Najmanji zajednički višekratnik broja 2. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik, ali za dva ili više brojeva

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik?

Potrebno je pronaći svaki faktor svakog od dva broja za koji nalazimo najmanji zajednički višekratnik, a zatim pomnožiti faktore koji su se podudarali s prvim i drugim brojem jedan s drugim. Rezultat proizvoda bit će željeni višestruki.

Na primjer, imamo brojeve 3 i 5 i moramo pronaći LCM (najmanji zajednički višekratnik). Nas mora se umnožiti i tri i pet za sve brojeve počevši od 1 2 3 ... i tako dok ne vidimo isti broj tu i tamo.

Pomnožimo tri i dobijemo: 3, 6, 9, 12, 15

Pomnožite pet i dobijete: 5, 10, 15

Metoda faktorizacije prostih brojeva je najklasičnija za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) više brojeva. Ova metoda je jasno i jednostavno prikazana u sljedećem videu:

Zbrajati, množiti, dijeliti, svesti na zajednički nazivnik i ostalo aritmetičke operacije vrlo uzbudljiva aktivnost, posebno se dive primjeri koji zauzimaju cijeli list.

Dakle, pronađite zajednički višekratnik za dva broja, koji će biti najmanji broj s kojim su dva broja djeljiva. Želim napomenuti da u budućnosti nije potrebno pribjegavati formulama da biste pronašli ono što tražite, ako možete računati u mislima (a to se može istrenirati), onda vam u glavi iskaču sami brojevi i onda razlomci klikću kao orasi.

Za početak ćemo naučiti da možemo pomnožiti dva broja jedan protiv drugog, a zatim taj broj smanjiti i naizmjence podijeliti s ova dva broja, pa ćemo pronaći najmanji višekratnik.

Na primjer, dva broja 15 i 6. Pomnožimo i dobijemo 90. To je jasno više broja. Štoviše, 15 je djeljivo s 3, a 6 je djeljivo s 3, što znači da također dijelimo 90 s 3. Dobivamo 30. Pokušavamo podijeliti 30 s 15 je 2. A 30 dijeli 6 je 5. Budući da je 2 granica, ispada da će najmanji višekratnik za brojeve 15 i 6 biti 30.

S više brojeva bit će malo teže. ali ako znate koji brojevi daju nula ostatka kada se dijele ili množe, onda, u principu, nema velikih poteškoća.

Kako pronaći NOC

Ovdje je video koji će vam pokazati dva načina pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM). Vježbanjem koristeći prvu od predloženih metoda, možete bolje razumjeti koji je najmanji zajednički višekratnik.

Evo još jednog načina da pronađete najmanji zajednički višekratnik. Pogledajmo ilustrativan primjer.

Potrebno je pronaći LCM od tri broja odjednom: 16, 20 i 28.

Svaki broj predstavljamo kao umnožak njegovih prostih faktora:

Zapisujemo moći svih primarnih faktora:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

Odaberemo sve proste djelitelje (množitelje) s najvećim stupnjevima, pomnožimo ih i pronađemo LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Tako je kao rezultat izračuna dobiven broj 560. To je najmanji zajednički višekratnik, odnosno djeljiv je sa svakim od tri broja bez ostatka.

Najmanji zajednički višekratnik je broj koji se može podijeliti s nekoliko zadanih brojeva bez ostatka. Da biste izračunali takvu brojku, trebate uzeti svaki broj i razložiti ga na jednostavne faktore. Oni brojevi koji se podudaraju se uklanjaju. Ostavlja sve jednog po jednog, umnožavajte ih između sebe redom i dobivajte željeni - najmanji zajednički višekratnik.

NOO ili najmanji zajednički višekratnik, je najmanji prirodni broj dva ili više brojeva koji je djeljiv sa svakim od zadanih brojeva bez ostatka.

Evo primjera kako pronaći najmanji zajednički višekratnik 30 i 42.

Prvi korak je razlaganje ovih brojeva na proste faktore.

Za 30, to je 2 x 3 x 5.

Za 42, ovo je 2 x 3 x 7. Budući da su 2 i 3 u proširenju broja 30, prekrižimo ih.

Zapisujemo faktore koji su uključeni u proširenje broja 30. To je 2 x 3 x 5.
Sada ih trebate pomnožiti s faktorom koji nedostaje, koji imamo pri razlaganju 42, a ovo je 7. Dobivamo 2 x 3 x 5 x 7.
Pronalazimo ono što je jednako 2 x 3 x 5 x 7 i dobivamo 210.

Kao rezultat, dobivamo da je LCM brojeva 30 i 42 210.

Da pronađemo najmanji zajednički višekratnik, morate slijediti nekoliko jednostavnih koraka u nizu. Razmotrimo to na primjeru dva broja: 8 i 12

Oba broja rastavljamo na proste faktore: 8=2*2*2 i 12=3*2*2
Za jedan od brojeva smanjujemo iste množitelje. U našem slučaju, podudaranje 2 * 2, smanjujemo ih za broj 12, tada će 12 imati jedan faktor: 3.
Pronađite umnožak svih preostalih faktora: 2*2*2*3=24

Provjeravajući, uvjeravamo se da je 24 djeljivo i sa 8 i sa 12, a ovo je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa svakim od ovih brojeva. Ovdje smo pronađite najmanji zajednički višekratnik.

Pokušat ću objasniti na primjeru brojeva 6 i 8. Najmanji zajednički višekratnik je broj koji se može podijeliti s tim brojevima (u našem slučaju 6 i 8) i neće biti ostatka.

Dakle, počinjemo množiti prvo 6 s 1, 2, 3, itd. i 8 s 1, 2, 3, itd.

Naziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka najveći zajednički djelitelj ove brojke. Označimo GCD(a, b).

Razmislite o pronalaženju GCD na primjeru dva prirodna broja 18 i 60:

1 Razložimo brojeve na proste faktore:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Izbrišemo iz proširenja prvog broja sve faktore koji nisu uključeni u proširenje drugog broja, dobivamo 2×3×3 .

3 Pomnožimo preostale proste faktore nakon precrtavanja i dobijemo najveći zajednički djelitelj brojeva: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Imajte na umu da nije bitno od prvog ili drugog broja precrtavamo faktore, rezultat će biti isti:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 i 432

Razložimo brojeve na proste faktore:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Brisanjem iz prvog broja, čiji faktori nisu u drugom i trećem broju, dobivamo:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Kao rezultat GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

Pronalaženje GCD s Euklidovim algoritmom

Drugi način za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja pomoću Euklidov algoritam. Euklidov algoritam je najviše učinkovit način nalaz GCD, koristeći ga morate stalno pronaći ostatak dijeljenja brojeva i primijeniti ponavljajuća formula.

Rekurentna formula za GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), gdje je mod b ostatak dijeljenja a sa b.

Euklidov algoritam

Primjer Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 7920 i 594

Nađimo GCD( 7920 , 594 ) pomoću Euclidovog algoritma izračunat ćemo ostatak dijeljenja pomoću kalkulatora.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Kao rezultat, dobivamo GCD( 7920 , 594 ) = 198

Najmanji zajednički višekratnik

Pronalaženje zajedničkog nazivnika pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka različitim nazivnicima treba znati i znati izračunati najmanji zajednički višekratnik(NOC).

Višekratnik broja "a" je broj koji je i sam djeljiv brojem "a" bez ostatka.

Brojevi koji su višekratnici od 8 (to jest, ovi brojevi će biti podijeljeni s 8 bez ostatka): to su brojevi 16, 24, 32 ...

Višekratnici 9: 18, 27, 36, 45…

Postoji beskonačno mnogo višekratnika danog broja a, za razliku od djelitelja istog broja. Dijelci - konačan broj.

Zajednički višekratnik dvaju prirodnih brojeva je broj koji je jednako djeljiv s oba ova broja..

Najmanji zajednički višekratnik(LCM) od dva ili više prirodnih brojeva je najmanji prirodni broj koji je i sam djeljiv sa svakim od tih brojeva.

Kako pronaći NOC

LCM se može pronaći i napisati na dva načina.

Prvi način da pronađete LCM

Ova metoda se obično koristi za male brojeve.

Zapisujemo višekratnike za svaki od brojeva u retku sve dok ne postoji višekratnik koji je isti za oba broja.
Višekratnik broja "a" označava se velikim slovom "K".

Primjer. Pronađite LCM 6 i 8.

Drugi način da pronađete LCM

Ova metoda je prikladna za pronalaženje LCM-a za tri ili više brojeva.

Broj identičnih čimbenika u proširenjima brojeva može biti različit.

U proširenju manjeg broja (manji brojevi) podcrtajte čimbenike koji nisu uključeni u proširenje većeg broja (u našem primjeru to je 2) i dodajte te faktore proširenju većeg broja.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Zabilježite rezultirajući rad kao odgovor.
Odgovor: LCM (24, 60) = 120

Također možete formalizirati pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) na sljedeći način. Nađimo LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Kao što možete vidjeti iz proširenja brojeva, svi faktori od 12 uključeni su u proširenje broja 24 (najveći od brojeva), tako da dodajemo samo jedno 2 iz proširenja broja 16 u LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Odgovor: LCM (12, 16, 24) = 48

Posebni slučajevi pronalaska NOO-a

Ako je jedan od brojeva jednako djeljiv s ostalima, tada je najmanji zajednički višekratnik tih brojeva jednak ovom broju.

Na primjer, LCM(60, 15) = 60
Budući da međusobno prosti brojevi nemaju zajedničke proste djelitelje, njihov je najmanji zajednički višekratnik jednak umnošku tih brojeva.

Na našim stranicama također možete koristiti poseban kalkulator za pronalaženje najmanje zajedničkog višekratnika na mreži kako biste provjerili svoje izračune.

Ako je prirodni broj djeljiv samo s 1 i sam sa sobom, onda se naziva prostim.

Svaki prirodni broj uvijek je djeljiv s 1 i sam sa sobom.

Broj 2 je najmanji prost broj. Ovo je jedini paran prost broj, ostali prosti brojevi su neparni.

Postoji mnogo prostih brojeva, a prvi među njima je broj 2. Međutim, ne postoji posljednji prosti broj. U odjeljku "Za učenje" možete preuzeti tablicu prostih brojeva do 997.

Ali mnogi prirodni brojevi su jednako djeljivi s drugim prirodnim brojevima.

broj 12 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;
36 je djeljivo sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj jednako djeljiv (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djeliteljima broja.

Djelitelj prirodnog broja a je takav prirodan broj koji zadani broj "a" dijeli bez ostatka.

Prirodni broj koji ima više od dva faktora naziva se složeni broj.

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke djelitelje. To su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12.

Zajednički djelitelj dvaju zadanih brojeva "a" i "b" je broj kojim su oba data broja "a" i "b" podijeljena bez ostatka.

Najveći zajednički djelitelj(gcd) od dva zadana broja "a" i "b" je najveći broj, kojim su oba broja "a" i "b" djeljiva bez ostatka.

Ukratko, najveći zajednički djelitelj brojeva "a" i "b" piše se na sljedeći način:

Primjer: gcd (12; 36) = 12 .

Djelitelji brojeva u zapisu rješenja označeni su velikim slovom "D".

Brojevi 7 i 9 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Takvi brojevi se nazivaju koprosti brojevi.

Koprosti brojevi su prirodni brojevi koji imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Njihov GCD je 1.

Kako pronaći najveći zajednički djelitelj

Da biste pronašli gcd dva ili više prirodnih brojeva, trebate:

rastaviti djelitelje brojeva na proste faktore;

Izračuni se prikladno pišu pomoću okomite trake. Lijevo od retka prvo zapišite dividendu, desno - djelitelj. Dalje u lijevom stupcu zapisujemo vrijednosti privatnog.

Objasnimo odmah na primjeru. Razložimo brojeve 28 i 64 u proste faktore.

64 = 2 2 2 2 2 2
Pronađemo umnožak identičnih prostih faktora i zapišemo odgovor;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Odgovor: GCD (28; 64) = 4

Mjesto GCD-a možete urediti na dva načina: u stupcu (kao što je učinjeno gore) ili "u redu".

Prvi način za pisanje GCD

Pronađite GCD 48 i 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Drugi način za pisanje GCD

Sada napišimo rješenje GCD pretraživanja u retku. Pronađite GCD 10 i 15.

Na našoj informativnoj stranici također možete pronaći najveći zajednički djelitelj online koristeći pomoćni program za provjeru vaših izračuna.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, metode, primjeri pronalaženja LCM-a.

Dolje prikazani materijal logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - Najmanji zajednički višestruki, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo govoriti o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), i Posebna pažnja Pogledajmo primjere. Najprije pokažimo kako se LCM dvaju brojeva izračunava u terminima GCD tih brojeva. Zatim razmotrite pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika faktoringom brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a od tri i više brojeva, a također obratite pozornost na izračun LCM negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Jedan od načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na odnosu između LCM-a i GCD-a. Postojeći odnos između LCM-a i GCD-a omogućuje vam da izračunate najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Razmotrimo primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70 .

U ovom primjeru a=126, b=70. Upotrijebimo vezu LCM s GCD, koja je izražena formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva prema napisanoj formuli.

Pronađite gcd(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Što je LCM(68, 34)?

Budući da je 68 jednako djeljivo s 34, tada je gcd(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM-a faktoriranjem brojeva u proste faktore

Drugi način pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na faktoriranju brojeva u proste faktore. Ako napravimo umnožak svih prostih čimbenika ovih brojeva, nakon čega iz tog umnožaka izuzmemo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima tih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku tih brojeva.

Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih čimbenika uključenih u proširenja brojeva a i b. Zauzvrat, gcd(a, b) je jednak umnošku svih prostih čimbenika koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore ).

Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite umnožak svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog proizvoda izuzimamo sve čimbenike koji su prisutni i u proširenju broja 75 i u proširenju broja 210 (takvi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku 75 i 210 , odnosno LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Nakon faktoringa brojeva 441 i 700 u proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.

Razložimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:

Dobivamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Sada napravimo umnožak svih čimbenika koji sudjeluju u proširenjima ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Isključimo iz ovog proizvoda sve čimbenike koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Dakle, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM (441, 700) = 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM-a pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Zbrojimo li faktore koji nedostaju iz proširenja broja b faktorima iz proširenja broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja u proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo čimbenike koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo umnožak 2 3 5 5 7 , čija je vrijednost LCM(75 , 210) .

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Prvo dobivamo razlaganje brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2 , 2 , 3 i 7 iz proširenja broja 84 dodamo čimbenike koji nedostaju 2 , 3 , 3 i 3 iz proširenja broja 648 , dobijemo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.

Pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dva broja. Prisjetimo se odgovarajućeg teorema, koji daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.

Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.

Pronađite LCM četiri broja 140 , 9 , 54 i 250 .

Prvo nalazimo m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, određujemo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1, odakle je LCM(140, 9)=140 9: GCD (140, 9)= 140 9:1=1 260 . To jest, m 2 =1 260 .

Sada nalazimo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Izračunajmo ga kroz gcd(1 260, 54) , što je također određeno Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18, odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To jest, m 3 \u003d 3 780.

Ostaje pronaći m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) koristeći Euklid algoritam: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prema tome, gcd(3 780, 250)=10, dakle LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . To jest, m 4 \u003d 94 500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik izvorna četiri broja je 94 500.

LCM (140, 9, 54, 250) = 94500 .

U mnogim slučajevima, najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva prikladno se nalazi korištenjem prostih faktorizacija zadanih brojeva. Pritom se treba pridržavati sljedeće pravilo. Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva jednak je umnošku koji se sastoji na sljedeći način: čimbenici koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim čimbenicima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje dobivenim faktorima i tako dalje.

Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore.

Nađi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Prvo dobivamo dekompozicije ovih brojeva na proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 je prost broj, podudara se s njegovom dekompozicijom na proste faktore) i 143=11 13 .

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (oni su 2, 2, 3 i 7) trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Proširivanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, budući da su i 2 i 3 već prisutni u proširenju prvog broja 84 . Osim faktora 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 11 i 13 iz proširenja broja 143. Dobivamo umnožak 2 2 2 2 3 7 11 13 koji je jednak 48 048 .

Stoga je LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višestrukog negativnih brojeva

Ponekad postoje zadaci u kojima trebate pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva, među kojima su jedan, nekoliko ili svi brojevi negativni. U tim slučajevima, svi negativni brojevi moraju se zamijeniti njihovim suprotnim brojevima, nakon čega treba pronaći LCM pozitivnih brojeva. Ovo je način da se pronađe LCM negativnih brojeva. Na primjer, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) i LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

To možemo učiniti jer je skup višekratnika a isti kao i skup višekratnika od −a (a i −a su suprotni brojevi). Doista, neka je b neki višekratnik a, tada je b djeljivo s a, a koncept djeljivosti potvrđuje postojanje takvog cijelog broja q da je b=a q. Ali jednakost b=(−a)·(−q) također će biti istinita, što, na temelju istog koncepta djeljivosti, znači da je b djeljiv s −a , odnosno da je b višekratnik od −a . Točna je i obrnuta tvrdnja: ako je b neki višekratnik od −a, tada je i b višekratnik od a.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva −145 i −45.

Zamijenimo negativne brojeve −145 i −45 njihovim suprotnim brojevima 145 i 45 . Imamo LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Odredivši gcd(145, 45)=5 (na primjer, korištenjem Euklidovog algoritma), izračunavamo LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Dakle, najmanji zajednički višekratnik negativnih cijelih brojeva −145 i −45 je 1,305.

www.cleverstudents.ru

Nastavljamo učiti odjeljenje. U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na pojmove kao što su GCD i NOO.

GCD je najveći zajednički djelitelj.

NOO je najmanji zajednički višekratnik.

Tema je prilično dosadna, ali ju je potrebno razumjeti. Bez razumijevanja ove teme nećete moći učinkovito raditi s razlomcima, koji su prava prepreka u matematici.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija. Najveći zajednički djelitelj brojeva a i b a i b podijeljeno bez ostatka.

Kako bismo dobro razumjeli ovu definiciju, umjesto varijabli zamjenjujemo a i b bilo koja dva broja, na primjer, umjesto varijable a zamijeniti broj 12, a umjesto varijable b broj 9. Pokušajmo sada pročitati ovu definiciju:

Najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 9 je najveći broj kojim 12 i 9 podijeljeno bez ostatka.

Iz definicije je jasno da je riječ o zajedničkom djelitelju brojeva 12 i 9, a taj je djelitelj najveći od svih postojećih djelitelja. Ovaj najveći zajednički djelitelj (gcd) mora se pronaći.

Za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja koriste se tri metode. Prva metoda je dosta dugotrajna, ali vam omogućuje da dobro shvatite bit teme i osjetite njezino cijelo značenje.

Druga i treća metoda su prilično jednostavne i omogućuju brzo pronalaženje GCD-a. Razmotrit ćemo sve tri metode. A što primijeniti u praksi – vi birate.

Prvi način je pronaći sve moguće djelitelje dvaju brojeva i odabrati najveći od njih. Razmotrimo ovu metodu u sljedećem primjeru: pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 9.

Prvo ćemo pronaći sve moguće djelitelje broja 12. Da bismo to učinili, podijelimo 12 na sve djelitelje u rasponu od 1 do 12. Ako nam djelitelj dopušta da podijelimo 12 bez ostatka, tada ćemo ga označiti plavom bojom i dati odgovarajuće objašnjenje u zagradama.

12: 1 = 12
(12 podijeljeno s 1 bez ostatka, dakle 1 je djelitelj 12)

12: 2 = 6
(12 podijeljeno s 2 bez ostatka, dakle 2 je djelitelj 12)

12: 3 = 4
(12 podijeljeno s 3 bez ostatka, dakle 3 je djelitelj 12)

12: 4 = 3
(12 podijeljeno s 4 bez ostatka, dakle 4 je djelitelj 12)

12:5 = 2 (2 preostala)
(12 nije podijeljeno s 5 bez ostatka, tako da 5 nije djelitelj 12)

12: 6 = 2
(12 podijeljeno sa 6 bez ostatka, dakle 6 je djelitelj 12)

12:7 = 1 (5 lijevo)
(12 nije podijeljeno sa 7 bez ostatka, tako da 7 nije djelitelj 12)

12:8 = 1 (4 lijevo)
(12 nije podijeljeno sa 8 bez ostatka, tako da 8 nije djelitelj 12)

12:9 = 1 (3 preostala)
(12 nije podijeljeno s 9 bez ostatka, tako da 9 nije djelitelj od 12)

12: 10 = 1 (2 lijevo)
(12 nije podijeljeno s 10 bez ostatka, tako da 10 nije djelitelj 12)

12:11 = 1 (1 preostalo)
(12 nije podijeljeno s 11 bez ostatka, tako da 11 nije djelitelj 12)

12: 12 = 1
(12 podijeljeno s 12 bez ostatka, dakle 12 je djelitelj 12)

Sada pronađimo djelitelje broja 9. Da biste to učinili, provjerite sve djelitelje od 1 do 9

9: 1 = 9
(9 podijeljeno s 1 bez ostatka, dakle 1 je djelitelj 9)

9: 2 = 4 (1 lijevo)
(9 nije podijeljeno s 2 bez ostatka, tako da 2 nije djelitelj 9)

9: 3 = 3
(9 podijeljeno s 3 bez ostatka, dakle 3 je djelitelj 9)

9: 4 = 2 (1 lijevo)
(9 nije podijeljeno s 4 bez ostatka, tako da 4 nije djelitelj 9)

9:5 = 1 (4 preostalo)
(9 nije podijeljeno sa 5 bez ostatka, tako da 5 nije djelitelj 9)

9: 6 = 1 (3 lijevo)
(9 nije podijeljeno sa 6 bez ostatka, tako da 6 nije djelitelj 9)

9:7 = 1 (2 preostala)
(9 nije podijeljeno sa 7 bez ostatka, tako da 7 nije djelitelj 9)

9:8 = 1 (1 preostalo)
(9 nije podijeljeno sa 8 bez ostatka, tako da 8 nije djelitelj 9)

9: 9 = 1
(9 podijeljeno s 9 bez ostatka, dakle 9 je djelitelj 9)

Sada zapišite djelitelje oba broja. Brojevi označeni plavom bojom su djelitelji. Ispišimo ih:

Nakon što ste ispisali djelitelje, možete odmah odrediti koji je najveći i najčešći.

Po definiciji, najveći zajednički djelitelj 12 i 9 je broj kojim su 12 i 9 jednako djeljivi. Najveći i zajednički djelitelj brojeva 12 i 9 je broj 3

I broj 12 i broj 9 djeljivi su s 3 bez ostatka:

Dakle, gcd (12 i 9) = 3

Drugi način za pronalaženje GCD

Sada razmotrite drugi način pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja. esencija ovu metodu je rastaviti oba broja u proste faktore i pomnožiti zajedničke.

Primjer 1. Pronađite GCD brojeva 24 i 18

Prvo, faktorizirajmo oba broja u proste faktore:

Sada množimo njihove zajedničke faktore. Kako ne bi došlo do zabune, mogu se podvući uobičajeni čimbenici.

Gledamo dekompoziciju broja 24. Njegov prvi faktor je 2. Tražimo isti faktor u dekompoziciji broja 18 i vidimo da on također postoji. Podvlačimo obje dvije:

Opet gledamo dekompoziciju broja 24. Njegov drugi faktor je također 2. Tražimo isti faktor u dekompoziciji broja 18 i vidimo da ga nema po drugi put. Tada ništa ne ističemo.

Sljedeća dva u proširenju broja 24 također nedostaju u proširenju broja 18.

Prijelazimo na zadnji faktor u dekompoziciji broja 24. Ovo je faktor 3. Tražimo isti faktor u dekompoziciji broja 18 i vidimo da je također tu. Ističemo obje trojke:

Dakle, zajednički čimbenici brojeva 24 i 18 su faktori 2 i 3. Da biste dobili GCD, ovi faktori se moraju pomnožiti:

Dakle, gcd (24 i 18) = 6

Treći način pronalaženja GCD

Sada razmotrite treći način pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja. Bit ove metode leži u činjenici da se brojevi koji se traže za najveći zajednički djelitelj razlažu na proste faktore. Zatim se faktori koji nisu uključeni u proširenje drugog broja brišu iz proširenja prvog broja. Preostali brojevi u prvom proširenju se množe i dobivaju GCD.

Na primjer, pronađimo GCD za brojeve 28 i 16 na ovaj način. Prije svega, te brojeve rastavljamo na proste faktore:

Dobili smo dva proširenja: i

Sada, iz proširenja prvog broja, brišemo faktore koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. Proširenje drugog broja ne uključuje sedam. Izbrisat ćemo ga iz prve ekspanzije:

Sada množimo preostale faktore i dobivamo GCD:

Broj 4 je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 16. Oba su broja djeljiva s 4 bez ostatka:

Primjer 2 Pronađite GCD brojeva 100 i 40

Rastavljanje broja 100 na faktore

Rastavljanje broja 40 na faktore

Imamo dva proširenja:

Sada, iz proširenja prvog broja, brišemo faktore koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. Proširenje drugog broja ne uključuje jednu peticu (postoji samo jedna petica). Brišemo ga iz prve dekompozicije

Pomnožite preostale brojeve:

Dobili smo odgovor 20. Dakle, broj 20 je najveći zajednički djelitelj brojeva 100 i 40. Ova dva broja su djeljiva s 20 bez ostatka:

GCD (100 i 40) = 20.

Primjer 3 Pronađite gcd brojeva 72 i 128

Rastavljajući broj 72

Rastavljanje broja 128 na faktore

2×2×2×2×2×2×2

Sada, iz proširenja prvog broja, brišemo faktore koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. Proširenje drugog broja ne uključuje dvije trojke (nema ih uopće). Brišemo ih iz prve dekompozicije:

Dobili smo odgovor 8. Dakle, broj 8 je najveći zajednički djelitelj brojeva 72 i 128. Ova dva broja su djeljiva sa 8 bez ostatka:

GCD (72 i 128) = 8

Pronalaženje GCD za više brojeva

Na primjer, pronađimo GCD za brojeve 18, 24 i 36

Faktoriziranje broja 18

Faktoriziranje broja 24

Faktoriziranje broja 36

Imamo tri proširenja:

Sada odabiremo i podcrtavamo uobičajene čimbenike u ovim brojevima. Zajednički čimbenici moraju biti uključeni u sva tri broja:

Vidimo da su zajednički faktori za brojeve 18, 24 i 36 faktori 2 i 3. Množenjem ovih faktora dobivamo GCD koji tražimo:

Dobili smo odgovor 6. Dakle, broj 6 je najveći zajednički djelitelj brojeva 18, 24 i 36. Ova tri broja su djeljiva sa 6 bez ostatka:

GCD (18, 24 i 36) = 6

Primjer 2 Pronađite gcd za brojeve 12, 24, 36 i 42

Razložimo svaki broj na faktore. Zatim nalazimo umnožak zajedničkih faktora tih brojeva.

Faktoriziranje broja 12

Faktoriziranje broja 42

Imamo četiri proširenja:

Sada odabiremo i podcrtavamo uobičajene čimbenike u ovim brojevima. Zajednički čimbenici moraju biti uključeni u sva četiri broja:

Vidimo da su zajednički faktori za brojeve 12, 24, 36 i 42 faktori 2 i 3. Množenjem ovih faktora dobivamo GCD koji tražimo:

Dobili smo odgovor 6. Dakle, broj 6 je najveći zajednički djelitelj brojeva 12, 24, 36 i 42. Ovi brojevi su djeljivi sa 6 bez ostatka:

gcd(12, 24, 36 i 42) = 6

Iz prethodne lekcije znamo da ako se neki broj podijeli s drugim bez ostatka, naziva se višekratnik ovog broja.

Ispada da višekratnik može biti zajednički za više brojeva. A sada će nas zanimati višekratnik od dva broja, dok bi trebao biti što manji.

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva a i b- a i b a i broj b.

Definicija sadrži dvije varijable a i b. Zamijenimo bilo koja dva broja za ove varijable. Na primjer, umjesto varijable a zamijeniti broj 9, a umjesto varijable b zamijenimo broj 12. Pokušajmo sada pročitati definiciju:

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva 9 i 12 - Ovaj najmanji broj, što je višestruko 9 i 12 . Drugim riječima, to je tako mali broj koji je bez ostatka djeljiv brojem 9 i na broju 12 .

Iz definicije je jasno da je LCM najmanji broj koji je bez ostatka djeljiv s 9 i 12. Ovaj LCM je potrebno pronaći.

Postoje dva načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM). Prvi način je da možete zapisati prve višekratnike dvaju brojeva, a zatim među tim višekratnicima izabrati takav broj koji će biti zajednički i brojevima i malim. Primijenimo ovu metodu.

Prije svega, pronađimo prve višekratnike za broj 9. Da biste pronašli višekratnike za 9, trebate ovu devetku pomnožiti redom s brojevima od 1 do 9. Odgovori koje ćete dobiti bit će višekratnici broja 9. Dakle , Počnimo. Višestruki će biti istaknuti crvenom bojom:

Sada nalazimo višekratnike za broj 12. Da bismo to učinili, množimo 12 sa svim brojevima od 1 do 12 zauzvrat.

Razmotrimo rješenje sljedećeg problema. Korak dječaka je 75 cm, a korak djevojčice 60 cm. Potrebno je pronaći najmanju udaljenost na kojoj će oboje napraviti cijeli broj koraka.

Odluka. Cijeli put koji će dečki proći mora biti djeljiv sa 60 i 70 bez ostatka, jer svaki od njih mora napraviti cijeli broj koraka. Drugim riječima, odgovor mora biti višekratnik i 75 i 60.

Prvo ćemo ispisati sve višekratnike za broj 75. Dobivamo:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zapišimo sada brojeve koji će biti višekratni od 60. Dobivamo:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sada nalazimo brojeve koji se nalaze u oba reda.

Uobičajeni višekratnici brojeva bit će brojevi, 300, 600 itd.

Najmanji od njih je broj 300. U ovom slučaju će se zvati najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Da se vratimo na stanje problema, najmanja udaljenost na kojoj dečki naprave cijeli broj koraka bit će 300 cm. Dječak će ići ovim putem u 4 koraka, a djevojka će morati napraviti 5 koraka.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

Najmanji zajednički višekratnik dvaju prirodnih brojeva a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b.

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva, nije potrebno za te brojeve u nizu zapisivati sve višekratnike.

Možete koristiti sljedeću metodu.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik

Prvo, trebate rastaviti ove brojeve na proste faktore.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Zapišimo sada sve čimbenike koji se nalaze u proširenju prvog broja (2,2,3,5) i dodajmo mu sve faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja (5).

Kao rezultat, dobivamo niz prostih brojeva: 2,2,3,5,5. Umnožak ovih brojeva bit će najmanji zajednički faktor za te brojeve. 2*2*3*5*5 = 300.

Opća shema za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

1. Rastaviti brojeve na proste faktore.
2. Zapišite osnovne čimbenike koji su dio jednog od njih.
3. Ovim čimbenicima dodajte sve one koji su u razgradnji ostatka, ali ne i u odabranom.
4. Pronađite umnožak svih zapisanih faktora.

Ova metoda je univerzalna. Može se koristiti za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika bilo kojeg broja prirodnih brojeva.

Online kalkulator omogućuje brzo pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika dva ili bilo kojeg drugog broja brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i NOC

Pronađite GCD i NOC

GCD i NOC pronađeni: 6433

Kako koristiti kalkulator

Unesite brojeve u polje za unos
U slučaju unosa netočnih znakova, polje za unos bit će istaknuto crvenom bojom
pritisnite gumb "Pronađi GCD i NOC"

Kako unositi brojeve

Brojevi se unose odvojeni razmacima, točkama ili zarezima
Duljina unesenih brojeva nije ograničena, pa pronalaženje gcd i lcm dugih brojeva neće biti teško

Što je NOD i NOK?

Najveći zajednički djelitelj od nekoliko brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi izvorni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj je skraćeno GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od izvornih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik je skraćeno NOO.

Kako provjeriti je li broj djeljiv s drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali je li jedan broj djeljiv s drugim bez ostatka, možete koristiti neka svojstva djeljivosti brojeva. Zatim se njihovim kombiniranjem može provjeriti djeljivost po nekima od njih i njihovim kombinacijama.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Znak djeljivosti broja sa 2
Da bismo utvrdili je li broj djeljiv s dva (je li paran), dovoljno je pogledati posljednju znamenku ovog broja: ako je jednak 0, 2, 4, 6 ili 8, tada je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 2.
Odluka: pogledajte posljednju znamenku: 8 znači da je broj djeljiv s dva.

2. Znak djeljivosti broja sa 3
Broj je djeljiv s 3 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 3. Dakle, da biste utvrdili je li broj djeljiv s 3, trebate izračunati zbroj znamenki i provjeriti je li djeljiv s 3. Čak i ako se zbroj znamenki pokazao vrlo velikim, možete ponoviti isti postupak opet.
Primjer: utvrditi je li broj 34938 djeljiv s 3.
Odluka: brojimo zbroj znamenki: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljivo s 3, što znači da je broj djeljiv s tri.

3. Znak djeljivosti broja sa 5
Broj je djeljiv s 5 kada mu je zadnja znamenka nula ili pet.
Primjer: utvrditi je li broj 34938 djeljiv s 5.
Odluka: pogledajte posljednju znamenku: 8 znači da broj NIJE djeljiv s pet.

4. Znak djeljivosti broja sa 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti s tri: broj je djeljiv s 9 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 9.
Odluka: izračunavamo zbroj znamenki: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljivo s 9, što znači da je broj djeljiv s devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći GCD dva broja

Najviše na jednostavan način izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva je pronaći sve moguće djelitelje tih brojeva i odabrati najveći od njih.

Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):

Faktoriziramo oba broja: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
Pronalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
Izračunavamo umnožak ovih faktora: 1 2 2 \u003d 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina za pronalaženje najmanjeg višekratnika dvaju brojeva. Prvi način je da možete ispisati prve višekratnike dvaju brojeva, a zatim među njima izabrati broj koji će biti zajednički za oba broja i istovremeno najmanji. A drugi je pronaći GCD ovih brojeva. Razmotrimo samo to.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati umnožak izvornih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

Pronađite umnožak brojeva 28 i 36: 28 36 = 1008
Već je poznato da je gcd(28, 36) 4
LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Pronalaženje GCD i LCM za više brojeva

Najveći zajednički djelitelj može se pronaći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Za to se brojevi za traženje najvećeg zajedničkog djelitelja razlažu na proste faktore, zatim se pronalazi umnožak zajedničkih prostih faktora tih brojeva. Također, da biste pronašli GCD nekoliko brojeva, možete koristiti sljedeću relaciju: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Sličan odnos vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik brojeva: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

Prvo, faktorizirajmo brojeve: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2 .
Njihov proizvod će dati gcd: 1 2 2 = 4
Sada pronađimo LCM: za ovo prvo pronađemo LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
Da biste pronašli LCM sva tri broja, trebate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Dolje predstavljeni materijal logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo govoriti o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pozornost posvetite rješavanju primjera. Najprije pokažimo kako se LCM dvaju brojeva izračunava u terminima GCD tih brojeva. Zatim razmotrite pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika faktoringom brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a od tri ili više brojeva, a također ćemo obratiti pažnju na izračun LCM-a negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Jedan od načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na odnosu između LCM-a i GCD-a. Postojeći odnos između LCM-a i GCD-a omogućuje vam da izračunate najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Razmotrimo primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70 .

Odluka.

U ovom primjeru a=126, b=70. Upotrijebimo odnos između LCM i GCD izražen formulom LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva prema napisanoj formuli.

Pronađite gcd(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14 = 630 .

Odgovor:

LCM (126, 70) = 630 .

Primjer.

Što je LCM(68, 34)?

Odluka.

Kao 68 je jednako djeljivo s 34, tada je gcd(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Odgovor:

LCM (68, 34) = 68 .

Pronalaženje LCM-a faktoriranjem brojeva u proste faktore

Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih čimbenika uključenih u proširenja brojeva a i b. Zauzvrat, gcd(a, b) je jednak umnošku svih prostih čimbenika koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore ).

Primjer.

Nakon faktoringa brojeva 441 i 700 u proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.

Odluka.

Razložimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:

Dobivamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Odgovor:

LCM (441, 700) = 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM-a pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Ako faktorima iz proširenja broja a dodamo čimbenike koji nedostaju iz proširenja broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja u proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz dekompozicije broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz dekompozicije broja 210, dobijemo umnožak 2 3 5 5 7 , čija je vrijednost LCM(75 , 210) .

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Odluka.

Prvo dobivamo razlaganje brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2 , 2 , 3 i 7 iz dekompozicije broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2 , 3 , 3 i 3 iz dekompozicije broja 648 , dobijemo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.

Odgovor:

LCM (84, 648) = 4 536 .

Pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva

Teorema.

Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.

Primjer.

Pronađite LCM četiri broja 140 , 9 , 54 i 250 .

Odluka.

U ovom primjeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Prvo pronađemo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, određujemo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1 = 1 260 . To jest, m 2 =1 260 .

Sada nalazimo m 3 = LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga kroz gcd(1 260, 54) , što je također određeno Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18, odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To jest, m 3 \u003d 3 780.

Ostalo da se pronađe m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) koristeći Euklid algoritam: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prema tome, gcd(3 780, 250)=10, odakle je gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . To jest, m 4 \u003d 94 500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik izvorna četiri broja je 94 500.

Odgovor:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

U mnogim slučajevima, najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva prikladno se nalazi korištenjem prostih faktorizacija zadanih brojeva. U tom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva jednak je umnošku koji se sastoji na sljedeći način: čimbenici koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim čimbenicima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje dobivenim faktorima i tako dalje.

Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore.

Primjer.

Nađi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Odluka.

Prvo dobivamo proširenja ovih brojeva u proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prosti faktori) i 143=11 13 .

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (oni su 2 , 2 , 3 i 7 ) trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6 . Proširivanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, budući da su i 2 i 3 već prisutni u proširenju prvog broja 84 . Osim faktora 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 11 i 13 iz proširenja broja 143. Dobivamo umnožak 2 2 2 2 3 7 11 13 koji je jednak 48 048 .

Također preporučujemo

Učitavam...

Dom > strojarstvo

Najmanji zajednički višekratnik broja 2. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik, ali za dva ili više brojeva

Kako pronaći NOC

324 , 111 i 432

Pronalaženje GCD s Euklidovim algoritmom

Euklidov algoritam

Primjer Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 7920 i 594

Najmanji zajednički višekratnik

Kako pronaći NOC

Prvi način da pronađete LCM

Drugi način da pronađete LCM

Posebni slučajevi pronalaska NOO-a

Kako pronaći najveći zajednički djelitelj

Prvi način za pisanje GCD

Drugi način za pisanje GCD

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, metode, primjeri pronalaženja LCM-a.

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Pronalaženje LCM-a faktoriranjem brojeva u proste faktore

Pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višestrukog negativnih brojeva

Najveći zajednički djelitelj

Drugi način za pronalaženje GCD

Treći način pronalaženja GCD

Pronalaženje GCD za više brojeva

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik

Opća shema za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

Kako koristiti kalkulator

Kako unositi brojeve

Što je NOD i NOK?

Kako provjeriti je li broj djeljiv s drugim brojem bez ostatka?

Neki znakovi djeljivosti brojeva

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći GCD dva broja

Kako pronaći LCM dva broja

Pronalaženje GCD i LCM za više brojeva

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Pronalaženje LCM-a faktoriranjem brojeva u proste faktore

Pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva

Također preporučujemo