Mi a tört származéka. Hogyan találjuk meg a tört deriváltját

Teljesen lehetetlen matematikai feladatokat vagy példákat megoldani a derivált és a számítási módszerek ismerete nélkül. A származékos az egyik legfontosabb fogalom matematikai elemzés. Úgy döntöttünk, hogy a mai cikket ennek az alapvető témának szenteljük. Mi az a származék, mi a fizikai és geometriai jelentése hogyan kell kiszámítani egy függvény deriváltját? Mindezek a kérdések egybe foglalhatók: hogyan lehet megérteni a származékot?

A származék geometriai és fizikai jelentése

Legyen függvény f(x) , bizonyos intervallumban megadva (a,b) . Az x és x0 pont ehhez az intervallumhoz tartozik. Ha x változik, maga a függvény is megváltozik. Érvváltozás - értékeinek különbsége x-x0 . Ez a különbség így van írva delta x és argumentumnövekménynek nevezzük. Egy függvény változása vagy növekménye a függvény értékeinek különbsége két ponton. Származékos meghatározás:

Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény adott pontban elért növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik.

Egyébként így írható:

Mi értelme ilyen határt találni? De melyik:

egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő az OX tengely és a függvény grafikonjának érintője közötti szög érintőjével egy adott pontban.

fizikai jelentése derivált: az út időbeli deriváltja egyenlő az egyenes vonalú mozgás sebességével.

Valóban, az iskolai idők óta mindenki tudja, hogy a sebesség magánút. x=f(t) és az idő t . átlagsebesség egy ideig:

Hogy megtudja a mozgás sebességét egy időben t0 ki kell számolni a határértéket:

Első szabály: vegyük ki az állandót

A konstans kivehető a derivált előjeléből. Ráadásul meg is kell tenni. A matematikai példák megoldása során általában vegye figyelembe - ha le tudja egyszerűsíteni a kifejezést, mindenképpen egyszerűsítse .

Példa. Számítsuk ki a deriváltot:

Második szabály: a függvények összegének deriváltja

Két függvény összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak összegével. Ugyanez igaz a függvények különbségének deriváltjára is.

Nem bizonyítjuk ezt a tételt, inkább egy gyakorlati példát veszünk figyelembe.

Keresse meg egy függvény deriváltját:

Harmadik szabály: a függvények szorzatának deriváltja

Két differenciálható függvény szorzatának deriváltja a következő képlettel számítható ki:

Példa: keresse meg egy függvény deriváltját:

Döntés:

Itt fontos szót ejteni az összetett függvények deriváltjainak számításáról. Egy komplex függvény deriváltja egyenlő ennek a függvénynek a köztes argumentumhoz viszonyított deriváltjának a köztes argumentum független változóhoz viszonyított deriváltjával.

A fenti példában a következő kifejezéssel találkozunk:

Ebben az esetben a köztes argumentum az ötödik hatvány nyolcszorosa. Egy ilyen kifejezés deriváltjának kiszámításához először figyelembe vesszük a külső függvény deriváltját a köztes argumentumhoz képest, majd megszorozzuk magának a köztes argumentumnak a független változóhoz viszonyított deriváltjával.

Negyedik szabály: Két függvény hányadosának deriváltja

Képlet két függvény hányadosának deriváltjának meghatározására:

Megpróbáltunk a nulláról beszélni a próbababák származékairól. Ez a téma nem olyan egyszerű, mint amilyennek hangzik, ezért figyelem: a példákban gyakran vannak buktatók, ezért legyen óvatos a származékok kiszámításakor.

Bármilyen ezzel és más témával kapcsolatos kérdéssel fordulhat a diákszolgálathoz. Rövid időn belül segítünk megoldani a legnehezebb ellenőrzést és megoldani a feladatokat, még akkor is, ha még soha nem foglalkozott derivált számítással.

Meghatározás. Legyen az \(y = f(x) \) függvény definiálva olyan intervallumban, amelyen belül az \(x_0 \) pont található. Növeljük a \(\Delta x \) értéket az argumentumhoz, hogy ne hagyjuk el ezt az intervallumot. Keresse meg a \(\Delta y \) függvény megfelelő növekményét (amikor az \(x_0 \) pontból a \(x_0 + \Delta x \) pontba megy át), és állítsa össze a \(\frac(\Delta y) relációt )(\Delta x) \). Ha ennek a relációnak van határa a \(\Delta x \rightarrow 0 \ helyen), akkor a jelzett határérték ún. derivált függvény\(y=f(x) \) az \(x_0 \) pontban, és jelölje \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Az y szimbólumot gyakran használják a derivált jelölésére. Vegye figyelembe, hogy y" = f(x) az új funkció, de természetesen az y = f(x) függvénnyel definiált minden olyan x pontban, ahol a fenti határ létezik. Ezt a függvényt így hívják: az y \u003d f (x) függvény deriváltja.

A származék geometriai jelentése a következőkből áll. Ha egy olyan érintőt, amely nem párhuzamos az y tengellyel, az y \u003d f (x) függvény grafikonjára lehet rajzolni egy x \u003d a abszcisszával rendelkező pontban, akkor f (a) az érintő meredekségét fejezi ki:
\(k = f"(a)\)

Mivel \(k = tg(a) \), a \(f"(a) = tg(a) \) egyenlőség igaz.

És most a derivált definícióját közelítő egyenlőségekkel értelmezzük. Legyen az \(y = f(x) \) függvénynek deriváltja egy adott \(x \) pontban:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ez azt jelenti, hogy az x pont közelében a közelítő egyenlőség \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), azaz \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). A kapott közelítő egyenlőség értelmes jelentése a következő: a függvény növekménye „majdnem arányos” az argumentum növekményével, az arányossági együttható pedig a derivált értéke adott pont X. Például az \(y = x^2 \) függvényre a \(\Delta y \kb. 2x \cdot \Delta x \) közelítő egyenlőség igaz. Ha gondosan elemezzük a derivált definícióját, azt találjuk, hogy tartalmaz egy algoritmust annak megtalálására.

Fogalmazzuk meg.

Hogyan találjuk meg az y \u003d f (x) függvény deriváltját?

1. Javítsa ki a \(x \) értéket, keresse meg a \(f(x) \)
2. Növelje a \(x \) argumentumot \(\Delta x \), lépjen egy új pontra \(x+ \Delta x \), keresse meg a \(f(x+ \Delta x) \)
3. Keresse meg a függvény növekményét: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Állítsa össze a \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) relációt
5. Számítsa ki a $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ez a határérték az x-ben lévő függvény deriváltja.

Ha az y = f(x) függvénynek van deriváltja az x pontban, akkor azt az x pontban differenciálhatónak nevezzük. Meghívjuk az y \u003d f (x) függvény deriváltjának megtalálására szolgáló eljárást különbségtétel függvények y = f(x).

Vizsgáljuk meg a következő kérdést: hogyan függ össze egy függvény folytonossága és differenciálhatósága egy pontban?

Legyen az y = f(x) függvény az x pontban differenciálható. Ekkor a függvény grafikonjára az M (x; f (x)) pontban érintőt húzhatunk, és emlékezzünk vissza, az érintő meredeksége egyenlő f "(x) -vel. Az ilyen gráf nem "törhet" az M pont, azaz a függvénynek folytonosnak kell lennie x-ben.

Az „ujjakon” való okoskodás volt. Mutassunk egy szigorúbb érvet. Ha az y = f(x) függvény differenciálható az x pontban, akkor a \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) egyenlőség teljesül. nulla, akkor \(\Delta y \) ) is nullára hajlik, és ez a feltétele a függvény folytonosságának egy pontban.

Így, ha egy függvény egy x pontban differenciálható, akkor abban a pontban is folytonos.

Ennek a fordítottja nem igaz. Például: függvény y = |x| mindenhol folytonos, különösen az x = 0 pontban, de a függvény grafikonjának érintője az „együttes pontban” (0; 0) nem létezik. Ha egy ponton nem lehet érintőt rajzolni a függvénygráfhoz, akkor ezen a ponton nincs derivált.

Még egy példa. Az \(y=\sqrt(x) \) függvény folytonos a teljes számegyenesen, beleértve az x = 0 pontot is. És a függvény grafikonjának érintője bármely pontban létezik, beleértve az x = 0 pontot is. De ezen a ponton az érintő egybeesik az y tengellyel, azaz merőleges az abszcissza tengelyre, egyenlete x \u003d 0. Egy ilyen egyenesnek nincs meredeksége, ami azt jelenti, hogy \ ( f "(0) \) sem létezik

Tehát megismerkedtünk egy függvény új tulajdonságával - a differenciálhatósággal. Hogyan állapítható meg, hogy egy függvény megkülönböztethető-e egy függvény grafikonjától?

A válasz valójában fent van. Ha egy függvény grafikonjára egy ponton olyan érintőt lehet húzni, amely nem merőleges az x tengelyre, akkor ezen a ponton a függvény differenciálható. Ha egy ponton a függvény grafikonjának érintője nem létezik, vagy merőleges az x tengelyre, akkor ezen a ponton a függvény nem differenciálható.

Differenciálási szabályok

A derivált megtalálásának műveletét ún különbségtétel. Ennek a műveletnek a végrehajtása során gyakran kell dolgozni hányadosokkal, összegekkel, függvények szorzataival, valamint "függvények függvényeivel", azaz összetett függvényekkel. A derivált definíciója alapján levezethetjük ezt a munkát megkönnyítő differenciálási szabályokat. Ha C egy állandó szám és f=f(x), g=g(x) néhány differenciálható függvény, akkor a következők igazak differenciálási szabályok:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Összetett függvény deriváltja:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Egyes függvények deriváltjainak táblázata

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Származékos számítás a differenciálszámítás egyik legfontosabb művelete. Az alábbiakban egy táblázat található a származékok kereséséhez egyszerű funkciók. Az összetettebb megkülönböztetési szabályokért lásd a többi leckét:

• Exponenciális és logaritmikus függvények deriváltjainak táblázata

Használja a megadott képleteket referenciaértékként. Segítenek differenciálegyenletek és problémák megoldásában. A képen az egyszerű függvények deriváltjainak táblázatában található egy "csalólap" a származék megtalálásának főbb eseteiről, használható formában, mellette minden esetre magyarázatok.

Egyszerű függvények származékai

1. Egy szám származéka nulla
с´ = 0
Példa:
5' = 0

Magyarázat:
A derivált azt mutatja meg, hogy milyen sebességgel változik a függvény értéke az argumentum megváltozásakor. Mivel a szám semmilyen körülmények között nem változik, változásának mértéke mindig nulla.

2. Változó származéka egyenlő eggyel
x' = 1

Magyarázat:
Az (x) argumentum minden egyes növelésével a függvény (számítási eredmény) értéke ugyanannyival növekszik. Így az y = x függvény értékének változási sebessége pontosan megegyezik az argumentum értékének változási sebességével.

3. Egy változó és egy tényező deriváltja egyenlő ezzel a tényezővel
сx´ = с
Példa:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Magyarázat:
Ebben az esetben minden alkalommal, amikor a függvény argumentuma ( x) értéke (y) növekszik val vel egyszer. Így a függvény értékének változási sebessége az argumentum változási sebességéhez képest pontosan megegyezik a függvény értékének val vel.

Honnan következik az
(cx + b)" = c
vagyis az y=kx+b lineáris függvény differenciálja egyenlő szögegyüttható az egyenes lejtése (k).

4. Egy változó modulo deriváltja egyenlő ennek a változónak a modulusának hányadosával
|x|"= x / |x| feltéve, hogy x ≠ 0
Magyarázat:
Mivel a változó deriváltja (lásd a 2. képletet) egyenlő eggyel, a modul deriváltja csak annyiban tér el, hogy a függvény változási sebességének értéke az origó átlépésekor az ellenkezőjére változik (próbáljon meg rajzolni egy grafikont az y = |x| függvényből, és nézd meg magad. Ez pontosan az érték, és az x / |x| kifejezést adja vissza, ha x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - egy. Azaz at negatív értékeket x változó, az argumentum változásának minden egyes növekedésével a függvény értéke pontosan ugyanannyival csökken, a pozitívaknál pedig éppen ellenkezőleg, nő, de pontosan ugyanannyival.

5. Változó hatványszármazéka egyenlő ennek a hatványnak a számának és a hatványban lévő változónak eggyel csökkentett szorzatával
(x c)"= cx c-1, feltéve, hogy x c és cx c-1 definiált, és c ≠ 0
Példa:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Megjegyezni a képletet:
Vegyük a „le” változó kitevőjét szorzónak, majd magát a kitevőt csökkentsük eggyel. Például x 2 esetén kettő megelőzte x-et, majd a csökkentett teljesítmény (2-1 = 1) csak 2x-et adott nekünk. Ugyanez történt x 3 esetén is - csökkentjük a hármast, csökkentjük eggyel, és kocka helyett négyzetet kapunk, azaz 3x 2-t. Kicsit "tudománytalan", de nagyon könnyen megjegyezhető.

6.Tört származék 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Példa:
Mivel a tört negatív hatványra való emelésként ábrázolható
(1/x)" = (x -1)" , akkor alkalmazhatja a derivált táblázat 5. szabályának képletét
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Tört származék tetszőleges fokozatú változóval a nevezőben
(1/x c)" = - c / x c+1
Példa:
(1/x2)" = -2/x3

8. gyökszármazék(az alábbi változó származéka négyzetgyök)
(√x)" = 1 / (2√x) vagy 1/2 x -1/2
Példa:
(√x)" = (x 1/2)", így alkalmazhatja az 5. szabály képletét
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Tetszőleges fokos gyök alatti változó származéka
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)