Ինչպես գրել քառակուսի հավասարում` իմանալով արմատները: Քառակուսային հավասարումներ - օրինակներ լուծումներով, հատկանիշներով և բանաձևերով

Շարունակում ենք ուսումնասիրել թեման հավասարումների լուծում«. Մենք արդեն ծանոթացել ենք գծային հավասարումների հետ և այժմ պատրաստվում ենք ծանոթանալ քառակուսի հավասարումներ.

Նախ, մենք կքննարկենք, թե ինչ է քառակուսի հավասարումը, ինչպես է այն գրվում ընդհանուր ձևով և կտանք համապատասխան սահմանումներ: Դրանից հետո, օրինակներով, մանրամասն կվերլուծենք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները։ Այնուհետև մենք անցնում ենք ամբողջական հավասարումների լուծմանը, ստանում ենք արմատների բանաձևը, ծանոթանում ենք քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտին և դիտարկում բնորոշ օրինակների լուծումները։ Ի վերջո, մենք հետևում ենք արմատների և գործակիցների միջև կապերին:

Էջի նավարկություն.

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը: Նրանց տեսակները

Նախ պետք է հստակ հասկանալ, թե ինչ է քառակուսի հավասարումը: Ուստի տրամաբանական է քառակուսի հավասարումների մասին խոսել քառակուսի հավասարման, ինչպես նաև դրա հետ կապված սահմանումներով։ Դրանից հետո կարող եք դիտարկել քառակուսի հավասարումների հիմնական տեսակները՝ կրճատված և չկրճատված, ինչպես նաև ամբողջական և թերի հավասարումներ։

Քառակուսային հավասարումների սահմանում և օրինակներ

Սահմանում.

Քառակուսային հավասարումձևի հավասարումն է a x 2 +b x+c=0, որտեղ x-ը փոփոխական է, a-ն, b-ը և c-ն որոշ թվեր են, իսկ a-ն տարբերվում է զրոյից:

Անմիջապես ասենք, որ քառակուսի հավասարումները հաճախ կոչվում են երկրորդ աստիճանի հավասարումներ։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ քառակուսի հավասարումը հանրահաշվական հավասարումերկրորդ աստիճան.

Հնչած սահմանումը թույլ է տալիս մեզ բերել քառակուսի հավասարումների օրինակներ: Այսպիսով, 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 և այլն: քառակուսի հավասարումներ են։

Սահմանում.

Թվեր a , b և c կոչվում են քառակուսի հավասարման գործակիցները a x 2 +b x + c=0, իսկ a գործակիցը կոչվում է առաջին, կամ ավագ, կամ գործակից x 2-ում, b-ը երկրորդ գործակիցն է, կամ գործակիցը x-ում, իսկ c-ն ազատ անդամ է:

Օրինակ՝ վերցնենք 5 x 2 −2 x−3=0 ձևի քառակուսային հավասարումը, այստեղ առաջատար գործակիցը 5 է, երկրորդը՝ −2, իսկ ազատ անդամը՝ −3։ Նկատի ունեցեք, որ երբ b և/կամ c գործակիցները բացասական են, ինչպես հենց բերված օրինակում, օգտագործվում է 5 x 2 −2 x−3=0 ձևի քառակուսի հավասարման կարճ ձևը, այլ ոչ թե 5 x 2 +(−): 2 )x+(−3)=0:

Հարկ է նշել, որ երբ a և/կամ b գործակիցները հավասար են 1-ի կամ −1-ի, ապա դրանք սովորաբար հստակորեն առկա չեն քառակուսի հավասարման նշման մեջ, ինչը պայմանավորված է այդպիսի նիշի առանձնահատկություններով: Օրինակ՝ y 2 −y+3=0 քառակուսի հավասարման մեջ առաջատար գործակիցը մեկն է, իսկ y-ի գործակիցը −1 է։

Կրճատված և ոչ կրճատված քառակուսի հավասարումներ

Կախված առաջատար գործակցի արժեքից՝ առանձնանում են կրճատված և չկրճատված քառակուսի հավասարումներ։ Տանք համապատասխան սահմանումները։

Սահմանում.

Կոչվում է քառակուսի հավասարումը, որի առաջատար գործակիցը 1 է կրճատված քառակուսի հավասարում. Հակառակ դեպքում, քառակուսի հավասարումը չկրճատված.

Ըստ այս սահմանման՝ քառակուսի հավասարումները x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 և այլն։ - նվազեցված, նրանցից յուրաքանչյուրում առաջին գործակիցը հավասար է մեկի։ Եվ 5 x 2 −x−1=0 և այլն: - չկրճատված քառակուսի հավասարումներ, դրանց առաջատար գործակիցները տարբերվում են 1-ից:

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարումից, նրա երկու մասերը բաժանելով առաջատար գործակցի վրա, կարող եք անցնել կրճատվածին։ Այս գործողությունը համարժեք փոխակերպում է, այսինքն՝ այս կերպ ստացված կրճատված քառակուսի հավասարումն ունի նույն արմատները, ինչ սկզբնական չկրճատված քառակուսային հավասարումը, կամ, ինչպես դա, չունի արմատներ։

Բերենք օրինակ, թե ինչպես է կատարվում անցումը չկրճատված քառակուսային հավասարումից դեպի կրճատված:

Օրինակ.

3 x 2 +12 x−7=0 հավասարումից անցեք համապատասխան կրճատված քառակուսային հավասարմանը։

Որոշում.

Բավական է, որ կատարենք սկզբնական հավասարման երկու մասերի բաժանումը առաջատար 3 գործակցով, այն զրոյական չէ, ուստի կարող ենք կատարել այս գործողությունը։ Մենք ունենք (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , որը նույնն է, ինչ (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, և այլն (3): :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, որտեղից . Այսպիսով, մենք ստացանք կրճատված քառակուսի հավասարումը, որը համարժեք է սկզբնականին:

Պատասխան.

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Քառակուսային հավասարման սահմանման մեջ կա a≠0 պայման. Այս պայմանն անհրաժեշտ է, որպեսզի a x 2 +b x+c=0 հավասարումը լինի ճիշտ քառակուսի, քանի որ a=0-ով այն փաստացի դառնում է b x+c=0 ձևի գծային հավասարում:

Ինչ վերաբերում է b և c գործակիցներին, ապա դրանք կարող են հավասար լինել զրոյի և՛ առանձին, և՛ միասին։ Այս դեպքերում քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի:

Սահմանում.

Կոչվում է a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարումը թերի, եթե b , c գործակիցներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։

Իր հերթին

Սահմանում.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումհավասարում է, որտեղ բոլոր գործակիցները տարբերվում են զրոյից:

Այս անունները պատահական չեն տրված։ Սա պարզ կդառնա հաջորդ քննարկումից։

Եթե ​​b գործակիցը հավասար է զրոյի, ապա քառակուսի հավասարումը դառնում է x 2 +0 x+c=0 , և այն համարժեք է a x 2 +c=0 հավասարմանը։ Եթե ​​c=0, այսինքն՝ քառակուսի հավասարումը ունի a x 2 +b x+0=0 ձևը, ապա այն կարելի է վերագրել x 2 +b x=0 ձևով։ Իսկ b=0-ով և c=0-ով ստանում ենք a·x 2 =0 քառակուսային հավասարումը: Ստացված հավասարումները տարբերվում են լրիվ քառակուսային հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ո՛չ x փոփոխականով անդամ, ո՛չ ազատ անդամ, ո՛չ էլ երկուսն էլ։ Այստեղից էլ նրանց անվանումը՝ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումներ։

Այսպիսով, x 2 +x+1=0 և −2 x 2 −5 x+0,2=0 հավասարումները ամբողջական քառակուսի հավասարումների օրինակներ են, և x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3: =0 , −x 2 −5 x=0 թերի քառակուսի հավասարումներ են։

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Նախորդ պարբերության տեղեկատվությունից բխում է, որ կա երեք տեսակի թերի քառակուսի հավասարումներ:

• a x 2 =0 , դրան համապատասխանում են b=0 և c=0 գործակիցները;
• a x 2 +c=0 երբ b=0 ;
• և a x 2 +b x=0 երբ c=0 .

Եկեք հերթականությամբ վերլուծենք, թե ինչպես են լուծվում այս տեսակներից յուրաքանչյուրի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումները:

a x 2 \u003d 0

Սկսենք լուծել թերի քառակուսի հավասարումներ, որոնցում b և c գործակիցները հավասար են զրոյի, այսինքն՝ a x 2 =0 ձևի հավասարումներով։ a·x 2 =0 հավասարումը համարժեք է x 2 =0 հավասարմանը, որը ստացվում է բնագրից՝ բաժանելով դրա երկու մասերը ոչ զրոյական a թվի վրա։ Ակնհայտ է, որ x 2 \u003d 0 հավասարման արմատը զրո է, քանի որ 0 2 \u003d 0: Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, ինչը բացատրվում է, որ, իրոք, ցանկացած ոչ զրոյական p թվի համար տեղի է ունենում p 2 >0 անհավասարությունը, ինչը ենթադրում է, որ p≠0-ի համար p 2 =0 հավասարությունը երբեք չի ստացվում:

Այսպիսով, թերի քառակուսային հավասարումը a x 2 \u003d 0 ունի մեկ արմատ x \u003d 0:

Որպես օրինակ՝ տալիս ենք −4·x 2 =0 թերի քառակուսային հավասարման լուծումը։ Այն համարժեք է x 2 \u003d 0 հավասարմանը, դրա միակ արմատը x \u003d 0 է, հետևաբար, սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ զրո:

Կարճ լուծում այս դեպքում կարող է տրվել հետևյալ կերպ.
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Այժմ դիտարկենք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները, որոնցում b գործակիցը հավասար է զրոյի, իսկ c≠0, այսինքն՝ a x 2 +c=0 ձևի հավասարումներ։ Մենք գիտենք, որ հավասարման մի կողմից մյուս կողմը հակառակ նշանով տերմինի տեղափոխումը, ինչպես նաև հավասարման երկու կողմերի բաժանումը ոչ զրոյական թվի վրա տալիս են համարժեք հավասարում։ Հետևաբար, թերի քառակուսի հավասարման հետևյալ համարժեք փոխակերպումները կարող են կատարվել a x 2 +c=0.

• տեղափոխեք c-ն աջ կողմ, որը տալիս է x 2 =−c հավասարումը,
• և նրա երկու մասերը բաժանում ենք a-ի, ստանում ենք.

Ստացված հավասարումը թույլ է տալիս եզրակացություններ անել դրա արմատների մասին: Կախված a-ի և c-ի արժեքներից՝ արտահայտության արժեքը կարող է լինել բացասական (օրինակ, եթե a=1 և c=2, ապա ) կամ դրական, (օրինակ՝ a=−2 և c=6. , ապա ), այն հավասար չէ զրոյի, քանի որ c≠0 պայմանով։ Առանձին-առանձին կվերլուծենք դեպքերը և .

Եթե ​​, ապա հավասարումն արմատներ չունի։ Այս պնդումը բխում է նրանից, որ ցանկացած թվի քառակուսին ոչ բացասական թիվ է։ Այստեղից հետևում է, որ երբ , ապա ցանկացած p թվի համար հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել։

Եթե ​​, ապա հավասարման արմատների հետ կապված իրավիճակը տարբեր է: Այս դեպքում, եթե հիշենք, ապա հավասարման արմատը անմիջապես ակնհայտ է դառնում, դա թիվն է, քանի որ. Հեշտ է կռահել, որ թիվը նույնպես հավասարման արմատն է, իսկապես, . Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, որոնք կարելի է ցույց տալ, օրինակ, հակասությամբ։ Եկեք անենք դա.

Հավասարման հենց հնչեցված արմատները նշանակենք x 1 և −x 1: Ենթադրենք, որ հավասարումն ունի մեկ այլ արմատ x 2, որը տարբերվում է նշված x 1 և −x 1 արմատներից: Հայտնի է, որ դրա արմատների x-ի փոխարեն հավասարման մեջ փոխարինելը հավասարումը վերածում է իրական թվային հավասարության։ x 1-ի և −x 1-ի համար մենք ունենք , իսկ x 2-ի համար ունենք . Թվային հավասարումների հատկությունները մեզ թույլ են տալիս կատարել իրական թվային հավասարումների տերմին առ անդամ հանում, ուստի հավասարումների համապատասխան մասերը հանելուց ստացվում է x 1 2 − x 2 2 =0: Թվերով գործողությունների հատկությունները թույլ են տալիս ստացված հավասարությունը վերաշարադրել որպես (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0: Մենք գիտենք, որ երկու թվերի արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։ Ուստի ստացված հավասարությունից բխում է, որ x 1 −x 2 =0 և/կամ x 1 +x 2 =0 , որը նույնն է, x 2 =x 1 և/կամ x 2 = −x 1։ Այսպիսով, մենք եկել ենք հակասության, քանի որ սկզբում մենք ասում էինք, որ x 2 հավասարման արմատը տարբերվում է x 1-ից և −x 1-ից: Սա ապացուցում է, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, քան և .

Եկեք ամփոփենք այս պարբերության տեղեկատվությունը: Թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 +c=0 համարժեք է այն հավասարմանը, որը

• արմատներ չունի, եթե,
• ունի երկու արմատ և եթե .

Դիտարկենք a·x 2 +c=0 ձևի ոչ լրիվ քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ:

Սկսենք քառակուսի հավասարումից 9 x 2 +7=0 . Ազատ անդամը հավասարման աջ կողմ տեղափոխելուց հետո այն կստանա 9·x 2 =−7 ձև: Ստացված հավասարման երկու կողմերը բաժանելով 9-ի, մենք հասնում ենք. Քանի որ աջ կողմում ստացվում է բացասական թիվ, այս հավասարումն արմատներ չունի, հետևաբար, սկզբնական թերի քառակուսի 9 x 2 +7=0 հավասարումն արմատներ չունի։

Լուծենք ևս մեկ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում −x 2 +9=0։ Մենք ինը տեղափոխում ենք աջ կողմը՝ -x 2 \u003d -9: Այժմ երկու մասերը բաժանում ենք −1-ի, ստանում ենք x 2 =9։ Աջ կողմը պարունակում է դրական թիվ, որից մենք եզրակացնում ենք, որ կամ . Վերջնական պատասխանը գրելուց հետո. −x 2 +9=0 թերի քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ x=3 կամ x=−3:

a x 2 +b x=0

Մնում է զբաղվել վերջին տիպի թերի քառակուսի հավասարումների լուծումով c=0-ի համար: a x 2 +b x=0 ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումները թույլ են տալիս լուծել ֆակտորացման մեթոդ. Ակնհայտ է, որ մենք կարող ենք, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում, որի համար բավական է փակագծերից հանել ընդհանուր x գործակիցը: Սա մեզ թույլ է տալիս սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումից անցնել x·(a·x+b)=0 ձևի համարժեք հավասարման: Եվ այս հավասարումը համարժեք է x=0 և a x+b=0 երկու հավասարումների բազմությանը, որոնցից վերջինը գծային է և ունի x=−b/a արմատ։

Այսպիսով, a x 2 +b x=0 թերի քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ x=0 և x=−b/a:

Նյութը համախմբելու համար մենք կվերլուծենք կոնկրետ օրինակի լուծումը:

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Որոշում.

Փակագծերից հանում ենք x-ը, սա տալիս է հավասարումը. Այն համարժեք է երկու հավասարումների x=0 և . Ստացված գծային հավասարումը լուծում ենք՝ , և խառը թիվը սովորական կոտորակի վրա բաժանելուց հետո գտնում ենք. Հետևաբար, սկզբնական հավասարման արմատներն են x=0 և .

Անհրաժեշտ պրակտիկա ստանալուց հետո նման հավասարումների լուծումները կարելի է հակիրճ գրել.

Պատասխան.

x=0, .

Խտրական, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձև

Քառակուսային հավասարումներ լուծելու համար կա արմատային բանաձև. Եկեք գրենք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձեւը, որտեղ D=b 2 −4 a գ- այսպես կոչված քառակուսի հավասարման տարբերակիչ. Նշումն ըստ էության նշանակում է, որ.

Օգտակար է իմանալ, թե ինչպես է ստացվել արմատային բանաձևը և ինչպես է այն կիրառվում քառակուսի հավասարումների արմատները գտնելիս: Եկեք զբաղվենք սրանով:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Եկեք լուծենք քառակուսի հավասարումը a·x 2 +b·x+c=0: Եկեք կատարենք մի քանի համարժեք փոխակերպումներ.

• Այս հավասարման երկու մասերը կարող ենք բաժանել ոչ զրոյական a թվի, արդյունքում ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը։
• Հիմա ընտրեք ամբողջական քառակուսիիր ձախ կողմում. Դրանից հետո հավասարումը կվերցնի ձևը.
• Այս փուլում հնարավոր է վերջին երկու տերմինների փոխանցումը դեպի աջ հակառակ նշանով, ունենք .
• Եվ նաև փոխակերպենք աջ կողմի արտահայտությունը՝ .

Արդյունքում մենք հասնում ենք հավասարմանը, որը համարժեք է սկզբնական քառակուսային հավասարմանը a·x 2 +b·x+c=0:

Մենք արդեն լուծել ենք ձևով նման հավասարումներ նախորդ պարբերություններում, երբ վերլուծեցինք: Սա թույլ է տալիս մեզ անել հետևյալ եզրակացությունները հավասարման արմատների վերաբերյալ.

• եթե , ապա հավասարումը չունի իրական լուծումներ.
• եթե , ապա հավասարումը ունի ձև, հետևաբար, , որից երևում է նրա միակ արմատը.
• եթե , ապա կամ , որը նույնն է կամ , այսինքն՝ հավասարումն ունի երկու արմատ։

Այսպիսով, հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը, հետևաբար, սկզբնական քառակուսի հավասարումը կախված է աջ կողմի արտահայտության նշանից: Իր հերթին, այս արտահայտության նշանը որոշվում է համարիչի նշանով, քանի որ 4 a 2 հայտարարը միշտ դրական է, այսինքն՝ b 2 −4 a c արտահայտության նշանը։ Այս b 2 −4 a c արտահայտությունը կոչվում է քառակուսի հավասարման տարբերակիչև նշվում է տառով Դ. Այստեղից պարզ է դիսկրիմինանտի էությունը՝ իր արժեքով և նշանով եզրակացվում է, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ ունի, և եթե այո, ապա ո՞րն է դրանց թիվը՝ մեկ կամ երկու։

Մենք վերադառնում ենք հավասարմանը, այն վերագրում ենք՝ օգտագործելով տարբերակիչի նշումը. Եվ մենք եզրակացնում ենք.

• եթե Դ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• եթե D=0, ապա այս հավասարումն ունի մեկ արմատ.
• վերջապես, եթե D>0, ապա հավասարումը ունի երկու արմատ կամ , որոնք կարելի է վերաշարադրել կամ ձևով և կոտորակները ընդլայնելուց և ընդհանուր հայտարարի հասցնելուց հետո ստանում ենք .

Այսպիսով, մենք ստացանք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը, դրանք նման են , որտեղ դիսկրիմինանտ D-ը հաշվարկվում է D=b 2 −4 a c բանաձևով:

Դրանց օգնությամբ, դրական տարբերակիչով, կարող եք հաշվարկել քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատները: Երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, երկու բանաձևերն էլ տալիս են նույն արմատային արժեքը, որը համապատասխանում է քառակուսի հավասարման միակ լուծմանը: Իսկ բացասական տարբերակիչով, երբ փորձում ենք օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը, մենք բախվում ենք բացասական թվից քառակուսի արմատ հանելուն, ինչը մեզ դուրս է բերում դպրոցական ուսումնական ծրագրի շրջանակներից: Բացասական տարբերակիչով քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, բայց ունի զույգ բարդ կոնյուգատարմատներ, որոնք կարելի է գտնել օգտագործելով նույն արմատային բանաձևերը, որոնք մենք ստացել ենք:

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Գործնականում քառակուսի հավասարումը լուծելիս կարող եք անմիջապես օգտագործել արմատային բանաձևը, որով կարելի է հաշվարկել դրանց արժեքները։ Բայց սա ավելի շատ բարդ արմատներ գտնելու մասին է:

Այնուամենայնիվ, դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում մենք սովորաբար խոսում ենք ոչ թե բարդ, այլ քառակուսի հավասարման իրական արմատների մասին: Այս դեպքում խորհուրդ է տրվում նախ գտնել դիսկրիմինատորը, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, համոզվեք, որ այն ոչ բացասական է (հակառակ դեպքում կարող ենք եզրակացնել, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), և դրանից հետո. հաշվարկել արմատների արժեքները.

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը մեզ թույլ է տալիս գրել քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ. a x 2 + b x + c \u003d 0 քառակուսային հավասարումը լուծելու համար ձեզ հարկավոր է.

• օգտագործելով տարբերակիչ բանաձեւը D=b 2 −4 a c հաշվարկել դրա արժեքը;
• եզրակացնել, որ քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, եթե դիսկրիմինանտը բացասական է.
• հաշվարկել հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով D=0 ;
• Գտեք քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատներ՝ օգտագործելով արմատային բանաձևը, եթե դիսկրիմինանտը դրական է:

Այստեղ մենք միայն նշում ենք, որ եթե դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, կարող է օգտագործվել նաև բանաձևը, այն կտա նույն արժեքը, ինչ .

Կարող եք անցնել քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմի կիրառման օրինակներին։

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Դիտարկենք երեք քառակուսի հավասարումների լուծումներ՝ դրական, բացասական և զրո դիսկրիմինանտներով: Անդրադառնալով դրանց լուծմանը՝ անալոգիայի միջոցով հնարավոր կլինի լուծել ցանկացած այլ քառակուսի հավասարում: Եկ սկսենք.

Օրինակ.

Գտե՛ք x 2 +2 x−6=0 հավասարման արմատները:

Որոշում.

Այս դեպքում ունենք քառակուսային հավասարման հետևյալ գործակիցները՝ a=1 , b=2 և c=−6: Ըստ ալգորիթմի, նախ պետք է հաշվարկել դիսկրիմինանտը, դրա համար մենք նշված a, b և c-ն փոխարինում ենք տարբերակիչ բանաձևի մեջ, ունենք. D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Քանի որ 28>0, այսինքն՝ դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, քառակուսի հավասարումն ունի երկու իրական արմատ։ Գտնենք դրանք արմատների բանաձևով, ստանում ենք, այստեղ կարող ենք պարզեցնել անելով ստացված արտահայտությունները. հաշվի առնելով արմատի նշանըորին հաջորդում է կոտորակի կրճատումը.

Պատասխան.

Անցնենք հաջորդ բնորոշ օրինակին.

Օրինակ.

Լուծե՛ք −4 x 2 +28 x−49=0 քառակուսային հավասարումը։

Որոշում.

Մենք սկսում ենք գտնելով տարբերակիչ. D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Հետևաբար, այս քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ, որը մենք գտնում ենք որպես, այսինքն.

Պատասխան.

x=3,5 .

Մնում է դիտարկել քառակուսի հավասարումների լուծումը բացասական դիսկրիմինանտով։

Օրինակ.

Լուծե՛ք 5 y 2 +6 y+2=0 հավասարումը։

Որոշում.

Ահա քառակուսի հավասարման գործակիցները՝ a=5 , b=6 և c=2: Փոխարինելով այս արժեքները տարբերակիչ բանաձևի մեջ՝ մենք ունենք D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Տարբերիչը բացասական է, հետևաբար, այս քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է նշել բարդ արմատներ, ապա մենք օգտագործում ենք քառակուսի հավասարման արմատների հայտնի բանաձևը և կատարում ենք. գործողություններ բարդ թվերով:

Պատասխան.

իրական արմատներ չկան, բարդ արմատներն են.

Եվս մեկ անգամ նշում ենք, որ եթե քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է, ապա դպրոցը սովորաբար անմիջապես գրում է պատասխանը, որում նշում են, որ իրական արմատներ չկան, և բարդ արմատներ չեն գտնում։

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևը, որտեղ D=b 2 −4 a c թույլ է տալիս ստանալ ավելի կոմպակտ բանաձև, որը թույլ է տալիս լուծել քառակուսի հավասարումներ x-ի հավասար գործակցով (կամ պարզապես 2 n-ի նման գործակցով): , օրինակ, կամ 14 ln5=2 7 ln5 ): Եկեք նրան դուրս հանենք:

Ենթադրենք, պետք է լուծել a x 2 +2 n x + c=0 ձևի քառակուսային հավասարումը: Եկեք գտնենք դրա արմատները՝ օգտագործելով մեզ հայտնի բանաձեւը. Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինանտը D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), և այնուհետև մենք օգտագործում ենք արմատային բանաձևը.

Նշեք n 2 −a c արտահայտությունը որպես D 1 (երբեմն այն նշվում է D "): Այնուհետև դիտարկված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 n գործակցով ստանում է ձև. , որտեղ D 1 =n 2 −a c .

Հեշտ է տեսնել, որ D=4·D 1, կամ D 1 =D/4: Այսինքն Դ 1-ը խտրականի չորրորդ մասն է։ Հասկանալի է, որ Դ 1-ի նշանը նույնն է, ինչ Դ-ի նշանը։ Այսինքն՝ D 1 նշանը նույնպես քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ է։

Այսպիսով, երկրորդ 2 n գործակցով քառակուսի հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է

• Հաշվել D 1 =n 2 −a·c ;
• Եթե ​​D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Եթե ​​D 1 =0, ապա հաշվարկեք հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով բանաձևը.
• Եթե ​​D 1 >0, ապա բանաձևով գտե՛ք երկու իրական արմատ.

Դիտարկենք օրինակի լուծումը՝ օգտագործելով այս պարբերությունում ստացված արմատային բանաձևը:

Օրինակ.

Լուծե՛ք քառակուսի հավասարումը 5 x 2 −6 x−32=0 .

Որոշում.

Այս հավասարման երկրորդ գործակիցը կարելի է ներկայացնել որպես 2·(−3) ։ Այսինքն՝ դուք կարող եք վերաշարադրել սկզբնական քառակուսի հավասարումը 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 ձևով, այստեղ a=5, n=−3 և c=−32, և հաշվարկել չորրորդ մասը։ տարբերակիչ: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Քանի որ դրա արժեքը դրական է, հավասարումը ունի երկու իրական արմատ: Մենք դրանք գտնում ենք՝ օգտագործելով համապատասխան արմատային բանաձևը.

Նկատի ունեցեք, որ հնարավոր էր օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, սակայն այս դեպքում ավելի շատ հաշվողական աշխատանք պետք է կատարվեր:

Պատասխան.

Քառակուսային հավասարումների ձևի պարզեցում

Երբեմն, նախքան բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարման արմատների հաշվարկը սկսելը, չի խանգարում տալ հարցը. «Հնարավո՞ր է պարզեցնել այս հավասարման ձևը»: Համաձայնեք, որ հաշվարկների առումով ավելի հեշտ կլինի լուծել 11 x 2 −4 x −6=0 քառակուսի հավասարումը, քան 1100 x 2 −400 x−600=0:

Սովորաբար, քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումը կատարվում է դրա երկու կողմերը բազմապատկելով կամ բաժանելով ինչ-որ թվով: Օրինակ, նախորդ պարբերությունում մեզ հաջողվեց հասնել 1100 x 2 −400 x −600=0 հավասարման պարզեցման՝ երկու կողմերը բաժանելով 100-ի:

Նմանատիպ փոխակերպումն իրականացվում է քառակուսի հավասարումներով, որոնց գործակիցները չեն . Այս դեպքում հավասարման երկու մասերը սովորաբար բաժանվում են նրա գործակիցների բացարձակ արժեքներով: Օրինակ՝ վերցնենք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 −42 x+48=0։ նրա գործակիցների բացարձակ արժեքները՝ gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6: Բնօրինակ քառակուսային հավասարման երկու մասերը բաժանելով 6-ի` հասնում ենք համարժեք քառակուսային հավասարմանը 2 x 2 −7 x+8=0:

Իսկ քառակուսի հավասարման երկու մասերի բազմապատկումը սովորաբար կատարվում է կոտորակային գործակիցներից ազատվելու համար։ Այս դեպքում բազմապատկումն իրականացվում է նրա գործակիցների հայտարարների վրա։ Օրինակ, եթե քառակուսի հավասարման երկու մասերը բազմապատկվեն LCM(6, 3, 1)=6-ով, ապա այն կստանա ավելի պարզ ձև x 2 +4 x−18=0:

Եզրափակելով այս պարբերությունը՝ մենք նշում ենք, որ գրեթե միշտ ազատվում ենք քառակուսի հավասարման ամենաբարձր գործակցի մինուսից՝ փոխելով բոլոր անդամների նշանները, ինչը համապատասխանում է երկու մասերը −1-ով բազմապատկելու (կամ բաժանելուն): Օրինակ, սովորաբար −2·x 2 −3·x+7=0 քառակուսի հավասարումից անցնում ենք 2·x 2 +3·x−7=0 լուծույթին:

Քառակուսային հավասարման արմատների և գործակիցների կապը

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևն արտահայտում է հավասարման արմատները նրա գործակիցներով: Արմատների բանաձևի հիման վրա կարող եք ստանալ այլ հարաբերություններ արմատների և գործակիցների միջև:

Ձևի Վիետայի թեորեմից ամենահայտնի և կիրառելի բանաձևերը և . Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցին, իսկ արմատների արտադրյալը ազատ անդամն է։ Օրինակ՝ 3 x 2 −7 x+22=0 քառակուսի հավասարման տեսքով անմիջապես կարող ենք ասել, որ նրա արմատների գումարը 7/3 է, իսկ արմատների արտադրյալը՝ 22/3։

Օգտագործելով արդեն գրված բանաձևերը՝ կարող եք ստանալ մի շարք այլ հարաբերություններ քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև։ Օրինակ՝ քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող եք արտահայտել նրա գործակիցներով.

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։

«Հավասարումների լուծում» թեմայի շարունակության մեջ այս հոդվածի նյութը ձեզ կծանոթացնի քառակուսի հավասարումների:

Եկեք մանրամասն քննարկենք ամեն ինչ՝ քառակուսի հավասարման էությունն ու նշումը, սահմանենք ուղեկցող տերմինները, վերլուծենք թերի և ամբողջական հավասարումների լուծման սխեման, ծանոթանանք արմատների և դիսկրիմինանտի բանաձևին, կապեր հաստատենք արմատների և գործակիցների միջև և. ընթացքում կտանք գործնական օրինակների տեսողական լուծում:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Քառակուսային հավասարումը, դրա տեսակները

Սահմանում 1

Քառակուսային հավասարումհավասարումը գրված է այսպես a x 2 + b x + c = 0, որտեղ x– փոփոխական, a , b և գորոշ թվեր են, մինչդեռ ազրո չէ.

Հաճախ քառակուսի հավասարումները կոչվում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարումներ, քանի որ իրականում քառակուսի հավասարումը երկրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում է:

Տրված սահմանումը լուսաբանելու համար բերենք օրինակ. 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 և այլն: քառակուսի հավասարումներ են։

Սահմանում 2

a, b և թվեր գքառակուսի հավասարման գործակիցներն են a x 2 + b x + c = 0, մինչդեռ գործակիցը ակոչվում է առաջին, կամ ավագ, կամ գործակից x 2, b - երկրորդ գործակիցը, կամ գործակիցը ժամը x, ա գկոչվում է ազատ անդամ:

Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0ամենաբարձր գործակիցը 6 է, երկրորդը՝ 6 − 2 , իսկ ազատ ժամկետը հավասար է − 11 . Ուշադրություն դարձնենք, որ երբ գործակիցները բև/կամ c-ն բացասական են, ապա օգտագործվում է սղագրությունը 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, բայց չէ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Պարզաբանենք նաև այս ասպեկտը՝ եթե գործակիցները աև/կամ բհավասար 1 կամ − 1 , ապա նրանք կարող են բացահայտորեն չմասնակցել քառակուսի հավասարումը գրելուն, ինչը բացատրվում է նշված թվային գործակիցները գրելու առանձնահատկություններով։ Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ y 2 − y + 7 = 0ավագ գործակիցը 1 է, իսկ երկրորդը՝ 1 − 1 .

Կրճատված և ոչ կրճատված քառակուսի հավասարումներ

Ըստ առաջին գործակցի արժեքի՝ քառակուսի հավասարումները բաժանվում են կրճատված և ոչ կրճատվածի։

Սահմանում 3

Կրճատված քառակուսի հավասարումքառակուսի հավասարում է, որտեղ առաջատար գործակիցը 1 է: Առաջատար գործակցի այլ արժեքների համար քառակուսի հավասարումը չկրճատված է:

Ահա մի քանի օրինակ՝ x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 քառակուսի հավասարումներ, որոնցից յուրաքանչյուրում առաջատար գործակիցը 1 է։

9 x 2 - x - 2 = 0- չկրճատված քառակուսի հավասարում, որտեղ առաջին գործակիցը տարբերվում է 1 .

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարում կարող է վերածվել կրճատված հավասարման՝ բաժանելով դրա երկու մասերն առաջին գործակցով (համարժեք փոխակերպում): Փոխակերպված հավասարումը կունենա նույն արմատները, ինչ տրված չկրճատված հավասարումը կամ նույնպես ընդհանրապես արմատներ չի ունենա։

Կոնկրետ օրինակի դիտարկումը թույլ կտա մեզ հստակ ցույց տալ անցումը չկրճատված քառակուսի հավասարումից դեպի կրճատված:

Օրինակ 1

Տրված է 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 հավասարումը . Անհրաժեշտ է սկզբնական հավասարումը վերածել կրճատված ձևի:

Որոշում

Ըստ վերը նշված սխեմայի, մենք բաժանում ենք սկզբնական հավասարման երկու մասերը առաջատար գործակցով 6: Այնուհետև մենք ստանում ենք. (6 x 2 + 18 x - 7) 3 = 0: 3, և սա նույնն է, ինչ. (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0և հետագա՝ (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0:Այստեղից. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0: Այսպիսով ստացվում է տրվածին համարժեք հավասարում։

Պատասխան. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0:

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Եկեք անդրադառնանք քառակուսի հավասարման սահմանմանը: Դրանում մենք նշել ենք, որ a ≠ 0. Նմանատիպ պայման է անհրաժեշտ հավասարման համար a x 2 + b x + c = 0ճիշտ քառակուսի էր, քանի որ a = 0այն ըստ էության վերածվում է գծային հավասարման b x + c = 0.

Այն դեպքում, երբ գործակիցները բև գհավասար են զրոյի (ինչը հնարավոր է ինչպես առանձին, այնպես էլ համատեղ), քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի։

Սահմանում 4

Թերի քառակուսի հավասարումքառակուսի հավասարում է a x 2 + b x + c \u003d 0,որտեղ գործակիցներից առնվազն մեկը բև գ(կամ երկուսն էլ) զրո է:

Ամբողջական քառակուսի հավասարումքառակուսի հավասարում է, որտեղ բոլոր թվային գործակիցները հավասար չեն զրոյի։

Եկեք քննարկենք, թե ինչու են քառակուսի հավասարումների տեսակներին տրված հենց այդպիսի անուններ։

b = 0-ի համար քառակուսի հավասարումը ստանում է ձև a x 2 + 0 x + c = 0, որը նույնն է, ինչ a x 2 + c = 0. ժամը c = 0քառակուսի հավասարումը գրված է այսպես a x 2 + b x + 0 = 0, որը համարժեք է a x 2 + b x = 0. ժամը b = 0և c = 0հավասարումը կընդունի ձևը a x 2 = 0. Մեր ստացած հավասարումները տարբերվում են լրիվ քառակուսային հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ոչ մի անդամ x փոփոխականով, ոչ ազատ անդամ, կամ երկուսն էլ միանգամից: Փաստորեն, այս փաստը տվել է այս տիպի հավասարումների անվանումը՝ թերի։

Օրինակ, x 2 + 3 x + 4 = 0 և − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ամբողջական քառակուսի հավասարումներ են. x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 թերի քառակուսի հավասարումներ են:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Վերը տրված սահմանումը հնարավորություն է տալիս տարբերակել թերի քառակուսի հավասարումների հետևյալ տեսակները.

• a x 2 = 0, գործակիցները համապատասխանում են նման հավասարմանը b = 0և c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0-ի համար;
• a x 2 + b x = 0 c = 0-ի համար:

Հետևաբար դիտարկենք թերի քառակուսի հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի լուծումը:

a x 2 \u003d 0 հավասարման լուծում

Ինչպես արդեն նշվեց վերևում, նման հավասարումը համապատասխանում է գործակիցներին բև գ, հավասար է զրոյի։ Հավասարումը a x 2 = 0կարող է վերածվել համարժեք հավասարման x2 = 0, որը ստանում ենք սկզբնական հավասարման երկու կողմերը թվի վրա բաժանելով ա, հավասար չէ զրոյի։ Ակնհայտ փաստն այն է, որ հավասարման արմատը x2 = 0զրո է, քանի որ 0 2 = 0 . Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, ինչը բացատրվում է աստիճանի հատկություններով՝ ցանկացած թվի համար p ,հավասար չէ զրոյի, անհավասարությունը ճիշտ է p2 > 0, որից բխում է, որ երբ p ≠ 0հավասարություն p2 = 0երբեք չի հասնի:

Սահմանում 5

Այսպիսով, թերի քառակուսային հավասարման համար x 2 = 0 կա ​​եզակի արմատ. x=0.

Օրինակ 2

Օրինակ՝ լուծենք թերի քառակուսի հավասարումը - 3 x 2 = 0. Այն համարժեք է հավասարմանը x2 = 0, նրա միակ արմատն է x=0, ապա սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ զրո։

Լուծումը ամփոփված է հետևյալ կերպ.

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0:

a x 2 + c \u003d 0 հավասարման լուծում

Հաջորդը թերի քառակուսի հավասարումների լուծումն է, որտեղ b \u003d 0, c ≠ 0, այսինքն՝ ձևի հավասարումներ a x 2 + c = 0. Եկեք փոխակերպենք այս հավասարումը` տերմինը հավասարման մի կողմից մյուսը փոխանցելով, նշանը փոխելով հակառակի և հավասարման երկու կողմերը բաժանելով մի թվի, որը հավասար չէ զրոյի.

• դիմանալ գդեպի աջ կողմ, որը տալիս է հավասարումը a x 2 = − գ;
• հավասարման երկու կողմերը բաժանիր ա, արդյունքում ստանում ենք x = - c a .

Մեր փոխակերպումները համապատասխանաբար համարժեք են, ստացված հավասարումը նույնպես համարժեք է սկզբնականին, և այս հանգամանքը հնարավորություն է տալիս եզրակացություն անել հավասարման արմատների մասին։ Ինչից են արժեքները աև գկախված է արտահայտության արժեքից - c a: այն կարող է ունենալ մինուս նշան (օրինակ, եթե a = 1և գ = 2, ապա - c a = - 2 1 = - 2) կամ գումարած նշան (օրինակ, եթե a = -2և c=6, ապա - c a = - 6 - 2 = 3); այն հավասար չէ զրոյի, քանի որ գ ≠ 0. Ավելի մանրամասն անդրադառնանք իրավիճակներին, երբ - գ ա< 0 и - c a > 0 .

Այն դեպքում, երբ - գ ա< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа էջհավասարություն p 2 = - c a-ն չի կարող ճշմարիտ լինել:

Ամեն ինչ այլ է, երբ - c a > 0. հիշեք քառակուսի արմատը, և ակնհայտ կդառնա, որ x 2 \u003d - c a հավասարման արմատը կլինի - c a թիվը, քանի որ - c a 2 \u003d - c a: Հեշտ է հասկանալ, որ - - c a - թիվը նույնպես x 2 = - c a հավասարման արմատն է. իսկապես, - - c a 2 = - c a :

Հավասարումն այլ արմատներ չի ունենա։ Մենք կարող ենք դա ցույց տալ՝ օգտագործելով հակառակ մեթոդը։ Նախ, եկեք սահմանենք վերևում հայտնաբերված արմատների նշումը որպես x 1և - x 1. Ենթադրենք, որ x 2 = - c a հավասարումը նույնպես արմատ ունի x2, որը տարբերվում է արմատներից x 1և - x 1. Մենք դա գիտենք՝ փոխարինելով հավասարման մեջ xդրա արմատները, մենք հավասարումը վերածում ենք արդար թվային հավասարության:

Համար x 1և - x 1գրել՝ x 1 2 = - c a , և համար x2- x 2 2 \u003d - գ ա. Ելնելով թվային հավասարումների հատկություններից՝ մենք մեկ այլ անդամից հանում ենք մեկ իրական հավասարություն ըստ անդամի, որը մեզ կտա. x 1 2 − x 2 2 = 0. Օգտագործեք թվերի գործողությունների հատկությունները վերջին հավասարությունը վերագրելու համար որպես (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Հայտնի է, որ երկու թվերի արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ թվերից գոնե մեկը զրո է։ Ասվածից հետեւում է, որ x1 - x2 = 0և/կամ x1 + x2 = 0, որը նույնն է x2 = x1և/կամ x 2 = − x 1. Ակնհայտ հակասություն առաջացավ, քանի որ սկզբում համաձայնություն ձեռք բերվեց, որ հավասարման արմատը x2տարբերվում է x 1և - x 1. Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, քան x = - c a և x = - - c a .

Մենք ամփոփում ենք վերը նշված բոլոր փաստարկները:

Սահմանում 6

Թերի քառակուսի հավասարում a x 2 + c = 0համարժեք է x 2 = - c a հավասարմանը, որը.

• արմատներ չի ունենա - գ ա< 0 ;
• կունենա երկու արմատ x = - c a և x = - - c a երբ - c a > 0:

Բերենք հավասարումների լուծման օրինակներ a x 2 + c = 0.

Օրինակ 3

Տրվում է քառակուսային հավասարում 9 x 2 + 7 = 0:Պետք է գտնել դրա լուծումը։

Որոշում

Մենք ազատ տերմինը փոխանցում ենք հավասարման աջ կողմ, այնուհետև հավասարումը կվերցնի ձևը 9 x 2 \u003d - 7.
Ստացված հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք 9 , մենք գալիս ենք x 2 = - 7 9: Աջ կողմում տեսնում ենք մինուս նշանով թիվ, որը նշանակում է՝ տրված հավասարումն արմատներ չունի։ Այնուհետև սկզբնական թերի քառակուսի հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չի ունենա.

Պատասխան.հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չունի.

Օրինակ 4

Անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը − x2 + 36 = 0.

Որոշում

Եկեք տեղափոխենք 36-ը դեպի աջ կողմ. − x 2 = − 36.
Եկեք երկու մասերը բաժանենք − 1 , ստանում ենք x2 = 36. Աջ կողմում դրական թիվ է, որից կարելի է եզրակացնել, որ x = 36 կամ x = - 36:
Մենք հանում ենք արմատը և գրում վերջնական արդյունքը՝ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում − x2 + 36 = 0երկու արմատ ունի x=6կամ x = -6.

Պատասխան. x=6կամ x = -6.

a x 2 +b x=0 հավասարման լուծում

Եկեք վերլուծենք երրորդ տեսակի թերի քառակուսի հավասարումները, երբ c = 0. Թերի քառակուսի հավասարման լուծում գտնել a x 2 + b x = 0, մենք օգտագործում ենք ֆակտորացման մեթոդը։ Եկեք գործոնացնենք բազմանդամը, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում՝ փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը. x. Այս քայլը հնարավորություն կտա վերափոխել սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումը իր համարժեքի x (a x + b) = 0. Եվ այս հավասարումն իր հերթին համարժեք է հավասարումների բազմությանը x=0և a x + b = 0. Հավասարումը a x + b = 0գծային, և դրա արմատը. x = − b ա.

Սահմանում 7

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 + b x = 0երկու արմատ կունենա x=0և x = − b ա.

Համախմբենք նյութը օրինակով.

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է գտնել 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 հավասարման լուծումը:

Որոշում

Եկեք հանենք xփակագծերից դուրս և ստացիր x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 հավասարումը: Այս հավասարումը համարժեք է հավասարումների x=0և 2 3 x - 2 2 7 = 0: Այժմ դուք պետք է լուծեք ստացված գծային հավասարումը. 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3:

Հակիրճ, հավասարման լուծումը գրում ենք հետևյալ կերպ.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ x = 3 3 7

Պատասխան. x = 0, x = 3 3 7:

Խտրական, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձև

Քառակուսային հավասարումների լուծում գտնելու համար կա արմատային բանաձև.

Սահմանում 8

x = - b ± D 2 a, որտեղ D = b 2 − 4 a գքառակուսի հավասարման այսպես կոչված դիսկրիմինանտն է։

x \u003d - b ± D 2 a գրելը ըստ էության նշանակում է, որ x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a:

Օգտակար կլինի հասկանալ, թե ինչպես է ստացվել նշված բանաձևը և ինչպես կիրառել այն:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Ենթադրենք, մեր առջեւ դրված է քառակուսի հավասարումը լուծելու խնդիրը a x 2 + b x + c = 0. Կատարենք մի շարք համարժեք փոխակերպումներ.

• հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանիր թվի ազրոյից տարբերվող, մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը. x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• ստացված հավասարման ձախ կողմում ընտրեք լրիվ քառակուսին.
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Դրանից հետո հավասարումը կունենա ձև՝ x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• այժմ հնարավոր է վերջին երկու անդամները տեղափոխել աջ կողմ՝ փոխելով նշանը հակառակի վրա, որից հետո ստանում ենք՝ x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• վերջապես փոխակերպում ենք վերջին հավասարության աջ կողմում գրված արտահայտությունը.
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2:

Այսպիսով, մենք եկել ենք x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարմանը, որը համարժեք է սկզբնական հավասարմանը. a x 2 + b x + c = 0.

Նման հավասարումների լուծումը քննարկել ենք նախորդ պարբերություններում (չավարտ քառակուսային հավասարումների լուծում): Արդեն ձեռք բերված փորձը թույլ է տալիս եզրակացություն անել x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարման արմատների վերաբերյալ.

• b 2 - 4 a c 4 a 2-ի համար< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 համար, հավասարումն ունի x + b 2 · a 2 = 0, ապա x + b 2 · a = 0:

Այստեղից ակնհայտ է միակ արմատը x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0-ի համար ճիշտը հետևյալն է՝ x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 կամ x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , որը նույնը, ինչ x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 կամ x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, այսինքն. հավասարումը երկու արմատ ունի.

Կարելի է եզրակացնել, որ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը (և, հետևաբար, սկզբնական հավասարումը) կախված է b 2 - 4 a c արտահայտության նշանից. 4 · աջ կողմում գրված է 2: Եվ այս արտահայտության նշանը տրվում է համարիչի նշանով, (հայտարար 4 ա 2միշտ դրական կլինի), այսինքն՝ արտահայտության նշանը բ 2 − 4 ա գ. Այս արտահայտությունը բ 2 − 4 ա գտրվում է անուն - քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտ և որպես դրա նշանակում է սահմանվում D տառը: Այստեղ դուք կարող եք գրել դիսկրիմինանտի էությունը՝ ըստ արժեքի և նշանի, նրանք եզրակացնում են, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը կունենա իրական արմատներ, և եթե այո, ապա քանի՞ արմատ՝ մեկ կամ երկու:

Վերադառնանք x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարմանը: Եկեք այն վերագրենք՝ օգտագործելով տարբերակիչ նշումը՝ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 :

Եկեք ամփոփենք եզրակացությունները.

Սահմանում 9

• ժամը Դ< 0 հավասարումը չունի իրական արմատներ.
• ժամը D=0հավասարումն ունի մեկ արմատ x = - b 2 · a ;
• ժամը D > 0հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 կամ x \u003d - b 2 a - D 4 a 2: Ռադիկալների հատկությունների հիման վրա այս արմատները կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ x \u003d - b 2 a + D 2 a կամ - b 2 a - D 2 a: Եվ երբ մենք բացում ենք մոդուլները և կրճատում ենք կոտորակները ընդհանուր հայտարարի, ստանում ենք՝ x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a:

Այսպիսով, մեր հիմնավորման արդյունքը եղավ քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևի ստացումը.

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, տարբերակիչ Դհաշվարկված բանաձևով D = b 2 − 4 a գ.

Այս բանաձևերը հնարավորություն են տալիս, երբ դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, որոշել երկու իրական արմատները: Երբ դիսկրիմինանտը զրոյական է, երկու բանաձևերի կիրառումը կտա նույն արմատը, որպես քառակուսի հավասարման միակ լուծումը: Այն դեպքում, երբ դիսկրիմինանտը բացասական է՝ փորձելով օգտագործել քառակուսի արմատային բանաձևը, մենք կկանգնենք բացասական թվի քառակուսի արմատը հանելու անհրաժեշտության առաջ, որը մեզ կտանի իրական թվերից դուրս։ Բացասական դիսկրիմինանտի դեպքում քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չի ունենա, բայց հնարավոր է մի զույգ բարդ խոնարհված արմատներ, որոնք որոշվում են նույն արմատային բանաձևերով, որոնք մենք ստացել ենք:

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Հնարավոր է լուծել քառակուսի հավասարումը անմիջապես օգտագործելով արմատային բանաձևը, բայց հիմնականում դա արվում է, երբ անհրաժեշտ է գտնել բարդ արմատներ:

Շատ դեպքերում որոնումը սովորաբար նախատեսված է ոչ թե բարդ, այլ քառակուսի հավասարման իրական արմատների համար: Այնուհետև օպտիմալ է, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, նախ որոշել դիսկրիմինանտը և համոզվել, որ այն բացասական չէ (հակառակ դեպքում մենք կեզրակացնենք, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), այնուհետև անցնել հաշվարկին. արմատների արժեքը.

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը հնարավորություն է տալիս ձևակերպել քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ:

Սահմանում 10

Քառակուսային հավասարումը լուծելու համար a x 2 + b x + c = 0, անհրաժեշտ:

• ըստ բանաձևի D = b 2 − 4 a գգտնել տարբերակիչի արժեքը.
• ժամը Դ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0-ի համար գտե՛ք հավասարման միակ արմատը x = - b 2 · a բանաձեւով;
• D > 0-ի համար որոշեք քառակուսային հավասարման երկու իրական արմատները x = - b ± D 2 · a բանաձևով:

Նկատի ունեցեք, որ երբ դիսկրիմինատորը զրոյական է, կարող եք օգտագործել x = - b ± D 2 · a բանաձևը, այն կտա նույն արդյունքը, ինչ x = - b 2 · a բանաձևը:

Նկատի առ օրինակներ։

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Ներկայացնում ենք տարբերակիչի տարբեր արժեքների օրինակների լուծումը։

Օրինակ 6

Անհրաժեշտ է գտնել հավասարման արմատները x 2 + 2 x - 6 = 0.

Որոշում

Մենք գրում ենք քառակուսի հավասարման թվային գործակիցները՝ a \u003d 1, b \u003d 2 և գ = - 6. Հաջորդը, մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի, այսինքն. Սկսենք հաշվարկել դիսկրիմինանտը, որի համար փոխարինում ենք a , b գործակիցները. և գտարբերակիչ բանաձևի մեջ. D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28:

Այսպիսով, մենք ստացանք D > 0, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական հավասարումը կունենա երկու իրական արմատ:
Դրանք գտնելու համար մենք օգտագործում ենք արմատային բանաձևը x \u003d - b ± D 2 · a և, փոխարինելով համապատասխան արժեքները, ստանում ենք. x \u003d - 2 ± 28 2 · 1: Ստացված արտահայտությունը պարզեցնում ենք՝ գործակիցը հանելով արմատի նշանից, որին հաջորդում է կոտորակի կրճատումը.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 կամ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 կամ x = - 1 - 7

Պատասխան. x = - 1 + 7, x = - 1 - 7:

Օրինակ 7

Անհրաժեշտ է լուծել քառակուսի հավասարում − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Որոշում

Սահմանենք դիսկրիմինատորը. D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Տարբերիչի այս արժեքով սկզբնական հավասարումը կունենա միայն մեկ արմատ, որը որոշվում է x = - b 2 · a բանաձևով:

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Պատասխան. x = 3, 5.

Օրինակ 8

Անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Որոշում

Այս հավասարման թվային գործակիցները կլինեն՝ a = 5 , b = 6 եւ c = 2 : Մենք օգտագործում ենք այս արժեքները տարբերակիչը գտնելու համար՝ D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4: Հաշվարկված դիսկրիմինանտը բացասական է, ուստի սկզբնական քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Այն դեպքում, երբ խնդիրը բարդ արմատներ նշելն է, մենք կիրառում ենք արմատային բանաձևը՝ կատարելով գործողություններ բարդ թվերով.

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 կամ x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i կամ x = - 3 5 - 1 5 i.

Պատասխան.իրական արմատներ չկան. բարդ արմատներն են՝ - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Դպրոցական ծրագրում, որպես չափորոշիչ, բարդ արմատներ փնտրելու պահանջ չկա, հետևաբար, եթե լուծման ժամանակ սահմանվում է որպես բացասական, անմիջապես պատասխան է արձանագրվում, որ իրական արմատներ չկան։

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

Արմատային բանաձևը x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) հնարավորություն է տալիս ստանալ մեկ այլ բանաձև, ավելի կոմպակտ, որը թույլ է տալիս գտնել քառակուսի հավասարումների լուծումներ՝ x-ով հավասար գործակցով (կամ գործակցով): 2 a n ձևի, օրինակ՝ 2 3 կամ 14 ln 5 = 2 7 ln 5): Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է ստացվել այս բանաձևը:

Ենթադրենք, մեր առջեւ խնդիր է դրված գտնել a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 քառակուսային հավասարման լուծումը: Մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի. մենք որոշում ենք տարբերակիչ D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , այնուհետև օգտագործում ենք արմատային բանաձևը.

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · գ ա .

Թող n 2 − a c արտահայտությունը նշանակվի որպես D 1 (երբեմն այն նշանակվում է D "): Այնուհետև դիտարկված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 n գործակցով կունենա հետևյալ ձևը.

x \u003d - n ± D 1 a, որտեղ D 1 \u003d n 2 - a c.

Հեշտ է տեսնել, որ D = 4 · D 1, կամ D 1 = D 4: Այսինքն՝ D 1-ը խտրականի քառորդն է։ Ակնհայտորեն, D 1 նշանը նույնն է, ինչ D նշանը, ինչը նշանակում է, որ D 1 նշանը կարող է նաև ծառայել որպես քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ:

Սահմանում 11

Այսպիսով, 2 n երկրորդ գործակցով քառակուսի հավասարման լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• գտնել D 1 = n 2 − a c ;
• Դ 1 հասցեում< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0-ի համար որոշեք հավասարման միակ արմատը x = - n a բանաձեւով;
• D 1 > 0-ի համար որոշեք երկու իրական արմատներ՝ օգտագործելով x = - n ± D 1 a բանաձեւը:

Օրինակ 9

Անհրաժեշտ է լուծել 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 քառակուսային հավասարումը։

Որոշում

Տվյալ հավասարման երկրորդ գործակիցը կարելի է ներկայացնել որպես 2 · (− 3) ։ Այնուհետև մենք վերագրում ենք տրված քառակուսային հավասարումը որպես 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0, որտեղ a = 5, n = − 3 և c = − 32:

Հաշվենք դիսկրիմինանտի չորրորդ մասը՝ D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 ։ Ստացված արժեքը դրական է, ինչը նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու իրական արմատ: Մենք դրանք սահմանում ենք արմատների համապատասխան բանաձևով.

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 կամ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 կամ x = - 2

Հնարավոր կլիներ հաշվարկներ կատարել՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, բայց այս դեպքում լուծումն ավելի դժվար կլիներ։

Պատասխան. x = 3 1 5 կամ x = - 2:

Քառակուսային հավասարումների ձևի պարզեցում

Երբեմն հնարավոր է լինում օպտիմալացնել սկզբնական հավասարման ձևը, ինչը կհեշտացնի արմատների հաշվարկման գործընթացը։

Օրինակ, քառակուսի հավասարումը 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ակնհայտորեն ավելի հարմար է լուծելու համար, քան 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0:

Ավելի հաճախ քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումը կատարվում է դրա երկու մասերը որոշակի թվով բազմապատկելով կամ բաժանելով։ Օրինակ, վերևում մենք ցույց տվեցինք 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 հավասարման պարզեցված պատկերը, որը ստացվել է դրա երկու մասերը 100-ի բաժանելով:

Նման փոխակերպումը հնարավոր է, երբ քառակուսի հավասարման գործակիցները համեմատաբար պարզ թվեր չեն։ Այնուհետև, սովորաբար, հավասարման երկու մասերը բաժանվում են նրա գործակիցների բացարձակ արժեքների ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարով:

Որպես օրինակ՝ մենք օգտագործում ենք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 − 42 x + 48 = 0: Եկեք սահմանենք նրա գործակիցների բացարձակ արժեքների gcd-ն՝ gcd (12, 42, 48) = gcd(gcd (12, 42) , 48) = gcd (6, 48) = 6: Եկեք բաժանենք սկզբնական քառակուսային հավասարման երկու մասերը 6-ի և ստացենք համարժեք քառակուսային հավասարում 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0:

Քառակուսային հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով՝ կոտորակային գործակիցները սովորաբար վերացվում են։ Այս դեպքում բազմապատկեք նրա գործակիցների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկով: Օրինակ, եթե 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 քառակուսի հավասարման յուրաքանչյուր մասը բազմապատկվի LCM (6, 3, 1) \u003d 6-ով, ապա այն կգրվի ավելի պարզ ձևով x 2 +: 4 x - 18 = 0:

Ի վերջո, մենք նշում ենք, որ գրեթե միշտ ազատվում ենք քառակուսի հավասարման առաջին գործակցի մինուսից՝ փոխելով հավասարման յուրաքանչյուր անդամի նշանները, ինչը ձեռք է բերվում երկու մասերը − 1-ով բազմապատկելով (կամ բաժանելով): Օրինակ, քառակուսի հավասարումից - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, կարող եք գնալ դրա պարզեցված տարբերակին 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0:

Արմատների և գործակիցների կապը

Քառակուսային հավասարումների արմատների արդեն հայտնի բանաձեւը x = - b ± D 2 · a արտահայտում է հավասարման արմատները նրա թվային գործակիցներով: Այս բանաձևի հիման վրա մենք հնարավորություն ունենք արմատների և գործակիցների միջև սահմանել այլ կախվածություններ։

Առավել հայտնի և կիրառելի են Վիետայի թեորեմի բանաձևերը.

x 1 + x 2 \u003d - b a և x 2 \u003d c a.

Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը հակառակ նշանով երկրորդ գործակիցն է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Օրինակ՝ 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0 քառակուսի հավասարման ձևով կարելի է անմիջապես որոշել, որ նրա արմատների գումարը 7 3 է, իսկ արմատների արտադրյալը՝ 22 3։

Կարող եք նաև գտնել մի շարք այլ հարաբերություններ քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև: Օրինակ, քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող է արտահայտվել գործակիցներով.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ժամանակակից հասարակության մեջ քառակուսի փոփոխական պարունակող հավասարումների հետ աշխատելու ունակությունը կարող է օգտակար լինել գործունեության բազմաթիվ ոլորտներում և լայնորեն կիրառվում է պրակտիկայում գիտական ​​և տեխնիկական զարգացումներում: Դրա մասին կարող են վկայել ծովային և գետային նավերի, ինքնաթիռների և հրթիռների նախագծումը։ Նման հաշվարկների օգնությամբ որոշվում են տարբեր մարմինների, այդ թվում՝ տիեզերական օբյեկտների շարժման հետագիծը։ Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակները օգտագործվում են ոչ միայն տնտեսական կանխատեսումների, շենքերի նախագծման և կառուցման մեջ, այլև առավել սովորական առօրյա հանգամանքներում: Դրանք կարող են անհրաժեշտ լինել ճամբարային ճամփորդությունների, սպորտային միջոցառումների ժամանակ, խանութներում գնումներ կատարելիս և շատ սովորական իրավիճակներում:

Բաժանենք արտահայտությունը բաղադրիչ գործոնների

Հավասարման աստիճանը որոշվում է տվյալ արտահայտությունը պարունակող փոփոխականի աստիճանի առավելագույն արժեքով։ Եթե ​​այն հավասար է 2-ի, ապա նման հավասարումը կոչվում է քառակուսային հավասարում։

Եթե ​​խոսենք բանաձևերի լեզվով, ապա այս արտահայտությունները, անկախ նրանից, թե ինչ տեսք ունեն, միշտ կարելի է հասցնել այն ձևի, երբ արտահայտության ձախ կողմը բաղկացած է երեք տերմիններից։ Դրանցից՝ ax 2 (այսինքն՝ փոփոխական քառակուսի իր գործակցով), bx (անհայտ առանց քառակուսու իր գործակցով) և c (ազատ բաղադրիչ, այսինքն՝ սովորական թիվ)։ Այս ամենը աջ կողմում հավասար է 0-ի: Այն դեպքում, երբ նման բազմանդամը չունի իր բաղկացուցիչ անդամներից մեկը, բացառությամբ կացին 2-ի, այն կոչվում է ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում: Նախ պետք է դիտարկել այնպիսի խնդիրների լուծման օրինակներ, որոնցում դժվար չէ գտնել փոփոխականների արժեքը:

Եթե ​​արտահայտությունը կարծես երկու տերմին ունի արտահայտության աջ կողմում, ավելի ճիշտ՝ ax 2 և bx, ապա ամենահեշտն է գտնել x՝ փոփոխականը փակագծելով: Այժմ մեր հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ x(ax+b): Այնուհետև ակնհայտ է դառնում, որ կամ x=0, կամ խնդիրը կրճատվում է հետևյալ արտահայտությունից փոփոխական գտնելով՝ ax+b=0: Սա թելադրված է բազմապատկման հատկություններից մեկով։ Կանոնն ասում է, որ երկու գործոնի արտադրյալը ստանում է 0 միայն այն դեպքում, երբ նրանցից մեկը զրո է:

Օրինակ

x=0 կամ 8x - 3 = 0

Արդյունքում ստանում ենք հավասարման երկու արմատ՝ 0 և 0,375։

Այս կարգի հավասարումները կարող են նկարագրել ծանրության գործողության տակ գտնվող մարմինների շարժումը, որոնք սկսել են շարժվել որոշակի կետից՝ որպես սկզբնաղբյուր: Այստեղ մաթեմատիկական նշումը ստանում է հետևյալ ձևը՝ y = v 0 t + gt 2 /2: Փոխարինելով անհրաժեշտ արժեքները, աջ կողմը հավասարեցնելով 0-ին և գտնելով հնարավոր անհայտները՝ կարող եք պարզել մարմնի բարձրանալու պահից մինչև ընկնելու պահն անցած ժամանակը, ինչպես նաև շատ այլ մեծություններ: Բայց այս մասին կխոսենք ավելի ուշ։

Արտահայտության ֆակտորինգ

Վերը նկարագրված կանոնը հնարավորություն է տալիս լուծել այս խնդիրները ավելի բարդ դեպքերում: Դիտարկենք այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ:

X2 - 33x + 200 = 0

Այս քառակուսի եռանկյունը ամբողջական է: Նախ, մենք փոխակերպում ենք արտահայտությունը և այն տարրալուծում գործոնների: Դրանցից երկուսը կա՝ (x-8) և (x-25) = 0: Արդյունքում մենք ունենք երկու արմատ 8 և 25:

9-րդ դասարանի քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակները թույլ են տալիս այս մեթոդին գտնել փոփոխական ոչ միայն երկրորդ, այլ նույնիսկ երրորդ և չորրորդ կարգի արտահայտություններում:

Օրինակ՝ 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0: Աջ կողմը փոփոխականով գործոնների վերածելիս կան երեքը, այսինքն՝ (x + 1), (x-3) և (x +): 3).

Արդյունքում ակնհայտ է դառնում, որ այս հավասարումն ունի երեք արմատ՝ -3; - մեկ; 3.

Քառակուսի արմատի հանում

Թերի երկրորդ կարգի հավասարման մեկ այլ դեպք տառերի լեզվով գրված արտահայտությունն է այնպես, որ աջ կողմը կառուցված է ax 2 և c բաղադրիչներից։ Այստեղ փոփոխականի արժեքը ստանալու համար ազատ անդամը տեղափոխվում է աջ կողմ, իսկ դրանից հետո հավասարության երկու կողմերից հանվում է քառակուսի արմատը։ Պետք է նշել, որ այս դեպքում սովորաբար հավասարման երկու արմատ կա. Բացառություն են կազմում բացարձակապես c տերմինը չպարունակող հավասարությունները, որտեղ փոփոխականը հավասար է զրոյի, ինչպես նաև արտահայտությունների տարբերակները, երբ աջ կողմը բացասական է ստացվում։ Վերջին դեպքում ընդհանրապես լուծումներ չկան, քանի որ վերը նշված գործողությունները չեն կարող կատարվել արմատներով։ Պետք է դիտարկել այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծումների օրինակներ:

Այս դեպքում հավասարման արմատները կլինեն -4 և 4 թվերը։

Հողամասի մակերեսի հաշվարկ

Այս կարգի հաշվարկների անհրաժեշտությունը ի հայտ է եկել դեռևս հին ժամանակներում, քանի որ այդ հեռավոր ժամանակներում մաթեմատիկայի զարգացումը մեծապես պայմանավորված էր հողամասերի տարածքներն ու պարագծերը առավելագույն ճշգրտությամբ որոշելու անհրաժեշտությամբ։

Պետք է դիտարկել նաև այս կարգի խնդիրների հիման վրա կազմված քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ։

Այսպիսով, ասենք, կա մի ուղղանկյուն հողատարածք, որի երկարությունը 16 մետրով ավելի է լայնությունից։ Դուք պետք է գտնեք տեղանքի երկարությունը, լայնությունը և պարագիծը, եթե հայտնի է, որ դրա մակերեսը 612 մ 2 է։

Անցնելով գործին, սկզբում մենք կկատարենք անհրաժեշտ հավասարումը. Հատվածի լայնությունը նշանակենք x, ապա դրա երկարությունը կլինի (x + 16): Գրվածից հետևում է, որ տարածքը որոշվում է x (x + 16) արտահայտությամբ, որը, ըստ մեր խնդրի պայմանի, 612 է։ Սա նշանակում է, որ x (x + 16) \u003d 612։

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը, և այս արտահայտությունը հենց դա է, չի կարող նույն կերպ անել։ Ինչո՞ւ։ Թեև դրա ձախ կողմը դեռևս երկու գործոն է պարունակում, սակայն դրանց արտադրյալն ամենևին էլ 0 չէ, ուստի այստեղ օգտագործվում են այլ մեթոդներ։

Խտրական

Առաջին հերթին մենք կկատարենք անհրաժեշտ փոխակերպումները, այնուհետև այս արտահայտության տեսքը կունենա հետևյալ տեսքը՝ x 2 + 16x - 612 = 0: Սա նշանակում է, որ մենք ստացել ենք նախկինում նշված ստանդարտին համապատասխան արտահայտություն, որտեղ. a=1, b=16, c= -612:

Սա կարող է լինել տարբերակիչի միջոցով քառակուսի հավասարումներ լուծելու օրինակ: Այստեղ անհրաժեշտ հաշվարկները կատարվում են ըստ սխեմայի՝ D = b 2 - 4ac: Այս օժանդակ արժեքը ոչ միայն հնարավորություն է տալիս գտնել ցանկալի արժեքները երկրորդ կարգի հավասարման մեջ, այն որոշում է հնարավոր տարբերակների քանակը: D>0 դեպքում դրանք երկուսն են. D=0-ի համար կա մեկ արմատ: Այն դեպքում, երբ Դ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Արմատների և դրանց բանաձևի մասին

Մեր դեպքում տարբերակիչն է՝ 256 - 4(-612) = 2704: Սա ցույց է տալիս, որ մեր խնդիրն ունի պատասխան: Եթե ​​գիտեք, ապա քառակուսի հավասարումների լուծումը պետք է շարունակվի ստորև բերված բանաձևով: Այն թույլ է տալիս հաշվարկել արմատները:

Սա նշանակում է, որ ներկայացված դեպքում՝ x 1 =18, x 2 =-34: Այս երկընտրանքի երկրորդ տարբերակը լուծում չի կարող լինել, քանի որ հողամասի չափը հնարավոր չէ չափել բացասական արժեքներով, ինչը նշանակում է, որ x-ը (այսինքն՝ հողամասի լայնությունը) 18 մ է: Այստեղից մենք հաշվարկում ենք երկարությունը. 18+16=34, իսկ պարագիծը 2(34+ 18) = 104 (մ 2):

Օրինակներ և առաջադրանքներ

Շարունակում ենք քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրությունը։ Օրինակներ և դրանցից մի քանիսի մանրամասն լուծումը կտրվի ստորև։

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Ամեն ինչ տեղափոխենք հավասարության ձախ կողմը, կատարենք փոխակերպում, այսինքն՝ ստանում ենք հավասարման ձևը, որը սովորաբար կոչվում է ստանդարտ, և հավասարեցնում ենք զրոյի։

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Նմանատիպերը ավելացնելով՝ մենք որոշում ենք դիսկրիմինատորը՝ D \u003d 49 - 48 \u003d 1: Այսպիսով, մեր հավասարումը կունենա երկու արմատ: Մենք դրանք հաշվում ենք վերը նշված բանաձեւով, ինչը նշանակում է, որ դրանցից առաջինը հավասար կլինի 4/3-ի, իսկ երկրորդը՝ 1-ի։

2) Այժմ մենք կբացահայտենք այլ տեսակի հանելուկներ:

Եկեք պարզենք, արդյոք այստեղ ընդհանրապես արմատներ կան x 2 - 4x + 5 = 1: Սպառիչ պատասխան ստանալու համար բազմանդամը բերում ենք համապատասխան ծանոթ ձևին և հաշվում դիսկրիմինանտը։ Այս օրինակում պետք չէ լուծել քառակուսի հավասարումը, քանի որ խնդրի էությունը ամենևին էլ սրանում չէ։ Այս դեպքում D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ինչը նշանակում է, որ իսկապես արմատներ չկան:

Վիետայի թեորեմա

Հարմար է քառակուսի հավասարումները լուծել վերը նշված բանաձևերի և դիսկրիմինանտի միջոցով, երբ վերջինիս արժեքից հանվում է քառակուսի արմատը։ Բայց դա միշտ չէ, որ տեղի է ունենում: Այնուամենայնիվ, այս դեպքում փոփոխականների արժեքները ստանալու բազմաթիվ եղանակներ կան: Օրինակ՝ քառակուսի հավասարումների լուծում Վիետայի թեորեմի միջոցով: Այն անվանվել է մի մարդու անունով, ով ապրել է 16-րդ դարում Ֆրանսիայում և փայլուն կարիերա է ունեցել իր մաթեմատիկական տաղանդի և դատարանում ունեցած կապերի շնորհիվ: Նրա դիմանկարը կարելի է տեսնել հոդվածում։

Նախշը, որը նկատել է հայտնի ֆրանսիացին, հետևյալն էր. Նա ապացուցեց, որ հավասարման արմատների գումարը հավասար է -p=b/a, իսկ դրանց արտադրյալը համապատասխանում է q=c/a:

Հիմա եկեք նայենք կոնկրետ առաջադրանքներին:

3x2 + 21x - 54 = 0

Պարզության համար եկեք փոխակերպենք արտահայտությունը.

x 2 + 7x - 18 = 0

Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը՝ սա մեզ հետևյալը կտա՝ արմատների գումարը -7 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ -18։ Այստեղից մենք ստանում ենք, որ հավասարման արմատները -9 և 2 թվերն են: Ստուգելով՝ մենք կհամոզվենք, որ փոփոխականների այս արժեքները իսկապես տեղավորվում են արտահայտության մեջ:

Պարաբոլայի գրաֆիկ և հավասարում

Քառակուսային ֆունկցիա և քառակուսի հավասարումներ հասկացությունները սերտորեն կապված են: Դրա օրինակներն արդեն տրվել են նախկինում: Հիմա եկեք մի փոքր ավելի մանրամասն նայենք մի քանի մաթեմատիկական հանելուկների: Նկարագրված տիպի ցանկացած հավասարում կարող է ներկայացվել տեսողականորեն: Նման կախվածությունը, որը գծված է գրաֆիկի տեսքով, կոչվում է պարաբոլա։ Դրա տարբեր տեսակները ներկայացված են ստորև բերված նկարում:

Ցանկացած պարաբոլա ունի գագաթ, այսինքն՝ կետ, որտեղից դուրս են գալիս նրա ճյուղերը։ Եթե ​​a>0, ապա դրանք բարձրանում են դեպի անսահմանություն, իսկ երբ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ֆունկցիաների տեսողական ներկայացումները օգնում են լուծել ցանկացած հավասարումներ, այդ թվում՝ քառակուսային: Այս մեթոդը կոչվում է գրաֆիկական: Իսկ x փոփոխականի արժեքը աբսցիսային կոորդինատն է այն կետերում, որտեղ գրաֆիկի գիծը հատվում է 0x-ի հետ։ Գագաթի կոորդինատները կարելի է գտնել x 0 = -b / 2a բանաձեւով: Եվ արդյունքում ստացված արժեքը ֆունկցիայի սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելով՝ կարող եք պարզել y 0, այսինքն՝ y առանցքին պատկանող պարաբոլայի գագաթի երկրորդ կոորդինատը։

Պարաբոլայի ճյուղերի հատումը աբսցիսայի առանցքի հետ

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակները շատ են, բայց կան նաև ընդհանուր օրինաչափություններ։ Դիտարկենք դրանք։ Հասկանալի է, որ գրաֆիկի հատումը 0x առանցքի հետ a>0-ի համար հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե y 0-ն ընդունում է բացասական արժեքներ։ Իսկ համար ա<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Հակառակ դեպքում Դ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Պարաբոլայի գրաֆիկից կարող եք որոշել նաև արմատները: Ճիշտ է նաև հակառակը. Այսինքն, եթե քառակուսի ֆունկցիայի տեսողական պատկեր ստանալը հեշտ չէ, կարող եք արտահայտության աջ կողմը հավասարեցնել 0-ի և լուծել ստացված հավասարումը։ Իսկ իմանալով 0x առանցքի հետ հատման կետերը՝ ավելի հեշտ է գծագրել։

Պատմությունից

Քառակուսի փոփոխական պարունակող հավասարումների օգնությամբ հին ժամանակներում ոչ միայն մաթեմատիկական հաշվարկներ էին կատարվում և որոշում էին երկրաչափական ձևերի տարածքը: Հիններին նման հաշվարկներ էին պետք ֆիզիկայի և աստղագիտության բնագավառում մեծ հայտնագործությունների, ինչպես նաև աստղագիտական ​​կանխատեսումներ անելու համար։

Ինչպես ենթադրում են ժամանակակից գիտնականները, Բաբելոնի բնակիչներն առաջիններից են, ովքեր լուծել են քառակուսի հավասարումներ։ Դա տեղի է ունեցել մեր դարաշրջանի գալուստից չորս դար առաջ: Իհարկե, նրանց հաշվարկները սկզբունքորեն տարբերվում էին ներկայումս ընդունվածներից և շատ ավելի պարզունակ էին։ Օրինակ, միջագետքի մաթեմատիկոսները գաղափար չունեին բացասական թվերի գոյության մասին։ Նրանց անծանոթ էին նաև մեր ժամանակների որևէ ուսանողի ծանոթ այլ նրբություններ։

Թերևս նույնիսկ ավելի վաղ, քան Բաբելոնի գիտնականները, Հնդկաստանից եկած իմաստուն Բաուդայաման ձեռնամուխ եղավ քառակուսի հավասարումների լուծմանը: Դա տեղի է ունեցել Քրիստոսի դարաշրջանի գալուստից մոտ ութ դար առաջ: Ճիշտ է, երկրորդ կարգի հավասարումները, լուծման մեթոդները, որոնք նա տվեց, ամենապարզն էին։ Նրանից բացի, հին ժամանակներում նմանատիպ հարցեր հետաքրքրում էին նաեւ չինացի մաթեմատիկոսներին։ Եվրոպայում քառակուսի հավասարումները սկսեցին լուծվել միայն 13-րդ դարի սկզբին, բայց հետագայում դրանք օգտագործվեցին իրենց աշխատանքում այնպիսի մեծ գիտնականների կողմից, ինչպիսիք են Նյուտոնը, Դեկարտը և շատ ուրիշներ:

Քառակուսային հավասարում - հեշտ է լուծել: *Հետագայում «KU» տեքստում:Ընկերներ, թվում է, թե մաթեմատիկայի մեջ դա կարող է ավելի հեշտ լինել, քան նման հավասարումը լուծելը: Բայց ինչ-որ բան ինձ ասում էր, որ շատերը նրա հետ խնդիրներ ունեն։ Ես որոշեցի տեսնել, թե ամսական քանի տպավորություն է թողնում Yandex-ը մեկ հարցում: Ահա թե ինչ եղավ, նայեք.

Ինչ է դա նշանակում? Սա նշանակում է, որ ամսական մոտ 70.000 մարդ փնտրում է այս տեղեկությունը, իսկ սա ամառ է, իսկ թե ինչ կլինի ուսումնական տարվա ընթացքում՝ կրկնակի շատ խնդրանքներ կլինեն։ Սա զարմանալի չէ, քանի որ այն տղաներն ու աղջիկները, ովքեր վաղուց ավարտել են դպրոցը և պատրաստվում են քննությանը, փնտրում են այս տեղեկությունը, իսկ դպրոցականները նույնպես փորձում են թարմացնել հիշողությունը։

Չնայած այն հանգամանքին, որ կան բազմաթիվ կայքեր, որոնք պատմում են, թե ինչպես լուծել այս հավասարումը, ես որոշեցի նաև ներդրում ունենալ և հրապարակել նյութը: Նախ, ես ցանկանում եմ, որ այցելուները գան իմ կայք այս խնդրանքով. երկրորդ, այլ հոդվածներում, երբ հնչի «KU» ելույթը, ես կտամ այս հոդվածի հղումը. երրորդ, ես ձեզ մի փոքր ավելին կասեմ նրա լուծման մասին, քան սովորաբար նշվում է այլ կայքերում: Եկեք սկսենք!Հոդվածի բովանդակությունը.

Քառակուսային հավասարումը ձևի հավասարումն է.

որտեղ գործակիցները a,բիսկ կամայական թվերով՝ a≠0-ով։

Դպրոցական դասընթացում նյութը տրվում է հետևյալ ձևով՝ հավասարումների բաժանումը երեք դասի պայմանականորեն.

1. Ունենալ երկու արմատ.

2. * Միայն մեկ արմատ ունեցեք.

3. Արմատներ չունենալ։ Այստեղ հարկ է նշել, որ դրանք իրական արմատներ չունեն

Ինչպե՞ս են հաշվարկվում արմատները: Պարզապես!

Մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինանտը։ Այս «սարսափելի» բառի տակ շատ պարզ բանաձեւ է.

Արմատային բանաձևերը հետևյալն են.

*Այս բանաձեւերը պետք է անգիր իմանալ։

Դուք կարող եք անմիջապես գրել և լուծել.

Օրինակ:

1. Եթե D > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ:

2. Եթե D = 0, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

3. Եթե Դ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Եկեք նայենք հավասարմանը.

Այս առիթով, երբ խտրականը զրոյական է, դպրոցի դասընթացն ասում է, որ ստացվում է մեկ արմատ, այստեղ հավասար է ինը։ Ճիշտ է, այդպես է, բայց...

Այս ներկայացումը որոշ չափով սխալ է: Իրականում երկու արմատ կա. Այո, այո, մի զարմացեք, ստացվում է երկու հավասար արմատ, իսկ մաթեմատիկորեն ճշգրիտ լինելու համար պատասխանում պետք է գրել երկու արմատ.

x 1 = 3 x 2 = 3

Բայց սա այդպես է՝ մի փոքր շեղում: Դպրոցում կարելի է գրել ու ասել, որ արմատը մեկն է։

Այժմ հետևյալ օրինակը.

Ինչպես գիտենք, բացասական թվի արմատը չի հանվում, ուստի այս դեպքում լուծում չկա։

Սա է որոշումների ամբողջ գործընթացը:

Քառակուսի ֆունկցիա.

Ահա թե ինչպես է լուծումը երկրաչափական տեսք. Սա չափազանց կարևոր է հասկանալու համար (ապագայում հոդվածներից մեկում մանրամասն կվերլուծենք քառակուսի անհավասարության լուծումը)։

Սա ձևի ֆունկցիան է.

որտեղ x և y փոփոխականներ են

a, b, c տրված են թվեր, որտեղ a ≠ 0

Գրաֆիկը պարաբոլա է.

Այսինքն՝ ստացվում է, որ լուծելով «y»-ով քառակուսի հավասարում, որը հավասար է զրոյի, մենք գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետերը x առանցքի հետ։ Այս կետերից կարող է լինել երկուսը (տարբերիչը դրական է), մեկը (տարբերիչը զրոյական է) կամ ոչ մեկը (տարբերիչը բացասական է): Ավելին քառակուսի ֆունկցիայի մասին Դուք կարող եք դիտելԻննա Ֆելդմանի հոդվածը։

Դիտարկենք օրինակներ.

Օրինակ 1. Որոշել 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = բ 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Պատասխան՝ x 1 = 8 x 2 = -12

* Դուք կարող եք անմիջապես հավասարման ձախ և աջ կողմերը բաժանել 2-ի, այսինքն՝ պարզեցնել այն։ Հաշվարկներն ավելի հեշտ կլինեն։

Օրինակ 2: Որոշեք x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Մենք ստացանք, որ x 1 \u003d 11 և x 2 \u003d 11

Պատասխանում թույլատրելի է գրել x = 11:

Պատասխան՝ x = 11

Օրինակ 3: Որոշեք x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Տարբերիչը բացասական է, իրական թվերով լուծում չկա։

Պատասխան՝ լուծում չկա

Խտրականը բացասական է. Կա լուծում!

Այստեղ մենք կխոսենք հավասարումը լուծելու մասին այն դեպքում, երբ ստացվում է բացասական դիսկրիմինանտ։ Կոմպլեքս թվերի մասին որևէ բան գիտե՞ք: Ես այստեղ չեմ մանրամասնի, թե ինչու և որտեղ են դրանք առաջացել, և որն է դրանց հատուկ դերն ու անհրաժեշտությունը մաթեմատիկայի մեջ, սա մեծ առանձին հոդվածի թեմա է:

Կոմպլեքս թվի հայեցակարգը.

Մի քիչ տեսություն.

Z կոմպլեքս թիվը ձևի թիվ է

z = a + bi

որտեղ a-ն և b-ն իրական թվեր են, i-ն այսպես կոչված երևակայական միավորն է:

ա+բի ՄԵԿ ԹԻՎ է, ոչ թե գումարում։

Երևակայական միավորը հավասար է մինուս մեկի արմատին.

Այժմ հաշվի առեք հավասարումը.

Ստացեք երկու զուգակցված արմատներ:

Անավարտ քառակուսի հավասարում.

Դիտարկենք հատուկ դեպքեր, երբ «b» կամ «c» գործակիցը հավասար է զրոյի (կամ երկուսն էլ հավասար են զրոյի): Դրանք հեշտությամբ լուծվում են առանց որևէ խտրականության:

Դեպք 1. Գործակից b = 0:

Հավասարումը ստանում է ձև.

Եկեք փոխակերպենք.

Օրինակ:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Դեպք 2. Գործակից c = 0:

Հավասարումը ստանում է ձև.

Փոխակերպել, ֆակտորիզացնել.

*Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 կամ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Դեպք 3. b = 0 եւ c = 0 գործակիցները:

Այստեղ պարզ է, որ հավասարման լուծումը միշտ կլինի x = 0:

Օգտակար հատկություններ և գործակիցների օրինաչափություններ.

Կան հատկություններ, որոնք թույլ են տալիս մեծ գործակիցներով հավասարումներ լուծել։

աx 2 + bx+ գ=0 հավասարություն

ա + բ+ c = 0,ապա

- եթե հավասարման գործակիցների համար աx 2 + bx+ գ=0 հավասարություն

ա+ հետ =բ, ապա

Այս հատկությունները օգնում են լուծել որոշակի տեսակի հավասարումներ:

Օրինակ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Գործակիցների գումարը 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ուրեմն

Օրինակ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Հավասարություն ա+ հետ =բ, նշանակում է

Գործակիցների օրինաչափություններ.

1. Եթե ax 2 + bx + c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը (a 2 +1) է, իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 6x 2 +37x+6 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6:

2. Եթե ax 2 - bx + c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը (a 2 +1) է, իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

կացին 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 15x 2 –226x +15 = 0 հավասարումը:

x 1 = 15 x 2 = 1/15:

3. Եթե հավասարման մեջ ax 2 + bx - c = 0 գործակից «b» հավասար է (a 2 – 1), իսկ «գ» գործակիցը. թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա նրա արմատները հավասար են

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 17x 2 + 288x - 17 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17:

4. Եթե ax 2 - bx - c \u003d 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 - 1), իսկ c գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները.

կացին 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Օրինակ. Դիտարկենք 10x2 - 99x -10 = 0 հավասարումը:

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Վիետայի թեորեմա.

Վիետայի թեորեմն անվանվել է հայտնի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետայի անունով։ Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, կարելի է կամայական KU-ի արմատների գումարը և արտադրյալը արտահայտել իր գործակիցներով։

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ընդհանուր առմամբ, 14 թիվը տալիս է միայն 5 և 9: Սրանք արմատներն են: Որոշակի հմտությամբ, օգտագործելով ներկայացված թեորեմը, կարող եք շատ քառակուսի հավասարումներ լուծել անմիջապես բանավոր:

Վիետայի թեորեմը, ընդ որում. հարմար է, քանի որ քառակուսի հավասարումը սովորական եղանակով լուծելուց հետո (դիսկրիմինանտի միջոցով) կարելի է ստուգել ստացված արմատները։ Ես խորհուրդ եմ տալիս դա անել անընդհատ:

ՏՐԱՆՍՖԵՐՏԻ ՄԵԹՈԴ

Այս մեթոդով «ա» գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամով, կարծես «փոխանցվում է» դրան, ինչի պատճառով էլ կոչվում է. փոխանցման եղանակը.Այս մեթոդը կիրառվում է, երբ հեշտ է գտնել հավասարման արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը և, որ ամենակարևորն է, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Եթե ա± բ+գ≠ 0, ապա օգտագործվում է փոխանցման տեխնիկան, օրինակ.

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Համաձայն Վիետայի թեորեմի (2) հավասարման, հեշտ է որոշել, որ x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Հավասարման ստացված արմատները պետք է բաժանել 2-ի (քանի որ երկուսը «գցվել» են x 2-ից), ստանում ենք.

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Ո՞րն է հիմնավորումը: Տեսեք, թե ինչ է կատարվում.

(1) և (2) հավասարումների տարբերակիչներն են.

Եթե ​​նայեք հավասարումների արմատներին, ապա ստացվում են միայն տարբեր հայտարարներ, և արդյունքը կախված է հենց x 2 գործակիցից.

Երկրորդ (փոփոխված) արմատները 2 անգամ ավելի մեծ են։

Այսպիսով, մենք արդյունքը բաժանում ենք 2-ի:

*Եթե երեքը գրտնակում ենք, ապա ստացվածը բաժանում ենք 3-ի և այլն։

Պատասխան՝ x 1 = 5 x 2 = 0,5

քառ. ur-ie և քննությունը:

Համառոտ կասեմ դրա կարևորության մասին - ՊԵՏՔ Է ԿԱՐՈՂԱՆԱԼ ՈՐՈՇԵԼ արագ և առանց մտածելու, պետք է անգիր իմանալ արմատների և զանազանողի բանաձևերը։ USE առաջադրանքների մաս կազմող առաջադրանքներից շատերը հանգում են քառակուսի հավասարումների լուծմանը (ներառյալ երկրաչափականները):

Այն, ինչ արժե ուշադրություն դարձնել.

1. Հավասարման ձևը կարող է լինել «ներածական»: Օրինակ, հնարավոր է հետևյալ գրառումը.

15+ 9x 2 - 45x = 0 կամ 15x+42+9x 2 - 45x=0 կամ 15 -5x+10x 2 = 0:

Դուք պետք է այն հասցնեք ստանդարտ ձևի (որպեսզի չշփոթվեք լուծելիս):

2. Հիշեք, որ x-ը անհայտ արժեք է, և այն կարելի է նշանակել ցանկացած այլ տառով՝ t, q, p, h և այլն:

Տարբերակիչները, ինչպես նաև քառակուսի հավասարումները, սկսում են ուսումնասիրվել հանրահաշվի դասընթացում 8-րդ դասարանում: Դուք կարող եք լուծել քառակուսի հավասարում դիսկրիմինանտի միջոցով և օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Քառակուսային հավասարումների ուսումնասիրման մեթոդոլոգիան, ինչպես նաև դիսկրիմինացիոն բանաձևը, բավականին անհաջող կերպով ներարկվել է դպրոցականների մեջ, ինչպես իրական կրթության մեջ: Ուստի դպրոցական տարիներն անցնում են, 9-11-րդ դասարաններում կրթությունը փոխարինում է «բարձրագույն կրթությանը» և բոլորը նորից փնտրում են. «Ինչպե՞ս լուծել քառակուսի հավասարումը», «Ինչպե՞ս գտնել հավասարման արմատները», «Ինչպե՞ս գտնել դիսկրիմինատորը»։ և...

Խտրականության բանաձև

a*x^2+bx+c=0 քառակուսի հավասարման D դիսկրիմինանտը D=b^2–4*a*c է։
Քառակուսային հավասարման արմատները (լուծումները) կախված են դիսկրիմինանտի նշանից (D).
D>0 - հավասարումն ունի 2 տարբեր իրական արմատ;
D=0 - հավասարումն ունի 1 արմատ (2 համընկնող արմատ).
Դ<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Տարբերակիչի հաշվարկման բանաձևը բավականին պարզ է, ուստի շատ կայքեր առաջարկում են առցանց տարբերակիչ հաշվիչ: Մենք դեռ չենք պարզել այս տեսակի սցենարները, այնպես որ, ով գիտի, թե ինչպես դա իրականացնել, խնդրում ենք գրել փոստին Այս էլ. փոստի հասցեն պաշտպանված է սպամ-բոթերից: Դիտելու համար պետք է միացված լինի JavaScript-ը: .

Քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու ընդհանուր բանաձև:

Հավասարման արմատները գտնվում են բանաձևով
Եթե ​​քառակուսիում փոփոխականի գործակիցը զուգակցված է, ապա նպատակահարմար է հաշվարկել ոչ թե դիսկրիմինանտը, այլ դրա չորրորդ մասը.
Նման դեպքերում հավասարման արմատները հայտնաբերվում են բանաձևով

Արմատներ գտնելու երկրորդ եղանակը Վիետայի թեորեմն է։

Թեորեմը ձևակերպված է ոչ միայն քառակուսի հավասարումների, այլև բազմանդամների համար։ Սա կարող եք կարդալ Վիքիպեդիայում կամ այլ էլեկտրոնային աղբյուրներում։ Այնուամենայնիվ, պարզեցնելու համար հաշվի առեք դրա այն մասը, որը վերաբերում է կրճատված քառակուսային հավասարումների, այսինքն՝ (a=1) ձևի հավասարումների։
Վիետայի բանաձևերի էությունն այն է, որ հավասարման արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով վերցված փոփոխականի գործակցին։ Հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Վիետայի թեորեմի բանաձեւերն ունեն նշում.
Վիետայի բանաձևի ածանցումը բավականին պարզ է. Գրենք քառակուսի հավասարումը պարզ գործակիցներով
Ինչպես տեսնում եք, ամեն հնարամիտ միևնույն ժամանակ պարզ է։ Արդյունավետ է օգտագործել Վիետայի բանաձևը, երբ արմատների մոդուլի տարբերությունը կամ արմատների մոդուլի տարբերությունը 1, 2 է: Օրինակ, հետևյալ հավասարումները, ըստ Վիետայի թեորեմի, ունեն արմատներ.




Մինչև 4 հավասարումների վերլուծությունը պետք է այսպիսի տեսք ունենա. Հավասարման արմատների արտադրյալը 6 է, ուստի արմատները կարող են լինել (1, 6) և (2, 3) արժեքները կամ հակառակ նշանով զույգեր։ Արմատների գումարը 7 է (հակառակ նշանով փոփոխականի գործակիցը)։ Այստեղից եզրակացնում ենք, որ քառակուսի հավասարման լուծումները հավասար են x=2; x=3.
Ազատ անդամի բաժանարարներից ավելի հեշտ է ընտրել հավասարման արմատները՝ շտկելով դրանց նշանը՝ Վիետայի բանաձևերը կատարելու համար։ Սկզբում դա դժվար է թվում անել, բայց մի շարք քառակուսի հավասարումների պրակտիկայի դեպքում այս տեխնիկան ավելի արդյունավետ կլինի, քան դիսկրիմինանտը հաշվարկելը և քառակուսի հավասարման արմատները դասական եղանակով գտնելը:
Ինչպես տեսնում եք, դիսկրիմինանտը ուսումնասիրելու դպրոցական տեսությունը և հավասարման լուծումներ գտնելու ուղիները զուրկ են գործնական իմաստից. «Դպրոցականներին ինչի՞ն է պետք քառակուսի հավասարումը», «Ո՞րն է խտրականի ֆիզիկական իմաստը».

Փորձենք պարզել այն ինչ է նկարագրում խտրականը:

Հանրահաշվի ընթացքում ուսումնասիրում են ֆունկցիաներ, ֆունկցիաների ուսումնասիրման սխեմաներ և ֆունկցիաներ գծագրելու համար։ Բոլոր գործառույթներից կարևոր տեղ է զբաղեցնում պարաբոլան, որի հավասարումը կարելի է գրել ձևով.
Այսպիսով, քառակուսի հավասարման ֆիզիկական իմաստը պարաբոլայի զրոներն են, այսինքն՝ ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը Ox աբսցիսային առանցքի հետ։
Ես խնդրում եմ ձեզ հիշել պարաբոլների հատկությունները, որոնք նկարագրված են ստորև: Կգա քննություններ, թեստեր կամ ընդունելության քննություններ հանձնելու ժամանակը, և դուք երախտապարտ կլինեք տեղեկատվական նյութի համար: Քառակուսի փոփոխականի նշանը համապատասխանում է նրան, թե արդյոք գրաֆիկի վրա պարաբոլայի ճյուղերը կբարձրանան (a>0),

կամ պարաբոլա՝ ներքեւ ճյուղերով (ա<0) .

Պարաբոլայի գագաթը գտնվում է արմատների միջև

Խտրականի ֆիզիկական իմաստը.

Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է (D>0), պարաբոլան ունի երկու հատման կետ Ox առանցքի հետ:
Եթե ​​դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի (D=0), ապա վերևում գտնվող պարաբոլան դիպչում է x առանցքին:
Եվ վերջին դեպքը, երբ դիսկրիմինատորը զրոյից փոքր է (Դ<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Անավարտ քառակուսի հավասարումներ