U procesu mjerenja nečega mora se uzeti u obzir da dobiveni rezultat još nije konačan. Da bi se točnije izračunala željena vrijednost, potrebno je uzeti u obzir pogrešku. Izračunavanje je prilično jednostavno.

Kako pronaći grešku - izračun

Vrste pogrešaka:

• srodnika;
• apsolutna.

Što trebate izračunati:

• kalkulator;
• rezultati više mjerenja iste količine.

Kako pronaći pogrešku - slijed radnji

• Izmjerite vrijednost 3-5 puta.
• Zbrojite sve rezultate i dobiveni broj podijelite s njihovim brojem. Ovaj broj je stvarna vrijednost.
• Izračunajte apsolutnu pogrešku oduzimanjem vrijednosti dobivene u prethodnom koraku od rezultata mjerenja. Formula: ∆X = Hisl - Hist. Tijekom proračuna moguće je dobiti i pozitivne i negativne vrijednosti. U oba slučaja uzima se modul rezultata. Ako je potrebno znati apsolutnu pogrešku zbroja dviju veličina, tada se proračuni provode prema sljedećoj formuli: ∆(X + Y) = ∆X + ∆Y. Djeluje i kada je potrebno izračunati pogrešku razlike između dviju veličina: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.
• Saznajte relativnu pogrešku za svako od mjerenja. U tom slučaju morate dobivenu apsolutnu pogrešku podijeliti sa stvarnom vrijednošću. Zatim pomnožite količnik sa 100%. ε(x)=Δx/x0*100%. Vrijednost se može ili ne mora pretvoriti u postotak.
• Da biste dobili točniju vrijednost pogreške, potrebno je pronaći standardnu ​​devijaciju. Traži se sasvim jednostavno: izračunajte kvadrate svih vrijednosti apsolutna greška a zatim pronađite njihov zbroj. Dobiveni rezultat mora se podijeliti s brojem (N-1), u kojem je N broj svih mjerenja. Posljednji korak je izvlačenje korijena iz rezultata. Nakon takvih proračuna dobit će se standardna devijacija, koja obično karakterizira grešku mjerenja.
• Za pronalaženje granične apsolutne pogreške potrebno je pronaći najviše mali broj, koji je po svojoj vrijednosti jednak ili veći od vrijednosti apsolutne greške.
• Granična relativna pogreška se traži istom metodom, samo što je potrebno pronaći broj koji je veći ili jednak vrijednosti relativne pogreške.

Pogreške mjerenja nastaju iz različitih razloga i utječu na točnost dobivene vrijednosti. Znajući koliko je pogreška jednaka, možete saznati točniju vrijednost mjerenja.

Apsolutna i relativna greška

Elementi teorije pogrešaka

Točne i približne brojke

Točnost broja općenito je bez sumnje kada pričamo o cjelobrojnim vrijednostima podataka (2 olovke, 100 stabala). Međutim, u većini slučajeva, kada je nemoguće naznačiti točnu vrijednost broja (na primjer, prilikom mjerenja predmeta ravnalom, uzimanja rezultata s uređaja i sl.), imamo posla s približnim podacima.

Približna vrijednost je broj koji se neznatno razlikuje od točna vrijednost i zamjenjujući ga u izračunima. Stupanj razlike između približne vrijednosti broja i njegove točne vrijednosti karakterizira pogreška .

Postoje sljedeći glavni izvori pogrešaka:

1. Pogreške u formulaciji problema koji nastaju kao rezultat približnog opisa stvarne pojave u terminima matematike.

2. Pogreške metode povezano s teškoćom ili nemogućnošću rješavanja problema i zamjene sličnim, tako da možete primijeniti poznatu i pristupačnu metodu rješenja i dobiti rezultat blizak željenom.

3. Fatalne pogreške, povezano s približnim vrijednostima početnih podataka i zbog izvođenja izračuna na približnim brojevima.

4. Pogreške zaokruživanja povezano sa zaokruživanjem vrijednosti početnih podataka, srednjih i konačnih rezultata dobivenih korištenjem računalnih alata.

Apsolutna i relativna greška

Obračun grešaka je važan aspekt primjena numeričkih metoda, budući da je pogreška konačnog rezultata rješavanja cjelokupnog problema proizvod interakcije svih vrsta pogrešaka. Stoga je jedan od glavnih zadataka teorije pogrešaka procijeniti točnost rezultata na temelju točnosti početnih podataka.

Ako je točan broj i njegova je približna vrijednost, tada je pogreška (pogreška) približne vrijednosti stupanj bliskosti njegove vrijednosti s točnom vrijednošću.

Najjednostavnija kvantitativna mjera pogreške je apsolutna pogreška, koja se definira kao

(1.1.2-1)

Kao što se može vidjeti iz formule 1.1.2-1, apsolutna pogreška ima iste mjerne jedinice kao i vrijednost. Stoga je po veličini apsolutne pogreške daleko od uvijek moguće izvesti točan zaključak o kvaliteti aproksimacije. Na primjer, ako , a riječ je o strojnom dijelu, tada su mjere vrlo grube, a ako govorimo o veličini posude onda su vrlo točne. S tim u vezi uvodi se koncept relativne pogreške, u kojem se vrijednost apsolutne pogreške povezuje s modulom približne vrijednosti ( ).

(1.1.2-2)

Korištenje relativnih pogrešaka je prikladno, posebno zato što ne ovise o skali vrijednosti i jedinicama podataka. Relativna pogreška se mjeri u razlomcima ili postocima. Tako, na primjer, ako

,ali , onda , i ako I ,

pa onda .

Da biste numerički procijenili pogrešku funkcije, morate znati osnovna pravila za izračunavanje pogreške radnji:

· pri zbrajanju i oduzimanju brojeva apsolutne greške brojeva se zbrajaju

· pri množenju i dijeljenju brojeva njihove relativne pogreške su naslagane jedna na drugu

· kada se podigne na stepen približnog broja njegova se relativna pogreška množi s eksponentom

Primjer 1.1.2-1. Zadana funkcija: . Pronađite apsolutnu i relativnu pogrešku vrijednosti (pogreška rezultata izvođenja aritmetičkih operacija), ako su vrijednosti poznati su, a 1 je točan broj i njegova pogreška je nula.

Odredivši tako vrijednost relativne pogreške, može se pronaći vrijednost apsolutne pogreške kao , gdje se vrijednost izračunava po formuli za približne vrijednosti

Budući da je točna vrijednost količine obično nepoznata, izračun I prema gornjim formulama je nemoguće. Stoga se u praksi vrednuju granične pogreške obrasca:

(1.1.2-3)

gdje I - poznate vrijednosti, koje su gornje granice apsolutne i relativne pogreške, inače se nazivaju - granične apsolutne i granične relativne pogreške. Dakle, točna vrijednost leži unutar:

Ako vrijednost poznato, dakle , i ako je vrijednost poznata , onda

Fizičke veličine karakterizira koncept "greške točnosti". Postoji izreka da se mjerenjem može doći do znanja. Tako će biti moguće saznati koja je visina kuće ili duljina ulice, kao i mnogi drugi.

Uvod

Shvatimo značenje pojma "mjeriti vrijednost". Proces mjerenja je usporedba s homogenim veličinama, koje se uzimaju kao jedinica.

Litre se koriste za određivanje volumena, grami se koriste za izračunavanje mase. Kako bismo olakšali izračune, uveli smo SI sustav međunarodne klasifikacije jedinica.

Za mjerenje duljine močvare u metrima, mase - kilograma, volumena - kubičnih litara, vremena - sekunde, brzine - metara u sekundi.

Prilikom izračunavanja fizičke veličine nije uvijek potrebno koristiti tradicionalnu metodu, dovoljno je primijeniti izračun pomoću formule. Na primjer, za izračunavanje pokazatelja kao što su Prosječna brzina, trebate podijeliti prijeđenu udaljenost s vremenom provedenim na putu. Tako se izračunava prosječna brzina.

Koristeći mjerne jedinice koje su deset, sto, tisuću puta veće od pokazatelja prihvaćenih mjernih jedinica, nazivaju se višekratnicima.

Naziv svakog prefiksa odgovara njegovom broju množitelja:

1. Deca.
2. Hecto.
3. Kilo.
4. Mega.
5. Giga.
6. Tera.

U fizikalnoj znanosti za zapisivanje takvih faktora koristi se stepen 10. Na primjer, milijun se označava kao 10 6 .

U jednostavnom ravnalu, duljina ima mjernu jedinicu - centimetar. Ona je 100 puta manje od metra. Ravnilo od 15 cm dugačko je 0,15 m.

Ravnalo je najjednostavniji oblik mjerni instrumenti za mjerenje dužine. Složenije uređaje predstavlja termometar - tako da higrometar - za određivanje vlažnosti, ampermetar - za mjerenje razine sile kojom se električna struja širi.

Koliko će mjerenja biti točna?

Uzmite ravnalo i jednostavnu olovku. Naš zadatak je izmjeriti duljinu ove tiskanice.

Najprije morate odrediti koja je vrijednost podjele naznačena na skali mjernog uređaja. Na dva odjeljka, koji su najbliži potezi ljestvice, napisani su brojevi, na primjer, "1" i "2".

Potrebno je izračunati koliko je podjela zatvoreno u intervalu tih brojeva. Ako pravilno izbrojite, dobit ćete "10". Od broja koji je veći oduzmite broj koji će biti manji i podijeliti s brojem koji čini podjele znamenki:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Tako utvrđujemo da je cijena koja određuje podjelu dopisnice broj 0,1 cm ili 1 mm. Jasno je prikazano kako se pomoću bilo kojeg mjernog uređaja određuje indikator cijene za podjelu.

Mjerenjem olovke duljine nešto manje od 10 cm koristit ćemo stečeno znanje. Da nema malih podjela na ravnalu, slijedio bi zaključak da predmet ima duljinu od 10 cm.Ta približna vrijednost naziva se pogreška mjerenja. Označava razinu netočnosti koja se može tolerirati u mjerenju.

Određivanje parametara duljine olovke s više visoka razina točnosti, veća vrijednost podjele postiže veću točnost mjerenja, što daje manju pogrešku.

U ovom slučaju ne mogu se izvršiti apsolutno točna mjerenja. A pokazatelji ne bi trebali prelaziti veličinu cijene podjele.

Utvrđeno je da su dimenzije mjerne pogreške ½ cijene, što je naznačeno na podjelama instrumenta koji se koristi za određivanje dimenzija.

Nakon mjerenja olovke na 9,7 cm, određujemo pokazatelje njegove pogreške. Ovo je razmak od 9,65 - 9,85 cm.

Formula koja mjeri takvu pogrešku je izračun:

A = a ± D (a)

A - u obliku veličine za mjerne procese;

a - vrijednost rezultata mjerenja;

D - oznaka apsolutne pogreške.

Prilikom oduzimanja ili zbrajanja vrijednosti s greškom, rezultat će biti jednak zbroju pokazatelja pogreške, što je svaka pojedinačna vrijednost.

Uvod u koncept

Ako uzmemo u obzir ovisno o načinu na koji se izražava, možemo razlikovati sljedeće varijante:

• Apsolutno.
• Relativno.
• S obzirom na to.

Apsolutna pogreška mjerenja označena je velikim slovom "Delta". Ovaj koncept se definira kao razlika između izmjerene i stvarne vrijednosti fizičke veličine koja se mjeri.

Izraz apsolutne pogreške mjerenja jesu jedinice veličine koju treba izmjeriti.

Prilikom mjerenja mase ona će biti izražena, na primjer, u kilogramima. Ovo nije standard za točnost mjerenja.

Kako izračunati pogrešku izravnih mjerenja?

Postoje načini za predstavljanje mjernih pogrešaka i njihovo izračunavanje. Za to je važno znati odrediti fizičku veličinu s potrebnom točnošću, znati koja je apsolutna pogreška mjerenja, da je nitko nikada neće moći pronaći. Možete izračunati samo njegovu graničnu vrijednost.

Čak i ako se ovaj izraz koristi uvjetno, on označava upravo granične podatke. Apsolutne i relativne pogreške mjerenja označene su istim slovima, razlika je u njihovom pravopisu.

Prilikom mjerenja duljine, apsolutna pogreška će se mjeriti u onim jedinicama u kojima se izračunava duljina. A relativna pogreška se izračunava bez dimenzija, budući da je to omjer apsolutne pogreške i rezultata mjerenja. Ova se vrijednost često izražava kao postotak ili razlomci.

Apsolutne i relativne pogreške mjerenja imaju nekoliko različiti putevi izračuni ovisno o tome koje fizikalne veličine.

Koncept izravnog mjerenja

Apsolutna i relativna pogreška izravnih mjerenja ovise o klasi točnosti uređaja i mogućnosti određivanja pogreške vaganja.

Prije nego što govorimo o tome kako se izračunava pogreška, potrebno je razjasniti definicije. Izravno mjerenje je mjerenje u kojem se rezultat izravno očitava s ljestvice instrumenta.

Kada koristimo termometar, ravnalo, voltmetar ili ampermetar, uvijek provodimo izravna mjerenja, jer izravno koristimo uređaj sa skalom.

Dva su čimbenika koji utječu na performanse:

• Pogreška instrumenta.
• Greška referentnog sustava.

Granica apsolutne pogreške za izravna mjerenja bit će jednaka zbroju pogreške koju uređaj pokazuje i pogreške koja se javlja tijekom procesa očitavanja.

D = D (pr.) + D (odsutan)

Primjer medicinskog termometra

Vrijednosti točnosti su naznačene na samom instrumentu. Na medicinskom termometru registrirana je pogreška od 0,1 Celzijevih stupnjeva. Pogreška čitanja je polovica vrijednosti dijeljenja.

D = C/2

Ako je vrijednost podjele 0,1 stupanj, tada se za medicinski termometar mogu napraviti izračuni:

D \u003d 0,1 o C + 0,1 o C / 2 = 0,15 o C

Na stražnja strana skale drugog termometra su tehničke specifikacije i naznačeno je da je za ispravna mjerenja potrebno termometar uroniti cijelom stražnjom stranom. nije specificirano. Jedina preostala greška je greška u brojanju.

Ako je vrijednost podjele skale ovog termometra 2 o C, tada možete mjeriti temperaturu s točnošću od 1 o C. To su granice dopuštene apsolutne pogreške mjerenja i izračuna apsolutne pogreške mjerenja.

U električnim mjernim instrumentima koristi se poseban sustav za izračunavanje točnosti.

Točnost električnih mjernih instrumenata

Za određivanje točnosti takvih uređaja koristi se vrijednost koja se naziva klasa točnosti. Za njegovu oznaku koristi se slovo "Gamma". Da biste točno odredili apsolutne i relativne pogreške mjerenja, morate znati klasu točnosti uređaja, koja je naznačena na ljestvici.

Uzmimo, na primjer, ampermetar. Njegova ljestvica označava klasu točnosti, koja pokazuje broj 0,5. Pogodan je za mjerenja pri konstantnom i naizmjenična struja, odnosi se na uređaje elektromagnetskog sustava.

Ovo je prilično precizan uređaj. Ako ga usporedite sa školskim voltmetrom, možete vidjeti da ima klasu točnosti 4. Ova vrijednost mora biti poznata za daljnje izračune.

Primjena znanja

Dakle, D c \u003d c (max) X γ / 100

Ova formula će se koristiti za konkretnim primjerima. Upotrijebimo voltmetar i pronađimo grešku u mjerenju napona koji daje baterija.

Spojimo bateriju izravno na voltmetar, nakon što smo prethodno provjerili je li strelica na nuli. Kada je uređaj spojen, strelica je odstupila za 4,2 podjele. Ovo stanje se može opisati na sljedeći način:

1. Može se vidjeti da je maksimalna vrijednost U za ovu stavku 6.
2. Klasa točnosti -(γ) = 4.
3. U(o) = 4,2 V.
4. C=0,2 V

Koristeći ove podatke formule, apsolutne i relativne pogreške mjerenja izračunavaju se na sljedeći način:

D U \u003d DU (npr.) + C / 2

D U (pr.) \u003d U (max) X γ / 100

D U (pr.) \u003d 6 V X 4/100 \u003d 0,24 V

Ovo je greška instrumenta.

Izračun apsolutne pogreške mjerenja u ovom slučaju će se izvesti na sljedeći način:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Koristeći razmatranu formulu, lako možete saznati kako izračunati apsolutnu pogrešku mjerenja.

Postoji pravilo za greške zaokruživanja. Omogućuje vam da pronađete prosjek između granice apsolutne pogreške i relativne.

Naučiti odrediti pogrešku vaganja

Ovo je jedan primjer izravnih mjerenja. Na posebno mjesto vrijedan vaganja. Uostalom, polužne vage nemaju vagu. Naučimo kako odrediti pogrešku takvog procesa. Na točnost mjerenja mase utječe točnost utega i savršenstvo same vage.

Koristimo vagu za ravnotežu sa setom utega koji se mora postaviti točno na desnu stranu vage. Uzmite ravnalo za vaganje.

Prije početka eksperimenta, morate uravnotežiti vagu. Stavili smo ravnalo na lijevu zdjelu.

Masa će biti jednaka zbroju instaliranih utega. Odredimo pogrešku mjerenja ove veličine.

D m = D m (težine) + D m (težine)

Pogreška mjerenja mase sastoji se od dva pojma povezana s vagom i utezima. Da biste saznali svaku od ovih vrijednosti, u tvornicama za proizvodnju vage i utega proizvodi se isporučuju s posebnim dokumentima koji vam omogućuju izračunavanje točnosti.

Primjena tablica

Koristimo standardnu ​​tablicu. Pogreška vage ovisi o tome kolika je masa stavljena na vagu. Što je veća, veća je i pogreška.

Čak i ako stavite vrlo lagano tijelo, doći će do greške. To je zbog procesa trenja koji se javlja u osovinama.

Druga tablica se odnosi na skup pondera. To ukazuje da svaki od njih ima svoju pogrešku mase. 10-gramski ima grešku od 1 mg, kao i 20-gramski. Izračunavamo zbroj pogrešaka svake od ovih pondera, uzetih iz tablice.

Zgodno je masu i grešku mase napisati u dva retka, koji se nalaze jedan ispod drugog. Što je težina manja, to je mjerenje točnije.

Rezultati

Tijekom razmatranog materijala ustanovljeno je da je nemoguće odrediti apsolutnu pogrešku. Možete postaviti samo njegove granične indikatore. Za to se koriste gore opisane formule u izračunima. Ovaj materijal predloženo za proučavanje u školi za učenike 8-9 razreda. Na temelju stečenog znanja moguće je rješavati zadatke za određivanje apsolutne i relativne pogreške.

Recimo da je točna širina stola A = 384 mm, a njezinim mjerenjem dobili smo a = 381 mm. Modul razlike između točne vrijednosti mjerene veličine i njezine približne vrijednosti naziva se apsolutna greška. U ovaj primjer apsolutna pogreška 3 mm. Ali u praksi nikada ne znamo točnu vrijednost mjerene veličine, pa ne možemo točno znati apsolutnu pogrešku.

Ali obično znamo točnost mjernih instrumenata, iskustvo promatrača koji vrši mjerenja i tako dalje. To omogućuje formiranje ideje o apsolutnoj pogrešci mjerenja. Ako, primjerice, mjerimo duljinu sobe mjernom trakom, onda nam nije teško uzeti u obzir metre i centimetre, ali malo je vjerojatno da ćemo moći uzeti u obzir milimetre. Da, nema potrebe za ovim. Stoga namjerno radimo pogrešku unutar 1 cm. Apsolutna pogreška u duljini prostorije je manja od 1 cm. Prilikom mjerenja duljine bilo kojeg segmenta milimetarskim ravnalom, imamo pravo ustvrditi da pogreška mjerenja nije prelazi 1 mm.

Apsolutna pogreška e a približnog broja a omogućuje utvrđivanje granica unutar kojih se nalazi točan broj A:

Apsolutna pogreška nije dovoljan pokazatelj kvalitete mjerenja i ne karakterizira točnost izračuna ili mjerenja. Ako se zna da smo mjerenjem određene duljine dobili apsolutnu pogrešku od 1 cm, onda se ne može zaključiti jesmo li izmjerili dobro ili loše. Ako smo izmjerili duljinu olovke na 15 cm i pogriješili za 1 cm, naše mjerenje nije dobro. Ako smo izmjerili hodnik od 20 metara i napravili grešku od samo 1 cm, onda je naše mjerenje uzorak točnosti. Nije važna samo apsolutna pogreška, već i udio koji ona čini u izmjerenoj vrijednosti.. U prvom primjeru, abs. pogreška od 1 cm je 1/15 izmjerene vrijednosti ili 7%, u drugom - 1/2000 ili 0,05%. Druga dimenzija je puno bolja.

Relativna pogreška je omjer apsolutne pogreške i apsolutne vrijednosti približne vrijednosti:

Za razliku od apsolutne pogreške, koja je obično dimenzijska vrijednost, relativna pogreška je uvijek bezdimenzionalna vrijednost. Obično se izražava u %.

Primjer

Pri mjerenju duljine od 5 cm dopuštena je apsolutna pogreška od 0,1 cm Kolika je relativna pogreška? (Odgovor 2%)

Prilikom izračunavanja broja stanovnika grada, koji je ispao 2.000.000, dopuštena je greška od 100 ljudi. Koja je relativna pogreška? (odgovor 0,005%)

Rezultat svakog mjerenja izražava se brojem koji samo približno karakterizira izmjerenu vrijednost. Stoga, u izračunima s kojima se bavimo približan brojevima. Prilikom pisanja približnih brojeva, pretpostavlja se da zadnja znamenka s desne strane karakterizira veličinu apsolutne pogreške.

Na primjer, ako je napisano 12,45, to ne znači da vrijednost koju karakterizira ovaj broj ne sadrži tisućinke. Može se tvrditi da tisućinke nisu uzete u obzir tijekom mjerenja, stoga je apsolutna pogreška manja od polovice jedinice posljednje znamenke: . Slično, s obzirom na približni broj 1,283, možemo reći da je apsolutna pogreška manja od 0,0005: .

Približni brojevi se obično pišu na način da apsolutna pogreška ne prelazi jedinicu posljednje decimalno mjesto . Ili, drugim riječima, apsolutnu pogrešku približnog broja karakterizira broj decimalnih mjesta iza decimalne točke.

Što ako se nakon pažljivog mjerenja neke količine pokaže da ona sadrži cjelobrojnu jedinicu, 2 desetinke, 5 stotinki, ne sadrži tisućinke, a deset tisućinki se ne može izbrojati? Ako zapišemo 1,25, onda se u ovom zapisu ne uzimaju u obzir tisućinke, a zapravo smo sigurni da nisu. U ovom slučaju, uobičajeno je staviti 0 na njihovo mjesto - trebate napisati 1.250. Dakle, brojevi 1,25 i 1,250 ne znače isto. Prvi sadrži tisućinke; samo ne znamo koliko. Drugi ne sadrži tisućinke, o deset tisućinki se ne može reći ništa.

Teže je pri pisanju velikih približnih brojeva. Neka broj seljana jednaki 2000 ljudi, i to u gradu približno 457.000 stanovnika. Štoviše, sigurni smo za grad u tisućama, ali dopuštamo pogrešku u stotinama i desetcima. U prvom slučaju, nule na kraju broja označavaju odsutnost stotina, desetica i jedinica, takve ćemo nule nazvati smisleno; u drugom slučaju nule ukazuju na naše neznanje o broju stotina, desetica i jedinica. Takve ćemo nule zvati beznačajan. Prilikom pisanja okvirnog broja koji sadrži nule potrebno je dodatno navesti njihov značaj. Nule su obično beznačajne. Ponekad možete naznačiti beznačajnost nula pisanjem broja u eksponencijalnom obliku (457 * 10 3).

Usporedimo točnost dva približna broja 1362,3 i 2,37. U prvom slučaju apsolutna pogreška ne prelazi 0,1, u drugom je 0,01. Stoga, drugi broj izgleda točnije od prvog.

Izračunajmo relativnu grešku. Za prvi broj ; za drugu . Drugi broj je znatno (gotovo 100 puta) manje točan od prvog. Ispada da je to zato što je u prvom broju dano 5 točnih (značajnih) znamenki, dok je u drugom samo 3.

Sve znamenke približnog broja, u koje smo sigurni, nazvat ćemo istinite (značajne) znamenke. Nule odmah desno iza decimalne točke nisu značajne, one samo označavaju redoslijed značajnih znamenki desno. Nule na krajnjim desnim pozicijama broja mogu biti značajne i beznačajne. Na primjer, svaki od sljedećih brojeva ima 3 značajne znamenke: 283*10 5, 200*10 2, 22,5, 0,0811, 2,10, 0,0000458.

Primjer

Koliko je značajnih (točnih) znamenki u sljedećim brojevima:

0.75 (2), 12.050 (5), 1875*10 5 (4), 0.06*10 9 (1)

Procijenite relativnu pogrešku sljedećih približnih brojeva:

značajne nule: 21000 (0,005%),

Lako je vidjeti da je za približnu procjenu relativne pogreške broja dovoljno izbrojati broj značajnih znamenki. Za broj koji ima samo jednu značajnu znamenku, relativna pogreška je oko 10%;

s 2 značajne brojke - 1%;

s 3 značajne brojke - 0,1%;

sa 4 značajne brojke - 0,01% itd.

Kod računanja s približnim brojevima zanimat će nas pitanje: kako na temelju zadanih približnih brojeva dobiti odgovor s traženom relativnom pogreškom.

Često se u ovom slučaju svi početni podaci moraju uzeti s istom pogreškom, odnosno s pogreškom najmanje točne od zadanih brojeva. Stoga je često potrebno točniji broj zamijeniti manje točnim – zaokružiti.

zaokruživanje na desetine 27.136 » 27.1,

zaokruživanje na cijele brojeve 32,8 » 33.

Pravilo zaokruživanja: Ako je krajnja lijeva znamenka odbačena tijekom zaokruživanja manja od 5, tada se posljednja zadržana znamenka ne mijenja; ako je krajnja lijeva znamenka koju treba odbaciti veća od 5, ili ako je jednaka 5, tada se posljednja zadržana znamenka povećava za 1.

Primjer

zaokruži na desetine 17,96 (18,0)

zaokruži na stotinke 14,127 (14,13)

zaokružite da zadržite 3 točna broja: 83,501 (83,5), 728,21 (728), 0,0168835 (0,01688).

Apsolutna i relativna pogreška koriste se za procjenu netočnosti u proračunima koji su napravljeni s velikom složenošću. Također se koriste u raznim mjerenjima i za zaokruživanje rezultata proračuna. Razmislite kako odrediti apsolutnu i relativnu pogrešku.

Apsolutna pogreška

Apsolutna pogreška broja navedite razliku između ovog broja i njegove točne vrijednosti.
Razmotrimo primjer : U školi studira 374 učenika. Ako se ovaj broj zaokruži na 400, tada je apsolutna pogreška mjerenja 400-374=26.

Za izračunavanje apsolutne pogreške potrebno je od više oduzeti manje.

Postoji formula za apsolutnu grešku. Točan broj označavamo slovom A, a slovom a - aproksimaciju točnom broju. Približan broj je broj koji se neznatno razlikuje od točnog broja i obično ga zamjenjuje u izračunima. Tada će formula izgledati ovako:

Δa=A-a. Kako pronaći apsolutnu pogrešku po formuli, raspravljali smo gore.

U praksi, apsolutna pogreška nije dovoljna za točnu procjenu mjerenja. Rijetko je moguće točno znati vrijednost mjerene veličine kako bi se izračunala apsolutna pogreška. Ako izmjerite knjigu duljine 20 cm i dopustite pogrešku od 1 cm, možete očitati mjerenje s velikom greškom. Ali ako je napravljena pogreška od 1 cm pri mjerenju zida od 20 metara, ovo se mjerenje može smatrati što točnijim. Stoga, u praksi više važnost ima definiciju relativne pogreške mjerenja.

Zabilježite apsolutnu pogrešku broja pomoću predznaka ±. Na primjer , duljina role tapete je 30 m ± 3 cm Granica apsolutne pogreške naziva se granična apsolutna pogreška.

Relativna greška

Relativna greška naziva omjer apsolutne pogreške broja i samog broja. Da biste izračunali relativnu pogrešku u primjeru učenika, podijelite 26 sa 374. Dobivamo broj 0,0695, pretvorimo ga u postotak i dobijemo 6%. Relativna greška se označava kao postotak, jer je bezdimenzionalna veličina. Relativna pogreška je točna procjena pogreške mjerenja. Ako pri mjerenju duljine odsječaka od 10 cm i 10 m uzmemo apsolutnu pogrešku od 1 cm, tada će relativne pogreške biti 10%, odnosno 0,1%. Za segment duljine 10 cm, pogreška od 1 cm je vrlo velika, ovo je pogreška od 10%. A za segment od deset metara 1 cm nije bitan, samo 0,1%.

Postoje sustavne i slučajne pogreške. Sustavna pogreška je pogreška koja ostaje nepromijenjena tijekom ponovljenih mjerenja. Slučajna pogreška nastaje kao rezultat utjecaja na proces mjerenja vanjski faktori i može promijeniti svoju vrijednost.

Pravila za izračunavanje grešaka

Postoji nekoliko pravila za nominalnu procjenu pogrešaka:

• pri zbrajanju i oduzimanju brojeva potrebno je zbrajati njihove apsolutne pogreške;
• kod dijeljenja i množenja brojeva potrebno je zbrajati relativne pogreške;
• kada se eksponira, relativna pogreška se množi s eksponentom.

Približno i točne brojke zapisuju se pomoću decimala. Uzima se samo prosječna vrijednost, budući da točna vrijednost može biti beskonačno duga. Da biste razumjeli kako napisati ove brojeve, morate naučiti o točnim i sumnjivim brojevima.

Pravi brojevi su oni brojevi čija znamenka prelazi apsolutnu pogrešku broja. Ako je znamenka znamenke manja od apsolutne pogreške, naziva se dvojbenom. Na primjer , za razlomak od 3,6714 s greškom od 0,002 bit će točni brojevi 3,6,7, a sumnjivi 1 i 4. U zapisu približnog broja ostaju samo točni brojevi. Razlomak će u ovom slučaju izgledati ovako - 3,67.

Što smo naučili?

Za ocjenu točnosti mjerenja koriste se apsolutne i relativne pogreške. Apsolutna pogreška je razlika između točnog i približnog broja. Relativna pogreška je omjer apsolutne pogreške broja i samog broja. U praksi se koristi relativna pogreška, budući da je točnija.