Основни формули на тригонометрията. Основна тригонометрична идентичност

Формулите за намаляване са съотношения, които ви позволяват да преминете от синус, косинус, тангенс и котангенс с ъгли `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` към същите функции на ъгъла `\alpha`, който е в първата четвърт на единичната окръжност. Така формулите за редукция ни "водят" към работа с ъгли в диапазона от 0 до 90 градуса, което е много удобно.

Всички заедно има 32 формули за намаляване. Те несъмнено ще ви бъдат полезни на изпити, изпити, тестове. Но веднага ще ви предупредим, че няма нужда да ги запомняте! Трябва да отделите малко време и да разберете алгоритъма за тяхното прилагане, тогава няма да ви е трудно да извлечете необходимото равенство в точния момент.

Първо, нека запишем всички формули за намаляване:

За ъгъл (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

За ъгъл (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

За ъгъл (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

За ъгъл (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Често можете да намерите формули за намаляване под формата на таблица, където ъглите са записани в радиани:

За да го използвате, трябва да изберете реда с функцията, от която се нуждаем, и колоната с желания аргумент. Например, за да използвате таблица, за да разберете какво ще бъде ` sin(\pi + \alpha)`, достатъчно е да намерите отговора в пресечната точка на реда ` sin \beta` и колоната ` \pi + \ алфа`. Получаваме ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И втората, подобна таблица, където ъглите са записани в градуси:

Мнемонично правило за формули или как да ги запомните

Както вече споменахме, не е необходимо да запомняте всички горепосочени съотношения. Ако ги разгледате внимателно, вероятно сте забелязали някои модели. Те ни позволяват да формулираме мнемонично правило (мнемоника - запомнете), с което лесно можете да получите някоя от формулите за намаляване.

Веднага отбелязваме, че за да приложим това правило, човек трябва да може добре да определи (или да запомни) знаците на тригонометричните функции в различни четвърти на единичния кръг.
Самата присадка включва 3 етапа:

1. Аргументът на функцията трябва да бъде във формата `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, където `\alpha` винаги е остър ъгъл (от 0 до 90 градуса).
2. За аргументи `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` тригонометрична функцияна преобразувания израз се променя в кофункция, тоест обратното (синус към косинус, допирателна към котангенс и обратно). За аргументи `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функцията не се променя.
3. Определя се знакът на първоначалната функция. Получената функция от дясната страна ще има същия знак.

За да видим как това правило може да се приложи на практика, нека трансформираме няколко израза:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Функцията не е обърната. Ъгълът ` \pi + \alpha` е в третия квадрант, косинусът в този квадрант има знак "-", така че преобразуваната функция също ще има знак "-".

Отговор: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Според мнемонично правилофункцията ще бъде обърната. Ъгълът `\frac (3\pi)2 - \alpha` е в третия квадрант, синусът тук има знак "-", така че резултатът също ще бъде със знак "-".

Отговор: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\алфа))`. Нека представим `3\pi` като `2\pi+\pi`. `2\pi` е периодът на функцията.

Важно: Функциите `cos \alpha` и `sin \alpha` имат период от `2\pi` или `360^\circ`, техните стойности няма да се променят, ако аргументът се увеличи или намали с тези стойности.

Въз основа на това нашият израз може да бъде записан по следния начин: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Прилагайки два пъти мнемоничното правило, получаваме: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Отговор: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

правило за коне

Втората точка от горното мнемонично правило се нарича още конско правило на редукционните формули. Чудя се защо коне?

Така че имаме функции с аргументи `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, точките `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` са ключови точки, разположени са върху координатните оси. `\pi` и `2\pi` са на хоризонталната ос x, а `\frac (\pi)2` и `\frac (3\pi)2` са на вертикалната ос y.

Задаваме си въпроса: „Променя ли се функцията в кофункция?“. За да отговорите на този въпрос, трябва да преместите главата си по оста, върху която се намира ключовата точка.

Тоест, за аргументи с ключови точки, разположени по хоризонталната ос, ние отговаряме „не“, като поклащаме глави настрани. А за ъгли с ключови точки, разположени по вертикалната ос, ние отговаряме „да“, като кимаме глави отгоре надолу, като кон 🙂

Препоръчваме ви да гледате видео урок, в който авторът обяснява подробно как да запомните формули за намаляване, без да ги запаметявате.

Практически примери за използване на формули за леене

Използването на формули за намаляване започва от 9-ти и 10-ти клас. На изпита се подават много задачи с тяхното използване. Ето някои от задачите, при които ще трябва да приложите тези формули:

задачи за решаване на правоъгълен триъгълник;
преобразуване на числови и азбучни тригонометрични изрази, изчисляване на техните стойности;
стереометрични проблеми.

Пример 1. Използвайте формулите за намаляване, за да изчислите а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Решение: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

г) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Пример 2. След като изразите косинуса през синуса с помощта на формулите за редукция, сравнете числата: 1) `sin \frac (9\pi)8` и `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` и `cos \frac (3\pi)10`.

Решение: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

Първо доказваме две формули за синуса и косинуса на аргумента `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` и ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Останалите са получени от тях.

Вземете единична окръжност и точка А върху нея с координати (1,0). Оставете след включване ъгъл `\alpha` ще отиде до точката `A_1(x, y)` и след завъртане през ъгъла `\frac (\pi)2 + \alpha` до точката `A_2(-y,x)` . Пускайки перпендикулярите от тези точки към правата OX, виждаме, че триъгълниците `OA_1H_1` и `OA_2H_2` са равни, тъй като техните хипотенузи и съседни ъгли са равни. След това, въз основа на дефинициите за синус и косинус, можем да напишем `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Как може да се напише, че ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` и `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, което доказва намаляването формули за синуса и косинуса на ъгъла `\frac (\pi)2 + \alpha`.

От определението за допирателна и котангенс получаваме ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` и ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, което доказва намаляването формули за тангенса и котангенса на ъгъла `\frac (\pi)2 + \alpha`.

За да докажете формули с аргумента `\frac (\pi)2 - \alpha`, достатъчно е да го представите като `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` и да следвате същия път, както по-горе. Например, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Ъглите `\pi + \alpha` и `\pi - \alpha` могат да бъдат представени като `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` и `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` съответно.

И `\frac (3\pi)2 + \alpha` и `\frac (3\pi)2 - \alpha` като `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` и `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

В тази статия ще разгледаме изчерпателно . Основните тригонометрични идентичности са равенства, които установяват връзка между синуса, косинуса, тангенса и котангенса на един ъгъл и ви позволяват да намерите всяка от тези тригонометрични функции чрез известен друг.

Веднага изброяваме основните тригонометрични идентичности, които ще анализираме в тази статия. Записваме ги в таблица, а по-долу даваме извеждането на тези формули и даваме необходимите обяснения.

Навигация в страницата.

Връзка между синус и косинус на един ъгъл

Понякога те не говорят за основните тригонометрични идентичности, изброени в таблицата по-горе, а за една единствена основна тригонометрична идентичностмил . Обяснението за този факт е съвсем просто: равенствата се получават от основното тригонометрично тъждество след разделяне на двете му части съответно на и на равенствата и следват от определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс. Ще обсъдим това по-подробно в следващите параграфи.

Тоест, особен интерес представлява равенството, което получи името на основната тригонометрична идентичност.

Преди да докажем основната тригонометрична идентичност, даваме нейната формулировка: сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл е идентично равна на единица. Сега нека го докажем.

Основната тригонометрична идентичност много често се използва в трансформация на тригонометрични изрази. Позволява сборът от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл да бъде заменен с един. Не по-рядко основната тригонометрична идентичност се използва в обратен ред: единицата се заменя със сумата от квадратите на синуса и косинуса на произволен ъгъл.

Тангенс и котангенс през синус и косинус

Идентичности, свързващи тангенса и котангенса със синуса и косинуса на един ъгъл на формата и непосредствено следват от определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс. Всъщност, по дефиниция, синусът е ордината на y, косинусът е абсцисата на x, тангенсът е отношението на ординатата към абсцисата, т.е. , а котангенсът е отношението на абсцисата към ординатата, т.е. .

Поради тази очевидност на идентичностите и често дефинициите на тангенс и котангенс се дават не чрез съотношението на абсцисата и ординатата, а чрез съотношението на синуса и косинуса. Така че тангенсът на ъгъл е съотношението на синуса към косинуса на този ъгъл, а котангенсът е отношението на косинуса към синуса.

В заключение на този раздел трябва да се отбележи, че идентичностите и важи за всички такива ъгли, за които тригонометричните функции в тях имат смисъл. Така че формулата е валидна за всяко друго освен (в противен случай знаменателят ще бъде нула и не сме дефинирали деление на нула), а формулата - за всички , различни от , където z е всяко .

Връзка между тангенс и котангенс

Още по-очевидна тригонометрична идентичност от предишните две е идентичността, свързваща тангенса и котангенса на един ъгъл на формата . Ясно е, че се извършва за всякакви ъгли, различни от , в противен случай нито допирателната, нито котангенсът не се дефинират.

Доказателство за формулата много просто. По дефиниция и откъде . Доказателството би могло да бъде извършено по малко по-различен начин. Тъй като и , тогава .

И така, тангенсът и котангенсът на един ъгъл, при който те имат смисъл, са.

Дадени са съотношенията между основните тригонометрични функции - синус, косинус, тангенс и котангенс тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява и изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометричните функции на един и същ ъгъл, други - функциите на множествен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвъртите - да изразите всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.

В тази статия изброяваме по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните проблеми. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме според предназначението им и ще ги въведем в таблици.

Навигация в страницата.

Основни тригонометрични идентичности

Основни тригонометрични идентичностизадайте връзката между синуса, косинуса, тангенса и котангенса на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция чрез всяка друга.

За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извличане и примери за приложение вижте статията.

Преобразувани формули

Преобразувани формулиследват от свойствата на синуса, косинуса, тангенса и котангенса, тоест отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, а също и свойството на изместване под даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.

Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запомнянето им и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.

Формули за добавяне

Тригонометрични формули за събиранепоказват как тригонометричните функции на сбора или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждането на следните тригонометрични формули.

Формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл

Формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл (те се наричат още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойни, тройни и т.н. ъглите () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Извличането им се основава на формули за събиране.

По-подробна информация е събрана във формулите на статията за двойни, тройни и т.н. ъгъл .

Формули за половин ъгъл

Формули за половин ъгълпоказват как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на целочислен ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.

Техните заключения и примери за приложение могат да бъдат намерени в статията.

Формули за намаляване

Тригонометрични формули за намаляващи градусиса предназначени да улеснят прехода от естествени мощности на тригонометричните функции към синуси и косинуси от първа степен, но множество ъгли. С други думи, те позволяват да се сведат мощностите на тригонометричните функции до първите.

Формули за сбора и разликата на тригонометричните функции

Основната цел формули за сума и разлика за тригонометрични функциисе състои в прехода към произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометричните изрази. Тези формули също се използват широко при решаването на тригонометрични уравнения, тъй като позволяват разлагане на множители на сумата и разликата на синусите и косинусите.

Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус

Преходът от произведението на тригонометричните функции към сбора или разликата се осъществява чрез формулите за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус.

Башмаков М.И.Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клетки. средно училище - 3-то изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.

алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидатстващи в техникумите): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Авторско право от умни студенти

Всички права запазени.
Защитено от закона за авторското право. Никаква част от www.site, включително вътрешни материали и външен дизайн, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Тригонометрични идентичностиса равенства, които установяват връзка между синуса, косинуса, тангенса и котангенса на един ъгъл, което ви позволява да намерите някоя от тези функции, при условие че всяка друга е известна.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Това тъждество казва, че сборът от квадрата на синуса на един ъгъл и квадрата на косинуса на един ъгъл е равен на единица, което на практика дава възможност да се изчисли синусът на един ъгъл, когато неговият косинус е известен и обратно .

При преобразуване на тригонометрични изрази много често се използва тази идентичност, която ви позволява да замените сумата от квадратите на косинуса и синуса на един ъгъл с един и също така да извършите операцията по заместване в обратен ред.

Намиране на тангенс и котангенс чрез синус и косинус

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Тези идентичности се формират от определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс. В крайна сметка, ако погледнете, тогава по дефиниция ординатата на y е синусът, а абсцисата на x е косинусът. Тогава допирателната ще бъде равна на съотношението \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), и съотношението \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- ще бъде котангенс.

Добавяме, че само за такива ъгли \alpha, за които тригонометричните функции, включени в тях, имат смисъл, идентичностите ще се осъществят, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Например: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)е валидно за \alpha ъгли, които са различни от \frac(\pi)(2)+\pi z, а ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- за ъгъл \alpha, различен от \pi z , z е цяло число.

Връзка между тангенс и котангенс

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Тази идентичност е валидна само за ъгли \alpha, които са различни от \frac(\pi)(2) z. В противен случай нито котангенс, нито тангенс няма да бъдат определени.

Въз основа на точките по-горе получаваме това tg \alpha = \frac(y)(x), а ctg\alpha=\frac(x)(y). Оттук следва, че tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Така тангенсът и котангенсът на един ъгъл, при който те имат смисъл, са взаимно реципрочни числа.

Връзки между тангенс и косинус, котангенс и синус

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- сумата от квадрата на тангенса на ъгъла \alpha и 1 е равна на обратния квадрат на косинуса на този ъгъл. Тази идентичност е валидна за всички \alpha различни от \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- сборът от 1 и квадрата на котангенса на ъгъла \alpha е равен на обратния квадрат на синуса на дадения ъгъл. Тази идентичност е валидна за всяка \alpha различна от \pi z.

Примери с решения на задачи, използващи тригонометрични идентичности

Пример 1

Намерете \sin \alpha и tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12и \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Покажи решение

Решение

Функциите \sin \alpha и \cos \alpha са свързани с формулата \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Заместване в тази формула \cos \alpha = -\frac12, получаваме:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Това уравнение има 2 решения:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

По условие \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . През второто тримесечие синусът е положителен, т.е \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

За да намерим tg \alpha , използваме формулата tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Пример 2

Намерете \cos \alpha и ctg \alpha, ако и \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Покажи решение

Решение

Заместване във формулата \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1условно число \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), получаваме \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Това уравнение има две решения \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

По условие \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . През второто тримесечие косинусът е отрицателен, т.е \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

За да намерим ctg \alpha, използваме формулата ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Знаем съответните стойности.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Това е последният и най-важен урок, необходим за решаване на задачи B11. Вече знаем как да преобразуваме ъгли от радианна мярка в градусова мярка (вижте урока „Радиан и градусова мярка на ъгъл“), а също така знаем как да определим знака на тригонометрична функция, като се фокусираме върху координатните четвъртини (вижте урока „Знаци на тригонометрични функции").

Въпросът остава малък: да се изчисли стойността на самата функция - самото число, което е написано в отговора. Тук на помощ идва основната тригонометрична идентичност.

Основна тригонометрична идентичност. За всеки ъгъл α твърдението е вярно:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Тази формула свързва синуса и косинуса на един ъгъл. Сега, знаейки синуса, можем лесно да намерим косинуса - и обратно. Достатъчно е да вземем корен квадратен:

Обърнете внимание на знака "±" пред корените. Факт е, че от основната тригонометрична идентичност не е ясно какви са били първоначалните синус и косинус: положителен или отрицателен. В крайна сметка квадратурата е четна функция, която "изгаря" всички минуси (ако има такива).

Ето защо във всички задачи B11, които се намират в USE по математика, задължително има допълнителни условия, които помагат да се отървете от несигурността със знаци. Обикновено това е индикация за координатната четвърт, по която може да се определи знакът.

Внимателният читател със сигурност ще попита: „Ами допирателната и котангенса?“ Невъзможно е директно да се изчислят тези функции от горните формули. Въпреки това, има важни следствия от основната тригонометрична идентичност, които вече съдържат допирателни и котангенси. а именно:

Важно следствие: за всеки ъгъл α основната тригонометрична идентичност може да бъде пренаписана, както следва:

Тези уравнения лесно се извеждат от основното тъждество - достатъчно е двете страни да се разделят на cos 2 α (за да се получи допирателна) или на sin 2 α (за котангенс).

Нека разгледаме всичко това с конкретни примери. По-долу са действителни проблеми с B11, взети от изпитанията на Mathematics USE от 2012 г.

Знаем косинуса, но не знаем синуса. Основната тригонометрична идентичност (в нейната "чиста" форма) свързва точно тези функции, така че ще работим с нея. Ние имаме:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

За да решим проблема, остава да намерим знака на синуса. Тъй като ъгълът α ∈ (π /2; π ), то в градусова мярка се записва, както следва: α ∈ (90°; 180°).

Следователно ъгълът α лежи във II координатна четвърт - всички синуси там са положителни. Следователно sin α = 0,1.

И така, ние знаем синуса, но трябва да намерим косинуса. И двете функции са в основната тригонометрична идентичност. Ние заместваме:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Остава да се справим със знака пред дроба. Какво да избера: плюс или минус? По условие ъгълът α принадлежи на интервала (π 3π /2). Нека преобразуваме ъглите от радианска мярка в градусова мярка - получаваме: α ∈ (180°; 270°).

Очевидно това е III координатна четвърт, където всички косинуси са отрицателни. Следователно cosα = −0,5.

Задача. Намерете tg α, ако знаете следното:

Тангенсът и косинусът са свързани с уравнение, следващо от основната тригонометрична идентичност:

Получаваме: tg α = ±3. Знакът на допирателната се определя от ъгъла α. Известно е, че α ∈ (3π /2; 2π ). Нека преобразуваме ъглите от радианската мярка в градусната мярка - получаваме α ∈ (270°; 360°).

Очевидно това е IV координатна четвърт, където всички допирателни са отрицателни. Следователно, tgα = −3.

Задача. Намерете cos α, ако знаете следното:

Отново, синусът е известен, а косинусът е неизвестен. Записваме основната тригонометрична идентичност:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Знакът се определя от ъгъла. Имаме: α ∈ (3π /2; 2π ). Нека преобразуваме ъглите от градуси в радиани: α ∈ (270°; 360°) е IV координатна четвърт, косинусите там са положителни. Следователно, cos α = 0,6.

Задача. Намерете sin α, ако знаете следното:

Нека напишем формула, която следва от основната тригонометрична идентичност и директно свързва синуса и котангенса:

От тук получаваме, че sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно е, че ъгълът α ∈ (0; π /2). В градуси това се записва по следния начин: α ∈ (0°; 90°) - I координатна четвърт.

И така, ъгълът е в I координатната четвърт - всички тригонометрични функции са положителни там, следователно sin α \u003d 0,2.