Aplikasi kursus integral.

Geser 9

Pengulangan materi teoritis

Bagaimana menemukan luas dari gambar yang ditunjukkan?

Geser 10

Kami terus mengulang

geser 11

Aplikasi integral

Selain itu, integral tertentu digunakan untuk menghitung luas bangun datar, volume benda revolusi, dan panjang busur kurva.

geser 12

Perhitungan volume tubuh

Misalkan sebuah benda bervolume V diberikan, dan ada garis sedemikian rupa sehingga, tidak peduli bidang apa yang tegak lurus terhadap garis ini yang kita ambil, kita mengetahui luas S dari bagian benda oleh bidang ini. Tetapi sebuah bidang yang tegak lurus terhadap sumbu x memotongnya di suatu titik x. Oleh karena itu, setiap angka x (dari segmen [a; b]) ditetapkan tunggal S (x) - luas penampang tubuh oleh bidang ini. Jadi, pada segmen [a; b] fungsi S(x) diberikan. Jika fungsi S kontinu pada ruas [a; b] maka rumusnya valid:

geser 13

PERIKSA DIRI SENDIRI!

Temukan luas gambar yang digambarkan 1 - 5. Jawaban: 1) S = 2/3 (kemerataan fungsi); 2) S = 1 (luas segitiga siku-siku); 3) S = 4 (persamaan angka); 4) S = 2π (luas setengah lingkaran); 5) S = 1 (luas segitiga).

Geser 14

Temukan kesalahannya!

Hitunglah jumlah luas bangun-bangun yang tak berhingga banyaknya yang diarsir pada gambar-gambar tersebut. (Argumen dari setiap fungsi berikutnya meningkat 2 kali lipat) Tugas yang menarik! Jawaban: sin nx=0 ; x=π/n; dimana n=1,2,4,8,16…; S=2+1+1/2+1/4+1/8+…=2/(1-1/2)=4 Jawaban: 4.

geser 15

Kontrol terprogram

Jawaban yang benar: Pilihan I: 2,3,1; Opsi II: 2,4,2.

geser 16

kerja mandiri

Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis (secara skema menggambarkan grafik fungsi). 1) y = 6 + x – x2 dan y = 6 – 2x; 2) y = 2x2 dan y = x + 1; 3) y = 1 – x dan y = 3 – 2x – x2; 4) y = x2 dan y = . Jawaban: 1) 4,5; 2) 9/8; 3) 4,5; 4) 1/3.

Geser 17

Tugas untuk menghitung volume

Temukan volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis dari gambar yang dibatasi oleh garis: 1) y = x2 + 1, x = 0, x = 1, y = 0; 2) y = , x = 1 , x = 4 , y = 0 ; 3) y = 2x, y = x + 3, x = 0, x = 1; 4) y \u003d x + 2, y \u003d 1, x \u003d 0, x \u003d 2; 5) y2 - 4 x = 0, x - 2 = 0, x - 4 = 0, y = 0; 6) y2 - x + 1 = 0, x - 2 = 0, y = 0; 7) y \u003d - x2 + 2x, y \u003d 0; 8) y2 = 2 x, x - 2 = 0, y = 0; 9) y = , x = 3 , y = 0 ; 10) y \u003d 1 - x2, y \u003d 0. Jawaban: 1) ; 2) 7.5; 3) 11 ; 4) 16 ; 5) 24 ; 6) /2; 7) 16/15; 8) 4 ; 9) 2 ; 10) 16/15.

Geser 18

Tugas dari ujian

Hitung luas bangun yang dibatasi garis 2) Luas bangun yang dibatasi garis y=x+6, x=1, y=0 dibagi parabola y=x 2+2x+4 menjadi dua bagian. Temukan luas setiap bagian. 3) Temukan antiturunan F(x) dari fungsi f(x)=2x+4 yang grafiknya menyentuh garis y=6x+3. Hitung luas bangun yang dibatasi oleh grafik antiturunan yang ditemukan dan garis lurus y=6x+3 dan y=0.

Geser 19

pertanyaan tes

Tindakan apa yang disebut integrasi? Fungsi apa yang disebut antiturunan untuk fungsi f(x)? Apa perbedaan antara fungsi antiturunan yang berbeda untuk fungsi yang diberikan f(x)? Berikan definisi integral tak tentu. Bagaimana cara memeriksa hasil integrasi? Apa turunan dari integral tak tentu? Berapa d(lnx8 - sin 3x)? Sebutkan cara-cara integrasi! Berikan definisi integral tertentu. Merumuskan teorema Newton-Leibniz. Menyebutkan sifat-sifat integral tertentu. Bagaimana cara menghitung luas bangun datar menggunakan integral (membuat algoritma verbal)? Sebutkan bidang-bidang penerapan integral, sebutkan besaran-besaran yang dapat dihitung menggunakan integral.

Geser 20

Untuk pecinta matematika

1) Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis-garis ini: y=x2 di x0, y=1, y=4, x=0 Solusi: Gambar ini simetris dengan trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis lurus x=1, x=4, y=0 fungsi invers y=x2, x0. Oleh karena itu, angka-angka ini adalah luas yang sama dan 2) Tentukan luas bangun yang dibatasi oleh garis y=3x+1, y=9-x, y=x+1. Solusi: Titik-titik dari ABC yang dihasilkan memiliki koordinat: A(0;1), B(2;7), C(4;5). Terlihat bahwa ABC berbentuk persegi panjang (hasil kali gradien garis y=x+1 y=9-x sama dengan -1). Oleh karena itu, penggunaan integral untuk menghitung S(ABC) tidak rasional. Itu selalu dapat ditemukan sebagai selisih luas segitiga yang tingginya dan alasnya diketahui, atau Anda dapat menggunakan metode koordinat.

geser 21

Pekerjaan rumah

Tentukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis (1-7) y=x2 (x0), y=1, y=4, x=0 y= x2-4x+8, y=3x2-x3, jika x [ -2 ;3] y=x2-4x+sin2(x/2), y=-3-cos2(x/2), jika x y=3x+1, y=9-x, y=x+1 y= | x-2|, x|y|=2;x=1;x=3 y= busur di x; y=0; x=0,5; x=1 Berapa nilai a garis x=a membagi luas bangun yang dibatasi oleh garis y=2/x; x=1; x=3 dengan perbandingan 1:3? Hitung berdasarkan makna geometrisnya.

geser 22

Bibliografi

N. A. Kolmogorov, "Aljabar dan permulaan analisis", Moskow, Prosveshchenie, 2000. M. I. Bashmakov, "Aljabar dan permulaan analisis", Moskow, DROFA, 2002 Sh.A. Alimov, "Aljabar dan permulaan analisis", kelas 11, Moskow, DROFA, 2004 L. V. Kiseleva, manual Matematika untuk siswa sekolah kedokteran dan perguruan tinggi, Moskow, FGOU "VUNMC Roszdrav", 2005 http://www.nerungri.edu.ru http://tambov.fio.ru http://www.zachetka.ru http://edu.of.ru http://festival.1september.ru

Lihat semua slide

Dengan mengklik tombol "Unduh arsip", Anda akan mengunduh file yang Anda butuhkan secara gratis.
Sebelum mengunduh file ini, ingatlah esai, kontrol, makalah yang bagus, tesis, artikel, dan dokumen lain yang tidak diklaim di komputer Anda. Ini adalah pekerjaan Anda, itu harus berpartisipasi dalam pengembangan masyarakat dan bermanfaat bagi orang-orang. Temukan karya-karya ini dan kirimkan ke basis pengetahuan.
Kami dan semua mahasiswa, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.

Untuk mengunduh arsip dengan dokumen, masukkan nomor lima digit di bidang di bawah ini dan klik tombol "Unduh arsip"

Dokumen serupa

Berkenalan dengan sejarah konsep integral. Distribusi kalkulus integral, penemuan rumus Newton-Leibniz. simbol jumlah; perluasan dari konsep penjumlahan. Deskripsi kebutuhan untuk mengungkapkan semua fenomena fisik dalam bentuk rumus matematika.

presentasi, ditambahkan 26 01/2015


Ide kalkulus integral dalam karya matematikawan kuno. Fitur metode kelelahan. Sejarah penemuan rumus volume torus Kepler. Pembuktian teori prinsip kalkulus integral (prinsip Cavalieri). Konsep integral tertentu.

presentasi, ditambahkan 07/05/2016


Sejarah kalkulus integral. Pengertian dan sifat integral rangkap. Interpretasi geometrisnya, perhitungan dalam koordinat Cartesian dan kutub, pengurangannya menjadi berulang. Aplikasi di bidang ekonomi dan geometri untuk menghitung volume dan luas.

makalah, ditambahkan 16/10/2013


Definisi integral lengkung atas koordinat, sifat-sifat utamanya dan perhitungannya. Kondisi independensi integral lengkung dari jalur integrasi. Menghitung luas bangun datar menggunakan integral ganda. Menggunakan rumus Green.

tes, ditambahkan 23/02/2011


Syarat adanya integral tertentu. Penerapan kalkulus integral. Kalkulus integral dalam geometri. Aplikasi mekanik integral tertentu. Kalkulus integral dalam biologi. Kalkulus integral dalam ekonomi.

makalah, ditambahkan 21/01/2008


Sejarah kalkulus integral dan diferensial. Aplikasi integral tertentu untuk penyelesaian beberapa masalah mekanika dan fisika. Momen dan pusat massa kurva bidang, teorema Gulden. persamaan diferensial. Contoh pemecahan masalah di MatLab.

abstrak, ditambahkan 09/07/2009


Konsep integral Stieltjes. Istilah umum keberadaan integral Stieltjes, kelas kasus keberadaannya, dan perjalanan ke batas di bawah tandanya. Mengurangi integral Stieltjes ke integral Riemann. Aplikasi dalam teori probabilitas dan mekanika kuantum.

tesis, ditambahkan 20/07/2009

INTEGRAL. APLIKASI INTEGRAL.

Tugas mata kuliah matematika

pengantar

Simbol integral telah diperkenalkan sejak 1675, dan masalah kalkulus integral telah ditangani sejak 1696. Meskipun integral dipelajari terutama oleh matematikawan, fisikawan juga berkontribusi pada ilmu ini. Hampir tidak ada rumus fisika yang lengkap tanpa kalkulus diferensial dan integral. Oleh karena itu, saya memutuskan untuk mendalami integral dan penerapannya.

§satu. Sejarah kalkulus integral

Sejarah konsep integral terkait erat dengan masalah menemukan kuadratur. Matematikawan Yunani Kuno dan Roma menyebut tugas mengkuadratkan satu atau beberapa bangun datar lainnya sebagai tugas untuk menghitung luas. Kata Latin quadratura diterjemahkan sebagai "mengkuadratkan". Perlunya istilah khusus dijelaskan oleh fakta bahwa pada zaman kuno (dan kemudian, hingga abad ke-18), gagasan tentang bilangan real belum cukup berkembang. Matematikawan beroperasi dengan rekan-rekan geometris mereka, atau skalar yang tidak dapat dikalikan. Oleh karena itu, tugas-tugas untuk mencari luas harus dirumuskan, misalnya, sebagai berikut: "Bangunlah sebuah persegi yang ukurannya sama dengan lingkaran yang diberikan." (Masalah “kuadrat lingkaran” klasik ini
lingkaran" tidak dapat, seperti yang kita ketahui, diselesaikan dengan kompas dan penggaris.)
Simbol o diperkenalkan oleh Leibniz (1675). Tanda ini merupakan variasi dari huruf latin S (huruf pertama dari kata summa). Kata integral diciptakan oleh J. Bernulli (1690). Mungkin berasal dari bahasa Latin integro, yang diterjemahkan sebagai membawa kembali ke keadaan sebelumnya, memulihkan. (Memang, operasi integrasi "memulihkan" fungsi dengan diferensiasi yang integran diperoleh.) Mungkin asal istilah integral berbeda: kata integer berarti keseluruhan.
Selama korespondensi, I. Bernoulli dan G. Leibniz setuju dengan usulan J. Bernoulli. Kemudian, pada tahun 1696, nama cabang matematika baru muncul - kalkulus integral (kalkulus integralis), yang diperkenalkan oleh I. Bernoulli.
Istilah terkenal lainnya yang terkait dengan kalkulus integral muncul jauh kemudian. Nama fungsi antiturunan yang sekarang digunakan menggantikan "fungsi primitif" sebelumnya yang diperkenalkan oleh Lagrange (1797). Kata Latin primitivus diterjemahkan sebagai "awal": F(x) = o f(x)dx - inisial (atau inisial, atau antiturunan) untuk f(x), yang diperoleh dari F(x) dengan diferensiasi.
PADA sastra kontemporer himpunan semua antiturunan untuk fungsi f(x) juga disebut integral tak tentu. Konsep ini dibedakan oleh Leibniz, yang mencatat bahwa semua fungsi antiturunan berbeda dengan konstanta arbitrer.
b
ao f(x)dx
sebuah
disebut integral tertentu (sebutan diperkenalkan oleh K. Fourier (1768-1830), tetapi Euler telah menunjukkan batas-batas integrasinya).
Banyak prestasi yang signifikan dari matematikawan Yunani kuno dalam memecahkan masalah menemukan kuadratur (yaitu, menghitung luas) angka datar, serta kubatur (menghitung volume) tubuh, terkait dengan penggunaan metode kelelahan yang diusulkan oleh Eudoxus dari Cnidus (c. 408 - c. 355 SM). .e.). Dengan menggunakan metode ini, Eudoxus membuktikan, misalnya, bahwa luas dua lingkaran berhubungan dengan kuadrat diameternya, dan bahwa volume kerucut sama dengan 1/3 volume silinder yang alas dan tingginya sama. .
Metode Eudoxus ditingkatkan oleh Archimedes. Tahapan utama yang mencirikan metode Archimedes: 1) terbukti bahwa luas lingkaran lebih sedikit area poligon biasa yang dijelaskan di sekitarnya, tapi lebih banyak area apapun yang dimasukkan; 2) terbukti bahwa dengan penggandaan jumlah sisi yang tidak terbatas, perbedaan luas poligon ini cenderung nol; 3) untuk menghitung luas lingkaran, tetap mencari nilai yang rasio luas poligon beraturan cenderung dengan penggandaan jumlah sisinya yang tidak terbatas.
Dengan bantuan metode kelelahan dan sejumlah pertimbangan cerdas lainnya (termasuk melibatkan model mekanika), Archimedes memecahkan banyak masalah. Dia memberikan perkiraan untuk p (3.10/71 .) Archimedes mengantisipasi banyak ide kalkulus integral. (Mari kita tambahkan bahwa dalam praktiknya teorema limit pertama juga dibuktikan olehnya.) Tetapi butuh lebih dari satu setengah ribu tahun sebelum ide-ide ini menemukan ekspresi yang jelas dan dibawa ke tingkat kalkulus.
Para matematikawan abad ke-17, yang memperoleh banyak hasil baru, belajar dari karya Archimedes. Metode lain juga secara aktif digunakan - metode yang tidak dapat dibagi, yang juga berasal dari Yunani Kuno (terutama dikaitkan dengan pandangan atomistik Democritus). Misalnya, mereka membayangkan trapesium lengkung (Gbr. 1, a) terdiri dari segmen vertikal dengan panjang f (x), yang, bagaimanapun, mereka menghubungkan area yang sama dengan nilai f (x) dx yang sangat kecil. Sesuai dengan pengertian ini, luas yang dibutuhkan dianggap sama dengan jumlah
S = a f(x)dx
sebuah jumlah tak terbatas daerah kecil tak terhingga. Kadang-kadang bahkan ditekankan bahwa suku-suku individu dalam jumlah ini adalah nol, tetapi nol dari jenis khusus, yang, ditambahkan dalam jumlah tak terbatas, memberikan jumlah positif yang terdefinisi dengan baik.
Atas dasar yang sekarang tampak setidaknya meragukan I. Kepler (1571-1630) dalam tulisannya "Astronomi Baru".

(1609) dan "Stereometry of Wine Barrels" (1615) menghitung dengan benar sejumlah area (misalnya, luas bangun yang dibatasi oleh elips) dan volume (sebuah benda dipotong menjadi pelat tipis berukuran 6c) . Studi ini dilanjutkan oleh matematikawan Italia B. Cavalieri (1598-1647) dan E. Torricelli (1608-1647). Prinsip yang dirumuskan oleh B. Cavalieri, yang diperkenalkan olehnya di bawah beberapa asumsi tambahan, mempertahankan signifikansinya di zaman kita.
Biarkan diperlukan untuk menemukan luas gambar yang ditunjukkan pada Gambar 1,b, di mana kurva yang membatasi gambar dari atas dan bawah memiliki persamaan y = f(x) dan y=f(x)+c.
Mewakili sosok yang terdiri dari "tak terpisahkan", dalam terminologi Cavalieri, kolom tipis tak terhingga, kami perhatikan bahwa mereka semua memiliki panjang yang sama c. Memindahkannya dalam arah vertikal, kita dapat membuat persegi panjang dengan alas b-a dan tinggi c. Oleh karena itu, luas yang dibutuhkan sama dengan luas persegi panjang yang dihasilkan, mis.
S \u003d S 1 \u003d c (b - a).
Prinsip umum Cavalieri untuk luas bangun datar dirumuskan sebagai berikut: Biarkan garis-garis dari suatu berkas paralel tertentu memotong bangun-bangun 1 dan 2 sepanjang ruas-ruas yang sama panjang (Gbr. 1, c). Maka luas bangun 1 dan 2 adalah sama.
Prinsip serupa berlaku dalam stereometri dan berguna dalam mencari volume.
Pada abad ke-17 banyak penemuan yang berhubungan dengan kalkulus integral telah dibuat. Jadi, P. Fermat sudah pada tahun 1629 masalah mengkuadratkan kurva apa pun y \u003d x n, di mana n adalah bilangan bulat (yaitu, ia pada dasarnya menurunkan rumus o x n dx \u003d (1 / n + 1) x n + 1), dan atas dasar ini, ia memecahkan sejumlah masalah dalam menemukan pusat gravitasi. I. Kepler, dalam menurunkan hukum gerak planetnya yang terkenal, sebenarnya mengandalkan gagasan integrasi perkiraan. I. Barrow (1630-1677), guru Newton, hampir memahami hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Karya tentang representasi fungsi dalam bentuk deret pangkat sangat penting.
Namun, untuk semua signifikansi hasil yang diperoleh oleh banyak matematikawan yang sangat inventif pada abad ke-17, kalkulus belum ada. Itu perlu untuk menyoroti ide-ide umum yang mendasari solusi dari banyak masalah tertentu, serta untuk membangun hubungan antara operasi diferensiasi dan integrasi, yang memberikan algoritma yang cukup umum. Ini dilakukan oleh Newton dan Leibniz, yang secara independen menemukan fakta yang dikenal sebagai rumus Newton-Leibniz. Dengan demikian, metode umum akhirnya terbentuk. Kami masih harus belajar bagaimana menemukan antiturunan dari banyak fungsi, memberikan kalkulus baru yang logis, dll. Tetapi hal utama telah dilakukan: kalkulus diferensial dan integral telah dibuat.
Metode analisis matematis dikembangkan secara aktif pada abad berikutnya (pertama-tama, nama L. Euler, yang menyelesaikan studi sistematis tentang integrasi fungsi dasar, dan I. Bernoulli harus disebutkan). Matematikawan Rusia M.V. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Chebyshev (1821-1894) mengambil bagian dalam pengembangan kalkulus integral. Yang paling penting adalah, khususnya, hasil Chebyshev, yang membuktikan bahwa ada integral yang tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar.
Sebuah eksposisi ketat dari teori integral hanya muncul di abad terakhir. Solusi dari masalah ini dikaitkan dengan nama O. Cauchy, salah satu matematikawan terbesar, ilmuwan Jerman B. Riemann (1826-1866), matematikawan Prancis G. Darboux (1842-1917).
Jawaban atas banyak pertanyaan yang berkaitan dengan keberadaan luas dan volume gambar diperoleh dengan penciptaan teori ukuran oleh K. Jordan (1838-1922).
Berbagai generalisasi konsep integral sudah pada awal abad kita diusulkan oleh matematikawan Prancis A. Lebesgue (1875-1941) dan A. Denjoy (1884-1974), matematikawan Soviet A. Ya. Khinchinchin (1894- 1959).

2. Definisi dan sifat integral

Jika F(x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi f(x) pada interval J, maka antiturunan pada interval ini memiliki bentuk F(x)+C, di mana CIR.
Definisi. Himpunan semua antiturunan dari fungsi f(x) pada interval J disebut integral tentu dari fungsi f(x) pada interval ini dan dinotasikan dengan o f(x)dx.
o f(x)dx = F(x)+C, di mana F(x) adalah beberapa antiturunan pada J.
f adalah integran, f(x) adalah integran, x adalah variabel integrasi, C adalah konstanta integrasi.

Sifat-sifat integral tak tentu

(atau f(x)dx) ? = o f(x)dx ,

o f ?(x)dx = f(x)+C – dari definisi.
o k f (x)dx = k o f?(x)dx

o (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = o f(x)dx + o g(x)dx +...+ o h(x)dx

Integrasi

cara tabel.
Metode substitusi.

membagi integran menjadi dua faktor;
tentukan salah satu pengali dari variabel baru;
nyatakan faktor kedua dalam bentuk variabel baru;
tulis integralnya, cari nilainya dan lakukan substitusi balik.

Contoh:
1.
Misalkan 3x 2 -1=t (t?0), ambil turunan dari kedua bagian:
6xdx=dt
xdx=dt/6

2.
o sin x cos 3 x dx = o - t 3 dt = + C
Misalkan cos x = t
-sin x dx = dt

Metode untuk mengubah integran menjadi jumlah atau selisih:

o sin 3x cos x dx = 1/2 o (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x - ? cos 2x + C

Catatan: saat menyelesaikan contoh ini, ada baiknya membuat polinomial "sudut".

Di bagian

Contoh:

o x cos (x) dx = o x dsin x = x sin x – o sin x dx = x sin x + cos x + C

3. Trapesium lengkung

Definisi. Gambar yang dibatasi oleh grafik fungsi konstanta tanda f(x), sumbu absis dan garis lurus x=a, x=b, disebut trapesium lengkung.

Cara mencari luas trapesium lengkung

Dalil. Jika f(x) adalah fungsi kontinu dan non-negatif pada segmen , maka luas trapesium lengkung yang sesuai sama dengan pertambahan antiturunan.

Buktikan bahwa S(a) adalah antiturunan dari f(x).
D(f) = D(S) =
S’(x 0)= lim(S(x 0 +Dx) – S(x 0) / Dx), untuk Dx®0 DS adalah persegi panjang

Karena S(a)=0, lalu S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)–F(a)

rumus Newton–Leibniz

Membandingkan rumus untuk luas trapesium lengkung, kami menyimpulkan:
jika F adalah antiturunan dari b pada , maka
b
o f(x)dx = F(b)–F(a)
sebuah
bb
o f(x)dx = F(x) o = F(b) – F(a)
A A

4. Set gambar standar

5. Aplikasi integral

I. Dalam fisika

Kerja paksa (A=FScosa, cosa ? 1)

Jika gaya F bekerja pada sebuah partikel, energi kinetiknya tidak tetap. Dalam hal ini, menurut
d(mu 2/2) = Fds
pertambahan energi kinetik partikel dalam waktu dt sama dengan produk skalar Fds, di mana ds adalah perpindahan partikel dalam waktu dt. Nilai
dA=Fds
disebut usaha yang dilakukan oleh gaya F.

Biarkan sebuah titik bergerak sepanjang sumbu OX di bawah aksi gaya yang proyeksinya ke sumbu OX adalah fungsi f(x) (f adalah fungsi kontinu). Di bawah aksi gaya, titik tersebut bergerak dari titik S 1 (a) ke S 2 (b). Mari kita bagi segmen menjadi n segmen dengan panjang yang sama Dx = (b - a)/n. Kerja gaya akan sama dengan jumlah kerja gaya pada segmen yang dihasilkan. Karena f(x) kontinu, maka untuk gaya kerja kecil pada segmen ini sama dengan f(a)(x 1 –a). Demikian pula pada segmen kedua f (x 1) (x 2 –x 1), pada segmen ke-n - f (x n–1) (b–x n–1). Oleh karena itu, kerja sama dengan:

» A n = f(a)Dx +f(x 1)Dx+...+f(x n–1)Dx=
= ((b–a)/n)(f(a)+f(x 1)+...+f(x n– 1))
Perkiraan kesetaraan menjadi tepat sebagai n®?
b
= lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(x n–1))= o f(x)dx (menurut definisi)
n®? sebuah

Contoh 1:
Biarkan pegas dengan kekakuan C dan panjang l ditekan setengah panjangnya. Tentukan nilai energi potensial Ep sama dengan usaha A yang dilakukan oleh gaya –F (s) elastisitas pegas ketika dimampatkan, maka
l/2
E p \u003d A \u003d - o (-F (s)) dx
0
Dari mata kuliah mekanik diketahui bahwa F(s)= –Cs.
Dari sini kita menemukan
l/2 l/2
E p \u003d - o (-Cs) ds \u003d CS 2 / 2 | = C/2 l 2 /4
0 0
Jawaban: Cl2/8.

Contoh 2:
Berapa usaha yang harus dilakukan untuk meregangkan pegas sejauh 4 cm, jika diketahui dari beban 1 N pegas diregangkan sejauh 1 cm.
Keputusan:
Menurut hukum Hooke, gaya X N, yang meregangkan pegas sebesar x, sama dengan X=kx. Kami menemukan koefisien proporsionalitas k dari kondisi: jika x=0,01 m, maka X=1 N, oleh karena itu, k=1/0,01=100 dan X=100x. Kemudian
(J)
Jawaban: A=0,08 J

Contoh 3:
Dengan bantuan crane, sebuah gouge beton bertulang dikeluarkan dari dasar sungai dengan kedalaman 5 m. Berapa usaha yang akan dilakukan jika gouge tersebut berbentuk tetrahedron biasa dengan tepi 1 m? Massa jenis beton bertulang adalah 2500 kg/m 3 , massa jenis air adalah 1000 kg/m 3 .
Keputusan:
kamu
0

Tinggi tetrahedron adalah m, volume tetrahedron adalah m 3 . Berat gouge dalam air, dengan mempertimbangkan aksi gaya Archimedean, sama dengan
(J).
Sekarang mari kita cari kerja A i saat mengekstraksi gouge dari air. Biarkan puncak tetrahedron keluar setinggi 5+y, maka volume tetrahedron kecil yang keluar dari air adalah sama, dan berat tetrahedron adalah:
.
Karena itu,

(J).
Karenanya A \u003d A 0 + A 1 \u003d 7227,5 J + 2082,5 J \u003d 9310 J \u003d 9,31 kJ
Jawaban: A=9,31 (J).

Contoh 4:
Berapakah gaya tekanan yang dialami pelat persegi panjang dengan panjang a dan lebar b (a>b) jika pelat tersebut miring ke permukaan horizontal cairan dengan sudut? dan sisi terpanjangnya berada pada kedalaman h?

Jawab: P= .

Koordinat pusat massa

Pusat massa adalah titik yang dilalui oleh resultan gravitasi untuk setiap pengaturan spasial benda.
Misalkan pelat homogen bahan o berbentuk trapesium lengkung (x;y |a?x?b; 0?y?f(x)) dan fungsi y=f(x) kontinu pada , dan luas trapesium lengkung ini sama dengan S, maka koordinat pusat Massa pelat o ditemukan dengan rumus:
bb
x 0 \u003d (1 / S) o x f (x) dx; y 0 \u003d (1 / 2S) dari 2 (x) dx;
A A

Contoh 1:
Tentukan pusat massa setengah lingkaran homogen yang berjari-jari R.
Gambarlah setengah lingkaran dalam sistem koordinat OXY.

R R
y \u003d (1 / 2S) oO (R 2 -x 2)dx \u003d (1 / pR 2) oO (R 2 -x 2) dx \u003d
-R -R
R
= (1/pR 2)(R 2 x–x 3/3)|= 4R/3p
- R
Jawaban: M(0; 4R/3p).

Contoh 2:
Tentukan koordinat pusat gravitasi dari gambar yang dibatasi oleh busur elips x=acost, y=bsint, terletak di kuadran pertama, dan sumbu koordinat.
Keputusan:
Pada kuartal pertama, saat x meningkat dari 0 ke a, nilai t menurun dari?/2 ke 0, jadi

Dengan menggunakan rumus luas elips S=?ab, kita peroleh

Jalur yang dilalui oleh titik material
Jika suatu titik material bergerak lurus dengan kecepatan u=u(t) dan dalam waktu T= t 2 –t 1 (t 2 >t 1) telah melewati lintasan S, maka
t2
S = o u(t)dt.
t1

Dalam geometri

Aksioma volume:

Volume adalah nilai non-negatif.
Volume tubuh sama dengan jumlah volume tubuh yang menyusunnya.

pilih sumbu OX ke arah lokasi tubuh ini;
menentukan batas-batas lokasi tubuh relatif terhadap OX;
Mari kita perkenalkan fungsi bantu S(x) yang mendefinisikan korespondensi berikut: untuk setiap x dari segmen yang kita masukkan ke dalam korespondensi, luas penampang dari gambar yang diberikan oleh bidang yang melewati titik x yang diberikan tegak lurus terhadap sumbu OX.
mari kita bagi segmen menjadi n bagian yang sama dan menggambar bidang yang tegak lurus terhadap sumbu OX melalui setiap titik pembagian, sementara tubuh kita akan dibagi menjadi beberapa bagian. Menurut aksioma

A
V = o S(x)dx, di mana S(x) adalah penampang bidang yang melalui
b titik yang dipilih tegak lurus terhadap sumbu OX.

Untuk menemukan volume yang Anda butuhkan:
1) Pilih sumbu OX dengan cara yang nyaman.
2) Tentukan batas-batas lokasi benda ini relatif terhadap sumbu.
3) Bangun bagian dari benda tertentu dengan bidang yang tegak lurus terhadap sumbu OX dan melalui titik yang sesuai.
4) Nyatakan dalam besaran yang diketahui suatu fungsi yang menyatakan luas suatu bagian tertentu.
5) Buatlah integral.
6) Setelah menghitung integral, temukan volumenya.

Contoh 1:
Temukan volume elips triaksial.

Keputusan:
Bagian-bagian bidang ellipsoid yang sejajar dengan bidang xOz dan berjarak y=h darinya merupakan elips

Dengan setengah poros dan
Temukan luas bagian ini
.
Hitung volume elips:

Contoh 2:
Hitunglah volume sebuah benda yang alasnya adalah segitiga sama kaki dengan tinggi h dan alas a. Penampang tubuh adalah segmen parabola dengan tali busur yang sama dengan tinggi segmen.

Keputusan:
Kami memiliki, Kami menyatakan luas penampang sebagai fungsi dari z, yang pertama-tama kami temukan persamaan parabolanya. Panjang akord DE dapat dicari dari kesejajaran segitiga-segitiga yang bersesuaian, yaitu:
itu. . Misalkan persamaan parabola dalam sistem koordinat uKv berbentuk. Dari sini kita menemukan luas penampang tubuh yang diberikan:
atau.
Dengan demikian, .
Menjawab:
Volume angka rotasi

Benda yang diperoleh sebagai hasil rotasi dari suatu bangun datar terhadap beberapa sumbu disebut sosok rotasi.
Fungsi S(x) dari gambar rotasi memiliki lingkaran.
S detik \u003d pr 2
S detik (x) \u003d p f 2 (x)

Panjang busur dari kurva datar

Misalkan fungsi y = f(x) memiliki turunan kontinu y’ = f’(x) pada interval. Dalam hal ini, panjang busur l dari "potongan" grafik fungsi y = f(x), xI dapat ditemukan dengan rumus:

Contoh 1:
Tentukan panjang busur suatu kurva dari x=0 ke x=1 (y?0)
Keputusan:
Membedakan persamaan kurva, kita temukan. Dengan demikian,
.
Menjawab: .

Kesimpulan
Integral digunakan dalam ilmu-ilmu seperti fisika, geometri, matematika dan ilmu-ilmu lainnya. Dengan bantuan integral, pekerjaan gaya dihitung, koordinat pusat massa, jalur yang ditempuh oleh titik material ditemukan. Dalam geometri, ini digunakan untuk menghitung volume benda, menemukan panjang busur dari suatu kurva, dll.
literatur

N.Ya.Vilenkin, O.S.Ivashev-Musatov, S.I.Shvartsburd. Analisis Aljabar dan Matematika / M.: 1993.

I.V. Savelyev, Kursus Fisika Umum, Volume 1 / M.: 1982.

AP Savina. kamus penjelasan matematika. Istilah dasar / M.: bahasa Rusia, 1989.

PE. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikov. Matematika yang lebih tinggi dalam latihan dan tugas, bagian 1 / M.: Onyx abad ke-21, 2003.

G.I. Zaporozhets. Panduan untuk memecahkan masalah dalam analisis matematika / M.: Sekolah Tinggi, 1964.

N.Ya. Vilenkin. "Buku soal untuk mata kuliah analisis matematika" / M.: Pendidikan, 1971.

L.D. Kudryavtsev. "Kursus analisis matematika", volume 1 / M.: Sekolah Tinggi, 1988.

Definisi Integral suatu fungsi dianalogikan dengan jumlah dari sejumlah besar suku-suku kecil yang tak berhingga. Dalam kasus paling sederhana, yang kami maksud adalah pembagian wilayah integrasi, yang merupakan segmen, menjadi segmen-segmen yang sangat kecil, dan jumlah produk dari nilai fungsi argumen milik setiap segmen dan panjang segmen sangat kecil yang sesuai dari wilayah integrasi, dalam batas, dengan partisi yang sangat kecil:

Integral dalam Integrasi Purbakala dapat ditelusuri kembali ke Mesir kuno, sekitar 1800 SM. e. Papirus Matematika Moskow menunjukkan pengetahuan tentang rumus volume piramida terpotong. Metode pertama yang diketahui untuk menghitung integral adalah metode habis-habisan oleh Eudoxus (c. 370 SM), yang mencoba mencari luas dan volume dengan memecahnya menjadi beberapa bagian yang luas atau volumenya sudah diketahui. Metode ini diambil dan dikembangkan oleh Archimedes, dan digunakan untuk menghitung luas parabola dan untuk memperkirakan luas lingkaran. Teknik serupa dikembangkan secara independen di Cina pada abad ke-3 M. e. Liu Hui, yang menggunakannya untuk mencari luas lingkaran. Metode ini kemudian digunakan oleh Zu Chongzhi dan Zu Geng untuk mencari volume bola. Langkah besar berikutnya dalam kalkulus integral dibuat di Irak, pada abad ke-11, oleh matematikawan Ibn al-Haytham (dikenal sebagai Alhazen di Eropa), dalam karyanya "On the Measurement of a Parabolic Body" ia sampai pada sebuah persamaan derajat keempat. Memecahkan masalah ini, ia melakukan perhitungan yang setara dengan menghitung integral tertentu untuk menemukan volume paraboloid. Dengan menggunakan induksi matematika, ia mampu menggeneralisasikan hasil-hasilnya untuk integral polinomial hingga derajat keempat. Dengan demikian, dia hampir menemukan formula umum untuk integral polinomial, tetapi dia tidak menyentuh polinomial apa pun di atas derajat keempat. Kemajuan signifikan berikutnya dalam kalkulus integral akan muncul hanya pada abad ke-16. Dalam karya-karya Cavalieri dengan metodenya yang tidak dapat dibagi, serta dalam karya-karya Fermat, fondasi kalkulus integral modern diletakkan. Langkah lebih lanjut diambil pada awal abad ke-17 oleh Barrow dan Torricelli, yang menunjukkan hubungan antara integrasi dan diferensiasi.

Mengapa integral diperlukan? Para ilmuwan mencoba untuk mengungkapkan semua fenomena fisik dalam bentuk rumus matematika. Setelah kita memiliki rumus, maka kita dapat menggunakannya untuk menghitung apa saja. Dan integral adalah salah satu alat utama untuk bekerja dengan fungsi. Misalnya, jika kita memiliki rumus lingkaran, kita dapat menggunakan integral untuk menghitung luasnya. Jika kita memiliki rumus bola, maka kita dapat menghitung volumenya. Dengan bantuan integrasi, energi, pekerjaan, tekanan, massa, muatan listrik, dan banyak kuantitas lainnya ditemukan.

Penerapan dalam sains Semua proses di alam, di mana beberapa parameter selalu berubah, seperti waktu, suhu, tekanan, koordinat, dipelajari dan dihitung hanya menggunakan kalkulus diferensial dan integral. Integral hanyalah dasar-dasarnya. Tanpa mereka, Anda bahkan tidak dapat menghitung luas permukaan melengkung apa pun. Matematika umumnya mengembangkan pemikiran logis, yang berguna untuk semua orang. Tentu saja, mereka akan dilupakan jika pengetahuan ini tidak dibutuhkan dalam kehidupan. Tetapi ini tidak berarti bahwa mereka tidak boleh dipelajari sama sekali.

Saat belajar, penting untuk memahami arti tikar. aparatur secara keseluruhan dan belajar bagaimana menerapkannya untuk memecahkan masalah sehari-hari, mengembangkan gaya berpikir tertentu di mana Anda tidak akan mengandalkan intuisi ketika membuat keputusan, tetapi akan dapat secara akurat menilai hasil dan konsekuensi dari tindakan. Sebagian besar integral diperoleh sebagai mat. model dari setiap proses alam dalam kerangka kedokteran, biologi, kimia, ekonomi, dll. Secara khusus, analisis matematis, di mana metode untuk memecahkan integral diturunkan, membantu untuk memahami dari mana asalnya.

Aplikasi dalam teknologi Integral juga banyak digunakan dalam teknologi. Misalnya, pada kontroler PID menggunakan komponen integralnya. Ini digunakan untuk menghilangkan kesalahan statis. Ini memungkinkan pengontrol untuk memperhitungkan kesalahan statis dari waktu ke waktu.

Berikut adalah prinsip perkiraan operasi komponen integral. Komponen pengintegrasian sebanding dengan integral waktu dari simpangan kendali. Ini digunakan untuk menghilangkan kesalahan statis. Ini memungkinkan pengontrol untuk memperhitungkan kesalahan statis dari waktu ke waktu. Jika sistem tidak mengalami gangguan eksternal, maka setelah beberapa saat variabel yang dikendalikan akan stabil pada nilai yang ditetapkan, sinyal proporsional akan sama dengan nol, dan sinyal keluaran akan disediakan sepenuhnya oleh komponen pengintegrasi. Namun, komponen pengintegrasian juga dapat menyebabkan osilasi sendiri jika koefisiennya salah dipilih.

Daftar sumber yang digunakan

Vladimir 2002

Universitas Negeri Vladimir, Departemen Fisika Umum dan Terapan

pengantar

Simbol integral telah diperkenalkan sejak 1675, dan masalah kalkulus integral telah ditangani sejak 1696. Meskipun integral dipelajari terutama oleh matematikawan, fisikawan juga berkontribusi pada ilmu ini. Hampir tidak ada rumus fisika yang lengkap tanpa kalkulus diferensial dan integral. Oleh karena itu, saya memutuskan untuk mendalami integral dan penerapannya.

Sejarah kalkulus integral

Sejarah konsep integral terkait erat dengan masalah menemukan kuadratur. Matematikawan Yunani Kuno dan Roma menyebut tugas mengkuadratkan satu atau beberapa bangun datar lainnya sebagai tugas untuk menghitung luas. Kata Latin quadratura diterjemahkan sebagai "mengkuadratkan". Perlunya istilah khusus dijelaskan oleh fakta bahwa pada zaman kuno (dan kemudian, hingga abad ke-18), gagasan tentang bilangan real belum cukup berkembang. Matematikawan beroperasi dengan rekan-rekan geometris mereka, atau skalar yang tidak dapat dikalikan. Oleh karena itu, tugas-tugas untuk mencari luas harus dirumuskan, misalnya, sebagai berikut: "Bangunlah sebuah persegi yang ukurannya sama dengan lingkaran yang diberikan." (Masalah klasik "mengkuadratkan lingkaran" ini, seperti yang sudah diketahui, tidak dapat diselesaikan dengan kompas dan penggaris.)

Simbol diperkenalkan oleh Leibniz (1675). Tanda ini adalah dengan mengubah huruf Latin S (huruf pertama dari kata jumlah sebuah). Kata integral diciptakan oleh Ya. B e r u l i (1690) Mungkin oh itu berasal dari bahasa latin integral, yang diterjemahkan cara mengembalikan ke keadaan sebelumnya, restore. (Betulkah, operasi integrasi memulihkan fungsi, dengan diferensiasi yang integran diperoleh fungsi.) Mungkin asal usul istilah integral berbeda: kata bilangan bulat berarti keseluruhan.

Dalam sastra kontemporer, banyak antiturunan untuk fungsi f (X) disebut juga integral tak tentu. Konsep ini diidentifikasi oleh Leibniz, yang memperhatikan bahwa dalam e pertama figuratif fungsi berbeda dengan konstanta yang berubah-ubah. b

disebut integral tertentu (penunjukannya diperkenalkan oleh K. Fourier(1768-1830), tetapi sudah menunjukkan batas integrasi Hai ler).

Banyak prestasi yang signifikan dari matematikawan Yunani kuno dalam memecahkan masalah kuadratur (yaitu, e. perhitungan luas) angka datar, serta kubatur (perhitungan volume) tubuh dikaitkan dengan penggunaan metode kelelahan yang diusulkan oleh Eudoxus dari Cnidus (c. 408 - c. 355 SM). Dengan menggunakan metode ini, Eudoxus membuktikan, misalnya, bahwa luas dua lingkaran berhubungan dengan kuadrat diameternya, dan bahwa volume kerucut sama dengan 1/3 volume silinder yang alas dan tingginya sama. .

Metode Eudoxus ditingkatkan oleh Archimedes. Tahapan utama yang mencirikan metode Archimedes: 1) terbukti bahwa luas lingkaran lebih kecil dari luas poligon beraturan yang dibatasi di sekitarnya, tetapi lebih besar dari luas sembarang poligon bertulisan; 2) terbukti bahwa dengan penggandaan jumlah sisi yang tidak terbatas, perbedaan luas dari banyak ini batu bara ikov cenderung nol; 3) untuk menghitung luas lingkaran, tetap mencari nilai yang rasio luas poligon beraturan cenderung dengan penggandaan jumlah sisinya yang tidak terbatas.

Dengan bantuan metode kelelahan dan sejumlah pertimbangan cerdas lainnya (termasuk melibatkan model mekanika), Archimedes memecahkan banyak masalah. Dia memberikan perkiraan untuk p (3.10/71 .)

Archimedes mengantisipasi banyak ide kalkulus integral. (Mari kita tambahkan bahwa dalam praktiknya teorema limit pertama juga dibuktikan olehnya.) Tetapi butuh lebih dari satu setengah ribu tahun sebelum ide-ide ini menemukan ekspresi yang jelas dan dibawa ke tingkat kalkulus.

Para matematikawan abad ke-17, yang memperoleh banyak hasil baru, belajar dari karya Archimedes. Metode lain juga secara aktif digunakan - metode yang tidak dapat dibagi, yang juga berasal dari Yunani Kuno (terutama dikaitkan dengan pandangan atomistik Democritus). Misalnya, lengkung rekstok gantung(Gbr. 1, a) mereka membayangkan terdiri dari segmen vertikal dengan panjang f (x), yang, bagaimanapun, menghubungkan apakah daerah yang sama dengan nilai yang sangat kecil f (x) . Sesuai dengan pengertian ini, luas yang dibutuhkan dianggap sama dengan jumlah

jumlah tak terbatas daerah kecil tak terhingga. Kadang-kadang bahkan ditekankan bahwa suku-suku individu dalam jumlah ini adalah nol, tetapi nol dari jenis khusus, yang, ditambahkan dalam jumlah tak terbatas, memberikan jumlah positif yang terdefinisi dengan baik.

Setidaknya sekarang terlihat seperti itu meragukan berdasarkan I. Kepler (1571-1630) dalam tulisannya “New Astronomy”.

(1609) dan "Stereometry of Wine Barrels" (1615) menghitung dengan benar sejumlah area (misalnya, luas bangun yang dibatasi oleh elips) dan volume (sebuah benda dipotong menjadi pelat tipis berukuran 6c) . Studi ini dilanjutkan oleh matematikawan Italia B. Cavalieri (1598-1647) dan E. Torricelli (1608-1647). Prinsip yang dirumuskan oleh B. Cavalieri, yang diperkenalkan olehnya di bawah beberapa asumsi tambahan, mempertahankan signifikansinya di zaman kita.

Biarkan diperlukan untuk menemukan luas gambar yang ditunjukkan pada Gambar 1,b, di mana kurva yang membatasi gambar dari atas dan bawah memiliki persamaan y = f(x) dan y=f(x)+c.

Mewakili sosok yang terdiri dari "tak terpisahkan", dalam terminologi Cavalieri, kolom tipis tak terhingga, kami perhatikan bahwa mereka semua memiliki panjang yang sama c. Memindahkannya dalam arah vertikal, kita dapat membuat persegi panjang dengan alas b-a dan tinggi c. Oleh karena itu, luas yang dibutuhkan sama dengan luas persegi panjang yang dihasilkan, mis.

S \u003d S1 \u003d c (b - a).

Prinsip umum Cavalieri untuk luas bangun datar dirumuskan sebagai berikut: Biarkan garis-garis dari kumpulan paralel tertentu memotong gambar F1 dan F2 sepanjang segmen yang sama panjang (Gbr. 1, c). Maka luas gambar 1 dan 2 adalah sama.

Prinsip serupa berlaku dalam stereometri dan berguna dalam mencari volume.

Pada abad ke-17 banyak penemuan yang berhubungan dengan kalkulus integral telah dibuat. Jadi, sudah pada tahun 1629, P. Fermat, masalah mengkuadratkan kurva apa pun y \u003d xn, di mana n adalah bilangan bulat (yaitu, ia pada dasarnya menurunkan rumus xndx \u003d (1 / n + 1) xn + 1) , dan atas dasar ini ia memutuskan sejumlah tugas untuk menemukan pusat gravitasi. I. Kepler, dalam menurunkan hukum gerak planetnya yang terkenal, sebenarnya mengandalkan gagasan integrasi perkiraan. I. Barrow (1630-1677), guru Newton, hampir memahami hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Karya tentang representasi fungsi dalam bentuk deret pangkat sangat penting.

Namun, untuk semua signifikansi hasil yang diperoleh oleh banyak matematikawan yang sangat inventif pada abad ke-17, kalkulus belum ada. Itu perlu untuk menyoroti ide-ide umum yang mendasari solusi dari banyak masalah tertentu, serta untuk membangun hubungan antara operasi diferensiasi dan integrasi, yang memberikan algoritma yang cukup umum. Ini dilakukan oleh Newton dan Leibniz, yang secara independen menemukan fakta yang dikenal sebagai rumus Newton-Leibniz. Dengan demikian, metode umum akhirnya terbentuk. Kami masih harus belajar bagaimana menemukan antiturunan dari banyak fungsi, memberikan kalkulus baru yang logis, dll. Tetapi hal utama telah dilakukan: kalkulus diferensial dan integral telah dibuat.

Metode analisis matematis dikembangkan secara aktif pada abad berikutnya (pertama-tama, nama L. Euler, yang menyelesaikan studi sistematis tentang integrasi fungsi dasar, dan I. Bernoulli harus disebutkan). Matematikawan Rusia M.V. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Yang paling penting adalah, khususnya, hasil Chebyshev, yang membuktikan bahwa ada integral yang tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar.

Sebuah eksposisi ketat dari teori integral hanya muncul di abad terakhir. Solusi dari masalah ini dikaitkan dengan nama O. Cauchy, salah satu matematikawan terbesar, ilmuwan Jerman B. Riemann (1826-1866), matematikawan Prancis G. Darboux (1842-1917).

Jawaban atas banyak pertanyaan yang berkaitan dengan keberadaan luas dan volume gambar diperoleh dengan penciptaan teori ukuran oleh K. Jordan (1838-1922).

Berbagai generalisasi konsep integral sudah pada awal abad kita diusulkan oleh matematikawan Prancis A. Lebesgue (1875-1941) dan A. Denjoy (18 4-1974), dengan matematikawan veteran A. Ya. sejengkal s (1894-1959).

Definisi dan sifat integral

Jika F(x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi f(x) pada interval J, maka antiturunan pada interval ini memiliki bentuk F(x)+C, di mana CнR.

Definisi. Himpunan semua antiturunan dari fungsi f(x) pada interval J disebut integral tentu dari fungsi f(x) pada interval ini dan dinotasikan dengan f(x)dx.

f(x)dx = F(x)+C, di mana F(x) adalah beberapa antiturunan pada J.

f adalah integran, f(x) adalah integran, x adalah variabel integrasi, C adalah konstanta integrasi.

Sifat-sifat integral tak tentu.

(òf(x)dx) = f(x)dx ,

f(x)dx = F(x)+C, di mana F¢(x) = f(x)

(òf(x)dx) = (F(x)+C) = f(x)

f¢(x)dx = f(x)+C– dari definisi.

k f (x)dx = k f¢(x)dx

jika k adalah konstanta dan F¢(x)=f(x),

k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k f¢(x)dx

(f(x)+g(x)+...+h(x))dx = f(x)dx + g(x)dx +...+ h(x)dx

(f(x)+g(x)+...+h(x))dx = dx =

= ¢dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=

= f(x)dx + g(x)dx +...+ h(x)dx, di mana C=C1+C2+C3+...+Cn.

Integrasi

cara tabel.

Metode substitusi.

Jika integran bukan integral tabel, maka dimungkinkan (tidak selalu) untuk menerapkan metode ini. Untuk ini, Anda perlu:

membagi integran menjadi dua faktor;

tentukan salah satu pengali dari variabel baru;

nyatakan faktor kedua dalam bentuk variabel baru;

tulis integralnya, cari nilainya dan lakukan substitusi balik.

Catatan: untuk variabel baru, lebih baik untuk menunjuk fungsi yang terkait dengan ekspresi yang tersisa.

1. xÖ(3x2–1)dx;

Misalkan 3x2–1=t (t³0), ambil turunan dari kedua bagian:

odt 1 1 ó 1 1 t 2 2 1 ---Ø

- t 2 = - t 2dt = – --– + C = -Ö 3x2–1 +C

sin x cos 3x dx = – t3dt = – – + C

Misalkan cos x = t

Metode untuk mengubah integran menjadi jumlah atau selisih:

sin 3x cos x dx = 1/2 (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x – cos 2x + C

ó x4+3x2+1 ó 1 1

---- dx = (x2+2 – --–) dx = - x2 + 2x – arctg x + C

Catatan: saat menyelesaikan contoh ini, ada baiknya membuat polinomial "sudut".

Di bagian

Jika tidak mungkin untuk mengambil integral dalam bentuk yang diberikan, dan pada saat yang sama, sangat mudah untuk menemukan antiturunan dari satu faktor dan turunan dari yang lain, maka Anda dapat menggunakan rumus.

(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v(x)

u'(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v'(x)

Kami mengintegrasikan kedua bagian

u’(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))’dx – u(x)v’(x)dx

u’(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – u(x)v’(x)dx

x cos (x) dx = x dsin x = x sin x – sin x dx = x sin x + cos x + C

Trapesium lengkung

Definisi. Gambar yang dibatasi oleh grafik fungsi konstanta tanda f(x), sumbu absis dan garis lurus x=a, x=b, disebut trapesium lengkung.

Cara mencari luas trapesium lengkung

Dalil. Jika f(x) adalah fungsi kontinu dan non-negatif pada segmen , maka luas trapesium lengkung yang sesuai sama dengan pertambahan antiturunan.

Diketahui: f(x) adalah indef kontinu. fungsi, xО.

Buktikan: S = F(b) – F(a), di mana F(x) adalah antiturunan dari f(x).

Bukti:

Buktikan bahwa S(a) adalah antiturunan dari f(x).

D(f) = D(S) =

S’(x0)= lim(S(x0+Dx) – S(x0) / Dx), untuk Dx®0 DS adalah persegi panjang

Dx®0 dengan sisi Dx dan f(x0)

S’(x0) = lim(Dxf(x0) /Dx) = limf(x0)=f(x0): sejak x0 adalah titik, maka S(x) adalah

Dx®0 Dx®0 antiturunan f(x).

Oleh karena itu, dengan teorema bentuk umum antiturunan, S(x)=F(x)+C.

Karena S(a)=0, lalu S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)–F(a)

Limit dari jumlah ini disebut integral tertentu.

Jumlah di bawah limit disebut jumlah integral.

Integral tentu adalah limit dari jumlah integral pada ruas sebagai n®¥. Jumlah integral diperoleh sebagai batas jumlah produk dari panjang segmen yang diperoleh dengan membagi domain fungsi pada setiap titik interval ini.

a - batas bawah integrasi;

b - atas.

rumus Newton-Leibniz.

Membandingkan rumus untuk luas trapesium lengkung, kami menyimpulkan:

jika F adalah antiturunan dari b pada , maka

f(x)dx = F(b)–F(a)

f(x)dx = F(x) = F(b) – F(a)

Sifat-sifat integral tertentu.

f(x)dx = f(z)dz

f(x)dx = F(a) – F(a) = 0

f(x)dx = – f(x)dx

f(x)dx = F(a) – F(b) f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))

Jika a, b dan c adalah sembarang titik pada interval I di mana fungsi kontinu f(x) memiliki antiturunan, maka

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx

F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)

(ini adalah sifat aditif dari integral tertentu)

Jika l dan m adalah konstanta, maka

(lf(x) + mj(x))dx = lò f(x)dx + mòj(x))dx –

adalah sifat linearitas integral tertentu.

(f(x)+g(x)+...+h(x))dx = f(x)dx+ g(x)dx+...+ h(x)dx

(f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –

– (F(a) + G(a) +...+ H(a)) + C =

F(b)–F(a)+C1 +G(b)–G(a)+C2+...+H(b)–H(a)+Cn=

= f(x)dx+ g(x)dx+...+ h(x)dx

Set gambar standar

Aplikasi integral

I. Dalam fisika.

Kerja paksa (A=FScosa, cosa¹ 1)

Jika gaya F bekerja pada sebuah partikel, energi kinetiknya tidak tetap. Dalam hal ini, menurut

pertambahan energi kinetik partikel dalam waktu dt sama dengan produk skalar Fds, di mana ds adalah perpindahan partikel dalam waktu dt. Nilai

disebut usaha yang dilakukan oleh gaya F.

Biarkan sebuah titik bergerak sepanjang sumbu OX di bawah aksi gaya yang proyeksinya ke sumbu OX adalah fungsi f(x) (f adalah fungsi kontinu). Di bawah aksi gaya, titik bergerak dari titik S1(a) ke S2(b). Mari kita bagi segmen menjadi n segmen dengan panjang yang sama Dx = (b - a)/n. Kerja gaya akan sama dengan jumlah kerja gaya pada segmen yang dihasilkan. Karena f(x) kontinu, maka untuk kecil, kerja gaya pada segmen ini sama dengan f(a)(x1–a). Demikian pula, pada segmen kedua f(x1)(x2–x1), pada segmen ke-n - f(xn–1)(b–xn–1). Oleh karena itu, kerja sama dengan:

A »An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx=

= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))

Persamaan perkiraan berubah menjadi persamaan eksak untuk n®¥

= lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(xn–1))= f(x)dx (menurut definisi)

Biarkan pegas dengan kekakuan C dan panjang l ditekan setengah panjangnya. Tentukan nilai energi potensial Ep sama dengan usaha A yang dilakukan oleh gaya –F (s) elastisitas pegas ketika dimampatkan, maka

Ep = A= – (–F(s)) dx

Dari mata kuliah mekanik diketahui bahwa F(s)= –Cs.

Dari sini kita menemukan

En= – (–Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

Jawaban: Cl2/8.

Koordinat pusat massa

Pusat massa adalah titik yang dilalui oleh resultan gravitasi untuk setiap pengaturan spasial benda.

Biarkan bahan pelat homogen o memiliki bentuk trapesium lengkung (x; y |a £ x £ b; 0 £ y £ f (x)) dan fungsi y \u003d f (x) kontinu pada , dan luas dari trapesium lengkung ini sama dengan S, maka koordinat pusat Massa pelat o ditemukan dengan rumus:

x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;

Pusat massa.

Tentukan pusat massa setengah lingkaran homogen yang berjari-jari R.

Gambarlah setengah lingkaran dalam sistem koordinat OXY.

y = (1/2S) (R2–x2)dx = (1/pR2) (R2–x2)dx =

= (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p

Jawaban: M(0; 4R/3p)

Jalur yang dilalui oleh titik material

Jika titik material bergerak lurus dengan kecepatan u=u(t) dan untuk waktu T= t2–t1 (t2>t1) melewati lintasan S, maka

Dalam geometri

Volume adalah karakteristik kuantitatif dari tubuh spasial. Sebuah kubus dengan rusuk 1 mm (1di, 1m, dll.) dianggap sebagai satuan volume.

Banyaknya kubus dari suatu satuan volume yang ditempatkan pada suatu benda tertentu adalah volume benda tersebut.

Aksioma volume:

Volume adalah nilai non-negatif.

Volume tubuh sama dengan jumlah volume tubuh yang menyusunnya.

Mari kita cari rumus untuk menghitung volume:

pilih sumbu OX ke arah lokasi tubuh ini;

menentukan batas-batas lokasi tubuh relatif terhadap OX;

Mari kita perkenalkan fungsi bantu S(x) yang mendefinisikan korespondensi berikut: untuk setiap x dari segmen yang kita masukkan ke dalam korespondensi, luas penampang dari gambar yang diberikan oleh bidang yang melewati titik x yang diberikan tegak lurus terhadap sumbu OX.

mari kita bagi segmen menjadi n bagian yang sama dan menggambar bidang yang tegak lurus terhadap sumbu OX melalui setiap titik pembagian, sementara tubuh kita akan dibagi menjadi beberapa bagian. Menurut aksioma

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0, dan Sk®Sk+1, dan volume bagian yang tertutup di antara dua bidang yang berdekatan sama dengan volume silinder Vц=SonH.

Kami memiliki jumlah produk dari nilai-nilai fungsi pada titik-titik partisi dengan langkah partisi, yaitu. jumlah integral. Dengan definisi integral tertentu, limit jumlah ini sebagai n®¥ disebut integral a

V= S(x)dx, di mana S(x) adalah penampang bidang yang melalui

b titik yang dipilih tegak lurus terhadap sumbu OX.

Untuk menemukan volume yang Anda butuhkan:

satu). Pilih sumbu OX dengan cara yang nyaman.

2). Tentukan batas-batas lokasi benda ini relatif terhadap sumbu.

3). Bangun bagian tubuh tertentu dengan bidang yang tegak lurus terhadap sumbu OX dan melewati titik yang sesuai.

4). Nyatakan dalam besaran yang diketahui suatu fungsi yang menyatakan luas suatu bagian tertentu.

5). Buatlah integral.

6). Setelah menghitung integral, tentukan volumenya.

Volume angka rotasi

Benda yang diperoleh sebagai hasil rotasi dari suatu bangun datar terhadap beberapa sumbu disebut sosok rotasi.

Fungsi S(x) dari gambar rotasi memiliki lingkaran.

dtk(x)=p f 2(x)

Panjang busur dari kurva datar

Biarkan fungsi y = f(x) pada segmen memiliki turunan kontinu y’ = f ’(x). Dalam hal ini, panjang busur l dari "potongan" grafik fungsi y = f(x), xн dapat ditemukan dengan rumus

l = (1+f'(x)2)dx

Bibliografi

M.Ya.Vilenkin, O.S.Ivashev–Musatov, S.I.Shvartsburd, “Aljabar dan Analisis Matematika”, Moskow, 1993

"Kumpulan masalah dalam analisis matematika", Moskow, 1996.

I.V. Savelyev, "Kursus Fisika Umum", Volume 1, Moskow, 1982