"Produk skalar vektor" - Produk skalar vektor. Pada segitiga sama sisi ABC dengan sisi 1, tinggi BD digambar. Menurut definisi, cirikan sudut? antara vektor dan jika: a) b) c) d). Pada nilai t berapa vektor tegak lurus terhadap vektor jika (2, -1), (4, 3). Produk skalar vektor dan dilambangkan.

"Geometri 9 kelas "Vektor" - Jarak antara dua titik. Masalah paling sederhana dalam koordinat. Periksa diri Anda! Koordinat vektor. Pada tahun 1903, O. Henrichi menyarankan agar produk skalar dilambangkan dengan simbol (a, c). Vektor adalah segmen berarah. Penguraian vektor dalam vektor koordinat. Konsep vektor. Penguraian vektor pada bidang dalam dua vektor non-kolinier.

"Vektor Pemecahan Masalah" - Ekspresikan vektor AM, DA, CA, MB, CD dalam bentuk vektor a dan vektor b. 2 Nyatakan vektor DP, DM, AC melalui vektor a dan b. PL: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Nyatakan vektor-vektor CK, RK melalui vektor-vektor a dan b. BE:EC = 3:1 K adalah pusat DC. VK: KС = 3: 4. Nyatakan vektor AK, DK melalui vektor a dan b. Penerapan vektor untuk pemecahan masalah (bagian 1).

"Masalah pada vektor" - Teorema. Temukan koordinatnya. Tiga poin diberikan. Titik sudut segitiga. Tentukan koordinat vektor-vektor tersebut. Temukan koordinat titiknya. Tentukan koordinat dan panjang vektor. Nyatakan panjang vektor. Koordinat vektor. Koordinat vektor. Cari koordinat vektornya. Vektor diberikan. Sebutkan koordinat vektor-vektor tersebut! Vektor memiliki koordinat.

"Metode koordinat pada bidang" - Sebuah lingkaran digambar. tegak lurus. sumbu koordinat. Nilai sinus. Sistem koordinat persegi panjang pada bidang. Cari koordinat titik. Pertimbangkan sebuah contoh. Solusi untuk masalah ini. Poin diberikan di pesawat. Titik sudut jajaran genjang. Memperluas vektor. Menghitung. Banyak poin. Memecahkan secara grafis sistem persamaan.

"Penambahan dan pengurangan vektor" - 1. Tujuan pelajaran. 2. Bagian utama. Anda sangat, paling sahabat Pejalan tidur! Pelajari cara mengurangi vektor. 2. Tentukan vektor dari jumlah vektor a dan b. Temanku!! Mari kita lihat apa yang kita miliki di sini. Tujuan kami: Kesimpulan. 3. Tinjau kepala. 4. Daftar referensi. Bepergian dengan orang gila. Dari titik A, kami menunda kedua vektor.

Total ada 29 presentasi dalam topik

Saat mempelajari geometri, banyak pertanyaan muncul tentang topik vektor. Siswa mengalami kesulitan tertentu ketika perlu untuk menemukan sudut antara vektor.

Istilah dasar

Sebelum membahas tentang sudut antar vektor, perlu dipahami terlebih dahulu definisi vektor dan konsep sudut antar vektor.

Vektor adalah segmen yang memiliki arah, yaitu segmen yang awal dan akhirnya ditentukan.

Sudut antara dua vektor pada bidang yang memiliki asal yang sama adalah sudut yang lebih kecil, yang diperlukan untuk memindahkan salah satu vektor di sekitar titik yang sama, ke posisi di mana arahnya bertepatan.

Rumus Solusi

Setelah Anda memahami apa itu vektor dan bagaimana sudutnya ditentukan, Anda dapat menghitung sudut antar vektor. Rumus solusi untuk ini cukup sederhana, dan hasil penerapannya akan menjadi nilai kosinus sudut. Menurut definisi, itu sama dengan hasil bagi produk titik vektor dan produk dari panjangnya.

Produk skalar vektor dianggap sebagai jumlah dari koordinat yang sesuai dari vektor pengali dikalikan satu sama lain. Panjang vektor, atau modulusnya, dihitung sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya.

Setelah menerima nilai kosinus sudut, Anda dapat menghitung nilai sudut itu sendiri menggunakan kalkulator atau menggunakan tabel trigonometri.

Contoh

Setelah Anda mengetahui cara menghitung sudut antara vektor, solusi untuk masalah yang sesuai menjadi sederhana dan mudah. Sebagai contoh, perhatikan masalah sederhana untuk menemukan besar sudut.

Pertama-tama, akan lebih mudah untuk menghitung nilai panjang vektor dan produk skalarnya yang diperlukan untuk penyelesaian. Dengan menggunakan deskripsi di atas, kita mendapatkan:

Mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus, kami menghitung nilai cosinus dari sudut yang diinginkan:

Angka ini bukan salah satu dari lima nilai cosinus umum, jadi untuk mendapatkan nilai sudut, Anda harus menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri Bradis. Tetapi sebelum mendapatkan sudut antara vektor, rumusnya dapat disederhanakan untuk menghilangkan tanda negatif tambahan:

Jawaban akhir dapat dibiarkan dalam bentuk ini untuk menjaga akurasi, atau Anda dapat menghitung nilai sudut dalam derajat. Menurut tabel Bradis, nilainya akan menjadi sekitar 116 derajat dan 70 menit, dan kalkulator akan menunjukkan nilai 116,57 derajat.

Perhitungan sudut dalam ruang n-dimensi

Ketika mempertimbangkan dua vektor dalam ruang tiga dimensi, jauh lebih sulit untuk memahami sudut mana yang sedang kita bicarakan jika mereka tidak terletak pada bidang yang sama. Untuk menyederhanakan persepsi, Anda dapat menggambar dua segmen berpotongan yang membentuk sudut terkecil di antara mereka, dan itu akan menjadi yang diinginkan. Meskipun keberadaan koordinat ketiga dalam vektor, proses bagaimana sudut antara vektor dihitung tidak akan berubah. Hitung produk skalar dan modul vektor, arccosinus dari hasil bagi mereka dan akan menjadi jawaban untuk masalah ini.

Dalam geometri, masalah sering terjadi dengan ruang yang memiliki lebih dari tiga dimensi. Tetapi bagi mereka, algoritme untuk menemukan jawabannya terlihat serupa.

Perbedaan antara 0 dan 180 derajat

Salah satu kesalahan umum saat menulis jawaban untuk masalah yang dirancang untuk menghitung sudut antara vektor adalah keputusan untuk menulis bahwa vektor sejajar, yaitu, sudut yang diinginkan ternyata 0 atau 180 derajat. Jawaban ini tidak benar.

Setelah menerima nilai sudut 0 derajat sebagai hasil dari solusi, jawaban yang benar adalah menunjuk vektor sebagai co-directional, yaitu, vektor akan memiliki arah yang sama. Dalam hal memperoleh 180 derajat, vektor akan memiliki sifat arah yang berlawanan.

Vektor tertentu

Dengan menemukan sudut antara vektor, salah satu jenis khusus dapat ditemukan, selain yang diarahkan bersama dan berlawanan yang dijelaskan di atas.

• Beberapa vektor yang sejajar dengan satu bidang disebut koplanar.
• Vektor yang sama panjang dan arahnya disebut sama.
• Vektor yang terletak pada garis lurus yang sama, tanpa memperhatikan arah, disebut collinear.
• Jika panjang vektor adalah nol, yaitu awal dan akhir bertepatan, maka itu disebut nol, dan jika itu satu, maka itu disebut satu.

Petunjuk

Biarkan dua vektor bukan nol diberikan pada bidang, diplot dari satu titik: vektor A dengan koordinat (x1, y1) B dengan koordinat (x2, y2). Injeksi antara mereka dilambangkan sebagai . Untuk menemukan ukuran derajat sudut , Anda perlu menggunakan definisi produk skalar.

Hasil kali skalar dua vektor bukan nol adalah bilangan yang sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dan kosinus sudut di antara keduanya, yaitu (A,B)=|A|*|B|*cos( ). Sekarang Anda perlu menyatakan kosinus sudut dari ini: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Produk skalar juga dapat ditemukan dengan menggunakan rumus (A,B)=x1*x2+y1*y2, karena produk dari dua vektor bukan-nol sama dengan jumlah produk dari vektor-vektor yang bersesuaian. Jika produk skalar dari vektor bukan nol sama dengan nol, maka vektor-vektor tersebut tegak lurus (sudut di antara mereka adalah 90 derajat) dan perhitungan lebih lanjut dapat diabaikan. Jika produk skalar dari dua vektor adalah positif, maka sudut antara ini vektor lancip, dan jika negatif, maka sudutnya tumpul.

Sekarang hitung panjang vektor A dan B menggunakan rumus: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Panjang vektor dihitung sebagai Akar pangkat dua dari jumlah kuadrat koordinatnya.

Substitusikan nilai yang ditemukan dari produk skalar dan panjang vektor ke dalam rumus sudut yang diperoleh pada langkah 2, yaitu, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Sekarang, mengetahui nilai , untuk menemukan ukuran derajat sudut antara vektor anda perlu menggunakan tabel Bradis atau mengambil dari ini: =arccos(cos(θ)).

Jika vektor A dan B diberikan dalam ruang tiga dimensi dan masing-masing memiliki koordinat (x1, y1, z1) dan (x2, y2, z2), maka satu koordinat lagi ditambahkan untuk mencari kosinus sudut. Dalam hal ini cosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Saran yang bermanfaat

Jika dua vektor tidak diplot dari satu titik, maka untuk menemukan sudut di antara mereka dengan terjemahan paralel, Anda perlu menggabungkan awal vektor-vektor ini.
Sudut antara dua vektor tidak boleh lebih besar dari 180 derajat.

Sumber:

• cara menghitung sudut antar vektor
• Sudut antara garis dan bidang

Untuk menyelesaikan banyak masalah, baik terapan maupun teoritis, dalam fisika dan aljabar linier, perlu untuk menghitung sudut antar vektor. Tugas yang tampaknya sederhana ini dapat menyebabkan banyak kesulitan jika Anda tidak memahami dengan jelas esensi dari produk skalar dan nilai apa yang muncul sebagai hasil dari produk ini.

Petunjuk

Sudut antara vektor dalam ruang vektor linier adalah sudut minimum di , di mana kodirection dari vektor dicapai. Salah satu vektor dibawa di sekitar titik awalnya. Dari definisi tersebut, menjadi jelas bahwa nilai sudut tidak boleh melebihi 180 derajat (lihat langkah).

Dalam hal ini, cukup tepat diasumsikan bahwa dalam ruang linier, ketika vektor-vektor dipindahkan secara paralel, sudut di antara mereka tidak berubah. Oleh karena itu, untuk perhitungan analitik sudut, orientasi spasial dari vektor tidak menjadi masalah.

Hasil perkalian titik adalah bilangan, jika tidak, skalar. Ingat (ini penting untuk diketahui) agar tidak terjadi kesalahan dalam perhitungan selanjutnya. Rumus untuk produk skalar, yang terletak di bidang atau dalam ruang vektor, memiliki bentuk (lihat gambar untuk langkah tersebut).

Jika vektor terletak di luar angkasa, maka lakukan perhitungan dengan cara yang sama. Satu-satunya hal yang akan menjadi penampilan istilah dalam dividen - ini adalah istilah untuk aplikasi, yaitu. komponen ketiga dari vektor. Oleh karena itu, ketika menghitung modul vektor, komponen z juga harus diperhitungkan, kemudian untuk vektor yang terletak di ruang, ekspresi terakhir ditransformasikan sebagai berikut (lihat Gambar 6 ke langkah).

Vektor adalah segmen garis dengan arah tertentu. Sudut antara vektor memiliki arti fisik, misalnya, ketika menemukan panjang proyeksi vektor ke sumbu.

Petunjuk

Sudut antara dua vektor bukan nol menggunakan perhitungan perkalian titik. Menurut definisi, produk sama dengan produk dari panjang dan sudut di antara mereka. Di sisi lain, produk dalam untuk dua vektor a dengan koordinat (x1; y1) dan b dengan koordinat (x2; y2) dihitung: ab = x1x2 + y1y2. Dari dua cara ini, hasil kali titik mudah disudutkan di antara vektor.

Cari panjang atau modul dari vektor. Untuk vektor a dan b kami: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Temukan produk dalam vektor dengan mengalikan koordinatnya secara berpasangan: ab = x1x2 + y1y2. Dari definisi perkalian titik ab = |a|*|b|*cos , di mana adalah sudut antara vektor. Kemudian kita dapatkan bahwa x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos . Maka cos = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Cari sudut menggunakan tabel Bradys.

Video Terkait

catatan

Produk skalar adalah karakteristik skalar dari panjang vektor dan sudut di antara mereka.

Bidang merupakan salah satu konsep dasar dalam geometri. Sebuah pesawat adalah permukaan yang pernyataannya benar - setiap garis lurus yang menghubungkan dua titiknya sepenuhnya milik permukaan ini. Pesawat-pesawat itu ditunjuk huruf Yunani, , , dll. Dua bidang selalu berpotongan pada garis lurus yang dimiliki kedua bidang tersebut.

Petunjuk

Pertimbangkan setengah bidang dan yang terbentuk di perpotongan . Sudut yang dibentuk oleh garis lurus a dan dua setengah bidang dan oleh sudut dihedral. Dalam hal ini, setengah bidang yang membentuk sudut dihedral oleh wajah, garis a di mana bidang berpotongan disebut tepi sudut dihedral.

Sudut dihedral, seperti sudut datar, dalam derajat. Untuk membuat sudut dihedral, perlu memilih sembarang titik O pada wajahnya.Pada keduanya, dua sinar a ditarik melalui titik O. Sudut yang dihasilkan AOB disebut sudut linier dari sudut dihedral a.

Jadi, misalkan vektor V = (a, b, c) dan bidang A x + B y + C z = 0 diberikan, di mana A, B dan C adalah koordinat normal N. Maka cosinus sudut antara vektor V dan N adalah: cos \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) (A² + B² + C²)).

Untuk menghitung nilai sudut dalam derajat atau radian, Anda perlu menghitung fungsi kebalikan dari kosinus dari ekspresi yang dihasilkan, mis. arccosine: \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) (A² + B² + C²))).

Contoh: temukan injeksi di antara vektor(5, -3, 8) dan pesawat terbang, diberikan oleh persamaan umum 2 x - 5 y + 3 z = 0. Solusi: tuliskan koordinat vektor normal bidang N = (2, -5, 3). Ganti semuanya nilai yang diketahui dalam rumus di atas: cos = (10 + 15 + 24) / 3724 0,8 → = 36,87°.

Video Terkait

Tulis persamaan dan pisahkan kosinus dari persamaan tersebut. Menurut satu rumus, produk skalar vektor sama dengan panjangnya dikalikan satu sama lain dan dengan kosinus sudut, dan di sisi lain - jumlah produk koordinat di sepanjang masing-masing sumbu. Dengan menyamakan kedua rumus, kita dapat menyimpulkan bahwa cosinus sudut harus sama dengan rasio jumlah produk koordinat dengan produk panjang vektor.

Tuliskan persamaan yang dihasilkan. Untuk melakukan ini, kita perlu menetapkan kedua vektor. Katakanlah mereka diberikan dalam sistem Cartesian 3D dan titik awalnya berada dalam kotak. Arah dan besaran vektor pertama akan diberikan oleh titik (X₁,Y₁,Z₁), yang kedua - (X₂,Y₂,Z₂), dan sudut dilambangkan dengan huruf . Kemudian panjang masing-masing vektor dapat, misalnya, menurut teorema Pythagoras untuk dibentuk oleh proyeksi mereka pada masing-masing sumbu koordinat: (X₁² + Y₁² + Z₁²) dan (X₂² + Y₂² + Z₂²). Substitusi ekspresi ini ke dalam rumus yang dirumuskan pada langkah sebelumnya dan Anda mendapatkan persamaan: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Gunakan fakta bahwa jumlah kuadrat sinus dan bersama sinus dari sudut satu nilai selalu memberikan satu. Oleh karena itu, dengan menaikkan apa yang diperoleh pada langkah sebelumnya untuk co sinus kuadrat dan dikurangi dari kesatuan, dan kemudian

Hasil kali titik dari vektor

Kami terus berurusan dengan vektor. Pada pelajaran pertama Vektor untuk boneka kami telah mempertimbangkan konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor dan masalah paling sederhana dengan vektor. Jika Anda datang ke halaman ini untuk pertama kalinya dari mesin pencari, saya sangat menyarankan untuk membaca di atas artikel pengantar, karena untuk mengasimilasi materi, perlu untuk menavigasi dalam istilah dan notasi yang saya gunakan, untuk memiliki pengetahuan dasar tentang vektor dan mampu menyelesaikan masalah dasar. Pelajaran ini merupakan kelanjutan logis dari topik, dan di dalamnya saya akan menganalisis secara rinci tugas-tugas umum yang menggunakan produk skalar vektor. Ini sangat Kegiatan PENTING . Cobalah untuk tidak melewatkan contoh, mereka disertai dengan bonus yang berguna - latihan akan membantu Anda untuk mengkonsolidasikan materi yang dibahas dan "dapatkan tangan Anda" dalam memecahkan masalah umum geometri analitik.

Menjumlahkan vektor, mengalikan vektor dengan angka…. Akan naif untuk berpikir bahwa matematikawan tidak menemukan sesuatu yang lain. Selain tindakan yang sudah dipertimbangkan, ada sejumlah operasi lain dengan vektor, yaitu: perkalian titik dari vektor, perkalian silang vektor dan produk campuran vektor. Produk skalar vektor sudah tidak asing lagi bagi kita di sekolah, dua produk lainnya secara tradisional terkait dengan kursus matematika yang lebih tinggi. Topiknya sederhana, algoritma untuk memecahkan banyak masalah distereotipkan dan dapat dimengerti. Satu-satunya. Ada jumlah informasi yang layak, jadi tidak diinginkan untuk mencoba menguasai dan menyelesaikan SEMUANYA DAN SEKALIGUS. Ini terutama berlaku untuk boneka, percayalah, penulis sama sekali tidak ingin merasa seperti Chikatilo dari matematika. Yah, bukan dari matematika tentunya juga =) Siswa yang lebih siap dapat menggunakan materi secara selektif, dalam arti tertentu, "memperoleh" pengetahuan yang hilang, untuk Anda saya akan menjadi Count Dracula yang tidak berbahaya =)

Akhirnya, mari kita buka pintunya sedikit dan lihat apa yang terjadi ketika dua vektor bertemu satu sama lain….

Definisi produk skalar vektor.
Sifat-sifat produk skalar. Tugas khas

Konsep produk titik

Pertama tentang sudut antar vektor. Saya pikir semua orang secara intuitif memahami apa sudut antara vektor, tetapi untuk berjaga-jaga, sedikit lagi. Pertimbangkan vektor bukan nol bebas dan . Jika kita menunda vektor-vektor ini dari titik sewenang-wenang, maka kita mendapatkan gambaran yang sudah banyak disajikan secara mental:

Saya akui, di sini saya menggambarkan situasi hanya pada tingkat pemahaman. Jika Anda memerlukan definisi yang ketat tentang sudut antara vektor, silakan merujuk ke buku teks, tetapi untuk tugas-tugas praktis, kami, pada prinsipnya, tidak membutuhkannya. Juga DI SINI DAN LEBIH LANJUT, saya terkadang mengabaikan vektor nol karena signifikansi praktisnya yang rendah. Saya membuat reservasi khusus untuk pengunjung tingkat lanjut ke situs, yang dapat mencela saya karena ketidaklengkapan teoretis dari beberapa pernyataan berikut.

dapat mengambil nilai dari 0 hingga 180 derajat (dari 0 hingga radian) inklusif. Secara analitis fakta yang diberikan ditulis sebagai pertidaksamaan ganda: atau (dalam radian).

Dalam literatur, ikon sudut sering dihilangkan dan ditulis begitu saja.

Definisi: Produk skalar dua vektor adalah ANGKA yang sama dengan produk dari panjang vektor-vektor ini dan kosinus sudut di antara mereka:

Nah, itu definisi yang cukup ketat.

Kami fokus pada informasi penting:

Penamaan: produk skalar dilambangkan dengan atau sederhana .

Hasil operasinya adalah NUMBER: Kalikan vektor dengan vektor untuk mendapatkan angka. Memang, jika panjang vektor adalah angka, kosinus sudut adalah angka, maka produk mereka juga akan menjadi nomor.

Hanya beberapa contoh pemanasan:

Contoh 1

Keputusan: Kami menggunakan rumus . Pada kasus ini:

Menjawab:

Nilai cosinus dapat ditemukan di tabel trigonometri. Saya sarankan untuk mencetaknya - itu akan diperlukan di hampir semua bagian menara dan akan diperlukan berkali-kali.

Murni dari sudut pandang matematika, produk skalar tidak berdimensi, yaitu, hasilnya, dalam hal ini, hanya angka dan hanya itu. Dari sudut pandang masalah fisika, produk skalar selalu memiliki tertentu arti fisik, yaitu, setelah hasil, satu atau beberapa unit fisik lainnya harus ditunjukkan. Contoh kanonik untuk menghitung kerja gaya dapat ditemukan di buku teks mana pun (rumusnya persis produk titik). Kerja gaya diukur dalam Joule, oleh karena itu, jawabannya akan ditulis dengan cukup spesifik, misalnya,.

Contoh 2

Temukan jika , dan sudut antara vektor adalah .

Ini adalah contoh untuk keputusan diri, jawabannya ada di akhir pelajaran.

Sudut antara vektor dan nilai produk titik

Pada Contoh 1, hasil kali skalar menjadi positif, dan pada Contoh 2, menjadi negatif. Mari kita cari tahu pada apa tanda produk skalar bergantung. Mari kita lihat rumus kita: . Panjang vektor bukan-nol selalu positif: , sehingga tanda hanya dapat bergantung pada nilai cosinus.

Catatan: Untuk pemahaman yang lebih baik tentang informasi di bawah ini, lebih baik mempelajari grafik kosinus di manual Sifat-sifat grafik dan fungsi. Lihat bagaimana perilaku kosinus pada segmen.

Seperti yang telah dicatat, sudut antara vektor dapat bervariasi dalam , dan kasus berikut mungkin terjadi:

1) Jika injeksi antar vektor pedas: (dari 0 hingga 90 derajat), maka , dan produk titik akan positif diarahkan bersama, maka sudut di antara mereka dianggap nol, dan produk skalar juga akan positif. Karena , maka rumus disederhanakan: .

2) Jika injeksi antar vektor tumpul: (dari 90 hingga 180 derajat), maka , dan sesuai, hasil kali titik negatif: . Kasus khusus: jika vektor diarahkan sebaliknya, maka sudut antara keduanya dianggap dikerahkan: (180 derajat). Produk skalar juga negatif, karena

Pernyataan sebaliknya juga benar:

1) Jika , maka sudut antara vektor-vektor tersebut lancip. Atau, vektor adalah codirectional.

2) Jika , maka sudut antara vektor-vektor tersebut tumpul. Atau, vektor diarahkan berlawanan.

Tetapi kasus ketiga sangat menarik:

3) Jika injeksi antar vektor lurus: (90 derajat) maka dan produk titik adalah nol: . Kebalikannya juga benar: jika , maka . Pernyataan kompak dirumuskan sebagai berikut: Hasil kali skalar dua vektor adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut ortogonal. pendek notasi matematika:

! Catatan : ulang dasar logika matematika: Ikon konsekuensi logis dua sisi biasanya dibaca "jika dan hanya kemudian", "jika dan hanya jika". Seperti yang Anda lihat, panah diarahkan ke dua arah - "dari ini mengikuti ini, dan sebaliknya - dari ini mengikuti ini." Omong-omong, apa perbedaan dari ikon ikuti satu arah? Klaim ikon hanya itu bahwa "dari ini mengikuti ini", dan bukan fakta bahwa kebalikannya adalah benar. Misalnya: , tetapi tidak setiap hewan adalah macan kumbang, jadi ikon tidak dapat digunakan dalam kasus ini. Pada saat yang sama, alih-alih ikon bisa gunakan ikon satu sisi. Misalnya, saat memecahkan masalah, kami menemukan bahwa kami menyimpulkan bahwa vektor-vektornya ortogonal: - catatan seperti itu akan benar, dan bahkan lebih tepat daripada .

Kasus ketiga sangat penting secara praktis., karena memungkinkan Anda untuk memeriksa apakah vektornya ortogonal atau tidak. Kami akan memecahkan masalah ini di bagian kedua pelajaran.

Properti produk titik

Mari kita kembali ke situasi ketika dua vektor diarahkan bersama. Dalam hal ini, sudut di antara mereka nol, , dan rumus produk skalar berbentuk: .

Apa yang terjadi jika sebuah vektor dikalikan dengan dirinya sendiri? Jelas bahwa vektor diarahkan bersama dengan dirinya sendiri, jadi kami menggunakan rumus sederhana di atas:

Nomor tersebut disebut persegi skalar vektor , dan dilambangkan sebagai .

Dengan demikian, kuadrat skalar dari suatu vektor sama dengan kuadrat dari panjang vektor yang diberikan:

Dari persamaan ini, Anda bisa mendapatkan rumus untuk menghitung panjang vektor:

Meskipun tampaknya tidak jelas, tetapi tugas pelajaran akan menempatkan semuanya pada tempatnya. Untuk memecahkan masalah, kita juga perlu sifat produk titik.

Untuk vektor arbitrer dan bilangan apa pun, sifat-sifat berikut ini benar:

1) - dapat dipindahkan atau komutatif hukum perkalian skalar.

2) - distribusi atau distributif hukum perkalian skalar. Sederhananya, Anda dapat membuka tanda kurung.

3) - kombinasi atau asosiatif hukum perkalian skalar. Konstanta dapat dikeluarkan dari produk skalar.

Seringkali, semua jenis sifat (yang juga perlu dibuktikan!) Dipersepsikan oleh siswa sebagai sampah, yang hanya perlu dihafal dan dilupakan dengan aman segera setelah ujian. Tampaknya yang penting di sini, semua orang sudah tahu sejak kelas satu bahwa produk tidak berubah dari permutasi faktor :. Saya harus memperingatkan Anda, dalam matematika yang lebih tinggi dengan pendekatan seperti itu mudah untuk mengacaukan segalanya. Jadi, misalnya, sifat komutatif tidak berlaku untuk matriks aljabar. Itu tidak benar untuk perkalian silang vektor. Oleh karena itu, setidaknya lebih baik untuk menyelidiki sifat apa pun yang akan Anda temui dalam pelajaran matematika yang lebih tinggi untuk memahami apa yang bisa dan tidak bisa dilakukan.

Contoh 3

.

Keputusan: Pertama, mari kita perjelas situasi dengan vektor. Apa itu semua tentang? Jumlah dari vektor dan merupakan vektor yang terdefinisi dengan baik, yang dilambangkan dengan . Interpretasi geometris tindakan dengan vektor dapat ditemukan di artikel Vektor untuk boneka. Peterseli yang sama dengan vektor adalah jumlah dari vektor dan .

Jadi, sesuai dengan kondisi, diperlukan untuk menemukan produk skalar. Secara teori, Anda perlu menerapkan rumus kerja , tetapi masalahnya adalah kita tidak mengetahui panjang vektor dan sudut di antara mereka. Tetapi dalam kondisi, parameter serupa diberikan untuk vektor, jadi kita akan pergi ke arah lain:

(1) Kami mengganti ekspresi vektor .

(2) Kami membuka tanda kurung sesuai dengan aturan perkalian polinomial, twister lidah vulgar dapat ditemukan di artikel Bilangan kompleks atau Integrasi fungsi pecahan-rasional. Saya tidak akan mengulanginya =) Omong-omong, sifat distributif dari produk skalar memungkinkan kita untuk membuka kurung. Kami memiliki hak.

(3) Pada suku pertama dan suku terakhir, kita tuliskan kuadrat skalar dari vektor secara kompak: . Pada suku kedua, kita menggunakan sifat dapat diubah dari produk skalar: .

(4) Berikut adalah istilah serupa: .

(5) Pada suku pertama, kita menggunakan rumus skalar kuadrat, yang disebutkan belum lama ini. Dalam istilah terakhir, masing-masing, hal yang sama berfungsi: . Suku kedua diperluas menurut rumus standar .

(6) Substitusikan kondisi ini , dan HATI-HATI melakukan perhitungan akhir.

Menjawab:

Arti negatif perkalian titik menyatakan fakta bahwa sudut antara vektor adalah tumpul.

Tugasnya khas, berikut adalah contoh untuk solusi independen:

Contoh 4

Cari produk skalar dari vektor dan , jika diketahui bahwa .

Sekarang tugas umum lainnya, hanya untuk rumus panjang vektor baru. Sebutan di sini akan sedikit tumpang tindih, jadi untuk kejelasan, saya akan menulis ulang dengan huruf yang berbeda:

Contoh 5

Tentukan panjang vektor jika .

Keputusan akan menjadi sebagai berikut:

(1) Kami menyediakan ekspresi vektor .

(2) Kami menggunakan rumus panjang: , sementara kami memiliki ekspresi bilangan bulat sebagai vektor "ve".

(3) Kami menggunakan rumus sekolah untuk kuadrat dari jumlah tersebut. Perhatikan cara kerjanya yang aneh di sini: - pada kenyataannya, ini adalah kuadrat perbedaannya, dan, pada kenyataannya, memang demikian. Mereka yang ingin dapat mengatur ulang vektor di tempat: - ternyata hal yang sama hingga penataan ulang istilah.

(4) Berikut ini sudah familiar dari dua masalah sebelumnya.

Menjawab:

Karena kita berbicara tentang panjang, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - "satuan".

Contoh 6

Tentukan panjang vektor jika .

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi Lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Kami terus memeras hal-hal yang berguna dari produk skalar. Mari kita lihat rumus kita lagi . Dengan aturan proporsi, kami mengatur ulang panjang vektor ke penyebut sisi kiri:

Mari kita tukar bagian:

Apa arti dari rumus ini? Jika panjang dua vektor dan produk skalarnya diketahui, maka kosinus sudut antara vektor-vektor ini dapat dihitung, dan, akibatnya, sudut itu sendiri.

Apakah hasil kali skalar adalah bilangan? Nomor. Apakah panjang vektor adalah bilangan? Angka. Jadi pecahan juga merupakan bilangan. Dan jika kosinus sudut diketahui: , kemudian menggunakan fungsi terbalik mudah untuk menemukan sudut itu sendiri: .

Contoh 7

Temukan sudut antara vektor dan , jika diketahui .

Keputusan: Kami menggunakan rumus:

pada Babak final perhitungan, suatu teknik digunakan - penghapusan irasionalitas dalam penyebut. Untuk menghilangkan irasionalitas, saya mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan .

Jadi jika , kemudian:

Nilai terbalik fungsi trigonometri dapat ditemukan oleh tabel trigonometri. Meskipun hal ini jarang terjadi. Dalam masalah geometri analitik, beberapa beruang kikuk lebih sering muncul, dan nilai sudutnya harus dicari kira-kira menggunakan kalkulator. Bahkan, kita akan melihat gambar ini lagi dan lagi.

Menjawab:

Sekali lagi, jangan lupa untuk menentukan dimensi - radian dan derajat. Secara pribadi, untuk "menghapus semua pertanyaan" dengan sengaja, saya lebih suka menunjukkan keduanya (kecuali, tentu saja, dengan syarat, jawaban harus disajikan hanya dalam radian atau hanya dalam derajat).

Sekarang Anda dapat menangani lebih banyak tugas yang sulit:

Contoh 7*

Diberikan adalah panjang vektor , dan sudut di antara mereka . Cari sudut antara vektor , .

Tugasnya tidak begitu sulit seperti multi-arah.
Mari kita menganalisis algoritma solusi:

1) Menurut kondisinya, diperlukan untuk menemukan sudut antara vektor dan , jadi Anda perlu menggunakan rumus .

2) Kami menemukan produk skalar (lihat Contoh No. 3, 4).

3) Temukan panjang vektor dan panjang vektor (lihat Contoh No. 5, 6).

4) Akhir dari solusi bertepatan dengan Contoh No. 7 - kita tahu nomor , yang berarti mudah untuk menemukan sudut itu sendiri:

Solusi Cepat dan jawabannya di akhir pelajaran.

Bagian kedua dari pelajaran dikhususkan untuk produk titik yang sama. Koordinat. Ini akan lebih mudah daripada di bagian pertama.

perkalian titik vektor,
diberikan oleh koordinat dalam basis ortonormal

Menjawab:

Tak perlu dikatakan, berurusan dengan koordinat jauh lebih menyenangkan.

Contoh 14

Temukan produk skalar vektor dan jika

Ini adalah contoh do-it-yourself. Di sini Anda dapat menggunakan asosiatifitas operasi, yaitu, jangan hitung, tetapi segera keluarkan tiga kali lipat dari produk skalar dan kalikan dengan yang terakhir. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Di akhir paragraf, contoh provokatif menghitung panjang vektor:

Contoh 15

Cari panjang vektor , jika

Keputusan: lagi minta jalan bagian sebelumnya: , Tetapi ada cara lain:

Mari kita cari vektornya:

Dan panjangnya sesuai dengan rumus sepele :

Produk skalar sama sekali tidak relevan di sini!

Bagaimana keluar dari bisnis ketika menghitung panjang vektor:
Berhenti. Mengapa tidak memanfaatkan properti panjang yang jelas dari sebuah vektor? Apa yang dapat dikatakan tentang panjang vektor? Vektor ini 5 kali lebih panjang dari vektor. Arahnya berlawanan, tetapi tidak masalah, karena kita berbicara tentang panjang. Jelas, panjang vektor sama dengan produk modul angka per panjang vektor:
- tanda modul "memakan" kemungkinan minus dari nomor tersebut.

Dengan demikian:

Menjawab:

Rumus untuk kosinus sudut antara vektor yang diberikan oleh koordinat

Sekarang kita memiliki informasi yang lengkap sehingga rumus yang diturunkan sebelumnya untuk kosinus sudut antara vektor nyatakan dalam koordinat vektor:

Cosinus sudut antara vektor-vektor bidang dan , diberikan dalam basis ortonormal , dinyatakan dengan rumus:
.

Cosinus sudut antara vektor-vektor ruang, diberikan dalam basis ortonormal , dinyatakan dengan rumus:

Contoh 16

Tiga simpul dari sebuah segitiga diberikan. Temukan (sudut sudut ).

Keputusan: Dengan syarat, gambar tidak diperlukan, tetapi tetap:

Sudut yang diperlukan ditandai dengan busur hijau. Segera ingat penunjukan sekolah dari sudut: - Perhatian khusus pada tengah surat - ini adalah titik sudut yang kita butuhkan. Untuk singkatnya, bisa juga ditulis sederhana.

Dari gambar cukup jelas bahwa sudut segitiga bertepatan dengan sudut antara vektor dan , dengan kata lain: .

Sangat diharapkan untuk mempelajari bagaimana melakukan analisis yang dilakukan secara mental.

Mari kita cari vektornya:

Mari kita menghitung produk skalar:

Dan panjang vektor:

Cosinus suatu sudut:

Urutan tugas inilah yang saya rekomendasikan kepada para dummies. Pembaca yang lebih mahir dapat menulis perhitungan "dalam satu baris":

Berikut adalah contoh nilai cosinus yang "buruk". Nilai yang dihasilkan belum final, jadi tidak arti khusus singkirkan irasionalitas dalam penyebut.

Mari kita cari sudutnya:

Jika Anda melihat gambarnya, hasilnya cukup masuk akal. Untuk memeriksa sudut juga dapat diukur dengan busur derajat. Jangan merusak lapisan monitor =)

Menjawab:

Dalam jawabannya, jangan lupa itu ditanya tentang sudut segitiga(dan bukan tentang sudut antara vektor), jangan lupa untuk menunjukkan jawaban yang tepat: dan nilai perkiraan sudut: ditemukan dengan kalkulator.

Mereka yang telah menikmati prosesnya dapat menghitung sudut, dan memastikan persamaan kanonik itu benar

Contoh 17

Segitiga diberikan dalam ruang oleh koordinat titik-titiknya. Tentukan sudut antara sisi dan

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran

Bagian akhir kecil akan dikhususkan untuk proyeksi, di mana produk skalar juga "terlibat":

Proyeksi vektor ke vektor. Proyeksi vektor ke sumbu koordinat.
Kosinus arah vektor

Pertimbangkan vektor dan:

Kami memproyeksikan vektor ke vektor , untuk ini kami menghilangkan dari awal dan akhir vektor tegak lurus per vektor (garis putus-putus hijau). Bayangkan bahwa sinar cahaya jatuh tegak lurus pada sebuah vektor. Kemudian segmen (garis merah) akan menjadi "bayangan" dari vektor. Dalam hal ini, proyeksi vektor ke vektor adalah PANJANG segmen. Artinya, PROYEKSI ADALAH NOMOR.

NOMOR ini dilambangkan sebagai berikut: , "vektor besar" menunjukkan vektor YANG proyek, "vektor subskrip kecil" menunjukkan vektor DI ATAS yang diproyeksikan.

Entri itu sendiri berbunyi seperti ini: "proyeksi vektor "a" ke vektor "menjadi"".

Apa yang terjadi jika vektor "menjadi" adalah "terlalu pendek"? Kami menggambar garis lurus yang mengandung vektor "menjadi". Dan vektor "a" akan diproyeksikan ke arah vektor "menjadi", cukup - pada garis lurus yang mengandung vektor "menjadi". Hal yang sama akan terjadi jika vektor "a" disisihkan di kerajaan ketiga puluh - itu masih akan dengan mudah diproyeksikan ke garis yang mengandung vektor "menjadi".

Jika sudut antar vektor pedas(seperti pada gambar), maka

Jika vektor ortogonal, maka (proyeksi adalah titik yang dimensinya dianggap nol).

Jika sudut antar vektor tumpul(pada gambar, atur ulang panah vektor secara mental), lalu (panjangnya sama, tetapi diambil dengan tanda minus).

Sisihkan vektor-vektor ini dari satu titik:

Jelas, saat memindahkan vektor, proyeksinya tidak berubah

Sudut antara dua vektor , :

Jika sudut antara dua vektor lancip, maka hasil kali titiknya positif; jika sudut antara vektor-vektor tersebut tumpul, maka hasil kali skalar dari vektor-vektor tersebut adalah negatif. Produk skalar dari dua vektor bukan nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor ini ortogonal.

Latihan. Tentukan sudut antara vektor dan

Keputusan. Cosinus dari sudut yang diinginkan

16. Menghitung sudut antara garis lurus, garis lurus dan bidang

Sudut antara garis dan bidang memotong garis ini dan tidak tegak lurus terhadapnya adalah sudut antara garis dan proyeksinya ke bidang ini.

Menentukan sudut antara garis dan bidang memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara dua garis yang berpotongan: garis itu sendiri dan proyeksinya ke bidang. Oleh karena itu, sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip.

Sudut antara garis tegak lurus dan bidang dianggap sama, dan sudut antara garis sejajar dan bidang tidak ditentukan sama sekali, atau dianggap sama dengan .

69. Perhitungan sudut antara garis lurus.

Masalah menghitung sudut antara dua garis lurus dalam ruang diselesaikan dengan cara yang sama seperti pada bidang (§ 32). Dilambangkan dengan sudut antara garis aku 1 dan aku 2 , dan melalui - sudut antara vektor arah sebuah dan b garis-garis lurus ini.

Lalu jika

90° (Gbr. 206.6), maka = 180° - . Jelas bahwa dalam kedua kasus persamaan cos = |cos | benar. Dengan rumus (1) 20 kita memiliki

karena itu,

Biarkan garis diberikan oleh persamaan kanoniknya

Kemudian sudut antara garis ditentukan dengan menggunakan rumus

Jika salah satu garis (atau keduanya) diberikan oleh persamaan non-kanonik, maka untuk menghitung sudut, Anda perlu menemukan koordinat vektor arah garis-garis ini, dan kemudian menggunakan rumus (1).

17. Garis sejajar, Teorema pada garis sejajar

Definisi. Dua garis dalam satu bidang disebut paralel jika mereka tidak memiliki poin yang sama.

Dua garis dalam tiga dimensi disebut paralel jika mereka terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik yang sama.

Sudut antara dua vektor.

Dari definisi produk titik:

.

Syarat ortogonalitas dua vektor:

Kondisi kolinearitas untuk dua vektor:

.

Mengikuti dari definisi 5 - . Memang, dari definisi produk vektor dengan angka, berikut ini. Oleh karena itu, berdasarkan aturan kesetaraan vektor, kami menulis , , , Yang menyiratkan . Tetapi vektor yang dihasilkan dari perkalian suatu vektor dengan suatu bilangan adalah kolinear terhadap vektor tersebut .

Proyeksi vektor-ke-vektor:

.

Contoh 4. Diberikan titik , , , .

Temukan produk skalar.

Keputusan. kita temukan dengan rumus produk skalar vektor yang diberikan oleh koordinatnya. Sejauh

, ,

Contoh 5 Diberikan titik , , , .

Temukan proyeksi.

Keputusan. Sejauh

, ,

Berdasarkan rumus proyeksi, kita memiliki

.

Contoh 6 Diberikan titik , , , .

Tentukan sudut antara vektor dan .

Keputusan. Perhatikan bahwa vektor

, ,

tidak kolinear, karena koordinatnya tidak proporsional:

.

Vektor-vektor ini juga tidak tegak lurus, karena hasil kali titiknya adalah .

Mari kita temukan,

Injeksi temukan dari rumus:

.

Contoh 7 Tentukan vektor dan kolinear.

Keputusan. Dalam kasus kolinearitas, koordinat yang sesuai dari vektor dan harus proporsional, yaitu:

.

Dari sini dan .

Contoh 8. Tentukan berapa nilai vektor dan tegak lurus.

Keputusan. vektor dan tegak lurus jika hasil kali titiknya nol. Dari kondisi ini kita peroleh: . Itu adalah, .

Contoh 9. Mencari , jika , , .

Keputusan. Karena sifat-sifat produk skalar, kami memiliki:

Contoh 10. Temukan sudut antara vektor dan , Dimana dan - vektor satuan dan sudut antara vektor dan sama dengan 120o.

Keputusan. Kita punya: , ,

Akhirnya kami memiliki: .

5 B produk vektor.

Definisi 21.seni vektor vektor ke vektor disebut vektor , atau , didefinisikan oleh tiga kondisi berikut:

1) Modul vektor adalah , Dimana adalah sudut antara vektor dan , mis. .

Oleh karena itu, modulus produk vektor adalah numerik sama dengan luas jajaran genjang dibangun di atas vektor dan seperti di sisi.

2) Vektor tegak lurus terhadap masing-masing vektor dan ( ; ), yaitu. tegak lurus terhadap bidang jajar genjang dibangun di atas vektor dan .

3) Vektor diarahkan sedemikian rupa sehingga jika dilihat dari ujungnya, maka putaran terpendek dari vektor ke vektor adalah berlawanan arah jarum jam (vektor , , membentuk rangkap tiga).

Bagaimana cara menghitung sudut antar vektor?

Saat mempelajari geometri, banyak pertanyaan muncul tentang topik vektor. Siswa mengalami kesulitan tertentu ketika perlu untuk menemukan sudut antara vektor.

Istilah dasar

Sebelum membahas tentang sudut antar vektor, perlu dipahami terlebih dahulu definisi vektor dan konsep sudut antar vektor.

Vektor adalah segmen yang memiliki arah, yaitu segmen yang awal dan akhirnya ditentukan.

Sudut antara dua vektor pada bidang yang memiliki asal yang sama adalah sudut yang lebih kecil, yang diperlukan untuk memindahkan salah satu vektor di sekitar titik yang sama, ke posisi di mana arahnya bertepatan.

Rumus Solusi

Setelah Anda memahami apa itu vektor dan bagaimana sudutnya ditentukan, Anda dapat menghitung sudut antar vektor. Rumus solusi untuk ini cukup sederhana, dan hasil penerapannya akan menjadi nilai kosinus sudut. Menurut definisi, itu sama dengan hasil bagi produk skalar vektor dan produk panjangnya.

Produk skalar vektor dianggap sebagai jumlah dari koordinat yang sesuai dari vektor pengali dikalikan satu sama lain. Panjang vektor, atau modulusnya, dihitung sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya.

Setelah menerima nilai kosinus sudut, Anda dapat menghitung nilai sudut itu sendiri menggunakan kalkulator atau menggunakan tabel trigonometri.

Contoh

Setelah Anda mengetahui cara menghitung sudut antara vektor, solusi untuk masalah yang sesuai menjadi sederhana dan mudah. Sebagai contoh, perhatikan masalah sederhana untuk menemukan besar sudut.

Pertama-tama, akan lebih mudah untuk menghitung nilai panjang vektor dan produk skalarnya yang diperlukan untuk penyelesaian. Dengan menggunakan deskripsi di atas, kita mendapatkan:

Mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus, kami menghitung nilai cosinus dari sudut yang diinginkan:

Angka ini bukan salah satu dari lima nilai cosinus umum, jadi untuk mendapatkan nilai sudut, Anda harus menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri Bradis. Tetapi sebelum mendapatkan sudut antara vektor, rumusnya dapat disederhanakan untuk menghilangkan tanda negatif tambahan:

Jawaban akhir dapat dibiarkan dalam bentuk ini untuk menjaga akurasi, atau Anda dapat menghitung nilai sudut dalam derajat. Menurut tabel Bradis, nilainya akan menjadi sekitar 116 derajat dan 70 menit, dan kalkulator akan menunjukkan nilai 116,57 derajat.

Perhitungan sudut dalam ruang n-dimensi

Ketika mempertimbangkan dua vektor dalam ruang tiga dimensi, jauh lebih sulit untuk memahami sudut mana yang sedang kita bicarakan jika mereka tidak terletak pada bidang yang sama. Untuk menyederhanakan persepsi, Anda dapat menggambar dua segmen berpotongan yang membentuk sudut terkecil di antara mereka, dan itu akan menjadi yang diinginkan. Meskipun keberadaan koordinat ketiga dalam vektor, proses bagaimana sudut antara vektor dihitung tidak akan berubah. Hitung produk skalar dan modul vektor, arccosinus dari hasil bagi mereka dan akan menjadi jawaban untuk masalah ini.

Dalam geometri, masalah sering terjadi dengan ruang yang memiliki lebih dari tiga dimensi. Tetapi bagi mereka, algoritme untuk menemukan jawabannya terlihat serupa.

Perbedaan antara 0 dan 180 derajat

Salah satu kesalahan umum saat menulis jawaban untuk masalah yang dirancang untuk menghitung sudut antara vektor adalah keputusan untuk menulis bahwa vektor sejajar, yaitu, sudut yang diinginkan ternyata 0 atau 180 derajat. Jawaban ini tidak benar.

Setelah menerima nilai sudut 0 derajat sebagai hasil dari solusi, jawaban yang benar adalah menunjuk vektor sebagai co-directional, yaitu, vektor akan memiliki arah yang sama. Dalam hal memperoleh 180 derajat, vektor akan memiliki sifat arah yang berlawanan.

Vektor tertentu

Dengan menemukan sudut antara vektor, salah satu jenis khusus dapat ditemukan, selain yang diarahkan bersama dan berlawanan yang dijelaskan di atas.

• Beberapa vektor yang sejajar dengan satu bidang disebut koplanar.
• Vektor yang sama panjang dan arahnya disebut sama.
• Vektor yang terletak pada garis lurus yang sama, tanpa memperhatikan arah, disebut collinear.
• Jika panjang vektor adalah nol, yaitu awal dan akhir bertepatan, maka itu disebut nol, dan jika itu satu, maka itu disebut satu.

Bagaimana cara mencari sudut antara vektor?

tolong bantu aku! Saya tahu rumusnya tapi saya tidak bisa mengetahuinya
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Sudut antara vektor yang diberikan oleh koordinatnya ditemukan sesuai dengan algoritma standar. Pertama, Anda perlu mencari produk skalar dari vektor a dan b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Kami mengganti di sini koordinat vektor-vektor ini dan mempertimbangkan:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Selanjutnya, kita tentukan panjang masing-masing vektor. Panjang atau modulus suatu vektor adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya:
|a| = akar dari (x1^2 + y1^2 + z1^2) = akar dari (8^2 + 10^2 + 4^2) = akar dari (64 + 100 + 16) = akar dari 180 = 6 akar dari 5
|b| = akar kuadrat dari (x2^2 + y2^2 + z2^2) = akar kuadrat dari (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = akar kuadrat dari (25 + 400 + 100 ) = akar kuadrat dari 525 = 5 akar dari 21.
Kami mengalikan panjang ini. Kami mendapatkan 30 akar dari 105.
Dan akhirnya, kita membagi produk skalar vektor dengan produk dari panjang vektor-vektor ini. Kami mendapatkan -200 / (30 akar dari 105) atau
- (4 akar dari 105) / 63. Ini adalah kosinus sudut antara vektor. Dan sudut itu sendiri sama dengan arc cosinus dari angka ini
f \u003d arccos (-4 akar 105) / 63.
Jika saya menghitung dengan benar.

Cara menghitung sinus sudut antara vektor dari koordinat vektor

Mikhail Tkachev

Kami mengalikan vektor-vektor ini. Produk titik mereka sama dengan produk dari panjang vektor-vektor ini dan kosinus sudut di antara mereka.
Sudutnya tidak kita ketahui, tetapi koordinatnya diketahui.
Mari kita tulis secara matematis seperti ini.
Misalkan, diberikan vektor a(x1;y1) dan b(x2;y2)
Kemudian

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Kami berdebat.
a*b-skalar produk vektor sama dengan jumlah produk dari koordinat yang sesuai dari koordinat vektor-vektor ini, yaitu sama dengan x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produk dari panjang vektor sama dengan ((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Jadi kosinus sudut antara vektor adalah:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Mengetahui kosinus suatu sudut, kita dapat menghitung sinusnya. Mari kita bahas cara melakukannya:

Jika kosinus suatu sudut positif, maka sudut ini terletak pada 1 atau 4 perempat, jadi sinusnya positif atau negatif. Tetapi karena sudut antara vektor kurang dari atau sama dengan 180 derajat, maka sinusnya positif. Kami berpendapat sama jika cosinus negatif.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Itu saja)))) semoga berhasil mencari tahu)))

Dmitry Levishchev

Fakta bahwa tidak mungkin untuk membuat sinus secara langsung tidaklah benar.
Selain rumus:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Ada juga yang ini:
||=|a|*|b|*sin A
Artinya, alih-alih produk skalar, Anda dapat mengambil modul produk vektor.