Förmågan att beräkna volymen av rumsliga figurer är viktig för att lösa ett antal praktiska problem inom geometri. En av de vanligaste formerna är pyramiden. I den här artikeln kommer vi att överväga pyramiderna, både fulla och trunkerade.

Pyramid som en tredimensionell figur

Alla vet om Egyptiska pyramider, därför är det väl representerat vilken siffra som kommer att diskuteras. Ändå är egyptiska stenstrukturer bara ett specialfall av en enorm klass av pyramider.

Det geometriska objektet som övervägs i det allmänna fallet är en polygonal bas, vars spets är ansluten till någon punkt i rymden som inte hör till basplanet. Denna definition leder till en figur som består av en n-gon och n trianglar.

Vilken pyramid som helst består av n+1 ytor, 2*n kanter och n+1 hörn. Eftersom figuren i fråga är en perfekt polyeder, följer antalet markerade element Eulers ekvation:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Polygonen som ligger vid basen ger namnet på pyramiden, till exempel triangulär, femkantig, och så vidare. Uppsättning av pyramider med olika grunder visas på bilden nedan.

Punkten där n trianglar i figuren är sammankopplade kallas toppen av pyramiden. Om en vinkelrät sänks från den till basen och den skär den i det geometriska centrumet, kommer en sådan figur att kallas en rak linje. Om detta villkor inte är uppfyllt, finns det en lutande pyramid.

En rak figur, vars bas är bildad av en liksidig (likkantig) n-gon, kallas regelbunden.

Formel för pyramidvolym

För att beräkna volymen på pyramiden använder vi integralkalkylen. För att göra detta delar vi figuren med sekantplan parallella med basen i ett oändligt antal tunna lager. Bilden nedan visar en fyrkantig pyramid med höjden h och sidolängden L, där fyrkanten markerar tunt lager sektioner.

Arean för varje sådant lager kan beräknas med formeln:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Här är A 0 arean av basen, z är värdet på den vertikala koordinaten. Det kan ses att om z = 0, så ger formeln värdet A 0 .

För att få formeln för pyramidens volym bör du beräkna integralen över hela figurens höjd, det vill säga:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Genom att ersätta beroendet A(z) och beräkna antiderivatan kommer vi fram till uttrycket:

V = -Ao*(h-z)3/(3*h2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Vi har fått formeln för volymen av en pyramid. För att hitta värdet på V räcker det att multiplicera höjden på figuren med arean av basen och sedan dividera resultatet med tre.

Observera att det resulterande uttrycket är giltigt för att beräkna volymen av en pyramid av en godtycklig typ. Det vill säga, det kan vara lutande, och dess bas kan vara en godtycklig n-gon.

och dess volym

Mottaget i stycket ovan allmän formel för volym kan anges i fallet med en pyramid med rätt grund. Arean av en sådan bas beräknas med följande formel:

Ao = n/4*L2*ctg(pi/n).

Här är L sidolängden på en vanlig polygon med n hörn. Symbolen pi är talet pi.

Genom att ersätta uttrycket för A 0 i den allmänna formeln får vi volymen av en vanlig pyramid:

Vn = 1/3*n/4*L2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L2 *h*ctg(pi/n).

Till exempel, för en triangulär pyramid, leder denna formel till följande uttryck:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

För det rätta fyrkantig pyramid volymformeln har formen:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Att bestämma volymen av vanliga pyramider kräver att man känner till sidan av deras bas och höjden på figuren.

Pyramid stympad

Anta att vi har tagit en godtycklig pyramid och skurit av en del av dess sidoyta som innehåller vertexet. Den återstående figuren kallas en stympad pyramid. Den består redan av två n-gonala baser och n trapetser som förbinder dem. Om skärplanet var parallellt med figurens bas, bildas en stympad pyramid med parallella liknande baser. Det vill säga att längderna på sidorna på en av dem kan erhållas genom att multiplicera längden på den andra med någon koefficient k.

Figuren ovan visar en stympad regelbunden.Det kan ses att dess övre bas, liksom den nedre, är bildad av en regelbunden sexkant.

Formeln som kan härledas med hjälp av en integralkalkyl som liknar ovanstående är:

V = 1/3*h*(Ao + Ai + √(A0*A1)).

Där A 0 och A 1 är områdena för de nedre (stora) respektive övre (små) baserna. Variabeln h betecknar höjden på den trunkerade pyramiden.

Volymen av Cheops-pyramiden

Det är nyfiket att lösa problemet med att bestämma volymen som den största egyptiska pyramiden innehåller.

1984 etablerade de brittiska egyptologerna Mark Lehner och Jon Goodman exakta mått Keopspyramiden. Dess ursprungliga höjd var 146,50 meter (för närvarande cirka 137 meter). Genomsnittslängd var och en av de fyra sidorna av strukturen var 230.363 meter. Pyramidens bas är kvadratisk med hög noggrannhet.

Låt oss använda de givna siffrorna för att bestämma volymen på denna stenjätte. Eftersom pyramiden är en vanlig fyrkantig, är formeln giltig för den:

Pluggar vi in ​​siffrorna får vi:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

Volymen av Cheops-pyramiden är nästan 2,6 miljoner m 3. Som jämförelse noterar vi att den olympiska poolen har en volym på 2,5 tusen m 3. Det vill säga, för att fylla hela Cheops-pyramiden kommer det att behövas mer än 1000 sådana pooler!

Pyramid. Stympad pyramid

Pyramid kallas en polyeder, vars ena ansikten är en polygon ( bas ), och alla andra ytor är trianglar med en gemensam vertex ( sidoytor ) (Fig. 15). Pyramiden kallas korrekt , om dess bas är en vanlig polygon och toppen av pyramiden projiceras in i mitten av basen (fig. 16). En triangulär pyramid där alla kanter är lika kallas tetraeder .

Sido revben pyramid kallas den sida av sidoytan som inte hör till basen Höjd pyramid är avståndet från dess topp till basens plan. Alla sidokanter på en vanlig pyramid är lika med varandra, alla sidoytor är lika likbenta trianglar. Höjden på sidoytan på en vanlig pyramid ritad från vertex kallas apotem . diagonal sektion En sektion av en pyramid kallas ett plan som går genom två sidokanter som inte tillhör samma yta.

Sidoyta pyramid kallas summan av areorna av alla sidoytor. område full yta är summan av areorna av alla sidoytor och basen.

Satser

1. Om i en pyramid alla laterala kanter är lika lutande mot basens plan, projiceras toppen av pyramiden in i mitten av den omskrivna cirkeln nära basen.

2. Om i en pyramid alla laterala kanter är lika långa, så projiceras toppen av pyramiden in i mitten av den omskrivna cirkeln nära basen.

3. Om alla ytor i pyramiden lutar lika mycket mot basens plan, så projiceras toppen av pyramiden in i mitten av cirkeln inskriven i basen.

För att beräkna volymen av en godtycklig pyramid är formeln korrekt:

var V- volym;

S huvud- basarea;

Här höjden på pyramiden.

För en vanlig pyramid är följande formler sanna:

var sid- basens omkrets;

h a- apotem;

H- höjd;

S full

S sida

S huvud- basarea;

Vär volymen av en vanlig pyramid.

stympad pyramid kallas den del av pyramiden som är innesluten mellan basen och skärplanet parallellt med pyramidens bas (fig. 17). Korrigera stympad pyramid kallas delen av en vanlig pyramid, innesluten mellan basen och ett skärande plan parallellt med pyramidens bas.

Grunder stympad pyramid - liknande polygoner. Sidoytor - trapets. Höjd stympad pyramid kallas avståndet mellan dess baser. Diagonal En stympad pyramid är ett segment som förbinder dess hörn som inte ligger på samma yta. diagonal sektion En sektion av en stympad pyramid kallas ett plan som går genom två sidokanter som inte hör till samma yta.

För en trunkerad pyramid är formlerna giltiga:

(4)

var S 1 , S 2 - områden av de övre och nedre baserna;

S fullär den totala ytan;

S sidaär den laterala ytarean;

H- höjd;

Vär volymen av den trunkerade pyramiden.

För en vanlig trunkerad pyramid är följande formel sann:

var sid 1 , sid 2 - basomkretsar;

h a- apotem av en vanlig stympad pyramid.

Exempel 1 I en vanlig triangulär pyramid är den dihedriska vinkeln vid basen 60º. Hitta tangenten för sidokantens lutningsvinkel mot basens plan.

Lösning. Låt oss göra en ritning (bild 18).

Pyramiden är regelbunden, vilket betyder att basen är en liksidig triangel och alla sidoytorna är lika likbenta trianglar. Dihedral vinkel vid basen - detta är lutningsvinkeln för pyramidens sidoyta mot basens plan. Den linjära vinkeln blir vinkeln a mellan två perpendikuler: d.v.s. Pyramidens topp projiceras i triangelns mitt (centrum av den omskrivna cirkeln och den inskrivna cirkeln i triangeln ABC). Lutningsvinkeln för sidoribban (till exempel SB) är vinkeln mellan själva kanten och dess projektion på basplanet. För revben SB denna vinkel kommer att vara vinkeln SBD. För att hitta tangenten behöver du känna till benen SÅ Och OB. Låt längden på segmentet BDär 3 men. punkt HANDLA OM sektion BDär uppdelad i delar: och Från finner vi SÅ: Från vi finner:

Svar:

Exempel 2 Hitta volymen av en vanlig stympad fyrkantig pyramid om diagonalerna på dess baser är cm och cm och höjden är 4 cm.

Lösning. För att hitta volymen av en stympad pyramid använder vi formel (4). För att hitta ytorna på baserna måste du hitta sidorna på basrutorna, känna till deras diagonaler. Sidorna på baserna är 2 cm respektive 8 cm. Detta betyder att områdena på baserna och Genom att ersätta alla data i formeln beräknar vi volymen på den trunkerade pyramiden:

Svar: 112 cm3.

Exempel 3 Hitta arean av sidoytan på en vanlig triangulär stympad pyramid vars sidor av baserna är 10 cm och 4 cm och höjden på pyramiden är 2 cm.

Lösning. Låt oss göra en ritning (bild 19).

Sidoytan på denna pyramid är en likbent trapets. För att beräkna arean av en trapets, måste du känna till baserna och höjden. Baserna är givna efter villkor, bara höjden är fortfarande okänd. Hitta den varifrån MEN 1 E vinkelrät från en punkt MEN 1 på planet för den nedre basen, A 1 D- vinkelrätt från MEN 1 på AC. MEN 1 E\u003d 2 cm, eftersom detta är höjden på pyramiden. För att hitta DE vi kommer att göra en extra ritning, där vi kommer att avbilda en toppvy (Fig. 20). Punkt HANDLA OM- projektion av mitten av de övre och nedre baserna. sedan (se fig. 20) och Å andra sidan OKär radien för den inskrivna cirkeln och OMär radien för den inskrivna cirkeln:

MK=DE.

Enligt Pythagoras sats från

Sidoyta:

Svar:

Exempel 4 Vid basen av pyramiden ligger en likbent trapets, vars baser men Och b (a> b). Varje sidoyta bildar en vinkel som är lika med planet för pyramidens bas j. Hitta den totala ytan av pyramiden.

Lösning. Låt oss göra en ritning (bild 21). Total yta av pyramiden SABCDär lika med summan av ytorna och arean av trapetsen ABCD.

Låt oss använda påståendet att om alla ytor på pyramiden lutar lika mycket mot basens plan, så projiceras vertexen in i mitten av cirkeln som är inskriven i basen. Punkt HANDLA OM- vertexprojektion S vid basen av pyramiden. Triangel SODär den ortogonala projektionen av triangeln CSD till basplanet. Enligt satsen om arean för den ortogonala projektionen av en platt figur får vi:

På samma sätt betyder det Således reducerades problemet till att hitta området för trapetsen ABCD. Rita en trapets ABCD separat (fig. 22). Punkt HANDLA OMär mitten av en cirkel inskriven i en trapets.

Eftersom en cirkel kan skrivas in i en trapets, har vi eller genom Pythagoras sats

• 09.10.2014

  Förförstärkaren som visas i figuren är designad för användning med 4 typer av ljudkällor, såsom mikrofon, CD-spelare, radiobandspelare etc. Samtidigt har förförstärkaren en ingång som kan ändra känsligheten från 50mV till 500mV . förstärkarens utspänning är 1000mV. Ansluter olika källor signal när du byter switch SA1 får vi alltid ...

• 20.09.2014

  PSU:n är designad för en belastning med en effekt på 15 ... 20 watt. Källan är gjord enligt schemat för en enkelcykels pulsad högfrekvensomvandlare. En oscillator som arbetar med en frekvens på 20 ... 40 kHz är monterad på transistorn. Frekvensen justeras av kapacitansen C5. Elementen VD5, VD6 och C6 bildar en krets för att starta en oscillator. I den sekundära kretsen, efter brygglikriktaren, finns det en konventionell linjär stabilisator på en mikrokrets, vilket gör att du kan ha ...

• 28.09.2014

  Figuren visar en generator på ett K174XA11-chip, vars frekvens styrs av spänning. Genom att ändra kapacitansen C1 från 560 till 4700pF kan ett brett frekvensområde erhållas, samtidigt som frekvensen justeras genom att ändra motståndet R4. Till exempel fick författaren reda på att vid C1 \u003d 560pF kan generatorfrekvensen ändras med R4 från 600Hz till 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Enheten är designad för att driva en kraftfull ULF, den är designad för en utspänning på ± 27V och belastar därför upp till 3A på varje arm. Nätaggregatet är bipolärt, tillverkat på kompletta komposittransistorer KT825-KT827. Båda armarna på stabilisatorn är gjorda enligt samma schema, men i den andra armen (den visas inte) ändras kondensatorernas polaritet och den andras transistorer används ...