Samolyotlar orasidagi burchakning kosinusini qanday topish mumkin. Ikki burchakli burchak

Ushbu maqola samolyotlar orasidagi burchak va uni qanday topish haqida. Birinchidan, ikkita tekislik orasidagi burchakning ta'rifi beriladi va grafik rasm beriladi. Shundan so'ng, koordinata usuli bilan kesishgan ikkita tekislik orasidagi burchakni topish printsipi tahlil qilindi, bu tekisliklarning normal vektorlarining ma'lum koordinatalaridan foydalangan holda kesishgan tekisliklar orasidagi burchakni hisoblash imkonini beradigan formula olindi. Xulosa qilib, tipik muammolarning batafsil echimlari ko'rsatilgan.

Sahifani navigatsiya qilish.

Samolyotlar orasidagi burchak - ta'rif.

Keling, ikkita kesishgan tekislik orasidagi burchakning ta'rifiga asta-sekin yaqinlashishga imkon beradigan dalillar keltiraylik.

Bizga ikkita kesishuvchi tekislik va . Bu tekisliklar to'g'ri chiziqda kesishadi, biz uni c harfi bilan belgilaymiz. c to‘g‘rining M nuqtasidan o‘tuvchi va c to‘g‘riga perpendikulyar tekislik yasaymiz. Bunday holda, samolyot tekisliklarni kesib o'tadi va . Tekisliklar kesishgan chiziqni a deb, tekisliklar kesishgan chiziqni esa b deb belgilang. Shubhasiz, a va b chiziqlar M nuqtada kesishadi.

Kesuvchi a va b chiziqlar orasidagi burchak M nuqtaning tekislik o'tadigan c chiziqdagi joylashishiga bog'liq emasligini ko'rsatish oson.

c chiziqqa perpendikulyar va tekislikdan farqli tekislik quramiz. Samolyot tekisliklar va to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesishadi, biz ularni mos ravishda 1 va b 1 bilan belgilaymiz.

Tekisliklarni qurish usulidan va shundan kelib chiqadiki, a va b to'g'rilar c to'g'riga perpendikulyar, a 1 va b 1 chiziqlar esa c to'g'riga perpendikulyar. a va 1 to'g'ri chiziq bir tekislikda yotib, c to'g'riga perpendikulyar bo'lgani uchun ular parallel. Xuddi shunday, b va b 1 chiziqlar bir tekislikda yotadi va c chiziqqa perpendikulyar, shuning uchun ular parallel. Shunday qilib, tekislikni tekislikka parallel ravishda o'tkazishni amalga oshirish mumkin, bunda a 1 to'g'ri chiziq a to'g'riga, b chiziq esa b 1 chiziqqa to'g'ri keladi. Demak, ikkita kesishuvchi a 1 va b 1 chiziqlar orasidagi burchak kesishuvchi a va b chiziqlar orasidagi burchakka teng.

Bu esa kesishuvchi tekisliklarda yotuvchi a va b chiziqlar orasidagi burchakning tekislik o`tadigan M nuqtani tanlashga bog`liq emasligini isbotlaydi. Shuning uchun bu burchakni ikkita kesishuvchi tekislik orasidagi burchak sifatida qabul qilish mantiqan to'g'ri keladi.

Endi siz ikkita kesishgan tekislik orasidagi burchak ta'rifini va ovoz bilan aytishingiz mumkin.

Ta'rif.

To'g'ri chiziqda kesishgan ikki tekislik orasidagi burchak va tekisliklari va c to'g'riga perpendikulyar tekislik bilan kesishgan ikkita kesishuvchi a va b chiziqlar orasidagi burchak.

Ikki tekislik orasidagi burchakning ta'rifi biroz boshqacha tarzda berilishi mumkin. Agar tekisliklar kesishgan c to‘g‘rida M nuqtani belgilab, u orqali c to‘g‘riga perpendikulyar bo‘lgan va tekisliklarda yotgan va mos ravishda a va b chiziqlarni o‘tkazing, u holda a va b chiziqlar orasidagi burchak tekisliklar orasidagi burchak va. Odatda, amalda bunday konstruktsiyalar tekisliklar orasidagi burchakni olish uchun amalga oshiriladi.

Kesishuvchi chiziqlar orasidagi burchak oshmaganligi sababli, ovozli ta'rifdan kelib chiqadiki, ikkita kesishgan tekislik orasidagi burchakning daraja o'lchovi intervaldan haqiqiy son bilan ifodalanadi. Bunday holda, kesishgan tekisliklar deyiladi perpendikulyar agar ular orasidagi burchak to'qson daraja bo'lsa. Parallel tekisliklar orasidagi burchak yoki umuman aniqlanmagan yoki u nolga teng deb hisoblanadi.

Ikki kesishuvchi tekislik orasidagi burchakni topish.

Odatda, ikkita kesishgan tekislik orasidagi burchakni topishda, kesishgan chiziqlarni ko'rish uchun birinchi navbatda qo'shimcha konstruktsiyalarni bajarishingiz kerak, ularning orasidagi burchak kerakli burchakka teng bo'ladi va keyin bu burchakni dastlabki ma'lumotlar bilan teng belgilar yordamida bog'lang, o'xshashlik belgilari, kosinus teoremasi yoki sinus, kosinus va burchak tangensining ta'riflari. O'rta maktabning geometriya kursida ham shunga o'xshash muammolar mavjud.

Misol uchun, keling, 2012 yil uchun matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonidan C2 muammosining echimini beraylik (shart ataylab o'zgartirilgan, ammo bu yechim printsipiga ta'sir qilmaydi). Unda faqat ikkita kesishgan tekislik orasidagi burchakni topish kerak edi.

Misol.

Qaror.

Birinchidan, rasm chizamiz.

Samolyotlar orasidagi burchakni "ko'rish" uchun qo'shimcha konstruktsiyalarni bajaramiz.

Birinchidan, ABC va BED 1 tekisliklari kesishadigan to'g'ri chiziqni aniqlaymiz. B nuqtasi ularning umumiy nuqtalaridan biridir. Bu tekisliklarning ikkinchi umumiy nuqtasini toping. DA va D 1 E chiziqlari bir xil ADD 1 tekisligida yotadi va ular parallel emas va shuning uchun kesishadi. Boshqa tomondan, DA chizig'i ABC tekisligida, D 1 E chizig'i esa BED 1 tekisligida yotadi, shuning uchun DA va D 1 E chiziqlarning kesishish nuqtasi ABC va tekisliklarning umumiy nuqtasi bo'ladi. KROVAT 1. Shunday qilib, biz DA va D 1 E chiziqlarni kesishguncha davom ettiramiz, ularning kesishish nuqtasini F harfi bilan belgilaymiz. U holda BF - ABC va BED 1 tekisliklari kesishgan to'g'ri chiziq.

ABC va BED 1 tekisliklarida yotadigan, mos ravishda BF chizig'ining bir nuqtasidan o'tadigan va BF chizig'iga perpendikulyar bo'lgan ikkita chiziqni qurish qoladi - bu chiziqlar orasidagi burchak, ta'rifiga ko'ra, ular orasidagi kerakli burchakka teng bo'ladi. samolyotlar ABC va BED 1. Qani buni bajaraylik.

Nuqta A - E nuqtaning ABC tekisligiga proyeksiyasi. BF to‘g‘ri chiziqni M nuqtada to‘g‘ri burchak ostida kesib o‘tuvchi chiziq chizing. U holda AM to'g'ri chiziq EM to'g'rining ABC tekislikka proyeksiyasi va uchta perpendikulyar teorema bo'yicha.

Shunday qilib, ABC va BED 1 tekisliklari orasidagi kerakli burchak .

AEM to'g'ri burchakli uchburchakdan bu burchakning sinusini, kosinusini yoki tangensini aniqlashimiz mumkin, agar biz uning ikki tomonining uzunligini bilsak. Shartdan AE uzunligini topish oson: chunki E nuqtasi AA 1 tomonini A nuqtadan boshlab 4 dan 3 gacha bo'ladi va AA 1 tomonining uzunligi 7 ga teng, keyin AE \u003d 4. AM uzunligini topamiz.

Buning uchun A to'g'ri burchakli ABF uchburchakni ko'rib chiqing, bu erda AM balandlikdir. AB=2 sharti bo'yicha. DD 1 F va AEF to'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashligidan AF tomonining uzunligini topishimiz mumkin:

Pifagor teoremasi bo'yicha ABF uchburchagidan ni topamiz. ABF uchburchak maydoni orqali AM uzunligini topamiz: bir tomonda ABF uchburchakning maydoni teng. , boshqa tomondan , qayerda .

Shunday qilib, AEM to'g'ri burchakli uchburchakdan biz bor .

Keyin ABC va BED 1 tekisliklari orasidagi kerakli burchak (esda tuting ).

Javob:

Ba'zi hollarda kesishuvchi ikkita tekislik orasidagi burchakni topish uchun Oxyzni ko'rsatish va koordinata usulini qo'llash qulay. Keling, bunga to'xtalib o'tamiz.

Keling, vazifani qo'yaylik: kesishgan ikkita tekislik orasidagi burchakni topish va . Kerakli burchakni deb belgilaymiz.

Faraz qilamizki, berilgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimida Oxyz biz kesishuvchi tekisliklarning normal vektorlarining koordinatalarini bilamiz va yoki ularni topish mumkin. Bo'lsin - tekislikning normal vektori, va tekislikning normal vektoridir. Keling, kesishgan tekisliklar orasidagi burchakni va bu tekisliklarning normal vektorlarining koordinatalari orqali qanday topishni ko'rsatamiz.

Samolyotlar kesishgan chiziqni c deb belgilaymiz. c to'g'rining M nuqtasi orqali c to'g'riga perpendikulyar tekislik o'tkazamiz. Tekislik tekisliklarni kesib o'tadi va a va b to'g'rilar bo'ylab mos ravishda a va b to'g'rilar M nuqtada kesishadi. Ta'rifga ko'ra, kesishgan tekisliklar orasidagi burchak va kesishuvchi a va b chiziqlar orasidagi burchakka teng.

Tekislikdagi M nuqtadan normal vektorlarni, va tekisliklarni chetga surib qo'yaylik. Bunda vektor a chiziqqa perpendikulyar bo'lgan to'g'rida, vektor esa b chiziqqa perpendikulyar bo'lgan to'g'rida yotadi. Shunday qilib, tekislikda vektor a chiziqning normal vektori, b chiziqning normal vektori.

"Kesishuvchi chiziqlar orasidagi burchakni topish" maqolasida biz normal vektorlarning koordinatalari yordamida kesishgan chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini hisoblash imkonini beruvchi formulani oldik. Shunday qilib, a va b chiziqlar orasidagi burchakning kosinusu, va, demak, va kesishgan tekisliklar orasidagi burchakning kosinusu va formula bo'yicha topiladi, bu erda va tekisliklarning normal vektorlari va mos ravishda. Keyin u quyidagicha hisoblanadi .

Oldingi misolni koordinata usuli yordamida yechamiz.

Misol.

To'rtburchaklar parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 berilgan, unda AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 va E nuqta A nuqtadan sanab, AA 1 tomonini 4 dan 3 gacha bo'lgan nisbatda ajratadi. . ABC va BED 1 tekisliklari orasidagi burchakni toping.

Qaror.

To'g'ri burchakli parallelepipedning bir cho'qqidagi tomonlari juft perpendikulyar bo'lganligi uchun Oxyz to'rtburchak koordinatalar tizimini quyidagicha kiritish qulay: boshi C cho'qqi bilan tekislanadi va Ox, Oy va Oz koordinata o'qlari tomonlar bo'ylab yo'naltiriladi. CD, CB va CC 1 mos ravishda.

ABC va BED 1 tekisliklari orasidagi burchakni formuladan foydalanib, ushbu tekisliklarning normal vektorlari koordinatalari orqali topish mumkin, bu erda va mos ravishda ABC va BED 1 tekisliklarining normal vektorlari. Oddiy vektorlarning koordinatalarini aniqlaymiz.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligi haqidagi ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash rag'batlarda qatnashsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

Agar zarurat tug'ilgan bo'lsa - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs merosxo'riga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Teorema

Samolyotlar orasidagi burchak kesish tekisligini tanlashga bog'liq emas.

Isbot.

c to'g'ri chiziq bo'ylab kesishgan ikkita a va b tekislik bo'lsin. c tekislikka perpendikulyar g tekislikni chizamiz. Keyin g tekislik a va b tekisliklarni mos ravishda a va b chiziqlar bo'ylab kesib o'tadi. a va b tekisliklar orasidagi burchak a va b chiziqlar orasidagi burchakka teng.
c ga perpendikulyar bo'lgan boshqa g` kesuvchi tekislikni oling. Shunda g` tekislik a` va b` to`g`rilar bo`ylab a va b tekisliklarni mos ravishda kesib o`tadi.
Parallel ko'chirishda g tekislikning c to'g'ri bilan kesishish nuqtasi g' tekislikning c chiziq bilan kesishgan nuqtasiga boradi. bunda parallel ko'chirish xossasi bo'yicha a chiziq a` qatorga, b - b` qatorga boradi. demak, a va b, a` va b` chiziqlar orasidagi burchaklar teng. Teorema isbotlangan.

Sahifani navigatsiya qilish.

Samolyotlar orasidagi burchak - ta'rif.

Materialni taqdim etishda biz fazodagi tekislik va fazodagi to'g'ri chiziq maqolalarida keltirilgan ta'rif va tushunchalardan foydalanamiz.

Keling, ikkita kesishgan tekislik orasidagi burchakning ta'rifiga asta-sekin yaqinlashishga imkon beradigan dalillar keltiraylik.

Bizga ikkita kesishuvchi tekislik va . Bu tekisliklar to'g'ri chiziqda kesishadi, biz uni harf bilan belgilaymiz c. Nuqtadan o'tuvchi tekislikni tuzing M To'g'riga c va chiziqqa perpendikulyar c. Bunday holda, samolyot tekisliklarni kesib o'tadi va . Biz tekisliklar kesishgan chiziqni va kabi belgilaymiz a, lekin tekisliklar kesishadigan to'g'ri chiziq va qanday b. Shubhasiz, to'g'ridan-to'g'ri. a va b bir nuqtada kesishadi M.

Kesishuvchi chiziqlar orasidagi burchak ekanligini ko'rsatish oson a va b nuqtaning joylashishiga bog'liq emas M to'g'ri chiziqda c u orqali samolyot o'tadi.

Chiziqga perpendikulyar tekislik yasang c va samolyotdan farq qiladi. Samolyot tekisliklar va biz belgilagan to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesishadi a 1 va b 1 mos ravishda.

Samolyotlarni qurish usulidan kelib chiqadiki, chiziqlar a va b chiziqqa perpendikulyar c, va to'g'ridan-to'g'ri a 1 va b 1 chiziqqa perpendikulyar c. To'g'ridan-to'g'ri a va a 1 c, keyin ular parallel bo'ladi. Xuddi shunday, to'g'ridan-to'g'ri b va b 1 bir xil tekislikda yotadi va chiziqqa perpendikulyar c shuning uchun ular parallel. Shunday qilib, tekislikni tekislikka parallel ravishda o'tkazishni amalga oshirish mumkin, unda to'g'ri chiziq a 1 chiziqqa to‘g‘ri keladi a, va to'g'ri chiziq b to'g'ri chiziq bilan b 1. Shuning uchun, ikkita kesishgan chiziq orasidagi burchak a 1 va b 1 kesishgan chiziqlar orasidagi burchakka teng a va b.

Bu kesishuvchi chiziqlar orasidagi burchak ekanligini isbotlaydi a va b kesishgan tekisliklarda yotadi va nuqtani tanlashga bog'liq emas M u orqali samolyot o'tadi. Shuning uchun bu burchakni ikkita kesishuvchi tekislik orasidagi burchak sifatida qabul qilish mantiqan to'g'ri keladi.

Endi siz ikkita kesishgan tekislik orasidagi burchak ta'rifini va ovoz bilan aytishingiz mumkin.

Ta'rif.

Ikki kesishuvchi chiziq orasidagi burchak c samolyotlar va ikki kesishuvchi chiziq orasidagi burchakdir a va b, uning bo'ylab tekisliklar va chiziqqa perpendikulyar tekislik bilan kesishadi c.

Ikki tekislik orasidagi burchakning ta'rifi biroz boshqacha tarzda berilishi mumkin. To'g'ri chiziqda bo'lsa bilan, tekisliklar va kesishgan bo'ylab nuqtani belgilang M va u orqali to'g'ri chiziqlar torting a va b, chiziqqa perpendikulyar c va tekisliklarda yotgan va navbati bilan, keyin chiziqlar orasidagi burchak a va b va tekisliklar orasidagi burchakdir. Odatda, amalda bunday konstruktsiyalar tekisliklar orasidagi burchakni olish uchun amalga oshiriladi.

Sahifaning yuqorisi

Ikki kesishuvchi tekislik orasidagi burchakni topish.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, unda AB=3, AD=2, AA 1 =7 va nuqta E tomonini ajratadi AA 1 nisbatan 4 uchun 3 , nuqtadan hisoblash LEKIN ABC va KROVAT 1.

Birinchidan, rasm chizamiz.

Samolyotlar orasidagi burchakni "ko'rish" uchun qo'shimcha konstruktsiyalarni bajaramiz.

Birinchidan, biz tekisliklar kesishadigan to'g'ri chiziqni aniqlaymiz ABC va 1-to'shak. Nuqta DA ularning umumiy jihatlaridan biridir. Bu tekisliklarning ikkinchi umumiy nuqtasini toping. To'g'ridan-to'g'ri DA va D 1 E bir xil tekislikda yotish 1 qo'shing, va ular parallel emas va shuning uchun kesishadi. Boshqa tomondan, to'g'ridan-to'g'ri DA samolyotda yotadi ABC, va to'g'ri chiziq D 1 E- samolyotda 1-to'shak, shuning uchun chiziqlarning kesishish nuqtasi DA va D 1 E samolyotlarning umumiy nuqtasi bo'ladi ABC va 1-to'shak. Shunday qilib, keling, to'g'ridan-to'g'ri davom etaylik DA va D 1 E kesishmasidan oldin ularning kesishish nuqtasini harf bilan belgilaymiz F. Keyin bf- tekisliklar kesishadigan chiziq ABC va 1-to'shak.

Tekisliklarda yotgan ikkita to'g'ri chiziqni qurish qoladi ABC va 1-to'shak mos ravishda chiziqning bir nuqtasidan o'tadi bf va chiziqqa perpendikulyar bf, - bu chiziqlar orasidagi burchak, ta'rifga ko'ra, tekisliklar orasidagi kerakli burchakka teng bo'ladi ABC va 1-to'shak. Qani buni bajaraylik.

Nuqta LEKIN nuqtaning proyeksiyasi hisoblanadi E samolyotga ABC. Chiziqni to'g'ri burchak ostida kesib o'tadigan chiziq chizing BF nuqtada M. Keyin chiziq AM to'g'ri chiziqning proyeksiyasi hisoblanadi YEMOQ samolyotga ABC, va uchta perpendikulyar teorema bilan.

Shunday qilib, tekisliklar orasidagi kerakli burchak ABC va 1-to'shak ga teng.

Bu burchakning sinusi, kosinusu yoki tangensi (demak, burchakning o'zi ham) to'g'ri burchakli uchburchakdan aniqlashimiz mumkin. AEM uning ikki tomonining uzunliklarini bilsak. Shartdan uzunlikni topish oson AE: nuqtadan beri E tomonini ajratadi AA 1 nisbatan 4 uchun 3 , nuqtadan hisoblash LEKIN, va yon uzunligi AA 1 ga teng 7 , keyin AE=4. Keling, boshqa uzunlikni topamiz AM.

Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing ABF to'g'ri burchak LEKIN, qayerda AM balandligi hisoblanadi. Shart bo'yicha AB=2. yon uzunligi AF to'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashligini topishimiz mumkin DD 1F va AEF:

Uchburchakdan Pifagor teoremasi bo'yicha ABF toping. Uzunlik AM uchburchakning maydoni orqali toping ABF: bir tomonda uchburchakning maydoni ABF ga teng, boshqa tomondan, qayerdan.

Shunday qilib, to'g'ri burchakli uchburchakdan AEM bizda ... bor .

Keyin tekisliklar orasidagi kerakli burchak ABC va 1-to'shak teng (esda tuting).

Ba'zi hollarda, kesishgan ikkita tekislik orasidagi burchakni topish uchun to'rtburchaklar koordinata tizimini o'rnatish qulay. Oxyz va koordinata usulidan foydalaning. Keling, bunga to'xtalib o'tamiz.

Keling, vazifani qo'yaylik: kesishgan ikkita tekislik orasidagi burchakni topish va . Kerakli burchakni deb belgilaymiz.

Biz berilgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimida deb faraz qilamiz Oxyz biz kesishuvchi tekisliklarning normal vektorlarining koordinatalarini bilamiz va yoki ularni topish imkoniyatiga egamiz. Tekislikning normal vektori bo'lsin va tekislikning normal vektori bo'lsin. Keling, kesishgan tekisliklar orasidagi burchakni va bu tekisliklarning normal vektorlarining koordinatalari orqali qanday topishni ko'rsatamiz.

Samolyotlar kesishgan chiziqni va kabi belgilaymiz c. Nuqta orqali M to'g'ri chiziqda c chiziqqa perpendikulyar tekislik chizamiz c. Samolyot tekisliklarni va to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesishadi a va b mos ravishda, to'g'ridan-to'g'ri a va b bir nuqtada kesishadi M. Ta'rifga ko'ra, kesishgan tekisliklar orasidagi burchak va kesishgan chiziqlar orasidagi burchakka teng a va b.

Nuqtadan chetga surib qo'ying M tekislikda normal vektorlar va tekisliklarning va. Vektor chiziqqa perpendikulyar bo'lgan chiziqda yotadi a, va vektor chiziqqa perpendikulyar bo'lgan chiziqda b. Shunday qilib, tekislikda vektor chiziqning normal vektoridir a, - normal chiziqli vektor b.

"Kesishuvchi chiziqlar orasidagi burchakni topish" maqolasida biz normal vektorlarning koordinatalari yordamida kesishgan chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini hisoblash imkonini beruvchi formulani oldik. Shunday qilib, chiziqlar orasidagi burchakning kosinusu a va b, va shuning uchun, kesishgan tekisliklar orasidagi burchakning kosinusu va formula bo'yicha topiladi, bu erda va mos ravishda tekisliklarning normal vektorlari va. Keyin kesishgan tekisliklar orasidagi burchak sifatida hisoblanadi.

Oldingi misolni koordinata usuli yordamida yechamiz.

To'rtburchaklar parallelepiped berilgan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, unda AB=3, AD=2, AA 1 =7 va nuqta E tomonini ajratadi AA 1 nisbatan 4 uchun 3 , nuqtadan hisoblash LEKIN. Tekisliklar orasidagi burchakni toping ABC va KROVAT 1.

To'g'ri burchakli parallelepipedning bir cho'qqidagi tomonlari juft perpendikulyar bo'lgani uchun to'rtburchaklar koordinatalar tizimini joriy qilish qulay. Oxyz shunga o'xshash: tepa bilan birlashtira boshlang Bilan, va koordinata o'qlari ho'kiz, Oy va Oz atrofga yuboring CD, CB va CC 1 mos ravishda.

Samolyotlar orasidagi burchak ABC va 1-to'shak formula bo'yicha bu tekisliklarning normal vektorlari koordinatalari orqali topish mumkin, bu erda va tekisliklarning normal vektorlari. ABC va 1-to'shak mos ravishda. Oddiy vektorlarning koordinatalarini aniqlaymiz.

Samolyotdan beri ABC koordinata tekisligiga to'g'ri keladi Oksi, u holda uning normal vektori koordinata vektori, ya'ni.

Oddiy tekislik vektori sifatida 1-to'shak vektorlarning kesishgan mahsulotini va o'z navbatida vektorlarning koordinatalarini olishimiz mumkin va uni nuqtalarning koordinatalari orqali topish mumkin. DA, E va D1(bu maqolada vektorning koordinatalari uning boshi va oxiri nuqtalarining koordinatalari orqali yozilgan) va nuqtalarning koordinatalari DA, E va D1 kiritilgan koordinatalar sistemasida masalaning shartidan kelib chiqib aniqlaymiz.

Shubhasiz, . dan boshlab, u holda biz nuqtalarning koordinatalari bo'yicha topamiz (agar kerak bo'lsa, berilgan nisbatda segmentning maqola bo'linmasiga qarang). U holda va Oxyz tenglamalar va .

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini o'rganganimizda, koeffitsientlar ekanligini aniqladik LEKIN, DA va Bilan tekislikning normal vektorining mos keladigan koordinatalaridir. Shunday qilib, va mos ravishda tekisliklarning normal vektorlari va.

Biz tekisliklarning normal vektorlarining koordinatalarini ikkita kesishgan tekislik orasidagi burchakni hisoblash formulasiga almashtiramiz:

Keyin. Ikki kesishuvchi tekislik orasidagi burchak to'g'ridan-to'g'ri emasligi sababli, asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, biz burchakning sinusini topamiz:.

Tekisliklar orasidagi burchakning o'lchovi bu tekisliklarda yotgan va ularning kesishish chizig'iga perpendikulyar bo'lgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan o'tkir burchakdir.

Qurilish algoritmi

Ixtiyoriy K nuqtadan berilgan tekisliklarning har biriga perpendikulyarlar o'tkaziladi.
Darajali chiziq atrofida aylanish K nuqtadagi tepalik bilan g ° burchakning qiymatini aniqlaydi.
g° > 90° bo'lishi sharti bilan s° = 180 - g° tekisliklar orasidagi burchakni hisoblang. Agar g°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Rasmda a va b tekisliklar izlar bilan berilgan holat ko'rsatilgan. Barcha kerakli konstruktsiyalar algoritmga muvofiq amalga oshiriladi va quyida tavsiflanadi.

Qaror

Chizmaning ixtiyoriy joyida K nuqtani belgilaymiz. Undan a va b tekisliklarga mos ravishda m va n perpendikulyarlarni tushiramiz. m va n proyeksiyalar yo'nalishi quyidagicha: m""⊥f 0a , m"⊥h 0a , n""⊥f 0b , n"⊥h 0b .
m va n chiziqlar orasidagi haqiqiy o'lcham ∠g° ni aniqlaymiz. Buning uchun burchak tekisligini K uchi bilan frontal f atrofida frontal proyeksiya tekisligiga parallel holatga aylantiring. K nuqtaning burilish radiusi R, oyog'i K""K 0 = y K – y O bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak O""K""K 0 gipotenuzasi qiymatiga teng.
Kerakli burchak ϕ° = ∠g°, chunki ∠g° keskin.

Quyidagi rasmda mos ravishda parallel va kesishuvchi chiziqlar bilan berilgan a va b tekisliklar orasidagi g° burchakni topish talab qilinadigan masala yechimi ko‘rsatilgan.

Qaror

a va b tekisliklarga tegishli h 1, h 2 gorizontallar va f 1, f 2 frontallarning proyeksiyalari yo‘nalishini strelkalar bilan ko‘rsatilgan tartibda aniqlaymiz. Kvadratdagi ixtiyoriy K nuqtadan. a va b perpendikulyarlarni e va k tushiramiz. Bunda e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 va k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
e va k chiziqlar orasidagi ∠g° ni aniqlaymiz. Buning uchun biz gorizontal h 3 chizamiz va uning atrofida K nuqtani K 1 holatiga aylantiramiz, bunda △CKD gorizontal tekislikka parallel bo'ladi va unda to'liq o'lchamda aks etadi - △C "K" 1 D. ". Aylanish markazining proyeksiyasi O" ga chizilgan h "3 perpendikulyar K "O" da. R radiusi O "K" K 0 to'g'ri burchakli uchburchakdan aniqlanadi, uning tomoni K "K 0 \u003d Z O" - Z K.
Kerakli qiymat ∠ϕ° = ∠g° bo'ladi, chunki g° burchak o'tkirdir.

Kosmosda geometrik masalalarni yechishda ko'pincha turli fazoviy ob'ektlar orasidagi burchaklarni hisoblash kerak bo'lganlar mavjud. Ushbu maqolada biz tekisliklar orasidagi va ular orasidagi burchaklarni va to'g'ri chiziqni topish masalasini ko'rib chiqamiz.

Kosmosda to'g'ri chiziq

Ma'lumki, tekislikdagi mutlaqo istalgan to'g'ri chiziq quyidagi tenglik bilan aniqlanishi mumkin:

Bu erda a va b ba'zi raqamlar. Agar fazoda to'g'ri chiziqni xuddi shu ifoda bilan ifodalasak, u holda z o'qiga parallel tekislik olamiz. Fazoviy chiziqning matematik ta'rifi uchun ikki o'lchovli holatdan ko'ra boshqa yechim usuli qo'llaniladi. Bu "yo'naltiruvchi vektor" tushunchasidan foydalanishdan iborat.

Tekisliklarning kesishish burchagini aniqlash masalalarini yechishga misollar

Samolyotlar orasidagi burchakni qanday topishni bilib, quyidagi masalani yechamiz. Ikki tekislik berilgan, ularning tenglamalari quyidagi shaklga ega:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Samolyotlar orasidagi burchak qancha?

Muammoning savoliga javob berish uchun, biz tekislikning umumiy tenglamasidagi o'zgaruvchilarda turgan koeffitsientlar yo'naltiruvchi vektorning koordinatalari ekanligini eslaymiz. Ushbu samolyotlar uchun biz ularning normallarining quyidagi koordinatalariga egamiz:

n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

Endi biz ushbu vektorlar va ularning modullarining skalyar mahsulotini topamiz, bizda:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Endi topilgan raqamlarni oldingi xatboshida keltirilgan formulaga almashtirishingiz mumkin. Biz olamiz:

a = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Olingan qiymat muammoning holatida ko'rsatilgan tekisliklarning kesishishning o'tkir burchagiga mos keladi.

Endi boshqa misolni ko'rib chiqamiz. Ikkita samolyot berilgan:

Ular kesishadimi? Keling, ularning yo'nalish vektorlari koordinatalarining qiymatlarini yozamiz, ularning skalyar mahsulotini va modullarini hisoblaymiz:

n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

Keyin kesishish burchagi:

a = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Bu burchak tekisliklarning kesishmasligini, lekin parallel ekanligini ko'rsatadi. Ularning bir-biriga mos kelmasligini tekshirish oson. Buning uchun ulardan birinchisiga tegishli ixtiyoriy nuqtani olaylik, masalan, P(0; 3; 2). Uning koordinatalarini ikkinchi tenglamaga qo'yib, biz quyidagilarni olamiz:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Ya'ni, P nuqta faqat birinchi tekislikka tegishli.

Shunday qilib, ikkita tekislik normal bo'lganda parallel bo'ladi.

Samolyot va chiziq

Agar tekislik va to'g'ri chiziq o'rtasidagi nisbiy pozitsiyani ko'rib chiqsak, ikkita tekislikka qaraganda bir nechta variant mavjud. Bu fakt to'g'ri chiziqning bir o'lchovli ob'ekt ekanligi bilan bog'liq. Chiziq va tekislik quyidagicha bo'lishi mumkin:

o'zaro parallel, bu holda tekislik chiziqni kesib o'tmaydi;
ikkinchisi tekislikka tegishli bo'lishi mumkin, shu bilan birga u unga parallel bo'ladi;
ikkala jism ham qaysidir burchak ostida kesishishi mumkin.

Avval oxirgi holatni ko'rib chiqing, chunki u kesishish burchagi tushunchasini kiritishni talab qiladi.

Chiziq va tekislik, ular orasidagi burchakning qiymati

Agar to'g'ri chiziq tekislikni kesib o'tsa, u holda unga nisbatan moyillik deyiladi. Kesishish nuqtasi qiyalik asosi deb ataladi. Ushbu geometrik jismlar orasidagi burchakni aniqlash uchun istalgan nuqtadan tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqni tushirish kerak. Keyin perpendikulyarning tekislik bilan kesishgan nuqtasi va u bilan qiya chiziqning kesishgan joyi to'g'ri chiziq hosil qiladi. Ikkinchisi, asl chiziqning ko'rib chiqilayotgan tekislikka proyeksiyasi deb ataladi. O'tkir va uning proyeksiyasi - kerakli.

Tekislik va qiya orasidagi burchakning biroz chalkash ta'rifi quyidagi rasmda aniq bo'ladi.

Bu yerda ABO burchak AB toʻgʻrisi bilan a tekislik orasidagi burchakdir.

Uning formulasini yozish uchun misolni ko'rib chiqing. To'g'ri chiziq va tekislik bo'lsin, ular tenglamalar bilan tavsiflanadi:

(x ; y ; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + l * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

Agar chiziq va tekislikning yo'nalish vektorlari o'rtasida skalyar mahsulot topilsa, ushbu ob'ektlar uchun kerakli burchakni hisoblash oson. Olingan o'tkir burchakni 90 o dan olib tashlash kerak, keyin u to'g'ri chiziq va tekislik o'rtasida olinadi.

Yuqoridagi rasmda ko'rib chiqilgan burchakni topish uchun tavsiflangan algoritm ko'rsatilgan. Bu erda b - normal va chiziq orasidagi burchak, a - chiziq va uning tekislikka proyeksiyasi o'rtasidagi. Ularning yig'indisi 90 o ga teng ekanligini ko'rish mumkin.

Yuqorida, tekisliklar orasidagi burchakni qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob beradigan formula taqdim etildi. Endi to'g'ri chiziq va tekislik holati uchun mos ifodani beramiz:

a = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Formuladagi modul faqat o'tkir burchaklarni hisoblash imkonini beradi. Arksinus funksiyasi trigonometrik funksiyalar (cos(b) = sin(90 o-b) = sin(a)) oʻrtasida mos keladigan qisqartirish formulasidan foydalanish tufayli arkkosin oʻrniga paydo boʻldi.

Muammo: tekislik chiziqni kesib o'tadi

Endi yuqoridagi formula bilan qanday ishlashni ko'rsatamiz. Keling, masalani hal qilaylik: y o'qi va tenglama bilan berilgan tekislik orasidagi burchakni hisoblash kerak:

Ushbu tekislik rasmda ko'rsatilgan.

Ko'rinib turibdiki, u y va z o'qlarini mos ravishda (0; -12; 0) va (0; 0; 12) nuqtalarda kesib o'tadi va x o'qiga paralleldir.

y to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori koordinatalarga ega (0; 1; 0). Berilgan tekislikka perpendikulyar vektor koordinatalari (0; 1; -1) bilan xarakterlanadi. To'g'ri chiziq va tekislikning kesishish burchagi uchun formulani qo'llaymiz, biz quyidagilarni olamiz:

a = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

Muammo: tekislikka parallel to'g'ri chiziq

Keling, avvalgisiga o'xshash masalani hal qilaylik, bu savol boshqacha qo'yilgan. Tekislik va to'g'ri chiziq tenglamalari ma'lum:

x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + l * (0; 2; 2)

Bu geometrik jismlar bir-biriga parallel yoki yo'qligini aniqlash kerak.

Bizda ikkita vektor bor: yo'naltiruvchi chiziq (0; 2; 2) va yo'naltiruvchi tekislik (1; 1; -1). Biz ularning skalyar mahsulotini topamiz:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Olingan nol bu vektorlar orasidagi burchak 90 o ekanligini ko'rsatadi, bu to'g'ri chiziq va tekislikning parallelligini isbotlaydi.

Endi bu chiziq faqat parallel yoki tekislikda yotadimi, tekshiramiz. Buning uchun chiziqning ixtiyoriy nuqtasini tanlang va uning tekislikka tegishli ekanligini tekshiring. Masalan, l = 0 ni olaylik, u holda P(1; 0; 0) nuqta chiziqqa tegishlidir. P tekislik tenglamasini almashtiramiz:

P nuqta tekislikka tegishli emas va shuning uchun butun chiziq unda yotmaydi.

Ko'rib chiqilayotgan geometrik jismlar orasidagi burchaklarni bilish qayerda muhim?

Yuqoridagi formulalar va masalani yechish misollari nafaqat nazariy qiziqish uyg'otadi. Ular ko'pincha prizma yoki piramida kabi haqiqiy uch o'lchamli figuralarning muhim jismoniy miqdorlarini aniqlash uchun ishlatiladi. Shakllar hajmlarini va ularning sirtlari maydonlarini hisoblashda tekisliklar orasidagi burchakni aniqlay olish muhimdir. Bundan tashqari, agar to'g'ri prizma holatida ko'rsatilgan miqdorlarni aniqlash uchun ushbu formulalardan foydalanmaslik mumkin bo'lsa, u holda har qanday turdagi piramida uchun ulardan foydalanish muqarrar.

Quyida aytilgan nazariyadan foydalanib, kvadrat asosli piramidaning burchaklarini aniqlash misolini ko'rib chiqamiz.

Piramida va uning burchaklari

Quyidagi rasmda piramida ko'rsatilgan, uning tagida tomoni a bo'lgan kvadrat joylashgan. Shaklning balandligi h. Siz ikkita burchakni topishingiz kerak:

yon sirt va taglik o'rtasida;
lateral qirrasi va taglik o'rtasida.

Muammoni hal qilish uchun siz birinchi navbatda koordinatalar tizimiga kirishingiz va mos keladigan cho'qqilarning parametrlarini aniqlashingiz kerak. Rasmda koordinatalarning kelib chiqishi kvadrat asosning markazidagi nuqtaga to'g'ri kelishi ko'rsatilgan. Bunday holda, asosiy tekislik tenglama bilan tavsiflanadi:

Ya'ni, har qanday x va y uchun uchinchi koordinataning qiymati har doim nolga teng. ABC lateral tekisligi z o‘qini B(0; 0; h) nuqtada, y o‘qini esa (0; a/2; 0) koordinatali nuqtada kesib o‘tadi. U x o'qini kesib o'tmaydi. Bu shuni anglatadiki, ABC tekisligining tenglamasi quyidagicha yozilishi mumkin:

y / (a / 2) + z / h = 1 yoki
2 * h * y + a * z - a * h = 0

AB¯ vektori yon chetdir. Uning boshlanish va tugash koordinatalari: A(a/2; a/2; 0) va B(0; 0; h). Keyin vektorning koordinatalari:

Biz barcha kerakli tenglamalar va vektorlarni topdik. Endi ko'rib chiqilgan formulalardan foydalanish qoladi.

Birinchidan, piramidada biz taglik va yon tomonning tekisliklari orasidagi burchakni hisoblaymiz. Tegishli normal vektorlar: n 1 ¯(0; 0; 1) va n 2 ¯(0; 2*h; a). Keyin burchak quyidagicha bo'ladi: