A szinuszok és koszinuszok diagramja. A tangentoid és a kotangentoid tulajdonságai

A trigonometria a matematikának egy olyan ága, amely a trigonometrikus függvényeket és azok geometriában való felhasználását vizsgálja. A trigonometria fejlődése az ókori Görögország idejében kezdődött. A középkorban a Közel-Kelet és India tudósai jelentősen hozzájárultak e tudomány fejlődéséhez.

Ez a cikk a trigonometria alapvető fogalmaival és definícióival foglalkozik. A fő definícióit tárgyalja trigonometrikus függvények: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Jelentésüket a geometriával összefüggésben elmagyarázzuk és szemléltetjük.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kezdetben a trigonometrikus függvények definícióit, amelyek argumentuma egy szög, egy derékszögű háromszög oldalainak arányával fejezték ki.

A trigonometrikus függvények definíciói

Egy szög szinusza (sin α) az ezzel a szöggel ellentétes szár és az alsó rész aránya.

A szög koszinusza (cos α) a szomszédos láb és az alsó rész aránya.

A szög érintője (t g α) a szemközti láb és a szomszédos láb aránya.

A szög kotangense (c t g α) a szomszédos láb és a szemközti szár aránya.

Ezek a meghatározások egy derékszögű háromszög hegyesszögére vonatkoznak!

Adjunk egy illusztrációt.

A C derékszögű ABC háromszögben az A szög szinusza megegyezik a BC láb és az AB hipotenusz arányával.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói lehetővé teszik ezen függvények értékének kiszámítását a háromszög oldalainak ismert hosszúságából.

Fontos emlékezni!

A szinusz és koszinusz értékek tartománya: -1-től 1-ig. Vagyis a szinusz és a koszinusz értéke -1-től 1-ig terjed. Az érintő és kotangens értékek tartománya a teljes számegyenes, vagyis ezek függvények bármilyen értéket felvehetnek.

A fent megadott definíciók hegyesszögekre vonatkoznak. A trigonometriában bevezetik a forgásszög fogalmát, melynek értékét a hegyesszöggel ellentétben nem korlátozzák 0-tól 90 fokig terjedő keretek A fokban vagy radiánban mért forgásszöget bármely valós szám fejezi ki -ból - ∞-től + ∞-ig.

Ebben az összefüggésben meg lehet határozni egy tetszőleges nagyságú szög szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét. Képzeljünk el egy egységkört, amelynek középpontja a derékszögű koordinátarendszer origója.

Az (1 , 0) koordinátákkal rendelkező A kezdőpont elfordul az egységkör középpontja körül valamilyen α szöggel, és az A 1 pontba kerül. A definíciót az A 1 (x, y) pont koordinátáin keresztül adjuk meg.

A forgási szög szinusza (sin).

Az α elforgatási szög szinusza az A 1 (x, y) pont ordinátája. sinα = y

A forgásszög koszinusza (cos).

Az α forgásszög koszinusza az A 1 (x, y) pont abszcisszája. cos α = x

Az elforgatási szög érintője (tg).

Az α forgásszög érintője az A 1 (x, y) pont ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya. t g α = y x

Az elforgatási szög kotangense (ctg).

Az α forgásszög kotangense az A 1 (x, y) pont abszcisszán az ordinátához viszonyított aránya. c t g α = x y

A szinusz és a koszinusz bármely forgásszögre definiálva van. Ez logikus, mert az elforgatás utáni pont abszcissza és ordinátája tetszőleges szögben meghatározható. Más a helyzet az érintővel és a kotangenssel. Az érintő nincs meghatározva, ha a forgatás utáni pont a nulla abszcissza (0 , 1) és (0 , - 1) ponthoz megy. Ilyen esetekben a t g α = y x érintő kifejezésnek egyszerűen nincs értelme, mivel nullával való osztást tartalmaz. Hasonló a helyzet a kotangenssel is. A különbség az, hogy a kotangens nincs meghatározva olyan esetekben, amikor a pont ordinátája eltűnik.

Fontos emlékezni!

A szinusz és a koszinusz minden α szögre definiálva van.

Az érintő minden szögre definiálva van, kivéve α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

A kotangens minden szögre definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Amikor döntenek gyakorlati példák ne mondd, hogy "az α forgásszög szinusza". A "forgásszög" szavakat egyszerűen kihagytuk, ami arra utal, hogy a szövegkörnyezetből már világos, hogy mi a tét.

Számok

Mi a helyzet egy szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározásával, és nem a forgásszögével?

Egy szám szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

Egy szám szinusza, koszinusza, érintője és kotangense t egy számot hívunk meg, amely egyenlő a szinuszos, koszinuszos, érintős és kotangenssel t radián.

Például 10 π szinusza egyenlő a szinuszával 10 π rad forgásszög.

Van egy másik megközelítés a szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározására. Tekintsük részletesebben.

Bárki valós szám t Az egységkör egy pontja megfelel a derékszögű derékszögű koordinátarendszer origójának középpontjának. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens ennek a pontnak a koordinátái alapján vannak meghatározva.

A kör kezdőpontja az (1 , 0) koordinátákkal rendelkező A pont.

pozitív szám t

Negatív szám t megfelel annak a pontnak, ahová a kezdőpont el fog mozdulni, ha az óramutató járásával ellentétes irányban mozog a kör körül, és áthalad a t úton.

Most, hogy létrejött a kapcsolat a szám és a kör pontja között, folytatjuk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens meghatározását.

A t szám szinusza (sin).

Egy szám szinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátája t. sin t = y

t koszinusza (cos).

Egy szám koszinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának abszcisszán t. cos t = x

t érintője (tg).

Egy szám érintője t- az ordináta és a számnak megfelelő egységkör pontjának abszcissza aránya t. t g t = y x = sin t cos t

Ez utóbbi meghatározások összhangban vannak a jelen szakasz elején megadott meghatározással, és nem mondanak ellent annak. Pont egy számnak megfelelő körön t, egybeesik azzal a ponttal, ahová a kiindulási pont a szög átfordulása után átmegy t radián.

Szög- és numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az α szög minden értékének megfelel bizonyos értéket ennek a szögnek a szinusza és koszinusza. Csakúgy, mint az α = 90 ° + 180 ° · k kivételével minden α szög, a k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) az érintő egy bizonyos értékének felel meg. A kotangens, amint fentebb említettük, minden α-ra definiálva van, kivéve α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Azt mondhatjuk, hogy sin α , cos α , t g α , c t g α az alfa szög függvényei, vagy a szögargumentum függvényei.

Hasonlóképpen beszélhetünk szinuszról, koszinuszról, érintőről és kotangensről, mint egy numerikus argumentum függvényéről. Minden valós szám t egy szám szinuszának vagy koszinuszának egy meghatározott értékének felel meg t. A π 2 + π · k, k ∈ Z kivételével minden szám megfelel az érintő értékének. A kotangens a π · k, k ∈ Z kivételével minden számra hasonlóan definiálható.

A trigonometria alapfunkciói

Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens az alapvető trigonometrikus függvények.

Általában a szövegkörnyezetből kiderül, hogy a trigonometrikus függvény melyik argumentumával (szögargumentumával vagy numerikus argumentumával) van dolgunk.

Térjünk vissza a definíciók legelején lévő adatokhoz és az alfa szöghez, amely a 0 és 90 fok közötti tartományba esik. A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus definíciói teljes összhangban vannak a derékszögű háromszög oldalainak arányai által adott geometriai definíciókkal. Mutassuk meg.

Vegyünk egy egységkört, amelynek középpontja egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszer. Forgassuk el az A (1, 0) kezdőpontot legfeljebb 90 fokos szöggel, és a kapott A 1 (x, y) pontból rajzoljunk az x tengelyre merőlegesen. A kapott derékszögű háromszögben az A 1 O H szög egyenlő az α elfordulási szöggel, az O H szár hossza egyenlő az A 1 (x, y) pont abszcisszán. A sarokkal szemközti láb hossza egyenlő az A 1 (x, y) pont ordinátájával, a befogó hossza pedig eggyel, mivel ez az egységkör sugara.

A geometriai definíció szerint az α szög szinusza egyenlő a szemközti láb és a hipotenuzus arányával.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögben a hegyesszög szinuszának definíciója a képarányon keresztül megegyezik az α forgásszög szinuszának meghatározásával, ahol az alfa a 0 és 90 fok közötti tartományban fekszik.

Hasonlóképpen kimutatható a definíciók megfelelősége koszinuszra, érintőre és kotangensre.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ahol a derékszögű háromszög megoldási feladatokat vették figyelembe, megígértem, hogy bemutatok egy technikát a szinusz és koszinusz definícióinak memorizálására. Használatával mindig gyorsan emlékezni fog, hogy melyik láb tartozik a hypotenushoz (szomszédos vagy ellentétes). Úgy döntöttem, nem halogatom a végtelenségig, szükséges anyag lent, lásd

Az a helyzet, hogy többször is megfigyeltem, hogy a 10-11. osztályos tanulók nehezen emlékeznek ezekre a meghatározásokra. Nagyon jól emlékeznek arra, hogy a láb a hypotenusára utal, de melyikre- felejtsd el és zavaros. A hiba ára, amint azt a vizsgán is tudja, elvesztett pontszám.

Azoknak az információknak, amelyeket közvetlenül a matematika számára fogok bemutatni, semmi közük. Összefügg a figuratív gondolkodással, a verbális-logikai kapcsolódás módszereivel. Így van, én magam is, egyszer s mindenkorra emlékeztemdefiníciós adatok. Ha mégis elfelejti őket, akkor a bemutatott technikák segítségével mindig könnyű megjegyezni.

Hadd emlékeztesselek a szinusz és a koszinusz definícióira egy derékszögű háromszögben:

Koszinusz A derékszögű háromszög hegyesszöge a szomszédos láb és a hipotenusz aránya:

Sinus A derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti láb és a hipotenusz aránya:

Szóval, milyen asszociációkat vált ki benned a koszinusz szó?

Valószínűleg mindenkinek megvan a sajátjaEmlékezz a linkre:

Így azonnal egy kifejezés lesz az emlékezetében -

«… A SZOMSZÁMOS láb és a hypotenus aránya».

A koszinusz definíciójával kapcsolatos probléma megoldódott.

Ha emlékeznie kell a szinusz meghatározására egy derékszögű háromszögben, akkor a koszinusz definíciójára emlékezve könnyen megállapíthatja, hogy egy derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti láb és a hipotenusz aránya. Hiszen csak két láb van, ha a szomszédos szárat „foglalja” a koszinusz, akkor a szinusznak csak az ellenkező oldal marad.

Mi a helyzet az érintővel és a kotangenssel? Ugyanaz a zavar. A tanulók tudják, hogy ez a lábak aránya, de a probléma az, hogy ne feledjük, melyik melyikre utal – akár a szomszédossal szemben, akár fordítva.

Definíciók:

Tangens egy derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti láb és a szomszédos láb aránya:

Kotangens A derékszögű háromszög hegyesszöge a szomszédos láb és az ellenkező oldal aránya:

Hogyan emlékezzünk? Két módja van. Az egyik verbális-logikai kapcsolatot is használ, a másik pedig matematikai kapcsolatot.

MATEMATIKAI MÓDSZER

Van egy ilyen meghatározás - egy hegyesszög érintője egy szög szinuszának és koszinuszának aránya:

* Emlékezve a képletre, mindig meghatározhatja, hogy egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti láb és a szomszédos láb aránya.

Hasonlóképpen.Egy hegyesszög kotangense egy szög koszinuszának és szinuszának aránya:

Így! Ha emlékszik ezekre a képletekre, mindig megállapíthatja, hogy:

- derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti láb és a szomszédos láb aránya

- derékszögű háromszög hegyesszögének kotangense a szomszédos láb és a szemközti szár aránya.

VERBÁLIS-LOGIAI MÓDSZER

Az érintőről. Emlékezz a linkre:

Vagyis ha emlékeznie kell az érintő definíciójára, ezzel a logikai kapcsolattal könnyen megjegyezheti, hogy mi az

"... az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya"

Ha a kotangensről van szó, akkor az érintő definíciójára emlékezve könnyen hangoztathatja a kotangens meghatározását -

"... a szomszédos láb aránya az ellenkezőjéhez"

Van egy érdekes technika a tangens és a kotangens memorizálására az oldalon " Matematikai tandem " , néz.

MÓDSZER UNIVERZÁLIS

Csak darálhatsz.De amint azt a gyakorlat mutatja, a verbális-logikai kapcsolatoknak köszönhetően az ember hosszú ideig emlékszik az információkra, és nem csak matematikai.

Remélem, hogy az anyag hasznos volt az Ön számára.

Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh

P.S. Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.

A trigonometria, mint tudomány, az ókori Keletről származik. Az első trigonometrikus arányszámokat csillagászok dolgozták ki, hogy pontos naptárt hozzanak létre, és a csillagok alapján tájékozódjanak. Ezek a számítások a gömbi trigonometriára vonatkoztak, míg az iskolai kurzusban egy lapos háromszög oldalainak és szögeinek arányát vizsgálják.

A trigonometria a matematikának a trigonometrikus függvények tulajdonságaival, valamint a háromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolatokkal foglalkozó ága.

A kultúra és a tudomány virágkorában, az i.sz. I. évezredben a tudás az ókori Keletről terjedt Görögországba. De a trigonometria fő felfedezései a férjek érdemei Arab Kalifátus. Különösen a türkmén tudós, al-Marazvi olyan funkciókat vezetett be, mint az érintő és a kotangens, összeállította a szinuszok, érintők és kotangensek első értéktáblázatait. A szinusz és koszinusz fogalmát indiai tudósok vezették be. A trigonometriának nagy figyelmet szentelnek az ókor olyan nagy alakjai, mint Eukleidész, Arkhimédész és Eratoszthenész.

A trigonometria alapmennyiségei

A numerikus argumentumok alapvető trigonometrikus függvényei a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Mindegyiknek megvan a saját gráfja: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens.

Ezen mennyiségek értékének kiszámítására szolgáló képletek a Pitagorasz-tételen alapulnak. Az iskolások jobban ismerik a megfogalmazásban: „Pitagorasz nadrág, minden irányban egyenlő”, mivel a bizonyítékot egy egyenlő szárú derékszögű háromszög példáján adjuk meg.

Szinusz, koszinusz és egyéb függőségek kapcsolatot létesítenek bármely derékszögű háromszög hegyesszögei és oldalai között. Képleteket adunk ezeknek a mennyiségeknek az A szögre történő kiszámításához, és nyomon követjük a trigonometrikus függvények kapcsolatát:

Amint látja, a tg és a ctg az inverz függvények. Ha az a lábat a sin A és a c hipotenuz szorzataként, a b lábat pedig cos A * cként ábrázoljuk, akkor a következő képleteket kapjuk az érintőre és a kotangensre:

trigonometrikus kör

Grafikusan az említett mennyiségek aránya a következőképpen ábrázolható:

A kör ebben az esetben minden lehetséges értékekα szög - 0° és 360° között. Amint az ábrán látható, minden függvény a szögtől függően negatív vagy pozitív értéket vesz fel. Például a sin α „+” jelű lesz, ha α a kör I és II negyedéhez tartozik, azaz 0 ° és 180 ° közötti tartományban van. 180° és 360° közötti α esetén (III. és IV. negyed) a sin α csak negatív érték lehet.

Próbáljunk meg trigonometrikus táblázatokat készíteni adott szögekhez, és megtudjuk a mennyiségek jelentését.

A 30°, 45°, 60°, 90°, 180° és így tovább α értékeit speciális eseteknek nevezzük. A trigonometrikus függvények értékeit kiszámítják és speciális táblázatok formájában mutatják be.

Ezeket a szögeket nem véletlenül választották ki. A táblázatokban a π jelölés a radiánokra vonatkozik. Rad az a szög, amelyben a körív hossza megfelel a sugarának. Ezt az értéket egy univerzális összefüggés megállapítása érdekében vezették be, radiánban történő számításnál a sugár cm-ben megadott tényleges hossza nem számít.

A trigonometrikus függvények táblázatában szereplő szögek radiánértékeknek felelnek meg:

Tehát nem nehéz kitalálni, hogy 2π az teljes kör vagy 360°.

A trigonometrikus függvények tulajdonságai: szinusz és koszinusz

A szinusz és koszinusz, tangens és kotangens alapvető tulajdonságainak figyelembe vételéhez és összehasonlításához szükséges ezek függvényeinek felrajzolása. Ez megtehető egy kétdimenziós koordináta-rendszerben elhelyezett görbe formájában.

Fontolgat összehasonlító táblázat szinuszos és koszinuszhullám tulajdonságai:

szinuszos	koszinusz hullám
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; egy]	ODZ [-1; egy]
sin x = 0, ha x = πk, ahol k ϵ Z	cos x = 0, ha x = π/2 + πk, ahol k ϵ Z
sin x = 1, ha x = π/2 + 2πk, ahol k ϵ Z	cos x = 1, ha x = 2πk, ahol k ϵ Z
sin x = - 1, ahol x = 3π/2 + 2πk, ahol k ϵ Z	cos x = - 1, ha x = π + 2πk, ahol k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, azaz páratlan függvény	cos (-x) = cos x, azaz a függvény páros
	a függvény periodikus, a legkisebb periódus 2π
sin x › 0, ahol x az I. és II. negyedhez tartozik, vagy 0°-tól 180°-ig (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, ahol x az I. és IV. negyedhez tartozik, vagy 270°-tól 90°-ig (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, ahol x a III. és IV. negyedhez tartozik, vagy 180°-tól 360°-ig (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, ahol x a II. és III. negyedhez tartozik, vagy 90°-tól 270°-ig (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
növekszik a [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] intervallumon	növekszik a [-π + 2πk, 2πk] intervallumon
csökken a [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] intervallumokon	időközönként csökken
derivált (sin x)' = cos x	derivált (cos x)’ = - sin x

Annak meghatározása, hogy egy függvény páros-e vagy sem, nagyon egyszerű. Elég elképzelni egy trigonometrikus kört trigonometrikus mennyiségek előjeleivel, és gondolatban „hajtogatni” a grafikont az OX tengelyéhez képest. Ha az előjelek megegyeznek, a függvény páros, ellenkező esetben páratlan.

A radiánok bevezetése, valamint a szinuszos és koszinuszhullám főbb tulajdonságainak felsorolása lehetővé teszi a következő mintát:

Nagyon könnyű ellenőrizni a képlet helyességét. Például x = π/2 esetén a szinusz egyenlő 1-gyel, ahogy az x = 0 koszinusza is. Az ellenőrzés elvégezhető táblázatok megtekintésével vagy adott értékek függvénygörbéinek nyomon követésével.

A tangentoid és a kotangentoid tulajdonságai

A tangens és kotangens függvények grafikonjai jelentősen eltérnek a szinuszos és koszinuszos hullámtól. A tg és ctg értékek fordítottak egymással.

1. Y = tgx.
2. Az érintő az y értékei felé hajlik x = π/2 + πk, de soha nem éri el azokat.
3. A tangentoid legkisebb pozitív periódusa π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, azaz a függvény páratlan.
5. Tg x = 0, ha x = πk.
6. A funkció növekszik.
7. Tg x › 0, x ϵ esetén (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ esetén (— π/2 + πk, πk).
9. Származék (tg x)' = 1/cos 2⁡x .

Tekintsük a kotangentoid grafikus ábrázolását az alábbiakban a szövegben.

A kotangentoid fő tulajdonságai:

1. Y = ctgx.
2. A szinusz- és koszinuszfüggvényekkel ellentétben a tangentoidban Y felveheti az összes valós szám halmazának értékét.
3. A kotangentoid az x = πk y értékei felé hajlik, de soha nem éri el azokat.
4. A kotangentoid legkisebb pozitív periódusa π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, azaz a függvény páratlan.
6. Ctg x = 0, ha x = π/2 + πk.
7. A funkció csökken.
8. Ctg x › 0, x ϵ esetén (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ esetén (π/2 + πk, πk).
10. Származék (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

A fő trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - közötti arányok megadva. trigonometrikus képletek. És mivel a trigonometrikus függvények között elég sok kapcsolat van, ez is megmagyarázza a trigonometrikus képletek bőségét. Egyes képletek összekötik az azonos szög trigonometrikus függvényeit, mások - a többszörös szög függvényei, mások - lehetővé teszik a fok csökkentését, a negyedik - az összes függvény kifejezését a félszög érintőjén keresztül stb.

Ebben a cikkben sorra felsoroljuk az összes alapvető trigonometrikus képletet, amelyek elegendőek a trigonometriai feladatok túlnyomó többségének megoldásához. A könnyebb memorizálás és használat érdekében céljuk szerint csoportosítjuk, és táblázatokba foglaljuk őket.

Oldalnavigáció.

Alapvető trigonometrikus azonosságok

Fő trigonometrikus azonosságok állítsa be az összefüggést egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójából, valamint az egységkör fogalmából. Lehetővé teszik egy trigonometrikus függvény kifejezését bármely másikon keresztül.

Ezen trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példáit a cikkben találja.

Öntött képletek

Öntött képletek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságaiból következnek, vagyis tükrözik a trigonometrikus függvények periodicitásának tulajdonságát, a szimmetria tulajdonságát, valamint az adott szöggel való eltolás tulajdonságát. Ezek a trigonometrikus képletek lehetővé teszik, hogy a tetszőleges szögekkel történő munkavégzésről a nulla és 90 fok közötti szögekkel végzett munkára váltson.

E képletek indoklása, mnemonikus szabály memorizálásuk és alkalmazásukra vonatkozó példák tanulmányozhatók a cikkben.

Összeadási képletek

Trigonometrikus összeadási képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei e szögek trigonometrikus függvényei. Ezek a képletek szolgálnak alapul a következő trigonometrikus képletek levezetéséhez.

Képletek dupla, hármas stb. szög

Képletek dupla, hármas stb. szög (ezeket többszörös szögképleteknek is nevezik) megmutatják, hogy a dupla, tripla stb. trigonometrikus függvényei hogyan működnek. a szögeket () egyetlen szög trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Levezetésük összeadási képleteken alapul.

A részletesebb információkat a dupla, tripla stb. cikkre vonatkozó képletek gyűjtik össze. szög .

Félszög képletek

Félszög képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki egy félszög trigonometrikus függvényei egy egész szög koszinuszában. Ezek a trigonometrikus képletek a kettős szög képletekből következnek.

Következtetésük és alkalmazási példáik a cikkben találhatók.

Redukciós képletek

Trigonometrikus képletek a csökkenő fokokhozÚgy tervezték, hogy megkönnyítsék az átmenetet a trigonometrikus függvények természetes hatványairól a szinuszokra és koszinuszokra első fokú, de több szögben. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre.

Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére

fő célállomás trigonometrikus függvények összeg- és különbségképletei a függvények szorzatára való átállásból áll, ami nagyon hasznos a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor. Ezeket a képleteket is széles körben használják a megoldásban trigonometrikus egyenletek, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének faktorálását.

Képletek szinuszok, koszinuszok és szinuszok koszinuszonkénti szorzatára

A trigonometrikus függvények szorzatáról az összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszenkénti szorzat képletein keresztül történik.

Bashmakov M.I. Algebra és az elemzés kezdete: Proc. 10-11 sejtre. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Felvilágosodás, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebraés az elemzés eleje: Proc. 10-11 sejtre. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorova.- 14. kiad.- M.: Felvilágosodás, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Okos diákok szerzői joga

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. Nem része a www.webhelynek, beleértve belső anyagokÉs külső kialakítás a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül semmilyen formában nem reprodukálható és nem használható fel.

1. Trigonometrikus függvények olyan elemi függvények, amelyek argumentuma a injekció. A trigonometrikus függvények egy derékszögű háromszög oldalai és hegyesszögei közötti összefüggéseket írják le. A trigonometrikus függvények alkalmazási területei rendkívül változatosak. Így például bármely periodikus folyamat ábrázolható trigonometrikus függvények összegeként (Fourier-sor). Ezek a függvények gyakran megjelennek differenciál- és funkcionális egyenletek megoldása során.

2. A trigonometrikus függvények a következő 6 függvényt tartalmazzák: sinus, koszinusz, tangens,kotangens, metszőÉs koszekáns. Mindegyik függvényhez tartozik egy inverz trigonometrikus függvény.

3. Geometriai meghatározás trigonometrikus függvények kényelmesen bevezethetők a segítségével egységkör. Az alábbi ábrán egy r=1 sugarú kör látható. A körön az M(x,y) pontot jelöljük. Az OM sugárvektor és az Ox tengely pozitív iránya közötti szög α.

4. sinus az α szög az M(x,y) pont y ordinátájának az r sugárhoz viszonyított aránya:
sinα=y/r.
Mivel r=1, akkor a szinusz egyenlő az M(x,y) pont ordinátájával.

5. koszinusz az α szög az M(x,y) pont x abszcissza és az r sugár aránya:
cosα=x/r

6. tangens az α szög az M(x,y) pont y ordinátájának és az x abszcisszának az aránya:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangens az α szög az M(x,y) pont x abszcissza és y ordinátájának aránya:
cotα=x/y,y≠0

8. Metsző Az α szög az M(x,y) pont r sugarának és x abszcisszájának aránya:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Koszekáns az α szög az r sugarának az M(x,y) pont y ordinátájához viszonyított aránya:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Az x, y vetület egységkörében az M(x, y) pontok és az r sugarú derékszögű háromszöget alkotnak, amelyben x, y a lábak, r pedig a befogópont. Ezért a trigonometrikus függvények fenti definícióit alkalmazzuk derékszögű háromszögígy vannak megfogalmazva:
sinusα szög a szemközti láb és a hipotenusz aránya.
koszinuszα szög a szomszédos láb és a hipotenusz aránya.
tangens Az α szöget a szomszédos szárnak nevezzük.
Kotangens Az α szöget az ellenkező szárának nevezzük.
Metsző az α szög a hipotenusz és a szomszédos láb aránya.
Koszekáns az α szög a hipotenusz és a szemközti láb aránya.

11. szinuszfüggvény grafikonja
y=sinx, tartomány: x∈R, tartomány: −1≤sinx≤1

12. A koszinusz függvény grafikonja
y=cosx, tartomány: x∈R, tartomány: −1≤cosx≤1

13. érintő függvény grafikonja
y=tanx, tartomány: x∈R,x≠(2k+1)π/2, tartomány: −∞

14. A kotangens függvény grafikonja
y=cotx, tartomány: x∈R,x≠kπ, tartomány: −∞

15. A szekáns függvény grafikonja
y=secx, tartomány: x∈R,x≠(2k+1)π/2, tartomány: secx∈(−∞,−1]∪∪)