Proračun relativne i apsolutne pogreške mjerenja. Relativna i apsolutna pogreška: pojam, proračun i svojstva
Mjerenja mnogih veličina koje se javljaju u prirodi ne mogu biti točna. Mjerenje daje broj koji izražava vrijednost s različitim stupnjevima točnosti (mjera duljine s točnošću od 0,01 cm, izračun vrijednosti funkcije u točki s točnošću do, itd.), tj. neka greška. Pogreška se može postaviti unaprijed, ili, obrnuto, treba je pronaći.
Teorija pogrešaka ima za cilj proučavanja uglavnom približne brojeve. Prilikom izračuna umjesto 
obično koristite približne brojeve: (ako točnost nije osobito važna), (ako je točnost važna). Kako izvršiti izračune s približnim brojevima, odrediti njihove pogreške - ovo je teorija približnih izračuna (teorija pogreške).
Ubuduće će se točni brojevi označavati velikim slovima, a odgovarajući približni brojevi će se označavati malim slovima.
Pogreške koje nastaju u jednoj ili drugoj fazi rješavanja problema mogu se podijeliti u tri vrste:
1) Problemska pogreška. Ova vrsta pogreške se javlja prilikom izgradnje matematički model pojavama. Daleko od uvijek je moguće uzeti u obzir sve čimbenike i stupanj njihovog utjecaja na konačni rezultat. To jest, matematički model objekta nije njegova točna slika, njegov opis nije točan. Takva pogreška je neizbježna.
2) Pogreška metode. Ova pogreška nastaje kao rezultat zamjene izvornog matematičkog modela s pojednostavljenim, na primjer, u nekim problemima korelacijske analize prihvatljiv je linearni model. Takva se pogreška može ukloniti, jer se u fazama izračuna može smanjiti na proizvoljno malu vrijednost.
3) Računska ("strojna") pogreška. Pojavljuje se kada računalo izvodi aritmetičke operacije.
Definicija 1.1. neka bude - točna vrijednost količine (brojevi), - približna vrijednost iste količine (). Prava apsolutna pogreška približni broj je modul razlike između točne i približne vrijednosti:
. (1.1)
Neka je, na primjer, =1/3. Prilikom računanja na MK dali su rezultat dijeljenja 1 s 3 kao približan broj = 0,33. Zatim 
.
Međutim, u stvarnosti, u većini slučajeva, točna vrijednost količine nije poznata, što znači da se (1.1) ne može primijeniti, odnosno ne može se pronaći prava apsolutna pogreška. Stoga se uvodi druga vrijednost koja služi kao neka procjena (gornja granica za ).
Definicija 1.2.
Granična apsolutna pogreška približni broj, koji predstavlja nepoznati točan broj, naziva se tako moguće manji broj, koji ne prelazi pravi apsolutna greška, tj 
. (1.2)
Za približan broj veličina koje zadovoljavaju nejednakost (1.2) postoji beskonačno mnogo, ali najvrjednija od njih bit će najmanja od svih pronađenih. Iz (1.2), na temelju definicije modula, imamo , ili skraćeno kao jednakost
. (1.3)
Jednakost (1.3) određuje granice unutar kojih se nalazi nepoznati točan broj (kažu da približni broj izražava točan broj s graničnom apsolutnom pogreškom). Lako je vidjeti da što je manji , to su te granice točnije određene.
Na primjer, ako su mjerenja određene vrijednosti dala rezultat cm, a točnost tih mjerenja nije prelazila 1 cm, tada je prava (točna) duljina 
cm.
Primjer 1.1. S obzirom na broj. Nađite graničnu apsolutnu pogrešku broja po broju.
Riješenje: Iz jednakosti (1.3) za broj ( =1,243; =0,0005) imamo dvostruku nejednakost , tj.
Tada se problem postavlja na sljedeći način: pronaći za broj graničnu apsolutnu pogrešku koja zadovoljava nejednakost 
. Uzimajući u obzir uvjet (*), dobivamo (u (*) oduzimamo od svakog dijela nejednakosti)
Budući da u našem slučaju 
, zatim , odakle =0,0035.
Odgovor: =0,0035.
Ograničavajuća apsolutna pogreška često daje lošu ideju o točnosti mjerenja ili proračuna. Na primjer, \u003d 1 m pri mjerenju duljine zgrade pokazat će da nisu točno izvedeni, a ista pogreška \u003d\u003d 1 m pri mjerenju udaljenosti između gradova daje vrlo procjena kvalitete. Stoga se uvodi još jedna vrijednost.
Definicija 1.3. Prava relativna pogreška broj, koji je približna vrijednost točnog broja, je omjer prave apsolutne pogreške broja i modula samog broja:
. (1.4)
Na primjer, ako su točne i približne vrijednosti, onda
Međutim, formula (1.4) nije primjenjiva ako nije poznata točna vrijednost broja. Stoga se po analogiji s graničnom apsolutnom pogreškom uvodi granična relativna pogreška.
Definicija 1.4. Ograničavajuća relativna pogreška broj koji je aproksimacija nepoznatog točnog broja naziva se najmanji mogući broj , koji nije premašen istinskom relativnom greškom , tj
.
(1.5)
Iz nejednakosti (1.2) imamo 
; odakle, uzimajući u obzir (1.5)
Formula (1.6) ima veću praktičnu primjenjivost u odnosu na (1.5), budući da u njoj ne sudjeluje točna vrijednost. Uzimajući u obzir (1.6) i (1.3), mogu se pronaći granice koje sadrže točnu vrijednost nepoznate veličine.
Neka neka slučajna vrijednost a izmjereno n puta pod istim uvjetima. Rezultati mjerenja dali su skup n razni brojevi
Apsolutna pogreška- dimenzijska vrijednost. Među n vrijednosti apsolutnih pogrešaka nužno zadovoljavaju i pozitivne i negativne.
Za najvjerojatnije vrijednosti količine ali obično uzimaju prosjek značenje rezultata mjerenja
.
Kako više broja mjerenja, što je srednja vrijednost bliža pravoj vrijednosti.
Apsolutna pogreškai
.
Relativna greškai ta se dimenzija naziva količina
Relativna greška je bezdimenzionalna veličina. Obično se za to relativna pogreška izražava u postocima e i pomnožiti sa 100%. Vrijednost relativne pogreške karakterizira točnost mjerenja.
Prosječna apsolutna pogreška definira se ovako:
.
Ističemo potrebu da se zbroje apsolutne vrijednosti (moduli) veličina D i ja . Inače će se dobiti identičan nulti rezultat.
Prosječna relativna pogreška naziva se količina
.
Na veliki brojevi mjerenja.
Relativna pogreška se može smatrati vrijednošću pogreške po jedinici mjerene veličine.
Točnost mjerenja ocjenjuje se na temelju usporedbe pogrešaka rezultata mjerenja. Stoga su mjerne pogreške izražene u takvom obliku da bi za procjenu točnosti bilo dovoljno usporediti samo pogreške rezultata, bez uspoređivanja veličina mjerenih objekata ili poznavanja tih veličina vrlo približno. Iz prakse je poznato da apsolutna pogreška mjerenja kuta ne ovisi o vrijednosti kuta, a apsolutna pogreška mjerenja duljine ovisi o vrijednosti duljine. Što je veća vrijednost duljine, veća je apsolutna pogreška za ovu metodu i uvjete mjerenja. Stoga je prema apsolutnoj pogrešci rezultata moguće suditi o točnosti mjerenja kuta, ali je nemoguće suditi o točnosti mjerenja duljine. Izražavanje pogreške u relativnom obliku omogućuje usporedbu, u određenim slučajevima, točnost kutnih i linearnih mjerenja.
Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Slučajna pogreška.
Slučajna pogreška naziva se komponenta mjerne pogreške, koja se nasumično mijenja s ponovljenim mjerenjima iste veličine.
Kada se ponovljena mjerenja iste konstantne, nepromjenjive količine provode s istom pažnjom i pod istim uvjetima, dobivamo rezultate mjerenja - neki se međusobno razlikuju, a neki se podudaraju. Takva odstupanja u rezultatima mjerenja ukazuju na prisutnost komponenti slučajne pogreške u njima.
Slučajna pogreška proizlazi iz istodobnog djelovanja više izvora, od kojih svaki sam po sebi ima neprimjetan učinak na rezultat mjerenja, ali ukupni učinak svih izvora može biti prilično jak.
Slučajne pogreške neizbježna su posljedica svakog mjerenja i nastaju zbog:
a) netočna očitanja na ljestvici instrumenata i alata;
b) nisu identični uvjeti za ponovljena mjerenja;
c) slučajne promjene vanjski uvjeti(temperatura, pritisak, polje sile itd.) koje se ne mogu kontrolirati;
d) svi drugi utjecaji na mjerenja, čiji su nam uzroci nepoznati. Veličina slučajne pogreške može se minimizirati ponovnim ponavljanjem eksperimenta i odgovarajućom matematičkom obradom rezultata.
Slučajna pogreška može poprimiti različite apsolutne vrijednosti, koje se ne mogu predvidjeti za dani mjerni čin. Ova greška može biti podjednako i pozitivna i negativna. Slučajne pogreške uvijek su prisutne u eksperimentu. U nedostatku sustavnih pogrešaka, uzrokuju raspršivanje ponovljenih mjerenja oko prave vrijednosti.
Pretpostavimo da uz pomoć štoperice mjerimo period titranja njihala, a mjerenje se ponavlja više puta. Pogreške u pokretanju i zaustavljanju štoperice, pogreška u vrijednosti referentne vrijednosti, malo neravnomjerno kretanje njihala - sve to uzrokuje raspršivanje rezultata ponovljenih mjerenja i stoga se može klasificirati kao slučajne pogreške.
Ako nema drugih pogrešaka, onda će neki rezultati biti nešto precijenjeni, dok će drugi biti malo podcijenjeni. Ali ako, osim ovoga, i sat kasni, onda će svi rezultati biti podcijenjeni. Ovo je već sustavna pogreška.
Neki čimbenici mogu uzrokovati i sustavne i slučajne pogreške u isto vrijeme. Dakle, uključivanjem i isključivanjem štoperice možemo stvoriti mali nepravilni razmak u trenucima pokretanja i zaustavljanja sata u odnosu na kretanje njihala i time unijeti slučajnu grešku. Ali ako, osim toga, svaki put kad požurimo uključiti štopericu i malo kasnimo s isključivanjem, to će dovesti do sustavne pogreške.
Slučajne greške nastaju zbog pogreške paralakse pri očitavanju podjela ljestvice instrumenta, podrhtavanja temelja zgrade, utjecaja blagog kretanja zraka itd.
Iako je nemoguće isključiti slučajne pogreške pojedinačnih mjerenja, matematička teorija slučajni fenomeni omogućuju smanjenje utjecaja ovih pogrešaka na konačni rezultat mjerenja. U nastavku će biti prikazano da je za to potrebno napraviti ne jedno, već nekoliko mjerenja, a što je manja vrijednost pogreške koju želimo dobiti, potrebno je izvršiti više mjerenja.
Zbog činjenice da je pojava slučajnih pogrešaka neizbježna i neizbježna, glavni zadatak svakog mjernog procesa je svesti pogreške na minimum.
Teorija pogrešaka temelji se na dvije glavne pretpostavke, potvrđene iskustvom:
1. Uz veliki broj mjerenja, slučajne pogreške iste veličine, ali drugačiji znak, tj. prilično su česte greške u smjeru povećanja i smanjenja rezultata.
2. Velike apsolutne pogreške rjeđe su od malih, pa se vjerojatnost pogreške smanjuje kako njezina vrijednost raste.
Ponašanje slučajnih varijabli opisano je statističkim pravilnostima, koje su predmet teorije vjerojatnosti. Statistička definicija vjerojatnosti w i razvoj događaja i je stav
gdje n - ukupni broj eksperimenti, n i- broj eksperimenata u kojima je događaj i dogodilo. U ovom slučaju, ukupan broj eksperimenata trebao bi biti vrlo velik ( n®¥). Uz veliki broj mjerenja, slučajne pogreške podliježu normalnoj distribuciji (Gaussova raspodjela), čije su glavne značajke sljedeće:
1. Što je veće odstupanje vrijednosti izmjerene vrijednosti od prave vrijednosti, manja je vjerojatnost takvog rezultata.
2. Odstupanja u oba smjera od prave vrijednosti jednako su vjerojatna.
Iz navedenih pretpostavki proizlazi da je za smanjenje utjecaja slučajnih pogrešaka potrebno ovu veličinu izmjeriti nekoliko puta. Pretpostavimo da mjerimo neku vrijednost x. Neka se proizvede n mjerenja: x 1 , x 2 , ... x n- istom metodom i s istom pažnjom. Može se očekivati da će broj dn dobiveni rezultati, koji leže u prilično uskom intervalu od x prije x + dx, trebao bi biti proporcionalan:
Vrijednost preuzetog intervala dx;
Ukupan broj mjerenja n.
Vjerojatnost dw(x) da neka vrijednost x leži u intervalu od x prije x+dx, definirana kako slijedi :
(sa brojem mjerenja n ®¥).
Funkcija f(x) naziva se funkcija distribucije ili gustoća vjerojatnosti.
Kao postulat teorije pogrešaka, pretpostavlja se da rezultati izravnih mjerenja i njihove slučajne pogreške, s velikim brojem njih, pokoravaju zakonu normalne distribucije.
Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable koju je pronašao Gauss x ima sljedeći oblik:
, gdje je mis -
parametri distribucije .
Parametar m normalne distribucije jednak je srednjoj vrijednosti á xñ slučajna varijabla, koja je za proizvoljnu poznatu funkciju distribucije određena integralom
.
Na ovaj način, vrijednost m je najvjerojatnija vrijednost izmjerene vrijednosti x, t.j. njezina najbolja procjena.
Parametar s 2 normalne distribucije jednak je varijanci D slučajne varijable, koja je općenito određena sljedećim integralom
.
Korijen od varijance naziva se standardna devijacija slučajne varijable.
Srednje odstupanje (pogreška) slučajne varijable ásñ određuje se pomoću funkcije distribucije kako slijedi
Prosječna pogreška mjerenja ásñ izračunata iz Gaussove funkcije distribucije povezana je sa standardnim odstupanjem s kako slijedi:
< s > = 0,8 s.
Parametri s i m povezani su na sljedeći način:
.
Ovaj izraz vam omogućuje da pronađete standardnu devijaciju s ako postoji krivulja normalne distribucije.
Na slikama je prikazan graf Gaussove funkcije. Funkcija f(x) je simetrična u odnosu na ordinatu povučenu u točki x= m; prolazi kroz maksimum u točki x= m i ima pregib u točkama m ±s. Dakle, disperzija karakterizira širinu funkcije distribucije ili pokazuje koliko su široko raspršene vrijednosti slučajne varijable u odnosu na njezinu pravu vrijednost. Kako precizno mjerenje, što su bliži pravoj vrijednosti rezultati pojedinih mjerenja, t.j. vrijednost s je manja. Slika A prikazuje funkciju f(x) za tri vrijednosti s .
Područje lika ograničeno krivuljom f(x) i okomite linije povučene iz točaka x 1 i x 2 (slika B) , brojčano je jednaka vjerojatnosti da rezultat mjerenja spada u interval D x = x 1 - x 2, što se zove razina povjerenja. Površina ispod cijele krivulje f(x) jednaka je vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u interval od 0 do ¥, tj.
,
budući da je vjerojatnost određenog događaja jednaka jedan.
Koristeći normalnu distribuciju, teorija pogreške postavlja i rješava dva glavna problema. Prvi je procjena točnosti mjerenja. Drugi je procjena točnosti aritmetičke sredine rezultata mjerenja.5. Interval pouzdanosti. Studentov koeficijent.
Teorija vjerojatnosti omogućuje određivanje veličine intervala u kojem s poznatom vjerojatnošću w su rezultati pojedinačnih mjerenja. Ta se vjerojatnost naziva razina povjerenja, i odgovarajući interval (<x>±D x)w pozvao interval pouzdanosti. Razina pouzdanosti također je jednaka relativnom udjelu rezultata koji spadaju u interval pouzdanosti.
Ako je broj mjerenja n je dovoljno velika, tada vjerojatnost pouzdanosti izražava udio ukupnog broja n ona mjerenja u kojima je izmjerena vrijednost bila unutar intervala povjerenja. Svaka razina povjerenja w odgovara njegovom intervalu pouzdanosti.w 2 80%. Što je širi interval pouzdanosti, veća je vjerojatnost da će se dobiti rezultat unutar tog intervala. U teoriji vjerojatnosti uspostavlja se kvantitativni odnos između vrijednosti intervala povjerenja, vjerojatnosti povjerenja i broja mjerenja.
Ako za interval pouzdanosti odaberemo interval koji odgovara prosječnoj pogrešci, odnosno D a = OGLAS aliñ, tada za dovoljno velik broj mjerenja odgovara vjerojatnosti pouzdanosti w 60%. Kako se broj mjerenja smanjuje, vjerojatnost pouzdanosti koja odgovara takvom intervalu povjerenja (á aliñ ± OGLAS aliñ) smanjuje se.
Dakle, za procjenu intervala pouzdanosti slučajne varijable, može se koristiti vrijednost prosječne pogreške D aliñ .
Za karakterizaciju veličine slučajne pogreške potrebno je postaviti dva broja, odnosno veličinu intervala povjerenja i veličinu vjerojatnosti povjerenja . Navođenje samo veličine pogreške bez odgovarajuće pouzdane vjerojatnosti uglavnom je besmisleno.
Ako je poznata prosječna pogreška mjerenja ásñ, interval pouzdanosti zapisan kao (<x> ±asñ) w, određen s pouzdanom vjerojatnošću w= 0,57.
Ako je poznata standardna devijacija s distribucija rezultata mjerenja, naznačeni interval ima oblik (<x>± tw s) w, gdje tw- koeficijent koji ovisi o vrijednosti vjerojatnosti povjerenja i izračunat prema Gaussovoj raspodjeli.
Najčešće korištene količine D x prikazani su u tabeli 1.
Mjerenja se zovu ravno, ako se vrijednosti veličina određuju izravno instrumentima (na primjer, mjerenje duljine ravnalom, određivanje vremena štopericom itd.). Mjerenja se zovu neizravno, ako je vrijednost mjerene veličine određena izravnim mjerenjima drugih veličina koje su povezane s izmjerenim specifičnim odnosom.
Slučajne pogreške u izravnim mjerenjima
Apsolutna i relativna greška. Neka se održi N mjerenja iste količine x u nedostatku sustavne pogreške. Pojedinačni rezultati mjerenja izgledaju ovako: x 1 ,x 2 , …,x N. Prosječna vrijednost izmjerene veličine odabrana je kao najbolja:
Apsolutna pogreška jedno mjerenje naziva se razlika oblika:
.
Prosječna apsolutna pogreška N pojedinačna mjerenja:
(2)
pozvao prosječna apsolutna pogreška.
Relativna greška je omjer prosječne apsolutne pogreške i prosječne vrijednosti mjerene veličine:
.
(3)
Pogreške instrumenta u izravnim mjerenjima
Ako nema posebnih uputa, pogreška instrumenta je jednaka polovici njegove vrijednosti dijeljenja (ravnalo, čaša).
Pogreška instrumenata opremljenih noniusom jednaka je vrijednosti podjele nonija (mikrometar - 0,01 mm, kaliper - 0,1 mm).
Pogreška tabličnih vrijednosti jednaka je polovici jedinice posljednje znamenke (pet jedinica sljedećeg reda nakon posljednje značajne znamenke).
Pogreška električnih mjernih instrumenata izračunava se prema klasi točnosti IZ naznačeno na skali instrumenta:
Na primjer: 
I 
,
gdje U maks I ja maks– granica mjerenja uređaja.
Pogreška uređaja s digitalnom indikacijom jednaka je jedinici posljednje znamenke indikacije.
Nakon procjene slučajnih i instrumentalnih pogrešaka, u obzir se uzima ona čija je vrijednost veća.
Proračun pogrešaka u neizravnim mjerenjima
Većina mjerenja su neizravna. U ovom slučaju, željena vrijednost X je funkcija nekoliko varijabli ali,b, c… , čije se vrijednosti mogu pronaći izravnim mjerenjima: H = f( a, b, c…).
Aritmetička sredina rezultata neizravnih mjerenja bit će jednaka:
X = f( a, b, c…).
Jedan od načina za izračunavanje pogreške je način diferenciranja prirodnog logaritma funkcije X = f( a,
b,
c...). Ako je npr. željena vrijednost X određena relacijom X = 
, tada nakon uzimanja logaritma dobivamo: lnX = ln a+ln b+ln( c+
d).
Diferencijal ovog izraza je:
.
S obzirom na izračun približnih vrijednosti, može se zapisati za relativnu pogrešku u obliku:
=
.
(4)
Apsolutna pogreška u ovom slučaju izračunava se po formuli:
H = H (5)
Stoga se izračun pogrešaka i izračun rezultata za neizravna mjerenja provode sljedećim redoslijedom:
1) Izvršite mjerenja svih količina uključenih u izvornu formulu kako biste izračunali konačni rezultat.
2) Izračunajte srednje aritmetičke vrijednosti svake mjerene vrijednosti i njihove apsolutne pogreške.
3) Zamijenite u izvornoj formuli prosječne vrijednosti svih izmjerenih vrijednosti i izračunajte prosječnu vrijednost željene vrijednosti:
X = f( a, b, c…).
4) Uzmite logaritam izvorne formule X = f( a, b, c...) i zapišite izraz za relativnu pogrešku u obliku formule (4).
5) Izračunajte relativnu pogrešku = 
.
6) Izračunajte apsolutnu pogrešku rezultata pomoću formule (5).
7) Konačni rezultat se piše kao:
|
X \u003d X usp X |
Apsolutne i relativne pogreške najjednostavnijih funkcija dane su u tablici:
|
Apsolutno pogreška |
Relativno pogreška |
|
|
a+ b |
a+ b |
|
|
a+ b |
|
|
|
Zbog grešaka svojstvenih mjernom instrumentu, odabranoj metodi i tehnici mjerenja, razlike u vanjskim uvjetima u kojima se mjerenje obavlja od utvrđenih i drugih razloga, rezultat gotovo svakog mjerenja je opterećen greškom. Ta se pogreška izračunava ili procjenjuje i pripisuje dobivenom rezultatu. Pogreška mjerenja(ukratko - pogreška mjerenja) - odstupanje rezultata mjerenja od prave vrijednosti mjerene veličine. Prava vrijednost količine zbog prisutnosti pogrešaka ostaje nepoznata. Koristi se za rješavanje teorijski zadaci mjeriteljstvo. U praksi se koristi stvarna vrijednost količine koja zamjenjuje pravu vrijednost. Pogreška mjerenja (Δx) nalazi se po formuli: x = x mjera. - x stvarno (1.3) gdje je x mjera. - vrijednost količine dobivene na temelju mjerenja; x stvarni je vrijednost količine koja se uzima kao stvarna. Prava vrijednost za pojedinačna mjerenja često se uzima kao vrijednost dobivena uz pomoć uzornog mjernog instrumenta, za ponovljena mjerenja - aritmetička sredina vrijednosti pojedinačnih mjerenja uključenih u ovu seriju. Pogreške mjerenja mogu se klasificirati prema sljedećim kriterijima: Po prirodi manifestacije - sustavno i nasumično; Po načinu izražavanja - apsolutno i relativno; Prema uvjetima za promjenu izmjerene vrijednosti - statički i dinamički; Prema načinu obrade niza mjerenja - aritmetičkih i srednjih kvadrata; Prema potpunosti obuhvatnosti mjernog zadatka - privatno i potpuno; U odnosu na jedinicu fizička veličina— pogreške reprodukcije jedinice, skladištenja jedinice i prijenosa veličine jedinice. Sustavna pogreška mjerenja(ukratko – sustavna pogreška) – komponenta pogreške mjernog rezultata, koja ostaje konstantna za zadanu seriju mjerenja ili se redovito mijenja tijekom ponovljenih mjerenja iste fizikalne veličine. Prema prirodi manifestacije, sustavne greške se dijele na stalne, progresivne i periodične. Trajne sustavne pogreške(ukratko - stalne pogreške) - pogreške, Dugo vrijeme zadržavajući svoju vrijednost (na primjer, tijekom cijele serije mjerenja). Ovo je najčešća vrsta pogreške. Progresivne sustavne pogreške(ukratko - progresivne pogreške) - kontinuirano rastuće ili opadajuće pogreške (npr. pogreške zbog trošenja mjernih vrhova koji dolaze u dodir tijekom brušenja s dijelom kada se njime upravlja aktivnim kontrolnim uređajem). Periodična sustavna pogreška(ukratko - periodična pogreška) - pogreška čija je vrijednost funkcija vremena ili funkcija kretanja kazaljke mjerni uređaj(na primjer, prisutnost ekscentriciteta u goniometrima s kružnom ljestvicom uzrokuje sustavnu pogrešku koja varira prema periodičnom zakonu). Na temelju razloga za pojavu sustavnih pogrešaka razlikuju se instrumentalne pogreške, pogreške metode, subjektivne pogreške i pogreške zbog odstupanja vanjskih uvjeta mjerenja od utvrđenih metoda. Instrumentalna pogreška mjerenja(ukratko – instrumentalna pogreška) rezultat je niza razloga: istrošenosti dijelova instrumenta, prekomjernog trenja u mehanizmu instrumenta, netočnih poteza na ljestvici, neslaganja između stvarnog i nominalne vrijednosti mjere itd. Pogreška metode mjerenja(ukratko - pogreška metode) može nastati zbog nesavršenosti mjerne metode ili njezinih pojednostavljenja, utvrđenih mjernim postupkom. Na primjer, takva pogreška može biti posljedica nedovoljne brzine mjernih instrumenata koji se koriste pri mjerenju parametara brzih procesa ili neuračunatih nečistoća pri određivanju gustoće tvari na temelju rezultata mjerenja njezine mase i volumena. Subjektivna greška mjerenja(ukratko - subjektivna pogreška) nastaje zbog individualnih pogrešaka operatera. Ponekad se ova greška naziva osobnom razlikom. Uzrokuje ga, na primjer, kašnjenje ili napredak u prihvaćanju signala od strane operatera. Greška odstupanja(u jednom smjeru) vanjskih uvjeta mjerenja od onih utvrđenih mjernim postupkom dovodi do pojave sustavne komponente mjerne pogreške. Sustavne pogreške iskrivljuju rezultat mjerenja, stoga se moraju eliminirati, koliko je to moguće, uvođenjem korekcija ili podešavanjem instrumenta kako bi se sustavne pogreške svele na prihvatljivi minimum. Neisključena sustavna pogreška(ukratko - neisključena pogreška) - to je pogreška mjernog rezultata zbog pogreške u izračunavanju i uvođenju ispravka za učinak sustavne pogreške, odnosno male sustavne pogreške za koju se korekcija ne uvodi zbog malenkosti. Ova vrsta pogreške ponekad se naziva neisključeni ostatci pristranosti(ukratko - neisključena stanja). Primjerice, pri mjerenju duljine linijskog metra u valnim duljinama referentnog zračenja otkriveno je nekoliko neisključenih sustavnih pogrešaka (i): zbog netočnog mjerenja temperature - 1 ; zbog netočnog određivanja indeksa loma zraka - 2, zbog netočne vrijednosti valne duljine - 3. Obično se uzima u obzir zbroj neisključenih sustavnih pogrešaka (njihove se granice postavljaju). Uz broj pojmova N ≤ 3, granice neisključenih sustavnih pogrešaka izračunavaju se po formuli Kada je broj pojmova N ≥ 4, formula se koristi za izračune
gdje je k koeficijent ovisnosti neisključenih sustavnih pogrešaka o odabranoj vjerojatnosti pouzdanosti R s njihovom jednolikom distribucijom. Kod P = 0,99, k = 1,4, kod P = 0,95, k = 1,1. Slučajna pogreška mjerenja(ukratko - slučajna pogreška) - komponenta pogreške mjernog rezultata, koja se nasumično mijenja (predznakom i vrijednosti) u nizu mjerenja iste veličine fizičke veličine. Uzroci slučajnih pogrešaka: pogreške zaokruživanja pri čitanju očitanja, varijacije u očitanjima, promjene uvjeta mjerenja slučajne prirode, itd. Slučajne pogreške uzrokuju disperziju rezultata mjerenja u nizu. Teorija pogrešaka temelji se na dvjema odredbama, potvrđenim u praksi: 1. Kod velikog broja mjerenja jednako se često javljaju slučajne pogreške iste brojčane vrijednosti, ali različitog predznaka; 2. Velike (u apsolutnoj vrijednosti) greške su rjeđe od malih. Važan zaključak za praksu slijedi iz prve pozicije: s povećanjem broja mjerenja, slučajna pogreška rezultata dobivenog nizom mjerenja opada, budući da zbroj pogrešaka pojedinih mjerenja ove serije teži nuli, tj
Na primjer, kao rezultat mjerenja, dobiven je niz vrijednosti električni otpor(koje su ispravljene za učinke sustavnih pogrešaka): R 1 = 15,5 ohma, R 2 = 15,6 ohma, R 3 = 15,4 ohma, R 4 = 15,6 ohma i R 5 = 15,4 oma. Stoga je R = 15,5 oma. Odstupanja od R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm i R 5 = -0,1 Ohm) su slučajne pogreške pojedinačnih mjerenja u date serije. Lako je vidjeti da je zbroj R i = 0,0. To ukazuje da su pogreške pojedinih mjerenja ove serije izračunate ispravno. Unatoč činjenici da s povećanjem broja mjerenja, zbroj slučajnih pogrešaka teži nuli (u ovaj primjer slučajno je bila nula), mora se procijeniti slučajna pogreška rezultata mjerenja. U teoriji slučajnih varijabli, varijanca o2 služi kao karakteristika disperzije vrijednosti slučajne varijable. "| / o2 \u003d a naziva se standardna devijacija opće populacije ili standardna devijacija. To je prikladnije od disperzije, budući da se njegova dimenzija podudara s dimenzijom mjerene veličine (na primjer, vrijednost količine dobiva se u voltima, standardna devijacija će također biti u voltima). Budući da se u praksi mjerenja bavi terminom "pogreška", za karakterizaciju niza mjerenja treba koristiti pojam "srednja kvadratna pogreška" koji se iz njega izvodi. Brojna mjerenja mogu se okarakterizirati aritmetičkom srednjom pogreškom ili rasponom rezultata mjerenja. Raspon rezultata mjerenja (ukratko - raspon) je algebarska razlika između najvećeg i najmanjeg rezultata pojedinačnih mjerenja koji čine niz (ili uzorak) od n mjerenja: R n \u003d X max - X min (1,7) gdje je R n raspon; X max i X min - najveći i najmanju vrijednost vrijednosti u datom nizu mjerenja. Na primjer, od pet mjerenja promjera rupe d, vrijednosti R 5 = 25,56 mm i R 1 = 25,51 mm pokazale su se kao njegove maksimalne i minimalne vrijednosti. U ovom slučaju, R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. To znači da su preostale pogreške ove serije manje od 0,05 mm. Prosječna aritmetička pogreška jednog mjerenja u nizu(ukratko - aritmetička srednja pogreška) - generalizirana karakteristika raspršenja (zbog slučajnih razloga) pojedinačnih rezultata mjerenja (iste vrijednosti), uključenih u niz od n jednako točnih neovisnih mjerenja, izračunava se po formuli
gdje je X i rezultat i-tog mjerenja uključenog u seriju; x je aritmetička sredina n vrijednosti veličine: |X i - X| je apsolutna vrijednost pogreške i-tog mjerenja; r je greška aritmetičke sredine. Prava vrijednost aritmetičke srednje pogreške p određuje se iz omjera p = lim r, (1.9) Uz broj mjerenja n > 30, između aritmetičke sredine (r) i srednjeg kvadrata (s) postoje korelacije s = 1,25r; r i = 0,80 s. (1.10) Prednost pogreške aritmetičke sredine je jednostavnost njenog izračuna. Ali još češće određuju srednju kvadratnu pogrešku. Srednja kvadratna greška pojedinačno mjerenje u nizu (ukratko - srednja kvadratna pogreška) - generalizirana karakteristika raspršenja (zbog slučajnih razloga) pojedinačnih rezultata mjerenja (iste vrijednosti) uključenih u niz P jednako točna neovisna mjerenja, izračunata po formuli
Srednja kvadratna pogreška za opći uzorak o, koja je statistička granica za S, može se izračunati za /i-mx > po formuli: Σ = limS (1.12) U stvarnosti, broj dimenzija je uvijek ograničen, pa se ne izračunava σ , i njegovu približnu vrijednost (ili procjenu), koja je s. Više P,što je s bliži svojoj granici σ . Uz normalnu distribuciju, vjerojatnost da pogreška jednog mjerenja u nizu neće premašiti izračunatu srednju kvadratnu pogrešku je mala: 0,68. Dakle, u 32 slučaja od 100 ili 3 slučaja od 10 stvarna pogreška može biti veća od izračunate.
Slika 1.2 Smanjenje vrijednosti slučajne pogreške rezultata višestrukih mjerenja s povećanjem broja mjerenja u nizu U nizu mjerenja postoji odnos između efektivne pogreške jednog mjerenja s i efektivne pogreške aritmetičke sredine S x: koje se često naziva "pravilo Y n". Iz ovog pravila proizlazi da se pogreška mjerenja uslijed djelovanja slučajnih uzroka može smanjiti za n puta ako se izvrši n mjerenja iste veličine bilo koje veličine, a kao konačni rezultat uzme se aritmetička srednja vrijednost (slika 1.2. ). Izvođenje najmanje 5 mjerenja u nizu omogućuje smanjenje učinka slučajnih pogrešaka za više od 2 puta. S 10 mjerenja, učinak slučajne pogreške se smanjuje za faktor 3. Daljnje povećanje broja mjerenja nije uvijek ekonomski izvedivo i u pravilu se provodi samo za kritična mjerenja koja zahtijevaju visoku točnost. Srednja kvadratna pogreška jednog mjerenja iz serije homogenih dvostrukih mjerenja S α izračunava se po formuli
gdje su x" i i x"" i i-ti rezultati mjerenja iste veličine veličine u smjeru naprijed i natrag jednim mjernim instrumentom. Kod nejednakih mjerenja, srednja kvadratna pogreška aritmetičke sredine u nizu određena je formulom
gdje je p i težina i-tog mjerenja u nizu nejednakih mjerenja. Srednja kvadratna pogreška rezultata neizravnih mjerenja veličine Y, koja je funkcija Y = F (X 1, X 2, X n), izračunava se po formuli
gdje su S 1 , S 2 , S n srednje kvadratne pogreške rezultata mjerenja za X 1 , X 2 , X n . Ako se radi veće pouzdanosti dobivanja zadovoljavajućeg rezultata provede više serija mjerenja, srednja kvadratna pogreška pojedinog mjerenja iz m serije (S m) nalazi se po formuli
Gdje je n broj mjerenja u seriji; N je ukupan broj mjerenja u svim serijama; m je broj serija. Uz ograničen broj mjerenja, često je potrebno znati RMS pogrešku. Za određivanje pogreške S, izračunate po formuli (2.7), i pogreške S m , izračunate po formuli (2.12), možete koristiti sljedeće izraze
gdje su S i S m srednje kvadratne pogreške za S i S m , redom. Na primjer, prilikom obrade rezultata niza mjerenja duljine x dobili smo
Vrijednost S = ±0,7 mm znači da je, zbog pogreške u proračunu, s u rasponu od 2,4 do 3,8 mm, stoga su desetinke milimetra ovdje nepouzdane. U razmatranom slučaju potrebno je zapisati: S = ±3 mm. Kako bi se imalo veće povjerenje u procjenu pogreške mjernog rezultata, izračunava se pogreška povjerenja ili granice povjerenja pogreške. Uz normalni zakon distribucije, granice pouzdanosti pogreške izračunavaju se kao ±t-s ili ±t-s x , gdje su s i s x srednja kvadratna pogreška jednog mjerenja u nizu i aritmetička sredina; t je broj koji ovisi o razini pouzdanosti P i broju mjerenja n. Važan koncept je pouzdanost mjernog rezultata (α), t.j. vjerojatnost da željena vrijednost mjerene veličine padne u zadani interval pouzdanosti. Na primjer, pri obradi dijelova na alatnim strojevima u stabilnom tehnološkom načinu, raspodjela pogrešaka pokorava se normalnom zakonu. Pretpostavimo da je tolerancija duljine dijela postavljena na 2a. U ovom slučaju, interval pouzdanosti u kojem se nalazi željena vrijednost duljine dijela a bit će (a - a, a + a). Ako je 2a = ±3s, tada je pouzdanost rezultata a = 0,68, tj. u 32 slučaja od 100 treba očekivati da veličina dijela prelazi toleranciju od 2a. Prilikom procjene kvalitete dijela prema toleranciji 2a = ±3s, pouzdanost rezultata bit će 0,997. U tom slučaju može se očekivati da samo tri dijela od 1000 prelaze utvrđenu toleranciju, no povećanje pouzdanosti moguće je samo smanjenjem pogreške u duljini dijela. Dakle, da bi se povećala pouzdanost s a = 0,68 na a = 0,997, pogreška u duljini dijela mora se smanjiti za faktor tri. Nedavno primljeno široka upotreba pojam "pouzdanost mjerenja". U nekim slučajevima se nerazumno koristi umjesto izraza "točnost mjerenja". Na primjer, u nekim izvorima možete pronaći izraz "uspostavljanje jedinstva i pouzdanosti mjerenja u zemlji". Dok bi bilo ispravnije reći “uspostavljanje jedinstva i potrebne točnosti mjerenja”. Pouzdanost se kod nas smatra kvalitativnom karakteristikom, koja odražava blizinu nuli slučajnih pogrešaka. Kvantitativno se može odrediti kroz nepouzdanost mjerenja. Nesigurnost mjerenja(ukratko - nepouzdanost) - procjena odstupanja između rezultata u nizu mjerenja zbog utjecaja ukupnog utjecaja slučajnih pogrešaka (utvrđenih statističkim i nestatističkim metodama), karakteriziranih rasponom vrijednosti u u kojoj se nalazi prava vrijednost mjerene veličine. U skladu s preporukama Međunarodnog ureda za utege i mjere, nesigurnost se izražava kao ukupna efektivna mjerna pogreška - Su uključujući efektivnu pogrešku S (određenu statističkim metodama) i efektivnu pogrešku u (određenu nestatističkim metodama) , tj
Granična pogreška mjerenja(ukratko - marginalna pogreška) - najveća pogreška mjerenja (plus, minus), čija vjerojatnost ne prelazi vrijednost P, dok je razlika 1 - P beznačajna. Na primjer, s normalnom distribucijom, vjerojatnost slučajne pogreške od ±3s je 0,997, a razlika 1-P = 0,003 je beznačajna. Stoga se u mnogim slučajevima kao granica uzima pogreška pouzdanosti ±3s, tj. pr = ±3s. Ako je potrebno, pr može imati i druge odnose sa s za dovoljno veliki P (2s, 2,5s, 4s, itd.). U vezi s činjenicom da se u GSI standardima umjesto pojma "srednja kvadratna pogreška" koristi izraz "srednja kvadratna devijacija", u daljnjem razmišljanju ostat ćemo pri tom pojmu. Apsolutna pogreška mjerenja(ukratko - apsolutna pogreška) - pogreška mjerenja, izražena u jedinicama izmjerene vrijednosti. Dakle, pogreška X mjerenja duljine dijela X, izražena u mikrometrima, je apsolutna pogreška. Ne treba miješati pojmove “apsolutna pogreška” i “vrijednost apsolutne pogreške”, što se podrazumijeva kao vrijednost pogreške bez uzimanja u obzir predznaka. Dakle, ako je apsolutna pogreška mjerenja ±2 μV, tada će apsolutna vrijednost pogreške biti 0,2 μV. Relativna pogreška mjerenja(ukratko - relativna pogreška) - mjerna pogreška, izražena kao djelić vrijednosti izmjerene vrijednosti ili kao postotak. Relativna pogreška δ nalazi se iz omjera:
Na primjer, postoji stvarna vrijednost duljine dijela x = 10,00 mm i apsolutna vrijednost pogreške x = 0,01 mm. Relativna pogreška će biti Statička pogreška je pogreška mjernog rezultata zbog uvjeta statičkog mjerenja. Dinamička pogreška je pogreška mjernog rezultata zbog uvjeta dinamičkog mjerenja. Pogreška u reprodukciji jedinice- pogreška rezultata mjerenja pri reprodukciji jedinice fizičke veličine. Dakle, pogreška u reprodukciji jedinice pomoću državnog standarda naznačena je u obliku njegovih komponenti: neisključena sustavna pogreška, koju karakterizira njezina granica; slučajna greška koju karakterizira standardna devijacija s i godišnja nestabilnost ν. Pogreška u prijenosu veličine jedinice je pogreška u rezultatu mjerenja pri prijenosu veličine jedinice. Pogreška prijenosa veličine jedinice uključuje neisključene sustavne pogreške i slučajne pogreške metode i načina prijenosa veličine jedinice (na primjer, komparator). sažetak Apsolutna i relativna greška Uvod Apsolutna pogreška - je procjena apsolutne pogreške mjerenja. Izračunati različiti putevi. Metoda izračuna određena je distribucijom slučajne varijable. Sukladno tome, veličina apsolutne pogreške ovisi o distribuciji slučajne varijable može biti drugačiji. Ako je izmjerena vrijednost, i je prava vrijednost, zatim nejednakost mora biti zadovoljena s nekom vjerojatnošću blizu 1. Ako je slučajna varijabla raspodijeljeno prema normalnom zakonu, tada se obično njegova standardna devijacija uzima kao apsolutna pogreška. Apsolutna pogreška mjeri se u istim jedinicama kao i sama vrijednost. Postoji nekoliko načina da se zapiše količina zajedno s njezinom apsolutnom pogreškom. · Obično se koristi oznaka s potpisom ± . Na primjer, rekord na 100 metara postavljen 1983. je 9,930±0,005 s. · Za snimanje vrijednosti izmjerenih s vrlo visokom točnošću, koristi se još jedan zapis: brojevi koji odgovaraju pogrešci zadnjih znamenki mantise dodaju se u zagrade. Na primjer, izmjerena vrijednost Boltzmannove konstante je 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, što se također može pisati mnogo duže kao 1.380 6488×10?23 ± 0,000 0013×10?23 J/K. Relativna greška- pogreška mjerenja, izražena kao omjer apsolutne pogreške mjerenja i stvarne ili prosječne vrijednosti mjerene veličine (RMG 29-99):. Relativna pogreška je bezdimenzionalna veličina ili se mjeri u postocima. 1. Što se zove približna vrijednost? Previše i premalo? U procesu izračuna, često se mora nositi s približnim brojevima. Neka bude ALI- točna vrijednost određene količine, u daljnjem tekstu točan broj ALI.Ispod približne vrijednosti količine ALI,ili približne brojkenazvao broj ali, što zamjenjuje točnu vrijednost količine ALI.Ako ali< ALI,zatim alinaziva se približna vrijednost broja I zbog nedostatka.Ako ali> ALI,- onda u visku.Na primjer, 3.14 je aproksimacija broja ? manjkom, a 3,15 viškom. Za karakterizaciju stupnja točnosti ove aproksimacije koristi se koncept pogreške ili pogreške. pogreška ?alipribližan broj alinaziva se razlika oblika ?a = A - a, gdje ALIje odgovarajući točan broj. Slika pokazuje da je duljina segmenta AB između 6 cm i 7 cm. To znači da je 6 približna vrijednost duljine segmenta AB (u centimetrima)\u003e s nedostatkom, a 7 s viškom. Označavajući duljinu segmenta slovom y, dobivamo: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentAB (vidi sliku 149) je bliži 6 cm nego 7 cm Približno je jednak 6 cm Kažu da je broj 6 dobiven zaokruživanjem duljine segmenta na cijele brojeve. . Što je pogreška aproksimacije? A) apsolutno? B) Rođak? A) Apsolutna pogreška aproksimacije je modul razlike između prave vrijednosti veličine i njezine približne vrijednosti. |x - x_n|, gdje je x prava vrijednost, x_n je približna vrijednost. Na primjer: Duljina lista A4 papira je (29,7 ± 0,1) cm, a udaljenost od Sankt Peterburga do Moskve je (650 ± 1) km. Apsolutna pogreška u prvom slučaju ne prelazi jedan milimetar, au drugom - jedan kilometar. Pitanje je usporediti točnost ovih mjerenja. Ako mislite da se duljina lima mjeri preciznije jer apsolutna pogreška ne prelazi 1 mm. Onda ste u krivu. Ove vrijednosti se ne mogu izravno uspoređivati. Hajdemo malo zaključiti. Prilikom mjerenja duljine lista, apsolutna pogreška ne prelazi 0,1 cm sa 29,7 cm, odnosno u postocima iznosi 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% izmjerene vrijednosti. Kada mjerimo udaljenost od Sankt Peterburga do Moskve, apsolutna pogreška ne prelazi 1 km na 650 km, što je 1/650 * 100% = 0,15% izmjerene vrijednosti u postotku. Vidimo da se udaljenost između gradova mjeri točnije od duljine A4 lista. B) Relativna pogreška aproksimacije je omjer apsolutne pogreške i modula približne vrijednosti veličine. razlomak matematičke pogreške gdje je x prava vrijednost, x_n je približna vrijednost. Relativna greška se obično naziva postotkom. Primjer. Zaokruživanjem broja 24,3 na jedinice dobije se broj 24. Relativna greška je jednaka. Kažu da je relativna pogreška u ovom slučaju 12,5%. ) Kakvo se zaokruživanje naziva zaokruživanje? A) s nedostatkom? b) Previše? A) zaokruživanje prema dolje Prilikom zaokruživanja broja izraženog kao decimalni razlomak na unutar 10^(-n), s nedostatkom, prvih n znamenki nakon decimalne točke se zadržavaju, a sljedeće se odbacuju. Na primjer, zaokruživanje 12,4587 na najbližu tisućinu s manjkom rezultira 12,458. B) Zaokruživanje Prilikom zaokruživanja broja izraženog kao decimalni razlomak, do 10^(-n), prvih n znamenki nakon decimalne točke zadržava se s viškom, a sljedeće se odbacuju. Na primjer, zaokruživanje 12,4587 na najbližu tisućinu s manjkom rezultira 12,459. ) Pravilo za zaokruživanje decimala. Pravilo. Za zaokruživanje decimale na određenu znamenku cijelog ili razlomka, sve manje znamenke zamjenjuju se nulama ili se odbacuju, a znamenka koja prethodi znamenki koja je odbačena tijekom zaokruživanja ne mijenja svoju vrijednost ako iza nje slijede brojevi 0, 1, 2, 3, 4 i povećava se za 1 (jedan) ako su brojevi 5, 6, 7, 8, 9. Primjer. Zaokružite razlomak 93,70584 na: desettisućinke: 93,7058 tisućinke: 93.706 stotinki: 93,71 desetinke: 93,7 cijeli broj: 94 desetke: 90 Unatoč jednakosti apsolutnih pogrešaka, budući da mjerene veličine su različite. Što je veća izmjerena veličina, manja je relativna pogreška pri konstantnoj apsolutnoj. podučavanjeTrebate pomoć u učenju teme?
Naši stručnjaci će savjetovati ili pružiti usluge podučavanja o temama koje vas zanimaju. Također preporučujemo
 Učitavam... |
(1.5)
(1.6)
(1.8)
(1.11)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
= 86 mm 2 kod n = 10,
= 3,1 mm
= 0,7 mm ili S = ±0,7 mm
(1.20)
(1.21)
