Hogyan kell helyesen megoldani a racionális egyenleteket. Racionális egyenletek

Maguk a törtekkel rendelkező egyenletek nem bonyolultak és nagyon érdekesek. Vegye figyelembe a típusokat törtegyenletekés megoldásuk módjai.

Hogyan oldjunk meg egyenleteket törtekkel - x a számlálóban

Ha egy törtegyenletet adunk meg, ahol az ismeretlen szerepel a számlálóban, a megoldás nem igényel további feltételeket, és anélkül megoldható. extra gond. Általános forma egy ilyen egyenlet x/a + b = c, ahol x egy ismeretlen, a, b és c közönséges számok.

Keresse meg x: x/5 + 10 = 70.

Az egyenlet megoldásához meg kell szabadulni a törtektől. Szorozzuk meg az egyenlet minden tagját 5-tel: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x-et és 5-öt csökkentjük, 10-et és 70-et megszorozzuk 5-tel, és a következőt kapjuk: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Keresse meg x: x/5 + x/10 = 90.

Ez a példa egy kicsit bonyolultabb változata az elsőnek. Itt két megoldás létezik.

• 1. lehetőség: Szabaduljon meg a törtektől úgy, hogy az egyenlet összes tagját megszorozza a nagyobb nevezővel, azaz 10-zel: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• 2. lehetőség: Adja hozzá az egyenlet bal oldalát. x/5 + x/10 = 90. A közös nevező: 10. A 10-et elosztjuk 5-tel, megszorozzuk x-szel, 2x-et kapunk. 10 elosztva 10-zel, szorozva x-szel, x-et kapunk: 2x+x/10 = 90. Ebből következik, hogy 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Gyakran vannak olyan törtegyenletek, amelyekben az x-ek az egyenlőségjel ellentétes oldalán helyezkednek el. Ilyen helyzetben át kell vinni az összes törtet x-szel egy irányba, és a számokat egy másik irányba.

• Keresse meg x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Mozogjon 2x/5-öt jobbra az ellenkező előjellel: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• 5x/5-tel csökkentjük, és megkapjuk: x = 130.

Hogyan lehet megoldani egy egyenletet törtekkel - x a nevezőben

Az ilyen típusú törtegyenletek további feltételeket igényelnek. Ezen feltételek feltüntetése kötelező és szerves része helyes döntés. Azzal, hogy nem osztja meg őket, kockáztatja, mivel a válasz (még ha helyes is) egyszerűen nem számítható be.

A törtegyenletek általános formája, ahol x szerepel a nevezőben, a következő: a/x + b = c, ahol x egy ismeretlen, a, b, c közönséges számok. Ne feledje, hogy x nem tetszőleges szám. Például x nem lehet nulla, mivel nem lehet osztani 0-val. Ez az, ami további feltétel, amelyet meg kell határoznunk. Ezt az elfogadható értékek tartományának nevezik, rövidítve - ODZ.

Keresse meg x: 15/x + 18 = 21.

Azonnal felírjuk az ODZ-t x-re: x ≠ 0. Most, hogy az ODZ-t jeleztük, megoldjuk az egyenletet a szabványos séma törtektől való megszabadulás. Az egyenlet összes tagját megszorozzuk x-szel. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Gyakran előfordulnak olyan egyenletek, ahol a nevező nemcsak x-et, hanem más műveletet is tartalmaz vele, például összeadást vagy kivonást.

Keresse meg x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Azt már tudjuk, hogy a nevező nem lehet egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy x-3 ≠ 0. A -3-at átvisszük a jobb oldalra, miközben a „-” jelet „+”-ra változtatjuk, és azt kapjuk, hogy x ≠ 3. ODZ jelzett.

Oldja meg az egyenletet, szoroz meg mindent x-3-mal: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Mozgasd az x-eket jobbra, a számokat balra: 24 = 3x => x = 8.

Az óra céljai:

Oktatóanyag:

• tört racionális egyenletek fogalmának kialakítása;
• a tört racionális egyenletek megoldásának különféle módjainak mérlegelése;
• fontoljon meg egy algoritmust a tört racionális egyenletek megoldására, beleértve azt a feltételt is, hogy a tört egyenlő nullával;
• tört racionális egyenletek megoldásának tanítása az algoritmus szerint;
• a téma asszimilációs szintjének ellenőrzése tesztmunka lebonyolításával.

Fejlesztés:

• a megszerzett tudással való helyes működés, a logikus gondolkodás képességének fejlesztése;
• intellektuális készségek és mentális műveletek fejlesztése - elemzés, szintézis, összehasonlítás és általánosítás;
• a kezdeményezőkészség, a döntési képesség fejlesztése, nem áll meg itt;
• fejlődés kritikus gondolkodás;
• kutatási készségek fejlesztése.

Gondoskodó:

• nevelés kognitív érdeklődés a tárgyhoz;
• önállóságra nevelés a nevelési problémák megoldásában;
• akarat és kitartás nevelése a végső eredmények elérése érdekében.

Az óra típusa: lecke - új anyag magyarázata.

Az órák alatt

1. Szervezeti mozzanat.

Helló srácok! Az egyenletek fel vannak írva a táblára, alaposan nézze meg őket. Meg tudod oldani ezeket az összes egyenletet? Melyek nem és miért?

Azokat az egyenleteket, amelyekben a bal és a jobb oldal tört racionális kifejezések, tört racionális egyenleteknek nevezzük. Mit gondolsz, mit fogunk tanulni ma a leckében? Fogalmazd meg az óra témáját! Tehát kinyitjuk a jegyzetfüzeteket, és felírjuk a „Tört racionális egyenletek megoldása” lecke témáját.

2. A tudás aktualizálása. Frontális felmérés, szóbeli munka az osztállyal.

És most megismételjük a fő elméleti anyagot, amelyet tanulmányoznunk kell új téma. Kérjük, válaszoljon a következő kérdésekre:

1. Mi az egyenlet? ( Változóval vagy változókkal való egyenlőség.)
2. Mi a neve az 1. egyenletnek? ( Lineáris.) Megoldás módja lineáris egyenletek. (Helyezzen mindent az ismeretlennel az egyenlet bal oldalára, az összes számot jobbra. Hozz hasonló kifejezéseket. Keresse meg az ismeretlen szorzót).
3. Hogy hívják a 3. egyenletet? ( Négyzet.) Másodfokú egyenletek megoldási módszerei. ( A teljes négyzet kiválasztása képletekkel, a Vieta-tétel felhasználásával és következményei.)
4. Mi az arány? ( Két összefüggés egyenlősége.) Az arányosság fő tulajdonsága. ( Ha az arány igaz, akkor szélső tagjainak szorzata megegyezik a középső tagok szorzatával.)
5. Milyen tulajdonságokat használunk az egyenletek megoldására? ( 1. Ha az egyenletben a tagot egyik részből a másikba visszük át, előjelét megváltoztatva, akkor az adott egyenletet kapunk. 2. Ha az egyenlet mindkét részét ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor egy egyenletet kapunk, amely ekvivalens az adott.)
6. Mikor egyenlő egy tört nullával? ( A tört nulla, amikor a számláló nulla, és a nevező nem egyenlő nullával.)

3. Új anyag magyarázata.

Oldja meg a 2. egyenletet füzetekben és táblán!

Válasz: 10.

Melyik tört racionális egyenlet megpróbálhatod megoldani az alap arány tulajdonság használatával? (5. sz.).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Oldja meg a 4. egyenletet füzetekben és táblán!

Válasz: 1,5.

Milyen tört racionális egyenletet próbálhat meg megoldani úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozza a nevezővel? (6. sz.).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Válasz: 3;4.

Most próbálja meg megoldani a 7. egyenletet valamelyik módon.

(x2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 = 5 D \u003d 49
x 3 = 5 x 4 \u003d -2			x 3 = 5 x 4 \u003d -2
Válasz: 0;5;-2.			Válasz: 5;-2.

Magyarázd el, miért történt ez? Miért van az egyik esetben három gyökér, a másikban kettő? Mely számok gyökei ennek a tört racionális egyenletnek?

Eddig nem találkoztak az idegen gyökér fogalmával rendelkező hallgatók, valóban nagyon nehéz megérteni, hogy ez miért történt. Ha az osztályban senki nem tud világos magyarázatot adni erre a helyzetre, akkor a tanár feltesz vezető kérdéseket.

• Miben különbözik a 2. és 4. egyenlet az 5., 6., 7. egyenlettől? ( A 2. és 4. számú egyenletben a szám nevezőjében, az 5-7. számú egyenletekben - változós kifejezések.)
• Mi az egyenlet gyöke? ( Annak a változónak az értéke, amelynél az egyenlet valódi egyenlőséggé válik.)
• Hogyan lehet megtudni, hogy egy szám az egyenlet gyökere? ( Ellenőrizd.)

A teszt elvégzésekor néhány diák észreveszi, hogy nullával kell osztania. Arra a következtetésre jutottak, hogy a 0 és az 5 nem gyökök. adott egyenlet. Felmerül a kérdés: van-e olyan módszer a tört racionális egyenletek megoldására, amely kiküszöböli ezt a hibát? Igen, ez a módszer azon a feltételen alapul, hogy a tört egyenlő nullával.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Ha x=5, akkor x(x-5)=0, tehát 5 egy idegen gyök.

Ha x=-2, akkor x(x-5)≠0.

Válasz: -2.

Próbáljunk meg egy algoritmust megfogalmazni tört racionális egyenletek ilyen módon történő megoldására. A gyerekek maguk fogalmazzák meg az algoritmust.

Algoritmus tört racionális egyenletek megoldására:

1. Vigyen mindent balra.
2. Hozd a törteket közös nevezőre.
3. Alkossunk rendszert: egy tört nulla, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem nulla.
4. Oldja meg az egyenletet.
5. Ellenőrizze az egyenlőtlenséget, hogy kizárja az idegen gyökereket.
6. Írd le a választ.

Megbeszélés: hogyan fogalmazzunk meg megoldást, ha az arányosság alaptulajdonságát és az egyenlet mindkét oldalának közös nevezővel való szorzását alkalmazzuk. (Kiegészítsük a megoldást: zárjuk ki a gyökéből azokat, amelyek a közös nevezőt nullára fordítják).

4. Az új anyag elsődleges megértése.

Párokban dolgozni. A tanulók az egyenlet típusától függően maguk választják meg, hogyan oldják meg az egyenletet. Feladatok az "Algebra 8" tankönyvből, Yu.N. Makarychev, 2007: 600. sz. (b, c, i); No. 601(a, e, g). A tanár ellenőrzi a feladat elvégzését, válaszol a felmerült kérdésekre, segítséget nyújt a rosszul teljesítő tanulóknak. Önellenőrzés: A válaszok fel vannak írva a táblára.

b) 2 egy idegen gyök. Válasz: 3.

c) 2 egy idegen gyök. Válasz: 1.5.

a) Válasz: -12.5.

g) Válasz: 1; 1.5.

5. Nyilatkozat a házi feladatról.

1. Olvassa el a tankönyv 25. tételét, elemezze az 1-3.
2. Ismerje meg a tört racionális egyenletek megoldásának algoritmusát.
3. 600. sz. füzetekben megoldani (a, d, e); No. 601 (g, h).
4. Próbálja meg megoldani a #696(a) (opcionális).

6. Ellenőrző feladat teljesítése a tanult témában.

A munka lapokon történik.

Munka példa:

A) Az egyenletek közül melyik tört racionális?

B) Egy tört nulla, ha a számláló __________________________, a nevező pedig ___________________________.

K) A -3 szám a 6. egyenlet gyökere?

D) Oldja meg a 7. egyenletet!

Feladat értékelési szempontok:

• Az „5” akkor jár, ha a tanuló a feladat több mint 90%-át helyesen teljesítette.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• A „2”-t az a tanuló kapja, aki a feladat 50%-ánál kevesebbet teljesített.
• A 2. évfolyam nem kerül be a naplóba, a 3. nem kötelező.

7. Reflexió.

Az önálló munkát tartalmazó szórólapokra tegye fel:

• 1 - ha a lecke érdekes és érthető volt az Ön számára;
• 2 - érdekes, de nem egyértelmű;
• 3 - nem érdekes, de érthető;
• 4 - nem érdekes, nem egyértelmű.

8. A lecke összegzése.

Tehát ma a leckében megismerkedtünk a tört racionális egyenletekkel, megtanultuk, hogyan kell megoldani ezeket az egyenleteket. különböző utak, képzés segítségével mérték össze tudásukat önálló munkavégzés. Az önálló munka eredményeit a következő órán sajátítod el, otthon lesz lehetőséged a megszerzett tudás megszilárdítására.

A tört racionális egyenletek megoldásának melyik módja szerinted könnyebb, elérhetőbb, racionálisabb? A tört racionális egyenletek megoldási módszerétől függetlenül mit nem szabad elfelejteni? Mi a tört racionális egyenletek "ravaszsága"?

Köszönöm mindenkinek, a lecke véget ért.

Megtanultuk már a másodfokú egyenletek megoldását. Most terjesszük ki a vizsgált módszereket a racionális egyenletekre.

Mi történt racionális kifejezés? Ezzel a fogalommal már találkoztunk. Racionális kifejezések számokból, változókból, ezek fokozataiból és a matematikai műveletek előjeleiből álló kifejezéseknek nevezzük.

Ennek megfelelően a racionális egyenletek a következő alakú egyenletek: , ahol - racionális kifejezések.

Korábban csak azokat a racionális egyenleteket vettük figyelembe, amelyek lineárisra redukálódnak. Most nézzük azokat a racionális egyenleteket, amelyek másodfokúra redukálhatók.

1. példa

Oldja meg az egyenletet: .

Megoldás:

Egy tört akkor és csak akkor 0, ha a számlálója 0 és a nevezője nem 0.

A következő rendszert kapjuk:

A rendszer első egyenlete a másodfokú egyenlet. Mielőtt megoldanánk, az összes együtthatóját elosztjuk 3-mal.

Két gyökeret kapunk: ; .

Mivel a 2 soha nem egyenlő 0-val, két feltételnek kell teljesülnie: . Mivel a fent kapott egyenlet egyik gyöke sem egyezik a változó érvénytelen értékeivel, amelyeket a második egyenlőtlenség megoldása során kaptunk, mindkettő ennek az egyenletnek a megoldása.

Válasz:.

Tehát fogalmazzunk meg egy algoritmust a racionális egyenletek megoldására:

1. Mozgassa az összes kifejezést a bal oldalra úgy, hogy a 0 a jobb oldalon legyen.

2. A bal oldal átalakítása és egyszerűsítése, az összes tört közös nevezőre hozása.

3. A kapott törtet egyenlővé tesszük 0-val a következő algoritmus szerint: .

4. Írja fel azokat a gyököket, amelyeket az első egyenletben kapott, és válaszul kielégíti a második egyenlőtlenséget!

Nézzünk egy másik példát.

2. példa

Oldja meg az egyenletet: .

Megoldás

A legelején az összes feltételt átvisszük a bal oldalígy a 0 a jobb oldalon marad.

Most hozzuk az egyenlet bal oldalát egy közös nevezőre:

Ez az egyenlet ekvivalens a rendszerrel:

A rendszer első egyenlete egy másodfokú egyenlet.

Ennek az egyenletnek az együtthatói: . Kiszámoljuk a diszkriminánst:

Két gyökeret kapunk: ; .

Most oldjuk meg a második egyenlőtlenséget: a tényezők szorzata akkor és csak akkor nem egyenlő 0-val, ha egyik tényező sem egyenlő 0-val.

Két feltételnek kell teljesülnie: . Azt kapjuk, hogy az első egyenlet két gyöke közül csak az egyik alkalmas - 3.

Válasz:.

Ebben a leckében megemlékeztünk arról, hogy mi a racionális kifejezés, és megtanultuk, hogyan kell megoldani a racionális egyenleteket, amelyeket másodfokú egyenletekre redukálunk.

A következő leckében a racionális egyenleteket a valós helyzetek modelljeként fogjuk fel, és figyelembe vesszük a mozgási problémákat is.

Bibliográfia

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. osztály. - M.: Felvilágosodás, 2004.
2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra, 8. 5. kiadás. - M.: Oktatás, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. osztály. Tutorial for oktatási intézmények. - M.: Oktatás, 2006.

1. Pedagógiai Ötletek Fesztiválja" Nyilvános óra" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Házi feladat

Eddig csak az ismeretlenre vonatkozó egész egyenleteket oldottuk meg, vagyis olyan egyenleteket, amelyekben a nevezők (ha van) nem tartalmaztak ismeretlent.

Gyakran olyan egyenleteket kell megoldani, amelyek nevezőiben ismeretlent tartalmaznak: az ilyen egyenleteket törtnek nevezzük.

Ennek az egyenletnek a megoldásához mindkét oldalát megszorozzuk az ismeretlent tartalmazó polinommal. Az új egyenlet ekvivalens lesz a megadottal? A kérdés megválaszolásához oldjuk meg ezt az egyenletet.

Mindkét oldalát megszorozva -vel, akkor a következőt kapjuk:

Ezt az elsőfokú egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy:

Tehát a (2) egyenletnek egyetlen gyöke van

Ha behelyettesítjük az (1) egyenletbe, a következőt kapjuk:

Ezért ez az (1) egyenlet gyökere is.

Az (1) egyenletnek nincs más gyökere. Példánkban ez látható például abból, hogy az (1) egyenletben

Hogyan kell az ismeretlen osztónak egyenlőnek lennie az 1 osztóval osztva a 2 hányadossal, azaz.

Tehát az (1) és (2) egyenletnek egyetlen gyöke van, tehát ekvivalensek.

2. Most megoldjuk a következő egyenletet:

A legegyszerűbb közös nevező: ; szorozd meg vele az egyenlet összes tagját:

A csökkentés után a következőket kapjuk:

Bővítsük ki a zárójeleket:

Hasonló feltételekkel a következőket kínáljuk:

Ezt az egyenletet megoldva a következőket kapjuk:

Az (1) egyenletbe behelyettesítve a következőket kapjuk:

A bal oldalon olyan kifejezéseket kaptunk, amelyeknek nincs értelme.

Ezért az (1) egyenlet gyöke nem. Ez azt jelenti, hogy az (1) és az egyenletek nem ekvivalensek.

Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az (1) egyenletnek van egy idegen gyöke.

Hasonlítsuk össze az (1) egyenlet megoldását a korábban megvizsgált egyenletek megoldásával (lásd 51. §). Ennek az egyenletnek a megoldása során két olyan, eddig nem látott műveletet kellett végrehajtanunk: először az egyenlet mindkét oldalát megszoroztuk egy ismeretlent (közös nevezőt) tartalmazó kifejezéssel, másodszor pedig az algebrai törteket redukáltuk olyan tényezőkkel, amelyek az ismeretlen.

Ha összehasonlítjuk az (1) egyenletet a (2) egyenlettel, azt látjuk, hogy nem minden x érték érvényes a (2) egyenletre az (1) egyenletre.

Az 1-es és 3-as számok nem megengedettek az ismeretlen értékei az (1) egyenlethez, és a transzformáció eredményeként a (2) egyenlet számára is megengedettekké váltak. Az egyik szám a (2) egyenlet megoldásának bizonyult, de természetesen nem lehet az (1) egyenlet megoldása. Az (1) egyenletnek nincs megoldása.

Ez a példa azt mutatja, hogy amikor az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk egy ismeretlent tartalmazó tényezővel, és amikor az algebrai törtek olyan egyenletet kaphatunk, amely nem ekvivalens a megadottal, nevezetesen: megjelenhetnek idegen gyökök.

Ebből a következő következtetést vonjuk le. A nevezőben ismeretlent tartalmazó egyenlet megoldása során a kapott gyököket az eredeti egyenletbe való behelyettesítéssel ellenőrizni kell. Az idegen gyökereket el kell dobni.

Egyszerűen fogalmazva, ezek olyan egyenletek, amelyekben van legalább egy változó a nevezőben.

Például:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Példa nem tört racionális egyenletek:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Hogyan oldhatók meg a tört racionális egyenletek?

A tört racionális egyenletekkel kapcsolatban a legfontosabb dolog, amit meg kell jegyezni, az az, hogy bele kell írni. És miután megtalálta a gyökereket, feltétlenül ellenőrizze, hogy elfogadhatók-e. Ellenkező esetben idegen gyökerek jelenhetnek meg, és az egész megoldás helytelennek minősül.

Algoritmus tört racionális egyenlet megoldására:

Írd ki és "oldd meg" az ODZ-t.

Szorozzuk meg az egyenlet minden tagját egy közös nevezővel, és csökkentsük a kapott törteket. A nevezők eltűnnek.

Írd fel az egyenletet zárójelek nyitása nélkül!

Oldja meg a kapott egyenletet!

Ellenőrizze a talált gyökereket az ODZ segítségével.

Válaszul írja le a 7. lépésben a tesztet sikeresen teljesítő gyököket.

Ne jegyezd meg az algoritmust, 3-5 megoldott egyenletet – és magától meg fog emlékezni.

Példa . Tört racionális egyenlet megoldása \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Megoldás:

Válasz: \(3\).

Példa . Keresse meg a \(=0\) tört racionális egyenlet gyökereit

Megoldás:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Leírjuk és "megoldjuk" az ODZ-t. Bontsa ki a \(x^2+7x+10\) értéket a következő képletbe: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Szerencsére \(x_1\) és \(x_2\) már megtaláltuk.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Nyilvánvalóan a törtek közös nevezője: \((x+2)(x+5)\). Az egész egyenletet megszorozzuk vele.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Csökkentjük a törteket
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		A zárójelek kinyitása
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Hasonló feltételeket adunk
\(2x^2+9x-5=0\)		Az egyenlet gyökereinek megtalálása
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Az egyik gyökér nem fér el az ODZ alá, ezért válaszul csak a második gyökeret írjuk le.

Válasz: \(\frac(1)(2)\).