Egy komplex változó függvényei.
Egy komplex változó függvényeinek differenciálása.

Ez a cikk egy leckesorozatot nyit meg, amelyben megnézem tipikus feladatok egy komplex változó függvényelméletéhez kapcsolódik. A példák sikeres elsajátításához rendelkeznie kell Alap tudás a komplex számokról. Az anyag megszilárdításához és megismétléséhez elegendő felkeresni az oldalt. A megtaláláshoz készségekre is szüksége lesz másodrendű parciális származékok. Íme, ezek a részleges származékok... még most is meglepődtem, milyen gyakran fordulnak elő...

A téma, amelyet elkezdünk elemezni, nem különösebben nehéz, és egy összetett változó függvényében elvileg minden világos és hozzáférhető. A lényeg az, hogy betartsam az általam empirikusan levezetett alapszabályt. Olvass tovább!

Egy komplex változó függvényének fogalma

Először frissítsük fel ismereteinket egy változó iskolafüggvényéről:

Egy változó függvénye egy olyan szabály, amely szerint a független változó minden értéke (a definíciós tartományból) a függvény egy és csak egy értékének felel meg. Természetesen az "x" és az "y" valós számok.

Összetett esetben a funkcionális függést hasonlóan adjuk meg:

Egy komplex változó egyértékű függvénye az a szabály, hogy mindenki integrált a független változó értéke (a tartományból) egy és csak egynek felel meg átfogó függvény értéke. Elméletileg a többértékű és néhány más típusú függvény is számításba jön, de az egyszerűség kedvéért egy definícióra összpontosítok.

Mi a függvénye egy komplex változónak?

A fő különbség az, hogy a számok összetettek. Nem ironizálok. Az ilyen kérdésektől gyakran kábulatba esnek, a cikk végén elmondok egy klassz történetet. A leckén Komplex számok bábukhoz alakban egy komplex számot vettünk figyelembe. Azóta a "Z" betű lett változó, akkor a következőképpen jelöljük: , míg az "x" és az "y" eltérő lehet érvényesértékeket. Nagyjából egy komplex változó függvénye a és változóktól függ, amelyek "szokásos" értéket vesznek fel. Tól től ezt a tényt a következő pont logikusan következik:

Egy összetett változó függvénye a következőképpen írható fel:
, ahol és a kettő két függvénye érvényes változók.

A függvényt hívják valódi része funkciókat.
A függvényt hívják képzeletbeli rész funkciókat.

Vagyis egy komplex változó függvénye két valós függvénytől és . Hogy végül mindent tisztázhassunk, nézzünk gyakorlati példákat:

1. példa

Döntés: A "z" független változó, mint emlékszel, a következőképpen van írva:

(1) Az eredeti funkcióval helyettesítve.

(2) Az első tagnál a csökkentett szorzási képletet használtuk. A távon a zárójelek kinyíltak.

(3) Óvatosan négyzetbe húzva, erről nem feledkezve meg

(4) A kifejezések átrendezése: a kifejezések először átírása , amelyben nincs képzeletbeli egység(első csoport), majd kifejezések, ahol van (második csoport). Meg kell jegyezni, hogy nem szükséges keverni a feltételeket, és ezt a szakasztátugorható (valójában szóban teszi).

(5) A második csoport kikerül a zárójelekből.

Ennek eredményeként kiderült, hogy a funkciónk a formában van ábrázolva

Válasz:
a függvény valódi része.
a függvény képzeletbeli része.

Mik ezek a funkciók? Két változó leghétköznapibb függvényei, amelyek közül olyan népszerűek lehetnek részleges származékok. Kegyelem nélkül - megtaláljuk. De egy kicsit később.

A megoldott feladat algoritmusa röviden a következőképpen írható fel: behelyettesítjük az eredeti függvényt, egyszerűsítéseket hajtunk végre és az összes tagot két csoportra osztjuk - képzeletbeli egység nélkül (valós rész) és képzeletbeli egységgel (képzetes rész).

2. példa

Keresse meg egy függvény valós és képzeletbeli részét

Ez egy „csináld magad” példa. Mielőtt csatába vetné magát a huzattal rendelkező összetett síkon, hadd adjam a legtöbbet fontos tanács ebben a témában:

LÉGY ÓVATOS!Óvatosnak kell lenni persze mindenhol, de az összetett számoknál jobban kell vigyázni, mint valaha! Ne feledje, hogy óvatosan bontsa ki a zárójeleket, ne veszítsen semmit. Megfigyeléseim szerint a leggyakoribb hiba az előjelvesztés. Ne siess!

Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.

Most kocka. A rövidített szorzási képlet segítségével a következőket kapjuk:
.

A képletek nagyon kényelmesek a gyakorlatban, mivel nagyban felgyorsítják a megoldási folyamatot.

Egy komplex változó függvényeinek differenciálása.

Két hírem van: jó és rossz. Kezdem egy jóval. Egy komplex változó függvényére érvényesek a differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjainak táblázata. Így a derivált pontosan ugyanúgy vesszük fel, mint egy valós változó függvénye esetén.

A rossz hír az, hogy egy összetett változó számos függvényéhez egyáltalán nincs derivált, és ki kell találni differenciálható egyik vagy másik funkció. És a szíved „kitalálása” további gondokkal jár.

Tekintsük egy komplex változó függvényét. Ahhoz, hogy ez a függvény differenciálható legyen, szükséges és elegendő, hogy:

1) Hogy legyenek elsőrendű parciális származékai. Azonnal felejtse el ezeket a jelöléseket, mivel az összetett változó függvényelméletében hagyományosan a jelölés másik változatát használják: .

2) Elvégezni az ún Cauchy-Riemann feltételek:

Csak ebben az esetben létezik a származék!

3. példa

Döntés három egymást követő szakaszra bomlik:

1) Keresse meg a függvény valós és képzetes részét! Ezt a feladatot a korábbi példákban elemeztük, ezért kommentár nélkül leírom:

Azóta:

És így:

a függvény képzeletbeli része.

Megállok még egynél technikai pillanat: milyen sorrendben kifejezéseket írjon valós és képzeletbeli részekben? Igen, alapvetően mindegy. Például a valós rész így írható: , és képzeletbeli - így: .

2) Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését! Ketten vannak.

Kezdjük az állapot ellenőrzésével. Találunk részleges származékok:

Így a feltétel teljesül.

Kétségtelenül a jó hír az, hogy a részleges származékok szinte mindig nagyon egyszerűek.

Ellenőrizzük a második feltétel teljesülését:

Ugyanez derült ki, csak ellentétes előjelekkel, vagyis a feltétel is teljesül.

A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, ezért a függvény differenciálható.

3) Keresse meg a függvény deriváltját! A származék is nagyon egyszerű, és a szokásos szabályok szerint található:

A differenciálás képzeletbeli egységét állandónak tekintjük.

Válasz: - valódi rész a képzeletbeli rész.
A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek,.

A származék megtalálásának további két módja van, ezeket természetesen ritkábban használják, de az információ hasznos lesz a második lecke megértéséhez - Hogyan találjuk meg egy komplex változó függvényét?

A származékot a következő képlettel találhatjuk meg:

Ebben az esetben:

És így

Meg kell oldani az inverz problémát - a kapott kifejezésben el kell különíteni a . Ehhez a következő feltételeket kell megadni és ki kell venni a zárójelekből:

A fordított művelet, amint azt sokan észrevették, valamivel nehezebb végrehajtani; az ellenőrzéshez mindig jobb, ha a vázlaton szereplő és kifejezést veszi, vagy szóban kinyitja a zárójeleket, ügyelve arra, hogy pontosan kiderüljön.

Tükörképlet a származék megtalálásához:

Ebben az esetben: , Ezért:

4. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Ha a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, keressük meg a függvény deriváltját.

Gyors megoldásés példaértékű minta utolsó simítások az óra végén.

Mindig teljesülnek a Cauchy-Riemann feltételek? Elméletileg gyakrabban nem teljesülnek, mint amennyire teljesülnek. De gyakorlati példák Nem emlékszem olyan esetre, amikor ne teljesültek volna =) Tehát ha a parciális deriváltjai „nem konvergáltak”, akkor nagyon nagy valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy valahol hibát követett el.

Bonyolítsuk le a funkcióinkat:

5. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Kiszámítja

Döntés: A megoldási algoritmus teljesen megmarad, de a végére egy új hóbort is hozzáadódik: a derivált megtalálása egy pontban. A kockához a szükséges képletet már levezették:

Határozzuk meg ennek a függvénynek a valós és képzeletbeli részét:

Figyelem és még egyszer figyelem!

Azóta:


És így:
a függvény valós része ;
a függvény képzeletbeli része.

A második feltétel ellenőrzése:

Ugyanez derült ki, csak ellentétes előjelekkel, vagyis a feltétel is teljesül.

A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, ezért a függvény differenciálható:

Számítsa ki a derivált értékét a kívánt pontban:

Válasz:, , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek,

A kockákkal ellátott függvények gyakoriak, ezért egy példa a konszolidációra:

6. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Kiszámítja .

Döntés és mintabefejezés az óra végén.

A komplex elemzés elméletében a komplex argumentum egyéb funkcióit is meghatározzák: exponenciális, szinusz, koszinusz stb. Ezek a funkciók szokatlan, sőt bizarr tulajdonságokkal rendelkeznek – és ez igazán érdekes! Nagyon szeretném elmondani, de itt csak úgy történt, nem egy kézikönyv vagy egy tankönyv, hanem egy megoldás, ezért ugyanazt a feladatot fogom megvizsgálni néhány közös funkcióval.

Először az ún Euler-képletek:

Bárkinek érvényes számok esetén a következő képletek érvényesek:

Referenciaként a notebookjába is másolhatja.

Szigorúan véve csak egy képlet van, de általában a kényelem kedvéért írnak is különleges eset mínusz jelzővel. A paraméternek nem kell egy betűből állnia, lehet összetett kifejezés, függvény, csak az a fontos, hogy vegyék csak érvényesértékeket. Tulajdonképpen most is látni fogjuk:

7. példa

Származék keresése.

Döntés: A párt általános vonala megingathatatlan marad - ki kell emelni a funkció valós és képzeletbeli részeit. Részletes megoldást adok, és az alábbiakban kommentálom az egyes lépéseket:

Azóta:

(1) "z" helyére.

(2) A helyettesítés után el kell választani a valós és a képzeletbeli részt első kitevőben kiállítók. Ehhez nyissa ki a zárójeleket.

(3) Csoportosítjuk az indikátor képzeletbeli részét, zárójelbe téve a képzeletbeli egységet.

(4) Használat iskolai akció fokozatokkal.

(5) A szorzóhoz az Euler-képletet használjuk, míg .

(6) Kinyitjuk a zárójeleket, ennek eredményeként:

a függvény valós része ;
a függvény képzeletbeli része.

A további műveletek szabványosak, ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését:

9. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Így van, nem fogjuk megtalálni a származékot.

Döntés: A megoldási algoritmus nagyon hasonlít az előző két példához, de nagyon vannak fontos pontokat, Ezért Első fázis Lépésről lépésre ismét hozzászólok:

Azóta:

1) A "z" helyett helyettesítjük.

(2) Először válassza ki a valós és a képzeletbeli részeket a sinus belsejében. Ebből a célból nyissa ki a konzolokat.

(3) A , while képletet használjuk .

(4) Használat hiperbolikus koszinusz paritása: és hiperbolikus szinuszos páratlanság: . A hiperbolikák, bár nem e világból valók, de sok tekintetben hasonló trigonometrikus függvényekhez hasonlítanak.

Végül is:
a függvény valós része ;
a függvény képzeletbeli része.

Figyelem! A mínusz jel a képzeletbeli részre vonatkozik, és semmi esetre sem szabad elveszíteni! Vizuális szemléltetés céljából a fent kapott eredményt a következőképpen írhatjuk át:

Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését:

A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek.

Válasz:, , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek.

A koszinusszal, hölgyeim és uraim, magunktól is megértjük:

10. példa

Határozza meg a függvény valós és képzetes részét! Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését.

Szándékosan szedtem ki a bonyolultabb példákat, mert a hámozott mogyoróhoz hasonlót mindenki elbír. Ugyanakkor edd a figyelmedet! Diótörő az óra végén.

Nos, befejezésül megfontolok még egyet érdekes példa amikor a komplex argumentum a nevezőben van. Párszor találkoztunk a gyakorlatban, elemezzünk valami egyszerűt. Ó, kezdek megöregedni...

11. példa

Határozza meg a függvény valós és képzetes részét! Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését.

Döntés: Ismét el kell különíteni a függvény valós és képzeletbeli részét.
Ha akkor

Felmerül a kérdés, hogy mi a teendő, ha "Z" van a nevezőben?

Minden egyszerű - a szabvány segít módszer a számláló és a nevező szorzására a konjugált kifejezéssel, a lecke példáiban már használták Komplex számok bábukhoz. Emlékezzünk az iskolai képletre. A nevezőben már szerepel, így a konjugált kifejezés a következő lesz. Így a számlálót és a nevezőt meg kell szorozni a következővel: