Այն, ինչ կոչվում է քառակուսի արմատ: Ինչպես ձեռքով գտնել թվի քառակուսի արմատը

Մաթեմատիկան ծնվել է այն ժամանակ, երբ մարդը գիտակցել է իր մասին և սկսել իրեն դիրքավորել որպես աշխարհի ինքնավար միավոր: Չափելու, համեմատելու, հաշվարկելու ցանկությունը, թե ինչ է ձեզ շրջապատում, ահա թե ինչի հիմքում ընկած է մեր օրերի հիմնարար գիտություններից մեկը: Սկզբում սրանք տարրական մաթեմատիկայի կտորներ էին, որոնք հնարավորություն էին տալիս թվերը կապել նրանց ֆիզիկական արտահայտությունների հետ, հետագայում եզրակացությունները սկսեցին ներկայացվել միայն տեսականորեն (դրանց վերացականության պատճառով), բայց որոշ ժամանակ անց, ինչպես ասում էր մի գիտնական. մաթեմատիկան հասավ բարդության առաստաղին, երբ բոլոր թվերը »: «Քառակուսի արմատ» հասկացությունը ի հայտ եկավ այն ժամանակ, երբ այն հեշտությամբ կարող էր հաստատվել էմպիրիկ տվյալների միջոցով՝ դուրս գալով հաշվարկների հարթությունից:

Ինչպես ամեն ինչ սկսվեց

Արմատի առաջին հիշատակումը, որը վրա այս պահիննշվում է որպես √, գրանցվել է բաբելոնացի մաթեմատիկոսների գրվածքներում, որոնք հիմք են դրել ժամանակակից թվաբանությանը։ Իհարկե, դրանք մի փոքր նման էին ներկայիս ձևին՝ այն տարիների գիտնականներն առաջին անգամ օգտագործեցին մեծածավալ հաբեր։ Սակայն մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակում։ ե. նրանք եկան մոտավոր հաշվարկման բանաձև, որը ցույց էր տալիս, թե ինչպես կարելի է վերցնել քառակուսի արմատը: Ստորև բերված լուսանկարը ցույց է տալիս մի քար, որի վրա բաբելոնացի գիտնականները փորագրել են ելքային գործընթացը √2, և այն այնքան ճիշտ էր, որ պատասխանի անհամապատասխանությունը հայտնաբերվել է միայն տասներորդ տասնորդական տեղում:

Բացի այդ, արմատն օգտագործվում էր, եթե անհրաժեշտ էր գտնել եռանկյան կողմը, պայմանով, որ մյուս երկուսը հայտնի լինեն: Դե, քառակուսի հավասարումներ լուծելիս արմատը հանելուց փախուստ չկա։

Բաբելոնյան աշխատությունների հետ մեկտեղ հոդվածի առարկան ուսումնասիրվել է նաև չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքում» աշխատությունում, և հին հույները եկել են այն եզրակացության, որ ցանկացած թիվ, որից արմատը չի հանվում առանց մնացորդի, տալիս է իռացիոնալ արդյունք։ .

Այս տերմինի ծագումը կապված է թվի արաբական ներկայացման հետ. հին գիտնականները կարծում էին, որ կամայական թվի քառակուսին աճում է արմատից, ինչպես բույսը: Լատիներեն այս բառը հնչում է որպես radix (կարելի է հետևել օրինաչափությանը. այն ամենը, ինչ ունի «արմատ» իմաստային բեռ, համահունչ է, լինի դա բողկ, թե ռադիկուլիտ):

Հետագա սերունդների գիտնականներն ընդունեցին այս գաղափարը՝ այն անվանելով Rx: Օրինակ՝ 15-րդ դարում, որպեսզի նշեն, որ քառակուսի արմատը վերցված է կամայական ա թվից, գրել են Ռ 2 ա։ Սովորական ժամանակակից տեսք«տիզը» √ հայտնվել է միայն 17-րդ դարում Ռենե Դեկարտի շնորհիվ։

Մեր օրերը

Մաթեմատիկորեն y-ի քառակուսի արմատը այն z թիվն է, որի քառակուսին y է: Այլ կերպ ասած, z 2 =y-ը համարժեք է √y=z-ին: Այնուամենայնիվ, այս սահմանումը տեղին է միայն թվաբանական արմատի համար, քանի որ այն ենթադրում է արտահայտության ոչ բացասական արժեք: Այլ կերպ ասած, √y=z, որտեղ z-ը մեծ է կամ հավասար է 0-ի:

Ընդհանուր առմամբ, որը վավեր է հանրահաշվական արմատը որոշելու համար, արտահայտության արժեքը կարող է լինել կամ դրական կամ բացասական։ Այսպիսով, շնորհիվ z 2 =y և (-z) 2 =y, մենք ունենք՝ √y=±z կամ √y=|z|:

Շնորհիվ այն բանի, որ մաթեմատիկայի հանդեպ սերը միայն աճել է գիտության զարգացման հետ մեկտեղ, կան դրան կապվածության տարբեր դրսեւորումներ, որոնք արտահայտված չեն չոր հաշվարկներով։ Օրինակ, այնպիսի հետաքրքիր իրադարձությունների հետ, ինչպիսին է Պի օրը, նշվում են նաև քառակուսի արմատի տոները։ Հարյուր տարում դրանք նշվում են ինը անգամ և որոշվում են հետևյալ սկզբունքով՝ այն թվերը, որոնք հերթականությամբ նշում են օրն ու ամիսը, պետք է լինեն տարվա քառակուսի արմատը։ Այո, ներս հաջորդ անգամԱյս տոնը կնշվի 2016 թվականի ապրիլի 4-ին։

Քառակուսի արմատի հատկությունները դաշտի վրա Ռ

Գրեթե բոլոր մաթեմատիկական արտահայտություններն ունեն երկրաչափական հիմք, այս ճակատագիրը չի անցել և √y, որը սահմանվում է որպես y մակերեսով քառակուսի կողմ։

Ինչպե՞ս գտնել թվի արմատը:

Կան մի քանի հաշվարկային ալգորիթմներ. Ամենապարզը, բայց միևնույն ժամանակ բավականին ծանրաբեռնված, սովորական թվաբանական հաշվարկն է, որը հետևյալն է.

1) այն թվից, որի արմատը մեզ անհրաժեշտ է, կենտ թվերը հերթով հանվում են, մինչև ելքի մնացորդը պակասի հանվածից կամ զույգ. զրո. Շարժումների քանակը ի վերջո կդառնա ցանկալի թիվը: Օրինակ, հաշվարկը քառակուսի արմատ 25-ից:

Հաջորդ կենտ թիվը 11 է, մնացորդը՝ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Նման դեպքերի համար կա Taylor շարքի ընդլայնում.

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n, որտեղ n-ը արժեքներ է ընդունում 0-ից մինչև

+∞, և |y|≤1.

z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկական ներկայացում

Դիտարկենք տարրական z=√y ֆունկցիա R իրական թվերի դաշտում, որտեղ y-ը մեծ է կամ հավասար է զրոյի: Նրա աղյուսակն ունի հետևյալ տեսքը.

Կորը աճում է սկզբից և անպայման անցնում է կետը (1; 1):

R իրական թվերի դաշտում z=√y ֆունկցիայի հատկությունները

1. Դիտարկվող ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն ներառված է):

2. Դիտարկվող ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն կրկին ներառված է):

3. Ֆունկցիան ընդունում է նվազագույն արժեքը (0) միայն (0; 0) կետում։ Առավելագույն արժեք չկա:

4. Z=√y ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

5. Z=√y ֆունկցիան պարբերական չէ։

6. Կա z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը կոորդինատային առանցքների հետ՝ (0; 0):

7. z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը նույնպես այս ֆունկցիայի զրո է։

8. Z=√y ֆունկցիան անընդհատ աճում է։

9. Z=√y ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ, հետևաբար, նրա գրաֆիկը զբաղեցնում է առաջին կոորդինատային անկյունը։

z=√y ֆունկցիան ցուցադրելու տարբերակներ

Մաթեմատիկայի մեջ բարդ արտահայտությունների հաշվարկը հեշտացնելու համար երբեմն օգտագործվում է քառակուսի արմատ գրելու ուժային ձևը՝ √y=y 1/2։ Այս տարբերակը հարմար է, օրինակ, ֆունկցիան հզորության հասցնելու համար՝ (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2: Այս մեթոդը նաև լավ ներկայացում է ինտեգրման հետ տարբերակման համար, քանի որ դրա շնորհիվ քառակուսի արմատը ներկայացված է սովորական հզորության ֆունկցիայով։

Իսկ ծրագրավորման մեջ √ նշանի փոխարինումը sqrt տառերի համակցությունն է։

Հարկ է նշել, որ այս տարածքում քառակուսի արմատը մեծ պահանջարկ ունի, քանի որ այն հաշվարկների համար անհրաժեշտ երկրաչափական բանաձևերի մեծ մասի մաս է կազմում։ Հաշվիչ ալգորիթմն ինքնին բավականին բարդ է և հիմնված է ռեկուրսիայի վրա (գործառույթ, որն իրեն կանչում է):

Քառակուսի արմատը բարդ դաշտում C

Մեծ հաշվով, հենց այս հոդվածի թեման խթանեց C բարդ թվերի դաշտի հայտնաբերումը, քանի որ մաթեմատիկոսներին հետապնդում էր բացասական թվից զույգ աստիճանի արմատ ստանալու հարցը: Այսպես հայտնվեց i երևակայական միավորը, որը բնութագրվում է մի շատ հետաքրքիր հատկությամբ՝ նրա քառակուսին -1 է։ Դրա շնորհիվ քառակուսի հավասարումները և բացասական դիսկրիմինանտով լուծում ստացան։ C-ում քառակուսի արմատի համար համապատասխան են նույն հատկությունները, ինչ R-ում, միակ բանն այն է, որ արմատական ​​արտահայտության սահմանափակումները հանվում են։

Քառակուսի հողամասի մակերեսը կազմում է 81 դմ²։ Գտեք նրա կողմը: Ենթադրենք, քառակուսու կողմի երկարությունը հավասար է Xդեցիմետրեր։ Այնուհետև հողամասի մակերեսն է X² քառակուսի դեցիմետր: Քանի որ, պայմանի համաձայն, այս տարածքը կազմում է 81 դմ², ապա X² = 81. Քառակուսու կողմի երկարությունը դրական թիվ է: Դրական թիվը, որի քառակուսին 81 է, դա 9 թիվն է։ Խնդիրը լուծելիս պահանջվում էր գտնել x թիվը, որի քառակուսին 81 է, այսինքն՝ լուծել հավասարումը։ X² = 81: Այս հավասարումն ունի երկու արմատ. x 1 = 9 և x 2 \u003d - 9, քանի որ 9² \u003d 81 և (- 9)² \u003d 81: 9 և - 9 թվերն էլ կոչվում են 81 թվի քառակուսի արմատներ:

Նշենք, որ քառակուսի արմատներից մեկը X= 9-ը դրական թիվ է: Այն կոչվում է 81 թվի թվաբանական քառակուսի արմատ և նշանակվում է √81, ուստի √81 = 9:

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատ աոչ բացասական թիվ է, որի քառակուսին հավասար է ա.

Օրինակ, 6 և - 6 թվերը 36 թվի քառակուսի արմատներն են: Այս դեպքում 6 թիվը 36-ի թվաբանական քառակուսի արմատն է, քանի որ 6-ը ոչ բացասական թիվ է, իսկ 6² \u003d 36: 6-ը չէ թվաբանական արմատ.

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատ անշվում է հետևյալ կերպ՝ √ ա.

Նշանը կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատի նշան; ակոչվում է արմատային արտահայտություն: Արտահայտություն √ ակարդալ այսպես՝ թվի թվաբանական քառակուսի արմատ ա.Օրինակ, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7: Այն դեպքերում, երբ պարզ է, որ խոսքը թվաբանական արմատի մասին է, հակիրճ ասում են. ա«.

Թվի քառակուսի արմատը գտնելու գործողությունը կոչվում է քառակուսի արմատ վերցնել: Այս գործողությունը քառակուսու հակառակն է:

Ցանկացած թիվ կարելի է քառակուսի դնել, բայց ոչ մի թվից քառակուսի արմատներ չեն կարող վերցնել։ Օրինակ՝ անհնար է հանել թվի քառակուսի արմատը՝ 4։ Եթե այդպիսի արմատ է եղել, ապա այն նշելով տառով։ X, մենք կստանանք սխալ հավասարություն x² \u003d - 4, քանի որ ձախ կողմում կա ոչ բացասական թիվ, իսկ աջ կողմում բացասական թիվ:

Արտահայտություն √ աիմաստ ունի միայն այն ժամանակ, երբ a ≥ 0. Քառակուսի արմատի սահմանումը հակիրճ կարելի է գրել այսպես՝ √ a ≥ 0, (√ա)² = ա. Հավասարություն (√ ա)² = ավավերական է a ≥ 0. Այսպիսով, համոզվելու համար, որ ոչ բացասական թվի քառակուսի արմատը ահավասար է բ, այսինքն, որ √ ա =բ, դուք պետք է ստուգեք, որ հետևյալ երկու պայմանները բավարարված են. b ≥ 0, բ² = ա.

Կոտորակի քառակուսի արմատը

Եկեք հաշվարկենք. Նկատի ունեցեք, որ √25 = 5, √36 = 6, և ստուգեք, արդյոք հավասարությունը պահպանվում է:

Ինչպես և , ապա հավասարությունը ճշմարիտ է: Այսպիսով, .

Թեորեմ.Եթե ա≥ 0 և բ> 0, այսինքն կոտորակի արմատը հավասար է արմատինհայտարարի արմատի վրա բաժանված համարիչից. Պահանջվում է ապացուցել, որ և .

Քանի որ √ ա≥0 և √ բ> 0, ապա .

Կոտորակը մեծացնելու և քառակուսի արմատը որոշելու հատկությամբ թեորեմն ապացուցված է. Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Հաշվիր՝ ըստ ապացուցված թեորեմի .

Երկրորդ օրինակ. Ապացուցիր դա , եթե ա ≤ 0, բ < 0. .

Մեկ այլ օրինակ՝ Հաշվիր։

.

Քառակուսի արմատի փոխակերպում

Արմատի նշանի տակից հանելով բազմապատկիչը։ Թող արտահայտություն լինի. Եթե ա≥ 0 և բ≥ 0, ապա արտադրյալի արմատի թեորեմով կարող ենք գրել.

Նման փոխակերպումը կոչվում է արմատային նշանի ֆակտորինգ: Դիտարկենք մի օրինակ;

Հաշվել ժամը X= 2. Ուղղակի փոխարինում X= 2 արմատական ​​արտահայտության մեջ հանգեցնում է բարդ հաշվարկների: Այս հաշվարկները կարող են պարզեցվել, եթե սկզբում հանենք գործոնները արմատային նշանի տակից. Այժմ փոխարինելով x = 2, մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, երբ գործոնը հանում ենք արմատային նշանի տակից, արմատական ​​արտահայտությունը ներկայացված է որպես արտադրյալ, որում մեկ կամ մի քանի գործոն ոչ բացասական թվերի քառակուսիներ են։ Այնուհետև կիրառվում է արմատային արտադրանքի թեորեմը և վերցվում է յուրաքանչյուր գործոնի արմատը: Դիտարկենք օրինակ. Պարզեցրե՛ք A = √8 + √18 - 4√2 արտահայտությունը՝ առաջին երկու անդամներում արմատի նշանի տակից հանելով գործոնները, ստանում ենք. Շեշտում ենք, որ հավասարությունը վավեր է միայն այն ժամանակ, երբ ա≥ 0 և բ≥ 0. եթե ա < 0, то .

Ցուցադրումը ենթադրում է, որ տվյալ թիվը պետք է բազմապատկվի իր վրա որոշակի թվով անգամ: Օրինակ, 2 թիվը հինգերորդ աստիճան բարձրացնելը նման կլինի.

Այն թիվը, որը պետք է բազմապատկվի ինքն իրենով, կոչվում է աստիճանի հիմք, իսկ բազմապատկումների թիվը՝ դրա արտահայտիչ։ Հզորության բարձրացումը համապատասխանում է երկու հակադիր գործողությունների՝ գտնել ցուցիչը և գտնել հիմքը:

արմատների արդյունահանում

Ցուցանիշի հիմքը գտնելը կոչվում է արմատից հանում: Սա նշանակում է, որ դուք պետք է գտնեք այն թիվը, որը պետք է հասցնել n-ի` տրվածը ստանալու համար:

Օրինակ, անհրաժեշտ է հանել 16 թվի 4-րդ արմատը, այսինքն. Որոշելու համար պետք է 4 անգամ բազմապատկել ինքն իրեն, որպեսզի վերջում ստացվի 16։ Այս թիվը 2 է։

Այդպիսին թվաբանական գործողությունգրվում է հատուկ նշանով՝ √ ռադիկալով, որի վերևում ձախ կողմում նշված է ցուցիչը:

թվաբանական արմատ

Եթե ​​ցուցիչն է զույգ թիվ, ապա արմատը կարող է լինել երկու թվեր՝ նույն մոդուլով, բայց՝ ​​դրական և բացասական։ Այսպիսով, տրված օրինակում դա կարող է լինել 2 և -2 թվերը։

Արտահայտությունը պետք է լինի միանշանակ, այսինքն. ունեն մեկ արդյունք. Դրա համար ներդրվել է թվաբանական արմատ հասկացությունը, որը կարող է լինել միայն դրական թիվ։ Թվաբանական արմատը չի կարող զրոյից փոքր լինել։

Այսպիսով, վերը քննարկված օրինակում թվաբանական արմատը կլինի միայն 2 թիվը, իսկ երկրորդ պատասխանը՝ -2, ըստ սահմանման բացառված է։

Քառակուսի արմատ

Որոշ աստիճանների համար, որոնք օգտագործվում են ավելի հաճախ, քան մյուսները, կան հատուկ անուններ, որոնք ի սկզբանե կապված են երկրաչափության հետ: Խոսքը վերաբերում էերկրորդ և երրորդ ուժերին բարձրանալու մասին։

Երկրորդ ուժին, քառակուսու կողմի երկարությունը, երբ դուք պետք է հաշվարկեք դրա տարածքը: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել խորանարդի ծավալը, ապա նրա եզրի երկարությունը բարձրացվում է երրորդ ուժի: Հետեւաբար, այն կոչվում է թվի քառակուսի, իսկ երրորդը կոչվում է խորանարդ:

Համապատասխանաբար, երկրորդ աստիճանի արմատը կոչվում է քառակուսի, իսկ երրորդ աստիճանի արմատը՝ խորանարդ։ Քառակուսի արմատը միակն է արմատներից, որը չունի ռադիկալից բարձր չափորոշիչ, երբ գրված է.

Այսպիսով, տրված թվի թվաբանական քառակուսի արմատը դրական թիվ է, որը պետք է հասցնել երկրորդ աստիճանի՝ տվյալ թիվը ստանալու համար։

Ապամոնտաժելու ժամանակն է արմատների արդյունահանման մեթոդներ. Դրանք հիմնված են արմատների հատկությունների վրա, մասնավորապես, հավասարության վրա, որը ճիշտ է ցանկացած ոչ բացասական b թվի համար։

Ստորև մենք հերթով կքննարկենք արմատներ հանելու հիմնական մեթոդները:

Սկսենք ամենապարզ դեպքից՝ բնական թվերից արմատներ հանելով՝ օգտագործելով քառակուսիների աղյուսակը, խորանարդի աղյուսակը և այլն:

Եթե ​​քառակուսիների, խորանարդների աղյուսակները և այլն: ձեռքի տակ չէ, տրամաբանական է օգտագործել արմատի արդյունահանման մեթոդը, որը ենթադրում է արմատային թվի տարրալուծում պարզ գործոնների:

Առանձին-առանձին, արժե անդրադառնալ, ինչը հնարավոր է կենտ ցուցիչներով արմատների համար:

Վերջապես, հաշվի առեք մի մեթոդ, որը թույլ է տալիս հաջորդաբար գտնել արմատի արժեքի թվանշանները:

Եկեք սկսենք.

Օգտագործելով քառակուսիների աղյուսակ, խորանարդի աղյուսակ և այլն:

Առավելագույնի մեջ պարզ դեպքերքառակուսիների, խորանարդների և այլնի աղյուսակները թույլ են տալիս արմատներ հանել: Որոնք են այս աղյուսակները:

0-ից մինչև 99-ը ներառյալ ամբողջ թվերի քառակուսիների աղյուսակը (ներկայացված է ստորև) բաղկացած է երկու գոտիներից։ Աղյուսակի առաջին գոտին գտնվում է մոխրագույն ֆոնի վրա, այն օգտագործում է ընտրությունը որոշակի լարիսկ կոնկրետ սյունակը թույլ է տալիս թվեր կազմել 0-ից մինչև 99: Օրինակ՝ ընտրենք 8 տասնյակից բաղկացած տող և 3 միավորից բաղկացած սյունակ, դրանով ամրագրեցինք 83 թիվը։ Երկրորդ գոտին զբաղեցնում է աղյուսակի մնացած մասը։ Նրա յուրաքանչյուր բջիջ գտնվում է որոշակի տողի և որոշակի սյունակի հատման կետում և պարունակում է 0-ից 99-ի համապատասխան թվի քառակուսին: Մեր ընտրած 8 տասնյակի և մեկի 3-րդ տողի խաչմերուկում կա 6889 թվով բջիջ, որը 83 թվի քառակուսին է։

Խորանարդների աղյուսակները, 0-ից 99 թվերի չորրորդ աստիճանի աղյուսակները և այլն նման են քառակուսիների աղյուսակին, միայն թե դրանք երկրորդ գոտում պարունակում են խորանարդներ, չորրորդ ուժեր և այլն։ համապատասխան թվեր։

Քառակուսիների, խորանարդների, չորրորդ ուժերի աղյուսակներ և այլն: թույլ է տալիս արդյունահանել քառակուսի արմատներ, խորանարդի արմատներ, չորրորդ արմատները և այլն։ համապատասխանաբար այս աղյուսակների թվերից։ Եկեք բացատրենք դրանց կիրառման սկզբունքը արմատներ հանելու մեջ։

Ենթադրենք, a թվից պետք է հանենք n-րդ աստիճանի արմատը, մինչդեռ a թիվը պարունակվում է n-րդ աստիճանների աղյուսակում: Համաձայն այս աղյուսակի՝ b թիվը գտնում ենք այնպես, որ a=b n . Հետո , հետևաբար, b թիվը կլինի n-րդ աստիճանի ցանկալի արմատը։

Որպես օրինակ՝ եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է արդյունահանվում 19683 թվականի խորանարդի արմատը՝ օգտագործելով խորանարդի աղյուսակը: Մենք խորանարդների աղյուսակում գտնում ենք 19 683 թիվը, որից գտնում ենք, որ այս թիվը 27 թվի խորանարդն է, հետևաբար. .

Հասկանալի է, որ n-րդ աստիճանի աղյուսակները շատ հարմար են արմատներ հանելիս։ Այնուամենայնիվ, դրանք հաճախ ձեռքի տակ չեն, և դրանց կազմումը որոշակի ժամանակ է պահանջում։ Ավելին, հաճախ անհրաժեշտ է լինում արմատներ հանել այն թվերից, որոնք չեն պարունակվում համապատասխան աղյուսակներում։ Այս դեպքերում պետք է դիմել արմատները հանելու այլ մեթոդների։

Արմատային թվի տարրալուծումը պարզ գործոնների

Բավական հարմար միջոց, որը թույլ է տալիս արմատը հանել բնական թվից (եթե, իհարկե, արմատը հանված է) արմատային թվի տարրալուծումն է պարզ գործոնների։ Նրան էությունը հետեւյալն էհետո բավականին հեշտ է այն որպես աստիճան ներկայացնել ցանկալի ցուցիչով, որը թույլ է տալիս ստանալ արմատի արժեքը։ Եկեք բացատրենք այս կետը:

Թող n-րդ աստիճանի արմատը դուրս բերվի a բնական թվից, և դրա արժեքը հավասար է b-ի: Այս դեպքում a=b n հավասարությունը ճիշտ է։ b համարը, ինչպես ցանկացածը բնական թիվկարող է ներկայացվել որպես իր բոլոր պարզ գործոնների արտադրյալ p 1 , p 2 , ..., p m ձևով p 1 p 2 ... p m , իսկ արմատային թիվը այս դեպքում ներկայացված է որպես (p 1 p 2 ... p m) n. Քանի որ թվի տարրալուծումը պարզ գործոնների եզակի է, a արմատային թվի տարրալուծումը պարզ գործակիցների նման կլինի (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ինչը հնարավորություն է տալիս հաշվարկել արմատի արժեքը որպես. .

Նկատի ունեցեք, որ եթե a արմատային թվի ֆակտորիզացիան չի կարող ներկայացվել (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ձևով, ապա այդպիսի a թվից n-րդ աստիճանի արմատն ամբողջությամբ չի հանվում:

Սրանով զբաղվենք օրինակներ լուծելիս։

Օրինակ.

Վերցրեք 144-ի քառակուսի արմատը:

Որոշում.

Եթե ​​անդրադառնանք նախորդ պարբերությունում տրված քառակուսիների աղյուսակին, ապա պարզ երևում է, որ 144=12 2, որից պարզ է, որ 144-ի քառակուսի արմատը 12 է։

Բայց այս կետի լույսի ներքո մեզ հետաքրքրում է, թե ինչպես է արմատը արդյունահանվում՝ 144 համարի արմատը տարրալուծելով պարզ գործոնների: Եկեք նայենք այս լուծմանը:

Եկեք քայքայվենք 144 դեպի պարզ գործոններ.

Այսինքն՝ 144=2 2 2 2 3 3: Ստացված տարրալուծման հիման վրա կարող են իրականացվել հետևյալ փոխակերպումները. 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Հետևաբար, .

Օգտագործելով արմատների աստիճանի և հատկությունների հատկությունները, լուծումը կարելի է մի փոքր այլ կերպ ձևակերպել.

Պատասխան.

Նյութը համախմբելու համար դիտարկենք ևս երկու օրինակների լուծումները։

Օրինակ.

Հաշվեք արմատային արժեքը:

Որոշում.

243 արմատային թվի պարզ գործակցումը 243=3 5 է։ Այս կերպ, .

Պատասխան.

Օրինակ.

Արմատի արժեքը ամբողջ թիվ է:

Որոշում.

Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք տարանջատենք արմատային թիվը պարզ գործոնների և տեսնենք, թե արդյոք այն կարելի է ներկայացնել որպես ամբողջ թվի խորանարդ:

Մենք ունենք 285 768=2 3 3 6 7 2: Ստացված տարրալուծումը չի ներկայացվում որպես ամբողջ թվի խորանարդ, քանի որ պարզ գործոնի 7 աստիճանը երեքի բազմապատիկ չէ: Հետևաբար, 285768-ի խորանարդի արմատն ամբողջությամբ չի վերցված։

Պատասխան.

Ոչ

Արմատներ հանելը կոտորակային թվերից

Ժամանակն է պարզել, թե ինչպես է արմատը հանվում կոտորակային թիվ. Թող կոտորակային արմատային թիվը գրվի որպես p/q: Ըստ քանորդի արմատի հատկության՝ ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը. Այս հավասարությունից բխում է կոտորակային արմատի կանոնԿոտորակի արմատը հավասար է համարիչի արմատը հայտարարի արմատին բաժանելու գործակցին։

Եկեք նայենք կոտորակից արմատ հանելու օրինակին:

Օրինակ.

Ինչի՞ է կազմում քառակուսի արմատը ընդհանուր կոտորակ 25/169 .

Որոշում.

Ըստ քառակուսիների աղյուսակի՝ մենք գտնում ենք, որ սկզբնական կոտորակի համարիչի քառակուսի արմատը 5 է, իսկ հայտարարի քառակուսի արմատը՝ 13։ Հետո . Սա ավարտում է արմատի արդյունահանումը սովորական 25/169 կոտորակից:

Պատասխան.

Տասնորդական կոտորակի կամ խառը թվի արմատն արդյունահանվում է արմատային թվերը սովորական կոտորակներով փոխարինելուց հետո։

Օրինակ.

Վերցրեք տասնորդական 474.552-ի խորանարդային արմատը:

Որոշում.

Բնօրինակ տասնորդականը ներկայացնենք որպես ընդհանուր կոտորակ՝ 474.552=474552/1000: Հետո . Մնում է դուրս հանել այն խորանարդային արմատները, որոնք գտնվում են ստացված կոտորակի համարիչի և հայտարարի մեջ։ Ինչպես 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 և 1 000=10 3, ապա և . Մնում է միայն լրացնել հաշվարկները .

Պատասխան.

.

Բացասական թվի արմատի հանում

Առանձին-առանձին, արժե անդրադառնալ բացասական թվերից արմատներ հանելու վրա: Արմատներն ուսումնասիրելիս ասացինք, որ երբ արմատի ցուցիչը կենտ թիվ է, ապա բացասական թիվ կարող է լինել արմատի նշանի տակ։ Նման նշումներին տվել ենք հետևյալ նշանակությունը՝ −a բացասական թվի և 2 n−1 արմատի կենտ ցուցիչի համար ունենք. . Այս հավասարությունը տալիս է բացասական թվերից կենտ արմատներ հանելու կանոնԲացասական թվի արմատ հանելու համար անհրաժեշտ է հանել հակառակ դրական թվի արմատը և արդյունքի դիմաց դնել մինուս նշան։

Դիտարկենք լուծման օրինակ.

Օրինակ.

Գտեք արմատային արժեքը:

Որոշում.

Եկեք վերափոխենք սկզբնական արտահայտությունն այնպես, որ արմատային նշանի տակ հայտնվի դրական թիվ. . Այժմ խառը թիվը փոխարինում ենք սովորական կոտորակով. . Մենք կիրառում ենք սովորական կոտորակից արմատ հանելու կանոնը. . Մնում է հաշվարկել արմատները ստացված կոտորակի համարիչի և հայտարարի մեջ. .

Ահա լուծման ամփոփագիրը. .

Պատասխան.

.

Bitwise Գտնելով արմատային արժեքը

Ընդհանուր դեպքում, արմատի տակ կա մի թիվ, որը, օգտագործելով վերը քննարկված տեխնիկան, չի կարող ներկայացվել որպես որևէ թվի n-րդ աստիճան։ Բայց միևնույն ժամանակ անհրաժեշտություն կա իմանալու տվյալ արմատի արժեքը՝ գոնե մինչև որոշակի նշան։ Այս դեպքում արմատը հանելու համար կարող եք օգտագործել ալգորիթմ, որը թույլ է տալիս հետևողականորեն ստանալ ցանկալի թվի թվանշանների բավարար քանակի արժեքներ:

Առաջին քայլին այս ալգորիթմըդուք պետք է պարզեք, թե որն է արմատի արժեքի ամենակարևոր մասնիկը: Դա անելու համար 0, 10, 100, ... թվերը հաջորդաբար բարձրացվում են n աստիճանի, մինչև ստացվի արմատային թիվը գերազանցող թիվ։ Այնուհետև այն թիվը, որը մենք նախորդ քայլում հասցրինք n-ի ուժին, ցույց կտա համապատասխան բարձր կարգը։

Օրինակ, հաշվի առեք ալգորիթմի այս քայլը հինգի քառակուսի արմատը հանելիս: Վերցնում ենք 0, 10, 100, ... թվերը և քառակուսի ենք տալիս, մինչև ստանանք 5-ից մեծ թիվ: Մենք ունենք 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ինչը նշանակում է, որ ամենակարևոր թվանշանը կլինի միավորների թվանշանը: Այս բիթերի արժեքը, ինչպես նաև ավելի ցածրերը, կգտնվեն արմատների արդյունահանման ալգորիթմի հաջորդ քայլերում:

Ալգորիթմի բոլոր հետևյալ քայլերն ուղղված են արմատի արժեքի հաջորդական ճշգրտմանը, քանի որ հայտնաբերվում են արմատի ցանկալի արժեքի հաջորդ թվանշանների արժեքները՝ սկսած ամենաբարձրից և շարժվելով դեպի ամենացածրը: . Օրինակ, արմատի արժեքը առաջին քայլում 2 է, երկրորդում՝ 2.2, երրորդում՝ 2.23, և այսպես շարունակ՝ 2.236067977... Եկեք նկարագրենք, թե ինչպես են գտնվել բիթերի արժեքները:

Թվանշանները գտնելն իրականացվում է դրանք թվարկելով հնարավոր արժեքներ 0, 1, 2, ..., 9: Այս դեպքում զուգահեռաբար հաշվարկվում են համապատասխան թվերի n-րդ ուժերը, և դրանք համեմատվում են արմատային թվի հետ։ Եթե ​​ինչ-որ փուլում աստիճանի արժեքը գերազանցում է արմատական ​​թիվը, ապա նախկին արժեքին համապատասխան թվանշանի արժեքը համարվում է գտնված, և անցում է կատարվում արմատի արդյունահանման ալգորիթմի հաջորդ քայլին, եթե դա տեղի չունենա, ապա այս թվանշանի արժեքը 9 է:

Եկեք բացատրենք այս բոլոր կետերը՝ օգտագործելով հինգի քառակուսի արմատը հանելու նույն օրինակը:

Նախ, գտեք միավորների թվանշանի արժեքը: Մենք կրկնելու ենք 0, 1, 2, …, 9 արժեքները՝ համապատասխանաբար հաշվելով 0 2, 1 2, …, 9 2, մինչև ստանանք 5-րդ ռադիկալ թվից մեծ արժեք: Այս բոլոր հաշվարկները հարմար կերպով ներկայացված են աղյուսակի տեսքով.

Այսպիսով, միավորների թվանշանի արժեքը 2 է (քանի որ 2 2<5 , а 2 3 >հինգ): Անցնենք տասներորդ տեղի արժեքը գտնելուն։ Այս դեպքում մենք քառակուսի կկազմենք 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 թվերը՝ համեմատելով ստացված արժեքները 5-րդ արմատի հետ.

Քանի որ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , ապա տասներորդ տեղի արժեքը 2 է։ Դուք կարող եք շարունակել գտնել հարյուրերորդական տեղի արժեքը.

Այսպիսով, գտնվել է հաջորդ արժեքըհինգի արմատ, այն հավասար է 2,23-ի։ Եվ այսպես, դուք կարող եք շարունակել արժեքներ գտնել հետագա: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Նյութը համախմբելու համար մենք կվերլուծենք արմատի արդյունահանումը հարյուրերորդական ճշգրտությամբ՝ օգտագործելով դիտարկված ալգորիթմը:

Նախ, մենք սահմանում ենք ավագ թվանշանը: Դա անելու համար մենք խորանարդ ենք կազմում 0, 10, 100 և այլն թվերը: քանի դեռ չենք ստացել 2151.186-ից մեծ թիվ։ Մենք ունենք 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , ուստի ամենակարևոր թվանշանը տասնյակն է:

Եկեք սահմանենք դրա արժեքը.

103-ից սկսած<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, ապա տասնյակների թվանշանի արժեքը 1 է: Անցնենք միավորներին:

Այսպիսով, մեկների տեղի արժեքը 2 է: Անցնենք տասին։

Քանի որ նույնիսկ 12.9 3-ը փոքր է 2 151.186 արմատական ​​թվից, տասներորդ տեղի արժեքը 9 է։ Մնում է կատարել ալգորիթմի վերջին քայլը, այն մեզ կտա արմատի արժեքը պահանջվող ճշգրտությամբ։

Այս փուլում արմատի արժեքը հայտնաբերվում է մինչև հարյուրերորդական. .

Եզրափակելով այս հոդվածը, ես կցանկանայի ասել, որ արմատներ հանելու շատ այլ եղանակներ կան: Բայց առաջադրանքների մեծ մասի համար նրանք, որոնք մենք ուսումնասիրել ենք վերևում, բավարար են:

Մատենագիտություն.

• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 8 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. և այլք Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար.
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար).