Dalam proses mengukur sesuatu harus diperhatikan bahwa hasil yang diperoleh belum final. Untuk lebih akurat menghitung nilai yang diinginkan, perlu memperhitungkan kesalahan. Menghitungnya cukup sederhana.

Bagaimana menemukan kesalahan - perhitungan

Jenis kesalahan:

• relatif;
• mutlak.

Yang perlu Anda hitung:

• Kalkulator;
• hasil beberapa kali pengukuran dengan besaran yang sama.

Bagaimana menemukan kesalahan - urutan tindakan

• Ukur nilainya 3-5 kali.
• Jumlahkan semua hasil dan bagi angka yang dihasilkan dengan jumlah mereka. Angka ini adalah nilai sebenarnya.
• Hitung galat mutlak dengan mengurangkan nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya dari hasil pengukuran. Rumus: X = Hisl - Hist. Dalam proses perhitungan, seseorang dapat memperoleh positif dan nilai negatif. Dalam kedua kasus, modulus hasil diambil. Jika perlu untuk mengetahui kesalahan mutlak dari jumlah dua besaran, maka perhitungan dilakukan sesuai dengan rumus berikut: (X + Y) = X + Y. Ini juga berfungsi ketika diperlukan untuk menghitung kesalahan perbedaan antara dua kuantitas: (X-Y) = X+∆Y.
• Cari tahu kesalahan relatif untuk masing-masing pengukuran. Dalam hal ini, Anda perlu membagi kesalahan absolut yang diperoleh dengan nilai sebenarnya. Kemudian kalikan hasil bagi dengan 100%. (x)=Δx/x0*100%. Nilai mungkin atau mungkin tidak dikonversi ke persentase.
• Untuk mendapatkan nilai kesalahan yang lebih akurat, perlu dicari simpangan bakunya. Itu dicari dengan cukup sederhana: hitung kuadrat dari semua nilai kesalahan mutlak dan kemudian menemukan jumlah mereka. Hasil yang diperoleh harus dibagi dengan angka (N-1), di mana N adalah jumlah semua pengukuran. Langkah terakhir adalah mengekstrak root dari hasil. Setelah perhitungan seperti itu, standar deviasi akan diperoleh, yang biasanya menjadi ciri kesalahan pengukuran.
• Untuk menemukan kesalahan mutlak pembatas, perlu untuk menemukan yang paling nomor kecil, yang nilainya sama dengan atau melebihi nilai kesalahan mutlak.
• Kesalahan relatif pembatas dicari dengan metode yang sama, hanya perlu menemukan bilangan yang lebih besar atau sama dengan nilai kesalahan relatif.

Kesalahan pengukuran muncul karena berbagai alasan dan mempengaruhi keakuratan nilai yang diperoleh. Mengetahui apa kesalahannya, Anda dapat mengetahui nilai pengukuran yang lebih akurat.

Kesalahan absolut dan relatif

Elemen teori kesalahan

Angka eksak dan perkiraan

Keakuratan angka umumnya tidak diragukan lagi ketika kita sedang berbicara tentang nilai data bilangan bulat (2 pensil, 100 pohon). Namun, dalam banyak kasus, ketika tidak mungkin untuk menunjukkan nilai yang tepat dari suatu angka (misalnya, saat mengukur objek dengan penggaris, mengambil hasil dari perangkat, dll.), kita berurusan dengan data perkiraan.

Nilai perkiraan adalah angka yang sedikit berbeda dari nilai yang tepat dan menggantinya dalam perhitungan. Derajat perbedaan antara nilai perkiraan suatu bilangan dan nilai eksaknya dicirikan oleh: kesalahan .

Ada sumber utama kesalahan berikut:

1. Kesalahan dalam perumusan masalah timbul sebagai akibat dari deskripsi perkiraan dari fenomena nyata dalam hal matematika.

2. Kesalahan metode terkait dengan kesulitan atau ketidakmungkinan memecahkan masalah dan menggantinya dengan yang serupa, sehingga Anda dapat menerapkan metode solusi yang terkenal dan dapat diakses dan mendapatkan hasil yang mendekati yang diinginkan.

3. Kesalahan fatal, terkait dengan nilai perkiraan data awal dan karena kinerja perhitungan pada angka perkiraan.

4. Kesalahan pembulatan terkait dengan pembulatan nilai data awal, hasil antara dan akhir yang diperoleh dengan penggunaan alat komputasi.

Kesalahan absolut dan relatif

Akuntansi untuk kesalahan adalah aspek penting penerapan metode numerik, karena kesalahan hasil akhir penyelesaian seluruh masalah adalah produk dari interaksi semua jenis kesalahan. Oleh karena itu, salah satu tugas utama teori kesalahan adalah memperkirakan keakuratan hasil berdasarkan keakuratan data awal.

Jika merupakan bilangan eksak dan merupakan nilai aproksimasinya, maka kesalahan (error) dari nilai aproksimasi adalah derajat kedekatan nilainya dengan nilai eksaknya.

Ukuran kesalahan kuantitatif yang paling sederhana adalah kesalahan absolut, yang didefinisikan sebagai:

(1.1.2-1)

Seperti dapat dilihat dari rumus 1.1.2-1, galat mutlak memiliki satuan pengukuran yang sama dengan nilainya. Oleh karena itu, dengan besarnya kesalahan absolut, jauh dari selalu mungkin untuk menarik kesimpulan yang benar tentang kualitas aproksimasi. Misalnya, jika , dan kita berbicara tentang bagian mesin, maka pengukurannya sangat kasar, dan jika kita berbicara tentang ukuran kapal, maka itu sangat akurat. Dalam hal ini, konsep kesalahan relatif diperkenalkan, di mana nilai kesalahan absolut terkait dengan modulus nilai perkiraan ( ).

(1.1.2-2)

Penggunaan kesalahan relatif nyaman, khususnya, karena tidak bergantung pada skala nilai dan unit data. Kesalahan relatif diukur dalam pecahan atau persentase. Jadi, misalnya, jika

,sebuah , kemudian , dan jika dan ,

sehingga kemudian .

Untuk mengevaluasi kesalahan suatu fungsi secara numerik, Anda perlu mengetahui aturan dasar untuk menghitung kesalahan tindakan:

· saat menambah dan mengurangi angka kesalahan mutlak angka bertambah

· saat mengalikan dan membagi angka kesalahan relatif mereka ditumpuk di atas satu sama lain

· ketika dipangkatkan dengan angka perkiraan kesalahan relatifnya dikalikan dengan eksponen

Contoh 1.1.2-1. Diberikan sebuah fungsi: . Temukan kesalahan absolut dan relatif dari nilai (kesalahan hasil melakukan operasi aritmatika), jika nilainya diketahui, dan 1 adalah bilangan eksak dan kesalahannya adalah nol.

Setelah menentukan nilai kesalahan relatif, seseorang dapat menemukan nilai kesalahan absolut sebagai: , di mana nilainya dihitung dengan rumus untuk nilai perkiraan

Karena nilai pasti dari kuantitas biasanya tidak diketahui, perhitungannya dan menurut rumus di atas tidak mungkin. Oleh karena itu, dalam praktiknya, kesalahan marginal dari formulir dievaluasi:

(1.1.2-3)

di mana dan - nilai yang diketahui, yang merupakan batas atas kesalahan absolut dan relatif, jika tidak mereka disebut - kesalahan relatif pembatas dan absolut pembatas. Jadi, nilai eksaknya terletak di dalam:

Jika nilai diketahui, maka , dan jika nilainya diketahui , kemudian

Kuantitas fisik dicirikan oleh konsep "akurasi kesalahan". Ada pepatah yang mengatakan bahwa dengan melakukan pengukuran seseorang dapat memperoleh pengetahuan. Jadi akan mungkin untuk mengetahui berapa tinggi rumah atau panjang jalan, seperti banyak lainnya.

pengantar

Mari kita memahami arti dari konsep "mengukur nilai". Proses pengukurannya adalah membandingkannya dengan besaran-besaran yang homogen, yang diambil sebagai satu kesatuan.

Liter digunakan untuk menentukan volume, gram digunakan untuk menghitung massa. Untuk membuatnya lebih mudah untuk membuat perhitungan, kami memperkenalkan sistem SI dari klasifikasi satuan internasional.

Untuk mengukur panjang rawa dalam meter, massa - kilogram, volume - liter kubik, waktu - detik, kecepatan - meter per detik.

Saat menghitung besaran fisika tidak selalu harus menggunakan cara tradisional, cukup menerapkan perhitungan menggunakan rumus. Misalnya, untuk menghitung indikator seperti kecepatan rata-rata, Anda perlu membagi jarak yang ditempuh dengan waktu yang dihabiskan di jalan. Ini adalah bagaimana kecepatan rata-rata dihitung.

Menggunakan unit pengukuran yang sepuluh, seratus, seribu kali lebih tinggi dari indikator unit pengukuran yang diterima, mereka disebut kelipatan.

Nama setiap awalan sesuai dengan nomor pengalinya:

1. Deka.
2. Hekto.
3. Kilo.
4. Mega.
5. Giga.
6. Tera.

Dalam ilmu fisika, pangkat 10 digunakan untuk menulis faktor-faktor tersebut.Misalnya, satu juta dilambangkan dengan 10 6 .

Dalam penggaris sederhana, panjangnya memiliki satuan ukuran - sentimeter. Dia 100 kali kurang dari satu meter. Sebuah penggaris 15 cm panjangnya 0,15 m.

Penggaris adalah bentuk paling sederhana alat pengukur untuk mengukur panjang. Perangkat yang lebih kompleks diwakili oleh termometer - sehingga higrometer - untuk menentukan kelembaban, ammeter - untuk mengukur tingkat kekuatan yang digunakan arus listrik.

Seberapa akurat pengukurannya?

Ambil penggaris dan pensil sederhana. Tugas kita adalah mengukur panjang alat tulis ini.

Pertama, Anda perlu menentukan apa nilai pembagian yang ditunjukkan pada skala alat pengukur. Pada dua pembagian, yang merupakan goresan terdekat dari skala, angka ditulis, misalnya, "1" dan "2".

Penting untuk menghitung berapa banyak divisi yang terlampir dalam interval angka-angka ini. Jika Anda menghitung dengan benar, Anda mendapatkan "10". Kurangi angka yang lebih besar, angka yang lebih kecil, dan bagi dengan angka yang membentuk pembagian antara angka:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Jadi kita tentukan bahwa harga yang menentukan pembagian alat tulis adalah angka 0,1 cm atau 1 mm. Jelas ditunjukkan bagaimana indikator harga untuk pembagian ditentukan menggunakan alat pengukur apa pun.

Dengan mengukur pensil dengan panjang yang sedikit kurang dari 10 cm, kita akan menggunakan pengetahuan yang diperoleh. Dengan tidak adanya pembagian kecil pada penggaris, kesimpulan akan mengikuti bahwa objek memiliki panjang 10 cm.Nilai perkiraan ini disebut kesalahan pengukuran. Hal ini menunjukkan tingkat ketidaktepatan yang dapat ditoleransi dalam pengukuran.

Menentukan parameter panjang pensil dengan lebih banyak level tinggi akurasi, nilai pembagian yang lebih besar mencapai akurasi pengukuran yang lebih besar, yang memberikan kesalahan yang lebih kecil.

Dalam hal ini, pengukuran yang benar-benar akurat tidak dapat dilakukan. Dan indikator tidak boleh melebihi ukuran harga pembagian.

Telah ditetapkan bahwa dimensi kesalahan pengukuran adalah dari harga, yang ditunjukkan pada divisi instrumen yang digunakan untuk menentukan dimensi.

Setelah mengukur pensil pada 9,7 cm, kami menentukan indikator kesalahannya. Ini adalah celah 9,65 - 9,85 cm.

Rumus yang mengukur kesalahan seperti itu adalah perhitungannya:

A = a ± D (a)

A - dalam bentuk kuantitas untuk proses pengukuran;

a - nilai hasil pengukuran;

D - penunjukan kesalahan absolut.

Saat mengurangi atau menambahkan nilai dengan kesalahan, hasilnya akan sama dengan jumlah indikator kesalahan, yang merupakan nilai masing-masing individu.

Pengenalan konsep

Jika kita mempertimbangkan tergantung pada cara diekspresikannya, kita dapat membedakan varietas berikut:

• Mutlak.
• Relatif.
• Diberikan.

Kesalahan pengukuran absolut ditunjukkan dengan huruf kapital "Delta". Konsep ini didefinisikan sebagai perbedaan antara nilai terukur dan aktual dari besaran fisika yang diukur.

Ungkapan kesalahan pengukuran mutlak adalah satuan besaran yang perlu diukur.

Saat mengukur massa, itu akan dinyatakan, misalnya, dalam kilogram. Ini bukan standar akurasi pengukuran.

Bagaimana cara menghitung kesalahan pengukuran langsung?

Ada cara untuk mewakili kesalahan pengukuran dan menghitungnya. Untuk melakukan ini, penting untuk dapat menentukan kuantitas fisik dengan akurasi yang diperlukan, untuk mengetahui apa kesalahan pengukuran absolut, yang tidak akan pernah dapat ditemukan oleh siapa pun. Anda hanya dapat menghitung nilai batasnya.

Bahkan jika istilah ini digunakan secara kondisional, ini menunjukkan dengan tepat data batas. Kesalahan pengukuran absolut dan relatif ditunjukkan oleh huruf yang sama, perbedaannya terletak pada ejaannya.

Saat mengukur panjang, kesalahan absolut akan diukur dalam satuan panjang yang dihitung. Dan kesalahan relatif dihitung tanpa dimensi, karena itu adalah rasio kesalahan absolut dengan hasil pengukuran. Nilai ini sering dinyatakan sebagai persentase atau pecahan.

Kesalahan pengukuran absolut dan relatif memiliki beberapa: cara yang berbeda perhitungan tergantung pada apa kuantitas fisik.

Konsep pengukuran langsung

Kesalahan absolut dan relatif dari pengukuran langsung tergantung pada kelas akurasi perangkat dan kemampuan untuk menentukan kesalahan penimbangan.

Sebelum berbicara tentang bagaimana kesalahan dihitung, perlu untuk memperjelas definisi. Pengukuran langsung adalah pengukuran yang hasilnya langsung dibaca dari skala instrumen.

Ketika kita menggunakan termometer, penggaris, voltmeter atau ammeter, kita selalu melakukan pengukuran langsung, karena kita menggunakan alat dengan skala secara langsung.

Ada dua faktor yang mempengaruhi kinerja:

• Kesalahan instrumen.
• Kesalahan sistem referensi.

Batas kesalahan absolut untuk pengukuran langsung akan sama dengan jumlah kesalahan yang ditunjukkan perangkat dan kesalahan yang terjadi selama proses pembacaan.

D = D (pr.) + D (absen)

Contoh termometer medis

Nilai akurasi ditunjukkan pada instrumen itu sendiri. Kesalahan 0,1 derajat Celcius terdaftar pada termometer medis. Kesalahan membaca adalah setengah dari nilai pembagian.

D = C/2

Jika nilai pembagiannya adalah 0,1 derajat, maka untuk termometer medis, perhitungan dapat dilakukan:

D \u003d 0,1 o C + 0,1 o C / 2 \u003d 0,15 o C

pada sisi belakang timbangan termometer lain adalah spesifikasi teknis dan diindikasikan bahwa untuk pengukuran yang benar perlu merendam termometer dengan seluruh punggung. tidak ditentukan. Satu-satunya kesalahan yang tersisa adalah kesalahan penghitungan.

Jika nilai pembagian skala termometer ini adalah 2 o C, maka Anda dapat mengukur suhu dengan ketelitian 1 o C. Ini adalah batas kesalahan pengukuran absolut yang diizinkan dan perhitungan kesalahan pengukuran absolut.

Sistem khusus untuk menghitung akurasi digunakan dalam alat ukur listrik.

Akurasi alat ukur listrik

Untuk menentukan akurasi perangkat tersebut, nilai yang disebut kelas akurasi digunakan. Untuk penunjukannya, huruf "Gamma" digunakan. Untuk menentukan secara akurat kesalahan pengukuran absolut dan relatif, Anda perlu mengetahui kelas akurasi perangkat, yang ditunjukkan pada skala.

Ambil, misalnya, amperemeter. Skalanya menunjukkan kelas akurasi, yang menunjukkan angka 0,5. Sangat cocok untuk pengukuran pada konstan dan arus bolak-balik, mengacu pada perangkat sistem elektromagnetik.

Ini adalah perangkat yang cukup akurat. Jika Anda membandingkannya dengan voltmeter sekolah, Anda dapat melihat bahwa ia memiliki kelas akurasi 4. Nilai ini harus diketahui untuk perhitungan lebih lanjut.

Aplikasi pengetahuan

Jadi, D c \u003d c (maks) X / 100

Rumus ini akan digunakan untuk contoh konkret. Mari kita gunakan voltmeter dan temukan kesalahan dalam mengukur tegangan yang diberikan baterai.

Mari kita sambungkan baterai langsung ke voltmeter, setelah sebelumnya memeriksa apakah panahnya nol. Saat perangkat terhubung, panah menyimpang 4,2 divisi. Keadaan ini dapat digambarkan sebagai berikut:

1. Dapat dilihat bahwa nilai maksimum U untuk item ini adalah 6.
2. Kelas akurasi -(γ) = 4.
3. U(o) = 4,2 V.
4. C=0,2 V

Dengan menggunakan data rumus ini, kesalahan pengukuran absolut dan relatif dihitung sebagai berikut:

D U \u003d DU (mis.) + C / 2

D U (pr.) \u003d U (maks) X / 100

D U (pr.) \u003d 6 V X 4/100 \u003d 0,24 V

Ini adalah kesalahan perangkat.

Perhitungan kesalahan pengukuran absolut dalam hal ini akan dilakukan sebagai berikut:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Dengan menggunakan rumus yang dipertimbangkan, Anda dapat dengan mudah mengetahui cara menghitung kesalahan pengukuran absolut.

Ada aturan untuk kesalahan pembulatan. Ini memungkinkan Anda untuk menemukan rata-rata antara batas kesalahan absolut dan yang relatif.

Belajar menentukan kesalahan penimbangan

Ini adalah salah satu contoh pengukuran langsung. pada tempat spesial layak ditimbang. Lagi pula, timbangan tuas tidak memiliki timbangan. Mari kita pelajari cara menentukan kesalahan dari proses semacam itu. Keakuratan pengukuran massa dipengaruhi oleh keakuratan bobot dan kesempurnaan timbangan itu sendiri.

Kami menggunakan timbangan dengan satu set bobot yang harus ditempatkan tepat di sisi kanan timbangan. Ambil penggaris untuk menimbang.

Sebelum memulai percobaan, Anda perlu menyeimbangkan timbangan. Kami meletakkan penggaris di mangkuk kiri.

Massa akan sama dengan jumlah bobot terpasang. Mari kita tentukan kesalahan pengukuran besaran ini.

D m = D m (berat) + D m (berat)

Kesalahan pengukuran massa terdiri dari dua istilah yang terkait dengan timbangan dan bobot. Untuk mengetahui masing-masing nilai ini, di pabrik untuk produksi timbangan dan timbangan, produk dilengkapi dengan dokumen khusus yang memungkinkan Anda menghitung akurasi.

Aplikasi tabel

Mari kita gunakan tabel standar. Kesalahan skala tergantung pada berapa banyak massa yang ditempatkan pada skala. Semakin besar, semakin besar kesalahan, masing-masing.

Bahkan jika Anda menempatkan tubuh yang sangat ringan, akan ada kesalahan. Hal ini disebabkan adanya proses gesekan yang terjadi pada as roda.

Tabel kedua mengacu pada satu set bobot. Ini menunjukkan bahwa masing-masing dari mereka memiliki kesalahan massa sendiri. 10 gram memiliki kesalahan 1 mg, serta 20 gram. Kami menghitung jumlah kesalahan dari masing-masing bobot ini, yang diambil dari tabel.

Lebih mudah untuk menulis massa dan kesalahan massa dalam dua baris, yang terletak satu di bawah yang lain. Semakin kecil bobotnya, semakin akurat pengukurannya.

Hasil

Selama materi yang dipertimbangkan, ditetapkan bahwa tidak mungkin untuk menentukan kesalahan absolut. Anda hanya dapat mengatur indikator batasnya. Untuk ini, rumus yang dijelaskan di atas dalam perhitungan digunakan. bahan ini diusulkan untuk belajar di sekolah untuk siswa di kelas 8-9. Berdasarkan pengetahuan yang diperoleh, dimungkinkan untuk memecahkan masalah untuk menentukan kesalahan absolut dan relatif.

Katakanlah lebar meja yang tepat adalah A = 384 mm, dan dengan mengukurnya, kita mendapatkan a = 381 mm. Modul selisih antara nilai eksak dari besaran yang diukur dan nilai perkiraannya disebut kesalahan mutlak. PADA contoh ini kesalahan mutlak 3 mm. Namun dalam praktiknya, kita tidak pernah mengetahui nilai pasti dari besaran yang diukur, sehingga kita tidak dapat mengetahui kesalahan mutlak dengan tepat.

Tetapi biasanya kita mengetahui ketelitian alat ukur, pengalaman pengamat melakukan pengukuran, dan sebagainya. Ini memungkinkan untuk membentuk gagasan tentang kesalahan pengukuran absolut. Jika, misalnya, kami mengukur panjang ruangan dengan pita pengukur, maka tidak sulit bagi kami untuk memperhitungkan meter dan sentimeter, tetapi kami tidak mungkin dapat memperhitungkan milimeter. Ya, tidak perlu untuk ini. Oleh karena itu, kami sengaja membuat kesalahan dalam 1 cm. Kesalahan mutlak pada panjang ruangan kurang dari 1 cm. Ketika mengukur panjang segmen apa pun dengan penggaris milimeter, kami berhak untuk menegaskan bahwa kesalahan pengukuran tidak melebihi 1mm.

Kesalahan absolut e a dari perkiraan angka a memungkinkan untuk menetapkan batas-batas di mana angka tepat A terletak:

Kesalahan absolut bukan merupakan indikator yang cukup untuk kualitas pengukuran dan tidak mencirikan keakuratan perhitungan atau pengukuran. Jika diketahui bahwa, setelah mengukur panjang tertentu, kami memperoleh kesalahan absolut 1 cm, maka tidak ada kesimpulan yang dapat dibuat tentang apakah kami mengukur dengan baik atau buruk. Jika kita mengukur panjang pensil 15 cm dan salah 1 cm, pengukuran kita tidak baik. Jika kami mengukur koridor 20 meter dan membuat kesalahan hanya 1 cm, maka pengukuran kami adalah sampel akurasi. Tidak hanya kesalahan mutlak itu sendiri yang penting, tetapi juga bagian yang dihasilkannya dari nilai yang diukur.. Pada contoh pertama, abs. kesalahan 1 cm adalah 1/15 dari nilai yang diukur atau 7%, di detik - 1/2000 atau 0,05%. Dimensi kedua jauh lebih baik.

Kesalahan relatif adalah rasio kesalahan absolut dengan nilai absolut dari nilai perkiraan:

Tidak seperti galat mutlak, yang biasanya berupa nilai berdimensi, galat relatif selalu berupa nilai tak berdimensi. Biasanya dinyatakan dalam%.

Contoh

Ketika mengukur panjang 5 cm, kesalahan absolut 0,1 cm diperbolehkan.Berapa kesalahan relatif? (Jawab 2%)

Saat menghitung jumlah penduduk kota, yang ternyata 2.000.000, kesalahan 100 orang diperbolehkan. Apa kesalahan relatif? (Jawab 0,005%)

Hasil pengukuran apa pun dinyatakan dengan angka yang hanya mencirikan nilai yang diukur. Oleh karena itu, dalam perhitungan yang kita hadapi perkiraan angka. Saat menulis angka perkiraan, diasumsikan bahwa digit terakhir di sebelah kanan mencirikan besarnya kesalahan absolut.

Misalnya, jika 12,45 ditulis, ini tidak berarti bahwa nilai yang dicirikan oleh angka ini tidak mengandung seperseribu. Dapat dikatakan bahwa seperseribu tidak diperhitungkan selama pengukuran, oleh karena itu, kesalahan absolut kurang dari setengah unit digit terakhir: . Demikian pula, sehubungan dengan perkiraan angka 1,283, kita dapat mengatakan bahwa kesalahan mutlak kurang dari 0,0005: .

Angka perkiraan biasanya ditulis sedemikian rupa sehingga kesalahan mutlak tidak melebihi satuan terakhir tempat desimal . Atau dengan kata lain, kesalahan absolut dari angka perkiraan ditandai dengan jumlah tempat desimal setelah titik desimal.

Bagaimana jika, setelah pengukuran yang cermat dari beberapa nilai, ternyata itu berisi seluruh unit, 2 persepuluh, 5 perseratus, tidak mengandung seperseribu, dan sepuluh ribu tidak dapat dihitung? Jika kita menulis 1,25, maka seperseribu tidak diperhitungkan dalam catatan ini, padahal sebenarnya kita yakin tidak. Dalam hal ini, biasanya menempatkan 0 di tempatnya - Anda harus menulis 1,250. Jadi, angka 1,25 dan 1,250 tidak berarti sama. Yang pertama berisi seperseribu; kita hanya tidak tahu berapa banyak. Yang kedua tidak mengandung seperseribu, tidak ada yang bisa dikatakan tentang sepuluh ribu.

Lebih sulit ketika menulis angka perkiraan besar. Biarkan jumlah penduduk desa sama dengan 2000 orang, dan di kota sekitar 457.000 jiwa. Selain itu, kami yakin tentang kota dalam ribuan, tetapi kami mengizinkan kesalahan dalam ratusan dan puluhan. Dalam kasus pertama, nol di akhir angka menunjukkan tidak adanya ratusan, puluhan dan satu, kami akan memanggil nol seperti itu berarti; dalam kasus kedua, nol menunjukkan ketidaktahuan kita tentang jumlah ratusan, puluhan dan satuan. Kami akan memanggil nol seperti itu tidak penting. Saat menulis angka perkiraan yang mengandung nol, perlu untuk menentukan signifikansinya. Nol biasanya tidak signifikan. Terkadang Anda dapat menunjukkan ketidakpentingan nol dengan menulis angka dalam bentuk eksponensial (457 * 10 3).

Mari kita bandingkan keakuratan dua angka perkiraan 1362.3 dan 2.37. Yang pertama, kesalahan absolut tidak melebihi 0,1; yang kedua, itu adalah 0,01. Oleh karena itu, angka kedua terlihat lebih akurat daripada yang pertama.

Mari kita hitung kesalahan relatif. Untuk nomor pertama ; untuk kedua . Angka kedua secara signifikan (hampir 100 kali) kurang akurat daripada yang pertama. Ternyata ini karena di angka pertama 5 angka yang benar (signifikan) diberikan, sedangkan di angka kedua - hanya 3.

Semua digit dari angka perkiraan, di mana kami yakin, akan disebut digit benar (signifikan). Angka nol tepat di sebelah kanan setelah koma tidak signifikan, hanya menunjukkan urutan angka penting di sebelah kanan. Nol di posisi paling kanan dari suatu bilangan dapat menjadi signifikan dan tidak signifikan. Misalnya, setiap bilangan berikut memiliki 3 angka penting: 283*10 5 , 200*10 2 , 22,5, 0,0811, 2.10, 0,0000458.

Contoh

Berapa banyak angka penting (benar) pada bilangan berikut:

0.75 (2), 12.050 (5), 1875*10 5 (4), 0.06*10 9 (1)

Perkirakan kesalahan relatif dari angka perkiraan berikut:

nol signifikan: 21000 (0,005%),

Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk perkiraan perkiraan kesalahan relatif suatu angka, cukup untuk menghitung jumlah angka penting. Untuk bilangan yang hanya memiliki satu angka penting, kesalahan relatifnya adalah sekitar 10%;

dengan 2 angka penting - 1%;

dengan 3 angka penting - 0,1%;

dengan 4 angka penting - 0,01%, dst.

Saat menghitung dengan angka perkiraan, kami akan tertarik pada pertanyaan: bagaimana, berdasarkan angka perkiraan yang diberikan, untuk mendapatkan jawaban dengan kesalahan relatif yang diperlukan.

Seringkali, dalam hal ini, semua data awal harus diambil dengan kesalahan yang sama, yaitu dengan kesalahan yang paling tidak akurat dari angka yang diberikan. Oleh karena itu, seringkali perlu mengganti angka yang lebih akurat dengan angka yang kurang akurat - untuk dibulatkan.

pembulatan ke persepuluh 27.136 » 27.1,

pembulatan ke bilangan bulat 32.8 » 33.

Aturan pembulatan: Jika digit paling kiri yang dibuang selama pembulatan kurang dari 5, maka digit terakhir yang dipertahankan tidak diubah; jika digit paling kiri yang akan dibuang lebih besar dari 5, atau jika sama dengan 5, maka digit terakhir yang disimpan bertambah 1.

Contoh

putaran ke persepuluh 17,96 (18,0)

bulatkan ke perseratus 14.127 (14.13)

bulatkan untuk mempertahankan 3 angka yang benar: 83.501 (83.5), 728.21 (728), 0.0168835 (0.01688).

Kesalahan absolut dan relatif digunakan untuk mengevaluasi ketidakakuratan dalam perhitungan yang dibuat dengan kompleksitas tinggi. Mereka juga digunakan dalam berbagai pengukuran dan untuk pembulatan hasil perhitungan. Pertimbangkan bagaimana menentukan kesalahan absolut dan relatif.

Kesalahan mutlak

Kesalahan mutlak angka sebutkan perbedaan antara angka ini dan nilai eksaknya.
Pertimbangkan sebuah contoh : 374 siswa belajar di sekolah tersebut. Jika angka ini dibulatkan menjadi 400, maka kesalahan pengukuran mutlaknya adalah 400-374=26.

Untuk menghitung kesalahan absolut, diperlukan dari lagi kurangi.

Ada rumus untuk kesalahan mutlak. Kami menunjukkan angka yang tepat dengan huruf A, dan dengan huruf a - perkiraan ke angka yang tepat. Angka perkiraan adalah angka yang sedikit berbeda dari angka pasti dan biasanya menggantikannya dalam perhitungan. Maka rumusnya akan terlihat seperti ini:

a=A-a. Bagaimana menemukan kesalahan mutlak dengan rumus, kita bahas di atas.

Dalam praktiknya, kesalahan absolut tidak cukup untuk mengevaluasi pengukuran secara akurat. Sangat jarang mungkin untuk mengetahui secara pasti nilai besaran yang diukur untuk menghitung kesalahan mutlak. Jika Anda mengukur buku dengan panjang 20 cm dan membiarkan kesalahan 1 cm, Anda dapat membaca pengukuran dengan kesalahan besar. Tetapi jika kesalahan 1 cm dibuat saat mengukur dinding 20 meter, pengukuran ini dapat dianggap seakurat mungkin. Oleh karena itu, dalam praktiknya lebih pentingnya memiliki definisi kesalahan pengukuran relatif.

Catat kesalahan mutlak bilangan tersebut dengan menggunakan tanda ±. Misalnya , panjang gulungan kertas dinding adalah 30 m ± 3 cm Batas kesalahan mutlak disebut kesalahan mutlak pembatas.

Kesalahan relatif

Kesalahan relatif disebut rasio kesalahan mutlak suatu bilangan terhadap bilangan itu sendiri. Untuk menghitung kesalahan relatif dalam contoh siswa, bagi 26 dengan 374. Kami mendapatkan angka 0,0695, mengubahnya menjadi persentase dan mendapatkan 6%. Kesalahan relatif dilambangkan sebagai persentase, karena itu adalah kuantitas tak berdimensi. Kesalahan relatif adalah perkiraan yang akurat dari kesalahan pengukuran. Jika kita mengambil kesalahan absolut 1 cm saat mengukur panjang segmen 10 cm dan 10 m, maka kesalahan relatif masing-masing akan sama dengan 10% dan 0,1%. Untuk segmen dengan panjang 10 cm, kesalahan 1 cm sangat besar, ini kesalahan 10%. Dan untuk segmen sepuluh meter, 1 cm tidak masalah, hanya 0,1%.

Ada kesalahan sistematis dan acak. Kesalahan sistematis adalah kesalahan yang tetap tidak berubah selama pengukuran berulang. Kesalahan acak terjadi sebagai akibat dari dampak pada proses pengukuran faktor eksternal dan dapat mengubah nilainya.

Aturan untuk menghitung kesalahan

Ada beberapa aturan untuk estimasi nominal kesalahan:

• saat menambah dan mengurangi angka, perlu untuk menambahkan kesalahan absolutnya;
• saat membagi dan mengalikan angka, diperlukan untuk menambahkan kesalahan relatif;
• ketika dieksponen, kesalahan relatif dikalikan dengan eksponen.

Perkiraan dan angka pasti ditulis menggunakan desimal. Hanya nilai rata-rata yang diambil, karena nilai eksaknya bisa sangat panjang. Untuk memahami cara menulis angka-angka ini, Anda perlu belajar tentang angka-angka yang benar dan diragukan.

Bilangan sejati adalah bilangan yang angkanya melebihi kesalahan mutlak bilangan tersebut. Jika angka dari angka tersebut lebih kecil dari kesalahan mutlak, maka disebut diragukan. Misalnya , untuk pecahan 3,6714 dengan kesalahan 0,002, angka 3,6,7 akan benar, dan 1 dan 4 diragukan. Hanya angka yang benar yang tersisa dalam catatan angka perkiraan. Pecahan dalam hal ini akan terlihat seperti ini - 3,67.

Apa yang telah kita pelajari?

Kesalahan absolut dan relatif digunakan untuk mengevaluasi keakuratan pengukuran. Kesalahan mutlak adalah selisih antara bilangan eksak dan bilangan perkiraan. Kesalahan relatif adalah rasio kesalahan mutlak suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Dalam praktiknya, kesalahan relatif digunakan, karena lebih akurat.