Perhitungan batang bundar untuk lentur dengan puntiran. Tikungan spasial (kompleks)

Dalam hal menghitung batang bundar di bawah aksi lentur dan torsi (Gbr. 34.3), perlu untuk memperhitungkan tegangan normal dan geser, karena nilai tegangan maksimum dalam kedua kasus terjadi di permukaan. Perhitungan harus dilakukan sesuai dengan teori kekuatan, menggantikan keadaan tegangan kompleks dengan keadaan sederhana yang sama berbahayanya.

Tegangan torsi maksimum di bagian

Tegangan lentur maksimum di bagian

Menurut salah satu teori kekuatan, tergantung pada material balok, tegangan ekivalen untuk penampang berbahaya dihitung dan balok diuji kekuatannya menggunakan tegangan lentur yang diijinkan untuk material balok.

Untuk balok bulat, momen modulus penampang adalah sebagai berikut:

Saat menghitung menurut teori kekuatan ketiga, teori tegangan geser maksimum, tegangan ekivalen dihitung dengan rumus

Teori ini berlaku untuk bahan plastik.

Saat menghitung menurut teori energi pembentukan, tegangan ekivalen dihitung dengan rumus

Teori ini berlaku untuk bahan ulet dan getas.

teori tegangan geser maksimum:

Tegangan ekuivalen bila dihitung menurut teori energi perubahan bentuk:

dimana adalah momen ekivalen.

Kondisi kekuatan

Contoh pemecahan masalah

Contoh 1 Untuk keadaan tegangan tertentu (Gbr. 34.4), dengan menggunakan hipotesis tegangan geser maksimum, hitung faktor keamanan jika T \u003d 360 N / mm 2.

1. Apa ciri dan bagaimana keadaan tegangan pada suatu titik digambarkan?

2. Situs apa dan voltase apa yang disebut yang utama?

3. Sebutkan jenis-jenis keadaan stres.

4. Apa yang mencirikan keadaan cacat pada suatu titik?

5. Dalam kasus apa keadaan tegangan batas terjadi pada bahan yang ulet dan rapuh?

6. Berapa tegangan ekivalennya?

7. Menjelaskan tujuan teori kekuatan.

8. Tulislah rumus untuk menghitung tegangan ekivalen dalam perhitungan menurut teori tegangan geser maksimum dan teori energi deformasi. Jelaskan cara menggunakannya.

KULIAH 35

Topik 2.7. Perhitungan batang penampang lingkaran dengan kombinasi deformasi dasar

Ketahui rumus tegangan ekivalen menurut hipotesis tegangan tangensial terbesar dan energi deformasi.

Untuk dapat menghitung kekuatan penampang balok dengan kombinasi deformasi dasar.

Rumus untuk menghitung tegangan setara

Tegangan ekuivalen menurut hipotesis tegangan geser maksimum

Tegangan ekuivalen menurut hipotesis energi deformasi

Kondisi kekuatan di bawah aksi gabungan lentur dan torsi

di mana M EQ adalah momen ekivalen.

Momen ekivalen menurut hipotesis tegangan geser maksimum

Momen ekivalen menurut hipotesis energi perubahan bentuk

Fitur perhitungan poros

Kebanyakan poros mengalami kombinasi deformasi lentur dan torsional. Poros biasanya batang lurus dengan bagian bulat atau annular. Saat menghitung poros, tegangan geser dari aksi gaya transversal tidak diperhitungkan karena tidak signifikan.

Perhitungan dilakukan untuk penampang yang berbahaya. Di bawah pembebanan spasial poros, hipotesis independensi aksi gaya digunakan dan momen lentur dipertimbangkan dalam dua bidang yang saling tegak lurus, dan momen lentur total ditentukan dengan penjumlahan geometris.

Contoh pemecahan masalah

Contoh 1 Pada penampang yang berbahaya dari balok bundar, faktor gaya internal muncul (Gbr. 35.1) Mx; Ku; M z .

M x dan Ku- momen lentur pada bidang uoh dan zOx masing-masing; Mz- torsi. Periksa kekuatan menurut hipotesis tegangan geser terbesar, jika [ σ ] = 120MPa. Data awal: M x= 0,9 kN·m; M y = 0,8 kN·m; Mz = 2,2 kN*m; d= 60mm

Keputusan

Kami membangun diagram tegangan normal dari aksi momen lentur relatif terhadap sumbu Oh dan OU dan diagram tegangan geser dari puntir (Gbr. 35.2).

Tegangan geser maksimum terjadi di permukaan. Tegangan normal maksimum dari momen M x terjadi pada titik TETAPI, tegangan normal maksimum dari momen Ku pada intinya PADA. Tegangan normal bertambah karena momen lentur pada bidang yang saling tegak lurus dijumlahkan secara geometris.

Total momen lentur:

Kami menghitung momen ekivalen menurut teori tegangan geser maksimum:

Kondisi kekuatan:

Modulus bagian: W oce di oe \u003d 0.1 60 3 \u003d 21600mm 3.

Memeriksa kekuatan:

Ketahanan dijamin.

Contoh 2 Hitung diameter poros yang dibutuhkan dari kondisi kekuatan. Dua roda dipasang pada poros. Ada dua gaya melingkar yang bekerja pada roda: F t 1 = 1.2kN; F t 2= 2kN dan dua gaya radial pada bidang vertikal F r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (Gbr. 35.3). Diameter roda masing-masing sama d1= 0,1 m; d2= 0,06 m.

Terima untuk bahan poros [ σ ] = 50MPa.

Perhitungan dilakukan sesuai dengan hipotesis tegangan geser maksimum. Abaikan berat poros dan roda.

Keputusan

Petunjuk. Kami menggunakan prinsip independensi aksi gaya, menyusun skema desain poros di bidang vertikal dan horizontal. Kami menentukan reaksi dalam penopang pada bidang horizontal dan vertikal secara terpisah. Kami membuat diagram momen lentur (Gbr. 35.4). Di bawah aksi gaya melingkar, poros diputar. Tentukan torsi yang bekerja pada poros.

Mari kita buat skema perhitungan poros (Gbr. 35.4).

1. Torsi poros:

2. Kami menganggap tikungan di dua bidang: horizontal (pl. H) dan vertikal (pl. V).

Di bidang horizontal, kami menentukan reaksi dalam tumpuan:

Dengan dan PADA:

Di bidang vertikal, kami menentukan reaksi dalam tumpuan:

Tentukan momen lentur di titik C dan B:

Total momen lentur di titik C dan B:

Pada intinya PADA momen lentur maksimum, torsi juga bekerja di sini.

Perhitungan diameter poros dilakukan sesuai dengan bagian yang paling banyak dimuat.

3. Momen ekivalen di suatu titik PADA menurut teori kekuatan ketiga

4. Tentukan diameter poros dengan penampang melingkar dari kondisi kekuatan

Kami membulatkan nilai yang dihasilkan: d= 36mm

Catatan. Saat memilih diameter poros, gunakan kisaran diameter standar (Lampiran 2).

5. Kami menentukan dimensi poros yang diperlukan dengan bagian melingkar di c \u003d 0,8, di mana d adalah diameter luar poros.

Diameter poros annular dapat ditentukan dengan rumus:

Menerima d= 42mm.

Bebannya kecil. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6mm.

Bulatkan ke nilai dBH= 33mm

6. Mari kita bandingkan biaya logam dengan luas penampang poros dalam kedua kasus.

Luas penampang poros padat

Luas penampang poros berongga

Luas penampang poros padat hampir dua kali lipat dari poros annular:

Contoh 3. Tentukan dimensi penampang poros (Gbr. 2.70, sebuah) penggerak kendali. Gaya tarik pedal P3, gaya yang ditransmisikan oleh mekanisme P 1, R 2, R 4. Material poros - Baja StZ dengan kekuatan luluh t = 240 N/mm 2 , faktor keamanan yang dibutuhkan [ n] = 2.5. Perhitungan dilakukan sesuai dengan hipotesis energi perubahan bentuk.

Keputusan

Pertimbangkan keseimbangan poros, setelah membawa gaya R 1, R 2, R 3, R 4 ke titik-titik pada porosnya.

Memindahkan kekuatan R 1 sejajar dengan diri mereka sendiri menjadi poin Ke dan E, perlu untuk menambahkan pasangan gaya dengan momen yang sama dengan momen gaya R 1 relatif terhadap poin Ke dan E, yaitu

Pasangan gaya (momen) ini secara konvensional ditunjukkan pada Gambar. 2.70 , b berupa garis arkuata dengan anak panah. Demikian pula, ketika mentransfer kekuatan R2, R3, R4 ke poin K, E, L, N Anda perlu menambahkan pasangan kekuatan dengan momen

Bantalan poros ditunjukkan pada gambar. 2.70, a, harus dianggap sebagai penyangga berengsel spasial yang mencegah gerakan ke arah sumbu X dan pada(sistem koordinat yang dipilih ditunjukkan pada Gambar. 2.70, b).

Menggunakan skema perhitungan yang ditunjukkan pada Gambar. 2.70 di, kita buat persamaan kesetimbangan:

maka reaksi dukungan DI ATAS dan H B didefinisikan dengan benar.

Plot Torsi Mz dan momen lentur Ku disajikan dalam gambar. 2.70 G. Bagian di sebelah kiri titik L berbahaya.

Kondisi kekuatan memiliki bentuk:

di mana momen ekivalen menurut hipotesis energi perubahan bentuk

Diameter luar poros yang dibutuhkan

Kami menerima d \u003d 45 mm, lalu d 0 \u003d 0,8 * 45 \u003d 36 mm.

Contoh 4 Periksa kekuatan poros perantara (Gbr. 2.71) dari roda gigi pacu, jika poros mentransmisikan daya N= 12,2 kW pada kecepatan P= 355rpm Poros terbuat dari baja St5 dengan kekuatan luluh σ t \u003d 280 N / mm 2. Faktor keamanan yang diperlukan [ n] = 4. Saat menghitung, terapkan hipotesis tegangan geser tertinggi.

Petunjuk. Upaya Kabupaten R 1 dan R 2 terletak pada bidang horizontal dan diarahkan sepanjang garis singgung ke lingkaran roda gigi. Kekuatan radial T1 dan T2 terletak pada bidang vertikal dan dinyatakan dalam gaya melingkar yang sesuai sebagai berikut: T = 0,364R.

Keputusan

pada gambar. 2.71, sebuah gambar skema poros disajikan; dalam gambar. 2.71, b menunjukkan diagram poros dan gaya yang timbul pada roda gigi.

Tentukan momen yang ditransmisikan oleh poros:

Jelas sekali, m = m 1 = m 2(momen puntir yang diterapkan pada poros, dengan rotasi seragam, sama besarnya dan berlawanan arah).

Tentukan gaya-gaya yang bekerja pada roda gigi.

Upaya Kabupaten:

Kekuatan radial:

Pertimbangkan keseimbangan poros AB, kekuatan pra-membawa R 1 dan R 2 ke titik-titik yang terletak pada sumbu poros.

Memindahkan kekuatan R 1 sejajar dengan dirinya sendiri ke suatu titik L, perlu untuk menambahkan beberapa gaya dengan momen yang sama dengan momen gaya R 1 relatif terhadap titik L, yaitu

Pasangan gaya (momen) ini secara konvensional ditunjukkan pada Gambar. 2.71, di berupa garis arkuata dengan anak panah. Demikian pula, ketika mentransfer kekuatan R 2 tepat Ke perlu untuk melampirkan (menambahkan) beberapa kekuatan dengan momen

Bantalan poros ditunjukkan pada gambar. 2.71, sebuah, harus dianggap sebagai penyangga berengsel spasial yang mencegah gerakan linier ke arah sumbu X dan pada(sistem koordinat yang dipilih ditunjukkan pada Gambar. 2.71, b).

Menggunakan skema perhitungan yang ditunjukkan pada Gambar. 2.71, G, kami menyusun persamaan kesetimbangan untuk poros pada bidang vertikal:

Mari kita buat persamaan uji:

oleh karena itu, reaksi tumpuan pada bidang vertikal ditentukan dengan benar.

Pertimbangkan keseimbangan poros di bidang horizontal:

Mari kita buat persamaan uji:

oleh karena itu, reaksi tumpuan pada bidang horizontal ditentukan dengan benar.

Plot Torsi Mz dan momen lentur M x dan Ku disajikan dalam gambar. 2.71, d.

Berbahaya adalah bagiannya Ke(lihat gambar 2.71, G,d). Momen ekivalen menurut hipotesis tegangan geser terbesar

Tegangan ekuivalen menurut hipotesis tegangan geser terbesar untuk titik berbahaya poros

faktor keamanan

yang lebih banyak [ n] = 4, oleh karena itu, kekuatan poros dipastikan.

Saat menghitung kekuatan poros, perubahan tegangan dari waktu ke waktu tidak diperhitungkan, itulah sebabnya faktor keamanan yang signifikan diperoleh.

Contoh 5 Tentukan dimensi penampang balok (Gbr. 2.72, sebuah). Material balok adalah baja 30XGS dengan kekuatan luluh bersyarat dalam tarik dan tekan o, 2p = tr = 850 N/mm 2, 0.2 c = Tc = 965 N/mm 2. Faktor keamanan [ n] = 1,6.

Keputusan

Bilah bekerja pada aksi gabungan ketegangan (kompresi) dan torsi. Di bawah pembebanan seperti itu, dua faktor gaya internal muncul di penampang: gaya longitudinal dan torsi.

Plot gaya longitudinal N dan torsi Mz ditunjukkan pada gambar. 2.72, b, c. Dalam hal ini, tentukan posisi bagian berbahaya sesuai dengan diagram N dan Mz tidak mungkin, karena dimensi penampang balok berbeda. Untuk menentukan posisi penampang berbahaya, plot tegangan geser normal dan maksimum sepanjang balok harus diplot.

Menurut rumus

kami menghitung tegangan normal pada penampang balok dan membuat diagram o (Gbr. 2.72, G).

Menurut rumus

kami menghitung tegangan geser maksimum pada penampang balok dan memplot diagram t maksimal(nasi* 2.72, e).

Mungkin berbahaya adalah titik kontur dari penampang bagian AB dan CD(lihat gambar 2.72, sebuah).

pada gambar. 2.72, e plot ditampilkan σ dan τ untuk penampang penampang AB.

Ingatlah bahwa dalam kasus ini (balok penampang bulat bekerja pada aksi gabungan tegangan - kompresi dan torsi), semua titik kontur penampang sama-sama berbahaya.

pada gambar. 2.72, dengan baik

pada gambar. 2.72, h plot a dan t ditampilkan untuk penampang bagian CD.

pada gambar. 2.72, dan tegangan pada bantalan awal pada titik berbahaya ditampilkan.

Tekanan utama di titik berbahaya situs CD:

Menurut hipotesis kekuatan Mohr, tegangan ekivalen untuk titik berbahaya dari penampang yang ditinjau adalah

Titik kontur penampang AB ternyata berbahaya.

Kondisi kekuatan memiliki bentuk:

Contoh 2.76. Tentukan nilai gaya yang diijinkan R dari kondisi kekuatan batang Matahari(Gbr. 2.73) Bahan batang adalah besi tuang dengan kuat tarik vr = 150 N / mm 2 dan kuat tekan matahari = 450 N / mm 2. Faktor keamanan yang diperlukan [ n] = 5.

Petunjuk. Kayu rusak ABC terletak pada bidang horizontal, dan batang AB tegak lurus Matahari. Angkatan R, 2R, 8R berbaring di bidang vertikal; kekuatan 0,5 R, 1,6 R- mendatar dan tegak lurus batang matahari; kekuatan 10R, 16R berimpit dengan sumbu batang Matahari; sepasang gaya dengan momen m = 25Pd terletak pada bidang vertikal tegak lurus terhadap sumbu batang Matahari.

Keputusan

Ayo bawa kekuatan R dan 0,5P ke pusat gravitasi penampang B.

Memindahkan gaya P sejajar dengan dirinya sendiri ke titik B, kita harus menambahkan sepasang gaya dengan momen yang sama dengan momen gaya R relatif terhadap titik PADA, yaitu pasangan dengan momen m 1 = 10 hal.

Kekuatan 0,5R bergerak sepanjang garis kerjanya ke titik B.

Beban yang bekerja pada batang matahari, ditunjukkan pada gambar. 2.74 sebuah.

Kami membangun diagram faktor gaya internal untuk batang Matahari. Di bawah pembebanan batang yang ditentukan pada penampangnya, enam di antaranya muncul: gaya longitudinal N, gaya transversal Qx dan qy, torsi mz momen lentur Mx dan mu.

Plot N, Mz, Mx, Mu disajikan dalam gambar. 2.74 b(ordinat dari diagram dinyatakan dalam R dan d).

Plot Qy dan Qx kami tidak membangun, karena tegangan geser yang sesuai dengan gaya transversal kecil.

Dalam contoh di bawah ini, posisi bagian berbahaya tidak terlihat jelas. Agaknya, bagian K berbahaya (ujung bagian Saya) dan S.

Tegangan utama di titik L:

Menurut hipotesis kekuatan Mohr, tegangan ekivalen untuk titik L

Mari kita tentukan besar dan bidang aksi momen lentur Mi di bagian C, yang ditunjukkan secara terpisah pada gambar. 2.74 d. Gambar yang sama menunjukkan diagram I, N , τ untuk bagian C

Penekanan pada situs awal pada titik H(Gbr. 2.74, e)

Tegangan utama pada suatu titik H:

Menurut hipotesis kekuatan Mohr, tegangan ekivalen untuk suatu titik H

Tegangan pada lokasi awal di titik E (Gbr. 2.74, g):

Tegangan utama di titik E:

Menurut hipotesis kekuatan Mohr, tegangan ekivalen untuk titik E

Titik berbahaya L untuk itu

Kondisi kekuatan memiliki bentuk:

Kontrol pertanyaan dan tugas

1. Apa keadaan tegangan yang terjadi pada penampang poros di bawah aksi gabungan lentur dan torsi?

2. Tuliskan kondisi kekuatan untuk menghitung poros.

3. Tulislah rumus untuk menghitung momen ekivalen ketika menghitung hipotesis tegangan geser maksimum dan hipotesis energi deformasi.

4. Bagaimana bagian berbahaya dipilih saat menghitung poros?

Dalam hal menghitung batang bundar di bawah aksi lentur dan torsi (Gbr. 34.3), perlu untuk memperhitungkan tegangan normal dan geser, karena nilai tegangan maksimum dalam kedua kasus terjadi di permukaan. Perhitungan harus dilakukan sesuai dengan teori kekuatan, menggantikan keadaan tegangan kompleks dengan keadaan sederhana yang sama berbahayanya.

Tegangan torsi maksimum di bagian

Tegangan lentur maksimum di bagian

Menurut salah satu teori kekuatan, tergantung pada material balok, tegangan ekivalen untuk penampang berbahaya dihitung dan balok diuji kekuatannya menggunakan tegangan lentur yang diijinkan untuk material balok.

Untuk balok bulat, momen modulus penampang adalah sebagai berikut:

Saat menghitung menurut teori kekuatan ketiga, teori tegangan geser maksimum, tegangan ekivalen dihitung dengan rumus

Teori ini berlaku untuk bahan plastik.

Saat menghitung menurut teori energi pembentukan, tegangan ekivalen dihitung dengan rumus

Teori ini berlaku untuk bahan ulet dan getas.

teori tegangan geser maksimum:

Tegangan ekuivalen bila dihitung menurut teori energi perubahan bentuk:

dimana adalah momen ekivalen.

Kondisi kekuatan

Contoh pemecahan masalah

Contoh 1 Untuk keadaan tegangan tertentu (Gbr. 34.4), dengan menggunakan hipotesis tegangan geser maksimum, hitung faktor keamanan jika T \u003d 360 N / mm 2.

Kontrol pertanyaan dan tugas

1. Apa ciri dan bagaimana keadaan tegangan pada suatu titik digambarkan?

2. Situs apa dan voltase apa yang disebut yang utama?

3. Sebutkan jenis-jenis keadaan stres.

4. Apa yang mencirikan keadaan cacat pada suatu titik?

5. Dalam kasus apa keadaan tegangan batas terjadi pada bahan yang ulet dan rapuh?

6. Berapa tegangan ekivalennya?

7. Menjelaskan tujuan teori kekuatan.

8. Tulislah rumus untuk menghitung tegangan ekivalen dalam perhitungan menurut teori tegangan geser maksimum dan teori energi deformasi. Jelaskan cara menggunakannya.

KULIAH 35

Topik 2.7. Perhitungan batang penampang lingkaran dengan kombinasi deformasi dasar

Ketahui rumus tegangan ekivalen menurut hipotesis tegangan tangensial terbesar dan energi deformasi.

Untuk dapat menghitung kekuatan penampang balok dengan kombinasi deformasi dasar.

Informasi singkat dari teori

Balok berada dalam kondisi hambatan kompleks, jika beberapa faktor gaya internal tidak sama dengan nol pada saat yang sama di penampang.

Kasus-kasus pembebanan kompleks berikut ini merupakan kepentingan praktis terbesar:

1. Tikungan miring.

2. Membungkuk dengan tegangan atau kompresi saat melintang
penampang, gaya longitudinal dan momen lentur muncul, sebagai,
misalnya, dengan kompresi eksentrik balok.

3. Membungkuk dengan puntiran, ditandai dengan kehadiran paus
bagian sungai dari tekukan (atau dua tekukan) dan puntiran
momen.

Tikungan miring.

Tekuk miring adalah kasus lentur balok, di mana bidang aksi momen lentur total pada penampang tidak bertepatan dengan sumbu utama inersia mana pun. Sebuah tikungan miring paling mudah dianggap sebagai pembengkokan simultan balok di dua bidang utama zoy dan zox, di mana sumbu z adalah sumbu balok, dan sumbu x dan y adalah sumbu pusat utama dari penampang.

Pertimbangkan balok kantilever penampang persegi panjang, dimuat dengan gaya P (Gbr. 1).

Memperluas gaya P di sepanjang sumbu pusat utama penampang, kami memperoleh:

R y \u003d R cos , R x \u003d R sin

Momen lentur terjadi pada penampang balok saat ini

M x \u003d - P y z \u003d - P z cos ,

M y \u003d P x z \u003d P z sin .

Tanda momen lentur M x ditentukan dengan cara yang sama seperti dalam kasus tekukan langsung. Momen M y akan dianggap positif jika pada titik-titik dengan nilai koordinat x positif momen ini menyebabkan tegangan tarik. Omong-omong, tanda momen M y mudah ditentukan dengan analogi dengan definisi tanda momen lentur M x, jika Anda secara mental memutar bagian sehingga sumbu x bertepatan dengan arah awal sumbu y .

Tegangan pada titik sembarang dari penampang balok dapat ditentukan dengan menggunakan rumus untuk menentukan tegangan untuk kasus tikungan datar. Berdasarkan prinsip independensi aksi gaya, kami merangkum tegangan yang disebabkan oleh masing-masing momen lentur

(1)

Nilai momen lentur (dengan tanda-tandanya) dan koordinat titik di mana tegangan dihitung diganti ke dalam ekspresi ini.

Untuk menentukan titik-titik berbahaya bagian, perlu untuk menentukan posisi garis nol atau netral (tempat titik-titik bagian, di mana tegangan = 0). Tegangan maksimum terjadi pada titik-titik terjauh dari garis nol.

Persamaan garis nol diperoleh dari persamaan (1) pada =0:

maka garis nol melewati pusat gravitasi penampang.

Tegangan geser yang timbul pada penampang balok (pada Q x 0 dan Q y 0), sebagai suatu peraturan, dapat diabaikan. Jika ada kebutuhan untuk menentukannya, maka komponen tegangan geser total x dan y pertama-tama dihitung menurut rumus D.Ya. Zhuravsky, dan kemudian diringkas secara geometris:

Untuk menilai kekuatan balok, perlu untuk menentukan tegangan normal maksimum di bagian berbahaya. Karena keadaan tegangan adalah uniaksial pada titik yang paling banyak dibebani, kondisi kekuatan dalam perhitungan dengan metode tegangan yang diijinkan mengambil bentuk

Untuk bahan plastik

Untuk bahan getas

n adalah faktor keamanan.

Jika perhitungan dilakukan sesuai dengan metode keadaan batas, maka kondisi kekuatan memiliki bentuk:

di mana R adalah resistansi desain,

m adalah koefisien kondisi kerja.

Dalam kasus di mana material balok menahan tarik dan tekan secara berbeda, perlu untuk menentukan tegangan tarik maksimum dan tekan maksimum, dan membuat kesimpulan tentang kekuatan balok dari rasio:

di mana R p dan R c masing-masing adalah resistansi desain material dalam tarik dan tekan.

Untuk menentukan defleksi balok, akan lebih mudah untuk terlebih dahulu menemukan perpindahan bagian di bidang utama dalam arah sumbu x dan y.

Perhitungan perpindahan ini x dan y dapat dilakukan dengan membuat persamaan universal untuk sumbu bengkok balok atau dengan metode energi.

Lendutan total dapat ditemukan sebagai jumlah geometris:

kondisi kekakuan balok memiliki bentuk :

di mana - adalah defleksi balok yang diizinkan.

Kompresi eksentrik

Dalam hal ini, gaya P yang menekan balok diarahkan sejajar dengan sumbu balok dan diterapkan pada suatu titik yang tidak bertepatan dengan pusat gravitasi penampang. Misalkan X p dan Y p adalah koordinat titik penerapan gaya P, diukur relatif terhadap sumbu pusat utama (Gbr. 2).

Beban kerja menyebabkan faktor gaya internal berikut muncul di penampang: N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

Tanda-tanda momen lentur negatif, karena yang terakhir menyebabkan kompresi pada titik-titik milik kuartal pertama. Tegangan pada titik sembarang dari bagian ditentukan oleh ekspresi

(9)

Mengganti nilai N, Mx dan My, kita dapatkan

(10)

Karena Yx= F, Yy= F (di mana i x dan i y adalah jari-jari inersia utama), ekspresi terakhir dapat direduksi menjadi bentuk

(11)

Persamaan garis nol diperoleh dengan menetapkan =0

1+ (12)

Dipotong oleh garis nol pada sumbu koordinat segmen dan , dinyatakan sebagai berikut:

Dengan menggunakan dependensi (13), orang dapat dengan mudah menemukan posisi garis nol di bagian (Gbr. 3), setelah itu titik-titik paling jauh dari garis ini ditentukan, yang berbahaya, karena tekanan maksimum muncul di dalamnya.

Keadaan tegangan pada titik-titik penampang adalah uniaksial, oleh karena itu kondisi kekuatan balok mirip dengan kasus pembengkokan miring balok yang dipertimbangkan sebelumnya - rumus (5), (6).

Dengan kompresi eksentrik dari batang-batang, bahan yang menahan regangan lemah, diinginkan untuk mencegah munculnya tegangan tarik pada penampang. Di bagian tersebut, tegangan dengan tanda yang sama akan muncul jika garis nol lewat di luar bagian atau, dalam kasus ekstrim, menyentuhnya.

Kondisi ini terpenuhi bila gaya tekan diterapkan di dalam daerah yang disebut inti penampang. Inti penampang adalah daerah yang menutupi pusat gravitasi penampang dan dicirikan oleh fakta bahwa setiap gaya longitudinal yang diterapkan di dalam zona ini menyebabkan tegangan dengan tanda yang sama di semua titik batang.

Untuk membangun inti bagian, perlu untuk mengatur posisi garis nol sehingga menyentuh bagian tanpa memotongnya di mana pun, dan menemukan titik yang sesuai dari penerapan gaya P. Setelah menggambar keluarga garis singgung ke bagian, kami memperoleh satu set kutub yang sesuai dengannya, yang lokusnya akan memberikan garis besar (kontur) bagian inti.

Mari, misalnya, bagian yang ditunjukkan pada Gambar. 4 dengan sumbu pusat utama x dan y.

Untuk membangun inti bagian, kami memberikan lima garis singgung, empat di antaranya bertepatan dengan sisi AB, DE, EF dan FA, dan yang kelima menghubungkan titik B dan D. Dengan mengukur atau menghitung dari potongan, potong oleh yang ditunjukkan garis singgung I-I, . . . ., 5-5 pada sumbu x, y dan mensubstitusi nilai-nilai ini dalam ketergantungan (13), kami menentukan koordinat x p, y p untuk lima kutub 1, 2 .... 5, sesuai dengan lima posisi garis nol. Garis singgung I-I dapat dipindahkan ke posisi 2-2 dengan cara berputar di sekitar titik A, sedangkan kutub I harus bergerak lurus dan, sebagai akibat dari putaran garis singgung, menuju ke titik 2. Oleh karena itu, semua kutub yang bersesuaian dengan posisi tengah dari garis singgung antara I-I dan 2-2 akan ditempatkan pada 1-2 langsung. Demikian pula, seseorang dapat membuktikan bahwa sisi lain dari inti bagian juga akan persegi panjang, mis. inti bagian adalah poligon, untuk konstruksi yang cukup untuk menghubungkan kutub 1, 2, ... 5 dengan garis lurus.

Membungkuk dengan puntiran batang bundar.

Ketika menekuk dengan torsi pada penampang balok, dalam kasus umum, lima faktor gaya internal tidak sama dengan nol: M x, M y, M k, Q x dan Q y. Namun, dalam banyak kasus, pengaruh gaya geser Q x dan Q y dapat diabaikan jika penampang tidak berdinding tipis.

Tegangan normal pada suatu penampang dapat ditentukan dari besarnya momen lentur yang dihasilkan

karena sumbu netral tegak lurus terhadap rongga aksi momen M u .

pada gambar. Gambar 5 menunjukkan momen lentur M x dan M y sebagai vektor (arah M x dan M y dipilih positif, yaitu sedemikian rupa sehingga pada titik-titik kuadran pertama bagian, tegangan tarik).

Arah vektor M x dan M y dipilih sehingga pengamat, melihat dari ujung vektor, melihat arahnya berlawanan arah jarum jam. Dalam hal ini, garis netral bertepatan dengan arah vektor momen yang dihasilkan M u, dan titik-titik yang paling banyak dimuat dari bagian A dan B terletak pada bidang aksi momen ini.

Bending dipahami sebagai jenis pembebanan di mana momen lentur terjadi pada penampang balok. Jika momen lentur pada penampang merupakan satu-satunya faktor gaya, maka lentur disebut murni. Jika, bersama dengan momen lentur, gaya transversal juga muncul pada penampang balok, maka tikungan itu disebut melintang.

Diasumsikan bahwa momen lentur dan gaya transversal terletak pada salah satu bidang utama balok (kita asumsikan bahwa bidang ini adalah ZOY). Tikungan seperti itu disebut datar.

Dalam semua kasus yang dipertimbangkan di bawah ini, terjadi pembengkokan melintang datar pada balok.

Untuk menghitung kekuatan atau kekakuan suatu balok, perlu diketahui faktor gaya dalam yang timbul pada penampangnya. Untuk tujuan ini, diagram gaya transversal (epure Q) dan momen lentur (M) dibuat.

Saat menekuk, sumbu bujursangkar balok ditekuk, sumbu netral melewati pusat gravitasi bagian. Untuk kepastian, ketika membangun diagram gaya transversal momen lentur, kami menetapkan aturan tanda untuk mereka. Mari kita asumsikan bahwa momen lentur akan dianggap positif jika elemen balok dibengkokkan dengan konveksitas ke bawah, mis. sedemikian rupa sehingga serat terkompresi berada di atas.

Jika momen membengkokkan balok dengan tonjolan ke atas, maka momen ini akan dianggap negatif.

Nilai positif momen lentur selama plot diplot, seperti biasa, ke arah sumbu Y, yang sesuai dengan plot pada serat terkompresi.

Oleh karena itu, aturan tanda untuk diagram momen lentur dapat dirumuskan sebagai berikut: koordinat momen diplot dari sisi lapisan balok.

Momen lentur pada suatu penampang sama dengan jumlah momen relatif terhadap penampang ini dari semua gaya yang terletak pada satu sisi (setiap) penampang tersebut.

Untuk menentukan gaya transversal (Q), kami menetapkan aturan tanda: gaya transversal dianggap positif jika gaya eksternal cenderung memutar bagian potong balok searah jarum jam. panah relatif terhadap titik sumbu yang sesuai dengan bagian yang digambar.

Gaya transversal (Q) pada penampang sewenang-wenang balok secara numerik sama dengan jumlah proyeksi ke sumbu OU dari gaya eksternal yang diterapkan pada bagian terpotongnya.

Pertimbangkan beberapa contoh plotting gaya transversal momen lentur. Semua gaya tegak lurus terhadap sumbu balok, sehingga komponen horizontal reaksi adalah nol. Sumbu deformasi balok dan gaya terletak pada bidang utama ZOY.

Panjang balok dijepit oleh ujung kiri dan dibebani dengan gaya terpusat F dan momen m=2F.

Kami membuat diagram gaya transversal Q dan momen lentur M dari.

Dalam kasus kami, tidak ada kendala yang dikenakan pada balok di sisi kanan. Oleh karena itu, agar tidak menentukan reaksi tumpuan, disarankan untuk mempertimbangkan keseimbangan bagian potong kanan balok. Balok yang diberikan memiliki dua area beban. Batas-batas bagian-bagian di mana gaya eksternal diterapkan. 1 bagian - NE, 2 - VA.

Kami melakukan bagian sewenang-wenang di bagian 1 dan mempertimbangkan keseimbangan bagian cut-off kanan dengan panjang Z 1.

Dari kondisi kesetimbangan berikut:

T=F; M keluar = -fz 1 ()

Gaya gesernya positif, karena gaya luar F cenderung memutar bagian yang terpotong searah jarum jam. Momen lentur dianggap negatif, karena itu membengkokkan bagian balok yang dipertimbangkan dengan kecembungan ke atas.

Saat menyusun persamaan keseimbangan, kami secara mental memperbaiki tempat bagian; dari persamaan ( ) berikut bahwa gaya transversal pada bagian I tidak bergantung pada Z 1 dan merupakan nilai konstan. Gaya positif Q=F diperbesar dari garis tengah balok, tegak lurus terhadapnya.

Momen lentur tergantung pada Z 1 .

Ketika Z 1 \u003d O M dari \u003d O di Z 1 \u003d M dari \u003d

Nilai yang dihasilkan () disisihkan, mis. diagram M dari dibangun di atas serat terkompresi.

Mari kita lanjutkan ke bagian kedua

Kami memotong bagian II pada jarak sewenang-wenang Z 2 dari ujung kanan bebas balok dan mempertimbangkan keseimbangan bagian cut-off dengan panjang Z 2. Perubahan gaya geser dan momen lentur berdasarkan kondisi kesetimbangan dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:

Q=FM dari = - FZ 2 +2F

Besar dan tanda gaya transversal tidak berubah.

Besarnya momen lentur tergantung pada Z 2 .

Di Z 2 = M dari =, di Z 2 =

Momen lentur ternyata positif, baik di awal seksi II maupun di ujungnya. Pada bagian II, balok menekuk dengan tonjolan ke bawah.

Sisihkan pada skala besarnya momen ke atas garis tengah balok (yaitu, diagram dibangun di atas serat terkompresi). Momen lentur terbesar terjadi pada penampang di mana momen luar m diterapkan dan sama dengan nilai mutlak untuk

Perhatikan bahwa sepanjang balok, di mana Q tetap konstan, momen lentur M berubah secara linier dan digambarkan pada plot dengan garis lurus miring. Dari diagram Q dan M dapat dilihat bahwa pada bagian di mana gaya transversal eksternal diterapkan, diagram Q memiliki lompatan dengan nilai gaya ini, dan diagram M dari memiliki ketegaran. Di bagian di mana momen lentur eksternal diterapkan, diagram Miz memiliki lompatan dengan nilai momen ini. Ini tidak tercermin dalam plot Q. Dari diagram M dari kita melihat bahwa

maksimal M keluar =

oleh karena itu, bagian berbahaya sangat dekat di sisi kiri dengan apa yang disebut.

Untuk balok yang ditunjukkan pada Gambar 13, a, buat diagram gaya transversal dan momen lentur. Panjang balok dibebani dengan beban yang terdistribusi merata dengan intensitas q(KN/cm).

Pada tumpuan A (engsel tetap) akan terjadi reaksi vertikal R a (reaksi mendatar adalah nol), dan pada tumpuan B (engsel bergerak) terjadi reaksi vertikal R v.

Mari kita tentukan reaksi vertikal tumpuan dengan menyusun persamaan momen relatif terhadap tumpuan A dan B.

Mari kita periksa kebenaran definisi reaksi:

itu. reaksi pendukung didefinisikan dengan benar.

Balok yang diberikan memiliki dua bagian pembebanan: Bagian I - AC.

Bagian II - NE.

Pada bagian pertama a, di bagian saat ini Z 1, dari kondisi keseimbangan bagian cut-off, kami memiliki:

Persamaan momen lentur pada 1 penampang balok:

Momen dari reaksi R a membengkokkan balok di bagian 1, cembung ke bawah, sehingga momen lentur dari reaksi Ra dimasukkan ke dalam persamaan dengan tanda plus. Beban qZ 1 membengkokkan balok dengan konveksitas ke atas, sehingga momen darinya dimasukkan ke dalam persamaan dengan tanda minus. Momen lentur berubah sesuai dengan hukum parabola persegi.

Oleh karena itu, perlu untuk mengetahui apakah ada ekstrem. Ada ketergantungan diferensial antara gaya transversal Q dan momen lentur, yang akan kita analisis lebih lanjut

Seperti yang Anda ketahui, fungsi memiliki ekstrem di mana turunannya sama dengan nol. Oleh karena itu, untuk menentukan berapa nilai Z 1, momen lentur akan menjadi ekstrem, perlu menyamakan persamaan gaya transversal menjadi nol.

Karena gaya transversal berubah tanda dari plus ke minus di bagian ini, momen lentur di bagian ini akan maksimum. Jika Q berubah tanda dari minus ke plus, maka momen lentur pada bagian ini akan minimal.

Jadi momen lentur pada

adalah maksimum.

Oleh karena itu, kami membangun parabola di tiga titik

Ketika Z 1 \u003d 0 M dari \u003d 0

Kami memotong bagian kedua pada jarak Z 2 dari tumpuan B. Dari kondisi keseimbangan bagian cut-off kanan balok, kami memiliki:

Ketika Q = konstan,

momen lentur menjadi:

di, di, yaitu SAYA DARI

berubah secara linier.

Sebuah balok pada dua tumpuan, memiliki bentang sama dengan 2 dan konsol kiri dengan panjang, dibebani seperti ditunjukkan pada Gambar 14, a., Di mana q (Kn / cm) adalah beban linier. Penopang A dipasang secara pivot, penopang B adalah rol yang dapat digerakkan. Bangun plot Q dan M dari.

Pemecahan masalah harus dimulai dengan penentuan reaksi pendukung. Dari syarat bahwa jumlah proyeksi semua gaya pada sumbu Z sama dengan nol, maka komponen horizontal reaksi pada tumpuan A adalah 0.

Untuk memeriksa, kami menggunakan persamaan

Persamaan kesetimbangan terpenuhi, oleh karena itu, reaksi dihitung dengan benar. Kami beralih ke definisi faktor kekuatan internal. Balok yang diberikan memiliki tiga area beban:

• 1 bagian - SA,
• bagian 2 - AD,
• 3 bagian - DV.

Kami memotong 1 bagian pada jarak Z 1 dari ujung kiri balok.

di Z 1 \u003d 0 Q \u003d 0 M DARI \u003d 0

di Z 1 \u003d Q \u003d -q M IZ \u003d

Jadi, pada diagram gaya transversal, diperoleh garis lurus miring, dan pada diagram momen lentur, diperoleh parabola, yang puncaknya terletak di ujung kiri balok.

Pada bagian II (a Z 2 2a), untuk menentukan faktor gaya internal, pertimbangkan keseimbangan bagian cut-off kiri balok dengan panjang Z 2 . Dari kondisi kesetimbangan kita peroleh:

Gaya transversal di daerah ini adalah konstan.

Pada bagian III()

Dari diagram kita melihat bahwa momen lentur terbesar terjadi pada penampang di bawah gaya F dan sama dengan. Bagian ini akan menjadi yang paling berbahaya.

Pada diagram M dari ada lompatan pada tumpuan B, sama dengan momen eksternal yang diterapkan pada bagian ini.

Mempertimbangkan diagram yang dibangun di atas, tidak sulit untuk memperhatikan hubungan reguler tertentu antara diagram momen lentur dan diagram gaya transversal. Mari kita buktikan.

Turunan gaya transversal sepanjang balok sama dengan modulus intensitas beban.

Membuang nilai orde kekecilan yang lebih tinggi, kita mendapatkan:

itu. gaya transversal adalah turunan dari momen lentur sepanjang balok.

Dengan mempertimbangkan ketergantungan diferensial yang diperoleh, kesimpulan umum dapat ditarik. Jika balok dibebani dengan beban yang terdistribusi merata dengan intensitas q=konst, jelaslah, fungsi Q akan linier, dan M dari - kuadrat.

Jika balok dibebani dengan gaya atau momen terkonsentrasi, maka dalam interval antara titik-titik penerapannya, intensitas q=0. Oleh karena itu, Q=const, dan M dari adalah fungsi linier dari Z. Pada titik-titik penerapan gaya terkonsentrasi, diagram Q mengalami lompatan dengan nilai gaya eksternal, dan pada diagram M dari, terjadi pemutusan yang sesuai (celah dalam turunan).

Di tempat penerapan momen lentur eksternal, ada celah pada diagram momen, yang besarnya sama dengan momen yang diterapkan.

Jika Q>0, maka M dari tumbuh, dan jika Q<0, то М из убывает.

Ketergantungan diferensial digunakan untuk memeriksa persamaan yang disusun untuk memplot Q dan M dari, serta untuk memperjelas bentuk diagram ini.

Momen lentur berubah sesuai dengan hukum parabola, yang konveksitasnya selalu diarahkan ke beban eksternal.

Pengantar.

Bending adalah jenis deformasi yang ditandai dengan kelengkungan (perubahan kelengkungan) dari sumbu atau permukaan tengah dari objek yang dapat dideformasi (batang, balok, pelat, cangkang, dll.) di bawah pengaruh gaya atau suhu eksternal. Lentur berhubungan dengan terjadinya momen lentur pada penampang balok. Jika hanya salah satu dari enam faktor gaya internal di bagian balok yang tidak nol, tikungan disebut murni:

Jika, selain momen lentur, gaya transversal juga bekerja pada penampang balok, tikungan disebut transversal:

Dalam praktik teknik, kasus tekukan khusus juga dipertimbangkan - longitudinal I. ( Nasi. satu, c), dicirikan oleh tekuk batang di bawah aksi gaya tekan longitudinal. Aksi simultan dari gaya-gaya yang diarahkan sepanjang sumbu batang dan tegak lurus terhadapnya menyebabkan pembengkokan longitudinal-transversal ( Nasi. satu, G).

Beras. 1. Tekuk balok: a - murni: b - melintang; dalam - memanjang; g - memanjang-melintang.

Batang yang membengkok disebut balok. Sebuah tikungan disebut datar jika sumbu balok tetap garis datar setelah deformasi. Bidang sumbu lengkung balok disebut bidang lentur. Bidang aksi gaya beban disebut bidang gaya. Jika bidang gaya bertepatan dengan salah satu bidang utama inersia penampang, tikungan disebut lurus. (Jika tidak ada tikungan miring). Bidang inersia utama penampang adalah bidang yang dibentuk oleh salah satu sumbu utama penampang dengan sumbu longitudinal balok. Pada pembengkokan lurus datar, bidang lentur dan bidang gaya berimpit.

Masalah puntiran dan tekukan balok (masalah Saint-Venant) sangat menarik secara praktis. Penerapan teori lentur yang ditetapkan oleh Navier merupakan cabang mekanika struktural yang luas dan sangat penting secara praktis, karena berfungsi sebagai dasar untuk menghitung dimensi dan memeriksa kekuatan berbagai bagian struktur: balok, jembatan, elemen mesin , dll.

PERSAMAAN DASAR DAN MASALAH TEORI ELASTISITAS

1. persamaan dasar

Pertama, kami memberikan ringkasan umum dari persamaan dasar untuk masalah keseimbangan benda elastis, yang merupakan isi dari bagian teori elastisitas, biasanya disebut statika benda elastis.

Keadaan benda yang terdeformasi sepenuhnya ditentukan oleh tensor medan regangan atau medan perpindahan Komponen tensor regangan terkait dengan perpindahan dengan ketergantungan Cauchy diferensial:

(1)

Komponen tensor regangan harus memenuhi dependensi diferensial Saint-Venant:

yang merupakan syarat perlu dan syarat cukup untuk integrasi persamaan (1).

Keadaan stres tubuh ditentukan oleh tensor medan tegangan Enam komponen independen dari tensor simetris () harus memenuhi tiga persamaan kesetimbangan diferensial:

Komponen tensor tegangan dan pemindahan dihubungkan oleh enam persamaan hukum Hooke:

Dalam beberapa kasus, persamaan hukum Hooke harus digunakan dalam bentuk rumus

, (5)

Persamaan (1)-(5) merupakan persamaan dasar masalah statik dalam teori elastisitas. Kadang-kadang persamaan (1) dan (2) disebut persamaan geometri, persamaan ( 3) - persamaan statis, dan persamaan (4) atau (5) - persamaan fisik. Untuk persamaan dasar yang menentukan keadaan benda elastis linier pada titik internal volume, perlu menambahkan kondisi pada permukaannya, yang disebut kondisi batas. Mereka ditentukan baik oleh gaya permukaan eksternal yang diberikan atau gerakan yang diberikan titik permukaan tubuh. Dalam kasus pertama, kondisi batas dinyatakan dengan persamaan:

di mana komponen vektor? t kekuatan permukaan, adalah komponen dari vektor satuan P, diarahkan sepanjang normal luar ke permukaan pada titik yang sedang dipertimbangkan.

Dalam kasus kedua, kondisi batas dinyatakan dengan persamaan

di mana adalah fungsi yang didefinisikan di permukaan.

Kondisi batas juga dapat dicampur, bila pada satu bagian gaya permukaan eksternal diberikan pada permukaan tubuh dan di sisi lain perpindahan permukaan tubuh diberikan:

Jenis kondisi batas lainnya juga dimungkinkan. Misalnya, pada bagian tertentu dari permukaan tubuh, hanya beberapa komponen vektor perpindahan yang ditentukan dan, sebagai tambahan, tidak semua komponen vektor gaya permukaan juga ditentukan.

2. Masalah utama statika benda elastis

Tergantung pada jenis kondisi batas, tiga jenis masalah statis dasar teori elastisitas dibedakan.

Masalah utama dari tipe pertama adalah menentukan komponen tensor medan tegangan di dalam wilayah , ditempati oleh tubuh, dan komponen vektor perpindahan titik-titik di dalam area dan titik permukaan benda menurut gaya massa yang diberikan dan kekuatan permukaan

Sembilan fungsi yang diinginkan harus memenuhi persamaan dasar (3) dan (4), serta kondisi batas (6).

Tugas utama dari tipe kedua adalah menentukan perpindahan poin di dalam area dan komponen tensor medan tegangan sesuai dengan gaya massa yang diberikan dan menurut perpindahan yang diberikan pada permukaan tubuh.

Mencari fitur dan harus memenuhi persamaan dasar (3) dan (4) dan kondisi batas (7).

Perhatikan bahwa kondisi batas (7) mencerminkan persyaratan untuk kontinuitas fungsi yang ditentukan di perbatasan tubuh, yaitu ketika titik interior cenderung ke beberapa titik di permukaan, fungsi harus cenderung ke nilai tertentu pada titik tertentu di permukaan.

Masalah utama dari tipe ketiga atau masalah campuran adalah, mengingat gaya permukaan pada satu bagian permukaan tubuh dan menurut perpindahan yang diberikan pada bagian lain dari permukaan tubuh dan juga, secara umum, menurut gaya tubuh yang diberikan diperlukan untuk menentukan komponen tegangan dan perpindahan tensor , memenuhi persamaan dasar (3) dan (4) di bawah kondisi batas campuran (8).

Setelah memperoleh solusi dari masalah ini, adalah mungkin untuk menentukan, khususnya, gaya ikatan pada , yang harus diterapkan pada titik-titik permukaan untuk mewujudkan perpindahan yang diberikan pada permukaan ini, dan juga memungkinkan untuk menghitung perpindahan titik-titik permukaan . Kursus >> Industri, produksi

Dengan panjang kayu, kemudian balok cacat. Deformasi kayu disertai secara bersamaan oleh ... kayu, polimer, dll. Ketika membengkokkan kayu bertumpu pada dua penyangga... membengkokkan akan ditandai dengan panah defleksi. Dalam hal ini, tegangan tekan di bagian cekung kayu ...

Keuntungan dari terpaku kayu dalam konstruksi bertingkat rendah

Abstrak >> Konstruksi

Dipecahkan saat menggunakan diprofilkan terpaku kayu. Kayu laminasi dalam bantalan beban... , tidak melengkung atau tikungan. Hal ini disebabkan kurangnya... transportasi bahan bakar. 5. Permukaan terpaku kayu dibuat sesuai dengan semua teknologi ...