Как да напишем квадратно уравнение, знаейки корените. Квадратни уравнения - примери с решения, характеристики и формули

Продължаваме да изучаваме темата решение на уравнения". Вече се запознахме с линейните уравнения и сега ще се запознаем с квадратни уравнения.

Първо, ще обсъдим какво е квадратно уравнение, как се записва в общ вид и ще дадем свързани дефиниции. След това, използвайки примери, ще анализираме подробно как се решават непълни квадратни уравнения. След това преминаваме към решаване на пълни уравнения, получаваме формулата за корените, запознаваме се с дискриминанта на квадратно уравнение и разглеждаме решения на типични примери. Накрая проследяваме връзките между корените и коефициентите.

Навигация в страницата.

Какво е квадратно уравнение? Техните видове

Първо трябва ясно да разберете какво е квадратно уравнение. Следователно е логично да започнем да говорим за квадратни уравнения с дефиницията на квадратно уравнение, както и определения, свързани с него. След това можете да разгледате основните видове квадратни уравнения: редуцирани и нередуцирани, както и пълни и непълни уравнения.

Дефиниция и примери за квадратни уравнения

Определение.

Квадратно уравнениее уравнение на формата a x 2 +b x+c=0, където x е променлива, a , b и c са някои числа, а a е различно от нула.

Да кажем веднага, че квадратните уравнения често се наричат уравнения от втора степен. Това е така, защото квадратното уравнение е алгебрично уравнениевтора специалност.

Озвучената дефиниция ни позволява да дадем примери за квадратни уравнения. Така че 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 и т.н. са квадратни уравнения.

Определение.

Числа a , b и c се наричат коефициенти на квадратното уравнение a x 2 +b x + c=0, а коефициентът a се нарича първи, или старши, или коефициент при x 2, b е вторият коефициент или коефициент при x, а c е свободен член.

Например, нека вземем квадратно уравнение от вида 5 x 2 −2 x−3=0, тук водещият коефициент е 5, вторият коефициент е −2, а свободният член е −3. Имайте предвид, че когато коефициентите b и/или c са отрицателни, както в току-що дадения пример, се използва кратката форма на квадратното уравнение от вида 5 x 2 −2 x−3=0, а не 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Струва си да се отбележи, че когато коефициентите a и / или b са равни на 1 или −1, тогава те обикновено не присъстват изрично в записа на квадратното уравнение, което се дължи на особеностите на записа на такива . Например, в квадратното уравнение y 2 −y+3=0, водещият коефициент е единица, а коефициентът при y е −1.

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

В зависимост от стойността на водещия коефициент се разграничават редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения. Нека дадем съответните определения.

Определение.

Извиква се квадратно уравнение, в което водещият коефициент е 1 намалено квадратно уравнение. В противен случай квадратното уравнение е ненамалени.

Според това определение квадратните уравнения x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 и т.н. - намалени, във всеки един от тях първият коефициент е равен на единица. И 5 x 2 −x−1=0 и т.н. - нередуцирани квадратни уравнения, техните водещи коефициенти са различни от 1 .

От всяко нередуцирано квадратно уравнение, като разделите двете му части на водещия коефициент, можете да преминете към редуцираното. Това действие е еквивалентна трансформация, тоест полученото по този начин редуцирано квадратно уравнение има същите корени като оригиналното нередуцирано квадратно уравнение или подобно на него няма корени.

Да вземем пример как се извършва преходът от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример.

От уравнението 3 x 2 +12 x−7=0 преминете към съответното намалено квадратно уравнение.

Решение.

Достатъчно е да извършим разделянето на двете части на оригиналното уравнение с водещ коефициент 3, той е различен от нула, така че можем да извършим това действие. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , което е същото като (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 и т.н. (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , откъдето . Така получихме редуцираното квадратно уравнение, което е еквивалентно на първоначалното.

Отговор:

Пълни и непълни квадратни уравнения

Има условие a≠0 в дефиницията на квадратно уравнение. Това условие е необходимо, за да може уравнението a x 2 +b x+c=0 да бъде точно квадратно, тъй като с a=0 то всъщност става линейно уравнение от вида b x+c=0 .

Що се отнася до коефициентите b и c, те могат да бъдат равни на нула, както поотделно, така и заедно. В тези случаи квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение.

Квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0 се нарича непълен, ако поне един от коефициентите b , c е равен на нула.

На свой ред

Определение.

Пълно квадратно уравнениее уравнение, в което всички коефициенти са различни от нула.

Тези имена не са дадени случайно. Това ще стане ясно от следващата дискусия.

Ако коефициентът b е равен на нула, тогава квадратното уравнение приема формата a x 2 +0 x+c=0 и е еквивалентно на уравнението a x 2 +c=0 . Ако c=0 , тоест квадратното уравнение има формата a x 2 +b x+0=0 , тогава то може да бъде пренаписано като a x 2 +b x=0 . И с b=0 и c=0 получаваме квадратното уравнение a·x 2 =0. Получените уравнения се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви страни не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете. Оттук и името им – непълни квадратни уравнения.

Така че уравненията x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0,2=0 са примери за пълни квадратни уравнения, а x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

От информацията от предходния параграф следва, че има три вида непълни квадратни уравнения:

a x 2 =0 , отговарят му коефициентите b=0 и c=0;
a x 2 +c=0, когато b=0;
и a x 2 +b x=0, когато c=0 .

Нека анализираме по ред как се решават непълните квадратни уравнения на всеки от тези видове.

a x 2 = 0

Нека започнем с решаването на непълни квадратни уравнения, в които коефициентите b и c са равни на нула, тоест с уравнения от вида a x 2 =0. Уравнението a·x 2 =0 е еквивалентно на уравнението x 2 =0, което се получава от оригинала чрез разделяне на двете му части на ненулево число a. Очевидно коренът на уравнението x 2 \u003d 0 е нула, тъй като 0 2 = 0. Това уравнение няма други корени, което е обяснено, наистина, за всяко ненулево число p се изпълнява неравенството p 2 >0, което означава, че за p≠0 равенството p 2 =0 никога не се постига.

И така, непълното квадратно уравнение a x 2 \u003d 0 има един корен x = 0.

Като пример даваме решението на непълно квадратно уравнение −4·x 2 =0. То е еквивалентно на уравнението x 2 = 0, единственият му корен е x = 0, следователно оригиналното уравнение има един корен нула.

Кратко решение в този случай може да бъде издадено, както следва:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Сега разгледайте как се решават непълни квадратни уравнения, в които коефициентът b е равен на нула, а c≠0, тоест уравнения от вида a x 2 +c=0. Знаем, че прехвърлянето на член от едната страна на уравнението в другата с противоположен знак, както и разделянето на двете страни на уравнението с число, различно от нула, дават еквивалентно уравнение. Следователно могат да се извършат следните еквивалентни трансформации на непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0:

преместете c в дясната страна, което дава уравнението a x 2 =−c,
и разделяме двете му части на a , получаваме .

Полученото уравнение ни позволява да направим изводи за неговите корени. В зависимост от стойностите на a и c, стойността на израза може да бъде отрицателна (например, ако a=1 и c=2, тогава ) или положителна, (например, ако a=−2 и c=6 , тогава ), не е равно на нула , тъй като по условие c≠0 . Отделно ще анализираме случаите и .

Ако , тогава уравнението няма корени. Това твърдение следва от факта, че квадратът на всяко число е неотрицателно число. От това следва, че когато , Тогава за всяко число p равенството не може да бъде вярно.

Ако , тогава ситуацията с корените на уравнението е различна. В този случай, ако си припомним около, тогава коренът на уравнението веднага става очевиден, това е числото, тъй като. Лесно е да се отгатне, че числото е и коренът на уравнението , наистина, . Това уравнение няма други корени, които могат да бъдат показани например чрез противоречие. Хайде да го направим.

Нека означим току-що озвучените корени на уравнението като x 1 и −x 1 . Да предположим, че уравнението има друг корен x 2, различен от посочените корени x 1 и −x 1 . Известно е, че заместването в уравнението вместо x на неговите корени превръща уравнението в истинско числово равенство. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Свойствата на числовите равенства ни позволяват да извършваме почленно изваждане на истинските числови равенства, така че изваждането на съответните части от равенствата дава x 1 2 − x 2 2 =0. Свойствата на операциите с числа ни позволяват да пренапишем полученото равенство като (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Знаем, че произведението на две числа е равно на нула, ако и само ако поне едно от тях е равно на нула. Следователно от полученото равенство следва, че x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0 , което е същото, x 2 =x 1 и/или x 2 = −x 1 . И така, стигнахме до противоречие, тъй като в началото казахме, че коренът на уравнението x 2 е различен от x 1 и −x 1 . Това доказва, че уравнението няма други корени освен и .

Нека обобщим информацията в този параграф. Непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0 е еквивалентно на уравнението , което

няма корени, ако,
има два корена и ако .

Разгледайте примери за решаване на непълни квадратни уравнения от вида a·x 2 +c=0 .

Нека започнем с квадратното уравнение 9 x 2 +7=0 . След прехвърляне на свободния член в дясната страна на уравнението, той ще приеме формата 9·x 2 =−7. Разделяйки двете страни на полученото уравнение на 9 , стигаме до . Тъй като от дясната страна се получава отрицателно число, това уравнение няма корени, следователно, оригиналното непълно квадратно уравнение 9 x 2 +7=0 няма корени.

Нека решим още едно непълно квадратно уравнение −x 2 +9=0. Прехвърляме деветката в дясната страна: -x 2 = -9. Сега разделяме двете части на −1, получаваме x 2 =9. Дясната страна съдържа положително число, от което заключаваме, че или . След като запишем крайния отговор: непълното квадратно уравнение −x 2 +9=0 има два корена x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Остава да се справим с решението на последния тип непълни квадратни уравнения за c=0 . Непълни квадратни уравнения от вида a x 2 +b x=0 ви позволяват да решите метод на факторизация. Очевидно можем, разположени от лявата страна на уравнението, за което е достатъчно да извадим общия множител x от скобите. Това ни позволява да преминем от първоначалното непълно квадратно уравнение към еквивалентно уравнение от вида x·(a·x+b)=0 . И това уравнение е еквивалентно на набора от две уравнения x=0 и a x+b=0 , последното от които е линейно и има корен x=−b/a .

И така, непълното квадратно уравнение a x 2 +b x=0 има два корена x=0 и x=−b/a.

За да консолидираме материала, ще анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Изваждаме x от скоби, това дава уравнението. То е еквивалентно на две уравнения x=0 и . Решаваме полученото линейно уравнение: , и след разделяне на смесеното число на обикновена дроб, намираме . Следователно корените на оригиналното уравнение са x=0 и .

След като получите необходимата практика, решенията на такива уравнения могат да бъдат написани накратко:

Отговор:

x=0 , .

Дискриминант, формула на корените на квадратно уравнение

За решаване на квадратни уравнения има коренна формула. Да запишем формулата на корените на квадратното уравнение: , където D=b 2 −4 a c- т.нар дискриминант на квадратно уравнение. Нотацията по същество означава, че .

Полезно е да се знае как е получена коренната формула и как тя се прилага при намирането на корените на квадратните уравнения. Нека се справим с това.

Извеждане на формулата на корените на квадратно уравнение

Нека трябва да решим квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 . Нека извършим някои еквивалентни трансформации:

Можем да разделим и двете части на това уравнение на ненулево число a, в резултат на което получаваме редуцираното квадратно уравнение.
Сега изберете пълен квадратот лявата му страна: . След това уравнението ще приеме формата.
На този етап е възможно да се извърши прехвърлянето на последните два члена в дясната страна с противоположен знак, имаме .
И нека трансформираме израза от дясната страна: .

В резултат на това стигаме до уравнението , което е еквивалентно на оригиналното квадратно уравнение a·x 2 +b·x+c=0 .

Вече сме решавали уравнения, подобни по форма в предишните параграфи, когато анализирахме. Това ни позволява да направим следните заключения относно корените на уравнението:

ако , тогава уравнението няма реални решения;
ако , тогава уравнението има формата , Следователно, , от който се вижда единственият му корен;
ако , тогава или , което е същото като или , тоест уравнението има два корена.

По този начин наличието или отсъствието на корените на уравнението, а оттам и на оригиналното квадратно уравнение, зависи от знака на израза от дясната страна. От своя страна знакът на този израз се определя от знака на числителя, тъй като знаменателят 4 a 2 винаги е положителен, тоест знакът на израза b 2 −4 a c . Този израз b 2 −4 a c се нарича дискриминант на квадратно уравнениеи отбелязани с буквата д. От тук нататък е ясна същността на дискриминанта – по неговата стойност и знак се заключава дали квадратното уравнение има реални корени и ако да, какъв е техният брой – един или два.

Връщаме се към уравнението , пренаписваме го, използвайки нотацията на дискриминанта: . И заключаваме:

ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ако D=0, тогава това уравнение има единичен корен;
накрая, ако D>0, тогава уравнението има два корена или , които могат да бъдат пренаписани във формата или , и след разширяване и намаляване на дробите до общ знаменател, получаваме .

Така че изведохме формулите за корените на квадратното уравнение, те изглеждат като , където дискриминантът D се изчислява по формулата D=b 2 −4 a c .

С тяхна помощ, с положителен дискриминант, можете да изчислите и двата реални корена на квадратно уравнение. Когато дискриминантът е равен на нула, и двете формули дават една и съща коренна стойност, съответстваща на единственото решение на квадратното уравнение. А при отрицателен дискриминант, когато се опитваме да използваме формулата за корените на квадратно уравнение, се сблъскваме с извличането на квадратния корен от отрицателно число, което ни отвежда извън обхвата на училищната програма. С отрицателен дискриминант, квадратното уравнение няма реални корени, но има двойка комплексен конюгаткорени, които могат да бъдат намерени с помощта на същите коренни формули, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

На практика, когато решавате квадратно уравнение, можете веднага да използвате коренната формула, с която да изчислите техните стойности. Но това е повече за намиране на сложни корени.

В училищния курс по алгебра обаче обикновено говорим не за комплексни, а за реални корени на квадратно уравнение. В този случай е препоръчително първо да намерите дискриминанта, преди да използвате формулите за корените на квадратното уравнение, да се уверите, че е неотрицателен (в противен случай можем да заключим, че уравнението няма реални корени) и след това изчислете стойностите на корените.

Горните разсъждения ни позволяват да пишем алгоритъм за решаване на квадратно уравнение. За да решите квадратното уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0, трябва:

използвайки дискриминантната формула D=b 2 −4 a c изчисляване на нейната стойност;
заключават, че квадратното уравнение няма реални корени, ако дискриминантът е отрицателен;
изчислете единствения корен на уравнението, като използвате формулата, ако D=0;
намерете два реални корена на квадратно уравнение, като използвате коренната формула, ако дискриминантът е положителен.

Тук само отбелязваме, че ако дискриминантът е равен на нула, формулата също може да се използва, тя ще даде същата стойност като .

Можете да преминете към примери за прилагане на алгоритъма за решаване на квадратни уравнения.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Помислете за решения на три квадратни уравнения с положителен, отрицателен и нулев дискриминант. След като се занимаваме с тяхното решение, по аналогия ще бъде възможно да се реши всяко друго квадратно уравнение. Да започваме.

Пример.

Намерете корените на уравнението x 2 +2 x−6=0 .

Решение.

В този случай имаме следните коефициенти на квадратното уравнение: a=1 , b=2 и c=−6 . Според алгоритъма първо трябва да изчислите дискриминанта, за това заместваме посочените a, b и c в дискриминантната формула, имаме D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Тъй като 28>0, тоест дискриминантът е по-голям от нула, квадратното уравнение има два реални корена. Нека ги намерим по формулата на корените , получаваме , тук можем да опростим изразите, получени, като направим отчитане на знака на коренапоследвано от намаляване на фракцията:

Отговор:

Нека да преминем към следващия типичен пример.

Пример.

Решете квадратното уравнение −4 x 2 +28 x−49=0 .

Решение.

Започваме с намирането на дискриминанта: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Следователно това квадратно уравнение има един корен, който намираме като , т.е.

Отговор:

х=3,5.

Остава да разгледаме решението на квадратни уравнения с отрицателен дискриминант.

Пример.

Решете уравнението 5 y 2 +6 y+2=0 .

Решение.

Ето коефициентите на квадратното уравнение: a=5 , b=6 и c=2 . Замествайки тези стойности в дискриминантната формула, имаме D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Дискриминантът е отрицателен, следователно, това квадратно уравнение няма реални корени.

Ако трябва да посочите сложни корени, тогава ние използваме добре познатата формула за корените на квадратното уравнение и изпълняваме операции с комплексни числа:

Отговор:

няма реални корени, сложните корени са: .

Още веднъж отбелязваме, че ако дискриминантът на квадратното уравнение е отрицателен, тогава училището обикновено веднага записва отговора, в който посочват, че няма реални корени и не намират сложни корени.

Формула за корен за четни втори коефициенти

Формулата за корените на квадратно уравнение, където D=b 2 −4 ac ви позволява да получите по-компактна формула, която ви позволява да решавате квадратни уравнения с четен коефициент при x (или просто с коефициент, който изглежда като 2 n , например, или 14 ln5=2 7 ln5). Да я извадим.

Да кажем, че трябва да решим квадратно уравнение от вида a x 2 +2 n x + c=0 . Нека намерим корените му, използвайки познатата ни формула. За да направим това, изчисляваме дискриминанта D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), а след това използваме коренната формула:

Означете израза n 2 − a c като D 1 (понякога се обозначава D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n приема формата , където D 1 =n 2 −a c .

Лесно е да се види, че D=4·D 1 или D 1 =D/4. С други думи, D 1 е четвъртата част на дискриминанта. Ясно е, че знакът на D 1 е същият като знакът на D . Тоест, знакът D 1 също е индикатор за наличието или отсъствието на корените на квадратното уравнение.

И така, за да решите квадратно уравнение с втория коефициент 2 n, имате нужда

Изчислете D 1 =n 2 −a·c ;
Ако D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ако D 1 =0, тогава изчислете единствения корен на уравнението, като използвате формулата;
Ако D 1 >0, тогава намерете два реални корена с помощта на формулата.

Помислете за решението на примера, като използвате формулата за корен, получена в този параграф.

Пример.

Решете квадратното уравнение 5 x 2 −6 x−32=0 .

Решение.

Вторият коефициент на това уравнение може да бъде представен като 2·(−3) . Това означава, че можете да пренапишете оригиналното квадратно уравнение във формата 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , тук a=5 , n=−3 и c=−32 , и да изчислите четвъртата част от дискриминанта: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Тъй като стойността му е положителна, уравнението има два реални корена. Намираме ги с помощта на съответната коренова формула:

Имайте предвид, че е възможно да се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай ще трябва да се направи повече изчислителна работа.

Отговор:

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога, преди да се заемете с изчисляването на корените на квадратно уравнение с помощта на формули, не пречи да зададете въпроса: „Възможно ли е да се опрости формата на това уравнение“? Съгласете се, че по отношение на изчисленията ще бъде по-лесно да се реши квадратното уравнение 11 x 2 −4 x −6=0, отколкото 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Обикновено опростяването на формата на квадратното уравнение се постига чрез умножаване или разделяне на двете му страни на някакво число. Например, в предишния параграф успяхме да постигнем опростяване на уравнението 1100 x 2 −400 x −600=0 чрез разделяне на двете страни на 100 .

Подобно преобразуване се извършва с квадратни уравнения, чиито коефициенти не са . В този случай и двете части на уравнението обикновено се разделят на абсолютните стойности на неговите коефициенти. Например, нека вземем квадратното уравнение 12 x 2 −42 x+48=0. абсолютни стойности на неговите коефициенти: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Разделяйки двете части на оригиналното квадратно уравнение на 6 , стигаме до еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 −7 x+8=0 .

И умножението на двете части на квадратното уравнение обикновено се прави, за да се отървем от дробни коефициенти. В този случай умножението се извършва върху знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако и двете части на квадратното уравнение се умножат по LCM(6, 3, 1)=6 , тогава то ще приеме по-проста форма x 2 +4 x−18=0 .

В заключение на този параграф отбелязваме, че почти винаги се отървете от минус при най-високия коефициент на квадратното уравнение, като промените знаците на всички членове, което съответства на умножаване (или разделяне) на двете части по −1. Например, обикновено от квадратното уравнение −2·x 2 −3·x+7=0 се преминава към решението 2·x 2 +3·x−7=0 .

Връзка между корени и коефициенти на квадратно уравнение

Формулата за корените на квадратно уравнение изразява корените на едно уравнение по отношение на неговите коефициенти. Въз основа на формулата на корените можете да получите други връзки между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими формули от теоремата на Виета за формата и . По-специално, за даденото квадратно уравнение, сумата от корените е равна на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е свободният член. Например, чрез формата на квадратното уравнение 3 x 2 −7 x+22=0, веднага можем да кажем, че сумата от корените му е 7/3, а произведението на корените е 22/3.

Използвайки вече написаните формули, можете да получите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Например, можете да изразите сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение по отношение на неговите коефициенти: .

Библиография.

алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А.Г.алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

В продължение на темата „Решаване на уравнения“ материалът в тази статия ще ви запознае с квадратните уравнения.

Нека разгледаме всичко по-подробно: същността и обозначението на квадратното уравнение, да зададем съпътстващите термини, да анализираме схемата за решаване на непълни и пълни уравнения, да се запознаем с формулата на корените и дискриминанта, да установим връзки между корени и коефициенти и на разбира се ще дадем нагледно решение на практически примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратно уравнение, неговите видове

Определение 1

Квадратно уравнениее уравнението, записано като a x 2 + b x + c = 0, където х– променлива, a , b и ° Сса някои числа, докато ане е нула.

Често квадратните уравнения се наричат и уравнения от втора степен, тъй като всъщност квадратното уравнение е алгебрично уравнение от втора степен.

Нека дадем пример, за да илюстрираме даденото определение: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 и т.н. са квадратни уравнения.

Определение 2

Числа a, b и ° Сса коефициентите на квадратното уравнение a x 2 + b x + c = 0, докато коефициентът асе нарича първи, или старши, или коефициент при x 2, b - вторият коефициент, или коефициент при х, но ° Снаречен свободен член.

Например в квадратното уравнение 6 x 2 - 2 x - 11 = 0най-високият коефициент е 6 , вторият коефициент е − 2 , а свободният член е равен на − 11 . Нека обърнем внимание на факта, че когато кое би/или c са отрицателни, тогава се използва съкратената форма 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, но не 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Нека изясним и този аспект: ако коефициентите аи/или бравни 1 или − 1 , то те може да не участват изрично в записването на квадратното уравнение, което се обяснява с особеностите на записване на посочените числови коефициенти. Например в квадратното уравнение y 2 − y + 7 = 0старшият коефициент е 1, а вторият коефициент е − 1 .

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

Според стойността на първия коефициент квадратните уравнения се делят на редуцирани и нередуцирани.

Определение 3

Редуцирано квадратно уравнениее квадратно уравнение, където водещият коефициент е 1. За други стойности на водещия коефициент квадратното уравнение е нередуцирано.

Ето няколко примера: квадратните уравнения x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 са редуцирани, във всяко от които водещият коефициент е 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- нередуцирано квадратно уравнение, където първият коефициент е различен от 1 .

Всяко нередуцирано квадратно уравнение може да бъде преобразувано в редуцирано уравнение, като се разделят двете му части на първия коефициент (еквивалентна трансформация). Преобразуваното уравнение ще има същите корени като даденото нередуцирано уравнение или също няма да има корени изобщо.

Разглеждането на конкретен пример ще ни позволи ясно да демонстрираме прехода от нередуцирано квадратно уравнение към намалено.

Пример 1

Като се има предвид уравнението 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Необходимо е първоначалното уравнение да се преобразува в редуциран вид.

Решение

Съгласно горната схема разделяме двете части на оригиналното уравнение на водещия коефициент 6 . Тогава получаваме: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, а това е същото като: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0и още: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 .Оттук: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Така се получава уравнение, еквивалентно на даденото.

Отговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Пълни и непълни квадратни уравнения

Нека се обърнем към дефиницията на квадратно уравнение. В него уточнихме това а ≠ 0. Подобно условие е необходимо за уравнението a x 2 + b x + c = 0беше точно квадратна, тъй като а = 0по същество се трансформира в линейно уравнение b x + c = 0.

В случая, когато коефициентите бИ ° Сса равни на нула (което е възможно, както поотделно, така и заедно), квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение 4

Непълно квадратно уравнениее квадратно уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0,където поне един от коефициентите бИ ° С(или и двете) е нула.

Пълно квадратно уравнениее квадратно уравнение, в което всички числови коефициенти не са равни на нула.

Нека да обсъдим защо видовете квадратни уравнения имат точно такива имена.

За b = 0, квадратното уравнение приема формата a x 2 + 0 x + c = 0, което е същото като a x 2 + c = 0. В c = 0квадратното уравнение се записва като a x 2 + b x + 0 = 0, което е еквивалентно a x 2 + b x = 0. В b = 0И c = 0уравнението ще придобие формата а х 2 = 0. Уравненията, които получихме, се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви страни не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете едновременно. Всъщност този факт даде името на този тип уравнения - непълни.

Например, x 2 + 3 x + 4 = 0 и − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 са пълни квадратни уравнения; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Определението, дадено по-горе, позволява да се разграничат следните видове непълни квадратни уравнения:

а х 2 = 0, коефициентите отговарят на такова уравнение b = 0и c = 0;
a x 2 + c \u003d 0 за b = 0;
a x 2 + b x = 0 за c = 0 .

Разгледайте последователно решението на всеки тип непълно квадратно уравнение.

Решение на уравнението a x 2 \u003d 0

Както вече беше споменато по-горе, такова уравнение съответства на коефициентите бИ ° С, равно на нула. Уравнението а х 2 = 0може да се преобразува в еквивалентно уравнение x2 = 0, което получаваме, като разделим двете страни на оригиналното уравнение на числото а, не е равно на нула. Очевидният факт е, че коренът на уравнението x2 = 0е нула, защото 0 2 = 0 . Това уравнение няма други корени, което се обяснява със свойствата на степента: за произволно число п ,не е равно на нула, неравенството е вярно p2 > 0, от което следва, че когато p ≠ 0равенство p2 = 0никога няма да бъде достигнат.

Определение 5

По този начин, за непълното квадратно уравнение a x 2 = 0, има уникален корен х=0.

Пример 2

Например, нека решим непълно квадратно уравнение − 3 x 2 = 0. То е еквивалентно на уравнението x2 = 0, единственият му корен е х=0, тогава оригиналното уравнение има един корен - нула.

Решението е обобщено, както следва:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Решение на уравнението a x 2 + c \u003d 0

Следващото по ред е решението на непълни квадратни уравнения, където b = 0, c ≠ 0, тоест уравнения от вида a x 2 + c = 0. Нека трансформираме това уравнение, като прехвърлим члена от едната страна на уравнението в другата, променим знака на противоположния и разделим двете страни на уравнението на число, което не е равно на нула:

издържат ° Сот дясната страна, което дава уравнението a x 2 = − c;
разделете двете страни на уравнението на а, получаваме като резултат x = - c a .

Нашите трансформации са еквивалентни, съответно полученото уравнение също е еквивалентно на първоначалното и този факт дава възможност да се направи извод за корените на уравнението. От какви са стойностите аИ ° Сзависи от стойността на израза - c a: може да има знак минус (например, ако а = 1И c = 2, след това - c a = - 2 1 = - 2) или знак плюс (например, ако а = -2И c=6, тогава - c a = - 6 - 2 = 3); не е равно на нула, защото c ≠ 0. Нека се спрем по-подробно на ситуациите, когато - c a< 0 и - c a > 0 .

В случай, когато - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стрравенството p 2 = - c a не може да бъде вярно.

Всичко е различно, когато - c a > 0: запомнете квадратния корен и ще стане очевидно, че коренът на уравнението x 2 \u003d - c a ще бъде числото - c a, тъй като - c a 2 \u003d - c a. Лесно е да се разбере, че числото - - c a - също е коренът на уравнението x 2 = - c a: наистина, - - c a 2 = - c a .

Уравнението няма да има други корени. Можем да демонстрираме това с помощта на обратния метод. Първо, нека зададем обозначението на корените, намерени по-горе, като х 1И − x 1. Да приемем, че уравнението x 2 = - c a също има корен x2, което е различно от корените х 1И − x 1. Знаем, че като заместим в уравнението вместо хнеговите корени, ние трансформираме уравнението в справедливо числово равенство.

За х 1И − x 1напишете: x 1 2 = - c a , и за x2- x 2 2 \u003d - c a. Въз основа на свойствата на числовите равенства изваждаме едно истинско равенство от друг член по член, което ще ни даде: x 1 2 − x 2 2 = 0. Използвайте свойствата на числовите операции, за да пренапишете последното равенство като (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Известно е, че произведението на две числа е нула тогава и само ако поне едно от числата е нула. От казаното следва, че x1 − x2 = 0и/или x1 + x2 = 0, което е същото x2 = x1и/или x 2 = − x 1. Възникна очевидно противоречие, тъй като отначало беше договорено, че коренът на уравнението x2се различава от х 1И − x 1. И така, доказахме, че уравнението няма други корени освен x = - c a и x = - - c a .

Обобщаваме всички аргументи по-горе.

Определение 6

Непълно квадратно уравнение a x 2 + c = 0е еквивалентно на уравнението x 2 = - c a , което:

няма да има корени в - c a< 0 ;
ще има два корена x = - c a и x = - - c a, когато - c a > 0 .

Нека дадем примери за решаване на уравнения a x 2 + c = 0.

Пример 3

Дадено е квадратно уравнение 9 x 2 + 7 = 0 .Необходимо е да се намери нейното решение.

Решение

Прехвърляме свободния член в дясната страна на уравнението, след което уравнението ще приеме формата 9 x 2 \u003d - 7.
Разделяме двете страни на полученото уравнение на 9 , стигаме до x 2 = - 7 9 . От дясната страна виждаме число със знак минус, което означава: даденото уравнение няма корени. Тогава първоначалното непълно квадратно уравнение 9 x 2 + 7 = 0няма да има корени.

Отговор:уравнението 9 x 2 + 7 = 0няма корени.

Пример 4

Необходимо е да се реши уравнението − x2 + 36 = 0.

Решение

Да преместим 36 в дясната страна: − x 2 = − 36.
Нека разделим двете части на − 1 , получаваме х2 = 36. От дясната страна е положително число, от което можем да заключим, че х = 36 или х = - 36 .
Извличаме корена и записваме крайния резултат: непълно квадратно уравнение − x2 + 36 = 0има два корена х=6или х = -6.

Отговор: х=6или х = -6.

Решение на уравнението a x 2 +b x=0

Нека анализираме третия вид непълни квадратни уравнения, когато c = 0. Да се намери решение на непълно квадратно уравнение a x 2 + b x = 0, използваме метода на факторизация. Нека разложим на множители полинома, който е от лявата страна на уравнението, като извадим общия множител от скоби х. Тази стъпка ще направи възможно трансформирането на оригиналното непълно квадратно уравнение в негов еквивалент x (a x + b) = 0. И това уравнение от своя страна е еквивалентно на набора от уравнения х=0И a x + b = 0. Уравнението a x + b = 0линеен и неговият корен: x = − b a.

Определение 7

По този начин непълното квадратно уравнение a x 2 + b x = 0ще има два корена х=0И x = − b a.

Нека консолидираме материала с пример.

Пример 5

Необходимо е да се намери решението на уравнението 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Решение

Да извадим хизвън скобите и получаваме уравнението x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Това уравнение е еквивалентно на уравненията х=0и 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Сега трябва да решите полученото линейно уравнение: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Накратко, ние записваме решението на уравнението, както следва:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или x = 3 3 7

Отговор: x = 0 , x = 3 3 7 .

Дискриминант, формула на корените на квадратно уравнение

За да намерите решение на квадратни уравнения, има коренна формула:

Определение 8

x = - b ± D 2 a, където D = b 2 − 4 a cе така нареченият дискриминант на квадратно уравнение.

Писането на x \u003d - b ± D 2 a по същество означава, че x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Ще бъде полезно да разберете как е получена посочената формула и как да я приложите.

Извеждане на формулата на корените на квадратно уравнение

Да предположим, че сме изправени пред задачата да решим квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0. Нека извършим редица еквивалентни трансформации:

разделете двете страни на уравнението на числото а, различен от нула, получаваме редуцираното квадратно уравнение: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
изберете пълния квадрат от лявата страна на полученото уравнение:
x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
След това уравнението ще приеме формата: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
сега е възможно да прехвърлим последните два члена в дясната страна, като сменим знака на противоположния, след което получаваме: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
накрая трансформираме израза, написан от дясната страна на последното равенство:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Така стигнахме до уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , което е еквивалентно на оригиналното уравнение a x 2 + b x + c = 0.

Обсъдихме решението на такива уравнения в предишните параграфи (решението на непълни квадратни уравнения). Вече натрупаният опит дава възможност да се направи заключение относно корените на уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

за b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
за b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, уравнението има вида x + b 2 · a 2 = 0, тогава x + b 2 · a = 0.

Оттук нататък единственият корен x = - b 2 · a е очевиден;

за b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, правилният е: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 или x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2 , което е същото като x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 или x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , т.е. уравнението има два корена.

Възможно е да се заключи, че наличието или отсъствието на корените на уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 ac 4 a 2 (и оттам на оригиналното уравнение) зависи от знака на израза b 2 - 4 ac 4 · 2 изписано от дясната страна. И знакът на този израз се дава от знака на числителя (знаменателят 4 а 2винаги ще бъде положителен), тоест знакът на израза b 2 − 4 a c. Този израз b 2 − 4 a cсе дава име - дискриминантът на квадратно уравнение и буквата D се определя като негово обозначение. Тук можете да запишете същността на дискриминанта - по неговата стойност и знак те заключават дали квадратното уравнение ще има реални корени и ако да, колко корена - един или два.

Нека се върнем към уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Нека го пренапишем, използвайки дискриминантната нотация: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Нека обобщим изводите:

Определение 9

в д< 0 уравнението няма реални корени;
в D=0уравнението има един корен x = - b 2 · a ;
в D > 0уравнението има два корена: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 или x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Въз основа на свойствата на радикалите, тези корени могат да бъдат записани като: x \u003d - b 2 a + D 2 a или - b 2 a - D 2 a. И когато отворим модулите и намалим дробите до общ знаменател, получаваме: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

И така, резултатът от нашите разсъждения беше извеждането на формулата за корените на квадратното уравнение:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , дискриминант дизчислено по формулата D = b 2 − 4 a c.

Тези формули дават възможност, когато дискриминантът е по-голям от нула, да се определят и двата реални корена. Когато дискриминантът е нула, прилагането на двете формули ще даде същия корен като единственото решение на квадратното уравнение. В случай, когато дискриминантът е отрицателен, опитвайки се да използваме формулата за квадратен корен, ще се изправим пред необходимостта да извлечем квадратния корен от отрицателно число, което ще ни отведе отвъд реалните числа. С отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма да има реални корени, но е възможна двойка комплексно спрегнати корени, определени от същите коренни формули, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

Възможно е да се реши квадратно уравнение чрез незабавно използване на коренната формула, но основно това се прави, когато е необходимо да се намерят комплексни корени.

В повечето случаи търсенето обикновено е предназначено не за комплексни, а за реални корени на квадратно уравнение. Тогава е оптимално, преди да използвате формулите за корените на квадратното уравнение, първо да определите дискриминанта и да се уверите, че той не е отрицателен (в противен случай ще заключим, че уравнението няма реални корени) и след това пристъпете към изчисляване на стойност на корените.

Разсъжденията по-горе правят възможно формулирането на алгоритъм за решаване на квадратно уравнение.

Определение 10

За решаване на квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0, необходимо:

според формулата D = b 2 − 4 a cнамерете стойността на дискриминанта;
при Д< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
за D = 0 намерете единствения корен на уравнението по формулата x = - b 2 · a ;
за D > 0, определете два реални корена на квадратното уравнение по формулата x = - b ± D 2 · a.

Имайте предвид, че когато дискриминантът е нула, можете да използвате формулата x = - b ± D 2 · a , тя ще даде същия резултат като формулата x = - b 2 · a .

Помислете за примери.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Представяме решението на примери за различни стойности на дискриминанта.

Пример 6

Необходимо е да се намерят корените на уравнението х 2 + 2 х - 6 = 0.

Решение

Пишем числовите коефициенти на квадратното уравнение: a = 1, b = 2 и c = − 6. След това действаме според алгоритъма, т.е. Нека започнем да изчисляваме дискриминанта, за който заместваме коефициентите a , b И ° Св дискриминантната формула: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

И така, имаме D > 0, което означава, че оригиналното уравнение ще има два реални корена.
За да ги намерим, използваме коренната формула x = - b ± D 2 · a и, замествайки съответните стойности, получаваме: x = - 2 ± 28 2 · 1. Ние опростяваме получения израз, като изваждаме фактора от знака на корена, последвано от намаляване на фракцията:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 или x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 или x = - 1 - 7

Отговор:х = - 1 + 7 , х = - 1 - 7 .

Пример 7

Необходимо е да се реши квадратно уравнение − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Решение

Нека дефинираме дискриминанта: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. При тази стойност на дискриминанта оригиналното уравнение ще има само един корен, определен по формулата x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Отговор: х = 3, 5.

Пример 8

Необходимо е да се реши уравнението 5 у 2 + 6 у + 2 = 0

Решение

Числовите коефициенти на това уравнение ще бъдат: a = 5 , b = 6 и c = 2 . Използваме тези стойности, за да намерим дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Изчисленият дискриминант е отрицателен, така че оригиналното квадратно уравнение няма реални корени.

В случай, когато задачата е да посочим сложни корени, ние прилагаме кореновата формула, като извършваме операции с комплексни числа:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 или x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i или x = - 3 5 - 1 5 i .

Отговор:няма истински корени; комплексните корени са: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

В училищната програма, като стандарт, няма изискване да се търсят сложни корени, следователно, ако дискриминантът е определен като отрицателен по време на решението, веднага се записва отговорът, че няма реални корени.

Формула за корен за четни втори коефициенти

Коренната формула x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 ac) дава възможност да се получи друга формула, по-компактна, позволяваща намиране на решения на квадратни уравнения с четен коефициент при x (или с коефициент от формата 2 a n, например 2 3 или 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Нека покажем как се получава тази формула.

Да предположим, че сме изправени пред задачата да намерим решение на квадратното уравнение a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Действаме според алгоритъма: определяме дискриминанта D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) и след това използваме коренната формула:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - а · ок.

Нека изразът n 2 − a c бъде обозначен като D 1 (понякога се обозначава D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n ще има формата:

x \u003d - n ± D 1 a, където D 1 \u003d n 2 - a c.

Лесно е да се види, че D = 4 · D 1 или D 1 = D 4 . С други думи, D 1 е една четвърт от дискриминанта. Очевидно знакът на D 1 е същият като знака на D, което означава, че знакът на D 1 може да служи и като индикатор за наличието или отсъствието на корените на квадратно уравнение.

Определение 11

По този начин, за да се намери решение на квадратно уравнение с втори коефициент от 2 n, е необходимо:

намираме D 1 = n 2 − a c ;
на D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
за D 1 = 0, определете единствения корен на уравнението по формулата x = - n a ;
за D 1 > 0, определете два реални корена по формулата x = - n ± D 1 a.

Пример 9

Необходимо е да се реши квадратното уравнение 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Решение

Вторият коефициент на даденото уравнение може да бъде представен като 2 · (− 3) . След това пренаписваме даденото квадратно уравнение като 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , където a = 5 , n = − 3 и c = − 32 .

Нека изчислим четвъртата част от дискриминанта: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Получената стойност е положителна, което означава, че уравнението има два реални корена. Ние ги дефинираме със съответната формула на корените:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 или x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 или x = - 2

Би било възможно да се извършват изчисления, като се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай решението би било по-тромаво.

Отговор: x = 3 1 5 или x = - 2 .

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога е възможно да се оптимизира формата на оригиналното уравнение, което ще опрости процеса на изчисляване на корените.

Например, квадратното уравнение 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 е очевидно по-удобно за решаване от 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

По-често опростяването на формата на квадратно уравнение се извършва чрез умножение или разделяне на двете му части на определено число. Например, по-горе показахме опростено представяне на уравнението 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, получено чрез разделяне на двете му части на 100.

Такава трансформация е възможна, когато коефициентите на квадратното уравнение не са относително прости числа. Тогава обикновено и двете части на уравнението се разделят на най-големия общ делител на абсолютните стойности на неговите коефициенти.

Като пример използваме квадратното уравнение 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Нека дефинираме gcd на абсолютните стойности на неговите коефициенти: gcd (12, 42, 48) = gcd(gcd (12, 42) , 48) = gcd (6, 48) = 6 . Нека разделим двете части на оригиналното квадратно уравнение на 6 и ще получим еквивалентното квадратно уравнение 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Чрез умножаване на двете страни на квадратното уравнение, дробните коефициенти обикновено се елиминират. В този случай умножете по най-малкото общо кратно на знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако всяка част от квадратното уравнение 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 се умножи с LCM (6, 3, 1) = 6, тогава тя ще бъде написана в по-проста форма x 2 + 4 x - 18 = 0 .

И накрая, отбелязваме, че почти винаги се отървете от минуса при първия коефициент на квадратното уравнение, като промените знаците на всеки член на уравнението, което се постига чрез умножаване (или разделяне) на двете части по −1. Например, от квадратното уравнение - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, можете да преминете към неговата опростена версия 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.

Връзка между корени и коефициенти

Вече известната формула за корените на квадратните уравнения x = - b ± D 2 · a изразява корените на уравнението чрез неговите числени коефициенти. Въз основа на тази формула имаме възможност да зададем други зависимости между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими са формулите на теоремата на Виета:

x 1 + x 2 \u003d - b a и x 2 \u003d c a.

По-специално, за даденото квадратно уравнение, сумата от корените е вторият коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например, чрез формата на квадратното уравнение 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0, е възможно веднага да се определи, че сумата от корените му е 7 3 , а произведението на корените е 22 3 .

Можете също да намерите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Например, сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение може да бъде изразена чрез коефициенти:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

В съвременното общество способността да се работи с уравнения, съдържащи квадратна променлива, може да бъде полезна в много области на дейност и се използва широко в практиката в научните и технически разработки. Това може да се докаже от проектирането на морски и речни кораби, самолети и ракети. С помощта на такива изчисления се определят траекториите на движение на различни тела, включително космически обекти. Примери с решение на квадратни уравнения се използват не само в икономическото прогнозиране, при проектирането и строителството на сгради, но и в най-обикновени ежедневни обстоятелства. Те може да са необходими при къмпинг пътувания, на спортни събития, в магазини при пазаруване и в други много често срещани ситуации.

Нека разделим израза на компонентни фактори

Степента на уравнение се определя от максималната стойност на степента на променливата, която съдържа дадения израз. Ако е равно на 2, тогава такова уравнение се нарича квадратно уравнение.

Ако говорим на езика на формулите, тогава тези изрази, независимо как изглеждат, винаги могат да бъдат приведени във вида, когато лявата страна на израза се състои от три термина. Сред тях: ax 2 (тоест променлива на квадрат със своя коефициент), bx (неизвестна без квадрат с нейния коефициент) и c (свободен компонент, тоест обикновено число). Всичко това от дясната страна е равно на 0. В случай, че такъв полином няма нито един от съставните му членове, с изключение на акси 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Първо трябва да се разгледат примери с решение на такива задачи, при които не е трудно да се намери стойността на променливите.

Ако изразът изглежда по такъв начин, че от дясната страна на израза има два члена, по-точно ax 2 и bx, най-лесно е да намерите x, като поставите променливата в скоби. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x(ax+b). Освен това става очевидно, че или x=0, или проблемът се свежда до намиране на променлива от следния израз: ax+b=0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото гласи, че произведението на два фактора води до 0 само ако единият от тях е нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравнения от този вид могат да опишат движението на телата под действието на гравитацията, които са започнали да се движат от определена точка, взета за начало. Тук математическата нотация приема следната форма: y = v 0 t + gt 2 /2. Чрез заместване на необходимите стойности, приравняване на дясната страна към 0 и намиране на възможни неизвестни, можете да разберете времето, изминало от момента на издигане на тялото до момента на падане, както и много други величини. Но за това ще говорим по-късно.

Факторизиране на израз

Правилото, описано по-горе, прави възможно решаването на тези проблеми в по-сложни случаи. Разгледайте примери с решението на квадратни уравнения от този тип.

X2 - 33x + 200 = 0

Този квадратен трином е пълен. Първо, трансформираме израза и го разлагаме на фактори. Има два от тях: (x-8) и (x-25) = 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примери с решение на квадратни уравнения в клас 9 позволяват на този метод да намери променлива в изрази не само от втори, но дори и от трети и четвърти порядък.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Когато разлагате дясната страна на фактори с променлива, има три от тях, тоест (x + 1), (x-3) и (x + 3).

В резултат на това става очевидно, че това уравнение има три корена: -3; -един; 3.

Извличане на квадратен корен

Друг случай на непълно уравнение от втори ред е израз, написан на езика на буквите по такъв начин, че дясната страна е изградена от компонентите ax 2 и c. Тук, за да се получи стойността на променливата, свободният член се прехвърля в дясната страна и след това квадратният корен се извлича от двете страни на равенството. Трябва да се отбележи, че в този случай обикновено има два корена на уравнението. Единствените изключения са равенствата, които изобщо не съдържат термина c, където променливата е равна на нула, както и варианти на изрази, когато дясната страна се окаже отрицателна. В последния случай изобщо няма решения, тъй като горните действия не могат да се извършват с корени. Трябва да се разгледат примери за решения на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат числата -4 и 4.

Изчисляване на площта на земята

Необходимостта от този вид изчисления се появи в древни времена, тъй като развитието на математиката в онези далечни времена до голяма степен се дължи на необходимостта да се определят площите и периметрите на парцелите с най-голяма точност.

Трябва да разгледаме и примери с решението на квадратни уравнения, съставени на базата на задачи от този вид.

И така, да кажем, че има правоъгълно парче земя, чиято дължина е с 16 метра повече от ширината. Трябва да намерите дължината, ширината и периметъра на обекта, ако е известно, че площта му е 612 m 2.

Като се заемем с работата, първо ще направим необходимото уравнение. Нека да обозначим ширината на секцията като x, тогава нейната дължина ще бъде (x + 16). От написаното следва, че площта се определя от израза x (x + 16), който според условието на нашата задача е 612. Това означава, че x (x + 16) \u003d 612.

Решаването на пълни квадратни уравнения, а този израз е точно това, не може да се направи по същия начин. Защо? Въпреки че лявата му страна все още съдържа два фактора, произведението от тях изобщо не е 0, така че тук се използват други методи.

Дискриминанта

Преди всичко ще направим необходимите трансформации, след което външният вид на този израз ще изглежда така: x 2 + 16x - 612 = 0. Това означава, че сме получили израз във формата, съответстваща на предварително посочения стандарт, където a=1, b=16, c= -612.

Това може да бъде пример за решаване на квадратни уравнения чрез дискриминанта. Тук се правят необходимите изчисления по схемата: D = b 2 - 4ac. Тази помощна стойност не само дава възможност да се намерят желаните стойности в уравнението от втори ред, но и определя броя на възможните опции. В случай D>0 има две от тях; за D=0 има един корен. В случай Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминантът е: 256 - 4(-612) = 2704. Това показва, че нашият проблем има отговор. Ако знаете, решението на квадратни уравнения трябва да продължи с формулата по-долу. Позволява ви да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 =18, x 2 =-34. Вторият вариант в тази дилема не може да бъде решение, тъй като размерът на парцела не може да бъде измерен в отрицателни стойности, което означава, че x (тоест ширината на парцела) е 18 м. От тук изчисляваме дължината: 18+16=34, а периметърът 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Примери и задачи

Продължаваме изучаването на квадратните уравнения. По-долу ще бъдат дадени примери и подробно решение на няколко от тях.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Нека прехвърлим всичко в лявата част на равенството, направим трансформация, тоест получаваме формата на уравнението, която обикновено се нарича стандартна, и го приравняваме на нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

След като добавихме подобни, определяме дискриминанта: D = 49 - 48 = 1. Така че нашето уравнение ще има два корена. Изчисляваме ги по горната формула, което означава, че първият от тях ще бъде равен на 4/3, а вторият 1.

2) Сега ще разкрием гатанки от различен вид.

Нека разберем дали тук изобщо има корени x 2 - 4x + 5 = 1? За да получим изчерпателен отговор, привеждаме полинома в съответната позната форма и изчисляваме дискриминанта. В този пример не е необходимо да се решава квадратното уравнение, тъй като същността на проблема изобщо не е в това. В този случай D \u003d 16 - 20 \u003d -4, което означава, че наистина няма корени.

Теоремата на Виета

Удобно е да се решават квадратни уравнения чрез горните формули и дискриминанта, когато от стойността на последния се извлича квадратен корен. Но това не винаги се случва. Въпреки това, има много начини да получите стойностите на променливите в този случай. Пример: решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета. Той е кръстен на човек, който е живял във Франция от 16-ти век и е имал брилянтна кариера благодарение на своя математически талант и връзки в двора. Неговият портрет може да се види в статията.

Моделът, който известният французин забеляза, беше следният. Той доказа, че сумата от корените на уравнението е равна на -p=b/a, а тяхното произведение съответства на q=c/a.

Сега нека разгледаме конкретни задачи.

3x2 + 21x - 54 = 0

За простота, нека трансформираме израза:

x 2 + 7x - 18 = 0

Използвайки теоремата на Виета, това ще ни даде следното: сумата от корените е -7, а произведението им е -18. От тук получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След като направихме проверка, ще се уверим, че тези стойности на променливите наистина се вписват в израза.

Графика и уравнение на парабола

Понятията за квадратна функция и квадратни уравнения са тясно свързани. Примери за това вече бяха дадени по-рано. Сега нека разгледаме някои математически пъзели малко по-подробно. Всяко уравнение от описания тип може да бъде представено визуално. Такава зависимост, начертана под формата на графика, се нарича парабола. Различните му видове са показани на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, тоест точка, от която излизат нейните клонове. Ако a>0, те отиват високо до безкрайност, а когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните представяния на функциите помагат за решаването на всякакви уравнения, включително и квадратни. Този метод се нарича графичен. И стойността на променливата x е координатата на абсцисата в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върха могат да бъдат намерени по формулата, която току-що е дадена x 0 = -b / 2a. И, замествайки получената стойност в оригиналното уравнение на функцията, можете да разберете y 0, тоест втората координата на върха на параболата, принадлежаща на оста y.

Пресечната точка на клоните на параболата с оста на абсцисата

Има много примери с решението на квадратни уравнения, но има и общи модели. Нека ги разгледаме. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a>0 е възможно само ако y 0 приема отрицателни стойности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

От графиката на парабола можете също да определите корените. Обратното също е вярно. Тоест, ако не е лесно да се получи визуално представяне на квадратична функция, можете да приравните дясната страна на израза към 0 и да решите полученото уравнение. И като се знаят точките на пресичане с оста 0x, е по-лесно да се начертае.

От историята

С помощта на уравнения, съдържащи квадратна променлива, в старите времена не само правеха математически изчисления и определяха площта на геометричните фигури. Древните са имали нужда от такива изчисления за грандиозни открития в областта на физиката и астрономията, както и за правене на астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, жителите на Вавилон са сред първите, които решават квадратни уравнения. Това се случи четири века преди настъпването на нашата ера. Разбира се, техните изчисления бяха коренно различни от приетите в момента и се оказаха много по-примитивни. Например месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Те също не бяха запознати с други тънкости от тези, известни на всеки ученик от нашето време.

Може би дори по-рано от учените от Вавилон, мъдрецът от Индия, Баудаяма, се зае с решението на квадратните уравнения. Това се случило около осем века преди настъпването на ерата на Христос. Вярно е, че уравненията от втори ред, методите за решаване на които той даде, бяха най-простите. Освен него, китайските математици също се интересуваха от подобни въпроси навремето. В Европа квадратните уравнения започват да се решават едва в началото на 13-ти век, но по-късно те са използвани в работата си от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.

Квадратно уравнение - лесно за решаване! *По-нататък в текста "КУ".Приятели, изглежда, че в математиката може да бъде по-лесно от решаването на такова уравнение. Но нещо ми подсказа, че много хора имат проблеми с него. Реших да видя колко импресии дава Yandex на заявка на месец. Ето какво се случи, вижте:

Какво означава? Това означава, че около 70 000 души на месец търсят тази информация, а това е лято, а какво ще се случи през учебната година – ще има двойно повече искания. Това не е изненадващо, защото онези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за изпита, търсят тази информация, а учениците също се опитват да освежат паметта си.

Въпреки факта, че има много сайтове, които разказват как да се реши това уравнение, реших също да допринеса и да публикувам материала. Първо, искам посетителите да идват на моя сайт по тази заявка; второ, в други статии, когато се появи речта „KU“, ще дам връзка към тази статия; трето, ще ви разкажа малко повече за неговото решение, отколкото обикновено се посочва в други сайтове. Да започваме!Съдържанието на статията:

Квадратното уравнение е уравнение от вида:

където коефициентите а,би с произволни числа, с a≠0.

В училищния курс материалът се дава в следната форма - разделянето на уравненията на три класа се извършва условно:

1. Имат два корена.

2. * Имат само един корен.

3. Нямат корени. Тук си струва да се отбележи, че те нямат истински корени

Как се изчисляват корените? Просто!

Изчисляваме дискриминанта. Под тази "ужасна" дума се крие много проста формула:

Основните формули са както следва:

*Тези формули трябва да се знаят наизуст.

Можете веднага да запишете и решите:

пример:

1. Ако D > 0, тогава уравнението има два корена.

2. Ако D = 0, тогава уравнението има един корен.

3. Ако D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Нека да разгледаме уравнението:

По този повод, когато дискриминантът е нула, училищният курс казва, че се получава един корен, тук той е равен на девет. Така е, така е, но...

Това представяне е донякъде неправилно. Всъщност корените са два. Да, да, не се учудвайте, оказват се два равни корена и за да бъдем математически точни, тогава в отговора трябва да бъдат написани два корена:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но това е така - малко отклонение. В училище можете да запишете и да кажете, че има само един корен.

Сега следният пример:

Както знаем, коренът на отрицателно число не се извлича, така че в този случай няма решение.

Това е целият процес на вземане на решение.

Квадратична функция.

Ето как изглежда решението геометрично. Това е изключително важно да се разбере (в бъдеще, в една от статиите, ще анализираме подробно решението на квадратно неравенство).

Това е функция на формата:

където x и y са променливи

a, b, c са дадени числа, където a ≠ 0

Графиката е парабола:

Тоест, оказва се, че чрез решаване на квадратно уравнение с "y" равно на нула, намираме пресечните точки на параболата с оста x. Може да има две от тези точки (дискриминантът е положителен), една (дискриминантът е нула) или нито една (дискриминантът е отрицателен). Повече за квадратичната функция Можете да видитестатия от Инна Фелдман.

Помислете за примери:

Пример 1: Решете 2x 2 +8 х–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Отговор: x 1 = 8 x 2 = -12

* Можете веднага да разделите лявата и дясната част на уравнението на 2, тоест да го опростите. Изчисленията ще бъдат по-лесни.

Пример 2: Решете x2–22 х+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получаваме, че x 1 = 11 и x 2 = 11

В отговора е допустимо да се напише x = 11.

Отговор: x = 11

Пример 3: Решете x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминантът е отрицателен, няма решение в реални числа.

Отговор: няма решение

Дискриминантът е отрицателен. Има решение!

Тук ще говорим за решаване на уравнението в случай, когато се получи отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за комплексните числа? Тук няма да се впускам в подробности защо и къде са възникнали и каква е тяхната специфична роля и необходимост в математиката, това е тема за голяма отделна статия.

Концепцията за комплексно число.

Малко теория.

Комплексното число z е число от формата

z = a + bi

където a и b са реални числа, i е така наречената въображаема единица.

a+bi е ЕДИНИЧНО ЧИСЛО, а не допълнение.

Въображаемата единица е равна на корен от минус едно:

Сега помислете за уравнението:

Вземете два спрегнати корена.

Непълно квадратно уравнение.

Помислете за специални случаи, когато коефициентът "b" или "c" е равен на нула (или и двата са равни на нула). Решават се лесно без никакви дискриминации.

Случай 1. Коефициент b = 0.

Уравнението приема формата:

Нека трансформираме:

пример:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Случай 2. Коефициент c = 0.

Уравнението приема формата:

Преобразувайте, разлагайте на множители:

*Произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коефициенти b = 0 и c = 0.

Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде x = 0.

Полезни свойства и модели на коефициенти.

Има свойства, които позволяват решаване на уравнения с големи коефициенти.

нох 2 + bx+ ° С=0 равенство

а + б+ c = 0,тогава

— ако за коефициентите на уравнението нох 2 + bx+ ° С=0 равенство

а+ с =б, тогава

Тези свойства помагат за решаването на определен вид уравнение.

Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0

Сборът на коефициентите е 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, така че

Пример 2: 2501 х 2 +2507 х+6=0

Равенство а+ с =б, означава

Закономерности на коефициентите.

1. Ако в уравнението ax 2 + bx + c \u003d 0 коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Пример. Разгледайте уравнението 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. Ако в уравнението ax 2 - bx + c \u003d 0, коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

брадва 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Да разгледаме уравнението 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ако в уравнението ax 2 + bx - c = 0 коефициент "b" равно (а 2 – 1), и коефициент „c“ числено равно на коефициента "а", тогава корените му са равни

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Ако в уравнението ax 2 - bx - c \u003d 0, коефициентът "b" е равен на (a 2 - 1), а коефициентът c е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

брадва 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Теоремата на Виета.

Теоремата на Виета е кръстена на известния френски математик Франсоа Виета. Използвайки теоремата на Vieta, може да се изрази сумата и произведението на корените на произволен KU по отношение на неговите коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Накратко, числото 14 дава само 5 и 9. Това са корените. С определено умение, използвайки представената теорема, можете да решите много квадратни уравнения веднага устно.

Освен това теоремата на Виета. удобно, защото след решаване на квадратното уравнение по обичайния начин (чрез дискриминанта), получените корени могат да бъдат проверени. Препоръчвам да правите това през цялото време.

НАЧИН НА ПРЕХВЪРЛЯНЕ

При този метод коефициентът "а" се умножава по свободния член, сякаш "прехвърлен" към него, поради което се нарича метод на прехвърляне.Този метод се използва, когато е лесно да се намерят корените на уравнение с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Ако но± b+c≠ 0, тогава се използва техниката на трансфер, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

Според теоремата на Vieta в уравнение (2) е лесно да се определи, че x 1 = 10 x 2 = 1

Получените корени на уравнението трябва да се разделят на 2 (тъй като двете са „хвърлени“ от x 2), получаваме

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Каква е обосновката? Вижте какво става.

Дискриминантите на уравнения (1) и (2) са:

Ако погледнете корените на уравненията, тогава се получават само различни знаменатели и резултатът зависи точно от коефициента при x 2:

Вторите (модифицирани) корени са 2 пъти по-големи.

Следователно разделяме резултата на 2.

*Ако хвърлим три от вида, тогава разделяме резултата на 3 и т.н.

Отговор: x 1 = 5 x 2 = 0,5

кв. ур-т.е. и изпита.

Ще кажа накратко за важността му - ТРЯБВА ДА МОЖЕТЕ ДА РЕШИТЕ бързо и без да се замисляте, трябва да знаете наизуст формулите на корените и дискриминанта. Много от задачите, които са част от задачите на USE, се свеждат до решаване на квадратно уравнение (включително геометрични).

Какво си заслужава да се отбележи!

1. Формата на уравнението може да бъде "неявна". Например, следният запис е възможен:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15x+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Трябва да го приведете в стандартна форма (за да не се объркате при решаването).

2. Не забравяйте, че x е неизвестна стойност и може да се обозначи с всяка друга буква - t, q, p, h и други.

Дискриминантът, както и квадратните уравнения, започват да се изучават в курса по алгебра в 8 клас. Можете да решите квадратно уравнение чрез дискриминанта и с помощта на теоремата на Виета. Методиката за изучаване на квадратни уравнения, както и дискриминантната формула, доста неуспешно се насажда на учениците, както много в реалното образование. Следователно учебните години минават, образованието в 9-11 клас замества "висше образование" и всеки отново търси - "Как да решим квадратно уравнение?", "Как да намеря корените на уравнение?", "Как да намерим дискриминанта?" И...

Дискриминантна формула

Дискриминантът D на квадратното уравнение a*x^2+bx+c=0 е D=b^2–4*a*c.
Корените (решенията) на квадратното уравнение зависят от знака на дискриминанта (D):
D>0 - уравнението има 2 различни реални корена;
D=0 - уравнението има 1 корен (2 съвпадащи корена):
д<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формулата за изчисляване на дискриминанта е доста проста, така че много сайтове предлагат онлайн калкулатор на дискриминанта. Все още не сме измислили този вид скриптове, така че който знае как да приложим това, моля, пишете на пощата Този имейл адрес е защитен от спам ботове. Трябва да имате активиран JavaScript, за да видите. .

Обща формула за намиране на корените на квадратно уравнение:

Корените на уравнението се намират по формулата
Ако коефициентът на променливата в квадрата е сдвоен, тогава е препоръчително да се изчисли не дискриминанта, а неговата четвърта част
В такива случаи корените на уравнението се намират по формулата

Вторият начин за намиране на корени е теоремата на Виета.

Теоремата е формулирана не само за квадратни уравнения, но и за полиноми. Можете да прочетете това в Wikipedia или други електронни ресурси. Въпреки това, за да опростим, разгледайте тази част от него, която се отнася до редуцираните квадратни уравнения, тоест уравнения от вида (a=1)
Същността на формулите на Vieta е, че сумата от корените на уравнението е равна на коефициента на променливата, взета с противоположен знак. Произведението на корените на уравнението е равно на свободния член. Формулите на теоремата на Виета имат нотация.
Извличането на формулата на Vieta е доста просто. Нека напишем квадратното уравнение по отношение на прости фактори
Както виждате, всичко гениално е просто в същото време. Ефективно е да се използва формулата на Vieta, когато разликата в модула на корените или разликата в модула на корените е 1, 2. Например, следните уравнения, съгласно теоремата на Vieta, имат корени

Анализът на до 4 уравнения трябва да изглежда така. Произведението на корените на уравнението е 6, така че корените могат да бъдат стойностите (1, 6) и (2, 3) или двойки с противоположен знак. Сборът от корените е 7 (коефициентът на променливата с обратен знак). От тук заключаваме, че решенията на квадратното уравнение са равни на x=2; х=3.
По-лесно е да изберете корените на уравнението между делителите на свободния член, коригирайки техния знак, за да изпълните формулите на Vieta. В началото това изглежда трудно да се направи, но с практика върху редица квадратни уравнения, тази техника ще бъде по-ефективна от изчисляването на дискриминанта и намирането на корените на квадратното уравнение по класическия начин.
Както можете да видите, училищната теория за изучаване на дискриминанта и начини за намиране на решения на уравнението е лишена от практически смисъл - „Защо учениците имат нужда от квадратно уравнение?“, „Какво е физическото значение на дискриминанта?“.

Нека се опитаме да го разберем какво описва дискриминантът?

В курса на алгебрата те изучават функции, схеми за изучаване на функции и изобразяване на функции. От всички функции важно място заема парабола, чието уравнение може да се запише във формата
Така че физическият смисъл на квадратното уравнение е нулите на параболата, тоест точките на пресичане на графиката на функцията с абсцисната ос Ox
Моля ви да запомните свойствата на параболите, които са описани по-долу. Ще дойде време за полагане на изпити, тестове или приемни изпити и ще бъдете благодарни за справочния материал. Знакът на променливата в квадрата съответства на това дали клоните на параболата на графиката ще се издигнат (a>0),

или парабола с разклонения надолу (а<0) .

Върхът на параболата се намира по средата между корените

Физическото значение на дискриминанта:

Ако дискриминантът е по-голям от нула (D>0), параболата има две пресечни точки с оста Ox.
Ако дискриминантът е равен на нула (D=0), тогава параболата в горната част докосва оста x.
И последният случай, когато дискриминантът е по-малък от нула (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).