Bagaimana mengubah ekspresi menjadi identik sama. Identitas, definisi, notasi, contoh

Subjek "Bukti identitas» Kelas 7 (KRO)

Buku Teks Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

Tujuan Pelajaran

Pendidikan:

untuk memperkenalkan dan pada awalnya mengkonsolidasikan konsep "ekspresi yang sama secara identik", "identitas", "transformasi yang identik";

untuk mempertimbangkan cara untuk membuktikan identitas, untuk berkontribusi pada pengembangan keterampilan untuk membuktikan identitas;

untuk memeriksa asimilasi siswa dari materi yang dibahas, untuk membentuk keterampilan menerapkan yang dipelajari untuk persepsi yang baru.

Mengembangkan:

Mengembangkan kemampuan pidato matematika siswa (memperkaya dan memperumit kosakata ketika menggunakan istilah matematika khusus),

mengembangkan pemikiran,

Pendidikan: untuk menumbuhkan ketekunan, akurasi, kebenaran merekam solusi latihan.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru

Selama kelas

1 . Mengatur waktu.

Memeriksa pekerjaan rumah.

Pertanyaan tentang pekerjaan rumah.

Debriefing di papan tulis.

Matematika diperlukan
Tidak mungkin tanpa dia
Kami mengajar, kami mengajar, teman-teman,
Apa yang kita ingat di pagi hari?

2 . Mari kita melakukan latihan.

Hasil tambahan. (Jumlah)

Berapa banyak angka yang Anda tahu? (Sepuluh)

Seperseratus dari sebuah angka. (Persen)

hasil pembagian? (Pribadi)

Bilangan asli terkecil? (satu)

Apakah mungkin saat membagi bilangan asli mendapatkan nol? (Tidak)

Berapa bilangan bulat negatif terbesar. (-satu)

Nomor berapa yang tidak bisa dibagi? (0)

Hasil perkalian? (Kerja)

Hasil dari pengurangan. (Perbedaan)

Sifat komutatif penjumlahan. (Jumlah tidak berubah dari penataan ulang tempat istilah)

Sifat komutatif perkalian. (Produk tidak berubah dari permutasi tempat faktor)

studi tentang topik baru(definisi dengan catatan di buku catatan)

Tentukan nilai ekspresi pada x=5 dan y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Kami mendapat hasil yang sama. Ini mengikuti dari sifat distributif bahwa, secara umum, untuk setiap nilai variabel, nilai ekspresi 3(x + y) dan 3x + 3y adalah sama.

Pertimbangkan sekarang ekspresi 2x + y dan 2xy. Untuk x=1 dan y=2 mereka mengambil nilai yang sama:

Namun, Anda dapat menentukan nilai x dan y sedemikian rupa sehingga nilai ekspresi ini tidak sama. Misalnya, jika x=3, y=4, maka

Definisi: Dua ekspresi yang nilainya sama untuk setiap nilai variabel dikatakan identik sama.

Ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y identik sama, tetapi ekspresi 2x+y dan 2xy tidak identik sama.

Persamaan 3(x + y) dan 3x + 3y berlaku untuk semua nilai x dan y. Kesetaraan seperti itu disebut identitas.

Definisi: Kesetaraan yang benar untuk setiap nilai variabel disebut identitas.

Persamaan numerik yang benar juga dianggap sebagai identitas. Kami sudah bertemu dengan identitas. Identitas adalah persamaan yang menyatakan sifat dasar dari tindakan pada bilangan (Siswa mengomentari setiap sifat dengan mengucapkannya).

a + b = b + a
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac

Berikan contoh identitas lainnya

Definisi: Penggantian satu ekspresi dengan yang lain, identik sama dengan itu, disebut transformasi identik atau hanya transformasi ekspresi.

Transformasi identik dari ekspresi dengan variabel dilakukan berdasarkan sifat-sifat operasi pada angka.

Transformasi identitas ekspresi banyak digunakan dalam menghitung nilai ekspresi dan memecahkan masalah lain. Anda sudah harus melakukan beberapa transformasi yang identik, misalnya, pengurangan suku yang serupa, perluasan tanda kurung.

5 . No. 691, No. 692 (dengan pengucapan aturan kurung buka, perkalian bilangan negatif dan positif)

Identitas untuk memilih solusi rasional:(pekerjaan depan)

6 . Menyimpulkan pelajaran.

Guru mengajukan pertanyaan, dan siswa menjawabnya sesuai keinginan.

Apa dua ekspresi yang disebut identik sama? Berikan contoh.

Kesetaraan apa yang disebut identitas? Berikan contoh.

Transformasi identik apa yang Anda ketahui?

7. Pekerjaan rumah. Pelajari definisi, Berikan contoh ekspresi identik (setidaknya 5), ​​tulis di buku catatan

Artikel ini memberikan inisial pengertian identitas. Di sini kita mendefinisikan identitas, memperkenalkan notasi yang digunakan, dan, tentu saja, memberikan berbagai contoh identitas

Navigasi halaman.

Apa itu identitas?

Adalah logis untuk memulai presentasi materi dengan definisi identitas. Dalam buku teks Yu.N. Makarychev, aljabar untuk 7 kelas, definisi identitas diberikan sebagai berikut:

Definisi.

Identitas adalah persamaan yang benar untuk setiap nilai variabel; setiap kesetaraan numerik yang benar juga merupakan identitas.

Pada saat yang sama, penulis segera menetapkan bahwa di masa depan definisi ini akan diperjelas. Klarifikasi ini berlangsung di kelas 8, setelah berkenalan dengan definisi nilai variabel dan ODZ yang dapat diterima. Definisinya menjadi:

Definisi.

identitas adalah persamaan numerik yang benar, serta persamaan yang benar untuk semua nilai yang dapat diterima dari variabel yang termasuk di dalamnya.

Jadi mengapa, ketika mendefinisikan identitas, di kelas 7 kita berbicara tentang nilai variabel apa pun, dan di kelas 8 kita mulai berbicara tentang nilai variabel dari DPV-nya? Hingga kelas 8, pekerjaan dilakukan secara eksklusif dengan ekspresi bilangan bulat (khususnya, dengan monomial dan polinomial), dan mereka masuk akal untuk nilai apa pun dari variabel yang termasuk di dalamnya. Oleh karena itu, di kelas 7, kami mengatakan bahwa identitas adalah persamaan yang benar untuk semua nilai variabel. Dan di kelas 8, muncul ekspresi yang masuk akal bukan untuk semua nilai variabel, tetapi hanya untuk nilai dari ODZ-nya. Oleh karena itu, dengan identitas, kita mulai menyebut persamaan yang benar untuk semua nilai variabel yang dapat diterima.

Jadi identitas adalah kasus spesial persamaan. Artinya, setiap identitas adalah kesetaraan. Tetapi tidak setiap persamaan adalah identitas, tetapi hanya persamaan yang berlaku untuk setiap nilai variabel dari rentang nilai yang dapat diterima.

Tanda identitas

Diketahui bahwa dalam penulisan persamaan, tanda sama dengan bentuk "=" digunakan, di sebelah kiri dan di sebelah kanannya ada beberapa angka atau ekspresi. Jika kita menambahkan satu garis horizontal lagi ke tanda ini, kita mendapatkan tanda identitas"≡", atau disebut juga tanda sama dengan.

Tanda identitas biasanya digunakan hanya jika perlu untuk menekankan bahwa kita memiliki bukan hanya persamaan, tetapi justru identitas. Dalam kasus lain, representasi identitas tidak berbeda dalam bentuk dari kesetaraan.

Contoh Identitas

Saatnya membawa contoh identitas. Definisi identitas yang diberikan dalam paragraf pertama akan membantu kita dalam hal ini.

Persamaan numerik 2=2 adalah contoh identitas, karena persamaan ini benar, dan persamaan numerik yang sebenarnya, menurut definisi, adalah identitas. Mereka dapat ditulis sebagai 2≡2 dan .

Persamaan numerik dari bentuk 2+3=5 dan 7−1=2·3 juga merupakan identitas, karena persamaan ini benar. Yaitu, 2+3≡5 dan 7−1≡2 3 .

Mari kita beralih ke contoh identitas yang tidak hanya berisi angka, tetapi juga variabel dalam notasinya.

Pertimbangkan persamaan 3·(x+1)=3·x+3 . Untuk setiap nilai variabel x, persamaan tertulis adalah benar karena sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, oleh karena itu, persamaan asli adalah contoh identitas. Berikut adalah contoh lain dari identitas: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, di sini rentang nilai yang valid untuk variabel x dan y adalah semua pasangan (x, y) , di mana x dan y adalah bilangan apa pun kecuali nol.

Tetapi persamaan x+1=x−1 dan a+2 b=b+2 a bukanlah identitas, karena ada nilai variabel yang persamaannya tidak benar. Misalnya, untuk x=2, persamaan x+1=x−1 berubah menjadi persamaan yang salah 2+1=2−1 . Selain itu, persamaan x+1=x−1 tidak tercapai sama sekali untuk setiap nilai variabel x . Dan persamaan a+2 b=b+2 a berubah menjadi persamaan yang salah jika diambil sembarang berbagai arti variabel a dan b . Misalnya, dengan a=0 dan b=1, kita akan mendapatkan persamaan yang salah 0+2 1=1+2 0 . Persamaan |x|=x , di mana |x| - variabel x , juga bukan identitas, karena tidak benar untuk nilai negatif x .

Contoh identitas yang paling terkenal adalah sin 2 +cos 2 =1 dan a log a b =b .

Sebagai penutup artikel ini, saya ingin mencatat bahwa ketika mempelajari matematika, kita terus-menerus menemukan identitas. Catatan properti tindakan angka adalah identitas, misalnya, a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 dan a+(−a)=0 . Juga, identitasnya adalah

Sifat dasar penjumlahan dan perkalian bilangan.

Sifat komutatif penjumlahan: jika suku-sukunya disusun kembali, nilai penjumlahannya tidak berubah. Untuk sembarang bilangan a dan b, persamaannya benar

Sifat asosiatif penjumlahan: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua bilangan, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama. Untuk setiap bilangan a, b dan c persamaannya benar

Sifat komutatif perkalian: permutasi faktor tidak mengubah nilai produk. Untuk setiap bilangan a, b, dan c, persamaannya benar

Sifat asosiatif perkalian: untuk mengalikan produk dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan angka pertama dengan produk kedua dan ketiga.

Untuk setiap bilangan a, b, dan c, persamaannya benar

Sifat distributif: Untuk mengalikan suatu bilangan dengan suatu jumlah, Anda dapat mengalikan bilangan tersebut dengan setiap suku dan menjumlahkan hasilnya. Untuk setiap bilangan a, b dan c persamaannya benar

Ini mengikuti dari sifat komutatif dan asosiatif dari penjumlahan bahwa dalam jumlah berapa pun Anda dapat mengatur ulang istilah yang Anda suka dan menggabungkannya dalam kelompok dengan cara yang sewenang-wenang.

Contoh 1 Mari kita hitung jumlah 1.23+13.5+4.27.

Untuk melakukan ini, lebih mudah untuk menggabungkan istilah pertama dengan yang ketiga. Kita mendapatkan:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Ini mengikuti dari sifat komutatif dan asosiatif perkalian: dalam produk apa pun, Anda dapat mengatur ulang faktor-faktor dengan cara apa pun dan secara sewenang-wenang menggabungkannya ke dalam kelompok.

Contoh 2 Mari kita cari nilai produk 1,8 0,25 64 0,5.

Menggabungkan faktor pertama dengan yang keempat, dan yang kedua dengan yang ketiga, kita akan mendapatkan:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Sifat distribusi juga berlaku jika bilangan dikalikan dengan jumlah tiga suku atau lebih.

Misalnya, untuk sembarang bilangan a, b, c, dan d, persamaannya benar

a(b+c+d)=ab+ac+iklan.

Kita tahu bahwa pengurangan dapat diganti dengan penjumlahan dengan menambahkan ke minuend angka yang berlawanan dengan pengurangan:

Ini memungkinkan ekspresi numerik ketik a-b pertimbangkan jumlah angka a dan -b, pertimbangkan ekspresi numerik dari bentuk a + b-c-d sebagai jumlah angka a, b, -c, -d, dll. Sifat-sifat tindakan yang dipertimbangkan juga berlaku untuk jumlah tersebut.

Contoh 3 Mari kita cari nilai dari ekspresi 3.27-6.5-2.5+1.73.

Ekspresi ini adalah jumlah dari angka 3.27, -6.5, -2.5 dan 1.73. Menerapkan properti tambahan, kita mendapatkan: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

Contoh 4 Mari kita hitung hasil kali 36·().

Pengganda dapat dianggap sebagai jumlah angka dan -. Dengan menggunakan sifat distributif perkalian, kita peroleh:

36()=36-36=9-10=-1.

identitas

Definisi. Dua ekspresi yang nilainya bersesuaian sama untuk setiap nilai variabel dikatakan identik sama.

Definisi. Kesetaraan yang benar untuk setiap nilai variabel disebut identitas.

Mari kita cari nilai dari ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y untuk x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Kami mendapat hasil yang sama. Ini mengikuti dari sifat distributif bahwa, secara umum, untuk setiap nilai variabel, nilai yang sesuai dari ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y adalah sama.

Pertimbangkan sekarang ekspresi 2x+y dan 2xy. Untuk x=1, y=2 mereka mengambil nilai yang sama:

Namun, Anda dapat menentukan nilai x dan y sedemikian rupa sehingga nilai ekspresi ini tidak sama. Misalnya, jika x=3, y=4, maka

Ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y identik sama, tetapi ekspresi 2x+y dan 2xy tidak identik sama.

Persamaan 3(x+y)=x+3y, berlaku untuk semua nilai x dan y, adalah identitas.

Persamaan numerik yang benar juga dianggap sebagai identitas.

Jadi, identitas adalah persamaan yang mengekspresikan sifat utama tindakan pada angka:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Contoh lain dari identitas dapat diberikan:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformasi identitas ekspresi

Penggantian satu ekspresi dengan yang lain, identik sama dengan itu, disebut transformasi identik atau hanya transformasi ekspresi.

Transformasi identik dari ekspresi dengan variabel dilakukan berdasarkan sifat-sifat operasi pada angka.

Untuk menemukan nilai ekspresi xy-xz yang diberikan nilai x, y, z, Anda perlu melakukan tiga langkah. Misalnya, dengan x=2.3, y=0.8, z=0.2 kita mendapatkan:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Hasil ini dapat diperoleh hanya dalam dua langkah, menggunakan ekspresi x(y-z), yang identik sama dengan ekspresi xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Kami telah menyederhanakan perhitungan dengan mengganti ekspresi xy-xz dengan ekspresi yang identik sama x(y-z).

Transformasi identitas ekspresi banyak digunakan dalam menghitung nilai ekspresi dan memecahkan masalah lain. Beberapa transformasi identik telah dilakukan, misalnya, pengurangan istilah serupa, pembukaan tanda kurung. Ingat aturan untuk melakukan transformasi ini:

untuk membawa suku-suku serupa, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa;

jika ada tanda tambah di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan, dengan tetap menggunakan tanda setiap istilah yang diapit tanda kurung;

jika ada tanda minus di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan dengan mengubah tanda setiap suku yang diapit tanda kurung.

Contoh 1 Mari kita tambahkan suku sejenis dalam jumlah 5x+2x-3x.

Kami menggunakan aturan untuk mengurangi suku-suku serupa:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Transformasi ini didasarkan pada sifat distributif perkalian.

Contoh 2 Mari kita perluas tanda kurung dalam ekspresi 2a+(b-3c).

Menerapkan aturan untuk membuka kurung didahului dengan tanda plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat asosiatif penjumlahan.

Contoh 3 Mari kita perluas tanda kurung dalam ekspresi a-(4b-c).

Mari kita gunakan aturan untuk memperluas tanda kurung yang didahului dengan tanda minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat distributif perkalian dan sifat asosiatif penjumlahan. Mari kita tunjukkan. Mari kita nyatakan suku kedua -(4b-c) dalam ekspresi ini sebagai produk (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Menerapkan properti tindakan ini, kami mendapatkan:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Dalam mempelajari aljabar, kita menemukan konsep polinomial (misalnya ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ dan seterusnya) dan pecahan aljabar (misalnya $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ dll.) Kesamaan konsep-konsep ini adalah bahwa baik dalam polinomial maupun dalam pecahan aljabar ada variabel dan nilai numerik, operasi aritmatika: penjumlahan, pengurangan, perkalian, eksponensial. Perbedaan antara konsep-konsep ini adalah bahwa pembagian dengan variabel tidak dilakukan dalam polinomial, sedangkan pembagian dengan variabel dapat dilakukan dalam pecahan aljabar.

Baik polinomial maupun pecahan aljabar disebut ekspresi aljabar rasional dalam matematika. Tetapi polinomial adalah ekspresi rasional bilangan bulat, dan pecahan aljabar adalah rasional fraksional ekspresi.

Dapat diperoleh dari pecahan --ekspresi rasional utuh ekspresi aljabar menggunakan transformasi identik, yang dalam hal ini akan menjadi properti utama pecahan - pengurangan pecahan. Mari kita periksa dalam praktiknya:

Contoh 1

Transformasi:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Keputusan: Konversi Mengingat persamaan rasional pecahan mungkin dengan menggunakan properti utama pecahan - singkatan, yaitu membagi pembilang dan penyebut dengan angka atau ekspresi yang sama selain $0$.

Pecahan ini tidak dapat segera direduksi, perlu mengubah pembilangnya.

Kami mengubah ekspresi dalam pembilang pecahan, untuk ini kami menggunakan rumus untuk kuadrat dari perbedaan: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Pecahan memiliki bentuk

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\kiri(x-2\kanan)(x-2))(x-2)\]

Sekarang kita melihat bahwa ada faktor persekutuan dalam pembilang dan penyebut - ini adalah ekspresi $x-2$, di mana kita akan mengurangi pecahan

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\kanan)(x-2))(x-2)=x-2\]

Setelah reduksi, kami memperoleh bahwa ekspresi pecahan-rasional asli $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ telah menjadi polinomial $x-2$, yaitu. keseluruhan rasional.

Sekarang mari kita perhatikan fakta bahwa ekspresi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2\ $ dapat dianggap identik tidak untuk semua nilai variabel, karena agar ekspresi pecahan-rasional ada dan pengurangan dengan polinomial $x-2$ menjadi mungkin, penyebut pecahan tidak boleh sama dengan $0$ (serta faktor yang kita perkecil. Dalam contoh ini penyebut dan pengalinya sama, tetapi tidak selalu demikian).

Nilai variabel yang fraksi aljabarnya akan ada disebut nilai variabel yang valid.

Kami memberikan kondisi pada penyebut pecahan: $x-2≠0$, lalu $x≠2$.

Jadi ekspresi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2$ identik untuk semua nilai variabel kecuali $2$.

Definisi 1

identik sama Ekspresi adalah ekspresi yang sama untuk semua kemungkinan nilai variabel.

Transformasi identik adalah setiap penggantian ekspresi asli dengan yang identik sama Transformasi tersebut meliputi tindakan berikut: penambahan, pengurangan, perkalian, kurung, pecahan aljabar ke penyebut yang sama, pengurangan pecahan aljabar, pengurangan suku yang sama, dll. Harus diperhitungkan bahwa sejumlah transformasi, seperti pengurangan, pengurangan suku serupa, dapat mengubah nilai variabel yang diizinkan.

Teknik yang digunakan untuk membuktikan identitas

Ubah ruas kiri identitas menjadi ruas kanan atau sebaliknya menggunakan transformasi identitas

Kurangi kedua bagian menjadi ekspresi yang sama menggunakan transformasi identik

Transfer ekspresi di satu bagian ekspresi ke bagian lain dan buktikan bahwa perbedaan yang dihasilkan sama dengan $0$

Manakah dari metode di atas yang digunakan untuk membuktikan identitas tertentu bergantung pada identitas aslinya.

Contoh 2

Buktikan identitasnya $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Keputusan: Untuk membuktikan identitas ini, kita menggunakan cara pertama di atas, yaitu, kita akan mengubah sisi kiri identitas hingga sama dengan sisi kanan.

Perhatikan sisi kiri identitas: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- itu adalah selisih dua polinomial. Dalam hal ini, polinomial pertama adalah kuadrat dari jumlah tiga suku. Untuk menguadratkan jumlah beberapa suku, kita menggunakan rumus:

\[(((a+b+c)))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Untuk melakukan ini, kita perlu mengalikan suatu bilangan dengan polinomial.Ingat bahwa untuk ini kita perlu mengalikan faktor persekutuan di luar kurung dengan setiap suku polinomial di dalam kurung.Kemudian kita dapatkan:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Sekarang kembali ke polinomial asli, itu akan berbentuk:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Perhatikan bahwa ada tanda “-” di depan braket, yang berarti bahwa ketika braket dibuka, semua tanda yang ada di dalam kurung terbalik.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Jika kita membawa istilah yang serupa, maka kita mendapatkan bahwa monomial $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ dan $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ saling meniadakan, mis. jumlah mereka sama dengan $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Jadi, dengan transformasi identik, kami memperoleh ekspresi identik di sisi kiri identitas asli

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Perhatikan bahwa ekspresi yang dihasilkan menunjukkan bahwa identitas asli adalah benar.

Perhatikan bahwa dalam identitas asli, semua nilai variabel diperbolehkan, yang berarti bahwa kami telah membuktikan identitas menggunakan transformasi identik, dan itu berlaku untuk semua nilai variabel yang diizinkan.