Fazoviy figuralar hajmini hisoblash qobiliyati geometriyadan bir qator amaliy masalalarni yechishda muhim ahamiyatga ega. Eng keng tarqalgan shakllardan biri piramidadir. Ushbu maqolada biz to'liq va kesilgan piramidalarni ko'rib chiqamiz.

Piramida uch o'lchamli shakl sifatida

Hamma biladi Misr piramidalari, shuning uchun qaysi raqam muhokama qilinishi yaxshi ifodalangan. Shunga qaramay, Misr tosh inshootlari piramidalarning ulkan sinfining alohida holatidir.

Umumiy holatda ko'rib chiqilayotgan geometrik ob'ekt ko'pburchak asos bo'lib, uning har bir tepasi fazoning asos tekisligiga tegishli bo'lmagan biron bir nuqtasi bilan bog'langan. Bu ta'rif bitta n-burchak va n uchburchakdan tashkil topgan raqamga olib keladi.

Har qanday piramida n+1 yuz, 2*n chekka va n+1 uchdan iborat. Ko'rib chiqilayotgan rasm mukammal ko'pburchak bo'lganligi sababli, belgilangan elementlarning soni Eyler tenglamasiga bo'ysunadi:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poydevorda joylashgan ko'pburchak piramida nomini beradi, masalan, uchburchak, beshburchak va boshqalar. Piramidalar to'plami bilan turli asoslar quyidagi fotosuratda ko'rsatilgan.

Shaklning n ta uchburchaklari tutashgan nuqta piramidaning tepasi deyiladi. Agar undan asosga perpendikulyar tushirilsa va u uni geometrik markazda kesib o'tsa, unda bunday raqam to'g'ri chiziq deb ataladi. Agar bu shart bajarilmasa, u holda eğimli piramida mavjud.

Asosini teng tomonli (teng burchakli) n-burchakdan tashkil topgan to'g'ri figura muntazam deyiladi.

Piramida hajmi formulasi

Piramidaning hajmini hisoblash uchun biz integral hisobdan foydalanamiz. Buning uchun biz raqamni asosga parallel ravishda cheksiz miqdordagi nozik qatlamlarga ajratamiz. Quyidagi rasmda balandligi h va yon uzunligi L bo'lgan to'rtburchak piramida ko'rsatilgan, unda to'rtburchak belgilarni bildiradi. yupqa qatlam bo'limlar.

Har bir bunday qatlamning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanishi mumkin:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 / h 2.

Bu erda A 0 - bazaning maydoni, z - vertikal koordinataning qiymati. Ko'rinib turibdiki, agar z = 0 bo'lsa, formula A 0 qiymatini beradi.

Piramida hajmining formulasini olish uchun siz rasmning butun balandligi bo'yicha integralni hisoblashingiz kerak, ya'ni:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

A(z) bog‘liqlikni almashtirib, antiderivativni hisoblab, quyidagi ifodaga kelamiz:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Biz piramida hajmining formulasini oldik. V qiymatini topish uchun raqamning balandligini asosning maydoniga ko'paytirish va natijani uchga bo'lish kifoya.

E'tibor bering, natijada olingan ifoda ixtiyoriy turdagi piramida hajmini hisoblash uchun to'g'ri keladi. Ya'ni, u moyil bo'lishi mumkin va uning asosi ixtiyoriy n-gon bo'lishi mumkin.

va uning hajmi

Yuqoridagi paragrafda olingan umumiy formula bilan piramida holatda ko'rsatilishi mumkin hajmi uchun to'g'ri asos. Bunday asosning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Bu erda L - n ta burchakli muntazam ko'pburchakning yon uzunligi. Pi belgisi - pi soni.

A 0 ifodasini umumiy formulaga almashtirib, oddiy piramidaning hajmini olamiz:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Masalan, uchburchak piramida uchun bu formula quyidagi ifodaga olib keladi:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

To'g'ri uchun to'rtburchak piramida hajm formulasi quyidagi shaklni oladi:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Muntazam piramidalarning hajmlarini aniqlash uchun ularning poydevori tomonini va figuraning balandligini bilish kerak.

Piramida kesilgan

Faraz qilaylik, biz ixtiyoriy piramidani oldik va uning lateral yuzasining cho'qqisini o'z ichiga olgan qismini kesib oldik. Qolgan raqam kesilgan piramida deb ataladi. U allaqachon ikkita n-gonal asosdan va ularni bog'laydigan n trapetsiyadan iborat. Agar kesish tekisligi rasmning asosiga parallel bo'lsa, u holda parallel o'xshash asoslar bilan kesilgan piramida hosil bo'ladi. Ya'ni, ulardan birining tomonlarining uzunliklarini ikkinchisining uzunliklarini qandaydir k koeffitsientiga ko'paytirish orqali olish mumkin.

Yuqoridagi rasmda kesilgan muntazam ko'rsatilgan.Ko'rinib turibdiki, uning ustki asosi, xuddi pastki qismi kabi, muntazam oltiburchakdan tashkil topgan.

Yuqoridagiga o'xshash integral hisob yordamida olinishi mumkin bo'lgan formula:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Bu erda A 0 va A 1 mos ravishda pastki (katta) va yuqori (kichik) asoslarning maydonlari. h o'zgaruvchisi kesilgan piramidaning balandligini bildiradi.

Xeops piramidasining hajmi

Eng katta Misr piramidasini o'z ichiga olgan hajmni aniqlash muammosini hal qilish qiziq.

1984 yilda britaniyalik Misrshunoslar Mark Lehner va Jon Gudman asos solgan aniq o'lchamlar Xeops piramidasi. Uning dastlabki balandligi 146,50 metr (hozirda taxminan 137 metr) edi. O'rtacha uzunlik strukturaning to'rt tomonining har biri 230,363 metrni tashkil etdi. Piramidaning asosi yuqori aniqlikdagi kvadratdir.

Keling, ushbu tosh gigantning hajmini aniqlash uchun berilgan raqamlardan foydalanamiz. Piramida muntazam to'rtburchak bo'lganligi sababli, u uchun formula to'g'ri keladi:

Raqamlarni kiritib, biz quyidagilarni olamiz:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheops piramidasining hajmi deyarli 2,6 million m 3 ni tashkil qiladi. Taqqoslash uchun shuni ta'kidlaymizki, Olimpiya hovuzining hajmi 2,5 ming m 3 ni tashkil qiladi. Ya'ni, butun Cheops piramidasini to'ldirish uchun 1000 dan ortiq bunday hovuzlar kerak bo'ladi!

Piramida. Kesilgan piramida

Piramida ko'pburchak deyiladi, uning yuzlaridan biri ko'pburchak ( asos ) va boshqa barcha yuzlar umumiy cho'qqisi bo'lgan uchburchaklardir ( yon yuzlar ) (15-rasm). Piramida deyiladi to'g'ri , agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va piramidaning tepasi poydevor markaziga proyeksiyalangan bo'lsa (16-rasm). Barcha qirralari teng bo'lgan uchburchak piramida deyiladi tetraedr .

Yon qovurg'a piramida yon yuzning asosga tegishli bo'lmagan tomoni deb ataladi Balandligi piramida - uning tepasidan poydevor tekisligigacha bo'lgan masofa. Muntazam piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga teng, barcha yon yuzlari teng yon tomonli uchburchaklardir. Muntazam piramidaning tepadan chizilgan yon yuzining balandligi deyiladi apotema . diagonal qism Piramidaning kesimi bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita yon chetidan o'tadigan tekislik deyiladi.

Yon sirt maydoni piramida barcha yon yuzlar maydonlarining yig'indisi deb ataladi. hudud to'liq sirt barcha yon yuzlar va poydevorning maydonlarining yig'indisidir.

Teoremalar

1. Agar piramidada barcha lateral qirralar asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevorga yaqin bo'lgan chegaralangan doira markaziga proyeksiyalanadi.

2. Agar piramidada barcha lateral qirralarning uzunligi teng bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevorga yaqin bo'lgan chegaralangan doira markaziga proyeksiya qilinadi.

3. Agar piramidada barcha yuzlar asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning yuqori qismi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiyalanadi.

Ixtiyoriy piramidaning hajmini hisoblash uchun formula to'g'ri:

qayerda V- hajm;

S asosiy- tayanch maydoni;

H piramidaning balandligi.

Oddiy piramida uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi:

qayerda p- poydevorning perimetri;

h a- apotema;

H- balandligi;

S to'la

S tomoni

S asosiy- tayanch maydoni;

V muntazam piramidaning hajmi.

kesilgan piramida piramidaning asosi va kesish tekisligi orasiga o'ralgan qismi piramida asosiga parallel deb ataladi (17-rasm). To'g'ri kesilgan piramida muntazam piramidaning asosi va piramida asosiga parallel kesuvchi tekislik orasiga o'ralgan qismi deyiladi.

asoslar kesilgan piramida - o'xshash ko'pburchaklar. Yon yuzlar - trapezoid. Balandligi kesilgan piramida uning asoslari orasidagi masofa deb ataladi. Diagonal Kesilgan piramida - bu uning bir yuzida yotmaydigan uchlarini bog'laydigan segment. diagonal qism Kesilgan piramidaning kesimi bir yuzga tegishli bo'lmagan ikki yon chetidan o'tuvchi tekislik deyiladi.

Kesilgan piramida uchun formulalar amal qiladi:

(4)

qayerda S 1 , S 2 - yuqori va pastki tagliklarning joylari;

S to'la umumiy sirt maydoni;

S tomoni lateral sirt maydoni;

H- balandligi;

V- kesilgan piramidaning hajmi.

Oddiy kesilgan piramida uchun quyidagi formula to'g'ri bo'ladi:

qayerda p 1 , p 2 - asosiy perimetrlar;

h a- oddiy kesilgan piramidaning apothemi.

1-misol Muntazam uchburchakli piramidada poydevordagi dihedral burchak 60º ga teng. Yon qirraning asos tekisligiga moyillik burchagi tangensini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (18-rasm).

Piramida muntazamdir, ya'ni asosi teng qirrali uchburchak va barcha yon tomonlari teng teng yonli uchburchaklardir. Ikki burchakli burchak poydevorda - bu piramidaning yon tomonining poydevor tekisligiga moyillik burchagi. Chiziqli burchak burchak bo'ladi a ikki perpendikulyar o'rtasida: ya'ni. Piramidaning ustki qismi uchburchakning markazida (cheklangan doira markazi va uchburchakda chizilgan doira) proyeksiyalangan. ABC). Yon qovurg'aning egilish burchagi (masalan SB) qirraning o'zi va uning asos tekisligiga proyeksiyasi orasidagi burchak. Qovurg'a uchun SB bu burchak burchak bo'ladi SBD. Tangensni topish uchun siz oyoqlarni bilishingiz kerak SO Va OB. Segment uzunligi bo'lsin BD 3 hisoblanadi lekin. nuqta HAQIDA Bo'lim BD qismlarga bo'linadi: va Biz topamiz SO: Biz topamiz:

Javob:

2-misol Oddiy kesilgan to‘rtburchak piramidaning asoslarining diagonallari sm va sm, balandligi 4 sm bo‘lsa, hajmini toping.

Yechim. Kesilgan piramidaning hajmini topish uchun (4) formuladan foydalanamiz. Asoslarning maydonlarini topish uchun ularning diagonallarini bilgan holda, asosiy kvadratlarning tomonlarini topish kerak. Poydevorlarning yon tomonlari mos ravishda 2 sm va 8 sm.Bu asoslarning maydonlarini bildiradi va formulaga barcha ma'lumotlarni almashtirib, kesilgan piramida hajmini hisoblaymiz:

Javob: 112 sm3.

3-misol Poydevorlari yon tomonlari 10 sm va 4 sm, piramidaning balandligi esa 2 sm bo'lgan muntazam uchburchak kesikli piramidaning lateral yuzining maydonini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (19-rasm).

Ushbu piramidaning yon tomoni teng yonli trapesiyadir. Trapezoidning maydonini hisoblash uchun siz poydevor va balandlikni bilishingiz kerak. Bazalar shart bilan berilgan, faqat balandligi noma'lum bo'lib qoladi. Uni qayerdan toping LEKIN 1 E nuqtadan perpendikulyar LEKIN 1 pastki poydevor tekisligida, A 1 D-dan perpendikulyar LEKIN 1 da AC. LEKIN 1 E\u003d 2 sm, chunki bu piramidaning balandligi. Topish uchun DE biz qo'shimcha rasm chizamiz, unda biz yuqori ko'rinishni tasvirlaymiz (20-rasm). Nuqta HAQIDA- yuqori va pastki asoslar markazlarining proyeksiyasi. beri (20-rasmga qarang) va Boshqa tomondan OK chizilgan aylana radiusi va OM chizilgan aylana radiusi:

MK=DE.

dan Pifagor teoremasiga ko'ra

Yon yuz maydoni:

Javob:

4-misol Piramidaning negizida teng yonli trapetsiya yotadi, uning asoslari lekin Va b (a> b). Har bir yon yuz piramida poydevorining tekisligiga teng burchak hosil qiladi j. Piramidaning umumiy sirtini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (21-rasm). Piramidaning umumiy sirt maydoni SABCD trapetsiyaning maydonlari va maydoni yig'indisiga teng A B C D.

Agar piramidaning barcha yuzlari asos tekisligiga teng darajada moyil bo'lsa, u holda cho'qqi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiyalanadi, degan bayonotdan foydalanamiz. Nuqta HAQIDA- cho'qqi proyeksiyasi S piramidaning tagida. Uchburchak SOD uchburchakning ortogonal proyeksiyasidir CSD asosiy tekislikka. Yassi figuraning ortogonal proyeksiyasining maydoni haqidagi teoremaga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

Xuddi shunday, bu degani Shunday qilib, muammo trapezoidning maydonini topishga qisqartirildi A B C D. Trapezoidni chizish A B C D alohida (22-rasm). Nuqta HAQIDA trapetsiya ichiga chizilgan aylana markazidir.

Aylana trapezoidga yozilishi mumkinligi sababli, u holda yoki Pifagor teoremasi bo'yicha bizda mavjud

• 09.10.2014

  Rasmda ko'rsatilgan oldindan kuchaytirgich mikrofon, CD pleer, radio magnitafon va boshqalar kabi 4 turdagi tovush manbalari bilan foydalanish uchun mo'ljallangan. Shu bilan birga, oldindan kuchaytirgich sezgirlikni 50 mV dan 500 mV gacha o'zgartira oladigan bitta kirishga ega. . kuchaytirgichning chiqish kuchlanishi 1000 mV. Ulanmoqda turli manbalar SA1 kalitini almashtirishda signal, biz har doim ...

• 20.09.2014

  PSU 15 ... 20 vatt quvvatga ega yuk uchun mo'ljallangan. Manba bir davrli impulsli yuqori chastotali konvertorning sxemasiga muvofiq amalga oshiriladi. Transistorda 20 ... 40 kHz chastotada ishlaydigan osilator yig'iladi. Chastota C5 sig'imi bilan o'rnatiladi. VD5, VD6 va C6 elementlari osilatorni ishga tushirish uchun sxema hosil qiladi. Ikkilamchi kontaktlarning zanglashiga olib, ko'prik rektifikatoridan keyin mikrosxemada an'anaviy chiziqli stabilizator mavjud bo'lib, bu sizga ...

• 28.09.2014

  Rasmda K174XA11 chipidagi generator ko'rsatilgan, uning chastotasi kuchlanish bilan boshqariladi. C1 sig'imini 560 dan 4700pF gacha o'zgartirib, keng chastota diapazonini olish mumkin, chastota esa R4 qarshiligini o'zgartirish orqali o'rnatiladi. Masalan, muallif C1 \u003d 560pF da generator chastotasini R4 yordamida 600 Gts dan 200 kHz gacha o'zgartirish mumkinligini aniqladi, ...

• 03.10.2014

  Jihoz kuchli ULFni quvvatlantirish uchun mo'ljallangan, u ± 27V chiqish kuchlanishiga mo'ljallangan va shuning uchun har bir qo'lda 3A gacha yuklaydi. PSU bipolyar bo'lib, KT825-KT827 to'liq kompozit tranzistorlarida ishlab chiqariladi. Stabilizatorning ikkala qo'li ham bir xil sxema bo'yicha qilingan, ammo boshqa qo'lda (u ko'rsatilmagan) kondansatörlarning polaritesi o'zgartiriladi va ikkinchisining tranzistorlari ishlatiladi ...