Integral i njegova praktična primjena. Primjena integrala iz kolegija

Tema istraživanja

Primjena integralnog računa u planiranju obiteljskih troškova

Relevantnost problema

Sve više u društvenim i ekonomske sfere pri izračunu stupnja nejednakosti u raspodjeli dohotka koristi se matematika, odnosno integralni račun. studiranje praktična upotreba dobivamo integral:

Kako integral i izračunavanje površine pomoću integrala pomažu u raspodjeli materijalnih troškova?

Kako će integral pomoći u uštedi novca za odmor.

Cilj

planirati obiteljske troškove koristeći integralni izračun

Zadaci

Istražiti geometrijsko značenje sastavni.
Razmotrite metode integracije u društvenim i ekonomskim sferama života.
Napravite prognozu materijalnih troškova obitelji prilikom popravka stana pomoću integrala.
Izračunajte volumen potrošnje energije obitelji za godinu dana, uzimajući u obzir integralni izračun.
Izračunajte iznos štednog uloga u Sberbanku za godišnji odmor.

Hipoteza

integralni račun pomaže u ekonomičnim izračunima pri planiranju obiteljskih prihoda i troškova.

Faze istraživanja

Proučavali smo geometrijsko značenje integrala i metode integracije u društvenim i ekonomskim sferama života.
Izračunali smo materijalne troškove potrebne za popravak stana pomoću integrala.
Izračunali smo volumen potrošnje električne energije u stanu i trošak električne energije za obitelj za godinu dana.
Razmotrili smo jednu od opcija za prikupljanje obiteljskog prihoda putem depozita u Sberbank koristeći integral.

Predmet proučavanja

integralna računica u društvenim i ekonomskim sferama života.

Metode

Analiza literature na temu "Praktična primjena integralnog računa"
Proučavanje metoda integracije u rješavanju zadataka na izračunavanje površina i volumena figura pomoću integrala.
Analiza obiteljskih troškova i prihoda korištenjem integralnog izračuna.

Radni proces

Pregled literature na temu "Praktična primjena integralnog računa"
Rješavanje sustava zadataka za izračunavanje površina i volumena likova pomoću integrala.
Izračun obiteljskih troškova i prihoda pomoću integralnog izračuna: renoviranje sobe, količina električne energije, depoziti u Sberbank za odmor.

Naši rezultati

Kako integral i izračunavanje volumena uz pomoć integrala pomažu u predviđanju obujma potrošnje električne energije?

nalazima

Ekonomski izračun potrebnih sredstava za popravak stana može se izvesti brže i točnije korištenjem integralnog izračuna.

Lakše je i brže izračunati potrošnju električne energije obitelji pomoću integralnog proračuna i Microsoft Office Excela, što znači predviđanje troškova električne energije obitelji za godinu dana.

Dobit od depozita u štedionici može se izračunati integralnim izračunom, što znači planiranje obiteljskog odmora.

Popis resursa

Tiskana izdanja:

Udžbenik. Algebra i početak analize 10-11 razred. A.G. Mordkovich. Mnemozina. M: 2007
Udžbenik. Algebra i početak analize 10-11 razred. A. Kolmogorov prosvjetiteljstvo. M: 2007
Matematika za sociologe i ekonomiste. Akhtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 str.
Integralni proračun.Priručnik Viša matematika M. Ya. Vygodsky, Prosvjeta, 2000

Ivanov Sergej, student gr.14-EOP-33D

Rad se može koristiti u generaliziranoj lekciji na teme "Izvod", "Integral".

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Da biste koristili pregled prezentacija, stvorite sebi račun ( račun) Google i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

GBPOU KNT im. B. I. Kornilova Istraživanje na temu: "Primjena derivacija i integrala u fizici, matematici i elektrotehnici." Student gr. 2014-eop-33d Sergej Ivanov.

1. Povijest pojave izvedenice. Krajem 17. stoljeća, veliki engleski znanstvenik Isaac Newton dokazao je da su Put i brzina međusobno povezani formulom: V (t) \u003d S '(t) i takav odnos postoji između kvantitativnih karakteristika najrazličitijih procesi koji se proučavaju: fizika, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , impuls P = mV = mx ' , kinetički E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), kemije, biologije i inženjerstva. Ovo Newtonovo otkriće bilo je prekretnica u povijesti prirodne znanosti.

1. Povijest pojave izvedenice. Čast otkrivanja temeljnih zakona matematička analiza uz Newtona pripada njemačkom matematičaru Gottfriedu Wilhelmu Leibnizu. Leibniz je do ovih zakona došao rješavajući problem povlačenja tangente na proizvoljnu krivulju, t.j. formulirao geometrijsko značenje izvedenice, da je vrijednost derivacije u točki dodira nagib tangenta ili tg kut nagiba tangente s pozitivnim smjerom osi O X. Pojam izvedenica i moderne oznake y’, f’ uveo je J. Lagrange 1797. godine.

2. Povijest pojave integrala. Koncept integralnog i integralnog računa proizašao je iz potrebe izračunavanja površine (kvadrature) bilo kojeg lika i volumena (kubature) proizvoljnih tijela. Prapovijest integralnog računa seže u antiku. Prva poznata metoda za izračunavanje integrala je metoda za proučavanje površine ili volumena krivolinijskih figura - Eudoxusova metoda iscrpljivanja (Eudoxus of Cnidus (c. 408. pr. Kr. - oko 355. pr. Kr.) - starogrčki matematičar, mehaničar i astronom), koji je predložen oko 370. pr. e. Bit ove metode je sljedeća: lik, čija se površina ili volumen pokušao pronaći, podijeljena je na beskonačan broj dijelova, za koje je površina ili volumen već poznat.

"Metoda iscrpljenosti" Pretpostavimo da trebamo izračunati volumen limuna koji ima nepravilnog oblika, te stoga primijeniti bilo koji poznata formula volumen nije moguć. Koristeći vaganje, također je teško pronaći volumen, budući da je gustoća limuna različitim dijelovima drugačije je. Nastavimo na sljedeći način. Limun narežite na tanke ploške. Svaka kriška se približno može smatrati cilindrom, polumjer baze, koji se može izmjeriti. Volumen takvog cilindra može se lako izračunati iz gotova formula. Zbrajanjem volumena malih cilindara, dobivamo približnu vrijednost volumena cijelog limuna. Aproksimacija će biti točnija, što tanje dijelove možemo rezati limun.

2. Povijest pojave integrala. Nakon Eudoxusa, metodu "iscrpljenja" i njezine varijante za izračun volumena i površina koristio je antički znanstvenik Arhimed. Uspješno razvijajući ideje svojih prethodnika, odredio je opseg, površinu kruga, volumen i površinu lopte. Pokazao je da se određivanje volumena kugle, elipsoida, hiperboloida i paraboloida okretanja svodi na određivanje volumena cilindra.

Temelj teorije diferencijalnih jednadžbi bio je diferencijalni račun koji su izradili Leibniz i Newton. Sam izraz "diferencijalna jednadžba" predložio je 1676. Leibniz. 3. Povijest pojave diferencijalnih jednadžbi. U početku su diferencijalne jednadžbe proizašle iz problema mehanike, u kojima se tražilo određivanje koordinata tijela, njihovih brzina i ubrzanja, smatranih funkcijama vremena pod različitim utjecajima. Neki od geometrijskih problema koji su se u to vrijeme razmatrali također su doveli do diferencijalnih jednadžbi.

3. Povijest pojave diferencijalnih jednadžbi. Od ogromnog broja djela 17. stoljeća o diferencijalnim jednadžbama ističu se djela Eulera (1707.-1783.) i Lagrangea (1736.-1813.). U tim je radovima najprije razvijena teorija malih oscilacija, a time i teorija linearni sustavi diferencijalne jednadžbe; usput su se pojavili osnovni pojmovi linearne algebre ( vlastitih vrijednosti a vektori u n-dimenzionalnom slučaju). Slijedeći Newtona, Laplace i Lagrange, a kasnije i Gauss (1777-1855), također su razvili metode teorije perturbacija.

4. Primjena derivacije i integrala u matematici: U matematici se derivacija široko koristi u rješavanju mnogih problema, jednadžbi, nejednakosti, kao iu procesu proučavanja funkcija. Primjer: Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem: 1)O.O.F. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 i riješimo jednadžbu. 3)O.O.F. rastaviti na intervale. 4) Odredimo predznak derivacije na svakom intervalu. Ako je f ′(x)>0, tada se funkcija povećava. Ako je f′(x)

4. Primjena derivacije i integrala u matematici: Integral (definitivni integral) se koristi u matematici (geometrija) za pronalaženje površine krivuljastog trapeza. Primjer: Algoritam za pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala: 1) Gradimo graf naznačenih funkcija. 2) Označite lik omeđen ovim linijama. 3) Pronađite granice integracije, zapišite određeni integral i izračunajte ga.

5. Primjena derivacije i integrala u fizici. U fizici se derivacija uglavnom koristi za rješavanje problema, na primjer: pronalaženje brzine ili ubrzanja bilo kojeg tijela. Primjer: 1) Zakon kretanja točke duž ravne linije dan je formulom s(t)= 10t^2 , gdje je t vrijeme (u sekundama), s(t) je odstupanje točke u vrijeme t (u metrima) od početne pozicije. Odredite brzinu i ubrzanje u trenutku t ako je: t=1,5 s. 2) Materijalna točka giba se pravolinijski prema zakonu x(t)= 2+20t+5t2. Pronađite brzinu i ubrzanje u trenutku t=2s (x je koordinata točke u metrima, t je vrijeme u sekundama).

Fizička veličina Srednja vrijednost Trenutačna vrijednost Brzina Ubrzanje Kutna brzina Struja Snaga Snaga

5. Primjena derivacije i integrala u fizici. Integral se također koristi u problemima kao što su pronalaženje brzine ili udaljenosti. Tijelo se giba brzinom v(t) = t + 2 (m/s). Pronađite put koji će tijelo prijeći za 2 sekunde nakon početka kretanja. Primjer:

6. Primjena derivacije i integrala u elektrotehnici. Izvedba je našla primjenu i u elektrotehnici. U lancu električna struja električno punjenje mijenja se tijekom vremena prema zakonu q=q (t). Struja I je derivacija naboja q s obzirom na vrijeme. I=q ′(t) Primjer: 1) Naboj koji teče vodičem mijenja se prema zakonu q=sin(2t-10) Nađite jačinu struje u trenutku t=5 sek. Integral u elektrotehnici može se koristiti za rješavanje inverznih zadataka, t.j. pronalaženje električnog naboja znajući jačinu struje itd. 2) Električni naboj koji teče kroz vodič, počevši od trenutka t \u003d 0, dan je formulom q (t) = 3t2 + t + 2. Pronađite jačinu struje u trenutku t = 3 s. Integral u elektrotehnici može se koristiti za rješavanje inverznih zadataka, t.j. pronalaženje električnog naboja znajući jačinu struje itd.

Koncept integrala široko je primjenjiv u životu. Integrali se koriste u raznim područjima znanosti i tehnologije. Glavni zadaci izračunati pomoću integrala su zadaci za:

1. Pronalaženje volumena tijela

2. Pronalaženje središta mase tijela.

Razmotrimo svaki od njih detaljnije. Ovdje i ispod, da bismo označili određeni integral neke funkcije f(x), s granicama integracije od a do b, koristit ćemo sljedeću notaciju ∫ a b f(x).

Pronalaženje volumena tijela

Razmotrite sljedeću sliku. Pretpostavimo da postoji neko tijelo čiji je volumen jednak V. Postoji i pravac takva da ako uzmemo određenu ravninu okomitu na ovu ravnu crtu, bit će poznata površina presjeka S ovog tijela ovom ravninom.

Svaka takva ravnina bit će okomita na os x, te će je stoga presjeći u nekoj točki x. To jest, svakoj točki x iz segmenta bit će dodijeljen broj S (x) - površina poprečnog presjeka tijela, ravnina koja prolazi kroz ovu točku.

Ispada da će na segmentu biti dana neka funkcija S(x). Ako je ova funkcija kontinuirana na ovom segmentu, tada će vrijediti sljedeća formula:

V = ∫ a b S(x)dx.

Dokaz ove tvrdnje je izvan okvira školskog kurikuluma.

Izračunavanje centra mase tijela

U fizici se najčešće koristi centar mase. Na primjer, postoji neko tijelo koje se kreće bilo kojom brzinom. No, nezgodno je razmatrati veliko tijelo, pa se stoga u fizici ovo tijelo smatra kretanjem točke, pod pretpostavkom da ta točka ima istu masu kao cijelo tijelo.

A zadatak izračunavanja središta mase tijela glavni je u ovoj stvari. Budući da je tijelo veliko, a koju točku treba uzeti za centar mase? Možda onaj u sredini tijela? Ili možda najbliža točka prednjem rubu? Ovdje dolazi do integracije.

Za pronalaženje središta mase koriste se sljedeća dva pravila:

1. Koordinata x' središta mase nekog sustava materijalnih točaka A1, A2,A3, … An s masama m1, m2, m3, … mn, redom, smještenih na pravoj liniji u točkama s koordinatama x1, x2, x3, … xn nalazi se sljedećom formulom:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Prilikom izračunavanja koordinata središta mase, bilo koji dio figure koja se razmatra može se zamijeniti s materijalna točka, dok ga stavite u središte mase ovog zasebnog dijela figure, i uzmite masu jednaku masi ovog dijela figure.

Na primjer, ako je masa gustoće p(x) raspoređena duž štapa - segmenta osi Ox, gdje je p(x) kontinuirana funkcija, tada će koordinata središta mase x' biti jednaka.

Zamislite da imamo neku vrstu funkcije ovisnosti nečega o nečemu.

Na primjer, ovako možete otprilike prikazati brzinu mog rada ovisno o dobu dana na grafikonu:

Mjerim brzinu u redovima koda u minuti, u stvaran život Ja sam računalni programer.

Količina posla je stopa rada pomnožena s vremenom. Odnosno, ako napišem 3 retka u minuti, onda dobijem 180 na sat. Ako imamo takav raspored, možete saznati koliko sam posla obavio u danu: ovo je područje ispod rasporeda. Ali kako to izračunati?

Podijelimo graf na stupce jednake širine, svaki sat. I učinit ćemo visinu ovih stupova jednakom brzini rada u sredini ovog sata.

Područje svakog stupca pojedinačno lako je izračunati, morate pomnožiti njegovu širinu s visinom. Ispada da je površina svakog stupca otprilike koliko sam posla obavio za svaki sat. A ako zbrojite sve kolumne, dobit ćete okvirni moj rad za taj dan.

Problem je što će rezultat biti približan, ali trebamo točan broj. Podijelimo grafikon u stupce na pola sata:

Slika pokazuje da je ovo već puno bliže onome što tražimo.

Tako možete segmente na grafu svesti na beskonačnost, a svaki put ćemo se sve više približavati području ispod grafa. A kada širina stupaca teži nuli, tada će zbroj njihovih površina težiti području ispod grafikona. To se naziva integral i označava se na sljedeći način:

U ovoj formuli f(x) označava funkciju koja ovisi o vrijednosti x, a slova a i b su segment na kojem želimo pronaći integral.

Zašto je ovo potrebno?

Znanstvenici pokušavaju sve fizičke pojave izraziti u obliku matematičke formule. Nakon što imamo formulu, onda je možemo koristiti za izračunavanje bilo čega. A integral je jedan od glavnih alata za rad s funkcijama.

Na primjer, ako imamo formulu za kružnicu, možemo koristiti integral da izračunamo njegovu površinu. Ako imamo formulu za kuglu, onda možemo izračunati njezin volumen. Uz pomoć integracije pronalazi se energija, rad, tlak, masa, električni naboj i mnoge druge veličine.

Ne, zašto mi treba?

Da, ništa – samo tako, iz radoznalosti. Zapravo, integrali su uključeni čak i u školski kurikulum, ali malo se ljudi u blizini sjeća što je to.

Klikom na gumb "Preuzmi arhivu" besplatno ćete preuzeti datoteku koja vam je potrebna.
Prije preuzimanja ove datoteke, sjetite se onih dobrih eseja, kontrolnih, seminarskih radova, teze, članke i druge dokumente koji se ne traže na vašem računalu. Ovo je vaš posao, treba sudjelovati u razvoju društva i koristiti ljudima. Pronađite ove radove i pošaljite ih u bazu znanja.
Mi i svi studenti, diplomski studenti, mladi znanstvenici koji koriste bazu znanja u svom studiju i radu bit ćemo vam jako zahvalni.

Za preuzimanje arhive s dokumentom, u polje ispod unesite peteroznamenkasti broj i kliknite gumb "Preuzmi arhivu"

Slični dokumenti

Upoznavanje s poviješću pojma integrala. Distribucija integralnog računa, otkriće Newton-Leibnizove formule. Simbol iznosa; proširenje koncepta zbroja. Opis potrebe da se sve fizičke pojave izraze u obliku matematičke formule.

prezentacija, dodano 26.01.2015

Ideje integralnog računa u djelima antičkih matematičara. Značajke metode iscrpljivanja. Povijest pronalaženja formule volumena Keplerovog torusa. Teorijsko utemeljenje principa integralnog računa (Cavalierijev princip). Pojam određenog integrala.

prezentacija, dodano 05.07.2016

Povijest integralnog računa. Definicija i svojstva dvostrukog integrala. Njegova geometrijska interpretacija, izračun u kartezijanskim i polarnim koordinatama, njegovo svođenje na ponovljeno. Primjena u ekonomiji i geometriji za izračunavanje volumena i površina.

seminarski rad, dodan 16.10.2013

Definicija krivolinijskog integrala nad koordinatama, njegova glavna svojstva i proračun. Uvjet neovisnosti krivuljastog integrala od puta integracije. Izračunavanje površina likova pomoću dvostrukog integrala. Korištenje Greenove formule.

test, dodano 23.02.2011

Uvjeti za postojanje određenog integrala. Primjena integralnog računa. Integralni račun u geometriji. Mehanička primjena određenog integrala. Integralni račun u biologiji. Integralni račun u ekonomiji.

seminarski rad, dodan 21.01.2008

Povijest integralnog i diferencijalnog računa. Primjena određenog integrala na rješavanje nekih problema mehanike i fizike. Momenti i središta mase ravninskih krivulja, Guldenov teorem. Diferencijalne jednadžbe. Primjeri rješavanja problema u MatLabu.

sažetak, dodan 07.09.2009

Koncept Stieltjesovog integrala. Opći uvjeti postojanje Stieltjesovog integrala, klase slučajeva njegovog postojanja i prelazak do granice pod njegovim znakom. Redukcija Stieltjesovog integrala na Riemannov integral. Primjena u teoriji vjerojatnosti i kvantnoj mehanici.

rad, dodan 20.07.2009