Примери за тригонометрия. Тригонометрични уравнения

При решаване на много математически проблеми, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно дефиниран. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравненияи уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът на успешното решаване на всяка от посочените задачи е следният: необходимо е да се установи към какъв тип принадлежи решаваният проблем, да се помни необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т.е. отговорете и следвайте тези стъпки.

Очевидно успехът или неуспехът при решаването на даден проблем зависи главно от това доколко правилно е определен видът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи от неговото решение. Разбира се, необходимо е да имате умения за изпълнение идентични трансформациии компютрите.

Различна ситуация възниква с тригонометрични уравнения.Не е трудно да се установи фактът, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при определяне на последователността от действия, които биха довели до правилния отговор.

от външен видуравнения понякога е трудно да се определи неговият тип. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.

За да решим тригонометричното уравнение, трябва да опитаме:

1. привеждане на всички функции, включени в уравнението, до "същите ъгли";
2. привеждане на уравнението до "същите функции";
3. разложете лявата страна на уравнението и т.н.

Обмисли основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения

Схема на решение

Етап 1.Изразете тригонометричната функция чрез известни компоненти.

Стъпка 2Намерете аргумент на функцията с помощта на формули:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

тен x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Стъпка 3Намерете неизвестна променлива.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Заместване на променлива

Схема на решение

Етап 1.Приведете уравнението в алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.

Стъпка 2Означете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения за t).

Стъпка 3Запишете и реши алгебрично уравнение.

Стъпка 4Направете обратна замяна.

Стъпка 5Решете най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2 не удовлетворява условието |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за редуциране на реда уравнение

Схема на решение

Етап 1.Сменете дадено уравнениелинейно, като се използват формулите за намаляване за това:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

тен 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.

Пример.

cos2x + cos2x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогенни уравнения

Схема на решение

Етап 1.Приведете това уравнение във формата

а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)

или към гледката

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).

Стъпка 2Разделете двете страни на уравнението на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и вземете уравнението за tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Стъпка 3Решете уравнението, като използвате известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Тогава нека tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 или t = -4, така че

tg x = 1 или tg x = -4.

От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод за преобразуване на уравнение с помощта на тригонометрични формули

Схема на решение

Етап 1.Използване на всякакви тригонометрични формули, приведете това уравнение към уравнението, решено по методи I, II, III, IV.

Стъпка 2Решете полученото уравнение с помощта на известни методи.

Пример.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.

Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В резултат на това x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Отговор: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Способността и уменията за решаване на тригонометрични уравнения са много важно е, че тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.

С решаването на тригонометрични уравнения са свързани много проблеми по стереометрия, физика и пр. Процесът на решаване на такива задачи, като че ли, съдържа много от знанията и уменията, които се придобиват при изучаване на елементите на тригонометрията.

Тригонометрични уравнениязаемат важно място в процеса на обучение по математика и развитието на личността като цяло.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкривате личната си информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Урок и презентация на тема: "Решение на най-простите тригонометрични уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Ръководства и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 10 клас от 1С
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"

Какво ще учим:
1. Какво представляват тригонометричните уравнения?

3. Два основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.
4. Еднородни тригонометрични уравнения.
5. Примери.

Какво представляват тригонометричните уравнения?

Момчета, вече проучихме арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Сега нека разгледаме тригонометричните уравнения като цяло.

Тригонометрични уравнения - уравнения, в които променливата се съдържа под знака на тригонометричната функция.

Повтаряме формата на решаване на най-простите тригонометрични уравнения:

1) Ако |а|≤ 1, то уравнението cos(x) = a има решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ако |а|≤ 1, то уравнението sin(x) = a има решение:

3) Ако |a| > 1, то уравнението sin(x) = a и cos(x) = a нямат решения 4) Уравнението tg(x)=a има решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнението ctg(x)=a има решение: x=arcctg(a)+ πk

За всички формули k е цяло число

Най-простите тригонометрични уравнения имат формата: Т(kx+m)=a, T- всяка тригонометрична функция.

Пример.

Решете уравнения: a) sin(3x)= √3/2

решение:

A) Да обозначим 3x=t, след което ще пренапишем нашето уравнение във вида:

Решението на това уравнение ще бъде: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

От таблицата на стойностите получаваме: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Да се ​​върнем към нашата променлива: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тогава x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Отговор: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, където n е цяло число. (-1)^n - минус едно на степен n.

Още примери за тригонометрични уравнения.

Решете уравненията: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

решение:

A) Този път веднага ще преминем директно към изчисляването на корените на уравнението:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогава x/5= πk => x=5πk

Отговор: x=5πk, където k е цяло число.

Б) Записваме във формата: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Знаем, че: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Отговор: x=2π/9 + πk/3, където k е цяло число.

Решете уравнения: cos(4x)= √2/2. И намерете всички корени на сегмента.

решение:

Ще решим в общ изгледнашето уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Сега нека видим какви корени падат на нашия сегмент. За k За k=0, x= π/16, ние сме в дадения сегмент.
С k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, те удрят отново.
За k=2, x= π/16+ π=17π/16, но тук не уцелихме, което означава, че няма да уцелим и за голямо k.

Отговор: x= π/16, x= 9π/16

Два основни метода за решение.

Разгледахме най-простите тригонометрични уравнения, но има и по-сложни. За решаването им се използват методът за въвеждане на нова променлива и методът на факторизация. Нека разгледаме примери.

Нека решим уравнението:

решение:
За да решим нашето уравнение, използваме метода за въвеждане на нова променлива, означена: t=tg(x).

В резултат на замяната получаваме: t 2 + 2t -1 = 0

Да намерим корените квадратно уравнение: t=-1 и t=1/3

Тогава tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получаваме най-простото тригонометрично уравнение, нека намерим неговите корени.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Отговор: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример за решаване на уравнение

Решете уравнения: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

решение:

Нека използваме тъждеството: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Нашето уравнение става: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Нека представим заместването t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Решението на нашето квадратно уравнение са корените: t=2 и t=-1/2

Тогава cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Защото косинус не може да приема стойности, по-големи от единица, тогава cos(x)=2 няма корени.

За cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Отговор: x= ±2π/3 + 2πk

Хомогенни тригонометрични уравнения.

Определение: Уравнение от вида a sin(x)+b cos(x) се нарича хомогенни тригонометрични уравнения от първа степен.

Уравнения на формата

хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен.

За да решим хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен, ние го разделяме на cos(x): Не можете да разделите по косинус, ако е така нула, нека се уверим, че не е:
Нека cos(x)=0, тогава asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синусът и косинусът не са равни на нула едновременно, получаваме противоречие, така че можем безопасно да разделим от нула.

Решете уравнението:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

решение:

Извадете общия множител: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

След това трябва да решим две уравнения:

cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 за x= π/2 + πk;

Помислете за уравнението cos(x)+sin(x)=0 Разделете нашето уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Отговор: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Как се решават хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен?
Момчета, спазвайте тези правила винаги!

1. Вижте на какво е равен коефициентът a, ако a = 0, тогава нашето уравнение ще приеме формата cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), пример за решението на който е в предишната пързалка

2. Ако a≠0, тогава трябва да разделите и двете части на уравнението на квадратния косинус, получаваме:

Правим промяната на променливата t=tg(x), получаваме уравнението:

Решете пример №:3

Решете уравнението:
решение:

Разделете двете страни на уравнението на косинус квадрат:

Правим промяна на променлива t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Намерете корените на квадратното уравнение: t=-3 и t=1

Тогава: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Отговор: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решете пример №:4

Решете уравнението:

решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Можем да решим такива уравнения: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Отговор: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решете пример №:5

Решете уравнението:

решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Въвеждаме заместването tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Решението на нашето квадратно уравнение ще бъде корените: t=-2 и t=1/2

Тогава получаваме: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Отговор: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи за самостоятелно решаване.

1) Решете уравнението

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Решете уравнения: sin(3x)= √3/2. И намерете всички корени на отсечката [π/2; π].

3) Решете уравнението: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Решете уравнението: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решете уравнението: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Решете уравнението: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Не е тайна, че успехът или неуспехът в процеса на решаване на почти всеки проблем зависи главно от правилността на дефиницията на типа. дадено уравнение, както и върху правилното възпроизвеждане на последователността на всички етапи от неговото решение. Въпреки това, в случай на тригонометрични уравнения, изобщо не е трудно да се определи фактът, че уравнението е тригонометрично. Но в процеса на определяне на последователността от действия, които трябва да ни доведат до правилния отговор, може да срещнем определени трудности. Нека да разберем как да решаваме правилно тригонометричните уравнения от самото начало.

Решаване на тригонометрични уравнения

За да решите тригонометричното уравнение, трябва да опитате да изпълните следните точки:

• Привеждаме всички функции, които са включени в нашето уравнение, до "същите ъгли";
• Необходимо е даденото уравнение да се доведе до „еднакви функции“;
• Разлагаме лявата част на даденото уравнение на фактори или други необходими компоненти.

Методи

Метод 1. Необходимо е да се решат такива уравнения на два етапа. Първо трансформираме уравнението, за да получим най-простата му (опростена) форма. Уравнение: Cosx = a, Sinx = a и други подобни се наричат ​​най-простите тригонометрични уравнения. Втората стъпка е да се реши полученото просто уравнение. Трябва да се отбележи, че най-простото уравнение може да бъде решено по алгебричния метод, който ни е добре познат от училищния курс по алгебра. Нарича се още метод на заместване и заместване с променлива. С помощта на формули за намаляване първо трябва да преобразувате, след това да направите замяна и след това да намерите корените.

След това трябва да разложите нашето уравнение на възможни фактори, за това трябва да преместите всички членове наляво и след това можете да разложите на фактори. Сега трябва да доведете това уравнение до хомогенно, в което всички членове са равни в една и съща степен, а косинусът и синусът имат същия ъгъл.

Преди да решите тригонометрични уравнения, трябва да прехвърлите членовете му в лявата страна, като ги вземете от дясната страна, след което изваждаме всички общи знаменатели в скоби. Приравняваме нашите скоби и фактори на нула. Нашите уравнени скоби са хомогенно уравнение с намалена степен, което трябва да бъде разделено на sin(cos) на най-високата степен. Сега решаваме алгебричното уравнение, което е получено във връзка с тен.

Метод 2. Друг метод, чрез който можете да решите тригонометричното уравнение, е преходът към половин ъгъл. Например решаваме уравнението: 3sinx-5cosx=7.

Трябва да отидем до половин ъгъл, в нашия случай това е: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) И след това намаляваме всички членове на една част (за удобство е по-добре да изберете правилния) и продължаваме да решаваме уравнението.

Ако е необходимо, можете да въведете допълнителен ъгъл. Това се прави, когато трябва да замените целочислената стойност sin (a) или cos (a) и знакът „a“ просто действа като спомагателен ъгъл.

продукт за сумиране

Как да решаваме тригонометрични уравнения, използвайки сумарно произведение? Методът, известен като преобразуване продукт към сума, също може да се използва за решаване на такива уравнения. В този случай е необходимо да се използват формулите, съответстващи на уравнението.

Например имаме уравнение: 2sinx * sin3x= cos4x

Трябва да решим този проблем, като преобразуваме лявата страна в сума, а именно:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Ако горните методи не са подходящи и все още не знаете как да решавате най-простите тригонометрични уравнения, можете да използвате друг метод - универсално заместване. С него можете да трансформирате израза и да направите замяна. Например: Cos(x/2)=u. Сега можем да решим уравнението с дадения параметър u. И след като сте получили желания резултат, не забравяйте да преведете тази стойност в обратното.

Много "опитни" ученици се съветват да се обърнат към хората онлайн за решаване на уравнения. Как да решите тригонометрично уравнение онлайн, ще попитате. За онлайн решенияпроблеми, можете да се обърнете към форумите на съответните теми, където могат да ви помогнат със съвет или при решаване на проблема. Но най-доброто нещо е да се опитате да се справите сами.

Уменията и уменията за решаване на тригонометрични уравнения са много важни и полезни. Развитието им ще изисква много усилия от вас. С решаването на такива уравнения са свързани много проблеми по физика, стереометрия и др. А самият процес на решаване на такива задачи предполага наличието на умения и знания, които могат да бъдат придобити при изучаване на елементите на тригонометрията.

Научете тригонометрични формули

В процеса на решаване на уравнение може да срещнете необходимостта да използвате всяка формула от тригонометрията. Можете, разбира се, да започнете да го търсите в своите учебници и листове за мами. И ако тези формули се вкарат в главата ви, вие не само ще спестите нервите си, но и ще улесните значително задачата си, без да губите време в търсене на необходимата информация. Така ще имате възможност да помислите по най-рационалния начин за решаване на проблема.

Дадени са съотношенията между основните тригонометрични функции - синус, косинус, тангенс и котангенс тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява и изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометричните функции на един и същ ъгъл, други - функциите на множествен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвъртите - да изразите всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.

В тази статия изброяваме по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните проблеми. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме според предназначението им и ще ги въведем в таблици.

Навигация в страницата.

Основни тригонометрични идентичности

Основен тригонометрични идентичности задайте връзката между синуса, косинуса, тангенса и котангенса на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция чрез всяка друга.

За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извличане и примери за приложение вижте статията.

Преобразувани формули

Преобразувани формулиследват от свойствата на синуса, косинуса, тангенса и котангенса, тоест отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, както и свойството на изместване под даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.

Обосновка на тези формули, мнемонично правилоза тяхното запомняне и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.

Формули за добавяне

Тригонометрични формули за събиранепоказват как тригонометричните функции на сбора или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждането на следните тригонометрични формули.

Формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл

Формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл (те се наричат ​​още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойни, тройни и т.н. ъглите () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Извличането им се основава на формули за събиране.

По-подробна информация е събрана във формулите на статията за двойни, тройни и т.н. ъгъл .

Формули за половин ъгъл

Формули за половин ъгълпоказват как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на целочислен ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.

Техните заключения и примери за приложение могат да бъдат намерени в статията.

Формули за намаляване

Тригонометрични формули за намаляващи градусиса предназначени да улеснят прехода от естествени мощности на тригонометрични функции към синуси и косинуси от първа степен, но множество ъгли. С други думи, те позволяват да се сведат мощностите на тригонометричните функции до първите.

Формули за сбора и разликата на тригонометричните функции

Основната цел формули за сума и разлика за тригонометрични функциисе състои в прехода към произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометричните изрази. Тези формули също се използват широко при решаването на тригонометрични уравнения, тъй като позволяват разлагане на множители на сумата и разликата на синусите и косинусите.

Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус

Преходът от произведението на тригонометричните функции към сбора или разликата се осъществява чрез формулите за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус.

Башмаков М.И.Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клетки. средно училище - 3-то изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.

алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидатстващи в техникумите): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Авторско право от умни студенти

Всички права запазени.
Защитено от закона за авторското право. Не е част от www.website, включително вътрешни материалии външен дизайнне могат да бъдат възпроизвеждани под каквато и да е форма или използвани без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.