जड़ों के गुण: सूत्र, प्रमाण, उदाहरण। वर्गमूल

तथ्य 1.
\(\bullet\) कुछ गैर-ऋणात्मक संख्या लें \(a\) (यानी \(a\geqslant 0\) )। तब (अंकगणित) वर्गमूलसंख्या \(a\) से ऐसी गैर-ऋणात्मक संख्या \(b\) कहलाती है, इसका वर्ग करने पर हमें संख्या \(a\) प्राप्त होती है: \[\sqrt a=b\quad \text(उसी तरह )\quad a=b^2\]यह परिभाषा से इस प्रकार है कि \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ये प्रतिबंध हैं महत्वपूर्ण शर्तअस्तित्व वर्गमूलऔर उन्हें याद किया जाना चाहिए!
याद रखें कि कोई भी संख्या जब चुकता है तो एक गैर-ऋणात्मक परिणाम देता है। यानी, \(100^2=10000\geqslant 0\) और \((-100)^2=10000\geqslant 0\) ।
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) क्या है? हम जानते हैं कि \(5^2=25\) और \((-5)^2=25\) । चूँकि परिभाषा के अनुसार हमें एक गैर-ऋणात्मक संख्या ज्ञात करनी है, \(-5\) उपयुक्त नहीं है, इसलिए \(\sqrt(25)=5\) (चूंकि \(25=5^2\) )।
\(\sqrt a\) का मान ज्ञात करना \(a\) का वर्गमूल लेना कहलाता है, और संख्या \(a\) को मूल व्यंजक कहा जाता है।
\(\bullet\) परिभाषा के आधार पर, भाव \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , आदि। कोई मतलब नहीं।

तथ्य 2.
त्वरित गणना के लिए, \(1\) से \(20\) तक प्राकृत संख्याओं के वर्गों की तालिका सीखना उपयोगी होगा: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 और \quad14^2=196\\ 5^2=25 और \quad15^2=225\\ 6^2=36 और \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 और \quad17^2=289\\ 8^2=64 और \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(सरणी)\]

तथ्य 3.
वर्गमूलों से क्या किया जा सकता है?
\(\गोली\) वर्गमूल का योग या अंतर योग या अंतर के वर्गमूल के बराबर नहीं होता है, अर्थात। \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]इस प्रकार, यदि आपको गणना करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , तो शुरू में आपको \(\sqrt(25)\) और \(\sqrt मान खोजने होंगे (49)\ ) और फिर उन्हें जोड़ दें। इसलिये, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] यदि \(\sqrt a\) या \(\sqrt b\) को जोड़ने पर मान नहीं मिल सकते हैं, तो ऐसी अभिव्यक्ति आगे परिवर्तित नहीं होती है और जैसी है वैसी ही रहती है। उदाहरण के लिए, योग \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) में हम \(\sqrt(49)\) पा सकते हैं - यह \(7\) है, लेकिन \(\sqrt 2\) नहीं हो सकता किसी भी तरह से परिवर्तित, इसीलिए \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). इसके अलावा, दुर्भाग्य से, इस अभिव्यक्ति को किसी भी तरह से सरल नहीं बनाया जा सकता है।\(\bullet\) वर्गमूल का गुणनफल/भागफल गुणनफल/भागफल के वर्गमूल के बराबर होता है, अर्थात। \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (बशर्ते कि समानता के दोनों भाग अर्थपूर्ण हों)
उदाहरण: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) इन गुणों का उपयोग करते हुए, . का वर्गमूल ज्ञात करना सुविधाजनक होता है बड़ी संख्याउन्हें फैक्टरिंग करके।
एक उदाहरण पर विचार करें। \(\sqrt(44100)\) खोजें। चूंकि \(44100:100=441\) , तो \(44100=100\cdot 441\) । विभाज्यता की कसौटी के अनुसार, संख्या \(441\) \(9\) से विभाज्य है (क्योंकि इसके अंकों का योग 9 है और 9 से विभाज्य है), इसलिए, \(441:9=49\) , वह है, \(441=9\ cdot 49\) ।
इस प्रकार, हमें मिला: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]आइए एक और उदाहरण देखें: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) आइए दिखाते हैं कि व्यंजक \(5\sqrt2\) (अभिव्यक्ति \(5\cdot \sqrt2\) के लिए संक्षिप्त) के उदाहरण का उपयोग करके वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत संख्याएं कैसे दर्ज करें। चूँकि \(5=\sqrt(25)\) , तब \ यह भी ध्यान दें कि, उदाहरण के लिए,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) ।

ऐसा क्यों है? आइए उदाहरण 1 के साथ समझाएं)। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, हम किसी तरह \(\sqrt2\) संख्या को रूपांतरित नहीं कर सकते। कल्पना कीजिए कि \(\sqrt2\) कुछ संख्या \(a\) है। तदनुसार, व्यंजक \(\sqrt2+3\sqrt2\) और कुछ नहीं बल्कि \(a+3a\) (एक संख्या \(a\) और समान संख्याओं के तीन और अधिक हैं \(a\) )। और हम जानते हैं कि यह चार ऐसी संख्याओं \(a\) के बराबर है, यानी \(4\sqrt2\) ।

तथ्य 4.
\(\bullet\) अक्सर कहा जाता है कि "जड़ नहीं निकाल सकता" जब किसी संख्या का मान ज्ञात करते समय रूट (कट्टरपंथी) के चिह्न \(\sqrt () \ \) से छुटकारा पाना संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, आप संख्या को रूट कर सकते हैं \(16\) क्योंकि \(16=4^2\) , इसलिए \(\sqrt(16)=4\) । लेकिन संख्या \(3\) से रूट निकालना, यानी \(\sqrt3\) खोजना असंभव है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो चुकता \(3\) देगी।
ऐसी संख्याएँ (या ऐसी संख्याओं वाले व्यंजक) अपरिमेय हैं। उदाहरण के लिए, संख्या \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)आदि। तर्कहीन हैं।
साथ ही अपरिमेय संख्याएँ \(\pi\) (संख्या "pi", लगभग \(3,14\) के बराबर), \(e\) (इस संख्या को यूलर संख्या कहा जाता है, लगभग \(2 के बराबर) ,7\) ) आदि।
\(\bullet\) कृपया ध्यान दें कि कोई भी संख्या या तो परिमेय होगी या अपरिमेय। और एक साथ सभी तर्कसंगत और सभी तर्कहीन संख्याएक सेट बनायें जिसे कहा जाता है वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं का समूह।इस सेट को \(\mathbb(R)\) अक्षर से दर्शाया जाता है।
इसका मतलब है कि सभी संख्याएं जो हैं इस पलहम जानते हैं कि वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।

तथ्य 5.
\(\bullet\) एक वास्तविक संख्या का मापांक \(a\) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है \(|a|\) वास्तविक पर बिंदु \(a\) से \(0\) की दूरी के बराबर रेखा। उदाहरण के लिए, \(|3|\) और \(|-3|\) 3 के बराबर हैं, क्योंकि \(3\) और \(-3\) से \(0\) तक की दूरी हैं समान और बराबर \(3 \) ।
\(\bullet\) अगर \(a\) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो \(|a|=a\) ।
उदाहरण: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) । \(\bullet\) यदि \(a\) एक ऋणात्मक संख्या है, तो \(|a|=-a\) ।
उदाहरण: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
वे कहते हैं कि नकारात्मक संख्याओं के लिए, मॉड्यूल माइनस को "खाता है", और सकारात्मक संख्या, साथ ही संख्या \(0\) , मॉड्यूल अपरिवर्तित रहता है।
लेकिनयह नियम केवल संख्याओं पर लागू होता है। यदि आपके पास मॉड्यूल साइन के तहत एक अज्ञात \(x\) (या कोई अन्य अज्ञात) है, उदाहरण के लिए, \(|x|\) , जिसके बारे में हम नहीं जानते कि यह सकारात्मक है, शून्य के बराबर या नकारात्मक है, तो उस मॉड्यूल से छुटकारा पाएं जो हम नहीं कर सकते। इस स्थिति में, यह व्यंजक इस प्रकार बना रहता है: \(|x|\) । \(\bullet\) निम्नलिखित सूत्र धारण करते हैं: \[(\बड़ा(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\बड़ा((\sqrt(a))^2=a)), \text(प्रदान किया गया) a\geqslant 0\]निम्नलिखित गलती अक्सर की जाती है: वे कहते हैं कि \(\sqrt(a^2)\) और \((\sqrt a)^2\) एक ही चीज हैं। यह तभी सत्य है जब \(a\) एक धनात्मक संख्या या शून्य हो। लेकिन अगर \(a\) एक ऋणात्मक संख्या है, तो यह सत्य नहीं है। इस तरह के एक उदाहरण पर विचार करना पर्याप्त है। आइए \(a\) के स्थान पर \(-1\) नंबर लें। तब \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , लेकिन व्यंजक \((\sqrt (-1))^2\) बिल्कुल मौजूद नहीं है (क्योंकि यह है मूल चिह्न के तहत असंभव नकारात्मक संख्याएं डालें!)
इसलिए, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि \(\sqrt(a^2)\) बराबर नहीं है \((\sqrt a)^2\) !उदाहरण 1) \(\sqrt(\बाएं(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), क्योंकि \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) । \(\bullet\) चूंकि \(\sqrt(a^2)=|a|\) , तो \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (व्यंजक \(2n\) एक सम संख्या को दर्शाता है)
यानी किसी संख्या से जो कुछ अंश में हो, जड़ निकालने पर यह अंश आधा हो जाता है।
उदाहरण:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (ध्यान दें कि यदि मॉड्यूल सेट नहीं है, तो यह पता चलता है कि संख्या का मूल \(-25) के बराबर है \) ; लेकिन हमें याद है, जो, रूट की परिभाषा के अनुसार, यह नहीं हो सकता है: रूट निकालते समय, हमें हमेशा एक सकारात्मक संख्या या शून्य प्राप्त करना चाहिए)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (चूंकि सम घात के लिए कोई भी संख्या ऋणात्मक नहीं है)

तथ्य 6.
दो वर्गमूलों की तुलना कैसे करें?
\(\bullet\) वर्गमूलों के लिए सही: यदि \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aउदाहरण:
1) \(\sqrt(50)\) और \(6\sqrt2\) की तुलना करें। सबसे पहले, हम दूसरी अभिव्यक्ति को . में बदलते हैं \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). इस प्रकार, चूंकि \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) किस पूर्णांक के बीच \(\sqrt(50)\) है?
चूंकि \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , और \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) और \(0,5\) की तुलना करें। मान लीजिए \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\शुरू (गठबंधन) और\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((दोनों पक्षों में एक जोड़ें))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((दोनों भागों को चौकोर करें))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\]हम देखते हैं कि हमने एक गलत असमानता प्राप्त की है। इसलिए, हमारी धारणा गलत थी और \(\sqrt 2-1<0,5\) .
ध्यान दें कि असमानता के दोनों पक्षों में एक निश्चित संख्या जोड़ने से इसका चिन्ह प्रभावित नहीं होता है। असमानता के दोनों भागों को धनात्मक संख्या से गुणा/भाग करने से भी उसके चिन्ह पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, लेकिन ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करने से असमानता का चिन्ह उलट जाता है!
एक समीकरण/असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग तभी किया जा सकता है जब दोनों पक्ष ऋणात्मक न हों। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण से असमानता में, आप असमानता में दोनों पक्षों को वर्ग कर सकते हैं \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\बुलेट\) ध्यान दें कि \[\शुरू (गठबंधन) और\sqrt 2\लगभग 1,4\\ &\sqrt 3\लगभग 1,7 \end(गठबंधन)\]इन संख्याओं का अनुमानित अर्थ जानने से आपको संख्याओं की तुलना करने में मदद मिलेगी! \(\bullet\) किसी बड़ी संख्या से जड़ निकालने के लिए (यदि इसे निकाला जाता है) जो वर्गों की तालिका में नहीं है, तो आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि यह किस "सैकड़ों" के बीच है, फिर किस "दसियों" के बीच है, और फिर इस संख्या का अंतिम अंक ज्ञात करें। आइए दिखाते हैं कि यह एक उदाहरण के साथ कैसे काम करता है।
\(\sqrt(28224)\) लें। हम जानते हैं कि \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) इत्यादि। ध्यान दें कि \(28224\) \(10\,000\) और \(40\,000\) के बीच है। इसलिए, \(\sqrt(28224)\) \(100\) और \(200\) के बीच है।
अब आइए निर्धारित करें कि हमारी संख्या किस "दहाई" के बीच है (अर्थात, उदाहरण के लिए, \(120\) और \(130\) के बीच)। हम वर्गों की तालिका से यह भी जानते हैं कि \(11^2=121\) , \(12^2=144\) आदि, फिर \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . तो हम देखते हैं कि \(28224\) \(160^2\) और \(170^2\) के बीच है। इसलिए, संख्या \(\sqrt(28224)\) \(160\) और \(170\) के बीच है।
आइए अंतिम अंक निर्धारित करने का प्रयास करें। आइए याद करें कि \ (4 \) के अंत में वर्ग करने पर कौन-सी एकल-अंकीय संख्याएँ प्राप्त होती हैं? ये हैं \(2^2\) और \(8^2\) । इसलिए, \(\sqrt(28224)\) 2 या 8 में समाप्त होगा। आइए इसे जांचें। खोजें \(162^2\) तथा \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) ।
अत: \(\sqrt(28224)=168\) । वोइला!

गणित में परीक्षा को पर्याप्त रूप से हल करने के लिए, सबसे पहले, सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करना आवश्यक है, जो कई प्रमेयों, सूत्रों, एल्गोरिदम आदि का परिचय देता है। पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि यह काफी सरल है। हालांकि, किसी भी स्तर के प्रशिक्षण वाले छात्रों के लिए गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के सिद्धांत को आसानी से और समझने के लिए एक स्रोत खोजना वास्तव में एक कठिन काम है। स्कूल की पाठ्यपुस्तकें हमेशा हाथ में नहीं रखी जा सकतीं। और गणित में परीक्षा के लिए बुनियादी सूत्र खोजना इंटरनेट पर भी मुश्किल हो सकता है।

केवल परीक्षा देने वालों के लिए ही नहीं, गणित में सिद्धांत का अध्ययन करना इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

1. क्योंकि यह आपके क्षितिज को विस्तृत करता है. गणित में सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन उन सभी के लिए उपयोगी है जो दुनिया के ज्ञान से संबंधित व्यापक प्रश्नों के उत्तर प्राप्त करना चाहते हैं। प्रकृति में सब कुछ व्यवस्थित है और इसका एक स्पष्ट तर्क है। यह ठीक वही है जो विज्ञान में परिलक्षित होता है, जिसके माध्यम से दुनिया को समझना संभव है।
2. क्योंकि इससे बुद्धि का विकास होता है. गणित में परीक्षा के लिए संदर्भ सामग्री का अध्ययन करने के साथ-साथ विभिन्न समस्याओं को हल करने से व्यक्ति तार्किक रूप से सोचना और तर्क करना सीखता है, विचारों को सही और स्पष्ट रूप से तैयार करता है। वह विश्लेषण, सामान्यीकरण, निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करता है।

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विषय पर पाठ और प्रस्तुति:
"वर्गमूल के गुण। सूत्र। समाधान के उदाहरण, उत्तर के साथ कार्य"

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वर्गमूल गुण

हम वर्गमूल का अध्ययन जारी रखते हैं। आज हम जड़ों के मुख्य गुणों पर विचार करेंगे। सभी मुख्य गुण सहज ज्ञान युक्त हैं और उन सभी कार्यों के अनुरूप हैं जो हमने पहले किए हैं।

संपत्ति 1. दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल इन संख्याओं के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$।

यह किसी भी गुण को साबित करने के लिए प्रथागत है, चलो करते हैं।
चलो $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$। तब हमें यह सिद्ध करना होगा कि $x=y*z$.
आइए प्रत्येक व्यंजक को वर्गाकार करें।
अगर $\sqrt(a*b)=x$ तो $a*b=x^2$।
यदि $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, तो दोनों भावों का वर्ग करने पर, हमें मिलता है: $a=y^2$, $b=z^2$।
$a*b=x^2=y^2*z^2$, यानी $x^2=(y*z)^2$। यदि दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग समान हैं, तो संख्याएँ स्वयं समान हैं, जिसे सिद्ध करना था।

यह हमारी संपत्ति से इस प्रकार है कि, उदाहरण के लिए, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$।

टिप्पणी 1. संपत्ति उस मामले के लिए भी मान्य है जब मूल के तहत दो से अधिक गैर-नकारात्मक कारक हैं।
संपत्ति 2. अगर $a≥0$ और $b>0$, तो निम्नलिखित समानता रखती है: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

अर्थात् भागफल का मूल भागफल के बराबर होता है।
प्रमाण।
आइए तालिका का उपयोग करें और संक्षेप में अपनी संपत्ति साबित करें।

वर्गमूल गुणों का उपयोग करने के उदाहरण

उदाहरण 1
गणना करें: $\sqrt(81*25*121)$।

फेसला।
बेशक, हम एक कैलकुलेटर ले सकते हैं, रूट के नीचे सभी नंबरों को गुणा कर सकते हैं और वर्गमूल निकालने का ऑपरेशन कर सकते हैं। और अगर हाथ में कोई कैलकुलेटर नहीं है, तो क्या?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
उत्तर: 495।

उदाहरण 2. गणना करें: $\sqrt(11\frac(14)(25))$।

फेसला।
हम मूलांक को एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करते हैं: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
आइए संपत्ति 2 का उपयोग करें।
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3.4$.
उत्तर : 3.4.

उदाहरण 3
गणना करें: $\sqrt(40^2-24^2)$।

फेसला।
हम अपनी अभिव्यक्ति का सीधे मूल्यांकन कर सकते हैं, लेकिन इसे लगभग हमेशा सरल बनाया जा सकता है। आइए ऐसा करने की कोशिश करते हैं।
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
तो $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$।
उत्तर: 32.

दोस्तों, कृपया ध्यान दें कि रेडिकल एक्सप्रेशन के जोड़ और घटाव के संचालन के लिए कोई सूत्र नहीं हैं और नीचे दिए गए व्यंजक सही नहीं हैं।
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$।
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$।

उदाहरण 4
गणना करें: ए) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; बी) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$।
फेसला।
ऊपर प्रस्तुत गुण बाएं से दाएं और विपरीत क्रम में काम करते हैं, अर्थात्:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
आइए इसका उपयोग हमारे उदाहरण को हल करने के लिए करें।
ए) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

बी) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

उत्तर: ए) 16; बी) 2.

संपत्ति 3. यदि $а≥0$ और n - प्राकृतिक संख्या, तो निम्नलिखित समानता रखती है: $\sqrt(a^(2n))=a^n$।

उदाहरण के लिए। $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ इत्यादि।

उदाहरण 5
गणना करें: $\sqrt(129600)$।

फेसला।
हमारे सामने प्रस्तुत संख्या काफी बड़ी है, आइए इसे अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें।
हमें मिला: $129600=5^2*2^6*3^4$ या $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$।
उत्तर: 360.

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. गणना करें: $\sqrt(144*36*64)$।
2. गणना करें: $\sqrt(8\frac(1)(36))$।
3. गणना करें: $\sqrt(52^2-48^2)$।
4. गणना करें:
ए) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
बी) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$।

वर्गमूल के गुण

अब तक, हमने संख्याओं पर पाँच अंकगणितीय संक्रियाएँ की हैं: जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन और घातांक, और इन संक्रियाओं के विभिन्न गुण गणनाओं में सक्रिय रूप से उपयोग किए गए थे, उदाहरण के लिए, a + b = b + a, an-bn = (ab) n, आदि।

यह अध्याय एक नई संक्रिया का परिचय देता है - एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेना। इसका सफलतापूर्वक उपयोग करने के लिए, आपको इस ऑपरेशन के गुणों से परिचित होना होगा, जो हम इस खंड में करेंगे।

प्रमाण। आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Equality" width="120" height="25 id=">!}.

इस प्रकार हम निम्नलिखित प्रमेय बनाते हैं।

(एक संक्षिप्त सूत्रीकरण जो व्यवहार में उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है: एक अंश की जड़ जड़ों के अंश के बराबर होती है, या भागफल की जड़ जड़ों के भागफल के बराबर होती है।)

इस बार हम सबूत का केवल एक संक्षिप्त रिकॉर्ड देंगे, और आप उन टिप्पणियों के समान उपयुक्त टिप्पणी करने का प्रयास कर सकते हैं जो प्रमेय 1 के सबूत का सार बनाते हैं।

टिप्पणी 3. बेशक, इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, खासकर यदि आपके पास कैलकुलेटर है: संख्याओं को 36, 64, 9 से गुणा करें, और फिर परिणामी उत्पाद का वर्गमूल लें। हालांकि, आप इस बात से सहमत होंगे कि ऊपर प्रस्तावित समाधान अधिक सांस्कृतिक लगता है।

टिप्पणी 4. पहली विधि में, हमने हेड-ऑन गणनाएँ कीं। दूसरा तरीका अधिक सुरुचिपूर्ण है:
हमने आवेदन किया सूत्र a2 - b2 = (a - b) (a + b) और वर्गमूल के गुण का उपयोग किया।

टिप्पणी 5. कुछ "हॉटहेड्स" कभी-कभी उदाहरण 3 के लिए निम्नलिखित "समाधान" प्रदान करते हैं:

यह, निश्चित रूप से, सच नहीं है: आप देखते हैं - परिणाम हमारे उदाहरण 3 के समान नहीं है। तथ्य यह है कि कोई संपत्ति नहीं है https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Task" width="148" height="26 id=">!}वर्गमूलों के गुणन और विभाजन से संबंधित केवल गुण हैं। सावधान और सावधान रहें, इच्छाधारी सोच न लें।

अनुभाग को समाप्त करते हुए, हम एक और बल्कि सरल और एक ही समय में नोट करते हैं महत्वपूर्ण संपत्ति:
अगर ए> 0 और एन - प्राकृतिक संख्या, तब

स्क्वायर रूट ऑपरेशन वाले अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना

अब तक, हमने केवल रूपांतरण किए हैं तर्कसंगत अभिव्यक्ति, इसके लिए बहुपदों पर संचालन के नियमों का उपयोग करना और बीजीय भिन्न, संक्षिप्त गुणन सूत्र, आदि। इस अध्याय में, हमने एक नया ऑपरेशन पेश किया - एक वर्गमूल निकालने का संचालन; हमने स्थापित किया है कि

जहां, रिकॉल, ए, बी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं।

इनका उपयोग करना सूत्रों, आप वर्गमूल संक्रिया वाले व्यंजकों के विभिन्न रूपांतरण कर सकते हैं। आइए कई उदाहरणों पर विचार करें, और सभी उदाहरणों में हम मान लेंगे कि चर केवल गैर-ऋणात्मक मान लेते हैं।

उदाहरण 3वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत एक गुणनखंड दर्ज करें:

उदाहरण 6. व्यंजक हल को सरल कीजिए। आइए क्रमिक परिवर्तन करें:

एक वर्गाकार भूखंड का क्षेत्रफल 81 वर्गमीटर है। उसका पक्ष खोजें। मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई है एक्सडेसीमीटर तब भूखंड का क्षेत्रफल है एक्स² वर्ग डेसीमीटर। चूँकि, शर्त के अनुसार, यह क्षेत्रफल 81 dm² है, तो एक्स= 81. एक वर्ग की भुजा की लंबाई एक धनात्मक संख्या होती है। एक धनात्मक संख्या जिसका वर्ग 81 है, संख्या 9 है। समस्या को हल करते समय, संख्या x ज्ञात करना आवश्यक था, जिसका वर्ग 81 है, अर्थात समीकरण को हल करें एक्स= 81. इस समीकरण के दो मूल हैं: एक्स 1 = 9 और एक्स 2 \u003d - 9, 9² \u003d 81 और (- 9)² \u003d 81 के बाद से। दोनों संख्या 9 और - 9 को संख्या 81 का वर्गमूल कहा जाता है।

ध्यान दें कि वर्गमूलों में से एक एक्स= 9 एक धनात्मक संख्या है। इसे 81 का अंकगणितीय वर्गमूल कहा जाता है और इसे 81 से दर्शाया जाता है, इसलिए 81 = 9।

किसी संख्या का अंकगणित वर्गमूल एएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग के बराबर है ए.

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 और 6, 36 का वर्गमूल हैं। संख्या 6, 36 का अंकगणितीय वर्गमूल है, क्योंकि 6 एक गैर-ऋणात्मक संख्या है और 6² = 36। संख्या -6 एक अंकगणितीय मूल नहीं है।

किसी संख्या का अंकगणित वर्गमूल एनिम्नानुसार दर्शाया गया है: ए।

चिह्न को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न कहा जाता है; एमूल अभिव्यक्ति कहा जाता है। अभिव्यक्ति एपढ़ना इस तरह: किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल ए।उदाहरण के लिए, 36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7। ऐसे मामलों में जहां यह स्पष्ट है कि हम बात कर रहे हेअंकगणितीय मूल के बारे में, वे संक्षेप में कहते हैं: "का वर्गमूल ए«.

किसी संख्या का वर्गमूल निकालने की क्रिया को वर्गमूल निकालना कहते हैं। यह क्रिया चुकता का उल्टा है।

किसी भी संख्या का वर्ग किया जा सकता है, लेकिन प्रत्येक संख्या वर्गमूल नहीं हो सकती। उदाहरण के लिए, संख्या - 4 का वर्गमूल निकालना असंभव है। यदि ऐसा मूल मौजूद है, तो इसे अक्षर से निरूपित करते हुए एक्स, हमें गलत समानता x² \u003d - 4 मिलेगी, क्योंकि बाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, और दाईं ओर एक ऋणात्मक संख्या है।

अभिव्यक्ति एकेवल तभी समझ में आता है जब एक 0. वर्गमूल की परिभाषा को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: एक 0, (√ए)² = ए. समानता ए)² = एके लिए मान्य एक 0. इस प्रकार, यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एबराबरी बी, यानी, कि ए =बी, आपको यह जांचना होगा कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं: बी 0, बी² = ए।

भिन्न का वर्गमूल

आइए गणना करें। ध्यान दें कि 25 = 5, √36 = 6, और जाँच करें कि क्या समानता है।

जैसा और , तो समानता सत्य है। इसलिए, .

प्रमेय:यदि एक ए 0 और बी> 0, अर्थात् भिन्न का मूल हर के मूल से विभाजित अंश के मूल के बराबर होता है। यह साबित करना आवश्यक है कि: और .

चूंकि ए 0 और बी> 0, फिर।

भिन्न को घात तक बढ़ाने और वर्गमूल निर्धारित करने के गुण से प्रमेय सिद्ध होता है। आइए कुछ उदाहरण देखें।

सिद्ध प्रमेय के अनुसार गणना करें .

दूसरा उदाहरण: सिद्ध कीजिए कि , अगर ए ≤ 0, बी < 0. .

एक और उदाहरण: गणना करें।

.

वर्गमूल परिवर्तन

गुणक को जड़ के चिन्ह के नीचे से निकालना। एक अभिव्यक्ति दी जाए। यदि एक ए 0 और बी 0, तब गुणनफल के मूल पर प्रमेय द्वारा हम लिख सकते हैं:

इस तरह के परिवर्तन को मूल चिह्न का गुणनखंडन कहा जाता है। एक उदाहरण पर विचार करें;

पर गणना करें एक्स= 2. प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन एक्स= 2 मूल अभिव्यक्ति में जटिल गणनाओं की ओर जाता है। इन गणनाओं को सरल बनाया जा सकता है यदि हम पहले मूल चिह्न के नीचे के कारकों को हटा दें: . अब x = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इसलिए, जब मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड निकालते हैं, तो मूलक व्यंजक को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है जिसमें एक या अधिक गुणनखंड गैर-ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग होते हैं। फिर मूल उत्पाद प्रमेय लागू किया जाता है और प्रत्येक कारक की जड़ ली जाती है। एक उदाहरण पर विचार करें: पहले दो पदों में मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड निकालकर व्यंजक A = √8 + √18 - 4√2 को सरल कीजिए, हमें प्राप्त होता है: हम इस बात पर जोर देते हैं कि समानता तभी मान्य है जब ए 0 और बी 0. अगर ए < 0, то .

गणित का जन्म तब हुआ जब एक व्यक्ति अपने बारे में जागरूक हो गया और खुद को दुनिया की एक स्वायत्त इकाई के रूप में स्थापित करने लगा। आपके आस-पास की चीज़ों को मापने, तुलना करने, गणना करने की इच्छा हमारे दिनों के मूलभूत विज्ञानों में से एक है। सबसे पहले, ये प्राथमिक गणित के कण थे, जिससे संख्याओं को उनके भौतिक भावों से जोड़ना संभव हो गया, बाद में निष्कर्ष केवल सैद्धांतिक रूप से (उनकी अमूर्तता के कारण) प्रस्तुत किए जाने लगे, लेकिन थोड़ी देर बाद, जैसा कि एक वैज्ञानिक ने कहा, " गणित जटिलता की सीमा तक पहुँच गया जब सभी संख्याएँ।" "वर्गमूल" की अवधारणा ऐसे समय में सामने आई जब इसे गणना के विमान से परे अनुभवजन्य डेटा द्वारा आसानी से समर्थित किया जा सकता था।

यह सब कब प्रारंभ हुआ

मूल का पहला उल्लेख, जिसे वर्तमान में के रूप में दर्शाया गया है, बेबीलोन के गणितज्ञों के लेखन में दर्ज किया गया था, जिन्होंने आधुनिक अंकगणित की नींव रखी थी। बेशक, वे वर्तमान रूप की तरह थोड़े दिखते थे - उन वर्षों के वैज्ञानिकों ने पहले भारी गोलियों का इस्तेमाल किया था। लेकिन दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में। इ। वे एक अनुमानित गणना सूत्र के साथ आए, जिसमें दिखाया गया था कि वर्गमूल कैसे लिया जाता है। नीचे दी गई तस्वीर में एक पत्थर दिखाया गया है जिस पर बेबीलोन के वैज्ञानिकों ने आउटपुट प्रक्रिया √2 को उकेरा है, और यह इतना सही निकला कि उत्तर में विसंगति केवल दसवें दशमलव स्थान पर पाई गई।

इसके अलावा, यदि त्रिभुज की भुजा ज्ञात करना आवश्यक हो तो मूल का उपयोग किया जाता था, बशर्ते कि अन्य दो ज्ञात हों। खैर, द्विघात समीकरणों को हल करते समय, मूल निकालने से कोई बचता नहीं है।

बेबीलोनियन कार्यों के साथ, लेख की वस्तु का अध्ययन चीनी काम "मैथमैटिक्स इन नाइन बुक्स" में भी किया गया था, और प्राचीन यूनानियों ने इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि कोई भी संख्या जिसमें से शेष के बिना रूट नहीं निकाला जाता है, एक तर्कहीन परिणाम देता है .

इस शब्द की उत्पत्ति संख्या के अरबी प्रतिनिधित्व से जुड़ी है: प्राचीन वैज्ञानिकों का मानना ​​​​था कि एक मनमाना संख्या का वर्ग एक पौधे की तरह जड़ से बढ़ता है। लैटिन में, यह शब्द मूलांक की तरह लगता है (कोई एक पैटर्न का पता लगा सकता है - हर चीज जिसमें "रूट" सिमेंटिक लोड होता है, वह व्यंजन है, चाहे वह मूली हो या कटिस्नायुशूल)।

बाद की पीढ़ियों के वैज्ञानिकों ने इस विचार को आरएक्स के रूप में नामित किया। उदाहरण के लिए, 15वीं शताब्दी में, यह इंगित करने के लिए कि वर्गमूल एक मनमाना संख्या a से लिया गया है, उन्होंने R 2 a लिखा। अभ्यस्त आधुनिक रूप"टिक" केवल 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस के लिए धन्यवाद दिखाई दिया।

हमारे दिन

गणितीय रूप से, y का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग y है। दूसरे शब्दों में, z 2 =y y=z के बराबर है। हालाँकि, यह परिभाषा केवल के लिए प्रासंगिक है अंकगणितीय जड़, क्योंकि यह व्यंजक का एक गैर-ऋणात्मक मान दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, y=z, जहाँ z, 0 से बड़ा या उसके बराबर है।

सामान्य तौर पर, जो बीजीय मूल के निर्धारण के लिए मान्य है, व्यंजक का मान धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। इस प्रकार, इस तथ्य के कारण कि z 2 =y और (-z) 2 =y, हमारे पास है: y=±z या √y=|z|।

इस तथ्य के कारण कि विज्ञान के विकास के साथ ही गणित के प्रति प्रेम बढ़ा है, इसके लिए स्नेह की विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं, शुष्क गणनाओं में व्यक्त नहीं की गई हैं। उदाहरण के लिए, पाई के दिन जैसी दिलचस्प घटनाओं के साथ, वर्गमूल की छुट्टियां भी मनाई जाती हैं। वे सौ वर्षों में नौ बार मनाए जाते हैं, और निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार निर्धारित किए जाते हैं: संख्याएं जो क्रम में दिन और महीने को दर्शाती हैं, उन्हें वर्ष का वर्गमूल होना चाहिए। हां अंदर अगली बारयह अवकाश 4 अप्रैल 2016 को मनाया जाएगा।

मैदान पर वर्गमूल के गुण R

लगभग सभी गणितीय व्यंजकों का एक ज्यामितीय आधार होता है, यह नियति समाप्त नहीं हुई और y, जिसे क्षेत्र y के साथ एक वर्ग की भुजा के रूप में परिभाषित किया गया है।

किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें?

कई गणना एल्गोरिदम हैं। सबसे सरल, लेकिन एक ही समय में काफी बोझिल, सामान्य अंकगणितीय गणना है, जो इस प्रकार है:

1) जिस संख्या के मूल की हमें आवश्यकता है, उसमें से विषम संख्याओं को बारी-बारी से घटाया जाता है - जब तक कि शेष निर्गत घटाए गए एक या सम संख्या से कम न हो जाए शून्य. चालों की संख्या अंततः वांछित संख्या बन जाएगी। उदाहरण के लिए, 25 के वर्गमूल की गणना:

अगले विषम संख्या 11 है, हमारे पास निम्नलिखित शेषफल है: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

ऐसे मामलों के लिए, टेलर श्रृंखला का विस्तार होता है:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , जहां n 0 से मान लेता है

+∞, और |y|≤1.

फ़ंक्शन z=√y . का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

वास्तविक संख्या R के क्षेत्र में एक प्राथमिक फलन z=√y पर विचार करें, जहाँ y शून्य से बड़ा या उसके बराबर है। उसका चार्ट इस तरह दिखता है:

वक्र मूल बिंदु से बढ़ता है और अनिवार्य रूप से बिंदु (1; 1) को पार करता है।

वास्तविक संख्या R . के क्षेत्र में फलन z=√y के गुणधर्म

1. माना फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन शून्य से प्लस अनंत तक अंतराल है (शून्य शामिल है)।

2. माना फ़ंक्शन के मानों की सीमा शून्य से प्लस अनंत तक अंतराल है (शून्य फिर से शामिल है)।

3. फलन केवल बिंदु (0; 0) पर न्यूनतम मान (0) लेता है। कोई अधिकतम मूल्य नहीं है।

4. फलन z=√y न तो सम है और न ही विषम।

5. फलन z=√y आवर्त नहीं है।

6. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन z=√y के ग्राफ़ का केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु है: (0; 0)।

7. फलन z=√y के ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु भी इस फलन का शून्य होता है।

8. फलन z=√y लगातार बढ़ रहा है।

9. फलन z=√y केवल धनात्मक मान लेता है, इसलिए इसका ग्राफ पहले निर्देशांक कोण पर कब्जा करता है।

फ़ंक्शन z=√y . प्रदर्शित करने के विकल्प

गणित में, जटिल व्यंजकों की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, कभी-कभी वर्गमूल लिखने के घातीय रूप का उपयोग किया जाता है: y=y 1/2। यह विकल्प सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन को घात तक बढ़ाने में: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 । यह विधि एकीकरण के साथ विभेदीकरण के लिए भी एक अच्छा प्रतिनिधित्व है, क्योंकि इसके लिए धन्यवाद वर्गमूल को एक साधारण शक्ति फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है।

और प्रोग्रामिंग में, प्रतीक √ का प्रतिस्थापन sqrt अक्षरों का संयोजन है।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस क्षेत्र में वर्गमूल बहुत मांग में है, क्योंकि यह गणना के लिए आवश्यक अधिकांश ज्यामितीय सूत्रों का हिस्सा है। गिनती एल्गोरिथ्म अपने आप में काफी जटिल है और यह रिकर्सन (एक फ़ंक्शन जो स्वयं को कॉल करता है) पर आधारित है।

जटिल क्षेत्र में वर्गमूल C

मोटे तौर पर, यह इस लेख का विषय था जिसने जटिल संख्या सी के क्षेत्र की खोज को प्रेरित किया, क्योंकि गणितज्ञ एक ऋणात्मक संख्या से एक समान डिग्री रूट प्राप्त करने के सवाल से प्रेतवाधित थे। इस प्रकार मैं काल्पनिक इकाई दिखाई दी, जो एक बहुत ही रोचक संपत्ति की विशेषता है: इसका वर्ग -1 है। इसके लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरण और एक नकारात्मक विवेचक के साथ एक समाधान मिला। सी में, वर्गमूल के लिए, वही गुण प्रासंगिक हैं जैसे आर में, केवल एक चीज यह है कि मूल अभिव्यक्ति पर प्रतिबंध हटा दिए जाते हैं।