Relatív és abszolút mérési hibák számítása. Relatív és abszolút hiba: fogalom, számítás és tulajdonságok

A természetben előforduló sok mennyiség mérése nem lehet pontos. A mérés változó pontosságú értéket kifejező számot ad (a hossz mérése 0,01 cm-es pontossággal, a függvény értékének kiszámítása egy pontban legfeljebb pontossággal stb.), azaz megközelítőleg valami hiba. A hiba előre beállítható, vagy fordítva, meg kell találni.

A hibák elméletének vizsgálata elsősorban közelítő számokra irányul. Számításkor ahelyett általában közelítő számokat használunk: (ha a pontosság nem különösebben fontos), (ha a pontosság fontos). Hogyan végezzünk számításokat hozzávetőleges számokkal, határozzuk meg hibáikat - ez a közelítő számítások elmélete (hibaelmélet).

A jövőben a pontos számokat nagybetűvel, a megfelelő hozzávetőleges számokat kisbetűkkel jelöljük.

A probléma megoldásának egyik vagy másik szakaszában felmerülő hibák három típusra oszthatók:

1) Probléma hiba. Ez a fajta hiba az építés során fordul elő matematikai modell jelenségek. Korántsem mindig lehetséges minden tényezőt figyelembe venni, és a végeredményre gyakorolt hatásuk mértékét. Vagyis egy objektum matematikai modellje nem pontos képe, leírása nem pontos. Az ilyen hiba elkerülhetetlen.

2) Módszerhiba. Ez a hiba abból adódik, hogy az eredeti matematikai modellt lecseréljük egy egyszerűsítettre, például a korrelációelemzés egyes problémáinál a lineáris modell elfogadható. Ez a hiba eltávolítható, mivel a számítás szakaszaiban tetszőlegesen kis értékre csökkenthető.

3) Számítási ("gép") hiba. Akkor fordul elő, amikor a számítógép aritmetikai műveleteket hajt végre.

Meghatározás 1.1. Legyen - pontos érték mennyiségek (számok), - ugyanazon mennyiség hozzávetőleges értéke (). Valódi abszolút hiba A közelítő szám a pontos és a közelítő értékek különbségének modulusa:

. (1.1)

Legyen például =1/3. Az MK-n történő számítás során az 1-et 3-mal osztva hozzávetőleges számként adták meg = 0,33. Azután .

A valóságban azonban a legtöbb esetben a mennyiség pontos értéke nem ismert, ami azt jelenti, hogy (1.1) nem alkalmazható, vagyis nem található meg a valódi abszolút hiba. Ezért egy másik érték kerül bevezetésre, amely valamilyen becslésként szolgál (felsõ korlát a -hoz).

Meghatározás 1.2. Korlátozza az abszolút hibát közelítő számot, amely egy ismeretlen pontos számot reprezentál, olyan esetleg kisebb számnak nevezzük, amely nem haladja meg az igazit abszolút hiba, azaz . (1.2)

Az (1,2) egyenlőtlenséget kielégítő hozzávetőleges számú mennyiséghez végtelenül sok van, de a legértékesebb közülük a legkisebb lesz. Az (1.2)-ből a modulus definíciója alapján a , vagy rövidítve egyenlőség

. (1.3)

Az (1.3) egyenlőség határozza meg azokat a határokat, amelyeken belül egy ismeretlen pontos szám található (azt mondják, hogy egy közelítő szám egy pontos számot fejez ki, korlátozó abszolút hibával). Könnyen belátható, hogy minél kisebb, annál pontosabban határozzák meg ezeket a határokat.

Például, ha egy bizonyos érték mérése cm eredményt adott, miközben ezeknek a méréseknek a pontossága nem haladja meg az 1 cm-t, akkor a valódi (pontos) hosszúság cm.

1.1. példa. Adott egy szám. Keresse meg a szám korlátozó abszolút hibáját a szám alapján.

Megoldás: Az (1,3) egyenlőségből a ( =1,243; =0,0005) számra kettős egyenlőtlenséget kapunk, azaz.

Ekkor a feladat a következő: keresni a számra az egyenlőtlenséget kielégítő korlátozó abszolút hibát . A (*) feltételt figyelembe véve azt kapjuk (a (*)-ban az egyenlőtlenség minden részéből kivonjuk)

Mivel esetünkben , akkor , honnan =0,0035.

Válasz: =0,0035.

A korlátozó abszolút hiba gyakran rossz képet ad a mérések vagy számítások pontosságáról. Például \u003d 1 m egy épület hosszának mérésekor azt jelzi, hogy nem végezték el pontosan, és ugyanaz a hiba \u003d 1 m a városok közötti távolság mérésekor nagyon jó minőségének értékelése. Ezért egy másik érték kerül bevezetésre.

Meghatározás 1.3. Valódi relatív hiba szám, amely a pontos szám közelítő értéke, a szám valódi abszolút hibájának és magának a számnak a modulusának az aránya:

. (1.4)

Például, ha a pontos és közelítő értékek, akkor

Az (1.4) képlet azonban nem alkalmazható, ha a szám pontos értéke nem ismert. Ezért a korlátozó abszolút hibával analóg módon bevezetjük a korlátozó relatív hibát.

Meghatározás 1.4. A relatív hiba korlátozása azt a számot, amely egy ismeretlen pontos szám közelítése, a lehető legkisebb számnak nevezzük , amelyet nem halad meg a valódi relatív hiba , azaz

. (1.5)

Az (1.2) egyenlőtlenségből megvan ; honnan, figyelembe véve (1.5)

Az (1.6) képlet gyakorlati alkalmazhatósága nagyobb, mint az (1.5), mivel a pontos érték nem vesz részt benne. Az (1.6) és (1.3) figyelembevételével meg lehet találni azokat a határokat, amelyek az ismeretlen mennyiség pontos értékét tartalmazzák.

Hagyjon néhányat véletlenszerű érték a mért n alkalommal azonos feltételek mellett. A mérési eredmények halmazt adtak n különféle számok

Abszolút hiba- méretérték. Között n az abszolút hibák értékei szükségszerűen találkoznak pozitív és negatív értékekkel is.

A mennyiség legvalószínűbb értékére deáltalában venni átlagos a mérési eredmények jelentése

Hogyan több szám méréseknél, minél közelebb van az átlagérték a valódi értékhez.

Abszolút hibaén

Relatív hibaén dimenziót mennyiségnek nevezzük

A relatív hiba dimenzió nélküli mennyiség. Általában a relatív hibát százalékban fejezik ki, ehhez e i szorozzuk meg 100%-kal. A relatív hiba értéke a mérési pontosságot jellemzi.

Átlagos abszolút hibaígy van definiálva:

Hangsúlyozzuk a D mennyiségek abszolút értékeinek (moduljainak) összegzésének szükségességét és én . Ellenkező esetben az azonos nulla eredményt kapjuk.

Átlagos relatív hiba mennyiségnek nevezzük

Nál nél nagy számok mérések.

Relatív hibának tekinthető a mért mennyiség egységére eső hibaérték.

A mérések pontosságát a mérési eredmények hibáinak összehasonlítása alapján ítéljük meg. Ezért a mérési hibákat olyan formában fejezik ki, hogy a pontosság megítéléséhez elegendő lenne csak az eredmények hibáit összehasonlítani, anélkül, hogy a mért objektumok méretét összevetnénk, vagy ezeket a méreteket nagyon közelítőleg ismernénk. A gyakorlatból ismert, hogy a szögmérés abszolút hibája nem a szög értékétől, a hosszmérés abszolút hibája pedig a hossz értékétől függ. Minél nagyobb a hosszérték, annál nagyobb az abszolút hiba ennél a módszernél és a mérési feltételeknél. Ezért az eredmény abszolút hibája szerint meg lehet ítélni a szögmérés pontosságát, de nem lehet megítélni a hosszmérés pontosságát. A hiba relatív formában történő kifejezése bizonyos esetekben lehetővé teszi a szög- és lineáris mérések pontosságának összehasonlítását.

A valószínűségszámítás alapfogalmai. Véletlenszerű hiba.

Véletlenszerű hiba a mérési hiba komponensének nevezzük, amely azonos mennyiségű ismételt méréssel véletlenszerűen változik.

Ha ugyanazon állandó, változatlan mennyiség ismételt mérését ugyanolyan körültekintéssel és feltételek mellett végezzük, akkor mérési eredményeket kapunk - ezek egy része eltér egymástól, és van, amelyik egybeesik. A mérési eredmények ilyen eltérései véletlenszerű hibakomponensek jelenlétére utalnak.

A véletlenszerű hiba sok forrás egyidejű működéséből adódik, amelyek mindegyike önmagában is észrevehetetlen hatással van a mérési eredményre, de az összes forrás összhatása meglehetősen erős lehet.

A véletlenszerű hibák minden mérés elkerülhetetlen következményei, és az alábbiakra vezethetők vissza:

a) pontatlan leolvasások a műszerek és műszerek skáláján;

b) nem azonos feltételek ismételt méréseknél;

c) véletlenszerű változások külső körülmények(hőmérséklet, nyomás, erőtér stb.), amelyek nem irányíthatók;

d) minden egyéb olyan mérési hatás, amelynek okai számunkra ismeretlenek. A véletlenszerű hiba nagysága minimalizálható a kísérlet ismételt megismétlésével és az eredmények megfelelő matematikai feldolgozásával.

Egy véletlenszerű hiba különböző abszolút értékeket vehet fel, ami egy adott mérési aktusra nem jelezhető előre. Ez a hiba egyaránt lehet pozitív és negatív is. A véletlenszerű hibák mindig jelen vannak egy kísérletben. Szisztematikus hibák hiányában az ismételt mérések szórását okozzák a valós érték körül.

Tegyük fel, hogy stopperóra segítségével megmérjük az inga lengési periódusát, és a mérést sokszor megismételjük. A stopper indításának és leállításának hibái, a referencia értékének hibája, az inga kismértékű egyenetlen mozgása - mindez szóródást okoz az ismételt mérések eredményeiben, ezért véletlenszerű hibák közé sorolható.

Ha nincs más hiba, akkor egyes eredményeket valamelyest túlbecsülnek, míg másokat kissé alulbecsülnek. De ha ezen kívül az óra is elmarad, akkor az összes eredményt alábecsülik. Ez már szisztematikus hiba.

Egyes tényezők egyszerre okozhatnak szisztematikus és véletlenszerű hibákat is. A stopperóra be- és kikapcsolásával tehát kis szabálytalan szórást hozhatunk létre az óra indításának és leállításának pillanataiban az inga mozgásához képest, és ezzel véletlenszerű hibát vezethetünk be. De ha emellett minden alkalommal, amikor rohanunk a stopperóra bekapcsolásával, és kissé késve kapcsoljuk ki, akkor ez szisztematikus hibához vezet.

A véletlenszerű hibákat a műszerskála osztásainak leolvasásakor fellépő parallaxis hiba, az épületalap megrázkódtatása, enyhe légmozgás hatása stb.

Bár lehetetlen kizárni az egyes mérések véletlenszerű hibáit, matematikai elmélet A véletlenszerű jelenségek lehetővé teszik, hogy csökkentsük ezeknek a hibáknak a befolyását a végső mérési eredményre. Az alábbiakban látható lesz, hogy ehhez nem egy, hanem több mérést kell végezni, és minél kisebb hibaértéket szeretnénk elérni, annál több mérést kell végezni.

Tekintettel arra, hogy a véletlenszerű hibák előfordulása elkerülhetetlen és elkerülhetetlen, minden mérési folyamat fő feladata a hibák minimálisra csökkentése.

A hibák elmélete két fő feltételezésen alapul, amelyeket a tapasztalat is megerősít:

1. Nagy számú méréssel azonos nagyságrendű véletlenszerű hibák, de eltérő jel, vagyis elég gyakoriak az eredmény növelése és csökkentése irányába mutató hibák.

2. A nagy abszolút hibák ritkábban fordulnak elő, mint a kicsik, így a hiba valószínűsége az érték növekedésével csökken.

A valószínűségi változók viselkedését statisztikai törvényszerűségek írják le, amelyek a valószínűségszámítás tárgyát képezik. A valószínűség statisztikai meghatározása w i fejlesztéseket én az a hozzáállás

ahol n - teljes szám kísérletek, n i- azon kísérletek száma, amelyekben az esemény én történt. Ebben az esetben a kísérletek teljes számának nagyon nagynak kell lennie ( n®¥). Nagyszámú mérésnél a véletlenszerű hibák normális eloszlásnak (Gauss-eloszlásnak) engedelmeskednek, amelynek fő jellemzői a következők:

1. Minél nagyobb a mért érték értékének eltérése a valódi értéktől, annál kisebb a valószínűsége egy ilyen eredménynek.

2. A valódi értéktől való mindkét irányú eltérés egyformán valószínű.

A fenti feltételezésekből az következik, hogy a véletlenszerű hibák befolyásának csökkentése érdekében ezt a mennyiséget többször meg kell mérni. Tegyük fel, hogy valamilyen x értéket mérünk. Legyen előállított n méretek: x 1 , x 2 , ... x n- ugyanazzal a módszerrel és ugyanolyan gondossággal. Arra lehet számítani, hogy a szám dn kapott eredményeket, amelyek meglehetősen szűk intervallumban helyezkednek el x előtt x + dx arányosnak kell lennie:

A felvett intervallum értéke dx;

A mérések teljes száma n.

Valószínűség dw(x), hogy valamilyen értéket x tól intervallumban fekszik x előtt x+dx, az alábbiak szerint határozzuk meg :

(a mérések számával n ®¥).

Funkció f(x) eloszlásfüggvénynek vagy valószínűségi sűrűségnek nevezzük.

A hibaelmélet posztulátumaként azt feltételezzük, hogy a közvetlen mérések eredményei és véletlenszerű hibái – nagyszámú ilyen esetben – megfelelnek a normális eloszlás törvényének.

A Gauss által talált folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x a következő formája van:

, ahol mis - eloszlási paraméterek .

A normális eloszlás m paramétere egyenlő az á középértékkel xñ egy valószínűségi változó, amelyet egy tetszőleges ismert eloszlásfüggvény esetén az integrál határoz meg

Ily módon az m érték a mért x érték legvalószínűbb értéke, azaz. legjobb becslése.

A normális eloszlás s 2 paramétere egyenlő a valószínűségi változó D varianciájával, amelyet általában a következő integrál határoz meg

Négyzetgyök az eltéréstől a valószínűségi változó szórásának nevezzük.

Az ásñ valószínűségi változó átlagos eltérését (hibáját) az eloszlásfüggvény segítségével határozzuk meg az alábbiak szerint

A Gauss-eloszlásfüggvényből számított átlagos mérési hiba ásñ az s szórással a következőképpen kapcsolódik:

< s > = 0,8 s.

Az s és m paraméterek a következőképpen kapcsolódnak egymáshoz:

Ez a kifejezés lehetővé teszi az s szórás meghatározását, ha van normális eloszlási görbe.

A Gauss-függvény grafikonja az ábrákon látható. Funkció f(x) szimmetrikus a pontban megrajzolt ordinátára x= m; pontban halad át a maximumon x= m és van egy inflexiója az m ±s pontokban. Így a diszperzió az eloszlásfüggvény szélességét jellemzi, vagy megmutatja, hogy egy valószínűségi változó értékei milyen szélesen szóródnak a valódi értékéhez képest. Hogyan pontos mérés, minél közelebb állnak a valódi értékhez az egyes mérések eredményei, pl. s értéke kisebb. Az A ábra a függvényt mutatja f(x) három értékre s .

Egy alak görbével határolt területe f(x) és a pontokból húzott függőleges vonalak x 1 és x 2 (B ábra) , számszerűen egyenlő annak valószínűségével, hogy a mérési eredmény a D intervallumba esik x = x 1 -x 2 , amelyet megbízhatósági szintnek nevezünk. A teljes görbe alatti terület f(x) egyenlő annak valószínűségével, hogy egy valószínűségi változó a 0 és ¥ közötti intervallumba esik, azaz.

mivel egy bizonyos esemény valószínűsége egyenlő eggyel.

A normál eloszlást használva a hibaelmélet két fő problémát vet fel és old meg. Az első a mérések pontosságának értékelése. A második a mérési eredmények számtani középértékének pontosságának felmérése.5. Megbízhatósági intervallum. Hallgatói együttható.

A valószínűségszámítás lehetővé teszi annak az intervallumnak a méretének meghatározását, amelyben ismert valószínűséggel w egyedi mérések eredményei. Ezt a valószínűséget ún bizalmi szint, és a megfelelő intervallum (<x>±D x)w hívott megbízhatósági intervallum. A konfidenciaszint megegyezik a konfidenciaintervallumba eső eredmények relatív arányával is.

Ha a mérések száma n elég nagy, akkor a megbízhatósági valószínűség a teljes szám arányát fejezi ki n azokat a méréseket, amelyekben a mért érték a konfidencia intervallumon belül volt. Mindegyik megbízhatósági szint w konfidencia intervallumának felel meg w 2 80%. Minél szélesebb a konfidenciaintervallum, annál valószínűbb, hogy az adott intervallumon belül eredményt kap. A valószínűség-elméletben kvantitatív összefüggést állapítanak meg a konfidenciaintervallum értéke, a konfidenciavalószínűség és a mérések száma között.

Ha az átlagos hibának megfelelő intervallumot választjuk konfidenciaintervallumnak, azaz D a = HIRDETÉS deñ, akkor kellően nagy számú mérés esetén a konfidenciavalószínűségnek felel meg w 60%. A mérések számának csökkenésével az ilyen konfidenciaintervallumnak megfelelő konfidenciavalószínűség (á deñ ± HIRDETÉS deñ) csökken.

Így egy valószínűségi változó konfidenciaintervallumának becsléséhez használhatjuk a D átlagos hiba értékét deñ .

Egy véletlen hiba nagyságának jellemzéséhez két számot kell beállítani, mégpedig a konfidencia intervallum nagyságát és a konfidenciavalószínűség nagyságát . Csak a hiba nagyságának megadása a megfelelő megbízhatósági valószínűség nélkül nagyrészt értelmetlen.

Ha ismert az átlagos mérési hiba ásñ, akkor a konfidencia intervallum a következőképpen írható fel:<x> ±asñ) w, megbízhatósági valószínűséggel határozzuk meg w= 0,57.

Ha ismert az s szórás a mérési eredmények eloszlása, a jelzett intervallum alakja (<x>± tw s) w, ahol tw- a megbízhatósági valószínűség értékétől függő és a Gauss-eloszlás szerint számított együttható.

A leggyakrabban használt mennyiségek D x az 1. táblázatban láthatók.

A méréseket ún egyenes, ha a mennyiségek értékét közvetlenül a műszerek határozzák meg (pl. hosszmérés vonalzóval, idő meghatározása stopperórával stb.). A méréseket ún közvetett, ha a mért mennyiség értékét a mért fajlagos összefüggéshez kapcsolódó egyéb mennyiségek közvetlen mérése határozza meg.

Véletlenszerű hibák a közvetlen méréseknél

Abszolút és relatív hiba. Tartsák meg N azonos mennyiség mérése x szisztematikus hiba hiányában. Az egyes mérési eredmények így néznek ki: x 1 ,x 2 , …,x N. A mért mennyiség átlagértéke a legjobb:

Abszolút hiba Az egyetlen mérést az alak különbségének nevezzük:

Átlagos abszolút hiba N egyedi mérések:

(2)

hívott átlagos abszolút hiba.

Relatív hiba az átlagos abszolút hiba és a mért mennyiség átlagos értékének aránya:

. (3)

Műszerhibák a közvetlen méréseknél

Ha nincs külön utasítás, a műszer hibája az osztásérték felével egyenlő (vonalzó, főzőpohár).

A nóniuszos műszerek hibája megegyezik a nóniusz osztásértékével (mikrométer - 0,01 mm, tolómérő - 0,1 mm).

A táblázatos értékek hibája megegyezik az utolsó számjegy egységének felével (az utolsó jelentős számjegy után következő sorrend öt egysége).

Az elektromos mérőműszerek hibáját a pontossági osztály szerint számítják ki TÓL TŐL a műszer skálán feltüntetve:

Például:
És
,

ahol U maxÉs én max– a készülék méréshatára.

A digitális jelzésű készülékek hibája megegyezik a jelzés utolsó számjegyének mértékegységével.

A véletlenszerű és műszeres hibák értékelése után azt veszik figyelembe, amelyiknek az értéke nagyobb.

A közvetett mérések hibáinak számítása

A legtöbb mérés közvetett. Ebben az esetben a kívánt X érték több változó függvénye de,b, c… , melynek értékei közvetlen méréssel is megtalálhatók: Х = f( a, b, c…).

A közvetett mérések eredményének számtani átlaga egyenlő lesz:

X = f( a, b, c…).

A hiba kiszámításának egyik módja az X = f() függvény természetes logaritmusának differenciálása a, b, c...). Ha például a kívánt X értéket az X = összefüggés határozza meg , akkor a logaritmus felvétele után a következőt kapjuk: lnX = ln a+ln b+ln( c+ d).

Ennek a kifejezésnek a különbsége:

A közelítő értékek számításánál a relatív hibára a következő formában írható:

 =
. (4)

Az abszolút hiba ebben az esetben a következő képlettel számítható ki:

Х = Х(5)

Így a hibák kiszámítása és a közvetett mérések eredményének kiszámítása a következő sorrendben történik:

1) Végezze el az eredeti képletben szereplő összes mennyiség mérését a végeredmény kiszámításához.

2) Számítsa ki az egyes mért értékek számtani középértékeit és azok abszolút hibáit.

3) Helyettesítse be az eredeti képletben az összes mért érték átlagértékét, és számítsa ki a kívánt érték átlagértékét:

X = f( a, b, c…).

4) Vegyük az eredeti képlet logaritmusát X = f( a, b, c...) és írja le a relatív hiba kifejezését a (4) képlet formájában.

5) Számítsa ki a relatív hibát  = .

6) Számítsa ki az eredmény abszolút hibáját az (5) képlet segítségével!

7) A végeredményt így írjuk:

X \u003d X vö X

A legegyszerűbb függvények abszolút és relatív hibáit a táblázat tartalmazza:

Abszolút

hiba

Relatív

hiba

a+ b

a+ b

A mérőműszerben rejlő hibák, a választott módszer és méréstechnika, a mérés külső feltételeinek eltérése a megállapítottaktól, és egyéb okok miatt szinte minden mérés eredménye hibával terhelt. Ezt a hibát kiszámítják vagy becsülik, és a kapott eredménynek tulajdonítják.

Mérési hiba(röviden - mérési hiba) - a mérési eredmény eltérése a mért mennyiség valódi értékétől.

A mennyiség valódi értéke a hibák jelenléte miatt ismeretlen marad. Megoldására szolgál elméleti feladatokat metrológia. A gyakorlatban a mennyiség tényleges értékét alkalmazzák, amely a valódi értéket helyettesíti.

A mérési hibát (Δx) a következő képlet határozza meg:

x = x mérték. - x tényleges (1.3)

ahol x azt jelenti. - a mérések alapján kapott mennyiség értéke; x tényleges a valósnak vett mennyiség értéke.

Az egyszeri mérések valós értékét gyakran egy példaértékű mérőműszer segítségével nyert értékként veszik, ismételt méréseknél - az ebben a sorozatban szereplő egyedi mérések értékeinek számtani átlagát.

A mérési hibák a következő kritériumok szerint osztályozhatók:

A megnyilvánulás jellege szerint - szisztematikus és véletlenszerű;

Kifejezés útján - abszolút és relatív;

A mért érték megváltoztatásának feltételei szerint - statikus és dinamikus;

A feldolgozási módszer szerint számos mérés - aritmetikai és négyzetes átlag;

A mérési feladat lefedettségének teljessége szerint - privát és teljes;

Az egységhez viszonyítva fizikai mennyiség— az egység reprodukálásának, az egység tárolásának és az egység méretének továbbításának hibái.

Szisztematikus mérési hiba(röviden - szisztematikus hiba) - a mérési eredmény hibájának olyan összetevője, amely egy adott méréssorozat során állandó marad, vagy ugyanazon fizikai mennyiség ismételt mérése során rendszeresen változik.

A megnyilvánulás jellege szerint a szisztematikus hibákat állandóra, progresszívre és periodikusra osztják. Állandó szisztematikus hibák(röviden - állandó hibák) - hibák, hosszú időértékük megtartása (például a teljes méréssorozat alatt). Ez a leggyakoribb hibatípus.

Progresszív szisztematikus hibák(röviden - progresszív hibák) - folyamatosan növekvő vagy csökkenő hibák (például a mérőcsúcsok kopása miatti hibák, amelyek csiszolás közben érintkeznek egy alkatrészrel, amikor azt aktív vezérlőberendezés vezérli).

Időszakos szisztematikus hiba(röviden - periodikus hiba) - olyan hiba, amelynek értéke az idő függvénye vagy a mutató mozgásának függvénye mérőeszköz(például az excentricitás jelenléte a körkörös skálájú goniométerekben szisztematikus hibát okoz, amely periodikus törvény szerint változik).

A szisztematikus hibák megjelenésének okai alapján vannak műszeres hibák, módszerhibák, szubjektív hibák és a külső mérési feltételeknek a bevett módszerektől való eltéréséből adódó hibák.

Műszeres mérési hiba(röviden - műszerhiba) számos ok eredménye: a készülék alkatrészeinek kopása, túlzott súrlódás a készülék mechanizmusában, pontatlan ütések a skálán, eltérés a tényleges és névleges értékek intézkedések stb.

Mérési módszer hiba(röviden - a módszer hibája) a mérési eljárás tökéletlensége vagy a mérési eljárás által megállapított egyszerűsítése miatt keletkezhet. Ilyen hiba lehet például a gyors folyamatok paramétereinek mérésénél használt mérőműszerek elégtelen sebessége, vagy az anyag sűrűségének meghatározásakor a nem számba vett szennyeződések a tömeg- és térfogatmérési eredmények alapján.

Szubjektív mérési hiba(röviden - szubjektív hiba) az operátor egyéni hibáiból adódik. Néha ezt a hibát személyes különbségnek nevezik. Ezt például a jelzés kezelő általi elfogadásának késése vagy előrehaladása okozza.

Eltérés hiba(egyirányú) a mérési eljárással megállapított külső mérési feltételek a mérési hiba szisztematikus összetevőjének fellépéséhez vezetnek.

A szisztematikus hibák torzítják a mérési eredményt, ezért lehetőség szerint ki kell küszöbölni azokat korrekciók bevezetésével vagy a műszer olyan beállításával, hogy a szisztematikus hibákat az elfogadható minimumra csökkentsék.

Nem kizárt szisztematikus hiba(röviden - nem kizárt hiba) - ez a mérési eredmény hibája, amely a számítási és korrekció bevezetésének hibája miatt következett be egy szisztematikus hiba hatására, vagy egy kis szisztematikus hiba, amelynek korrekciója nem kerül bevezetésre kicsiség.

Az ilyen típusú hibákat néha úgy emlegetik nem kizárt torzítási maradékok(röviden - nem kizárt egyenlegek). Például egy vonalmérő hosszának a referenciasugárzás hullámhosszaiban történő mérésekor több nem kizárt szisztematikus hiba is kiderült (i): pontatlan hőmérsékletmérés miatt - 1 ; a levegő törésmutatójának pontatlan meghatározása miatt - 2, a hullámhossz pontatlan értéke miatt - 3.

Általában a ki nem zárt szisztematikus hibák összegét veszik figyelembe (határuk meg van szabva). Ha a tagok száma N ≤ 3, a nem kizárt szisztematikus hibák határait a képlet számítja ki

Ha a tagok száma N ≥ 4, a képletet használják a számításokhoz

(1.5)

ahol k a nem kizárt szisztematikus hibák függőségi együtthatója a választott P megbízhatósági valószínűségtől, egyenletes eloszlásukkal. P=0,99-nél k=1,4, P=0,95-nél k=1,1.

Véletlenszerű mérési hiba(röviden - véletlen hiba) - a mérési eredmény hibájának olyan összetevője, amely véletlenszerűen (előjelben és értékben) változik egy fizikai mennyiség azonos méretű méréssorozatában. Véletlenszerű hibák okai: kerekítési hibák leolvasáskor, leolvasási eltérések, mérési feltételek véletlenszerű természetű változásai stb.

A véletlenszerű hibák a mérési eredmények szóródását okozzák egy sorozatban.

A hibák elmélete két kitételen alapul, amelyeket a gyakorlat is megerősít:

1. Nagy számú mérésnél azonos számértékű, de eltérő előjelű véletlenszerű hibák egyformán gyakran előfordulnak;

2. A nagy (abszolút értékben) hibák kevésbé gyakoriak, mint a kicsik.

A gyakorlat szempontjából fontos következtetés következik az első pozícióból: a mérések számának növekedésével a mérési sorozatból kapott eredmény véletlenszerű hibája csökken, mivel ennek a sorozatnak az egyes mérési hibáinak összege nullára irányul, azaz

(1.6)

Például a mérések eredményeként értékek sorozatát kaptuk elektromos ellenállás(amelyeket a szisztematikus hibák hatásaira korrigálunk): R 1 = 15,5 ohm, R 2 = 15,6 ohm, R 3 = 15,4 ohm, R 4 = 15,6 ohm és R 5 = 15,4 ohm. Ezért R = 15,5 ohm. Az R-től való eltérések (R 1 \u003d 0,0; R 2 \u003d +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm és R 5 = -0,1 Ohm) az egyedi mérések véletlenszerű hibái adott sorozat. Könnyen belátható, hogy az R i összeg = 0,0. Ez azt jelzi, hogy ennek a sorozatnak az egyes méréseinek hibáit helyesen számították ki.

Annak ellenére, hogy a mérések számának növekedésével a véletlenszerű hibák összege nullára hajlik. ezt a példát történetesen az volt nulla), meg kell becsülni a mérési eredmény véletlenszerű hibáját. A valószínűségi változók elméletében az o2 diszperziója a valószínűségi változó értékeinek diszperziójának jellemzője. "| / o2 \u003d a az általános sokaság szórása vagy szórása.

Kényelmesebb, mint a diszperzió, mivel mérete egybeesik a mért mennyiség dimenziójával (például a mennyiség értékét voltban kapjuk, a szórása is voltban lesz). Mivel a mérések gyakorlatában a „hiba” kifejezéssel foglalkozunk, ezért számos mérés jellemzésére az ebből származó „négyzetes hiba gyökér” kifejezést kell használni. Számos mérés jellemezhető a számtani középhibával vagy a mérési eredmények tartományával.

A mérési eredmények tartománya (röviden - tartomány) az n mérésből álló sorozatot (vagy mintát) alkotó egyedi mérések legnagyobb és legkisebb eredménye közötti algebrai különbség:

R n \u003d X max - X min (1,7)

ahol Rn a tartomány; X max és X min - a legnagyobb és legkisebb értékértékek egy adott méréssorozatban.

Például a d furatátmérő öt méréséből az R 5 = 25,56 mm és az R 1 = 25,51 mm értékek bizonyultak a maximális és minimális értéknek. Ebben az esetben R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. Ez azt jelenti, hogy ennek a sorozatnak a fennmaradó hibái kisebbek, mint 0,05 mm.

Egy sorozat egyetlen mérésének átlagos számtani hibája(röviden - a számtani középhiba) - az egyes mérési eredmények (azonos értékű) általánosított (véletlenszerű okok miatti) szórási karakterisztikája, amely n egyforma pontosságú független mérés sorozatába kerül, a képlettel számítható ki.

(1.8)

ahol X i a sorozatban szereplő i-edik mérés eredménye; x a következő mennyiség n értékének számtani átlaga: |X i - X| az i-edik mérés hibájának abszolút értéke; r a számtani közép hiba.

A p számtani középhiba valódi értékét az arányból határozzuk meg

p = lim r, (1,9)

Ha a mérések száma n > 30, a számtani átlag (r) és az átlagos négyzet között (s) vannak összefüggések

s = 1,25r; r és = 0,80 s. (1,10)

A számtani átlaghiba előnye a kiszámításának egyszerűsége. De még mindig gyakrabban határozza meg az átlagos négyzetes hibát.

Gyökközép négyzetes hiba sorozatban végzett egyedi mérés (röviden - négyzetes átlaghiba) - egy sorozatban szereplő egyedi mérési eredmények (azonos értékű) általános szórási karakterisztikája (véletlenszerű okokból). P ugyanolyan pontos független mérések, a képlet alapján számítva

(1.11)

Az S statisztikai határát jelentő o általános minta négyzetes középhibája /i-mx > esetén a következő képlettel számítható ki:

Σ = limS (1.12)

A valóságban a dimenziók száma mindig korlátozott, így nem σ kerül kiszámításra , és hozzávetőleges értéke (vagy becslése), amely s. A több P, minél közelebb van s a σ határához .

Normál eloszlás mellett kicsi annak a valószínűsége, hogy egy sorozat egyetlen mérésének hibája nem haladja meg a számított négyzetes hibahatárt: 0,68. Ezért 100-ból 32 esetben vagy 10-ből 3 esetben a tényleges hiba nagyobb lehet, mint a számított.

1.2 ábra Több mérés eredménye véletlen hibája értékének csökkenése sorozatban végzett mérések számának növekedésével

Egy méréssorozatban összefüggés van egy egyedi mérés s effektív hibája és az S x számtani közép effektív hibája között:

amelyet gyakran "Y n szabályának" neveznek. Ebből a szabályból következik, hogy a véletlenszerű okok hatásából adódó mérési hiba n-szeresére csökkenthető, ha n darab azonos méretű mérést végzünk bármilyen mennyiségben, és a számtani középértéket vesszük végeredménynek (1.2. ábra). ).

Egy sorozatban legalább 5 mérés elvégzése lehetővé teszi a véletlenszerű hibák hatásának több mint 2-szeres csökkentését. 10 mérésnél a véletlenszerű hiba hatása 3-szorosára csökken. A mérések számának további növelése gazdaságilag nem mindig kivitelezhető, és általában csak a nagy pontosságot igénylő kritikus méréseknél hajtják végre.

Egyetlen mérés négyzetes középhibáját homogén kettős mérések sorozatából S α a következő képlettel számítjuk ki

(1.14)

ahol x" i és x"" i egy mérőműszerrel előre és hátrafelé irányuló azonos méretű mérések i-edik eredménye.

Egyenlőtlen méréseknél a sorozat számtani átlagának négyzetes középhibáját a képlet határozza meg

(1.15)

ahol p i az i-edik mérés súlya egyenlőtlen méréssorozatban.

Az Y mennyiség közvetett mérési eredményének négyzetes középhibája, amely Y \u003d F (X 1, X 2, X n) függvénye, a következő képlettel számítható ki.

(1.16)

ahol S 1 , S 2 , S n az X 1 , X 2 , X n mérési eredmények négyzetes középhibái.

Ha a kielégítő eredmény megszerzésének nagyobb megbízhatósága érdekében több mérési sorozatot végzünk, akkor az m sorozatból származó egyedi mérés négyzetes középhibáját a képlet segítségével kapjuk meg.

(1.17)

ahol n a mérések száma a sorozatban; N a mérések teljes száma az összes sorozatban; m a sorozatok száma.

Korlátozott számú mérés esetén gyakran szükséges ismerni az RMS hibát. A (2.7) képlettel számított S hiba és a (2.12) képlettel számított S m hiba meghatározásához a következő kifejezéseket használhatja

(1.18)

(1.19)

ahol S és S m az S és S m átlagos négyzetes hibája.

Például egy x hosszúságú méréssorozat eredményeinek feldolgozásakor azt kaptuk

= 86 mm 2 n = 10-nél,

= 3,1 mm

= 0,7 mm vagy S = ±0,7 mm

Az S = ±0,7 mm érték azt jelenti, hogy a számítási hiba miatt s 2,4-3,8 mm tartományba esik, ezért itt a tizedmilliméterek megbízhatatlanok. A vizsgált esetben fel kell írni: S = ±3 mm.

Annak érdekében, hogy a mérési eredmény hibájának becslésében nagyobb megbízhatóság legyen, kiszámítjuk a hiba megbízhatósági hibáját vagy konfidenciahatárait. Normál eloszlási törvény esetén a hiba konfidenciahatárait ±t-s vagy ±t-s x-ként számítjuk ki, ahol s és s x a sorozat egyetlen mérésének négyzetes középhibája, illetve a számtani átlag; t a P konfidenciaszinttől és az n mérések számától függő szám.

Fontos fogalom a mérési eredmény megbízhatósága (α), azaz. annak a valószínűsége, hogy a mért mennyiség kívánt értéke egy adott konfidencia intervallumba esik.

Például, amikor szerszámgépeken stabil technológiai módban dolgoznak fel alkatrészeket, a hibák eloszlása megfelel a normál törvénynek. Tegyük fel, hogy az alkatrészhossz-tűrés 2a. Ebben az esetben az a konfidenciaintervallum, amelyben az a rész hosszának kívánt értéke található, (a - a, a + a) lesz.

Ha 2a = ±3s, akkor az eredmény megbízhatósága a = 0,68, azaz 100-ból 32 esetben az alkatrészméret várhatóan meghaladja a 2a tűréshatárt. Az alkatrész minőségének 2a = ±3s tűrés szerinti értékelésénél az eredmény megbízhatósága 0,997 lesz. Ebben az esetben 1000-ből csak három alkatrész várhatóan túllépi a megállapított tűréshatárt, azonban a megbízhatóság növelése csak az alkatrész hosszának hibájának csökkentésével lehetséges. Tehát ahhoz, hogy a megbízhatóságot a = 0,68-ról a = 0,997-re növeljük, az alkatrész hosszának hibáját háromszorosára kell csökkenteni.

Nemrég kapott széleskörű felhasználás a „mérés megbízhatósága”. Egyes esetekben indokolatlanul használják a „mérési pontosság” kifejezés helyett. Például egyes forrásokban megtalálható a "mérések egységének és megbízhatóságának megteremtése az országban" kifejezés. Míg helyesebb lenne azt mondani, hogy „az egység megteremtése és a mérések előírt pontossága”. A megbízhatóságot minőségi jellemzőnek tekintjük, amely a véletlenszerű hibák nullához való közelségét tükrözi. Mennyiségileg a mérések megbízhatatlanságán keresztül határozható meg.

A mérési bizonytalanság(röviden - megbízhatatlanság) - a véletlenszerű hibák (statisztikai és nem statisztikai módszerekkel meghatározott) (statisztikus és nem statisztikai módszerekkel meghatározott) mérési sorozat eredményei közötti eltérések értékelése, amelyet az értékek tartománya jellemez. amelyen a mért mennyiség valódi értéke található.

A Nemzetközi Súly- és Mértékiroda ajánlásaival összhangban a bizonytalanságot a teljes effektív mérési hiba - Su -ban fejezzük ki, beleértve az S effektív hibát (statisztikai módszerekkel meghatározva) és az u effektív hibát (nem statisztikai módszerekkel határozzuk meg) , azaz

(1.20)

Mérési hiba határértéke(röviden - határhiba) - a maximális mérési hiba (plusz, mínusz), amelynek valószínűsége nem haladja meg a P értékét, míg az 1 - P különbség jelentéktelen.

Például normál eloszlás esetén a ±3s véletlenszerű hiba valószínűsége 0,997, az 1-P = 0,003 különbség pedig jelentéktelen. Ezért sok esetben a ±3s megbízhatósági hibát veszik határnak, azaz. pr = ±3s. Ha szükséges, a pr-nek más kapcsolata is lehet s-vel kellően nagy P esetén (2s, 2,5s, 4s stb.).

Azzal kapcsolatban, hogy a GSI-szabványokban a "négyzetes hibagyökér" kifejezés helyett a "négyzetes eltérés" kifejezést használják, a további okfejtésekben ennél a kifejezésnél maradunk.

Abszolút mérési hiba(röviden - abszolút hiba) - mérési hiba, a mért érték egységeiben kifejezve. Tehát az X rész hosszának mérésének X hibája mikrométerben kifejezve abszolút hiba.

Az „abszolút hiba” és az „abszolút hibaérték” kifejezéseket nem szabad összetéveszteni, amely a hiba értéke az előjel figyelembevétele nélkül. Tehát, ha az abszolút mérési hiba ±2 μV, akkor a hiba abszolút értéke 0,2 μV lesz.

Relatív mérési hiba(röviden - relatív hiba) - mérési hiba, a mért érték töredékében vagy százalékban kifejezve. A δ relatív hibát a következő arányokból kapjuk meg:

(1.21)

Például létezik az alkatrészhossz x = 10,00 mm valós értéke és a hiba abszolút értéke x = 0,01 mm. A relatív hiba az lesz

Statikus hiba a mérési eredménynek a statikus mérés körülményeiből adódó hibája.

Dinamikus hiba a mérési eredmény hibája a dinamikus mérés körülményei miatt.

Egységreprodukciós hiba- a fizikai mennyiség egységnyi reprodukálásakor végzett mérések eredményének hibája. Tehát az egység állapotszabvány segítségével történő reprodukálásának hibája összetevői formájában van feltüntetve: egy nem kizárt szisztematikus hiba, amelyet a határa jellemez; véletlen hiba, amelyet az s szórás és az éves instabilitás ν jellemez.

Egységméret átviteli hiba az egység méretének továbbítása során végzett mérések eredményének hibája. Az egységméret átviteli hibája magában foglalja a nem kizárt szisztematikus hibákat és az egységméret-átvitel módszerének és eszközének (például összehasonlító) véletlenszerű hibáit.

absztrakt

Abszolút és relatív hiba

Bevezetés

Abszolút hiba - az abszolút mérési hiba becslése. Számított különböző utak. A számítási módszert a valószínűségi változó eloszlása határozza meg. Ennek megfelelően az abszolút hiba nagysága a valószínűségi változó eloszlásától függően eltérő lehet. Ha a mért érték, és az igazi érték, akkor az egyenlőtlenség ki kell elégíteni valamilyen 1-hez közeli valószínűséggel. Ha a valószínűségi változó normáltörvény szerint eloszlik, akkor általában ennek szórását veszik abszolút hibának. Az abszolút hibát ugyanabban a mértékegységben mérjük, mint magát az értéket.

Számos módja van a mennyiségnek az abszolút hibájával együtt.

· Általában aláírt jelölést használnak ± . Például az 1983-ban felállított 100 méteres rekord az 9,930±0,005 s.

· A nagyon nagy pontossággal mért értékek rögzítéséhez egy másik jelölést használnak: a mantissza utolsó számjegyeinek hibájának megfelelő számokat zárójelben adják hozzá. Például a Boltzmann-állandó mért értéke az 1,380 6488 (13) × 10?23 J/K, ami sokkal hosszabban is írható, mint 1,380 6488 × 10?23 ± 0.000 0013×10?23 J/K.

Relatív hiba- mérési hiba, az abszolút mérési hiba és a mért mennyiség tényleges vagy átlagos értékének arányában kifejezve (RMG 29-99):.

A relatív hiba dimenzió nélküli mennyiség, vagy százalékban mérjük.

1. Mit nevezünk közelítő értéknek?

Túl sok és túl kevés? A számítások során gyakran közelítő számokkal kell számolni. Legyen DE- egy bizonyos mennyiség pontos értéke, a továbbiakban pontos szám DE.A mennyiség hozzávetőleges értéke alatt DE,vagy hozzávetőleges számokhívott egy számot de, amely a mennyiség pontos értékét helyettesíti DE.Ha de< DE,azután dea szám közelítő értékének nevezzük És híján.Ha de> DE,- azután feleslegben.Például a 3,14 a szám közelítése ? hiány, 3,15 pedig többlet. Ennek a közelítésnek a pontosságának jellemzésére a fogalmat használjuk hibákat vagy hibákat.

hiba ?dehozzávetőleges szám deaz alak különbségének nevezzük

?a = A - a,

ahol DEa megfelelő pontos szám.

Az ábrán látható, hogy az AB szakasz hossza 6 cm és 7 cm között van.

Ez azt jelenti, hogy a 6 az AB szegmens hosszának hozzávetőleges értéke (centiméterben)\u003e hiány esetén, a 7 pedig felesleggel.

A szakasz hosszát y betűvel jelölve a következőt kapjuk: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина szegmensAB (lásd: 149. ábra) közelebb van a 6 cm-hez, mint a 7 cm-hez. Körülbelül 6 cm-nek felel meg. Azt mondják, hogy a 6-os számot úgy kaptuk, hogy a szakasz hosszát egész számokra kerekítettük.

. Mi az a közelítési hiba?

A) abszolút?

B) Rokon?

A) A közelítés abszolút hibája egy mennyiség valódi értéke és közelítő értéke közötti különbség modulusa. |x - x_n|, ahol x a valódi érték, x_n a közelítő érték. Például: Egy A4-es papírlap hossza (29,7 ± 0,1) cm, Szentpétervár és Moszkva távolsága pedig (650 ± 1) km. Az abszolút hiba az első esetben nem haladja meg az egy millimétert, a másodikban pedig az egy kilométert. A kérdés az, hogy össze kell hasonlítani ezeknek a méréseknek a pontosságát.

Ha úgy gondolja, hogy a lap hosszát pontosabban mérik, mert az abszolút hiba nem haladja meg az 1 mm-t. Akkor tévedsz. Ezeket az értékeket nem lehet közvetlenül összehasonlítani. Indokoljunk egy kicsit.

A lap hosszának mérésekor az abszolút hiba nem haladja meg a 0,1 cm-t 29,7 cm-rel, azaz százalékban a mért érték 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% -a.

Amikor Szentpétervártól Moszkváig mérjük a távolságot, az abszolút hiba nem haladja meg az 1 km-t 650 km-enként, ami 1/650 * 100% = a mért érték 0,15%-a százalékban. Látjuk, hogy a városok közötti távolságot pontosabban mérik, mint egy A4-es lap hosszát.

B) A közelítés relatív hibája az abszolút hiba és a mennyiség közelítő értékének modulusának aránya.

matematikai hibatört

ahol x a valódi érték, x_n a közelítő érték.

A relatív hibát általában százaléknak nevezik.

Példa. A 24,3-as számot egységekre kerekítve 24-et kapunk.

A relatív hiba egyenlő. Azt mondják, hogy a relatív hiba ebben az esetben 12,5%.

) Milyen kerekítést nevezünk kerekítésnek?

A) hátránnyal?

b) Túl sok?

A) lefelé kerekítés

Ha egy tizedes törtként kifejezett számot 10^(-n-en belülre) kerekítünk, akkor hiányosság esetén a tizedesvessző utáni első n számjegy megmarad, a rákövetkezők pedig el lesznek vetve.

Például, ha a 12,4587-et a legközelebbi ezredre kerekíti egy hátrányos értékre, az 12,458-at eredményez.

B) Felfelé kerekítés

Egy tizedes törtként kifejezett szám 10^(-n-ig) kerekítésekor a tizedesvessző utáni első n számjegyet a rendszer többséggel megtartja, a rákövetkezőket pedig eldobja.

Például, ha a 12,4587-et a legközelebbi ezredre kerekíti egy hátrányos értékre, az 12,459-et eredményez.

) A tizedesjegyek kerekítésének szabálya.

Szabály. A tizedesnek az egész vagy a tört rész egy bizonyos számjegyére való kerekítéséhez minden kisebb számjegyet nullára cserélünk vagy eldobunk, és a kerekítés során eldobott számjegyet megelőző számjegy nem változtatja meg az értékét, ha utána 0, 1, 2, 3, 4, és 1-gyel (egy) nő, ha a számok 5, 6, 7, 8, 9.

Példa. A 93,70584 tört kerekítése erre:

tízezrelék: 93,7058

ezredrész: 93,706

századrész: 93,71

tized: 93,7

egész szám: 94

tízesek: 90

Az abszolút hibák egyenlősége ellenére, mivel a mért mennyiségek eltérőek. Minél nagyobb a mért méret, annál kisebb a relatív hiba állandó abszolút mellett.

Korrepetálás

Segítségre van szüksége egy téma tanulásában?

Szakértőink tanácsot adnak vagy oktatói szolgáltatásokat nyújtanak az Önt érdeklő témákban.
Jelentkezés benyújtása a téma azonnali megjelölésével, hogy tájékozódjon a konzultáció lehetőségéről.

Azt is ajánljuk

Betöltés...