Eksponensial funktsiya nimani ko'rsatadi. Dars “Ko‘rsatkichli funksiya, uning xossalari va grafigi

Bilimlar Gipermarketi >>Matematika >>Matematika 10-sinf >>

Eksponensial funktsiya, uning xossalari va grafigi

2x ifodasini ko'rib chiqing va x o'zgaruvchisining turli ratsional qiymatlari uchun uning qiymatlarini toping, masalan, x=2 uchun;

Umuman olganda, x o'zgaruvchisiga qanday ratsional qiymat bermaylik, biz har doim 2x ifodaning tegishli son qiymatini hisoblashimiz mumkin. Shunday qilib, eksponensial haqida gapirish mumkin funktsiyalari y=2 x Q to‘plamda aniqlangan ratsional sonlar:

Keling, ushbu funktsiyaning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

Mulk 1. ortib borayotgan funksiya hisoblanadi. Biz isbotlashni ikki bosqichda bajaramiz.
Birinchi bosqich. Agar r musbat ratsional son bo‘lsa, 2 r >1 ekanligini isbotlaylik.
Ikkita holat mumkin: 1) r - natural son, r = n; 2) oddiy qaytarilmas kasr,

Oxirgi tengsizlikning chap tomonida bizda , o'ng tomonida esa 1. Demak, oxirgi tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin.

Shunday qilib, har qanday holatda, 2 r > 1 tengsizlik, talabga muvofiq o'rinli bo'ladi.

Ikkinchi bosqich. X 1 va x 2 raqamlar, x 1 va x 2 bo'lsin< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(x 2 -x 1 farqini r harfi bilan belgiladik).

r musbat ratsional son bo'lgani uchun, birinchi bosqichda isbotlangan narsaga ko'ra, 2 r > 1, ya'ni, 2 r -1 >0. 2x" soni ham musbat, ya'ni 2 x-1 (2 G -1) ko'paytmasi ham ijobiydir. Shunday qilib, biz buni isbotladik. tengsizlik 2 Xr -2x "\u003e 0.

Demak, x 1 tengsizligidan< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Mulk 2. pastdan cheklangan va yuqoridan cheklanmagan.
Funktsiyaning pastdan chegaralanganligi 2 x > 0 tengsizlikdan kelib chiqadi, bu funktsiya sohasidagi x ning har qanday qiymatlari uchun amal qiladi. Shu bilan birga, M qanday musbat son qabul qilinmasin, har doim shunday x ko'rsatkichni tanlash mumkinki, 2 x > M tengsizlik bajariladi - bu funktsiyaning yuqoridan cheksizligini tavsiflaydi. Keling, ba'zi misollar keltiraylik.

Mulk 3. na minimal, na maksimal qiymatga ega.

Bu funksiya nimaga ega emas eng katta qiymat, Shubhasiz, chunki, biz ko'rib turganimizdek, u yuqoridan chegaralanmagan. Lekin pastdan u cheklangan, nega yo'q eng kichik qiymat?

Faraz qilaylik, 2r funksiyaning eng kichik qiymati (r qandaydir ratsional ko‘rsatkich). q ratsional sonini oling<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Bularning hammasi yaxshi, deysiz, lekin nega biz y-2 x funksiyani faqat ratsional sonlar to‘plamida ko‘rib chiqamiz, nega biz uni boshqa ma’lum funksiyalar kabi butun son chizig‘ida yoki qandaydir uzluksiz intervalda ko‘rib chiqmaymiz. raqamlar qatori? Bizni nima to'xtatmoqda? Keling, vaziyat haqida o'ylab ko'raylik.

Raqamlar qatori nafaqat ratsional, balki irratsional sonlarni ham o'z ichiga oladi. Oldin o'rganilgan funktsiyalar uchun bu bizni bezovta qilmadi. Masalan, biz y \u003d x 2 funktsiyasining qiymatlarini x ning ratsional va irratsional qiymatlari uchun teng darajada oson topdik: berilgan x qiymatini kvadratga solish kifoya edi.

Ammo y \u003d 2 x funktsiyasi bilan vaziyat yanada murakkabroq. Agar x argumentiga ratsional qiymat berilgan bo'lsa, u holda printsipial ravishda x hisoblanishi mumkin (xatboshining boshiga qayting, bu erda biz buni qildik). Va agar x argumentiga irratsional qiymat berilsa? Masalan, qanday hisoblash mumkin? Biz buni hali bilmaymiz.
Matematiklar chiqish yo'lini topdilar; ular shunday gaplashishdi.

Ma'lumki Ratsional sonlar ketma-ketligini ko'rib chiqing - kamchilik bo'yicha sonning o'nli yaqinlashuvi:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

1,732 = 1,7320 va 1,732050 = 1,73205 ekanligi aniq. Bunday takrorlashlarning oldini olish uchun biz 0 raqami bilan tugaydigan ketma-ketlik a'zolarini olib tashlaymiz.

Keyin biz ortib borayotgan ketma-ketlikni olamiz:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Shunga mos ravishda, ketma-ketlik ham ortadi.

Ushbu ketma-ketlikning barcha a'zolari 22 dan kichik musbat raqamlardir, ya'ni. bu ketma-ketlik cheklangan. Weierstrass teoremasi bo'yicha (30-§ ga qarang), agar ketma-ketlik ortib borayotgan va chegaralangan bo'lsa, u yaqinlashadi. Bundan tashqari, 30-§dan biz bilamizki, agar ketma-ketlik yaqinlashsa, u holda faqat bitta chegaragacha. Ushbu yagona chegara raqamli ifodaning qiymati sifatida qabul qilindi. Va 2 raqamli ifodaning hatto taxminiy qiymatini topish juda qiyinligi muhim emas; bu ma'lum bir raqam bo'lishi muhim (axir, biz, masalan, ratsional tenglamaning ildizi ekanligini aytishdan qo'rqmadik, trigonometrik tenglamaning ildizi, bu raqamlarning aniq nima ekanligini o'ylamasdan:
Shunday qilib, biz matematiklar 2 ^ belgisiga qanday ma'no qo'yganligini bilib oldik. Xuddi shunday, nima ekanligini va umuman a nima ekanligini aniqlash mumkin, bu erda a irratsional son va a > 1.
Ammo 0 bo'lganda nima bo'ladi<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Endi biz faqat ixtiyoriy ratsional darajali darajalar haqida emas, balki ixtiyoriy haqiqiy darajali darajalar haqida ham gapirishimiz mumkin. Har qanday haqiqiy darajali darajalar darajalarning barcha odatiy xususiyatlariga ega ekanligi isbotlangan: darajalarni bir xil asoslarga ko'paytirishda darajalar qo'shiladi, bo'linganda ayiriladi, darajani bir darajaga ko'targanda ko'paytiriladi va hokazo. . Lekin eng muhimi shundaki, endi biz barcha haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan y-ax funktsiyasi haqida gapirishimiz mumkin.
y \u003d 2 x funktsiyasiga qaytaylik, uning grafigini tuzamiz. Buning uchun biz 2 x funktsiya qiymatlari jadvalini tuzamiz:

Koordinata tekisligidagi nuqtalarni qayd qilaylik (194-rasm), ular ma'lum bir chiziqni chizadilar, uni chizadilar (195-rasm).

Funktsiya xossalari y - 2 x:
1)
2) juft ham, toq ham emas; 248
3) ortadi;

5) eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas;
6) uzluksiz;
7)
8) qavariq pastga.

Kursda y-2 x funksiyaning sanab o'tilgan xossalarining qat'iy isbotlari keltirilgan oliy matematika. Ushbu xususiyatlarning ba'zilari biz ilgari u yoki bu darajada muhokama qildik, ularning ba'zilari tuzilgan grafik orqali aniq ko'rsatilgan (195-rasmga qarang). Masalan, funktsiyaning pariteti yoki toqligining yo'qligi, mos ravishda, y o'qi yoki koordinatali grafaning simmetriyasining yo'qligi bilan geometrik bog'liqdir.

y=a x ko'rinishdagi har qanday funktsiya, bu erda a >1, xuddi shunday xususiyatlarga ega. Shaklda. Bitta koordinatalar sistemasida 196 ta, y=2 x, y=3 x, y=5 x funksiyalarning grafiklari tuzilgan.

Endi funksiyani ko'rib chiqamiz, keling, uning uchun qiymatlar jadvalini tuzamiz:

Koordinata tekisligidagi nuqtalarni belgilaymiz (197-rasm), ular ma'lum bir chiziqni chizadilar, uni chizadilar (198-rasm).

Funktsiya xususiyatlari

1)
2) juft ham, toq ham emas;
3) kamayadi;
4) yuqoridan cheklanmagan, pastdan cheklangan;
5) na eng katta, na eng kichik qiymatlar mavjud;
6) uzluksiz;
7)
8) qavariq pastga.
y \u003d a x ko'rinishidagi har qanday funktsiya, bu erda O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Iltimos, diqqat qiling: funktsiya grafiklari bular. y \u003d 2 x, y o'qiga nisbatan simmetrik (201-rasm). Bu umumiy bayonotning natijasidir (13-§ ga qarang): y = f(x) va y = f(-x) funksiyalarning grafiklari y o'qiga nisbatan simmetrikdir. Xuddi shunday, y \u003d 3 x va funktsiyalarning grafiklari

Aytilganlarni umumlashtirib, biz eksponensial funktsiyaga ta'rif beramiz va uning eng muhim xususiyatlarini ajratib ko'rsatamiz.

Ta'rif. Ko'rish funktsiyasi eksponensial funktsiya deb ataladi.
Eksponensial funktsiyaning asosiy xususiyatlari y \u003d a x

a> 1 uchun y \u003d a x funktsiyasining grafigi rasmda ko'rsatilgan. 201 va 0 uchun<а < 1 - на рис. 202.

Shaklda ko'rsatilgan egri chiziq. 201 yoki 202 ko'rsatkich deyiladi. Aslida, matematiklar odatda eksponensial funktsiyaning o'zini y = a x deb atashadi. Demak, “ko‘rsatkich” atamasi ikki ma’noda qo‘llaniladi: ko‘rsatkichli funksiya nomi uchun ham, ko‘rsatkichli funksiya grafigining nomi uchun ham. Odatda, biz eksponensial funktsiya yoki uning grafigi haqida gapirayapmizmi, ma'nosi aniq.

Eksponensial funktsiya y \u003d ax grafigining geometrik xususiyatiga e'tibor bering: x o'qi grafikning gorizontal asimptotidir. To'g'ri, bu bayonot odatda quyidagicha takomillashtiriladi.
X o'qi funksiya grafigining gorizontal asimptotidir

Boshqa so'zlar bilan aytganda

Birinchi muhim eslatma. Maktab o'quvchilari ko'pincha atamalarni chalkashtirib yuborishadi: quvvat funktsiyasi, eksponensial funktsiya. Taqqoslash:

Bular quvvat funksiyalariga misollar;

ko‘rsatkichli funksiyalarga misol bo‘la oladi.

Umuman olganda, y \u003d x r, bu erda r - ma'lum bir raqam, quvvat funktsiyasidir (x argumenti daraja bazasida joylashgan);
y \u003d a", bu erda a - ma'lum bir son (musbat va 1 dan farqli), eksponensial funktsiyadir (argument x eksponentda mavjud).

Y = x kabi hujum qiluvchi "ekzotik" funktsiya na eksponensial, na kuch qonuni hisoblanadi (u ba'zan eksponensial quvvat funktsiyasi deb ataladi).

Ikkinchi muhim eslatma. Odatda, asosi a = 1 bo‘lgan yoki a asosi a tengsizligini qanoatlantiradigan ko‘rsatkichli funksiya ko‘rib chiqilmaydi.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0va a Haqiqat shundaki, agar a \u003d 1 bo'lsa, u holda har qanday x qiymati uchun Ix \u003d 1 tengligi to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, y \u003d a "a \u003d 1 uchun" eksponensial funktsiya "y\" doimiy funktsiyasiga aylanadi. u003d 1 - bu qiziq emas, agar a \u003d 0 bo'lsa, x ning har qanday ijobiy qiymati uchun 0x \u003d 0, ya'ni x\u003e 0 uchun aniqlangan y \u003d 0 funksiyasini olamiz - bu ham qiziq emas.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Misollarni echishga o'tishdan oldin, eksponensial funktsiya siz hozirgacha o'rgangan barcha funktsiyalardan sezilarli darajada farq qilishini ta'kidlaymiz. Yangi ob'ektni chuqur o'rganish uchun uni turli tomonlardan, turli vaziyatlarda ko'rib chiqish kerak, shuning uchun ko'plab misollar bo'ladi.
1-misol

Qaror, a) y \u003d 2 x va y \u003d 1 funksiyalarining grafiklarini bitta koordinata tizimida tuzib, ularning bitta umumiy nuqtasi (0; 1) borligini ko'ramiz (203-rasm). Demak, 2x = 1 tenglamaning bitta ildizi x = 0.

Demak, 2x = 2° tenglamadan biz x = 0 ni oldik.

b) y \u003d 2 x va y \u003d 4 funksiyalarning grafiklarini bitta koordinata tizimida tuzib, ularning bitta umumiy nuqtasi (2; 4) borligini ko'ramiz (203-rasm). Demak, 2x = 4 tenglama bitta ildiz x = 2 ga ega.

Shunday qilib, 2 x \u003d 2 2 tenglamasidan biz x \u003d 2 ni oldik.

c) va d) Xuddi shu mulohazalarga asoslanib, biz 2 x \u003d 8 tenglama bitta ildizga ega degan xulosaga kelamiz va uni topish uchun mos keladigan funktsiyalarning grafiklari tuzilmasligi mumkin;

x=3 ekanligi aniq, chunki 2 3 =8. Xuddi shunday, biz tenglamaning yagona ildizini topamiz

Demak, 2x = 2 3 tenglamadan x = 3 ni, 2 x = 2 x tenglamadan esa x = -4 ni oldik.
e) y \u003d 2 x funktsiyasining grafigi x\u003e 0 uchun y \u003d 1 funktsiyasi grafigining tepasida joylashgan - bu rasmda yaxshi o'qilgan. 203. Demak, 2x > 1 tengsizlikning yechimi intervaldir
f) y \u003d 2 x funksiyaning grafigi x da y \u003d 4 funksiya grafigi ostida joylashgan.<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Ehtimol, siz 1-misolni echishda qilingan barcha xulosalarning asosi y \u003d 2 x funktsiyasining monotonlik (ko'payishi) xususiyati ekanligini payqadingiz. Shunga o'xshash fikrlash quyidagi ikkita teoremaning to'g'riligini tekshirishga imkon beradi.

Qaror. Siz shunday harakat qilishingiz mumkin: y-3 x funktsiyasining grafigini tuzing, so'ngra uni x o'qidan 3 koeffitsient bilan cho'zing va natijada olingan grafikni 2 masshtab birligiga ko'taring. Ammo 3- 3* \u003d 3 * + 1 va shuning uchun y \u003d 3 x * 1 + 2 funktsiyasini chizish haqiqatidan foydalanish qulayroqdir.

Keling, bunday hollarda qayta-qayta qilganimizdek, koordinatalarning boshi (-1; 2) nuqtada - rasmda x = - 1 va 1x = 2 nuqtali chiziqlar bo'lgan yordamchi koordinatalar tizimiga o'tamiz. 207. y=3* funksiyani “biriktiramiz” yangi tizim koordinatalar. Buning uchun funksiya uchun nazorat nuqtalarini tanlaymiz , lekin biz ularni eski emas, balki yangi koordinatalar tizimida quramiz (bu nuqtalar 207-rasmda belgilangan). Keyin nuqtalar bo'yicha ko'rsatkichni tuzamiz - bu kerakli grafik bo'ladi (207-rasmga qarang).
[-2, 2] segmentida berilgan funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun biz berilgan funktsiya ortib borayotganligidan foydalanamiz va shuning uchun u eng kichik va eng katta qiymatlarni mos ravishda chap va segmentning o'ng uchlari.
Shunday qilib:

4-misol Tenglama va tengsizliklarni yeching:

Qaror, a) y=5* va y=6-x funksiyalarning grafiklarini bitta koordinata sistemasida tuzamiz (208-rasm). Ular bir nuqtada kesishadi; chizmaga qaraganda, bu nuqta (1; 5). Tekshirish shuni ko'rsatadiki, aslida (1; 5) nuqta y = 5* tenglamani ham, y=6x tenglamani ham qanoatlantiradi. Bu nuqtaning abscissasi yagona ildiz bo'lib xizmat qiladi berilgan tenglama.

Demak, 5 x = 6-x tenglama bitta ildiz x = 1 ga ega.

b) va c) y-5x ko'rsatkichi y=6-x to'g'ri chiziq ustida joylashgan, agar x>1 bo'lsa, - bu rasmda aniq ko'rinib turibdi. 208. Demak, 5*>6-x tengsizlikning yechimini quyidagicha yozish mumkin: x>1. Va 5x tengsizlikning yechimi<6 - х можно записать так: х < 1.
Javob: a) x = 1; b)x>1; c) x<1.

5-misol Funktsiya berilgan Buni isbotlang
Qaror. Shartiga ko'ra bizda.

Ko'pgina matematik muammolarni hal qilish qandaydir tarzda sonli, algebraik yoki funktsional ifodalarni o'zgartirish bilan bog'liq. Bu, ayniqsa, yechim uchun amal qiladi. Matematika bo'yicha USE variantlarida bu turdagi topshiriqlar, xususan, C3 vazifasini o'z ichiga oladi. C3 vazifalarini hal qilishni o'rganish nafaqat imtihondan muvaffaqiyatli o'tish uchun, balki oliy o'quv yurtlarida matematika kursini o'rganishda bu mahorat foydali bo'lishi uchun ham muhimdir.

C3 topshiriqlarini bajarishda siz har xil turdagi tenglamalar va tengsizliklarni echishingiz kerak. Ular orasida ratsional, irratsional, ko'rsatkichli, logarifmik, trigonometrik, modullarni o'z ichiga olgan (mutlaq qiymatlar), shuningdek, birlashtirilganlar mavjud. Ushbu maqolada ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarning asosiy turlari, shuningdek ularni echishning turli usullari ko'rib chiqiladi. Boshqa turdagi tenglamalar va tengsizliklarni echish haqida "" sarlavhasidagi C3 muammolarini matematikada USE variantlaridan echish usullariga bag'ishlangan maqolalarda o'qing.

Muayyan tahlilga o'tishdan oldin ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar, matematika o'qituvchisi sifatida men sizga bizga kerak bo'ladigan nazariy materiallarni to'ldirishingizni maslahat beraman.

Eksponensial funktsiya

Eksponensial funktsiya nima?

Ko'rish funktsiyasi y = a x, qayerda a> 0 va a≠ 1, chaqirilgan eksponensial funktsiya.

Asosiy eksponensial funksiya xossalari y = a x:

Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi

Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi ko'rgazma ishtirokchisi:

Ko'rsatkichli funktsiyalarning grafiklari (ko'rsatkichlar)

Ko‘rsatkichli tenglamalarni yechish

indikativ noma'lum o'zgaruvchi faqat har qanday daraja ko'rsatkichlarida topiladigan tenglamalar deb ataladi.

Yechimlar uchun eksponensial tenglamalar quyidagi oddiy teoremani bilishingiz va undan foydalana olishingiz kerak:

Teorema 1. eksponensial tenglama a f(x) = a g(x) (qaerda a > 0, a≠ 1) tenglamaga ekvivalent f(x) = g(x).

Bundan tashqari, darajalar bilan asosiy formulalar va harakatlarni eslab qolish foydalidir:

Title="(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}

1-misol Tenglamani yeching:

Qaror: Yuqoridagi formulalar va almashtirishlardan foydalaning:

Keyin tenglama quyidagicha bo'ladi:

Qabul qilingan diskriminant kvadrat tenglama ijobiy:

Title="(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}

Demak, bu tenglamaning ikkita ildizi bor. Biz ularni topamiz:

O'zgartirishga qaytsak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi tenglamaning ildizlari yo'q, chunki eksponensial funktsiya butun ta'rif sohasi bo'yicha qat'iy ijobiydir. Keling, ikkinchisini hal qilaylik:

1-teoremada aytilganlarni hisobga olib, ekvivalent tenglamaga o'tamiz: x= 3. Bu vazifaga javob bo'ladi.

Javob: x = 3.

2-misol Tenglamani yeching:

Qaror: Tenglamada ruxsat etilgan qiymatlar maydoni bo'yicha hech qanday cheklovlar yo'q, chunki radikal ifoda har qanday qiymat uchun mantiqiydir x(eksponensial funktsiya y = 9 4 -x ijobiy va nolga teng emas).

Tenglamani kuchlarni ko'paytirish va bo'lish qoidalaridan foydalangan holda ekvivalent o'zgartirishlar bilan hal qilamiz:

Oxirgi o'tish 1-teoremaga muvofiq amalga oshirildi.

Javob:x= 6.

3-misol Tenglamani yeching:

Qaror: dastlabki tenglamaning ikkala tomonini 0,2 ga bo'lish mumkin x. Bu o'tish ekvivalent bo'ladi, chunki bu ifoda har qanday qiymat uchun noldan katta x(eksponensial funktsiya o'z sohasi bo'yicha qat'iy musbat). Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi:

Javob: x = 0.

4-misol Tenglamani yeching:

Qaror: Biz maqolaning boshida berilgan kuchlarni bo'lish va ko'paytirish qoidalaridan foydalangan holda ekvivalent o'zgartirishlar orqali tenglamani elementarga soddalashtiramiz:

Tenglamaning ikkala tomonini 4 ga bo'lish x, oldingi misolda bo'lgani kabi, ekvivalent transformatsiyadir, chunki bu ifoda hech qanday qiymatlar uchun nolga teng emas. x.

Javob: x = 0.

5-misol Tenglamani yeching:

Qaror: funktsiyasi y = 3x, tenglamaning chap tomonida turgan, ortib bormoqda. Funktsiya y = —x-2/3, tenglamaning o'ng tomonida, kamaymoqda. Bu shuni anglatadiki, agar bu funktsiyalarning grafiklari kesishsa, u holda ko'pi bilan bir nuqtada. Bunday holda, grafiklar nuqtada kesishishini taxmin qilish oson x= -1. Boshqa ildizlar bo'lmaydi.

Javob: x = -1.

6-misol Tenglamani yeching:

Qaror: biz tenglamani ekvivalent o'zgartirishlar bilan soddalashtiramiz, hamma joyda eksponensial funktsiya har qanday qiymat uchun noldan qat'iy katta ekanligini yodda tutamiz. x va maqolaning boshida berilgan mahsulotni va qisman vakolatlarni hisoblash qoidalaridan foydalanish:

Javob: x = 2.

Ko‘rsatkichli tengsizliklarni yechish

indikativ noma'lum o'zgaruvchi faqat ba'zi darajalar ko'rsatkichlarida bo'lgan tengsizliklar deb ataladi.

Yechimlar uchun eksponensial tengsizliklar quyidagi teoremani bilish talab qilinadi:

Teorema 2. Agar a a> 1, keyin tengsizlik a f(x) > a g(x) bir xil ma'noli tengsizlikka teng: f(x) > g(x). Agar 0< a < 1, то eksponensial tengsizlik a f(x) > a g(x) qarama-qarshi ma'noli tengsizlikka teng: f(x) < g(x).

7-misol Tengsizlikni yeching:

Qaror: asl tengsizlikni quyidagi shaklda ifodalang:

Ushbu tengsizlikning ikkala tomonini 3 2 ga bo'ling x, va (funktsiyaning ijobiyligi tufayli y= 3 2x) tengsizlik belgisi o'zgarmaydi:

Keling, almashtirishdan foydalanamiz:

Keyin tengsizlik quyidagi shaklni oladi:

Demak, tengsizlikning yechimi oraliqdir:

teskari almashtirishga o'tsak, biz quyidagilarni olamiz:

Ko'rsatkichli funktsiyaning ijobiyligi tufayli chap tengsizlik avtomatik ravishda bajariladi. Foyda olish ma'lum mulk logarifm, biz ekvivalent tengsizlikka o'tamiz:

Darajaning asosi birdan katta son bo'lganligi sababli (2-teorema bo'yicha) quyidagi tengsizlikka o'tish ekvivalenti bo'ladi:

Shunday qilib, biz nihoyat olamiz javob:

8-misol Tengsizlikni yeching:

Qaror: kuchlarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlaridan foydalanib, biz tengsizlikni quyidagi shaklda qayta yozamiz:

Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz:

Ushbu almashtirish bilan tengsizlik quyidagi shaklni oladi:

Kasrning soni va maxrajini 7 ga ko'paytirsak, biz quyidagi ekvivalent tengsizlikni olamiz:

Shunday qilib, tengsizlik qondiriladi quyidagi qiymatlar o'zgaruvchan t:

Keyin almashtirishga qaytsak, biz quyidagilarni olamiz:

Bu erda darajaning asosi birdan katta bo'lganligi sababli, tengsizlikka o'tish (2-teorema bo'yicha) ekvivalentdir:

Nihoyat, olamiz javob:

9-misol Tengsizlikni yeching:

Qaror:

Tengsizlikning ikkala tomonini quyidagi ifoda bilan ajratamiz:

U har doim noldan katta (ko'rsatkichli funktsiya musbat bo'lgani uchun), shuning uchun tengsizlik belgisini o'zgartirish kerak emas. Biz olamiz:

t , ular oraliqda:

Teskari almashtirishga o'tsak, biz dastlabki tengsizlik ikki holatga bo'linishini topamiz:

Birinchi tengsizlik ko'rsatkichli funktsiyaning musbatligi tufayli yechimga ega emas. Keling, ikkinchisini hal qilaylik:

10-misol Tengsizlikni yeching:

Qaror:

Parabola shoxlari y = 2x+2-x 2 pastga yo'naltirilgan, shuning uchun u yuqoridan o'zining cho'qqisiga etgan qiymat bilan chegaralanadi:

Parabola shoxlari y = x 2 -2x Ko'rsatkichdagi +2 yuqoriga yo'naltirilgan, ya'ni u pastdan yuqoriga erishgan qiymat bilan cheklangan:

Shu bilan birga, funksiya pastdan chegaralangan bo'lib chiqadi y = 3 x 2 -2x+2 tenglamaning o'ng tomonida. U oʻzining eng kichik qiymatiga koʻrsatkichdagi parabola bilan bir nuqtada erishadi va bu qiymat 3 1 = 3 ga teng. Demak, asl tengsizlik faqat chapdagi funksiya va oʻngdagi funksiya qiymatni qabul qilgan taqdirdagina toʻgʻri boʻlishi mumkin. 3 ga teng (bu funksiyalar diapazonlarining kesishishi faqat shu raqam). Bu shart bir nuqtada qondiriladi x = 1.

Javob: x= 1.

Qanday hal qilishni o'rganish uchun eksponensial tenglamalar va tengsizliklar, ularning yechimida doimo mashq qilishingiz kerak. Bu qiyin masalada, har xil o'quv qurollari, boshlang'ich matematikadan muammoli kitoblar, tanlov masalalari to'plami, maktabdagi matematika darslari, shuningdek individual seanslar professional repetitor bilan. Sizga chin dildan tayyorgarliklaringizda muvaffaqiyatlar tilayman va yorqin natijalar imtihonda.

Sergey Valerievich

P.S. Hurmatli mehmonlar! Iltimos, sharhlarda tenglamalaringizni echish uchun so'rovlarni yozmang. Afsuski, bunga umuman vaqtim yo'q. Bunday xabarlar o'chiriladi. Iltimos, maqolani o'qing. Ehtimol, unda siz o'z vazifangizni mustaqil ravishda hal qilishga imkon bermagan savollarga javob topasiz.

Eksponensial funktsiya

y = a ko`rinishdagi funksiya x , bu erda a noldan katta va a birga teng bo'lmagan ko'rsatkichli funktsiya deyiladi. Eksponensial funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

1. Ko‘rsatkichli funksiyaning aniqlanish sohasi haqiqiy sonlar to‘plami bo‘ladi.

2. Ko'rsatkichli funktsiya diapazoni barcha musbat haqiqiy sonlar to'plami bo'ladi. Ba'zan bu to'plam qisqalik uchun R+ sifatida belgilanadi.

3. Agar ko'rsatkichli funktsiyada a asos birdan katta bo'lsa, u holda funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib boradi. Agar a asosi uchun eksponensial funktsiya quyidagi 0 shartni qanoatlantirsa

4. Darajaning barcha asosiy xossalari amal qiladi. Darajaning asosiy xossalari quyidagi tengliklar bilan ifodalanadi:

a x *a y = a (x+y) ;

(a x )/(a y ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(a y );

(a/b) x = a x /b x ;

(a x ) y = a (x*y) .

Bu tengliklar x va y ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun amal qiladi.

5. Ko‘rsatkichli funksiya grafigi har doim (0;1) koordinatali nuqtadan o‘tadi.

6. Ko'rsatkichli funktsiyaning ortishi yoki kamayishiga qarab, uning grafigi ikki xildan biriga ega bo'ladi.

Quyidagi rasmda ortib boruvchi ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan: a>0.

Quyidagi rasm kamayuvchi eksponensial funktsiyaning grafigi: 0

(0; 1) nuqtadan beshinchi bandda tavsiflangan xususiyatga ko'ra, ortib boruvchi ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi ham, kamayuvchi ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi ham o'tadi.

7. Ko‘rsatkichli funksiya ekstremum nuqtalariga ega emas, ya’ni boshqa so‘z bilan aytganda funksiyaning minimal va maksimal nuqtalariga ega emas. Agar biron bir segmentdagi funktsiyani ko'rib chiqsak, funktsiya ushbu intervalning oxirida minimal va maksimal qiymatlarni oladi.

8. Funksiya juft yoki toq emas. Ko'rsatkichli funktsiya - bu funktsiya umumiy ko'rinish. Buni grafiklardan ham ko'rish mumkin, ularning hech biri Oy o'qi bo'yicha ham, kelib chiqishi bo'yicha ham simmetrik emas.

Logarifm

Logarifmlar har doim maktab matematika kursida qiyin mavzu hisoblangan. Logarifmning turli xil ta'riflari mavjud, ammo negadir ko'pchilik darsliklarda ulardan eng murakkab va baxtsizlari qo'llaniladi.

Biz logarifmni oddiy va aniq belgilaymiz. Buning uchun jadval tuzamiz:

Demak, bizda ikkita kuch bor. Agar siz raqamni pastki qatordan olsangiz, unda bu raqamni olish uchun ikkita ko'tarish kerak bo'lgan quvvatni osongina topishingiz mumkin. Misol uchun, 16 ni olish uchun siz ikkitadan to'rtinchi darajaga ko'tarishingiz kerak. Va 64 ni olish uchun siz ikkitadan oltinchi kuchga ko'tarishingiz kerak. Buni jadvaldan ko'rish mumkin.

Va endi - aslida, logarifmning ta'rifi:

Ta'rif

Logarifm x argumentidan a asosi raqamni ko'tarish kerak bo'lgan kuchdir a raqamni olish uchun x.

Belgilanish

log a x = b
Bu erda a - asos, x - argument, b Logarifm aniq nima.

Masalan, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8 ning asosiy 2 logarifmi uchta, chunki 2 3 = 8). Shuningdek, log 2 64 = 6 bo'lishi mumkin, chunki 2 6 = 64.

Sonning berilgan asosga logarifmini topish amali deyiladilogarifm . Shunday qilib, jadvalimizga yangi qator qo'shamiz:

Afsuski, barcha logarifmlar unchalik oson hisoblanmaydi. Masalan, log 2 ni topishga harakat qiling 5. 5 raqami jadvalda yo'q, lekin mantiq logarifm segmentning biron bir joyida yotishini ta'kidlaydi. Chunki 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bunday raqamlar irratsional deb ataladi: kasrdan keyingi raqamlar cheksiz yozilishi mumkin va ular hech qachon takrorlanmaydi. Agar logarifm mantiqsiz bo'lib chiqsa, uni shunday qoldirgan ma'qul: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logarifm ikki o'zgaruvchiga (asosiy va argument) ega ifoda ekanligini tushunish muhimdir. Avvaliga ko'p odamlar asos qayerda va argument qayerda ekanligini chalkashtirib yuborishadi. Qochish uchun baxtsiz tushunmovchiliklar shunchaki rasmga qarang:

Bizning oldimizda logarifm ta'rifidan boshqa narsa yo'q. Esingizda bo'lsin: logarifm - bu kuch , unga dalil olish uchun asosni ko'tarish kerak. Bu quvvatga ko'tarilgan asosdir - rasmda u qizil rang bilan ta'kidlangan. Ma'lum bo'lishicha, tayanch har doim pastda! Men bu ajoyib qoidani o'quvchilarimga birinchi darsda aytaman - va hech qanday chalkashlik yo'q.

Biz ta'rifni aniqladik - logarifmlarni qanday hisoblashni o'rganish qoladi, ya'ni. "log" belgisidan xalos bo'ling. Boshlash uchun shuni ta'kidlaymiz Ta'rifdan ikkita narsa kelib chiqadi. muhim faktlar:

Argument va asos har doim noldan katta bo'lishi kerak. Bu daraja ta'rifidan kelib chiqadi ratsional ko'rsatkich, unga logarifmning ta'rifi kamayadi.

Baza birlikdan farq qilishi kerak, chunki har qanday quvvat uchun birlik hali ham birlikdir. Shu sababli, "ikkitasini olish uchun qanday kuchga ko'tarilishi kerak" degan savol ma'nosizdir. Bunday daraja yo'q!

Bunday cheklovlar chaqirdi tegishli diapazon(ODZ). Ma'lum bo'lishicha, logarifmning ODZ si quyidagicha ko'rinadi: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

E'tibor bering raqamga cheklov yo'q b (logarifm qiymati) bir-biriga mos kelmaydi. Masalan, logarifm salbiy bo'lishi mumkin: log 2 0,5 = −1, chunki 0,5 = 2 -1.

Biroq, endi biz faqat sonli ifodalarni ko'rib chiqamiz, bu erda logarifmning ODZ ni bilish talab qilinmaydi. Muammolarni tuzuvchilar tomonidan barcha cheklovlar allaqachon hisobga olingan. Ammo logarifmik tenglamalar va tengsizliklar paydo bo'lganda, DHS talablari majburiy bo'ladi. Darhaqiqat, asos va dalilda yuqoridagi cheklovlarga mutlaqo mos kelmaydigan juda kuchli konstruktsiyalar bo'lishi mumkin.

Hozir generalni ko'rib chiqing logarifmlarni hisoblash sxemasi. U uch bosqichdan iborat:

Fondni yuborish a va argument x mumkin bo'lgan eng kichik bazasi birdan katta bo'lgan kuch sifatida. Yo'l davomida o'nlik kasrlardan xalos bo'lish yaxshiroqdir;

O'zgaruvchi haqida qaror qabul qiling b tenglama: x = a b ;

Qabul qilingan raqam b javob bo'ladi.

Hammasi shu! Agar logarifm mantiqsiz bo'lib chiqsa, bu birinchi bosqichda ko'rinadi. Baza birdan katta bo'lishi talabi juda dolzarb: bu xatolik ehtimolini kamaytiradi va hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Xuddi shunday o'nli kasrlar bilan: agar siz ularni darhol oddiy kasrlarga aylantirsangiz, xatolar bir necha baravar kam bo'ladi.

Keling, ushbu sxema qanday ishlashini ko'rib chiqaylik aniq misollar:

Logarifmni hisoblang: log 5 25

Baza va argumentni beshning darajasida ifodalaymiz: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Javob olindi: 2.

Logarifmni hisoblang:

Baza va argumentni uchtaning kuchi sifatida ifodalaymiz: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:

Javobni oldim: -4.

−4

Logarifmni hisoblang: log 4 64

Baza va argumentni ikkining darajasida ifodalaymiz: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Javob olindi: 3.

Logarifmni hisoblang: log 16 1

Baza va argumentni ikkining darajasida ifodalaymiz: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Javob olindi: 0.

Logarifmni hisoblang: log 7 14

Baza va argumentni yettining kuchi sifatida ifodalaymiz: 7 = 7 1 ; 14 yettining kuchi sifatida ifodalanmaydi, chunki 7 1< 14 < 7 2 ;

Oldingi paragrafdan kelib chiqadiki, logarifm hisobga olinmaydi;

Javob o'zgarmaydi: log 7 14.

jurnal 7 14

Oxirgi misol bo'yicha kichik eslatma. Raqam boshqa raqamning aniq kuchi emasligiga qanday ishonch hosil qilish mumkin? Juda oddiy - shunchaki uni asosiy omillarga ajrating. Kengayishda kamida ikkita alohida omil mavjud bo'lsa, bu raqam aniq kuch emas.

Sonning aniq darajalari borligini aniqlang: 8; 48; 81; 35; o'n to'rt.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - aniq daraja, chunki faqat bitta multiplikator mavjud;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 aniq kuch emas, chunki ikkita omil mavjud: 3 va 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - aniq daraja;
35 = 7 5 - yana aniq daraja emas;
14 \u003d 7 2 - yana aniq daraja emas;

8, 81 - aniq daraja; 48, 35, 14 - yo'q.

Shuni ham yodda tutingki, tub sonlarning o'zlari har doim o'zlarining aniq kuchlaridir.

O'nlik logarifm

Ba'zi logarifmlar shunchalik keng tarqalganki, ular maxsus nom va belgiga ega.

Ta'rif

O'nlik logarifm x argumentidan 10 ta asosning logarifmi, ya'ni. raqamni olish uchun 10 raqamini ko'tarish kerak bo'lgan kuch x.

Belgilanish

lg x

Masalan, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - va boshqalar.

Bundan buyon darslikda “Find lg 0.01” kabi ibora paydo bo'lganda, bu matn terish xatosi emasligini bilib oling. Bu o'nlik logarifm. Ammo, agar siz bunday belgiga o'rganmagan bo'lsangiz, uni har doim qayta yozishingiz mumkin:
log x = log 10 x

Oddiy logarifmlar uchun to'g'ri bo'lgan hamma narsa o'nli kasrlar uchun ham to'g'ri keladi.

tabiiy logarifm

O'z yozuviga ega bo'lgan yana bir logarifm mavjud. Qaysidir ma'noda, o'nlikdan ham muhimroqdir. haqida natural logarifm haqida.

Ta'rif

tabiiy logarifm x argumentidan asosiy logarifmdir e , ya'ni. raqamni ko'tarish kerak bo'lgan kuch e raqamni olish uchun x.

Belgilanish

ln x

Ko'pchilik so'raydi: e raqami nima? Bu irratsional son aniq qiymat topish va yozib olish mumkin emas. Bu erda faqat birinchi raqamlar:
e = 2,718281828459...

Biz bu raqam nima ekanligini va nima uchun kerakligini aniqlamaymiz. Shuni yodda tutingki, e - tayanch tabiiy logarifm:
ln x = log e x

Shunday qilib, ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - va boshqalar. Boshqa tomondan, ln 2 irratsional sondir. Umuman olganda, har qanday ratsional sonning natural logarifmi irratsionaldir. Albatta, birlikdan tashqari: ln 1 = 0.

Tabiiy logarifmlar uchun oddiy logarifmlar uchun to'g'ri bo'lgan barcha qoidalar o'rinlidir.

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar unchalik oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda asosiy xususiyatlar deb ataladigan qoidalar mavjud.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: log a x va log a y . Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

jurnal a x +log ay = jurnal a ( x · y );

jurnal a x − jurnal ay = jurnal a ( x : y ).

Shunday qilib, logarifmlar yig'indisi mahsulotning logarifmiga teng, farq esa bo'linmaning logarifmidir. Eslatma: asosiy moment bu erda bir xil asoslar mavjud. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi (darsga qarang " "). Misollarni ko'rib chiqing - va qarang:

Ifodaning qiymatini toping: log 6 4 + log 6 9.

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Ifodaning qiymatini toping: log 2 48 − log 2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Ifodaning qiymatini toping: log 3 135 − log 3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ushbu faktga asoslanib, ko'pchilik test qog'ozlari. Ha, bu nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin bu daraja ko'rsatkichini in logarifm belgisidan chiqarish mumkin quyidagi qoidalar:

Buni ko'rish oson oxirgi qoida birinchi ikkitasini kuzatib boradi. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta ODZ logarifmi kuzatilsa, ushbu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0 logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng tez-tez talab qilinadigan narsa.

Ifodaning qiymatini toping: log 7 49 6 .

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Bizda ... bor:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? Hamma yo'l oxirgi daqiqa biz faqat maxraj bilan ishlaymiz. Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta bajarilgan hisoblagichga o'tkazilishi mumkin. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

Teorema

Logarifm jurnaliga yozilsin a x . Keyin istalgan raqam uchun c shundayki c > 0 va c ≠ 1, tenglik to'g'ri:

Xususan, agar biz qo'ysak c = x, biz olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Ifodaning qiymatini toping: log 5 16 log 2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Ifodaning qiymatini toping: log 9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, raqam n argumentning ko‘rsatkichiga aylanadi. Raqam n mutlaqo hamma narsa bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:asosiy logarifmik identifikatsiya.

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajadagi b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib" qo'yishadi.

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa

Ifodaning qiymatini toping:

Qaror

E'tibor bering, log 25 64 = log 5 8 - shunchaki bazadan kvadratni va logarifm argumentini chiqardi. Kuchlarni ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda bir xil asos, biz olamiz:

200

Agar kimdir bilmasa, bu imtihondan haqiqiy vazifa edi :)

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va ajablanarlisi, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

log a a = 1 bo'ladi logarifmik birlik. Bir marta va umuman eslab qoling: har qanday bazaga logarifm a aynan shu asosdan birga teng.

log a 1 = 0 bo'ladi logarifmik nol. Baza a har qanday narsa bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa - logarifm nolga teng! chunki a 0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling!

x=2 o'zgaruvchining turli ratsional qiymatlari uchun ifoda qiymatini toping; 0; -3; -

E'tibor bering, x o'zgaruvchisi o'rniga qaysi raqamni qo'yishimizdan qat'iy nazar, siz har doim bu ifodaning qiymatini topishingiz mumkin. Shunday qilib, biz ratsional sonlar to'plamida aniqlangan ko'rsatkichli funktsiyani ko'rib chiqamiz (y 3 x quvvatga teng): .

Bu funksiyaning qiymatlari jadvalini tuzib, uning grafigini tuzamiz.

Keling, bu nuqtalardan o'tuvchi silliq chiziq chizamiz (1-rasm).

Ushbu funktsiyaning grafigidan foydalanib, uning xususiyatlarini ko'rib chiqing:

3. Butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.

1. noldan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan diapazon.

8. Funksiya qavariq pastga.

Agar bitta koordinata tizimida funksiyalar grafiklari tuzilsa; y=(y teng x darajaga, y teng beshga teng, y teng yetti x kuchga teng), ular y=(y teng x kuchga teng) kabi xususiyatlarga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin. 2-rasm), ya'ni y = (y x ning kuchiga a ga teng, birdan katta) ko'rinishdagi barcha funksiyalar shunday xususiyatlarga ega bo'ladi.

Funktsiyani chizamiz:

1. Uning qiymatlari jadvalini tuzish.

Olingan nuqtalarni koordinata tekisligida belgilaymiz.

Bu nuqtalardan o'tuvchi silliq chiziq chizamiz (3-rasm).

Ushbu funktsiyaning grafigidan foydalanib, biz uning xususiyatlarini ko'rsatamiz:

1. Ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlar to'plamidir.

2. Juft ham, toq ham emas.

3. Ta'rifning butun maydoni bo'ylab kamayadi.

4. Eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas.

5. Pastdan cheklangan, lekin yuqoridan cheklanmagan.

6. Ta'rifning butun doirasi bo'ylab uzluksiz.

7. qiymat diapazoni noldan ortiqcha cheksizgacha.

8. Funksiya qavariq pastga.

Xuddi shunday, agar bitta koordinata tizimida funktsiyalar grafiklarini qurish uchun; y=(y bir soniyaga teng x quvvat, y teng beshdan bir x kuch, y teng yettinchi x daraja), ular bir xil xususiyatlarga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin y=(y teng uchdan biriga teng). x ning kuchi).x) (4-rasm), ya'ni y \u003d ko'rinishdagi barcha funktsiyalar (y birga bo'lingan a ga teng x kuchiga, noldan katta, lekin birdan kichik) bo'ladi. shunday xususiyatlarga ega

Bitta koordinata tizimidagi funksiyalar grafiklarini tuzamiz

bu shuni anglatadiki, y \u003d y \u003d funktsiyalarning grafiklari (y ning x kuchiga teng a ga teng va y ning a ning x kuchiga bo'linganiga teng) a ning bir xil qiymati uchun ham simmetrik bo'ladi. .

Eksponensial funktsiyaga ta'rif berish va uning asosiy xususiyatlarini ko'rsatish orqali aytilganlarni umumlashtiramiz:

Ta'rifi: y \u003d ko'rinishdagi funktsiya, bu erda (y x kuchiga a ga teng, bu erda a musbat va birdan farq qiladi) eksponensial funktsiya deb ataladi.

y= koʻrsatkichli funksiya bilan y=, a=2,3,4,… darajali funksiya oʻrtasidagi farqlarni esga olish kerak. ham eshitish, ham ingl. Eksponensial funktsiya X daraja hisoblanadi va quvvat funktsiyasi X asos hisoblanadi.

1-misol: Tenglamani yeching (x ning uchta kuchi to'qqizga teng)

(y teng uchga x ning kuchiga va y to'qqizga teng) 7-rasm

E'tibor bering, ularning bitta umumiy nuqtasi M (2; 9) (em koordinatalari ikki; to'qqiz), bu nuqtaning abssissasi ushbu tenglamaning ildizi bo'lishini anglatadi. Ya'ni, tenglama bitta ildizga ega x = 2.

2-misol: Tenglamani yeching

Bitta koordinatalar tizimida biz y \u003d funktsiyasining ikkita grafigini tuzamiz (y x ning kuchiga beshga teng va y yigirma beshdan biriga teng) 8-rasm. Grafiklar bir nuqtada kesishadi T (-2; (koordinatalari bilan te minus ikki; yigirma beshdan biri). Demak, tenglamaning ildizi x \u003d -2 (minus ikki) dir.

3-misol: Tengsizlikni yeching

Bitta koordinatalar tizimida biz y \u003d funktsiyasining ikkita grafigini tuzamiz

(y 3 ga teng x ning kuchiga va y yigirma ettiga teng).

9-rasm Funksiya grafigi y=qachon funksiya grafigining tepasida joylashgan

x Demak, tengsizlikning yechimi oraliqdir (minus cheksizlikdan uchgacha)

4-misol: Tengsizlikni yeching

Bitta koordinatalar tizimida biz y \u003d funktsiyasining ikkita grafigini tuzamiz (y - x kuchining to'rtdan biriga, y esa o'n oltiga teng). (10-rasm). Grafiklar bir K nuqtada kesishadi (-2;16). Bu shuni anglatadiki, tengsizlikning yechimi (-2; (minus ikkidan plyus cheksizgacha) oraliqdir), chunki y \u003d funktsiyasining grafigi x da funktsiya grafigi ostida joylashgan.

Bizning fikrimiz quyidagi teoremalarning to'g'riligini tekshirishga imkon beradi:

1-shart: If to'g'ri bo'lsa va faqat m=n bo'lsa.

2-teorema: Agar to'g'ri bo'lsa, agar va faqat bo'lsa, u holda tengsizlik to'g'ri bo'ladi, agar va faqat agar (*-rasm).

4-teorema: Agar to'g'ri bo'lsa va faqat agar (rasm.**), tengsizlik faqat va faqat va agar to'g'ri bo'lsa.

5-misol: y= funksiya grafigini tuzing

y= daraja xossasini qo'llash orqali funktsiyani o'zgartiramiz

Keling, quraylik qo'shimcha tizim koordinatalar va yangi koordinatalar tizimida y \u003d funksiyaning grafigini tuzamiz (y x ning kuchiga ikkiga teng) 11-rasm.

6-misol: Tenglamani yeching

Bitta koordinatalar tizimida biz y \u003d funktsiyasining ikkita grafigini tuzamiz

(Y x ning kuchiga yetti ga teng va Y sakkiz minus x ga teng) 12-rasm.

Grafiklar bir E nuqtada kesishadi (1; (e koordinatalari bir; yetti). Demak, tenglamaning ildizi x = 1 (x birga teng).

7-misol: Tengsizlikni yeching

Bitta koordinatalar tizimida biz y \u003d funktsiyasining ikkita grafigini tuzamiz

(Y x kuchining to'rtdan biriga teng, Y esa x ortiqcha beshga teng). y= funksiya grafigi at y=x+5 funksiya grafigidan pastda joylashgan, tengsizlikning yechimi x oraliq (minus birdan plyus cheksizgacha).