trasversale della trave, si verificano anche sollecitazioni locali. Questo fenomeno si chiama concentrazione di stress, che non considereremo in questo capitolo.

Nei casi in cui le sollecitazioni normali nelle diverse sezioni trasversali della trave non sono le stesse, è consigliabile mostrare la legge della loro variazione lungo la lunghezza della trave sotto forma di grafico - diagrammi delle sollecitazioni normali.

ESEMPIO 2.3. Per una trave con una sezione trasversale variabile a gradino (Fig. 2.10, a), tracciare le forze longitudinali e sollecitazioni normali.

Decisione. Dividiamo la trave in sezioni, a partire dal messaggero gratuito. I confini delle sezioni sono i luoghi in cui vengono applicate le forze esterne e le dimensioni della sezione trasversale cambiano, ovvero la trave ha cinque sezioni. Quando si tracciano solo diagrammi N sarebbe necessario dividere la trave in sole tre sezioni.

Usando il metodo delle sezioni, determiniamo le forze longitudinali nelle sezioni trasversali della trave e costruiamo il diagramma corrispondente (Fig. 2.10.6). La costruzione del diagramma And non è fondamentalmente diversa da quella considerata nell'Esempio 2.1, quindi omettiamo i dettagli di questa costruzione.

Calcoliamo le sollecitazioni normali usando la formula (2.1), sostituendo i valori delle forze in newton e le aree - in metri quadrati.

All'interno di ogni sezione, le sollecitazioni sono costanti, ad es. e. la trama in quest'area è una linea retta, parallela all'asse delle ascisse (Fig. 2.10, c). Per il calcolo della resistenza, prima di tutto, sono di interesse quelle sezioni in cui si verificano le maggiori sollecitazioni. È significativo che nel caso considerato non coincidano con quei tratti dove le forze longitudinali sono massime.

Nei casi in cui la sezione trasversale della trave lungo l'intera lunghezza è costante, il diagramma un simile a una trama N e differisce da esso solo in scala, quindi, naturalmente, ha senso costruire solo uno dei diagrammi indicati.