समान रूप से समान का क्या अर्थ है? समान समान भाव: परिभाषा, उदाहरण

बीजगणित के अध्ययन के दौरान, हमें बहुपद (उदाहरण के लिए ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ इत्यादि) और बीजीय भिन्न (उदाहरण के लिए $\frac(x+5)(x) की अवधारणाओं का पता चला। )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ आदि) इन अवधारणाओं की समानता यह है कि बहुपद और बीजीय भिन्न दोनों में चर और संख्यात्मक मान, अंकगणितीय आपरेशनस: जोड़, घटाव, गुणा, घातांक। इन अवधारणाओं के बीच अंतर यह है कि एक चर द्वारा विभाजन बहुपद में नहीं किया जाता है, जबकि एक चर द्वारा विभाजन बीजीय अंशों में किया जा सकता है।

गणित में बहुपद और बीजीय भिन्न दोनों को परिमेय बीजीय व्यंजक कहा जाता है। लेकिन बहुपद पूर्णांक परिमेय व्यंजक होते हैं, और बीजीय भिन्न होते हैं आंशिक रूप से तर्कसंगतभाव।

आप एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत व्यंजक से एक पूर्णांक प्राप्त कर सकते हैं बीजगणतीय अभिव्यक्तिसमान परिवर्तन का उपयोग करते हुए, जो इस मामले में एक अंश की मुख्य संपत्ति होगी - अंशों की कमी। आइए इसे व्यवहार में देखें:

उदाहरण 1

रूपांतरण:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

फेसला:कन्वर्ट दिया गया भिन्नात्मक परिमेय समीकरणमुख्य संपत्ति का उपयोग करके संभव भिन्न - संक्षिप्ताक्षर, अर्थात। अंश और हर को $0$ के अलावा समान संख्या या व्यंजक से विभाजित करना।

इस भिन्न को तुरंत कम नहीं किया जा सकता है, अंश को परिवर्तित करना आवश्यक है।

हम भिन्न के अंश में व्यंजक को रूपांतरित करते हैं, इसके लिए हम अंतर के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

अंश का रूप है

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\बाएं(x-2\दाएं)(x-2))(x-2)\]

अब हम देखते हैं कि अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है - यह व्यंजक $x-2$ है, जिस पर हम भिन्न को घटाएंगे

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\बाएं(x-2\दाएं)(x-2))(x-2)=x-2\]

कमी के बाद, हम पाते हैं कि मूल भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक$\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ एक बहुपद $x-2$ बन गया है, अर्थात। संपूर्ण तर्कसंगत।

अब आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि भाव $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ और $x-2\ $ को चर के सभी मूल्यों के लिए समान नहीं माना जा सकता है, क्योंकि एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत व्यंजक के अस्तित्व में रहने के लिए और बहुपद $x-2$ को कम करने के लिए संभव होने के लिए, भिन्न का हर $0$ के बराबर नहीं होना चाहिए (साथ ही वह कारक जिसके द्वारा हम कम करते हैं। में यह उदाहरणहर और गुणक समान हैं, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है)।

वेरिएबल मान जिनके लिए बीजीय भिन्न मौजूद होगा, वेरिएबल वेरिएबल मान कहलाते हैं।

हम भिन्न के हर पर एक शर्त लगाते हैं: $x-2≠0$, फिर $x≠2$।

तो भाव $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ और $x-2$ $2$ को छोड़कर चर के सभी मूल्यों के लिए समान हैं।

परिभाषा 1

समान रूप से समानभाव वे हैं जो चर के सभी संभावित मूल्यों के लिए समान हैं।

एक समान परिवर्तन मूल अभिव्यक्ति के एक समान समान के साथ कोई भी प्रतिस्थापन है। इस तरह के परिवर्तनों में निम्नलिखित क्रियाएं शामिल हैं: जोड़, घटाव, गुणा, कोष्ठक बीजीय भिन्नएक आम भाजक के लिए, बीजीय अंशों की कमी, समान शब्दों की कमी, आदि। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कई परिवर्तन, जैसे कमी, समान शर्तों में कमी, चर के स्वीकार्य मूल्यों को बदल सकते हैं।

पहचान साबित करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली तकनीक

पहचान परिवर्तन का उपयोग करके पहचान के बाईं ओर दाईं ओर या इसके विपरीत रूपांतरित करें

समान परिवर्तनों का उपयोग करके दोनों भागों को एक ही अभिव्यक्ति में कम करें

व्यंजक के एक भाग के व्यंजकों को दूसरे भाग में ले जाएँ और सिद्ध करें कि परिणामी अंतर $0$ . के बराबर है

दी गई पहचान को साबित करने के लिए उपरोक्त में से कौन सी विधि का उपयोग करना मूल पहचान पर निर्भर करता है।

उदाहरण 2

पहचान साबित करें $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

फेसला:इस पहचान को साबित करने के लिए, हम उपरोक्त विधियों में से पहली का उपयोग करते हैं, अर्थात्, हम पहचान के बाईं ओर को तब तक बदल देंगे जब तक कि यह दाईं ओर के बराबर न हो जाए।

पहचान के बाईं ओर पर विचार करें: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- यह दो बहुपदों का अंतर है। इस मामले में, पहला बहुपद तीन पदों के योग का वर्ग है। कई पदों के योग का वर्ग करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

ऐसा करने के लिए, हमें एक संख्या को एक बहुपद से गुणा करना होगा। याद रखें कि इसके लिए हमें कोष्ठक के बाहर के सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक में बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा। तब हमें प्राप्त होता है:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

अब मूल बहुपद पर वापस, यह रूप लेगा:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

ध्यान दें कि कोष्ठक के सामने एक "-" चिन्ह है, जिसका अर्थ है कि जब कोष्ठक खोले जाते हैं, तो कोष्ठक में मौजूद सभी चिह्न विपरीत दिशा में बदल जाते हैं।

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

यदि हम समान शब्द लाते हैं, तो हम पाते हैं कि मोनोमियल $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ और $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, अर्थात उनका योग $0$ के बराबर है।

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

तो, समान परिवर्तनों द्वारा, हमने मूल पहचान के बाईं ओर समान अभिव्यक्ति प्राप्त की

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

ध्यान दें कि परिणामी अभिव्यक्ति दर्शाती है कि मूल पहचान सत्य है।

ध्यान दें कि मूल पहचान में, चर के सभी मूल्यों की अनुमति है, जिसका अर्थ है कि हमने समान परिवर्तनों का उपयोग करके पहचान को साबित कर दिया है, और यह चर के सभी अनुमत मूल्यों के लिए सही है।

मूल व्यंजक बनाने वाली संख्याओं और व्यंजकों को उन व्यंजकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो उनके समान रूप से समान हों। मूल अभिव्यक्ति के इस तरह के परिवर्तन से एक अभिव्यक्ति होती है जो समान रूप से इसके बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 3+x में, संख्या 3 को योग 1+2 से बदला जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप व्यंजक (1+2)+x होता है, जो मूल व्यंजक के समान रूप से बराबर होता है। एक अन्य उदाहरण: व्यंजक 1+a 5 में 5 की डिग्री को समान रूप से इसके बराबर उत्पाद से बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, a·a 4 के रूप में। यह हमें व्यंजक 1+a·a 4 देगा।

यह परिवर्तन निस्संदेह कृत्रिम है, और आमतौर पर कुछ और परिवर्तन की तैयारी है। उदाहरण के लिए, योग 4·x 3 +2·x 2 में, डिग्री के गुणों को ध्यान में रखते हुए, पद 4·x 3 को उत्पाद 2·x 2 ·2·x के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस तरह के परिवर्तन के बाद, मूल व्यंजक 2·x 2 ·2·x+2·x 2 का रूप ले लेगा। जाहिर है, परिणामी योग की शर्तों में एक सामान्य कारक 2 x 2 है, इसलिए हम निम्नलिखित परिवर्तन कर सकते हैं - कोष्ठक। इसके बाद, हम व्यंजक पर आएंगे: 2 x 2 (2 x+1)।

एक ही संख्या को जोड़ना और घटाना

किसी व्यंजक का एक अन्य कृत्रिम रूपांतरण एक ही समय में एक ही संख्या या व्यंजक का जोड़ और घटाव है। ऐसा परिवर्तन समान है, क्योंकि यह वास्तव में शून्य जोड़ने के बराबर है, और शून्य जोड़ने से मान नहीं बदलता है।

एक उदाहरण पर विचार करें। आइए व्यंजक x 2 +2 x लें। यदि इसमें एक जोड़ा जाता है और एक को हटा दिया जाता है, तो यह भविष्य में एक और समान परिवर्तन करने की अनुमति देगा - द्विपद का वर्ग चुनें: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

ग्रंथ सूची।

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संख्याओं के जोड़ और गुणा के मूल गुण।

जोड़ की क्रमागत संपत्ति: जब शर्तों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो योग का मूल्य नहीं बदलता है। किसी भी संख्या a और b के लिए, समानता सत्य है

जोड़ का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरी और तीसरी का योग जोड़ सकते हैं। किसी भी संख्या a, b और c के लिए समानता सत्य है

गुणन का कम्यूटेटिव गुण: कारकों के क्रमपरिवर्तन से उत्पाद का मूल्य नहीं बदलता है। किसी भी संख्या a, b और c के लिए, समानता सत्य है

गुणन का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं।

किसी भी संख्या a, b और c के लिए, समानता सत्य है

वितरण गुण: किसी संख्या को योग से गुणा करने के लिए, आप उस संख्या को प्रत्येक पद से गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं। किसी भी संख्या a, b और c के लिए समानता सत्य है

यह जोड़ के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से इस प्रकार है कि किसी भी राशि में आप अपनी पसंद के अनुसार शब्दों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं और उन्हें समूहों में एक मनमाना तरीके से जोड़ सकते हैं।

उदाहरण 1 आइए 1.23+13.5+4.27 के योग की गणना करें।

ऐसा करने के लिए, पहले पद को तीसरे के साथ जोड़ना सुविधाजनक है। हम पाते हैं:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

यह गुणन के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से अनुसरण करता है: किसी भी उत्पाद में, आप कारकों को किसी भी तरह से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं और मनमाने ढंग से उन्हें समूहों में जोड़ सकते हैं।

उदाहरण 2 आइए गुणनफल 1.8 0.25 64 0.5 का मान ज्ञात करें।

पहले कारक को चौथे के साथ और दूसरे को तीसरे के साथ मिलाने पर, हमारे पास होगा:

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4।

वितरण गुण तब भी मान्य होता है जब संख्या को तीन या अधिक पदों के योग से गुणा किया जाता है।

उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या a, b, c और d के लिए, समानता सत्य है

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

हम जानते हैं कि घटाव को घटाव में विपरीत संख्या जोड़कर घटाव द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

यह एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति की अनुमति देता है ए-बी टाइप करेंसंख्या a और -b के योग पर विचार करें, a + b-c-d के रूप की संख्यात्मक अभिव्यक्ति को संख्याओं a, b, -c, -d, आदि के योग के रूप में मानें। क्रियाओं के माने गए गुण भी ऐसे योगों के लिए मान्य हैं।

उदाहरण 3 आइए व्यंजक 3.27-6.5-2.5+1.73 का मान ज्ञात करें।

यह व्यंजक संख्या 3.27, -6.5, -2.5 और 1.73 का योग है। जोड़ गुणों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4।

उदाहरण 4 आइए गुणनफल 36·() की गणना करें।

गुणक को संख्याओं और - के योग के रूप में माना जा सकता है। गुणन के वितरण गुण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

36()=36-36=9-10=-1.

पहचान

परिभाषा। दो व्यंजक जिनके संगत मान चर के किसी भी मान के लिए समान होते हैं, समान रूप से समान कहलाते हैं।

परिभाषा। एक समानता जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान कहलाती है।

आइए x=5, y=4 के लिए व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y के मान ज्ञात करें:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

हमें वही परिणाम मिला। यह वितरण संपत्ति से इस प्रकार है कि, सामान्य रूप से, चर के किसी भी मूल्य के लिए, अभिव्यक्तियों के संबंधित मान 3(x+y) और 3x+3y बराबर हैं।

अब व्यंजकों 2x+y और 2xy पर विचार करें। x=1, y=2 के लिए वे समान मान लेते हैं:

हालाँकि, आप x और y मान निर्दिष्ट कर सकते हैं जैसे कि इन भावों के मान समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि x=3, y=4, तो

व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y समान रूप से समान हैं, लेकिन व्यंजक 2x+y और 2xy समान रूप से समान नहीं हैं।

समानता 3(x+y)=x+3y, x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान है।

वास्तविक संख्यात्मक समानताएं भी पहचान मानी जाती हैं।

तो, सर्वसमिकाएँ संख्याओं पर क्रियाओं के मुख्य गुणों को व्यक्त करने वाली समानताएँ हैं:

ए+बी=बी+ए, (ए+बी)+सी=ए+(बी+सी),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

पहचान के अन्य उदाहरण दिए जा सकते हैं:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

ए 1=ए, ए (-बी)=-एबी, (-ए)(-बी)=एबी।

अभिव्यक्तियों की पहचान परिवर्तन

एक व्यंजक का दूसरे व्यंजक के स्थानापन्न, समान रूप से उसके बराबर, कहलाता है पहचान परिवर्तनया बस एक अभिव्यक्ति को परिवर्तित करके।

संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों के आधार पर चरों के साथ व्यंजकों के समान परिवर्तन किए जाते हैं।

x, y, z दिए गए व्यंजक xy-xz का मान ज्ञात करने के लिए, आपको तीन चरण करने होंगे। उदाहरण के लिए, x=2.3, y=0.8, z=0.2 से हम पाते हैं:

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.

यह परिणाम केवल दो चरणों में प्राप्त किया जा सकता है, अभिव्यक्ति x(y-z) का उपयोग करके, जो समान रूप से अभिव्यक्ति xy-xz के बराबर है:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

हमने व्यंजक xy-xz को समरूप से प्रतिस्थापित करके परिकलन को सरल बनाया है समान अभिव्यक्तिएक्स (वाई-जेड)।

अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना और अन्य समस्याओं को हल करने में अभिव्यक्तियों के पहचान परिवर्तनों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कुछ समान परिवर्तन पहले ही किए जा चुके हैं, उदाहरण के लिए, समान शब्दों की कमी, कोष्ठक का उद्घाटन। इन परिवर्तनों को करने के नियमों को याद करें:

समान पदों को लाने के लिए, उनके गुणांकों को जोड़ना और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना आवश्यक है;

यदि कोष्ठक के सामने धन का चिह्न है, तो कोष्ठकों में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बनाए रखते हुए कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है;

यदि कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न है, तो कोष्ठक में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बदलकर कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है।

उदाहरण 1 आइए योग 5x+2x-3x में समान पदों को जोड़ें।

हम समान पदों को कम करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x।

यह परिवर्तन गुणन के वितरण गुण पर आधारित है।

उदाहरण 2 आइए व्यंजक 2a+(b-3c) में कोष्ठकों का विस्तार करें।

प्लस चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने के नियम को लागू करना:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

किया गया परिवर्तन जोड़ की साहचर्य संपत्ति पर आधारित है।

उदाहरण 3 आइए व्यंजक a-(4b-c) में कोष्ठकों का विस्तार करें।

आइए ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार करने के लिए नियम का उपयोग करें:

a-(4b-c)=a-4b+c.

किया गया परिवर्तन गुणन के वितरण गुण और योग के साहचर्य गुण पर आधारित है। आइए इसे दिखाते हैं। आइए इस व्यंजक में दूसरे पद -(4b-c) को एक गुणनफल (-1)(4b-c) के रूप में निरूपित करें:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)।

क्रियाओं के इन गुणों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

2. पहचान भाव, पहचान। एक अभिव्यक्ति की पहचान परिवर्तन। पहचान प्रमाण

आइए चर x के दिए गए मानों के लिए व्यंजकों 2(x - 1) 2x - 2 के मान ज्ञात करें। हम एक तालिका में परिणाम लिखते हैं:

यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रत्येक के लिए भाव 2(x - 1) 2x - 2 के मान दिया गया मूल्यचर x एक दूसरे के बराबर हैं। घटाव 2(x - 1) = 2x - 2 के संबंध में गुणन के वितरण गुण के अनुसार। इसलिए, चर x के किसी अन्य मान के लिए, व्यंजक 2(x - 1) 2x - 2 का मान भी एक दूसरे के बराबर। इस तरह के भावों को समान रूप से समान कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 2x + 3x और 5x पर्यायवाची हैं, क्योंकि चर x के प्रत्येक मान के लिए ये व्यंजक प्राप्त करते हैं। समान मूल्य(यह योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण से निकलता है, क्योंकि 2x + 3x = 5x)।

अब व्यंजकों 3x + 2y और 5xy पर विचार करें। यदि x \u003d 1 और b \u003d 1, तो इन भावों के संगत मान एक दूसरे के बराबर हैं:

3x + 2y \u003d 3 1 + 2 1 \u003d 5; 5xy = 5 1 ∙ 1 = 5।

हालाँकि, आप x और y मान निर्दिष्ट कर सकते हैं जिसके लिए इन भावों के मान एक दूसरे के बराबर नहीं होंगे। उदाहरण के लिए, यदि x = 2; y = 0, तब

3x + 2y = 3 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

नतीजतन, चर के ऐसे मूल्य हैं जिनके लिए अभिव्यक्ति 3x + 2y और 5xy के संबंधित मान एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। इसलिए, व्यंजक 3x + 2y और 5xy एकरूप नहीं हैं।

पूर्वगामी के आधार पर, सर्वसमिकाएँ, विशेष रूप से, समानताएँ हैं: 2(x - 1) = 2x - 2 और 2x + 3x = 5x।

एक पहचान हर समानता है, जो लिखा है ज्ञात गुणसंख्या पर कार्रवाई। उदाहरण के लिए,

ए + बी = बी + ए; (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी); ए (बी + सी) = एबी + एसी;

अब = बीए; (एबी) सी = ए (बीसी); ए (बी - सी) = एबी - एसी।

पहचान जैसी समानताएं भी हैं:

ए + 0 = ए; ए 0 = 0; ए (-बी) = -एबी;

ए + (-ए) = 0; ए 1 = ए; ए (-बी) = एबी।

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

यदि हम व्यंजक -5x + 2x - 9 में समान पदों को घटाते हैं, तो हमें वह 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9 प्राप्त होता है। इस स्थिति में, वे कहते हैं कि व्यंजक 5x + 2x - 9 को व्यंजक 7x द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था - 9, जो इसके समान है।

संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों को लागू करके चरों के साथ व्यंजकों के समान परिवर्तन किए जाते हैं। विशेष रूप से, कोष्ठक के उद्घाटन के साथ समान परिवर्तन, समान शब्दों का निर्माण, और इसी तरह।

व्यंजक को सरल बनाते समय समान परिवर्तन करना पड़ता है, अर्थात्, कुछ व्यंजकों को ऐसे व्यंजक से प्रतिस्थापित करना जो उसके समान है, जो छोटा होना चाहिए।

उदाहरण 1. व्यंजक को सरल कीजिए:

1) -0.3 मीटर 5एन;

2) 2(3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5 ए - (ए - 2 बी) + (3 बी - ए)।

1) -0.3 मीटर 5एन = -0.3 ∙ 5 एमएन = -1.5 मिलियन;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 एक्स - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5 ए - (ए - 2 बी) + (3 बी - ए) = 2 + 5ए - ए + 2 बी + 3 बी - ए= 3ए + 5बी + 2.

यह साबित करने के लिए कि समानता एक पहचान है (दूसरे शब्दों में, पहचान साबित करने के लिए, अभिव्यक्ति के पहचान परिवर्तन का उपयोग किया जाता है।

आप निम्नलिखित में से किसी एक तरीके से अपनी पहचान साबित कर सकते हैं:

• इसके बाईं ओर के समान परिवर्तन करें, जिससे यह दाईं ओर के रूप में कम हो जाए;
• इसके दाहिने हिस्से के समान परिवर्तन करें, जिससे यह बाईं ओर के रूप में कम हो जाए;
• अपने दोनों भागों के समान परिवर्तन करते हैं, जिससे दोनों भागों को एक ही भाव में ऊपर उठाया जाता है।

उदाहरण 2. पहचान साबित करें:

1) 2x - (एक्स + 5) - 11 \u003d एक्स - 16;

2) 206 - 4ए = 5(2ए - 3बी) - 7(2ए - 5बी);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

विकास

1) आइए इस समानता के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - एक्स- 5 - 11 = x - 16.

समान परिवर्तनों से, समानता के बाईं ओर की अभिव्यक्ति को दाईं ओर के रूप में कम कर दिया गया और इस प्रकार यह साबित हो गया कि यह समानता एक पहचान है।

2) आइए इस समानता के दाहिने पक्ष को रूपांतरित करें:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10:00 पूर्वाह्न - 15 बी - 14ए + 35 बी= 20 बी - 4 ए।

समरूप परिवर्तनों से, समानता का दाहिना पक्ष वाम पक्ष के रूप में सिमट गया और इस प्रकार यह साबित हो गया कि यह समानता एक पहचान है।

3) इस मामले में, समानता के बाएँ और दाएँ दोनों भागों को सरल बनाना और परिणामों की तुलना करना सुविधाजनक है:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44।

समान परिवर्तनों से, समानता के बाएँ और दाएँ भाग एक ही रूप में कम हो गए: 26x - 44। इसलिए, यह समानता एक पहचान है।

किन भावों को समरूप कहा जाता है? समान भावों के उदाहरण दीजिए। किस समानता को पहचान कहा जाता है? पहचान का उदाहरण दें। किसी व्यंजक का पहचान परिवर्तन क्या कहलाता है? पहचान कैसे साबित करें?

1. (मौखिक) या समान रूप से समान भाव हैं:

1) 2ए + ए और 3ए;

2) 7x + 6 और 6 + 7x;

3) एक्स + एक्स + एक्स और एक्स 3;

4) 2(x - 2) और 2x - 4;

5) एम - एन और एन - एम;

6) 2a r और 2p ∙ a?

1. क्या भाव समान रूप से समान हैं:

1) 7x - 2x और 5x;

2) 5ए - 4 और 4 - 5ए;

3) 4m + n और n + 4m;

4) ए + ए और ए 2;

5) 3 (ए - 4) और 3 ए - 12;

6) 5m n और 5m + n?

1. (मौखिक रूप से) समानता की पहचान है:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. कोष्ठक खोलें:

1. कोष्ठक खोलें:

1. समान शब्दों को कम करें:

1. ऐसे अनेक व्यंजकों के नाम लिखिए जो व्यंजकों 2a + 3a के समरूप हैं।
2. गुणन के क्रमपरिवर्तन और संयोजक गुणों का उपयोग करके व्यंजक को सरल कीजिए:

1) -2.5 x 4;

2) 4पी (-1.5);

3) 0.2 x (0.3 ग्राम);

4)- एक्स<-7у).

1. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) -2p 3.5;

2) 7a (-1.2);

3) 0.2 x (-3y);

4) - 1 मीटर (-3n)।

1. (मौखिक) अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4ए (-2 बी)।

1. समान शब्दों को कम करें:

1) 56 - 8ए + 4बी - ए;

2) 17 - 2पी + 3पी + 19;

3) 1.8 ए + 1.9 बी + 2.8 ए - 2.9 बी;

4) 5 - 7s + 1.9 g + 6.9 s - 1.7 g।

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9ए) - (4 - 18 ए);

3) 3(2पी - 7) - 2(जी - 3);

4) -(3मी - 5) + 2(3मी - 7)।

1. कोष्ठक खोलें और समान पदों को कम करें:

1) 3(8ए - 4) + 6ए;

2) 7पी - 2(3पी - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7));

4) 3(5मी - 7) - (15मी - 2)।

1) 0.6x + 0.4 (x - 20) यदि x = 2.4;

2) 1.3 (2ए - 1) - 16.4 अगर ए = 10;

3) 1.2 (एम - 5) - 1.8 (10 - एम), अगर एम = -3.7;

4) 2x - 3 (x + y) + 4y यदि x = -1, y = 1 है।

1. व्यंजक को सरल कीजिए और उसका मान ज्ञात कीजिए:

1) 0.7 x + 0.3(x - 4) यदि x = -0.7;

2) 1.7 (वाई - 11) - 16.3, अगर वी \u003d 20;

3) 0.6 (2a - 14) - 0.4 (5a - 1), यदि a = -1;

4) 5 (एम - एन) - 4 एम + 7 एन अगर एम = 1.8; एन = -0.9।

1. पहचान साबित करें:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) एस - 2 = 5 (एस + 2) - 4 (एस + 3)।

1. पहचान साबित करें:

1) -(एम - 3एन) = 3एन - एम;

2) 7(2 - पी) + 7पी = 14;

3) 5ए = 3(ए - 4) + 2(ए + 6);

4) 4(एम - 3) + 3 (एम + 3) = 7 मी - 3।

1. त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई एक सेमी है, और अन्य दो भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई इससे 2 सेमी अधिक है। त्रिभुज के परिमाप को व्यंजक के रूप में लिखिए और व्यंजक को सरल कीजिए।
2. आयत की चौड़ाई x सेमी है और लंबाई चौड़ाई से 3 सेमी अधिक है। आयत के परिमाप को व्यंजक के रूप में लिखिए और व्यंजक को सरल कीजिए।

1) एक्स - (एक्स - (2x - 3));

2) 5 मी - ((एन - एम) + 3 एन);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6 ए - बी) - (4 ए - 33 बी);

6) - (2.7 मीटर - 1.5 एन) + (2एन - 0.48 मीटर)।

1. कोष्ठक का विस्तार करें और अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) ए - (ए - (3 ए - 1));

2) 12 मी - ((ए - एम) + 12 ए);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2.1 ए - 2.8 बी) - (1 ए - 1 बी)।

1. पहचान साबित करें:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3एक्स + 4);

2) - (- 3पी) - (-(8 - 5पी)) \u003d 2 (4 - जी);

3) 3 (ए - बी - सी) + 5 (ए - बी) + 3 सी = 8 (ए - बी)।

1. पहचान साबित करें:

1) 12ए - ((8ए - 16)) \u003d -4 (4 - 5ए);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. सिद्ध कीजिए कि व्यंजक का मान

1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) चर के मान पर निर्भर नहीं करता है।

1. सिद्ध कीजिए कि चर के किसी भी मान के लिए व्यंजक का मान

ए - (ए - (5 ए + 2)) - 5 (ए - 8)

एक ही संख्या है।

1. सिद्ध कीजिए कि तीन क्रमागत सम संख्याओं का योग 6 से विभाज्य होता है।
2. सिद्ध कीजिए कि यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो व्यंजक -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) का मान एक सम संख्या है।

दोहराने के लिए व्यायाम

1. 1.6 किलो वजन वाली मिश्र धातु में 15% तांबा होता है। इस मिश्रधातु में कितने किलो तांबा है?
2. इसका अंक 20 कितना प्रतिशत है:

1) वर्ग;

1. पर्यटक 2 घंटे चला और 3 घंटे साइकिल चलाई। कुल मिलाकर, पर्यटक ने 56 किमी की दूरी तय की। उस गति का पता लगाएं जिस पर पर्यटक साइकिल चलाता है यदि वह उस गति से 12 किमी/घंटा अधिक है जिस गति से वह चलता है।

आलसी छात्रों के लिए रोचक कार्य

1. सिटी फुटबॉल चैंपियनशिप में 11 टीमें हिस्सा लेती हैं। प्रत्येक टीम एक मैच दूसरे के साथ खेलती है। साबित करें कि प्रतियोगिता के किसी भी क्षण में एक टीम है जिसने सम संख्या में मैच खेले हैं या अभी तक नहीं खेले हैं।