Kako pronaći prosječnu brzinu putovanja. Zadaci za srednju brzinu

Izračunati Prosječna brzina koristite jednostavnu formulu: Brzina = prijeđena udaljenost Vrijeme (\displaystyle (\text(Speed))=(\frac (\text(prijeđena udaljenost))(\text(Time)))). Ali u nekim zadacima daju se dvije vrijednosti brzine - na različitim dijelovima prijeđene udaljenosti ili u različitim vremenskim intervalima. U tim slučajevima morate koristiti druge formule za izračunavanje prosječne brzine. Vještine rješavanja problema mogu biti korisne u stvaran život, a sami zadaci se mogu pronaći na ispitima, pa zapamtite formule i shvatite principe rješavanja zadataka.

Koraci

Jedna vrijednost puta i jedna vrijednost vremena

• duljina puta koji je prešlo tijelo;
• vrijeme koje je tijelu trebalo da pređe ovaj put.
• Na primjer: automobil je prešao 150 km za 3 sata.Nađite prosječnu brzinu automobila.

1. Formula: gdje v (\displaystyle v)- Prosječna brzina, s (\displaystyle s)- prijeđena udaljenost, t (\displaystyle t)- vrijeme potrebno za putovanje.

   Zamijenite prijeđenu udaljenost u formulu. Zamijenite vrijednost putanje za s (\displaystyle s).

   • U našem primjeru, automobil je prešao 150 km. Formula će biti napisana ovako: v = 150 t (\displaystyle v=(\frac (150)(t))).

2. Uključite vrijeme u formulu. Zamijenite vrijednost vremena za t (\displaystyle t).

   • U našem primjeru, auto je vozio 3 sata. Formula će biti napisana na sljedeći način:.

3. Podijelite put po vremenu. Naći ćete prosječnu brzinu (obično se mjeri u kilometrima na sat).

   • U našem primjeru:
     v = 150 3 (\displaystyle v=(\frac (150)(3)))
     
     Dakle, ako je automobil prešao 150 km za 3 sata, tada se kretao prosječnom brzinom od 50 km/h.

4. Izračunajte ukupnu prijeđenu udaljenost. Da biste to učinili, zbrojite vrijednosti prijeđenih dijelova puta. Zamijenite ukupnu prijeđenu udaljenost u formulu (umjesto s (\displaystyle s)).

   • U našem primjeru, automobil je prešao 150 km, 120 km i 70 km. Ukupno prijeđeni put: .

5. T (\displaystyle t)).

   • . Dakle, formula će biti napisana kao:.
6. • U našem primjeru:
     v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
     
     Dakle, ako je automobil prešao 150 km za 3 sata, 120 km za 2 sata, 70 km za 1 sat, tada se kretao prosječnom brzinom od 57 km/h (zaokruženo).

Više brzina i više puta

1. Pogledajte ove vrijednosti. Koristite ovu metodu ako su date sljedeće količine:

   Zapišite formulu za izračun prosječne brzine. Formula: v = s t (\displaystyle v=(\frac (s)(t))), gdje v (\displaystyle v)- Prosječna brzina, s (\displaystyle s)- ukupna prijeđena udaljenost, t (\displaystyle t) je ukupno vrijeme potrebno za putovanje.

2. Izračunajte zajednički put. Da biste to učinili, pomnožite svaku brzinu s odgovarajućim vremenom. To će vam dati duljinu svakog dijela puta. Da biste izračunali ukupni put, dodajte vrijednosti prijeđenih segmenata puta. Zamijenite ukupnu prijeđenu udaljenost u formulu (umjesto s (\displaystyle s)).

   • Na primjer:
     50 km/h za 3 h = 50 × 3 = 150 (\displaystyle 50\put 3=150) km
     60 km/h za 2 h = 60 × 2 = 120 (\displaystyle 60\puta 2=120) km
     70 km/h za 1 h = 70 × 1 = 70 (\displaystyle 70\put 1=70) km
     Ukupna pređena udaljenost: 150 + 120 + 70 = 340 (\displaystyle 150+120+70=340) km. Dakle, formula će biti napisana kao: v = 340 t (\displaystyle v=(\frac (340)(t))).

3. Izračunajte ukupno vrijeme putovanja. Da biste to učinili, dodajte vrijednosti vremena za koje je svaki dio puta bio pokriven. Ubacite ukupno vrijeme u formulu (umjesto t (\displaystyle t)).

   • U našem primjeru, auto je vozio 3 sata, 2 sata i 1 sat. Ukupno vrijeme putovanja je: 3 + 2 + 1 = 6 (\displaystyle 3+2+1=6). Dakle, formula će biti napisana kao: v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6))).

4. Podijelite ukupnu udaljenost s ukupnim vremenom. Naći ćete prosječnu brzinu.

   • U našem primjeru:
     v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
     v = 56 , 67 (\displaystyle v=56,67)
     Dakle, ako se automobil 3 sata kretao brzinom od 50 km/h, 2 sata brzinom od 60 km/h, 1 sat brzinom od 70 km/h, tada se kretao prosječno brzina od 57 km/h (zaokruženo).

S dvije brzine i dva identična vremena

1. Pogledajte ove vrijednosti. Koristite ovu metodu ako su dane sljedeće količine i uvjeti:

   • dvije ili više brzina kojima se tijelo kretalo;
   • tijelo se giba određenim brzinama u jednakim vremenskim razdobljima.
   • Na primjer: automobil je 2 sata išao brzinom od 40 km/h i još 2 sata brzinom od 60 km/h Nađite prosječnu brzinu automobila za cijelo putovanje.

2. Zapišite formulu za izračunavanje prosječne brzine s obzirom na dvije brzine kojima se tijelo giba u jednakim vremenskim razdobljima. Formula: v = a + b 2 (\displaystyle v=(\frac (a+b)(2))), gdje v (\displaystyle v)- Prosječna brzina, a (\displaystyle a)- brzina tijela tijekom prvog vremenskog razdoblja, b (\displaystyle b)- brzina tijela tijekom drugog (isto kao i prvog) vremenskog razdoblja.

   • U takvim zadacima vrijednosti vremenskih intervala nisu važne - glavna stvar je da su jednake.
   • S obzirom na više brzina i jednake vremenske intervale, prepišite formulu na sljedeći način: v = a + b + c 3 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c)(3))) ili v = a + b + c + d 4 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c+d)(4))). Ako su vremenski intervali jednaki, zbrojite sve vrijednosti brzine i podijelite ih s brojem takvih vrijednosti.

3. Zamijenite vrijednosti brzine u formulu. Nije važno koju vrijednost zamijeniti a (\displaystyle a), a koji umjesto b (\displaystyle b).

   • Na primjer, ako je prva brzina 40 km/h, a druga brzina 60 km/h, formula bi bila: .

4. Zbrojite dvije brzine. Zatim podijelite zbroj s dva. Naći ćete prosječnu brzinu za cijelo putovanje.

   • Na primjer:
     v = 40 + 60 2 (\displaystyle v=(\frac (40+60)(2)))
     v = 100 2 (\displaystyle v=(\frac (100)(2)))
     v=50 (\displaystyle v=50)
     Dakle, ako se automobil 2 sata kretao brzinom od 40 km/h i još 2 sata pri 60 km/h, prosječna brzina automobila za cijelo putovanje bila je 50 km/h.

Jako jednostavno! Cijelu stazu trebate podijeliti do trenutka kada je objekt kretanja bio na putu. Izraženo drugačije, prosječnu brzinu možemo definirati kao aritmetičku sredinu svih brzina objekta. Ali postoje neke nijanse u rješavanju problema u ovom području.

Na primjer, da bi se izračunala prosječna brzina, dana je sljedeća verzija problema: putnik je najprije sat vremena hodao brzinom od 4 km na sat. Tada ga je "pokupio" automobil u prolazu, a ostatak puta je odvezao za 15 minuta. A auto se kretao brzinom od 60 km na sat. Kako odrediti prosječnu brzinu putnika?

Ne biste trebali samo zbrojiti 4 km i 60 i podijeliti ih na pola, ovo će biti pogrešno rješenje! Uostalom, putevi kojima se prolazi pješke i automobilom su nam nepoznati. Dakle, prvo morate izračunati cijeli put.

Prvi dio puta je lako pronaći: 4 km na sat X 1 sat = 4 km

S drugim dijelom puta male probleme: Brzina se izražava u satima, a vrijeme vožnje u minutama. Ova nijansa često otežava pronalaženje pravog odgovora kada se postavljaju pitanja, kako pronaći prosječnu brzinu, put ili vrijeme.

Ekspresno 15 minuta u satima. Za ovih 15 minuta: 60 minuta = 0,25 sati. A sada izračunajmo kako je putnik prošao na vožnji?

60 km/h X 0,25 h = 15 km

Sada neće biti moguće pronaći cijeli put koji je prošao putnik poseban rad: 15 km + 4 km = 19 km.

Vrijeme putovanja također je prilično lako izračunati. Ovo je 1 sat + 0,25 sati = 1,25 sati.

A sada je već jasno kako pronaći prosječnu brzinu: cijeli put morate podijeliti s vremenom koje je putnik potrošio da ga prevlada. To jest, 19 km: 1,25 sati = 15,2 km/h.

Postoji takva anegdota u temi. Čovjek koji žuri pita vlasnika polja: „Mogu li preko tvoje stranice otići do stanice? Malo kasnim i htio bih skratiti svoj put tako što ću ići ravno. Onda ću sigurno stići do vlaka koji kreće u 16:45!” “Naravno da možete skratiti svoj put prolaskom kroz moju livadu! A ako te moj bik tamo primijeti, onda ćeš imati vremena i za onaj vlak koji kreće u 16 sati i 15 minuta.

U međuvremenu, ova komična situacija izravno je povezana s takvim matematičkim konceptom kao što je prosječna brzina kretanja. Uostalom, potencijalni putnik pokušava skratiti svoj put iz jednostavnog razloga što zna prosječnu brzinu svog kretanja, na primjer, 5 km na sat. A pješak, znajući da je zaobilaznica asfaltnom cestom 7,5 km, nakon što je napravio mentalno jednostavne izračune, shvaća da će mu na ovoj cesti trebati sat i pol (7,5 km: 5 km / h = 1,5 sat).

On, napuštajući kuću prekasno, ograničen je u vremenu, te stoga odlučuje skratiti svoj put.

I tu smo suočeni s prvim pravilom koje nam diktira kako pronaći prosječnu brzinu kretanja: dano izravna udaljenost između ekstremne točke način ili precizno izračunavanje Iz navedenog je svima jasno: treba provesti proračun, uzimajući u obzir upravo putanju puta.

Skraćujući put, ali ne mijenjajući svoju prosječnu brzinu, objekt pred pješakom dobiva dobitak u vremenu. Farmer, pretpostavljajući prosječnu brzinu “sprintera” koji bježi od bijesnog bika, također čini jednostavni izračuni i daje vam rezultat.

Vozači često koriste drugo, važno, pravilo za izračun prosječne brzine, koje se odnosi na vrijeme provedeno na cesti. To se odnosi na pitanje kako pronaći prosječnu brzinu u slučaju da se objekt usput zaustavi.

U ovoj opciji obično, ako nema dodatnih pojašnjenja, uzimaju za izračun puno vrijeme uključujući zaustavljanja. Stoga vozač automobila može reći da je njegova prosječna brzina ujutro na slobodnoj cesti puno veća od prosječne brzine u špici, iako brzinomjer u oba slučaja pokazuje istu brojku.

Znajući ove brojke, iskusni vozač nikada neće nigdje zakasniti, unaprijed pretpostavivši kolika će biti njegova prosječna brzina kretanja u gradu. drugačije vrijeme dana.

Postoje prosječne vrijednosti, čija je netočna definicija postala anegdota ili parabola. Bilo koji pogrešno napravljeni izračuni komentiraju se uobičajeno razumljivim pozivanjem na tako namjerno apsurdan rezultat. Svatko će, na primjer, izazvati osmijeh sarkastičnog razumijevanja izraza "prosječna temperatura u bolnici". Međutim, isti stručnjaci često, bez zadrške, zbrajaju brzine na pojedinim dionicama puta i dijele izračunati zbroj s brojem tih dionica kako bi dobili jednako besmislen odgovor. Podsjetimo se s tečaja mehanike Srednja škola kako pronaći prosječnu brzinu na pravi način, a ne na apsurdan način.

Analog "prosječne temperature" u mehanici

U kojim nas slučajevima lukavo formulirani uvjeti problema tjeraju na ishitreni, nepromišljeni odgovor? Ako se kaže o "dijelovima" puta, ali njihova duljina nije naznačena, to alarmira čak i osobu koja nije previše iskusna u rješavanju takvih primjera. Ali ako zadatak izravno ukazuje na jednake intervale, na primjer, "vlak je pratio prvu polovicu puta brzinom ...", ili "pješak je pješačio prvu trećinu puta brzinom ...", i zatim detaljno opisuje kako se objekt kretao na preostalim jednakim površinama, odnosno omjer je poznat S 1 \u003d S 2 \u003d ... \u003d S n i točne vrijednosti brzine v 1, v 2, ... v n, naše razmišljanje često stvara neoprostiv zastoj. Razmatra se aritmetička sredina brzina, odnosno sve poznate vrijednosti v zbrojiti i podijeliti na n. Kao rezultat toga, odgovor je pogrešan.

Jednostavne "formule" za izračunavanje količina u ravnomjernom kretanju

A za cijeli prijeđeni put i za njegove pojedine dionice, u slučaju prosječne brzine, vrijede relacije zapisane za jednoliko gibanje:

• S=vt(1), "formula" puta;
• t=S/v(2), "formula" za izračunavanje vremena kretanja ;
• v=S/t(3), "formula" za određivanje prosječne brzine na dionici pruge S prošlo tijekom vremena t.

To jest, pronaći željenu vrijednost v koristeći relaciju (3), moramo točno znati druge dvije. Upravo pri rješavanju pitanja kako pronaći prosječnu brzinu kretanja moramo prije svega odrediti koliki je cijeli prijeđeni put S a što je cijelo vrijeme kretanja t.

Matematičko otkrivanje latentne pogreške

U primjeru koji rješavamo, put koji prolazi tijelo (vlak ili pješak) bit će jednak umnošku nS n(zato što mi n nakon što zbrojimo jednake dijelove puta, u navedenim primjerima - polovice, n=2, ili trećine, n=3). Ne znamo ništa o ukupnom vremenu putovanja. Kako odrediti prosječnu brzinu ako nazivnik razlomka (3) nije eksplicitno postavljen? Koristimo relaciju (2), za svaki dio puta koji odredimo t n = S n: v n. Iznos ovako izračunati vremenski intervali bit će upisani ispod crte razlomka (3). Jasno je da da biste se riješili znakova "+", morate dati sve S n: v n na zajednički nazivnik. Rezultat je "razlomak na dva kata". Zatim koristimo pravilo: nazivnik nazivnika ide u brojnik. Kao rezultat toga, za problem s vlakom nakon smanjenja po S n imamo v cf \u003d nv 1 v 2: v 1 + v 2, n \u003d 2 (4) . U slučaju pješaka, pitanje kako pronaći prosječnu brzinu još je teže riješiti: v cf \u003d nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n=3(5).

Eksplicitna potvrda pogreške "u brojkama"

Kako bismo "na prste" potvrdili da je definicija aritmetičke sredine pogrešan način pri izračunavanju voženiti se, konkretiziramo primjer zamjenom apstraktnih slova brojevima. Za vlak, uzmite brzinu 40 km/h i 60 km/h(krivi odgovor - 50 km/h). Za pješaka 5 , 6 i 4 km/h(prosjek - 5 km/h). Lako je vidjeti, zamjenom vrijednosti u relacijama (4) i (5), da su točni odgovori za lokomotivu 48 km/h i za čovjeka 4, (864) km/h(periodična decimala, rezultat matematički nije baš lijep).

Kada aritmetička sredina ne uspije

Ako se problem formulira na sljedeći način: „U jednakim vremenskim intervalima tijelo se prvo kretalo brzinom v1, onda v2, v 3 i tako dalje", brzi odgovor na pitanje kako pronaći prosječnu brzinu može se naći na pogrešan način. Neka čitatelj sam uvjeri zbrajanjem jednakih vremenskih razdoblja u nazivniku i korištenjem u brojniku v usp odnos (1). Ovo je možda jedini slučaj kada pogrešna metoda dovodi do ispravnog rezultata. Ali za zajamčeno točne izračune morate koristiti jedini ispravan algoritam, koji se uvijek odnosi na razlomak v cf = S: t.

Algoritam za sve prilike

Kako biste sigurno izbjegli pogreške, prilikom rješavanja pitanja kako pronaći prosječnu brzinu, dovoljno je zapamtiti i slijediti jednostavan slijed radnji:

• odrediti cijeli put zbrajanjem duljina njegovih pojedinih dionica;
• postaviti do kraja;
• podijelite prvi rezultat s drugim, nepoznate vrijednosti koje nisu navedene u problemu se u ovom slučaju smanjuju (podložno ispravnoj formulaciji uvjeta).

U članku se razmatraju najjednostavniji slučajevi kada su početni podaci dati za jednake dijelove vremena ili jednake dijelove puta. U općem slučaju, omjer kronoloških intervala ili udaljenosti koje tijelo pokriva može biti najproizvoljniji (ali matematički definiran, izražen kao određeni cijeli broj ili razlomak). Pravilo za upućivanje na omjer v cf = S: t apsolutno univerzalan i nikada ne uspijeva, bez obzira koliko se na prvi pogled algebarske transformacije moraju izvesti.

Konačno, napominjemo da za pažljive čitatelje, praktični značaj korištenja ispravnog algoritma nije ostao nezapažen. Ispravno izračunata prosječna brzina u gornjim primjerima pokazala se nešto nižom od "prosječne temperature" na stazi. Dakle, lažni algoritam za sustave koji bilježe prebrzu vožnju bi značio više pogrešni propisi prometne policije poslani u "pismima sreće" vozačima.

Ovaj članak govori o tome kako pronaći prosječnu brzinu. Daje se definicija ovog pojma, a razmatraju se dva važna posebna slučaja nalaženja prosječne brzine. Uvedeno detaljna analiza zadatke za pronalaženje prosječne brzine tijela od nastavnika matematike i fizike.

Određivanje prosječne brzine

srednja brzina gibanjem tijela naziva se omjer puta koji je tijelo prešlo i vremena tijekom kojeg se tijelo kretalo:

Naučimo kako ga pronaći na primjeru sljedećeg problema:

Imajte na umu da se u ovom slučaju ova vrijednost nije podudarala s aritmetičkom sredinom brzina i , koja je jednaka:
m/s.

Posebni slučajevi pronalaženja prosječne brzine

1. Dva identična dijela puta. Neka se tijelo giba prvu polovicu puta brzinom , a drugu polovicu puta - brzinom . Potrebno je pronaći prosječnu brzinu tijela.

2. Dva identična intervala kretanja. Neka se tijelo giba brzinom određeno vrijeme, a zatim se počelo kretati brzinom za isto vremensko razdoblje. Potrebno je pronaći prosječnu brzinu tijela.

Ovdje smo dobili jedini slučaj kada se prosječna brzina kretanja poklapala s aritmetičkim srednjim brzinama i to na dva dijela puta.

Da riješimo problem na kraju Sveruska olimpijadaškolaraca iz fizike, koja se održala prošle godine, a koja je vezana uz temu našeg današnjeg sata.

Tijelo se kretalo s, a prosječna brzina kretanja bila je 4 m/s. Poznato je da je zadnjih nekoliko sekundi prosječna brzina istog tijela bila 10 m/s. Odrediti prosječnu brzinu tijela za prve s kretanja.

Put koji tijelo prijeđe je: m. Također možete pronaći put koji je tijelo prošlo za posljednji od svog kretanja: m. Zatim za prvi od svog kretanja tijelo je prešlo put u m. Dakle, prosječna brzina na ovom dijelu puta bio:
m/s.

Vole nuditi zadatke za pronalaženje prosječne brzine kretanja na Jedinstvenom državnom ispitu i OGE-u iz fizike, prijemnih ispita i olimpijada. Svaki student bi trebao naučiti kako riješiti ove probleme ako planira nastaviti školovanje na sveučilištu. Znatan prijatelj može pomoći u rješavanju ovog zadatka, školski učitelj ili nastavnik matematike i fizike. Sretno sa studiranjem fizike!

Sergej Valerijevič

Pojam brzine jedan je od glavnih pojmova u kinematici.
Mnogi ljudi vjerojatno znaju da je brzina fizička veličina, pokazujući koliko se brzo (ili koliko sporo) kreće tijelo koje se kreće u prostoru. Naravno pričamo o pomaku u odabranom referentnom sustavu. Znate li, međutim, da se ne koristi jedan, nego tri koncepta brzine? Postoji brzina ovaj trenutak vrijeme, nazvana trenutna brzina, a postoje dva koncepta prosječne brzine za određeno vremensko razdoblje - prosječna brzina tla (na engleskom speed) i prosječna brzina kretanja (na engleskom velocity).
Razmotrit ćemo materijalnu točku u koordinatnom sustavu x, y, z(slika a).

Položaj A točke u vremenu t karakterizirati koordinatama x(t), y(t), z(t), koji predstavlja tri komponente radijus vektora ( t). Točka se pomiče, njezin se položaj u odabranom koordinatnom sustavu mijenja tijekom vremena - kraj radijus vektora ( t) opisuje krivulju koja se zove putanja pokretne točke.
Putanja opisana za vremenski interval od t prije t + Δt prikazano na slici b.

Kroz B označava položaj točke u ovom trenutku t + Δt(fiksiran je radijus vektorom ( t + Δt)). Neka bude Δs je duljina krivuljaste putanje koja se razmatra, tj. putanja koju je priješla točka u vremenu od t prije t + Δt.
Prosječna brzina tla točke za određeno vremensko razdoblje određena je omjerom

Očito je da v str − skalarni; karakterizira ga samo brojčana vrijednost.
Vektor prikazan na slici b

naziva se pomak materijalne točke u vremenu iz t prije t + Δt.
Prosječna brzina kretanja za određeno vremensko razdoblje određena je omjerom

Očito je da v usp− vektorska količina. vektorski smjer v usp poklapa se sa smjerom kretanja Δr.
Imajte na umu da se u slučaju pravocrtnog gibanja prosječna brzina tla pomične točke poklapa s modulom prosječne brzine u pomaku.
Kretanje točke duž pravocrtne ili krivolinijske putanje naziva se jednoličnim ako u odnosu (1) vrijednost vp ne ovisi o Δt. Ako npr. smanjimo Δt 2 puta, zatim duljinu puta koju je priješla točka Δs smanjit će se za 2 puta. U ravnomjernom kretanju, točka prelazi put jednake duljine u jednakim vremenskim intervalima.
 Pitanje:
Možemo li pretpostaviti da uz jednoliko gibanje točke od Δt ne ovisi i o vektoru cp prosječne brzine s obzirom na pomak?

 Odgovor:
To se može uzeti u obzir samo u slučaju pravocrtnog gibanja (u ovom slučaju podsjećamo da je modul prosječne brzine za pomak jednak prosječnoj brzini tla). Ako se jednoliko gibanje izvodi duž krivolinijske putanje, tada s promjenom intervala usrednjavanja Δt promijenit će se i modul i smjer vektora prosječne brzine duž pomaka. S uniformom krivolinijsko gibanje jednakim vremenskim intervalima Δt odgovarat će različitim vektorima pomaka Δr(a time i različiti vektori v usp).
Istina, u slučaju jednoliko kretanje oko kruga, jednaki vremenski intervali odgovarat će jednakim vrijednostima modula pomaka |r|(i stoga jednaki |v usp |). Ali smjerovi pomaka (a time i vektori v usp) i u ovom slučaju bit će različit za isti Δt. To se vidi na slici

Gdje točka koja se jednoliko kreće duž kružnice opisuje jednake lukove u jednakim vremenskim intervalima AB, PRIJE KRISTA, CD. Iako su vektori pomaka 1 , 2 , 3 imaju iste module, ali su im smjerovi različiti, pa nema potrebe govoriti o jednakosti ovih vektora.
 Bilješka
Od dvije prosječne brzine u problemima obično se uzima u obzir prosječna brzina na tlu, a prosječna brzina vožnje se koristi prilično rijetko. Međutim, zaslužuje pozornost, jer nam omogućuje uvođenje koncepta trenutne brzine.