Решаване на неравенствата по метода на интервалите. Решаване на квадратни неравенства по интервалния метод

Методът на интервалите се счита за универсален за решаване на неравенства. Понякога този метод се нарича още метод на празнина. Може да се използва както за решаване на рационални неравенства с една променлива, така и за неравенства от друг тип. В нашия материал се опитахме да обърнем внимание на всички аспекти на въпроса.

Какво ви очаква в този раздел? Ще анализираме метода на празнината и ще разгледаме алгоритми за решаване на неравенства с помощта на него. Да се докоснем теоретични аспектина които се основава приложението на метода.

Обръщаме специално внимание на нюансите на темата, които обикновено не са застъпени в училищна програма. Например, разгледайте правилата за поставяне на знаци върху интервали и метода на интервалите в общ изгледбез да го свързваме с рационални неравенства.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Алгоритъм

Кой си спомня как се въвежда методът на празнината в училищния курс по алгебра? Обикновено всичко започва с решаване на неравенства от вида f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >или ≥). Тук f(x) може да бъде полином или съотношение на полиноми. Полиномът от своя страна може да бъде представен като:

произведението на линейни биноми с коефициент 1 за променливата x;
произведението на квадратни тричлени с водещ коефициент 1 и с отрицателен дискриминант на техните корени.

Ето няколко примера за такива неравенства:

(x + 3) (x 2 − x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,

(x − 5) (x + 5) ≤ 0 ,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Пишем алгоритъм за решаване на неравенства от този вид, както сме дали в примерите, използвайки интервалния метод:

намираме нулите на числителя и знаменателя, за това приравняваме числителя и знаменателя на израза от лявата страна на неравенството на нула и решаваме получените уравнения;
определете точките, които отговарят на намерените нули, и ги маркирайте с тирета върху координатната ос;
дефинирайте изразните знаци f(x)от лявата страна на решеното неравенство на всеки интервал и ги поставете на графиката;
приложете щриховане върху желаните участъци от графиката, ръководени от следващото правило: в случай че неравенството има знаци< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >или ≥ , след което избираме със засенчване областите, отбелязани със знака “+”.

Чертежът, с който ще работим, може да има схематичен изглед. Прекомерните детайли могат да претоварят чертежа и да затруднят вземането на решение. Малко ще ни интересува мащаба. Ще бъде достатъчно да се залепи правилно местоположениеточки с увеличаване на стойностите на техните координати.

Когато работим със строги неравенства, ще използваме обозначението на точка под формата на кръг с незапълнен (празен) център. В случай на нестроги неравенства точките, които съответстват на нулите на знаменателя, ще бъдат показани като празни, а всички останали като обикновени черни.

Маркираните точки разделят координатната линия на няколко числови интервала. Това ни позволява да получим геометрично представяне на множеството от числа, което всъщност е решението на даденото неравенство.

Научна основа на метода на празнината

Подходът, залегнал в основата на интервалния метод, се основава на следното свойство на непрекъсната функция: функцията запазва постоянен знак на интервала (a, b), на който тази функция е непрекъсната и не изчезва. Същият имот е характерен за числови лъчи(−∞ , а) и (a , +∞).

Горното свойство на функцията се потвърждава от теоремата на Болцано-Коши, която е дадена в много ръководства за подготовка за приемни изпити.

Възможно е също така да се обоснове постоянството на знака на интервалите въз основа на свойствата на числовите неравенства. Например вземете неравенството x - 5 x + 1 > 0 . Ако намерим нулите на числителя и знаменателя и ги поставим на числовата права, получаваме серия от пропуски: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) и (5 , + ∞) .

Да вземем някой от интервалите и да покажем върху него, че на целия интервал изразът от лявата страна на неравенството ще има постоянен знак. Нека това е интервалът (− ∞ , − 1) . Нека вземем произволно число t от този интервал. Тя ще удовлетвори условията t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Използвайки както получените неравенства, така и свойството на числовите неравенства, можем да приемем, че t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения тна интервала (− ∞ , − 1) .

Използвайки правилото за разделяне на отрицателни числа, можем да твърдим, че стойността на израза t - 5 t + 1 ще бъде положителна. Това означава, че стойността на израза x - 5 x + 1 ще бъде положителна за всяка стойност хот пропастта (− ∞ , − 1) . Всичко това ни позволява да твърдим, че на интервала, взет за пример, изразът има постоянен знак. В нашия случай това е знакът „+“.

Намиране на нули на числителя и знаменателя

Алгоритъмът за намиране на нули е прост: приравняваме изразите от числителя и знаменателя на нула и решаваме получените уравнения. Ако имате някакви затруднения, можете да се обърнете към темата "Решаване на уравнения чрез разлагане на множители". В този раздел се ограничаваме до пример.

Да разгледаме дроба x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . За да намерим нулите на числителя и знаменателя, ние ги приравняваме на нула, за да получим и решим уравненията: x (x − 0, 6) = 0 и x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

В първия случай можем да отидем до набора от две уравнения x = 0 и x − 0 , 6 = 0 , което ни дава два корена 0 и 0 , 6 . Това са нулите на числителя.

Второто уравнение е еквивалентно на набор от три уравнения x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Извършваме серия от трансформации и получаваме x = 0, x 2 + 2 x + 7 = 0, x + 5 = 0. Коренът на първото уравнение е 0, второто уравнение няма корени, тъй като има отрицателен дискриминант, коренът на третото уравнение е 5. Това са нулите на знаменателя.

0 в този случай е както нулата на числителя, така и нулата на знаменателя.

Като цяло, когато има дроб от лявата страна на неравенството, което не е непременно рационално, числителят и знаменателят също се приравняват на нула, за да се получат уравнения. Решаването на уравнения ви позволява да намерите нулите на числителя и знаменателя.

Определянето на знака на интервала е просто. За да направите това, можете да намерите стойността на израза от лявата страна на неравенството за произволно избрана точка от дадения интервал. Полученият знак на стойността на израза в произволно избрана точка от интервала ще съвпада със знака на целия интервал.

Нека разгледаме това твърдение с пример.

Вземете неравенството x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Изразът, разположен от лявата страна на неравенството, няма нули в числителя. Нулевият знаменател ще бъде числото - 3 . Получаваме две празнини на числовата права (− ∞ , − 3) и (− 3 , + ∞) .

За да определим знаците на интервалите, изчисляваме стойността на израза x 2 - x + 4 x + 3 за точки, взети произволно на всеки от интервалите.

От първия интервал (− ∞ , − 3) вземете - 4 . В х = -4имаме (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . имаме отрицателно значение, така че целият интервал ще бъде със знака "-".

За педя (− 3 , + ∞) нека извършим изчисления с точка с нулева координата. За x = 0 имаме 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Получихме положителна стойност, което означава, че целият интервал ще има знак „+“.

Можете да използвате друг начин за дефиниране на знаци. За да направим това, можем да намерим знака на един от интервалите и да го запазим или да го променим при преминаване през нула. За да направим всичко правилно, е необходимо да спазваме правилото: когато преминаваме през нула на знаменателя, но не и числителя, или числителя, но не и знаменателя, можем да променим знака на обратното, ако степента на израз, даващ тази нула, е нечетен и не можем да променим знака, ако степента е четна. Ако получим точка, която е едновременно нула на числителя и знаменателя, тогава е възможно да променим знака на противоположния само ако сумата от степените на изразите, даващи тази нула, е нечетна.

Ако си припомним неравенството, което разгледахме в началото на първия параграф на този материал, тогава в крайния десен интервал можем да поставим знак „+“.

Сега нека се обърнем към примери.

Вземете неравенството (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 и го решете с помощта на интервалния метод. За да направим това, трябва да намерим нулите на числителя и знаменателя и да ги маркираме на координатната линия. Нулите на числителя ще бъдат точки 2 , 3 , 4 , знаменателят на точката 1 , 3 , 4 . Маркираме ги върху координатната ос с тирета.

Нулите на знаменателя са отбелязани с празни точки.

Тъй като имаме работа с нестрого неравенство, заменяме останалите тирета с обикновени точки.

Сега нека поставим точките върху интервалите. Най-десният интервал (4, +∞) ще бъде знакът +.

Придвижвайки се отдясно наляво, ще маркираме останалите празнини. Преминаваме през точката с координата 4. Това е както нулата на числителя, така и на знаменателя. Накратко, тези нули дават изразите (x − 4) 2И x − 4. Събираме техните мощности 2 + 1 = 3 и получаваме нечетно число. Това означава, че знакът при прехода в този случай се променя на обратния. На интервала (3, 4) ще има знак минус.

Преминаваме към интервала (2, 3) през точката с координата 3. Това също е нула както за числителя, така и за знаменателя. Получихме го благодарение на два израза (x − 3) 3 и (x − 3) 5, чиято сума от степени е 3 + 5 = 8 . Получаването на четно число ни позволява да оставим знака на интервала непроменен.

Точката с координата 2 е нулата на числителя. Степента на изразяване x - 2 е равна на 1 (нечетно). Това означава, че при преминаване през тази точка знакът трябва да бъде обърнат.

Остава ни последният интервал (− ∞ , 1) . Точката с координата 1 е нулев знаменател. Извлечено е от израза (x − 1) 4, с равна степен 4 . Следователно знакът остава същият. Окончателният чертеж ще изглежда така:

Използването на интервалния метод е особено ефективно в случаите, когато изчисляването на стойността на израз е свързано с голям обем работа. Пример би била необходимостта да се оцени стойността на израз

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

във всяка точка от интервала 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

Сега нека приложим придобитите знания и умения на практика.

Пример 1

Решете неравенството (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .

Решение

Препоръчително е да се приложи методът на интервалите за решаване на неравенството. Намерете нулите на числителя и знаменателя. Нулите в числителя са 1 и - 5 , нулите в знаменателя са 7 и 1 . Нека ги отбележим на числовата права. Имаме работа с нестрого неравенство, така че ще маркираме нулите на знаменателя с празни точки, нулата на числителя - 5 ще бъде отбелязана с обикновена попълнена точка.

Записваме знаците на пропуските, използвайки правилата за промяна на знака при преминаване през нула. Да започнем с най-десния интервал, за който изчисляваме стойността на израза от лявата страна на неравенството в точка, произволно взета от интервала. Получаваме знака "+". Нека преминем последователно през всички точки на координатната линия, поставяйки знаци и получаваме:

Работим с нестрого неравенство със знак ≤ . Това означава, че трябва да маркираме празнините, маркирани със знака „-“ със засенчване.

Отговор: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Решаването на рационалните неравенства в повечето случаи изисква тяхното предварително преобразуване към правилния вид. Едва тогава става възможно използването на интервалния метод. Алгоритмите за извършване на такива трансформации са разгледани в материала "Решение на рационални неравенства".

Помислете за пример за преобразуване на квадратни тричлени в неравенства.

Пример 2

Намерете решение на неравенството (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 .

Решение

Нека видим дали дискриминантите на квадратни тричлени в записа за неравенство са наистина отрицателни. Това ще ни позволи да определим дали формата на това неравенство ни позволява да приложим интервалния метод към решението.

Изчислете дискриминанта за тричлена x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Сега нека изчислим дискриминанта за тричлена x 2 + 2 x - 8: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Както можете да видите, неравенството изисква предварителна трансформация. За да направим това, представяме тричлена x 2 + 2 x − 8 като (x + 4) (x − 2)и след това приложете метода на интервалите, за да решите неравенството (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .

Отговор: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Методът на обобщената празнина се използва за решаване на неравенства от вида f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , където f (x) е произволен израз с една променлива х.

Всички действия се извършват по определен алгоритъм. В този случай алгоритъмът за решаване на неравенства по метода на обобщения интервал ще се различава малко от това, което анализирахме по-рано:

намиране на областта на функцията f и нулите на тази функция;
маркирайте гранични точки по координатната ос;
начертайте нулите на функцията върху числовата права;
определят знаците на интервалите;
прилагаме излюпване;
запишете отговора.

На числовата линия също е необходимо да се маркират отделни точки от областта на дефиницията. Например домейнът на функция е множеството (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Това означава, че трябва да маркираме точки с координати − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 И 10 . точки − 5 и 7 са показани като празни, останалите могат да бъдат маркирани с цветен молив, за да се разграничат от нулите на функцията.

Нулите на функцията в случай на нестроги неравенства се отбелязват с обикновени (защриховани) точки, а за строги неравенства - с празни точки. Ако нулите съвпадат с граничните точки или отделните точки от областта на дефиницията, тогава те могат да бъдат преоцветени в черно, правейки ги празни или запълнени, в зависимост от вида на неравенството.

Записът за отговор е набор номеракоето включва:

щриховани празнини;
отделете точки от областта със знак плюс, ако имаме работа с неравенство, чийто знак е > или ≥ или със знак минус, ако има знаци в неравенството< или ≤ .

Сега стана ясно, че алгоритъмът, който представихме в самото начало на темата е частен случай на алгоритъма за прилагане на обобщения интервален метод.

Помислете за пример за прилагане на метода на обобщения интервал.

Пример 3

Решете неравенството x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Решение

Въвеваме функция f, такава, че f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Намерете домейна на функцията е:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Сега нека намерим нулите на функцията. За да направим това, ще решим ирационалното уравнение:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Получаваме корена x = 12.

За да обозначим гранични точки на координатната ос, използваме оранжев цвят. Точки - 6, 4 ще бъдат попълнени, а 7 ще останат празни. Получаваме:

Отбелязваме нулата на функцията с празна черна точка, тъй като работим със строго неравенство.

Определяме знаците на отделни интервали. За да направите това, вземете една точка от всеки интервал, например, 16 , 8 , 6 И − 8 , и изчислете стойността на функцията в тях е:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Поставяме знаците, които току-що дефинирахме, и прилагаме щриховане върху пролуките със знак минус:

Отговорът ще бъде обединението на два интервала със знака "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

В отговор сме включили точка с координата - 6 . Това не е нулата на функцията, която не бихме включили в отговора при решаване на строго неравенство, а граничната точка на областта на дефиниция, която е включена в областта на дефиницията. Стойността на функцията в тази точка е отрицателна, което означава, че тя удовлетворява неравенството.

Не включихме точка 4 в отговора, както не включихме и целия интервал [4, 7) . В този момент, както на целия определен интервал, стойността на функцията е положителна, което не отговаря на решаваното неравенство.

Нека го запишем отново за по-ясно разбиране: цветните точки трябва да бъдат включени в отговора в следните случаи:

тези точки са част от защрихова празнина,
тези точки са отделни точки от областта на функцията, като стойностите на функцията удовлетворяват неравенството, което се решава.

Отговор: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Метод на разстояниее прост начин за решаване на дробни рационални неравенства. Това е името на неравенствата, съдържащи рационални (или дробно-рационални) изрази, които зависят от променлива.

1. Да разгледаме, например, следното неравенство

Методът на интервалите ви позволява да го решите за няколко минути.

От лявата страна на това неравенство е дробна рационална функция. Рационално, защото не съдържа нито корени, нито синуси, нито логаритми - само рационални изрази. Вдясно е нула.

Интервалният метод се основава на следното свойство на дробна рационална функция.

Дробна рационална функция може да промени знака само в онези точки, където е равна на нула или не съществува.

Припомнете си как да разлагате на множители квадратен трином, тоест израз на формата .

Къде и са корените квадратно уравнение.

Начертаваме ос и подреждаме точките, в които числителят и знаменателят изчезват.

Нулите на знаменателя и са пробити точки, тъй като в тези точки функцията от лявата страна на неравенството не е дефинирана (не можете да разделите на нула). Нулите на числителя и - са защриховани, тъй като неравенството не е строго. Защото и нашето неравенство е изпълнено, тъй като и двете му части са равни на нула.

Тези точки разбиват оста на интервали.

Нека определим знака на дробно-рационалната функция от лявата страна на нашето неравенство на всеки от тези интервали. Не забравяйте, че дробна рационална функция може да промени знака само в онези точки, където е равна на нула или не съществува. Това означава, че на всеки от интервалите между точките, където числителят или знаменателят изчезват, знакът на израза от лявата страна на неравенството ще бъде постоянен - или "плюс", или "минус".

И следователно, за да определим знака на функцията на всеки такъв интервал, вземаме всяка точка, принадлежаща на този интервал. Този, който ни подхожда.
. Вземете например и проверете знака на израза от лявата страна на неравенството. Всяка от "скобите" е отрицателна. Лявата страна има знак.

Следващ интервал: . Нека проверим знака за . Получаваме, че лявата страна е променила знака на .

Да вземем. Когато изразът е положителен - следователно, той е положителен на целия интервал от до .

За , лявата страна на неравенството е отрицателна.

И накрая class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Открихме на какви интервали изразът е положителен. Остава да напишем отговора:

Отговор: .

Моля, обърнете внимание: знаците на интервалите се редуват. Това се случи, защото при преминаване през всяка точка точно един от линейните фактори променя знака, а останалите го запазват непроменени.

Виждаме, че интервалният метод е много прост. За да решим дробно-рационално неравенство по метода на интервалите, го привеждаме във вида:

Или class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, или или .

(от лявата страна - дробно-рационална функция, от дясната страна - нула).

След това - отбелязваме на числовата права точките, в които числителят или знаменателят изчезват.
Тези точки разделят цялата числова права на интервали, на всеки от които дробно-рационалната функция запазва знака си.
Остава само да разберем неговия знак на всеки интервал.
Правим това, като проверяваме знака на израза във всяка точка от дадения интервал. След това записваме отговора. Това е всичко.

Но възниква въпросът: винаги ли се редуват знаците? Не, не винаги! Трябва да внимаваме да не поставяме знаци механично и необмислено.

2. Нека разгледаме друго неравенство.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \вляво(x-3\вдясно))>0"> !}

Отново поставяме точки по оста. Точките и са пробити, защото са нулите на знаменателя. Точката също се пробива, тъй като неравенството е строго.

Когато числителят е положителен, и двата фактора в знаменателя са отрицателни. Това е лесно да се провери, като се вземе произволно число от даден интервал, например . От лявата страна има знак:

Когато числителят е положителен; първият фактор в знаменателя е положителен, вторият фактор е отрицателен. От лявата страна има знак:

Когато ситуацията е същата! Числителят е положителен, първият фактор в знаменателя е положителен, вторият е отрицателен. От лявата страна има знак:

И накрая, с class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Отговор: .

Защо редуването на знаци беше нарушено? Защото при преминаване през точката множителят "отговаря" за това не смени знака. Следователно цялата лява част на нашето неравенство също не промени знака.

Изход: ако линейният фактор е в четна степен (например в квадрат), тогава при преминаване през точка знакът на израза от лявата страна не се променя. В случай на нечетна степен знакът, разбира се, се променя.

3. Помислете за повече труден случай. Тя се различава от предишната по това, че неравенството не е строго:

Лявата страна е същата като в предишния проблем. Картината на знаците ще бъде същата:

Може би отговорът ще бъде същият? Не! Решението се добавя Това е така, защото при , и лявата и дясната страна на неравенството са равни на нула - следователно тази точка е решение.

Отговор: .

В задачата на изпита по математика често се среща тази ситуация. Тук кандидатите попадат в капан и губят точки. Бъди внимателен!

4. Ами ако числителят или знаменателят не могат да бъдат разложени на линейни фактори? Помислете за това неравенство:

Квадратният трином не може да бъде разложен на множители: дискриминантът е отрицателен, няма корени. Но това е добре! Това означава, че знакът на израза е еднакъв за всички и по-конкретно е положителен. Можете да прочетете повече за това в статията за свойствата. квадратична функция.

И сега можем да разделим двете страни на нашето неравенство на стойност, която е положителна за всички. Стигаме до еквивалентно неравенство:

Което лесно се решава чрез интервалния метод.

Обърнете внимание – разделихме двете страни на неравенството на стойността, за която със сигурност знаехме, че е положителна. Разбира се, в общия случай не трябва да умножавате или разделяте неравенството по променлива, чийто знак е неизвестен.

5 . Помислете за друго неравенство, на пръв поглед съвсем просто:

Така че искам да го умножа по . Но ние вече сме умни и няма да направим това. В крайна сметка тя може да бъде както положителна, така и отрицателна. И знаем, че ако и двете части на неравенството се умножат по отрицателна стойност, знакът на неравенството се променя.

Ще действаме по различен начин – ще съберем всичко в една част и ще го доведем до общ знаменател. Нулата ще остане от дясната страна:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

И след това - приложимо интервален метод.

1. Да разгледаме, например, следното неравенство

Методът на интервалите ви позволява да го решите за няколко минути.

Интервалният метод се основава на следното свойство на дробна рационална функция.

Дробна рационална функция може да промени знака само в онези точки, където е равна на нула или не съществува.

Припомнете си как квадратен трином се разлага на множители, тоест израз на формата .

Къде и са корените на квадратното уравнение.

Начертаваме ос и подреждаме точките, в които числителят и знаменателят изчезват.

Тези точки разбиват оста на интервали.

Следващ интервал: . Нека проверим знака за . Получаваме, че лявата страна е променила знака на .

Да вземем. Когато изразът е положителен - следователно, той е положителен на целия интервал от до .

За , лявата страна на неравенството е отрицателна.

Открихме на какви интервали изразът е положителен. Остава да напишем отговора:

Отговор: .

Или class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, или или .

(от лявата страна - дробно-рационална функция, от дясната страна - нула).

2. Нека разгледаме друго неравенство.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \вляво(x-3\вдясно))>0"> !}

И накрая, с class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Отговор: .

3. Нека разгледаме по-сложен случай. Тя се различава от предишната по това, че неравенството не е строго:

Лявата страна е същата като в предишния проблем. Картината на знаците ще бъде същата:

Отговор: .

Което лесно се решава чрез интервалния метод.

Обърнете внимание – разделихме двете страни на неравенството на стойността, за която със сигурност знаехме, че е положителна. Разбира се, в общия случай не трябва да умножавате или разделяте неравенство с променлива, чийто знак е неизвестен.

5 . Помислете за друго неравенство, на пръв поглед съвсем просто:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

И след това - приложимо интервален метод.

Как да решаваме неравенства с помощта на интервалния метод (алгоритъм с примери)

Пример . (задача от OGE)Решете неравенството чрез интервалния метод \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Решение:

Отговор : \((7;7+\sqrt(11))\)

Пример . Решете неравенството чрез интервалния метод \(≥0\)
Решение:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Тук на пръв поглед всичко изглежда нормално и неравенството първоначално е сведено до желаната форма. Но това не е така - в края на краищата в първата и третата скоби на числителя x е със знак минус. Преобразуваме скобите, като вземем предвид факта, че четвъртата степен е четна (тоест ще премахне знака минус), а третата е нечетна (тоест няма да я премахне). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Като този. Сега връщаме скобите „на място“, които вече са преобразувани.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Сега всички скоби изглеждат както трябва (първо идва неподписаният костюм и едва след това числото). Но имаше минус преди числителя. Премахваме го, като умножаваме неравенството по \(-1\), като не забравяме да обърнем знака за сравнение
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Готов. Сега неравенството изглежда правилно. Можете да използвате интервалния метод.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Нека поставим точки по оста, знаци и нарисуваме необходимите празнини.
		В интервала от \(4\) до \(6\) знакът не трябва да се променя, тъй като скобата \((x-6)\) е в четна степен (вижте параграф 4 от алгоритъма) . Знамето ще напомня, че шестицата също е решение на неравенството. Нека запишем отговора.

Отговор : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\ляво\(6\вдясно\)\)

Пример.(Задание от OGE)Решете неравенството с помощта на интервалния метод \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Решение:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Лявото и дясното са еднакви - това явно не е случайно. Първото желание е да се дели на \(-x^2-64\), но това е грешка, т.к има шанс да загубите корена. Вместо това преместете \(64(-x^2-64)\) към лява страна
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Извадете минуса в първата скоба и разложете втората
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Обърнете внимание, че \(x^2\) е или нула, или по-голямо от нула. Това означава, че \(x^2+64\) е уникално положително за всяка стойност на x, тоест този израз не влияе по никакъв начин на знака на лявата страна. Следователно можем безопасно да разделим и двете части на неравенството с този израз. Нека също да разделим неравенството на \(-1\), за да се отървем от минуса.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Сега можете да приложите интервалния метод
\(x=8;\) \(x=-8\)		Нека запишем отговора