Թվաբանական քառակուսի արմատ և դրա հատկությունները.

Այս հոդվածը մանրամասն տեղեկությունների հավաքածու է, որը վերաբերում է արմատների հատկությունների թեմային: Նկատի ունենալով թեման՝ կսկսենք հատկություններից, կուսումնասիրենք բոլոր ձևակերպումները և կտանք ապացույցներ։ Թեման համախմբելու համար կդիտարկենք n-րդ աստիճանի հատկությունները։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Արմատային հատկություններ

Մենք կխոսենք հատկությունների մասին:

1. Սեփականություն բազմապատկված թվեր աև բ, որը ներկայացված է որպես a · b = a · b հավասարություն: Այն կարող է ներկայացվել որպես բազմապատկիչներ՝ դրական կամ հավասար զրոյի a 1, a 2, …, a kորպես 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k;
2. մասնավոր a-ից՝ b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, այն կարելի է գրել նաև այս ձևով a b = a b;
3. Թվի ուժից հատկություն ազույգ ցուցիչով a 2 m = a m ցանկացած թվի համար աօրինակ՝ a 2 = a թվի քառակուսուց հատկություն։

Ներկայացված ցանկացած հավասարումներում դուք կարող եք փոխանակել մասերը գծիկ նշանից առաջ և հետո, օրինակ՝ a · b = a · b հավասարությունը փոխակերպվում է որպես a · b = a · b : Հավասարության հատկությունները հաճախ օգտագործվում են բարդ հավասարումները պարզեցնելու համար:

Առաջին հատկությունների ապացույցը հիմնված է սահմանման վրա քառակուսի արմատև բնական ցուցիչով հզորությունների հատկությունները: Երրորդ հատկությունը հիմնավորելու համար անհրաժեշտ է անդրադառնալ թվի մոդուլի սահմանմանը։

Առաջին հերթին անհրաժեշտ է ապացուցել a · b = a · b քառակուսի արմատի հատկությունները: Ըստ սահմանման՝ անհրաժեշտ է համարել, որ a b-ն դրական կամ զրոյի հավասար թիվ է, որը հավասար կլինի. ա բշինարարության ընթացքում քառակուսու մեջ: a · b արտահայտության արժեքը դրական է կամ հավասար է զրոյի՝ որպես ոչ բացասական թվերի արտադրյալ։ Բազմապատկված թվերի աստիճանի հատկությունը թույլ է տալիս մեզ հավասարությունը ներկայացնել (a · b) 2 = a 2 · b 2 ձևով: Քառակուսի արմատի սահմանմամբ a 2 \u003d a և b 2 \u003d b, ապա a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Նմանապես, դա կարելի է ապացուցել արտադրանքից կբազմապատկիչներ a 1, a 2, …, a kհավասար կլինի այս գործոնների քառակուսի արմատների արտադրյալին: Իսկապես, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Այս հավասարությունից հետևում է, որ a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k:

Դիտարկենք մի քանի օրինակ՝ թեման ամրապնդելու համար։

Օրինակ 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 և 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0. 2 (1):

Անհրաժեշտ է ապացուցել քանորդի թվաբանական քառակուսի արմատի հատկությունը՝ a:b = a:b, a ≥ 0, b > 0: Հատկությունը թույլ է տալիս գրել a հավասարությունը՝ b 2 = a 2: b 2, և a 2: b 2 = a: b, մինչդեռ a: b-ն դրական թիվ է կամ հավասար է զրոյի: Այս արտահայտությունը կլինի ապացույցը.

Օրինակ՝ 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 և 30, 121 = 30, 121:

Դիտարկենք թվի քառակուսու քառակուսի արմատի հատկությունը: Այն կարելի է գրել որպես հավասարություն որպես 2 = a Այս հատկությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է մանրամասն դիտարկել մի քանի հավասարումներ a ≥ 0և ժամը ա< 0 .

Ակնհայտ է, որ ≥ 0-ի համար a 2 = a հավասարությունը ճիշտ է: ժամը ա< 0 a 2 = - a հավասարությունը ճիշտ կլինի: Փաստորեն, այս դեպքում - a > 0և (− a) 2 = a 2: Կարող ենք եզրակացնել, որ a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 2

5 2 = 5 = 5 և - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36:

Ապացուցված հատկությունը կօգնի հիմնավորել 2 m = a m, որտեղ ա- իրական, և մ- բնական համարը. Իրոք, աստիճանի հատկությունը մեզ թույլ է տալիս փոխարինել աստիճանը ա 2 մարտահայտություն (ամ) 2, ապա a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Օրինակ 3

3 8 = 3 4 = 3 4 և (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7:

n-րդ արմատի հատկությունները

Նախ պետք է հաշվի առնել n-րդ աստիճանի արմատների հիմնական հատկությունները.

1. Թվերի արտադրյալից հատկություն աև բ, որոնք դրական են կամ հավասար են զրոյի, կարող են արտահայտվել որպես հավասարություն a b n = a n b n, այս հատկությունը վավեր է արտադրյալի համար: կթվեր a 1, a 2, …, a kորպես 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n;
2. -ից կոտորակային թիվունի a b n = a n b n հատկություն, որտեղ ա- ցանկացած իրական թիվ, որը դրական է կամ հավասար է զրոյի, և բդրական իրական թիվ է;
3. Ցանկացածի համար աև զույգ թվեր n = 2 մ a 2 m 2 m = a ճշմարիտ է, իսկ կենտ համար n = 2 մ - 1կատարվում է a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a հավասարությունը:
4. Արտահանման հատկություն a m n = a n m-ից, որտեղ ա- ցանկացած թիվ՝ դրական կամ հավասար զրոյի, nև մբնական թվեր են, այս հատկությունը կարող է ներկայացվել նաև որպես . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2: . . nk ;
5. Ցանկացած ոչ բացասական a-ի և կամայականի համար nև մ, որոնք բնական են, կարելի է սահմանել նաև արդար հավասարությունը a m n · m = a n ;
6. աստիճանի սեփականություն nթվի ուժից ա, որը դրական է կամ հավասար է զրոյի, բնօրինակով մ, սահմանվում է a m n = a n m հավասարությամբ;
7. Համեմատեք միևնույն ցուցիչներ ունեցող հատկությունը՝ ցանկացած դրական թվի համար աև բայնպիսին է, որ ա< b , անհավասարությունը a n< b n ;
8. Համեմատության հատկություն, որն ունի նույն թվերըարմատը՝ եթե մև n-բնական թվեր, որոնք m > n, ապա ժամը 0 < a < 1 a m > a n անհավասարությունը վավեր է, և համար ա > 1մի մ< a n .

Վերոնշյալ հավասարումները վավեր են, եթե հավասարման նշանից առաջ և հետո մասերը հակադարձված են: Դրանք կարող են օգտագործվել նաև այս ձևով։ Սա հաճախ օգտագործվում է արտահայտությունների պարզեցման կամ փոխակերպման ժամանակ։

Արմատի վերը նշված հատկությունների ապացույցը հիմնված է սահմանման, աստիճանի հատկությունների և թվի մոդուլի սահմանման վրա։ Այս հատկությունները պետք է ապացուցվեն: Բայց ամեն ինչ կարգին է։

1. Առաջին հերթին մենք կապացուցենք n-րդ աստիճանի արմատի հատկությունները a · b n = a n · b n արտադրյալից: Համար աև բ , որըեն դրական կամ զրո , a n · b n արժեքը նույնպես դրական է կամ հավասար է զրոյի, քանի որ դա ոչ բացասական թվերի բազմապատկման հետևանք է։ Բնական հզորության արտադրյալի հատկությունը մեզ թույլ է տալիս գրել a n · b n n = a n n · b n n հավասարությունը: Արմատի սահմանմամբ n th աստիճան a n n = a և b n n = b, հետևաբար, a n · b n n = a · b: Ստացված հավասարությունը հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։

Այս հատկությունը նույնպես ապացուցված է արտադրանքի համար կգործոններ՝ ոչ բացասական թվերի համար a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 :

Ահա արմատային հատկության օգտագործման օրինակներ n-րդ հզորությունը արտադրյալից՝ 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 և 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 :

1. Ապացուցենք a b n = a n b n քանորդի արմատի հատկությունը։ ժամը a ≥ 0և բ > 0 a n b n ≥ 0 պայմանը բավարարված է, և a n b n n = a n n b n n = a b:

Եկեք օրինակներ ցույց տանք.

Օրինակ 4

8 27 3 = 8 3 27 3 և 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10:

1. Հաջորդ քայլի համար անհրաժեշտ է ապացուցել n-րդ աստիճանի հատկությունները թվից աստիճան n. Մենք սա ներկայացնում ենք որպես հավասարություն a 2 m 2 m = a և a 2 m - 1 2 m - 1 = a ցանկացած իրականի համար աև բնական մ. ժամը a ≥ 0ստանում ենք a = a և a 2 m = a 2 m, որն ապացուցում է a 2 m 2 m = a հավասարությունը, իսկ a 2 m - 1 2 m - 1 = a հավասարությունը ակնհայտ է: ժամը ա< 0 ստանում ենք համապատասխանաբար a = - a և a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m: Թվի վերջին փոխակերպումը վավեր է ըստ աստիճանի հատկության։ Սա այն է, ինչ ապացուցում է a 2 m 2 m \u003d a հավասարությունը, իսկ 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a ճիշտ կլինի, քանի որ - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m համարվում է կենտ: աստիճան - 1 ցանկացած թվի համար գ ,դրական կամ հավասար զրոյի:

Ստացված տեղեկատվությունը համախմբելու համար հաշվի առեք մի քանի օրինակ՝ օգտագործելով գույքը.

Օրինակ 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 և (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39:

1. Ապացուցենք հետևյալ հավասարությունը a m n = a n · m. Դա անելու համար հարկավոր է փոխել թվերը հավասար նշանից առաջ և դրանից հետո՝ տեղերում a n · m = a m n: Սա ցույց կտա ճիշտ մուտքը: Համար ա ,ինչը դրական է կամ հավասար է զրոյի , a m n ձևի դրական թիվ է կամ զրո. Անդրադառնանք իշխանությունը դեպի իշխանություն բարձրացնելու հատկությանը և սահմանմանը։ Նրանց օգնությամբ դուք կարող եք փոխակերպել հավասարումները a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Սա ապացուցում է արմատից արմատի համարվող հատկությունը։

Նմանապես ապացուցված են նաև այլ հատկություններ: Իսկապես, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2: . . nk =. . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3: . . nk =. . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4: . . nk =. . . = a n k n k = a.

Օրինակ՝ 7 3 5 = 7 5 3 և 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24:

1. Եկեք ապացուցենք հետևյալ հատկությունը a m n · m = a n: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ a n-ը դրական կամ զրոյի հավասար թիվ է: Երբ բարձրացվում է հզորության n մ է մի մ. Եթե ​​համարը ադրական է կամ զրո, ուրեմն nրդ աստիճանի միջից ադրական թիվ է կամ հավասար է զրոյի Ավելին, a n · m n = a n n m , որը պետք է ապացուցվեր։

Ձեռք բերված գիտելիքները համախմբելու համար դիտարկենք մի քանի օրինակ.

1. Փաստենք հետևյալ հատկությունը՝ a m n = a n m ձևի հզորության արմատի հատկությունը։ Ակնհայտ է, որ ժ a ≥ 0 a n m աստիճանը ոչ բացասական թիվ է: Ավելին, նրան n-րդ աստիճանը հավասար է մի մ, իսկապես, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Սա ապացուցում է աստիճանի համարվող հատկությունը։

Օրինակ՝ 2 3 5 3 = 2 3 3 5:

1. Մենք պետք է դա ապացուցենք ցանկացած դրական թվի համար աև բ ա< b . Դիտարկենք a n անհավասարությունը< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ա< b . Հետեւաբար, մի n< b n при ա< b .

Օրինակ, մենք տալիս ենք 12 4< 15 2 3 4 .

1. Դիտարկենք արմատային հատկությունը n-րդ աստիճան. Նախ, հաշվի առեք անհավասարության առաջին մասը: ժամը m > nև 0 < a < 1 ճշմարիտ ա մ > ա ն . Ենթադրենք a m ≤ a n: Հատկությունները կպարզեցնեն արտահայտությունը a n m · n ≤ a m m · n: Այնուհետև, ըստ բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի հատկությունների, բավարարվում է a n m n m n ≤ a m m n m n անհավասարությունը, այսինքն. a n ≤ a m. Ստացված արժեքը m > nև 0 < a < 1 չի համապատասխանում վերը նշված հատկություններին:

Նույն կերպ կարելի է դա ապացուցել m > nև ա > 1պայման ա մ< a n .

Վերոհիշյալ հատկությունները շտկելու համար հաշվի առեք մի քանիսը կոնկրետ օրինակներ. Դիտարկենք անհավասարությունները՝ օգտագործելով կոնկրետ թվեր:

Օրինակ 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Քառակուսի հողամասի մակերեսը կազմում է 81 դմ²։ Գտեք նրա կողմը: Ենթադրենք, քառակուսու կողմի երկարությունը հավասար է Xդեցիմետրեր։ Այնուհետև հողամասի մակերեսն է X² քառակուսի դեցիմետր: Քանի որ, պայմանի համաձայն, այս տարածքը կազմում է 81 դմ², ապա X² = 81. Քառակուսու կողմի երկարությունը դրական թիվ է: Դրական թիվը, որի քառակուսին 81 է, դա 9 թիվն է։ Խնդիրը լուծելիս պահանջվում էր գտնել x թիվը, որի քառակուսին 81 է, այսինքն՝ լուծել հավասարումը։ X² = 81: Այս հավասարումն ունի երկու արմատ. x 1 = 9 և x 2 \u003d - 9, քանի որ 9² \u003d 81 և (- 9)² \u003d 81: 9 և - 9 թվերն էլ կոչվում են 81 թվի քառակուսի արմատներ:

Նշենք, որ քառակուսի արմատներից մեկը X= 9-ը դրական թիվ է: Այն կոչվում է 81 թվի թվաբանական քառակուսի արմատ և նշանակվում է √81, ուստի √81 = 9:

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատ աոչ բացասական թիվ է, որի քառակուսին հավասար է ա.

Օրինակ, 6 և -6 թվերը 36-ի քառակուսի արմատներն են: 6 թիվը 36-ի թվաբանական քառակուսի արմատն է, քանի որ 6-ը ոչ բացասական թիվ է, իսկ 6² = 36: -6 թիվը թվաբանական արմատ չէ:

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատ անշվում է հետևյալ կերպ՝ √ ա.

Նշանը կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատի նշան; ակոչվում է արմատային արտահայտություն: Արտահայտություն √ ակարդալ այսպես՝ թվի թվաբանական քառակուսի արմատ ա.Օրինակ, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7: Այն դեպքերում, երբ պարզ է, որ մենք խոսում ենքթվաբանական արմատի մասին հակիրճ ասում են՝ «քառակուսի արմատը ա«.

Թվի քառակուսի արմատը գտնելու գործողությունը կոչվում է քառակուսի արմատ վերցնել: Այս գործողությունը քառակուսու հակառակն է:

Ցանկացած թիվ կարող է քառակուսի լինել, բայց ոչ բոլոր թվերը կարող են լինել քառակուսի արմատներ: Օրինակ՝ անհնար է հանել թվի քառակուսի արմատը՝ 4։ Եթե այդպիսի արմատ է եղել, ապա այն նշելով տառով։ X, մենք կստանանք սխալ հավասարություն x² \u003d - 4, քանի որ ձախ կողմում կա ոչ բացասական թիվ, իսկ աջում՝ բացասական:

Արտահայտություն √ աիմաստ ունի միայն այն ժամանակ, երբ a ≥ 0. Քառակուսի արմատի սահմանումը հակիրճ կարելի է գրել այսպես՝ √ a ≥ 0, (√ա)² = ա. Հավասարություն (√ ա)² = ավավերական է a ≥ 0. Այսպիսով, համոզվելու համար, որ ոչ բացասական թվի քառակուսի արմատը ահավասար է բ, այսինքն, որ √ ա =բ, դուք պետք է ստուգեք, որ հետևյալ երկու պայմանները բավարարված են. b ≥ 0, բ² = ա.

Կոտորակի քառակուսի արմատը

Եկեք հաշվարկենք. Նկատի ունեցեք, որ √25 = 5, √36 = 6, և ստուգեք, արդյոք հավասարությունը պահպանվում է:

Ինչպես և , ապա հավասարությունը ճշմարիտ է: Այսպիսով, .

Թեորեմ.Եթե ա≥ 0 և բ> 0, այսինքն կոտորակի արմատը հավասար է արմատինհայտարարի արմատի վրա բաժանված համարիչից. Պահանջվում է ապացուցել, որ և .

Քանի որ √ ա≥0 և √ բ> 0, ապա .

Կոտորակը մեծացնելու և քառակուսի արմատը որոշելու հատկությամբ թեորեմն ապացուցված է. Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Հաշվիր՝ ըստ ապացուցված թեորեմի .

Երկրորդ օրինակ. Ապացուցիր դա , եթե ա ≤ 0, բ < 0. .

Մեկ այլ օրինակ՝ Հաշվիր։

.

Քառակուսի արմատի փոխակերպում

Արմատի նշանի տակից հանելով բազմապատկիչը։ Թող արտահայտություն լինի. Եթե ա≥ 0 և բ≥ 0, ապա արտադրյալի արմատի թեորեմով կարող ենք գրել.

Նման փոխակերպումը կոչվում է արմատային նշանի ֆակտորինգ: Դիտարկենք մի օրինակ;

Հաշվել ժամը X= 2. Ուղղակի փոխարինում X= 2 արմատական ​​արտահայտության մեջ հանգեցնում է բարդ հաշվարկների: Այս հաշվարկները կարող են պարզեցվել, եթե սկզբում հանենք գործոնները արմատային նշանի տակից. Այժմ փոխարինելով x = 2, մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, արմատական ​​նշանի տակից գործակիցը հանելիս արմատական ​​արտահայտությունը ներկայացվում է որպես արտադրյալ, որում մեկ կամ մի քանի գործակից ոչ բացասական թվերի քառակուսիներն են։ Այնուհետև կիրառվում է արմատային արտադրանքի թեորեմը և վերցվում է յուրաքանչյուր գործոնի արմատը: Դիտարկենք օրինակ. Պարզեցրե՛ք A = √8 + √18 - 4√2 արտահայտությունը՝ առաջին երկու անդամներում արմատի նշանի տակից հանելով գործոնները, ստանում ենք. Շեշտում ենք, որ հավասարությունը վավեր է միայն այն ժամանակ, երբ ա≥ 0 և բ≥ 0. եթե ա < 0, то .

Փաստ 1.
\(\bullet\) Վերցրեք մի քանի ոչ բացասական թիվ \(a\) (այսինքն \(a\geqslant 0\)): Այնուհետև (թվաբանություն) քառակուսի արմատ\(a\) թվից կոչվում է այնպիսի ոչ բացասական թիվ \(b\), որը քառակուսի դնելիս ստանում ենք \(a\) թիվը. \[\sqrt a=b\quad \text (նույնը, ինչ )\quad a=b^2\]Սահմանումից բխում է, որ \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Այս սահմանափակումներն են կարևոր պայմանքառակուսի արմատի գոյությունը և դրանք պետք է հիշել։
Հիշեցնենք, որ ցանկացած թիվ, երբ քառակուսի է տրվում, տալիս է ոչ բացասական արդյունք: Այսինքն՝ \(100^2=10000\geqslant 0\) և \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ի՞նչ է \(\sqrt(25)\)-ը: Մենք գիտենք, որ \(5^2=25\) և \((-5)^2=25\) . Քանի որ ըստ սահմանման մենք պետք է գտնենք ոչ բացասական թիվ, \(-5\) հարմար չէ, հետևաբար \(\sqrt(25)=5\) (քանի որ \(25=5^2\) ):
\(\sqrt a\) արժեքը գտնելը կոչվում է \(a\) թվի քառակուսի արմատը, իսկ \(a\) թիվը կոչվում է արմատային արտահայտություն։
\(\bullet\) Սահմանման հիման վրա՝ \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) արտահայտությունները և այլն։ իմաստ չունի.

Փաստ 2.
Արագ հաշվարկների համար օգտակար կլինի սովորել քառակուսիների աղյուսակը բնական թվեր\(1\)-ից մինչև \(20\) : \[\սկիզբ(զանգված)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \վերջ (զանգված)\]

Փաստ 3.
Ի՞նչ կարելի է անել քառակուսի արմատներով:
\(\bullet\) Քառակուսի արմատների գումարը կամ տարբերությունը ՀԱՎԱՍԱՐ ՉԷ գումարի կամ տարբերության քառակուսի արմատին, այսինքն. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Այսպիսով, եթե ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել, օրինակ, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , ապա սկզբում դուք պետք է գտնեք \(\sqrt(25)\) և \(\sqrt արժեքները: (49)\ ) և այնուհետև գումարեք դրանք: Հետևաբար, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Եթե ​​\(\sqrt a\) կամ \(\sqrt b\) արժեքները չեն գտնվել \(\sqrt a+\sqrt b\) ավելացնելիս, ապա նման արտահայտությունը հետագայում չի փոխարկվում և մնում է այնպես, ինչպես կա: Օրինակ, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) գումարում մենք կարող ենք գտնել \(\sqrt(49)\) - սա \(7\) է, բայց \(\sqrt 2\) չի կարող լինել: ինչ-որ կերպ փոխակերպված, Ահա թե ինչու \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Ավելին, այս արտահայտությունը, ցավոք, ոչ մի կերպ չի կարելի պարզեցնել։\(\bullet\) Քառակուսի արմատների արտադրյալը/քանակը հավասար է արտադրյալի/քանակի քառակուսի արմատին, այսինքն. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (պայմանով, որ հավասարությունների երկու մասերն էլ իմաստ ունենան)
Օրինակ: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Օգտագործելով այս հատկությունները, հարմար է գտնել քառակուսի արմատները մեծ թվերդրանք ֆակտորինգի միջոցով:
Դիտարկենք մի օրինակ։ Գտեք \(\sqrt(44100)\) . Քանի որ \(44100:100=441\) , ապա \(44100=100\cdot 441\) . Ըստ բաժանելիության չափանիշի՝ \(441\) թիվը բաժանվում է \(9\)-ի (քանի որ նրա թվանշանների գումարը 9 է և բաժանվում է 9-ի), հետևաբար \(441:9=49\) , այսինքն \(441=9\ cdot 49\) .
Այսպիսով, մենք ստացանք. \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ. \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27)) = \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3)) = \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է թվեր մուտքագրել քառակուսի արմատի նշանի տակ՝ օգտագործելով \(5\sqrt2\) արտահայտության օրինակը (կարճ \(5\cdot \sqrt2\) արտահայտությունը): Քանի որ \(5=\sqrt(25)\) , ուրեմն \ Նշենք նաև, որ, օրինակ.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Ինչո՞ւ է այդպես։ Բացատրենք օրինակ 1-ով): Ինչպես արդեն հասկացաք, մենք չենք կարող ինչ-որ կերպ փոխարկել \(\sqrt2\) թիվը: Պատկերացրեք, որ \(\sqrt2\) ինչ-որ թիվ \(a\) է: Համապատասխանաբար, \(\sqrt2+3\sqrt2\) արտահայտությունը ոչ այլ ինչ է, քան \(a+3a\) (մեկ \(a\) և ևս երեք նույն թվեր \(a\)): Եվ մենք գիտենք, որ սա հավասար է չորս նման \(a\) թվերի, այսինքն \(4\sqrt2\) .

Փաստ 4.
\(\bullet\) Հաճախ ասում են «չի կարելի հանել արմատը», երբ ինչ-որ թվի արժեքը գտնելիս հնարավոր չէ ազատվել արմատի \(\sqrt () \\) նշանից։ Օրինակ, կարող եք արմատավորել \(16\) թիվը, քանի որ \(16=4^2\) , այնպես որ \(\sqrt(16)=4\) . Բայց անհնար է արմատը հանել \(3\) թվից, այսինքն գտնել \(\sqrt3\) , քանի որ չկա այնպիսի թիվ, որը քառակուսիով կտա \(3\) ։
Նման թվերը (կամ նման թվերով արտահայտությունները) իռացիոնալ են։ Օրինակ՝ թվեր \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)և այլն: իռացիոնալ են.
Իռացիոնալ են նաև \(\pi\) թվերը («pi» թիվը, մոտավորապես հավասար է \(3,14\) ), \(e\) (այս թիվը կոչվում է Էյլերի թիվ, մոտավորապես հավասար է \(2-ին»: ,7\)) և այլն։
\(\bullet\) Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ցանկացած թիվ կլինի կամ ռացիոնալ կամ իռացիոնալ: Եվ միասին բոլորը ռացիոնալ և բոլորը իռացիոնալ թվերձևավորել մի շարք, որը կոչվում է իրական (իրական) թվերի հավաքածու.Այս բազմությունը նշվում է \(\mathbb(R)\) տառով:
Սա նշանակում է, որ բոլոր թվերը, որոնք այս պահինմենք գիտենք, որ կոչվում են իրական թվեր:

Փաստ 5.
\(\bullet\) Իրական թվի մոդուլը \(a\) ոչ բացասական թիվ է \(|a|\) հավասար է իրականի \(a\) կետից \(0\) հեռավորությանը: տող. Օրինակ, \(|3|\) և \(|-3|\) հավասար են 3-ի, քանի որ \(3\) և \(-3\) կետերից մինչև \(0\) հեռավորությունները հավասար են նույնը և հավասար է \(3 \)-ին:
\(\bullet\) Եթե \(a\)-ը ոչ բացասական թիվ է, ապա \(|a|=a\) .
Օրինակ՝ \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Եթե \(a\)-ը բացասական թիվ է, ապա \(|a|=-a\) .
Օրինակ՝ \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ասում են, որ բացասական թվերի դեպքում մոդուլը «ուտում է» մինուսը, իսկ դրական թվերը, ինչպես նաև \(0\) թիվը մոդուլը թողնում է անփոփոխ։
ԲԱՅՑայս կանոնը վերաբերում է միայն թվերին: Եթե ​​դուք ունեք անհայտ \(x\) (կամ որևէ այլ անհայտ) մոդուլի նշանի տակ, օրինակ, \(|x|\) , որի մասին մենք չգիտենք՝ այն դրական է, հավասար է զրոյի, թե բացասական, ապա. մենք չենք կարող ազատվել մոդուլից: Այս դեպքում այս արտահայտությունը մնում է այսպես՝ \(|x|\) . \(\bullet\) Հետևյալ բանաձևերը գործում են. \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(տրամադրված է) a\geqslant 0\]Հաճախ կատարվում է հետևյալ սխալը՝ ասում են, որ \(\sqrt(a^2)\) և \((\sqrt a)^2\) նույն բանն է։ Սա ճիշտ է միայն այն դեպքում, երբ \(a\)-ը դրական թիվ է կամ զրո: Բայց եթե \(a\)-ը բացասական թիվ է, ապա դա ճիշտ չէ: Բավական է դիտարկել նման օրինակ. Վերցնենք \(-1\) թիվը \(a\-ի փոխարեն): Հետո \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , բայց \((\sqrt (-1))^2\) արտահայտությունն ընդհանրապես գոյություն չունի (քանի որ այդպես է. անհնար է արմատային նշանի տակ դրեք բացասական թվեր):
Ուստի ձեր ուշադրությունը հրավիրում ենք այն փաստի վրա, որ \(\sqrt(a^2)\)-ը հավասար չէ \((\sqrt a)^2\)-ին:Օրինակ՝ 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\աջ)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), որովհետեւ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Քանի որ \(\sqrt(a^2)=|a|\) , ապա \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) արտահայտությունը նշանակում է զույգ թիվ)
Այսինքն՝ ինչ-որ չափով գտնվող թվից արմատ հանելիս այդ աստիճանը կրկնակի կրճատվում է։
Օրինակ:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (նկատի ունեցեք, որ եթե մոդուլը կարգավորված չէ, ապա ստացվում է, որ թվի արմատը հավասար է \(-25-ի. \) ; բայց մենք հիշում ենք, որը, ըստ արմատի սահմանման, դա չի կարող լինել. արմատը հանելիս մենք միշտ պետք է ստանանք դրական թիվ կամ զրո):
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (քանի որ զույգ հզորության ցանկացած թիվ ոչ բացասական է)

Փաստ 6.
Ինչպե՞ս համեմատել երկու քառակուսի արմատները:
\(\bullet\) Ճիշտ է քառակուսի արմատների համար՝ եթե \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aՕրինակ:
1) համեմատել \(\sqrt(50)\) և \(6\sqrt2\) . Նախ, մենք փոխակերպում ենք երկրորդ արտահայտությունը \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Այսպիսով, քանի որ \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Ո՞ր ամբողջ թվերի միջև է գտնվում \(\sqrt(50)\):
Քանի որ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , և \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Համեմատեք \(\sqrt 2-1\) և \(0,5\) . Ենթադրենք \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\սկիզբ (հավասարեցված) &\sqrt 2-1>0.5 \ \մեծ| +1\quad \text((ավելացնել մեկը երկու կողմերին))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((քառակուսի երկու մասերը))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end (հավասարեցված)\]Մենք տեսնում ենք, որ ստացել ենք սխալ անհավասարություն։ Հետևաբար, մեր ենթադրությունը սխալ էր և \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Նկատի ունեցեք, որ անհավասարության երկու կողմերին որոշակի թիվ ավելացնելը չի ​​ազդում դրա նշանի վրա: Անհավասարության երկու կողմերը դրական թվով բազմապատկելը/բաժանելը նույնպես չի փոխում դրա նշանը, բայց բացասական թվով բազմապատկելը/բաժանելը հակադարձում է անհավասարության նշանը:
Հավասարման/անհավասարության երկու կողմերը կարող են քառակուսի լինել ՄԻԱՅՆ, եթե երկու կողմերն էլ ոչ բացասական են: Օրինակ, նախորդ օրինակի անհավասարության մեջ կարող եք քառակուսի դնել երկու կողմերը, անհավասարության մեջ \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Նկատի ունեցեք, որ \[\սկիզբ (հավասարեցված) &\sqrt 2\մոտ 1,4\\ &\sqrt 3\մոտ 1,7 \վերջ (հավասարեցված)\]Այս թվերի մոտավոր նշանակությունը իմանալը կօգնի ձեզ թվերը համեմատելիս: \(\bullet\) Որպեսզի արմատը հանվի (եթե այն հանված է) ինչ-որ մեծ թվից, որը չկա քառակուսիների աղյուսակում, նախ պետք է որոշել, թե որ «հարյուրների» միջև է այն, ապա ո՞ր «տասնյակների» միջև։ այնուհետև որոշեք այս թվի վերջին թվանշանը: Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է այն աշխատում օրինակով:
Վերցրեք \(\sqrt(28224)\) . Մենք գիտենք, որ \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) և այլն։ Նկատի ունեցեք, որ \(28224\)-ը \(10\,000\) և \(40\,000\) միջև է: Հետևաբար, \(\sqrt(28224)\) գտնվում է \(100\) և \(200\) միջև:
Հիմա եկեք որոշենք, թե որ «տասնյակների» միջև է գտնվում մեր թիվը (այսինքն, օրինակ, \(120\) և \(130\) միջև): Քառակուսիների աղյուսակից գիտենք նաև, որ \(11^2=121\) , \(12^2=144\) և այլն, ապա \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ \(28224\) գտնվում է \(160^2\) և \(170^2\) միջև: Հետևաբար, \(\sqrt(28224)\) թիվը գտնվում է \(160\) և \(170\) միջև:
Փորձենք որոշել վերջին թվանշանը։ Հիշենք, թե ինչ են տալիս միանիշ թվերը քառակուսի դնելիս \ (4 \) վերջում: Սրանք \(2^2\) և \(8^2\) են: Հետևաբար, \(\sqrt(28224)\)-ը կավարտվի կամ 2-ով կամ 8-ով: Եկեք ստուգենք սա: Գտեք \(162^2\) և \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Ուստի \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Մաթեմատիկայի քննությունը համարժեք լուծելու համար նախևառաջ անհրաժեշտ է ուսումնասիրել տեսական նյութը, որտեղ ներկայացված են բազմաթիվ թեորեմներ, բանաձևեր, ալգորիթմներ և այլն։ Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ դա բավականին պարզ է։ Այնուամենայնիվ, գտնել աղբյուր, որտեղ մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության տեսությունը հեշտությամբ և հասկանալի է ներկայացվում ցանկացած մակարդակի պատրաստվածության ուսանողների համար, ըստ էության, բավականին բարդ խնդիր է: Դպրոցական դասագրքերը չի կարելի միշտ ձեռքի տակ պահել։ Իսկ մաթեմատիկայի քննության հիմնական բանաձեւերը գտնելը կարող է դժվար լինել նույնիսկ ինտերնետում:

Ինչո՞ւ է այդքան կարևոր մաթեմատիկայի տեսություն ուսումնասիրելը, ոչ միայն քննություն հանձնողների համար:

1. Քանի որ դա ընդլայնում է ձեր հորիզոնները. Մաթեմատիկայի տեսական նյութի ուսումնասիրությունը օգտակար է բոլորի համար, ովքեր ցանկանում են ստանալ աշխարհի գիտելիքներին առնչվող հարցերի լայն շրջանակի պատասխաններ։ Բնության մեջ ամեն ինչ պատվիրված է և ունի հստակ տրամաբանություն։ Հենց սա է արտացոլված գիտության մեջ, որի միջոցով հնարավոր է հասկանալ աշխարհը։
2. Որովհետև դա զարգացնում է ինտելեկտը. Մաթեմատիկայի քննության համար տեղեկատու նյութեր ուսումնասիրելով, ինչպես նաև տարբեր խնդիրներ լուծելով՝ մարդը սովորում է տրամաբանորեն մտածել և տրամաբանել, մտքերը ճիշտ և հստակ ձևակերպել։ Նա զարգացնում է վերլուծելու, ընդհանրացնելու, եզրակացություններ անելու կարողությունը։

Հրավիրում ենք Ձեզ անձամբ գնահատել ուսումնական նյութերի համակարգման և ներկայացման մեր մոտեցման բոլոր առավելությունները։

Մաթեմատիկան ծնվել է այն ժամանակ, երբ մարդը գիտակցել է իր մասին և սկսել իրեն դիրքավորել որպես աշխարհի ինքնավար միավոր: Մեր օրերի հիմնարար գիտություններից մեկի հիմքում ընկած է այն, ինչ ձեզ շրջապատում է չափելու, համեմատելու, հաշվարկելու ցանկությունը: Սկզբում դրանք տարրական մաթեմատիկայի մասնիկներ էին, որոնք հնարավորություն էին տալիս թվերը կապել նրանց ֆիզիկական արտահայտությունների հետ, հետագայում եզրակացությունները սկսեցին ներկայացվել միայն տեսականորեն (դրանց վերացականության պատճառով), բայց որոշ ժամանակ անց, ինչպես ասում էր մի գիտնական, « մաթեմատիկան հասավ բարդության առաստաղին, երբ բոլոր թվերը »: «Քառակուսի արմատ» հասկացությունը ի հայտ եկավ այն ժամանակ, երբ այն հեշտությամբ կարող էր հաստատվել էմպիրիկ տվյալների միջոցով՝ դուրս գալով հաշվարկների հարթությունից:

Ինչպես ամեն ինչ սկսվեց

Արմատի առաջին հիշատակումը, որը ներկայումս նշվում է որպես √, գրանցվել է բաբելոնացի մաթեմատիկոսների գրվածքներում, որոնք հիմք են դրել ժամանակակից թվաբանությանը։ Իհարկե, դրանք մի փոքր նման էին ներկայիս ձևին՝ այն տարիների գիտնականներն առաջին անգամ օգտագործեցին մեծածավալ հաբեր։ Սակայն մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակում։ ե. նրանք եկան մոտավոր հաշվարկման բանաձև, որը ցույց էր տալիս, թե ինչպես կարելի է վերցնել քառակուսի արմատը: Ստորև բերված լուսանկարը ցույց է տալիս մի քար, որի վրա բաբելոնացի գիտնականները փորագրել են ելքային գործընթացը √2, և այն այնքան ճիշտ է պարզվել, որ պատասխանի անհամապատասխանությունը հայտնաբերվել է միայն տասներորդ տասնորդական տեղում:

Բացի այդ, արմատն օգտագործվում էր, եթե անհրաժեշտ էր գտնել եռանկյան կողմը, պայմանով, որ մյուս երկուսը հայտնի լինեն: Դե, քառակուսի հավասարումներ լուծելիս արմատը հանելուց փախուստ չկա։

Բաբելոնյան աշխատությունների հետ մեկտեղ հոդվածի թեման ուսումնասիրվել է նաև «Մաթեմատիկան ինը գրքում» չինական աշխատության մեջ, և հին հույները եկել են այն եզրակացության, որ ցանկացած թիվ, որից արմատը չի հանվում առանց մնացորդի, տալիս է իռացիոնալ արդյունք։ .

Այս տերմինի ծագումը կապված է թվի արաբական ներկայացման հետ. հին գիտնականները կարծում էին, որ կամայական թվի քառակուսին աճում է արմատից, ինչպես բույսը: Լատիներեն այս բառը հնչում է որպես radix (կարելի է հետևել օրինաչափությանը. այն ամենը, ինչ ունի «արմատ» իմաստային բեռ, համահունչ է, լինի դա բողկ, թե ռադիկուլիտ):

Հետագա սերունդների գիտնականներն ընդունեցին այս գաղափարը՝ այն անվանելով Rx: Օրինակ՝ 15-րդ դարում, որպեսզի նշեն, որ քառակուսի արմատը վերցված է կամայական ա թվից, գրել են Ռ 2 ա։ «Տիզը» √, որը ծանոթ է ժամանակակից տեսքին, հայտնվել է միայն 17-րդ դարում Ռենե Դեկարտի շնորհիվ:

Մեր օրերը

Մաթեմատիկորեն y-ի քառակուսի արմատը այն z թիվն է, որի քառակուսին y է: Այլ կերպ ասած, z 2 =y-ը համարժեք է √y=z-ին: Այնուամենայնիվ, այս սահմանումը տեղին է միայն թվաբանական արմատի համար, քանի որ այն ենթադրում է արտահայտության ոչ բացասական արժեք: Այլ կերպ ասած, √y=z, որտեղ z-ը մեծ է կամ հավասար է 0-ի:

Ընդհանուր առմամբ, որը վավեր է հանրահաշվական արմատը որոշելու համար, արտահայտության արժեքը կարող է լինել կամ դրական կամ բացասական։ Այսպիսով, շնորհիվ z 2 =y և (-z) 2 =y, մենք ունենք՝ √y=±z կամ √y=|z|:

Շնորհիվ այն բանի, որ մաթեմատիկայի հանդեպ սերը միայն աճել է գիտության զարգացման հետ մեկտեղ, կան դրա հանդեպ սիրո տարբեր դրսևորումներ, որոնք արտահայտված չեն չոր հաշվարկներով: Օրինակ, այնպիսի հետաքրքիր իրադարձությունների հետ, ինչպիսին է Պի օրը, նշվում են նաև քառակուսի արմատի տոները։ Հարյուր տարում դրանք նշվում են ինը անգամ և որոշվում են հետևյալ սկզբունքով՝ այն թվերը, որոնք հերթականությամբ նշում են օրն ու ամիսը, պետք է լինեն տարվա քառակուսի արմատը։ Այսպիսով, հաջորդ անգամ այս տոնը կնշվի 2016 թվականի ապրիլի 4-ին։

Քառակուսի արմատի հատկությունները դաշտի վրա Ռ

Գրեթե բոլոր մաթեմատիկական արտահայտություններն ունեն երկրաչափական հիմք, այս ճակատագիրը չի անցել և √y, որը սահմանվում է որպես y մակերեսով քառակուսու կողմ:

Ինչպե՞ս գտնել թվի արմատը:

Կան մի քանի հաշվարկային ալգորիթմներ. Ամենապարզը, բայց միևնույն ժամանակ բավականին ծանրաբեռնված, սովորական թվաբանական հաշվարկն է, որը հետևյալն է.

1) այն թվից, որի արմատը մեզ անհրաժեշտ է, կենտ թվերը հերթով հանվում են, մինչև արդյունքի մնացորդը պակասի հանված մեկից կամ նույնիսկ հավասարվի զրոյի: Շարժումների քանակը ի վերջո կդառնա ցանկալի թիվը: Օրինակ՝ 25-ի քառակուսի արմատը հաշվարկելը.

Հաջորդ կենտ թիվը 11 է, մնացորդը՝ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Նման դեպքերի համար կա Taylor շարքի ընդլայնում.

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n, որտեղ n-ը արժեքներ է ընդունում 0-ից մինչև

+∞, և |y|≤1.

z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկական ներկայացում

Դիտարկենք տարրական z=√y ֆունկցիա R իրական թվերի դաշտում, որտեղ y-ը մեծ է կամ հավասար է զրոյի: Նրա աղյուսակն ունի հետևյալ տեսքը.

Կորը աճում է սկզբից և անպայման անցնում է կետը (1; 1):

R իրական թվերի դաշտում z=√y ֆունկցիայի հատկությունները

1. Դիտարկվող ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն ներառված է):

2. Դիտարկվող ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն կրկին ներառված է):

3. Ֆունկցիան ընդունում է նվազագույն արժեքը (0) միայն (0; 0) կետում։ Առավելագույն արժեք չկա:

4. Z=√y ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

5. Z=√y ֆունկցիան պարբերական չէ։

6. Կա z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը կոորդինատային առանցքների հետ՝ (0; 0):

7. z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը նույնպես այս ֆունկցիայի զրո է։

8. Z=√y ֆունկցիան անընդհատ աճում է։

9. Z=√y ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ, հետևաբար, նրա գրաֆիկը զբաղեցնում է առաջին կոորդինատային անկյունը։

z=√y ֆունկցիան ցուցադրելու տարբերակներ

Մաթեմատիկայում բարդ արտահայտությունների հաշվարկը հեշտացնելու համար երբեմն օգտագործում են քառակուսի արմատը գրելու ուժային ձևը՝ √y=y 1/2։ Այս տարբերակը հարմար է, օրինակ, ֆունկցիան հզորության հասցնելու համար՝ (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2: Այս մեթոդը նաև լավ ներկայացում է ինտեգրման հետ տարբերակման համար, քանի որ դրա շնորհիվ քառակուսի արմատը ներկայացված է սովորական հզորության ֆունկցիայով:

Իսկ ծրագրավորման մեջ √ նշանի փոխարինումը sqrt տառերի համակցությունն է։

Հարկ է նշել, որ այս տարածքում քառակուսի արմատը մեծ պահանջարկ ունի, քանի որ այն հաշվարկների համար անհրաժեշտ երկրաչափական բանաձևերի մեծ մասի մաս է կազմում։ Հաշվիչ ալգորիթմն ինքնին բավականին բարդ է և հիմնված է ռեկուրսիայի վրա (գործառույթ, որն իրեն կանչում է):

Քառակուսի արմատը բարդ դաշտում C

Մեծ հաշվով, հենց այս հոդվածի թեման խթանեց C բարդ թվերի դաշտի հայտնաբերումը, քանի որ մաթեմատիկոսներին հետապնդում էր բացասական թվից զույգ աստիճանի արմատ ստանալու հարցը: Այսպես հայտնվեց i երևակայական միավորը, որը բնութագրվում է մի շատ հետաքրքիր հատկությամբ՝ նրա քառակուսին -1 է։ Դրա շնորհիվ քառակուսի հավասարումները և բացասական դիսկրիմինանտով լուծում ստացան։ C-ում քառակուսի արմատի համար համապատասխան են նույն հատկությունները, ինչ R-ում, միակ բանն այն է, որ արմատական ​​արտահայտության սահմանափակումները հանվում են։