Vektor smjera prave l svi su pozvani vektor različit od nule (m, n) paralelno s ovom linijom.

Pusti točku M 1 (x 1 , y 1) i vektor smjera ( m, n), zatim jednadžba ravne koja prolazi kroz točku M 1 u smjeru vektora ima oblik: . Ova se jednadžba naziva kanonska jednadžba pravca.

Primjer. Naći jednadžbu ravne s vektorom smjera (1, -1) i koja prolazi točkom A(1, 2).

Tražit ćemo jednadžbu željene ravne u obliku: Ax+By+C= 0. Napišimo kanonsku jednadžbu pravca , transformirajmo je. Dobiti x + y - 3 = 0

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke

Neka su date dvije točke na ravnini M 1 (x 1 , y 1) i M 2 (x 2, y 2), tada jednadžba ravne koja prolazi kroz ove točke ima oblik: . Ako je bilo koji nazivnik jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednakim nuli.

Primjer. Nađite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke A(1, 2) i B(3, 4).

Primjenom gornje formule dobivamo:

Jednadžba ravne iz točke i nagiba

Ako je opća jednadžba ravne Ah + Wu + C= 0 dovesti do oblika: i označiti , tada se rezultirajuća jednadžba naziva jednadžba ravne linije s nagibom k.

Jednadžba ravne u segmentima

Ako je u općoj jednadžbi pravac Ah + Wu + C= 0 koeficijent S¹ 0, onda, dijeljenjem sa C, dobivamo: ili , gdje

geometrijski smisao koeficijenti u tome koeficijent a je koordinata točke presjeka pravca s osi Oh, a b- koordinata točke presjeka pravca s osi OU.

Primjer. Zadana je opća jednadžba ravne linije x – na+ 1 = 0. Nađite jednadžbu ove ravne u segmentima. A = -1, B = 1, C = 1, dakle a = -1, b= 1. Jednadžba ravne u segmentima imat će oblik .

Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nađite jednadžbu za visinu izvučenu iz vrha C.

Pronalazimo jednadžbu stranice AB: ;

4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Željena jednadžba visine ima oblik: Ax+By+C= 0 ili y = kx + b.

k= . Zatim y= . Jer visina prolazi točkom C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: gdje b= 17. Ukupno: .

Odgovor: 3 x + 2y – 34 = 0.

Vježba br. 7

Naziv razreda: Krivulje drugog reda.

Svrha lekcije: Naučite kako napraviti krivulje 2. reda, izgraditi ih.

Priprema za nastavu: Ponoviti teorijsko gradivo na temu "Krivulje 2. reda"

Književnost:

1. Dadayan A.A. „Matematika“, 2004

Zadatak za lekciju:

Redoslijed lekcije:

1. Dobiti dopuštenje za rad
2. Dovršite zadatke
3. Odgovori na sigurna pitanja.

1. Naziv, svrha sata, zadatak;
2. Dovršen zadatak;
3. Odgovori na kontrolna pitanja.

test pitanja za pomak:

1. Definirajte krivulje drugog reda (krug, elipsa, hiperbola, parabola), zapišite njihove kanonske jednadžbe.
2. Kako se zove ekscentricitet elipse ili hiperbole? Kako ga pronaći?
3. Napišite jednadžbu jednakostranične hiperbole

DODATAK

opseg je skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od jedne točke, koja se naziva središte.

Neka središte kružnice bude točka O(a; b), i udaljenost do bilo koje točke M(x;y) krug je jednak R. Zatim ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – kanonska jednadžba kružnice sa središtem O(a; b) i polumjer R.

Primjer. Pronađite koordinate središta i polumjer kružnice ako je njegova jednadžba data u obliku: 2 x 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

Pronaći koordinate središta i polumjera kružnice zadana jednadžba mora se svesti na kanonski oblik. Da biste to učinili, odaberite pune kvadrate:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Odavde nalazimo koordinate centra O(2; -5/4); radius R = 11/4.

Elipsa naziva se skup točaka u ravnini, zbroj udaljenosti od svake do dvije zadane točke (zvane žarišta) je konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.

Fokusi su označeni slovima F 1 , F s, zbroj udaljenosti od bilo koje točke elipse do žarišta je 2 a (2a > 2c), a- velika poluos; b- mala poluos.

Kanonska jednadžba elipse je: , gdje a, b i c međusobno povezani jednakostima: a 2 - b 2 \u003d c 2 (ili b 2 - a 2 \u003d c 2).

Oblik elipse određen je karakteristikom koja je omjer žarišne duljine i duljine glavne osi i naziva se ekscentricitet. ili .

Jer po definiciji 2 a> 2c, tada se ekscentricitet uvijek izražava kao pravi razlomak, t.j. .

Primjer. Napišite jednadžbu za elipsu ako su njezina žarišta F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), a glavna os je 2.

Jednadžba elipse ima oblik: .

Udaljenost između fokusa: 2 c= , Tako, a 2 – b 2 = c 2 = . Prema uvjetu 2 a= 2, dakle a = 1, b= Željena jednadžba elipse imat će oblik: .

Hiperbola nazvan skup točaka u ravnini, razlika u udaljenosti od svake od njih do dvije zadane točke, koje se nazivaju žarišta, konstantna je vrijednost, manja od udaljenosti između žarišta.

Kanonska jednadžba hiperbole ima oblik: ili , gdje a, b i c povezane jednakošću a 2 + b 2 = c 2 . Hiperbola je simetrična u odnosu na sredinu segmenta koji povezuje žarišta i u odnosu na koordinatne osi. Fokusi su označeni slovima F 1 , F 2 , udaljenost između žarišta - 2 s, razlika u udaljenostima od bilo koje točke hiperbole do žarišta je 2 a (2a < 2c). Os 2 a naziva se realna os hiperbole, os 2 b je imaginarna os hiperbole. Hiperbola ima dvije asimptote čije su jednadžbe

Ekscentricitet hiperbole je omjer udaljenosti između žarišta i duljine realne osi: ili. Jer po definiciji 2 a < 2c, tada se ekscentricitet hiperbole uvijek izražava kao nepravilan razlomak, t.j. .

Ako je duljina realne osi jednaka duljini imaginarne osi, t.j. a = b, ε = , tada se naziva hiperbola jednakostraničan.

Primjer. Napišite kanonsku jednadžbu hiperbole ako je njezin ekscentricitet 2 i žarišta se poklapaju s žarištima elipse s jednadžbom

Pronašli smo žarišna duljina c 2 = 25 – 9 = 16.

Za hiperbolu: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Zatim - željena jednadžba hiperbole.

parabola je skup točaka u ravnini jednako udaljenoj od zadanu točku, nazvan fokus, i zadana ravna linija, nazvana direktrisa.

Fokus parabole je označen slovom F, direktor - d, udaljenost od fokusa do direktrise je R.

Kanonska jednadžba parabole, čije je žarište smješteno na x-osi, je:

y 2 = 2px ili y 2 = -2px

x = -str/2, x = str/2

Kanonska jednadžba parabole, čije se žarište nalazi na y-osi, glasi:

x 2 = 2py ili x 2 = -2py

Directrix jednadžbe, respektivno na = -str/2, na = str/2

Primjer. Na paraboli na 2 = 8x pronaći točku čija je udaljenost od direktrise 4.

Iz jednadžbe parabole to dobivamo R = 4. r=x + str/2 = 4; stoga:

x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Točke pretraživanja: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Vježba br. 8

Naziv razreda: Radnje na kompleksne brojeve u algebarskom obliku. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva.

Svrha lekcije: Naučite operirati kompleksnim brojevima.

Priprema za nastavu: Ponoviti teorijsko gradivo na temu "Kompleksni brojevi".

Književnost:

1. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. "Elementi viša matematika“, 2008

Zadatak za lekciju:

1. Izračunati:

1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;

2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)( i 72 – i 34);

Neka pravac prolazi kroz točke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednadžba ravne koja prolazi točkom M 1 ima oblik y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

gdje k - još uvijek nepoznat koeficijent.

Budući da pravac prolazi kroz točku M 2 (x 2 y 2), tada koordinate ove točke moraju zadovoljiti jednadžbu (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k u jednadžbu (10.6) dobivamo jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke M 1 i M 2:

Pretpostavlja se da u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ako je x 1 \u003d x 2, tada je ravna crta koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y I) i M 2 (x 2, y 2) paralelna s y-osi. Njegova je jednadžba x = x 1 .

Ako je y 2 = y I, tada se jednadžba ravne linije može napisati kao y = y 1, ravna linija M 1 M 2 je paralelna s osi x.

Jednadžba ravne u segmentima

Neka pravac siječe os Ox u točki M 1 (a; 0), a os Oy - u točki M 2 (0; b). Jednadžba će poprimiti oblik:
oni.
. Ova se jednadžba zove jednadžba ravne u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente ravna crta odsijeca na koordinatnim osi.

Jednadžba ravne koja prolazi kroz zadanu točku okomito na dati vektor

Nađimo jednadžbu ravne koja prolazi kroz zadanu točku Mo (x O; y o) okomito na zadani vektor različit od nule n = (A; B).

Uzmite proizvoljnu točku M(x; y) na pravoj liniji i razmotrite vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Budući da su vektori n i M o M okomiti, njihov je skalarni proizvod jednak nuli: tj.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Jednadžba (10.8) se zove jednadžba ravne koja prolazi kroz zadanu točku okomito na dati vektor .

Vektor n = (A; B) okomit na pravac naziva se normalan normalni vektor ove linije .

Jednadžba (10.8) se može prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdje su A i B koordinate vektora normale, C \u003d -Ax o - Vu o - slobodni član. Jednadžba (10.9) je opća jednadžba ravne linije(vidi sl.2).

sl.1 sl.2

Kanonske jednadžbe ravne linije

,

Gdje
su koordinate točke kroz koju pravac prolazi, i
- vektor smjera.

Krivulje drugog reda Krug

Krug je skup svih točaka u ravnini koje su jednako udaljene od dane točke, koja se naziva središte.

Kanonska jednadžba kružnice polumjera R centriran na točku
:

Konkretno, ako se središte udjela podudara s ishodištem, tada će jednadžba izgledati ovako:

Elipsa

Elipsa je skup točaka u ravnini, zbroj udaljenosti od svake od njih do dvije zadane točke i , koji se nazivaju žarišta, je konstantna vrijednost
, veća od udaljenosti između žarišta
.

Kanonska jednadžba elipse čija žarišta leže na osi Ox i čije je ishodište u sredini između žarišta ima oblik
G de a duljina glavne poluosi; b je duljina male poluosi (slika 2).

Jednadžba ravne koja prolazi kroz t.u A (ha; wah) i imajući nagib k, je napisan u obliku

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke t. A (x 1; y 1) itd. B (x 2; y 2), ima oblik

Ako bodovi ALI i NA definirati ravnu liniju paralelno s osi Ox (y 1 \u003d y 2) ili y-os (x 1 = x 2), tada se jednadžba takve ravne linije zapisuje u obliku:

y = y 1 ili x = x 1(7)

Normalna jednadžba ravne linije

Neka je zadan pravac C koji prolazi kroz zadanu točku Mo(Xo; V0) i okomit na vektor (A; B). Svaki vektor okomit na zadani pravac naziva se njegovim normalni vektor. Odaberimo proizvoljnu točku M na pravoj (x; y). Zatim, što znači da oni skalarni proizvod. Ova se jednakost može zapisati u koordinatama

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

Jednadžba (8) se zove normalna jednadžba ravne linije .

Parametarske i kanonske jednadžbe ravne linije

Neka linija l dano polazišnom točkom M 0 (x 0; y 0) i vektor smjera ( a 1; a 2),. Neka t. M(x; y)- bilo koja točka na pravci l Tada je vektor kolinearan vektoru. Prema tome, = . Zapisivanjem ove jednadžbe u koordinatama dobivamo parametarsku jednadžbu ravne linije

Izuzmimo parametar t iz jednadžbe (9). To je moguće jer je vektor , i stoga barem jedna od njegovih koordinata različit od nule.

Neka i , Tada , I, dakle,

Jednadžba (10) se zove kanonska jednadžba pravca s vodećim vektorom

\u003d (a 1; a 2). Ako je a a 1 =0 i , tada jednadžbe (9) poprimaju oblik

Ove jednadžbe definiraju ravnu liniju paralelnu s osi, OU i prolazeći kroz točku

M 0 (x 0; y 0).

x=x 0(11)

Ako , , tada jednadžbe (9) poprimaju oblik

Ove jednadžbe definiraju ravnu liniju paralelnu s O osi x i prolazeći kroz točku

M 0 (x 0; y 0). Kanonska jednadžba takve ravne linije ima oblik

y=y 0(12)

Kut između linija. Uvjet paralelnosti i okomitosti dvojke

direktno

Neka su date dvije ravne date općim jednadžbama:

i

Zatim kut φ između njih određuje se formulom:

(13)

Paralelni uvjet 2 ravne linije: (14)

Okomito stanje 2 ravne linije: (15)

Paralelni uvjet u ovom slučaju ima oblik: (17)

Okomito stanje ravno: (18)

Ako su dvije linije zadane kanonskim jednadžbama:

i

tada je kut φ između ovih pravaca određen formulom:

(19)

Paralelni uvjet ravno: (20)

Okomito stanje direktno: (21)

Udaljenost od točke do linije

Udaljenost d iz točke M (x 1; y 1) na ravno Ax+By+C=0 izračunato po formuli

(22)

Primjer implementacije praktični rad

Primjer 1 Izgradite liniju 3 X- 2na+6=0.

Rješenje: Za konstruiranje pravca dovoljno je poznavati bilo koje dvije njegove točke, na primjer, točke njegovog presjeka s koordinatnim osi. Točka A presjeka pravca s osi Ox može se dobiti ako u jednadžbi pravca uzmemo y = 0. Tada imamo 3 x+6=0, tj. x=-2. Tako, ALI(–2;0).

Zatim NA presjek pravca s osi OU ima apscisu x=0; dakle ordinata točke NA nalazi se iz jednadžbe -2 y+ 6=0, tj. y=3. Tako, NA(0;3).

Primjer 2 Napišite jednadžbu ravne koja seče na negativnoj poluravnini OU segment jednak 2 jedinice, a tvori se s osi Oh kut φ =30˚.

Rješenje: Prava siječe os OU u točki NA(0;–2) i ima nagib k=tg φ= = . Uz pretpostavku u jednadžbi (2) k= i b= –2, dobivamo željenu jednadžbu

Ili .

Primjer 3 ALI(–1; 2) i

NA(0;–3). (na svjedočanstvo: nagib ravne linije nalazi se po formuli (3))

Odluka: .Odavde imamo . Zamjena koordinata u ovu jednadžbu televizor, dobivamo: , tj. početna ordinata b= -3 . Tada dobivamo jednadžbu.

Primjer 4 Opća jednadžba ravne linije 2 x – 3na– 6 = 0 dovodi do jednadžbe u segmentima.

Rješenje: ovu jednadžbu zapisujemo u obliku 2 x– 3na=6 i podijelimo oba njegova dijela slobodnim članom: . Ovo je jednadžba ove ravne linije u segmentima.

Primjer 5 Kroz točku ALI(1;2) nacrtajte ravnu liniju koja odsijeca jednake segmente na pozitivnim poluosi koordinata.

Rješenje: Neka jednadžba željene ravne crte ima oblik Po uvjetu a=b. Prema tome, jednadžba postaje x+ na= a. Budući da točka A (1; 2) pripada ovoj pravoj, tada njene koordinate zadovoljavaju jednadžbu x + na= a; oni. 1 + 2 = a, gdje a= 3. Dakle, željena jednadžba se zapisuje na sljedeći način: x + y = 3, ili x + y - 3 = 0.

Primjer 6 Za ravno napišite jednadžbu u segmentima. Izračunajte površinu trokuta kojeg čine ovaj pravac i koordinatne osi.

Rješenje: Transformirajmo ovu jednadžbu na sljedeći način: , ili .

Kao rezultat, dobivamo jednadžbu , što je jednadžba zadane ravne u segmentima. Trokut kojeg čine zadani pravac i koordinatne osi je pravokutni trokut s katetama jednakim 4 i 3, pa je njegova površina jednaka S= (kv. jedinice)

Primjer 7 Napišite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točku (–2; 5) i generatricu s osi Oh kut 45º.

Rješenje: Nagib željene ravne linije k= tg 45º = 1. Stoga, koristeći jednadžbu (5), dobivamo y - 5 = x- (-2), ili x - y + 7 = 0.

Primjer 8 Napišite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke ALI(–3; 5) i NA( 7; –2).

Rješenje: Koristimo jednadžbu (6):

, ili , odakle 7 x + 10na – 29 = 0.

Primjer 9 Provjerite lažu li točke ALI(5; 2), NA(3; 1) i S(–1; –1) na jednoj ravnoj crti.

Rješenje: Sastavite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke ALI i S:

, ili

Zamjenjujući u ovu jednadžbu koordinate točke NA (xB= 3 i y B = 1), dobivamo (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), tj. dobivamo ispravnu jednakost. Dakle, koordinate točke NA zadovoljiti jednadžbu ravne linije ( AC), tj. .

Primjer 10: Napišite jednadžbu za ravnu liniju koja prolazi kroz t. A (2; -3).

Okomito =(-1;5)

Rješenje: Pomoću formule (8) nalazimo jednadžbu ovog pravca -1(x-2)+5(y+3)=0,

ili konačno, x - 5 y - 17 \u003d 0.

Primjer 11: Dani bodovi M 1(2;-1) i M 2(4; 5). Napišite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točku M 1 okomito na vektor Rješenje: Vektor normale željene linije ima koordinate (2; 6), pa prema formuli (8) dobivamo jednadžbu 2(x-2)+6(y+1)=0 ili x+3y +1=0.

Primjer 12: i .

Odluka: ; .

Primjer 13:

Rješenje: a) ;

Primjer 14: Izračunajte kut između linija

Odluka:

Primjer 15: Shvatiti međusobnog dogovora direktno:

Odluka:

Primjer 16: pronaći kut između linija i .

Odluka: .

Primjer 17: saznati relativni položaj linija:

Rješenje: a ) - prave su paralelne;

b) znači da su pravci okomiti.

Primjer 18: Izračunajte udaljenost od točke M(6; 8) do ravne linije

Rješenje: prema formuli (22) dobivamo: .

Zadaci za praktična sjednica:

opcija 1

1. Opću jednadžbu ravne crte 2x+3y-6=0 dovedite na jednadžbu u segmentima i izračunajte površinu trokuta odsječenog ovom ravnom crtom iz odgovarajućeg koordinatnog kuta;

2. U ∆ABC, vrhovi imaju koordinate točke A (-3;4), točke B (-4;-3), točke C (8;1). Sastavite jednadžbe stranice (AB), visine (VC) i medijana (CM);

3. Izračunajte nagib ravne koja prolazi točkom M 0 (-2; 4) i paralelna je s vektorom (6; -1);

4. Izračunajte kut između linija

4. Izračunajte kut između linija:

a) 2x - 3y + 7 = 0 i 3x - y + 5 = 0; b) i y = 2x – 4;

5. Odrediti relativni položaj 2 ravne i;

, ako su poznate koordinate krajeva segmenta t.A (18; 8) i t. B (-2; -6).

Opcija 3

1. Opću jednadžbu ravne crte 4x-5y+20=0 dovesti u jednadžbu u segmentima i izračunati površinu trokuta odsječenog ovom ravnom crtom iz odgovarajućeg koordinatnog kuta;

2. U ∆ABC, vrhovi imaju koordinate točke A (3;-2), točke B (7;3), točke

C(0;8). Sastavite jednadžbe stranice (AB), visine (VC) i medijana (CM);

3. Izračunajte nagib ravne koja prolazi točkom M 0 (-1;-2) i

paralelno s vektorom (3;-5);

4. Izračunajte kut između linija

a) 3x + y - 7 = 0 i x - y + 4 = 0; bend;

5. Odrediti relativni položaj 2 pravaca i y = 5x + 3;

6. Izračunajte udaljenost od sredine odsječka AB do ravne , ako su poznate koordinate krajeva segmenta t.A (4; -3) i t.B (-6; 5).

Opcija 4

1. Opću jednadžbu ravne 12x-5y+60=0 donijeti na jednadžbu u segmentima i izračunati duljinu segmenta koji je od ove ravne odsječen odgovarajućim koordinatnim kutom;

2. U ∆ABC, vrhovi imaju koordinate točke A (0;-2), točke B (3;6), točke C (1;-4). Sastavite jednadžbe stranice (AB), visine (VC) i medijana (CM);

3. Izračunajte nagib ravne koja prolazi točkom M 0 (4;4) i paralelna je s vektorom (-2;7);

4. Izračunajte kut između linija

a) x +4 y + 8 = 0 i 7x - 3y + 5 = 0; bend;

5. Odrediti relativni položaj 2 ravne i;

6. Izračunajte udaljenost od sredine odsječka AB do ravne , ako su poznate koordinate krajeva segmenta t.A (-4; 8) i t.B (0; 4).

test pitanja

1. Imenujte jednadžbe ravne u ravnini kada su poznati točka kroz koju prolazi i njezin usmjeravajući vektor;

2. Koja je normalna, opća jednadžba ravne na ravnini;

3. Imenujte jednadžbu ravne koja prolazi kroz dvije točke, jednadžbu ravne u segmentima, jednadžbu ravne s nagibom;

4. Navedite formule za izračun kuta između linija, zadane jednadžbe s faktorom kuta. Formulirajte uvjete za paralelnost i okomitost dvaju pravih.

5. Kako pronaći udaljenost od točke do pravca?

Neka se daju dvije točke M(x 1 ,Na 1) i N(x 2,y 2). Nađimo jednadžbu ravne koja prolazi kroz ove točke.

Budući da ovaj pravac prolazi kroz točku M, tada prema formuli (1.13) njena jednadžba ima oblik

Na – Y 1 = K(X-x 1),

Gdje K je nepoznati nagib.

Vrijednost ovog koeficijenta određuje se iz uvjeta da kroz točku prolazi željena ravna crta N, što znači da njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(x 2 – x 1),

Odavde možete pronaći nagib ove linije:

,

Ili nakon pretvorbe

(1.14)

Formula (1.14) definira Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke M(x 1, Y 1) i N(x 2, Y 2).

U konkretnom slučaju kada točke M(A, 0), N(0, B), ALI ¹ 0, B¹ 0, leže na koordinatnim osi, jednadžba (1.14) poprima jednostavniji oblik

Jednadžba (1.15) pozvao Jednadžba ravne u segmentima, ovdje ALI i B označavaju segmente odsječene ravnom linijom na osi (slika 1.6).

Slika 1.6

Primjer 1.10. Napišite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke M(1, 2) i B(3, –1).

. Prema (1.14) jednadžba željene ravne crte ima oblik

2(Y – 2) = -3(x – 1).

Prenoseći sve članove na lijevu stranu, konačno dobivamo željenu jednadžbu

3x + 2Y – 7 = 0.

Primjer 1.11. Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku M(2, 1) i točku presjeka pravaca x+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Koordinate točke presjeka pravaca pronalazimo zajedničkim rješavanjem ovih jednadžbi

Ako ove jednadžbe zbrojimo pojam po član, dobit ćemo 2 x+ 1 = 0, odakle . Zamjenom pronađene vrijednosti u bilo koju jednadžbu nalazimo vrijednost ordinate Na:

Sada napišimo jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke (2, 1) i :

ili .

Stoga ili -5( Y – 1) = x – 2.

Na kraju dobivamo jednadžbu željene ravne u obliku x + 5Y – 7 = 0.

Primjer 1.12. Nađite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točke M(2.1) i N(2,3).

Koristeći formulu (1.14) dobivamo jednadžbu

Nema smisla jer je drugi nazivnik nula. Iz uvjeta zadatka vidi se da apscise obiju točaka imaju istu vrijednost. Dakle, traženi pravac je paralelan s osi OY a njegova je jednadžba: x = 2.

Komentar . Ako se pri pisanju jednadžbe ravne linije prema formuli (1.14) jedan od nazivnika pokaže kao nula, onda se željena jednadžba može dobiti izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika s nulom.

Razmotrimo druge načine postavljanja ravne linije na ravninu.

1. Neka je vektor različit od nule okomit na zadani pravac L, i točka M 0(x 0, Y 0) leži na ovoj liniji (slika 1.7).

Slika 1.7

Označiti M(x, Y) proizvoljna točka na pravci L. Vektori i Ortogonalno. Koristeći uvjete ortogonalnosti za ove vektore, dobivamo ili ALI(x – x 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Dobili smo jednadžbu ravne koja prolazi kroz točku M 0 je okomito na vektor . Ovaj vektor se zove Normalni vektor na ravnu liniju L. Rezultirajuća jednadžba se može prepisati kao

Oh + Wu + S= 0, gdje je S = –(ALIx 0 + Po 0), (1.16),

Gdje ALI i NA su koordinate vektora normale.

Dobivamo opću jednadžbu ravne u parametarskom obliku.

2. Pravac na ravnini može se definirati na sljedeći način: neka vektor različit od nule bude paralelan s danom pravom L i točka M 0(x 0, Y 0) leži na ovoj liniji. Opet, uzmite proizvoljnu točku M(x, y) na pravoj liniji (slika 1.8).

Slika 1.8

Vektori i kolinearna.

Zapišimo uvjet kolinearnosti ovih vektora: , gdje T je proizvoljan broj, koji se naziva parametar. Zapišimo ovu jednakost u koordinatama:

Ove se jednadžbe nazivaju Parametarske jednadžbe Ravno. Izuzmimo iz ovih jednadžbi parametar T:

Ove se jednadžbe mogu zapisati u obliku

. (1.18)

Rezultirajuća jednadžba se zove Kanonska jednadžba ravne linije. Vektorski poziv Vektor smjera ravno .

Komentar . Lako je vidjeti da je if normalni vektor na liniju L, tada njegov vektor smjera može biti vektor , budući da , tj.

Primjer 1.13. Napišite jednadžbu ravne koja prolazi kroz točku M 0(1, 1) paralelno s linijom 3 x + 2Na– 8 = 0.

Odluka . Vektor je vektor normale na zadane i željene linije. Upotrijebimo jednadžbu ravne koja prolazi kroz točku M 0 s danim vektorom normale 3( x –1) + 2(Na– 1) = 0 ili 3 x + 2g- 5 \u003d 0. Dobili smo jednadžbu željene ravne linije.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku u danom smjeru. Jednadžba ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke. Kut između dvije linije. Uvjet paralelnosti i okomitosti dvaju pravih. Određivanje točke presjeka dvaju pravih

1. Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku A(x 1 , y 1) u određenom smjeru, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednadžba definira olovku linija koje prolaze kroz točku A(x 1 , y 1), koji se naziva središtem grede.

2. Jednadžba ravne koja prolazi kroz dvije točke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2) piše se ovako:

Nagib ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke određuje se formulom

3. Kut između ravnih linija A i B je kut za koji se prva ravna crta mora zarotirati A oko točke presjeka ovih pravaca u smjeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi s drugom linijom B. Ako su dva pravca data jednadžbama nagiba

y = k 1 x + B 1 ,