Hur man hittar cosinus för en vinkel mellan plan. Dihedral vinkel

Den här artikeln handlar om vinkeln mellan plan och hur man hittar den. Först ges definitionen av vinkeln mellan två plan och en grafisk illustration ges. Därefter analyserades principen att hitta vinkeln mellan två skärande plan med koordinatmetoden, en formel erhölls som gör det möjligt att beräkna vinkeln mellan skärande plan med hjälp av de kända koordinaterna för normalvektorerna för dessa plan. Avslutningsvis visas detaljerade lösningar på typiska problem.

Sidnavigering.

Vinkel mellan plan - definition.

Låt oss ge argument som gör att vi gradvis kan närma oss definitionen av vinkeln mellan två skärande plan.

Låt oss ges två skärande plan och . Dessa plan skär varandra i en rät linje, som vi betecknar med bokstaven c. Låt oss konstruera ett plan som går genom punkten M på linjen c och vinkelrätt mot linjen c. I det här fallet kommer planet att skära planen och . Beteckna linjen längs vilken planen skär och som a, och linjen längs vilken planen skär och som b. Uppenbarligen skär linjerna a och b i punkten M.

Det är lätt att visa att vinkeln mellan de skärande linjerna a och b inte beror på platsen för punkten M på linjen c genom vilken planet passerar.

Låt oss konstruera ett plan vinkelrätt mot linjen c och skilt från planet. Planet skärs av planen och längs räta linjer, som vi betecknar med a 1 respektive b 1.

Av metoden att konstruera plan och det följer att linjerna a och b är vinkelräta mot linjen c, och linjerna a 1 och b 1 är vinkelräta mot linjen c. Eftersom linjerna a och a 1 ligger i samma plan och är vinkelräta mot linjen c är de parallella. På liknande sätt ligger linjerna b och b 1 i samma plan och är vinkelräta mot linjen c, därför är de parallella. Således är det möjligt att utföra en parallell överföring av planet till planet, där linjen a 1 sammanfaller med linjen a och linjen b med linjen b 1. Därför är vinkeln mellan två skärande linjer a 1 och b 1 lika med vinkeln mellan skärande linjer a och b .

Detta bevisar att vinkeln mellan de skärande linjerna a och b som ligger i de skärande planen och inte beror på valet av den punkt M genom vilken planet passerar. Därför är det logiskt att ta denna vinkel som vinkeln mellan två skärande plan.

Nu kan du uttrycka definitionen av vinkeln mellan två skärande plan och .

Definition.

Vinkeln mellan två plan som skär i en rät linje ochär vinkeln mellan två skärande linjer a och b, längs vilka planen och skär med planet vinkelrätt mot linjen c.

Definitionen av vinkeln mellan två plan kan ges lite olika. Om på linjen c, längs vilken planen skär, markera punkten M och dra linjer genom den a och b, vinkelräta mot linjen c och liggande i planen respektive, så är vinkeln mellan linjerna a och b vinkel mellan planen och. Vanligtvis, i praktiken, utförs sådana konstruktioner för att erhålla vinkeln mellan planen.

Eftersom vinkeln mellan de skärande linjerna inte överstiger, följer det av den tonande definitionen att gradmåttet på vinkeln mellan två skärande plan uttrycks med ett reellt tal från intervallet. I detta fall kallas korsande plan vinkelrät om vinkeln mellan dem är nittio grader. Vinkeln mellan parallella plan är antingen inte bestämd alls, eller så anses den lika med noll.

Hitta vinkeln mellan två skärande plan.

Vanligtvis, när du hittar vinkeln mellan två skärande plan, måste du först utföra ytterligare konstruktioner för att se de skärande linjerna, vars vinkel är lika med den önskade vinkeln, och sedan koppla denna vinkel med originaldata med likatecken, likhetstecken, cosinussatsen eller definitionerna av sinus, cosinus och vinkelns tangent. På gymnasiets geometrikurs finns liknande problem.

Låt oss till exempel ge en lösning på problem C2 från Unified State Examination i matematik för 2012 (villkoret ändras avsiktligt, men detta påverkar inte principen för lösningen). I den var det bara nödvändigt att hitta vinkeln mellan två korsande plan.

Exempel.

Lösning.

Låt oss först göra en ritning.

Låt oss utföra ytterligare konstruktioner för att "se" vinkeln mellan planen.

Låt oss först definiera en rät linje längs vilken planen ABC och BED 1 skär varandra. Punkt B är en av deras gemensamma punkter. Hitta den andra gemensamma punkten för dessa plan. Linjerna DA och D 1 E ligger i samma plan ADD 1, och de är inte parallella och skär därför varandra. Å andra sidan ligger linjen DA i planet ABC, och linjen D 1 E ligger i planet BED 1, därför kommer skärningspunkten för linjerna DA och D 1 E att vara en gemensam punkt för planen ABC och SÄNG 1. Så vi fortsätter linjerna DA och D 1 E tills de skär varandra, vi betecknar punkten för deras skärningspunkt med bokstaven F. Då är BF den räta linje längs vilken planen ABC och BED 1 skär varandra.

Det återstår att konstruera två linjer som ligger i planen ABC respektive BED 1, som går genom en punkt på linjen BF och vinkelrät mot linjen BF - vinkeln mellan dessa linjer kommer per definition att vara lika med den önskade vinkeln mellan plan ABC och BED 1 . Vi gör det.

Punkt A är projektionen av punkten E på planet ABC. Rita en linje som skär linjen BF i rät vinkel vid punkten M. Linjen AM är då projektionen av linjen EM på planet ABC, och av tre vinkelräta satsen.

Således är den önskade vinkeln mellan planen ABC och BED 1 .

Vi kan bestämma sinus, cosinus eller tangens för denna vinkel (och därmed själva vinkeln) från en rätvinklig triangel AEM om vi vet längden på dess två sidor. Från villkoret är det lätt att hitta längden AE: eftersom punkt E delar sidan AA 1 i förhållande till 4 till 3, räknat från punkt A, och längden på sidan AA 1 är 7, då AE \u003d 4. Låt oss hitta längden på AM.

För att göra detta, överväg en rätvinklig triangel ABF med rät vinkel A, där AM är höjden. Enligt villkor AB=2. Vi kan hitta längden på sidan AF från likheten mellan räta trianglar DD 1 F och AEF:

Genom Pythagoras sats, från triangeln ABF finner vi . Vi hittar längden AM genom arean av triangeln ABF: på ena sidan är arean av triangeln ABF lika med , å andra sidan , var .

Alltså, från den räta triangeln AEM har vi .

Då är den önskade vinkeln mellan planen ABC och BED 1 (observera att ).

Svar:

I vissa fall, för att hitta vinkeln mellan två skärande plan, är det bekvämt att specificera Oxyz och använda koordinatmetoden. Låt oss sluta med det.

Låt oss ställa in uppgiften: att hitta vinkeln mellan två skärande plan och . Låt oss beteckna den önskade vinkeln som .

Vi kommer att anta att vi i ett givet rektangulärt koordinatsystem Oxyz känner till koordinaterna för normalvektorerna för de skärande planen och eller är det möjligt att hitta dem. Låt vara är normalvektorn för planet, och är planets normalvektor. Låt oss visa hur man hittar vinkeln mellan skärande plan och genom koordinaterna för dessa plans normalvektorer.

Låt oss beteckna linjen längs vilken planen skär och som c . Genom punkten M på linjen c ritar vi ett plan vinkelrätt mot linjen c. Planet skär planen och längs linjerna a respektive b skär linjerna a och b i punkten M. Per definition är vinkeln mellan skärande plan och lika med vinkeln mellan skärande linjer a och b.

Låt oss avsätta från punkten M i planet normalvektorerna och planen och . I det här fallet ligger vektorn på en linje som är vinkelrät mot linje a, och vektorn ligger på en linje som är vinkelrät mot linje b. Således, i planet är vektorn normalvektorn för linjen a, är den normala vektorn för linjen b.

I artikeln Hitta vinkeln mellan skärande linjer fick vi en formel som låter dig beräkna cosinus för vinkeln mellan skärande linjer med hjälp av koordinaterna för normalvektorer. Alltså cosinus för vinkeln mellan linjerna a och b, och följaktligen och cosinus för vinkeln mellan skärande plan och hittas av formeln , där Och är normalvektorerna för planen och resp. Då beräknas det som .

Låt oss lösa det föregående exemplet med hjälp av koordinatmetoden.

Exempel.

En rektangulär parallellepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ges, där AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 och punkt E delar sidan AA 1 i ett förhållande av 4 till 3, räknat från punkt A . Hitta vinkeln mellan planen ABC och BED 1.

Lösning.

Eftersom sidorna av en rektangulär parallellepiped vid en vertex är parvis vinkelräta, är det lämpligt att införa ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz enligt följande: början är i linje med vertex C, och koordinataxlarna Ox, Oy och Oz är riktade längs sidorna CD, CB och CC 1, respektive.

Vinkeln mellan planen ABC och BED 1 kan hittas genom koordinaterna för dessa plans normalvektorer med hjälp av formeln , där och är normalvektorerna för planen ABC respektive BED 1. Låt oss bestämma koordinaterna för normalvektorer.

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Då och då kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Avslöjande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

I händelse av att det är nödvändigt - i enlighet med lag, rättsordning, i rättsliga förfaranden och / eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ på Ryska federationens territorium - avslöja din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt av säkerhetsskäl, brottsbekämpande eller andra allmänintressen.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Sats

Vinkeln mellan planen beror inte på valet av skärplan.

Bevis.

Låt det finnas två plan α och β som skär längs linjen c. rita planet γ vinkelrätt mot linjen c. Då skär planet γ planen α och β längs linjerna a respektive b. Vinkeln mellan planen α och β är lika med vinkeln mellan linjerna a och b.
Ta ett annat skärplan γ`, vinkelrätt mot c. Då kommer planet γ` att skära planen α och β längs linjerna a` respektive b`.
Med parallell translation kommer skärningspunkten för planet γ med linjen c att gå till skärningspunkten för planet γ` med linjen c. i detta fall, genom egenskapen parallell translation, kommer linjen a att gå till linjen a`, b - till linjen b`. därför är vinklarna mellan linjerna a och b, a` och b` lika. Teoremet har bevisats.

Sidnavigering.

Vinkel mellan plan - definition.

När vi presenterar materialet kommer vi att använda de definitioner och begrepp som ges i artiklarna plan i rymden och rät linje i rymden.

Låt oss ge argument som gör att vi gradvis kan närma oss definitionen av vinkeln mellan två skärande plan.

Låt oss ges två skärande plan och . Dessa plan skär varandra i en rak linje, som vi betecknar med bokstaven c. Konstruera ett plan som passerar genom punkten M hetero c och vinkelrätt mot linjen c. I det här fallet kommer planet att skära planen och . Vi betecknar linjen längs vilken planen skär och som a, men den räta linjen längs vilken planen skär och hur b. Uppenbarligen direkt. a Och b skära varandra i en punkt M.

Det är lätt att visa att vinkeln mellan skärande linjer a Och b beror inte på platsen för punkten M på en rak linje c genom vilket planet passerar.

Konstruera ett plan vinkelrätt mot linjen c och skiljer sig från planet. Planet skärs av plan och längs räta linjer, vilket vi betecknar en 1 Och b 1 respektive.

Av metoden att konstruera plan följer att linjerna a Och b vinkelrätt mot linjen c och direkt en 1 Och b 1 vinkelrätt mot linjen c. Sedan rakt a Och en 1 c, då är de parallella. Likaså rak b Och b 1 ligger i samma plan och är vinkelräta mot linjen c så de är parallella. Således är det möjligt att utföra en parallell överföring av planet till planet, där den räta linjen en 1 sammanfaller med linjen a, och den raka linjen b med en rak linje b 1. Därför vinkeln mellan två skärande linjer en 1 Och b 1 lika med vinkeln mellan skärande linjer a Och b.

Detta bevisar att vinkeln mellan skärande linjer a Och b ligger i korsande plan och beror inte på valet av punkt M genom vilket planet passerar. Därför är det logiskt att ta denna vinkel som vinkeln mellan två skärande plan.

Nu kan du uttrycka definitionen av vinkeln mellan två skärande plan och .

Definition.

Vinkel mellan två skärande linjer c flygplan ochär vinkeln mellan två skärande linjer a Och b, längs vilka planen och skär med planet vinkelrätt mot linjen c.

Definitionen av vinkeln mellan två plan kan ges lite olika. Om på en rak linje från, längs vilken planen och skär, markera en punkt M och rita raka linjer genom den men Och b, vinkelrätt mot linjen c och liggande i planen respektive, sedan vinkeln mellan linjerna men Och bär vinkeln mellan planen och . Vanligtvis, i praktiken, utförs sådana konstruktioner för att erhålla vinkeln mellan planen.

Förstasidan

Hitta vinkeln mellan två skärande plan.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, i vilken AB=3, AD=2, AA1 =7 och prick E delar sidan AA 1 i ett förhållande 4 till 3 , räknat från punkten MEN ABC Och SÄNG 1.

Låt oss först göra en ritning.

Låt oss utföra ytterligare konstruktioner för att "se" vinkeln mellan planen.

Först definierar vi en rät linje längs vilken planen skär varandra ABC Och Säng 1. Punkt Iär en av deras gemensamma punkter. Hitta den andra gemensamma punkten för dessa plan. Direkt DA Och D 1 E ligga i samma plan LÄGG TILL 1, och de är inte parallella och korsar sig därför. Å andra sidan, rak DA ligger i planet ABC, och den raka linjen D 1 E- i planet Säng 1, därav skärningspunkten för linjerna DA Och D 1 E kommer att vara en gemensam punkt för planen ABC Och Säng 1. Så låt oss fortsätta rakt ut DA Och D 1 E innan de skär varandra betecknar vi punkten för deras skärningspunkt med bokstaven F. Sedan bf- en linje längs vilken planen skär varandra ABC Och Säng 1.

Det återstår att konstruera två raka linjer som ligger i plan ABC Och Säng 1 genom en punkt på linjen bf och vinkelrätt mot linjen bf, - vinkeln mellan dessa linjer kommer per definition att vara lika med den önskade vinkeln mellan planen ABC Och Säng 1. Vi gör det.

Punkt MENär projektionen av punkten E till planet ABC. Rita en linje som skär linjen i rät vinkel BF vid punkten M. Sedan raden AMär en projektion av en rät linje ÄTA till planet ABC, och av tre vinkelräta satsen.

Alltså den önskade vinkeln mellan planen ABC Och Säng 1är lika med .

Sinus, cosinus eller tangens för denna vinkel (och därmed själva vinkeln) kan vi bestämma från en rätvinklig triangel AEM om vi vet längden på dess två sidor. Från skicket är det lätt att hitta längden AE: sedan prick E delar sidan AA 1 i ett förhållande 4 till 3 , räknat från punkten MEN, och sidolängden AA 1är lika med 7 , då AE=4. Låt oss hitta en annan längd AM.

För att göra detta, överväg en rätvinklig triangel ABF rätt vinkel MEN, var AMär höjden. Efter tillstånd AB=2. sidolängd AF vi kan finna från likheten mellan räta trianglar DD 1F Och AEF:

Enligt Pythagoras sats från en triangel ABF hitta . Längd AM hitta genom triangelns area ABF: på ena sidan arean av en triangel ABFär lika med å andra sidan varifrån .

Alltså från en rätvinklig triangel AEM vi har .

Därefter önskad vinkel mellan planen ABC Och Säng 1 lika (observera att ).

I vissa fall, för att hitta vinkeln mellan två skärande plan, är det bekvämt att ställa in ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz och använd koordinatmetoden. Låt oss sluta med det.

Låt oss ställa in uppgiften: att hitta vinkeln mellan två skärande plan och . Låt oss beteckna den önskade vinkeln som .

Vi antar att i ett givet rektangulärt koordinatsystem Oxyz vi känner till koordinaterna för normalvektorerna för de skärande planen och eller har möjlighet att hitta dem. Låta vara en normalvektor för planet, och vara en normalvektor för planet. Låt oss visa hur man hittar vinkeln mellan skärande plan och genom koordinaterna för dessa plans normalvektorer.

Låt oss beteckna linjen längs vilken planen skär och som c. Genom pricken M på en rak linje c rita ett plan vinkelrätt mot linjen c. Planet skär plan och längs raka linjer a Och b respektive direkt a Och b skära varandra i en punkt M. Per definition är vinkeln mellan skärande plan och lika med vinkeln mellan skärande linjer a Och b.

Lägg åt sidan från punkten M i planet finns normalvektorerna och av planen och . Vektorn ligger på en linje som är vinkelrät mot linjen a, och vektorn är på en linje som är vinkelrät mot linjen b. I planet är alltså vektorn linjens normalvektor a, - normal linjevektor b.

I artikeln Hitta vinkeln mellan skärande linjer fick vi en formel som låter dig beräkna cosinus för vinkeln mellan skärande linjer med hjälp av koordinaterna för normalvektorer. Alltså cosinus för vinkeln mellan linjerna a Och b, och följaktligen, cosinus för vinkeln mellan skärande plan och hittas av formeln , där och är de normala vektorerna för planen och respektive. Sedan vinkel mellan skärande plan beräknas som .

Låt oss lösa det föregående exemplet med hjälp av koordinatmetoden.

Givet en rektangulär parallellepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, i vilken AB=3, AD=2, AA1 =7 och prick E delar sidan AA 1 i ett förhållande 4 till 3 , räknat från punkten MEN. Hitta vinkeln mellan planen ABC Och SÄNG 1.

Eftersom sidorna av en rektangulär parallellepiped vid en vertex är parvis vinkelräta, är det lämpligt att införa ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz så här: börja kombinera med toppen FRÅN, och koordinataxlarna Oxe, Oj Och Uns skicka runt CD, CB Och CC 1 respektive.

Vinkel mellan plan ABC Och Säng 1 kan hittas genom koordinaterna för normalvektorerna för dessa plan med formeln där och är normalvektorerna för planen ABC Och Säng 1 respektive. Låt oss bestämma koordinaterna för normalvektorer.

Sedan planet ABC sammanfaller med koordinatplanet Oxy, då är dess normalvektor koordinatvektorn , det vill säga .

Som en normal plan vektor Säng 1 vi kan ta korsprodukten av vektorer och i sin tur vektorernas koordinater och kan hittas genom punkternas koordinater I, E Och D1(vilket är skrivet i artikeln koordinaterna för vektorn genom koordinaterna för punkterna i dess början och slut), och koordinaterna för punkterna I, E Och D1 i det införda koordinatsystemet bestämmer vi utifrån problemets tillstånd.

Självklart, . Sedan hittar vi genom punkternas koordinater (om nödvändigt, se artikeluppdelningen av ett segment i ett givet förhållande). Då och Oxyz är ekvationer och .

När vi studerade den allmänna ekvationen för en rät linje fick vi reda på att koefficienterna MEN, I Och FRÅNär motsvarande koordinater för planets normalvektor. Alltså och är de normala vektorerna för planen och resp.

Vi ersätter koordinaterna för normalvektorerna för planen i formeln för att beräkna vinkeln mellan två plan som skär varandra:

Sedan . Eftersom vinkeln mellan två korsande plan inte är trubbig, så hittar vi med den grundläggande trigonometriska identiteten vinkelns sinus:.

Måttet på vinkeln mellan plan är den spetsiga vinkeln som bildas av två räta linjer som ligger i dessa plan och ritade vinkelrätt mot linjen för deras skärningspunkt.

Konstruktionsalgoritm

Från en godtycklig punkt K dras vinkelräta till vart och ett av de givna planen.
Rotationen runt nivålinjen bestämmer värdet på vinkeln γ° med spetsen vid punkten K.
Beräkna vinkeln mellan planen ϕ° = 180 - γ° förutsatt att γ° > 90°. Om γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Figuren visar fallet när planen α och β ges av spår. Alla nödvändiga konstruktioner är gjorda enligt algoritmen och beskrivs nedan.

Lösning

På en godtycklig plats på ritningen markerar vi punkten K. Från den sänker vi vinkelrätarna m respektive n till planen α och β. Riktningen för projektionerna m och n är som följer: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
Vi bestämmer den faktiska storleken ∠γ° mellan linjerna m och n. För att göra detta, rotera vinkelplanet med vertex K runt frontal f till en position parallell med frontalprojektionsplanet. Svängradien R för punkten K är lika med värdet på hypotenusan i den räta triangeln O""K""K 0 , vars ben är K""K 0 = y K – y O .
Den önskade vinkeln är ϕ° = ∠γ°, eftersom ∠γ° är skarp.

Figuren nedan visar lösningen på problemet där det krävs att hitta vinkeln γ° mellan planen α och β, given av parallella respektive skärande linjer.

Lösning

Vi bestämmer riktningen för projektionerna för horisontalerna h 1 , h 2 och frontalerna f 1 , f 2 som hör till planen α och β, i den ordning som pilarna visar. Från en godtycklig punkt K på torget. α och β tappar vi vinkelräta e och k. I det här fallet, e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 och k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
Vi bestämmer ∠γ° mellan linjerna e och k. För att göra detta ritar vi en horisontell h 3 och roterar punkten K runt den till positionen K 1, där △CKD blir parallell med horisontalplanet och reflekteras på det i full storlek - △C "K" 1 D ". Projektionen av rotationscentrum O" är på ritad till h "3 vinkelrät K "O". Radien R bestäms från en rätvinklig triangel O "K" K 0, vars sida är K "K 0 \u003d ZO - ZK.
Det önskade värdet är ∠ϕ° = ∠γ°, eftersom vinkeln γ° är spetsig.

När man löser geometriska problem i rymden finns det ofta sådana där det är nödvändigt att beräkna vinklarna mellan olika rumsliga objekt. I den här artikeln kommer vi att överväga frågan om att hitta vinklarna mellan plan och mellan dem och en rät linje.

Rak linje i rymden

Det är känt att absolut vilken rät linje som helst i planet kan definieras av följande likhet:

Här är a och b några siffror. Om vi representerar en rät linje i rymden med samma uttryck får vi ett plan parallellt med z-axeln. För den matematiska definitionen av den rumsliga linjen används en annan lösningsmetod än i det tvådimensionella fallet. Den består i att använda konceptet "riktande vektor".

Exempel på att lösa problem för att bestämma skärningsvinkeln för plan

Genom att veta hur man hittar vinkeln mellan planen kommer vi att lösa följande problem. Två plan ges, vars ekvationer har formen:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Vad är vinkeln mellan planen?

För att svara på frågan om problemet minns vi att koefficienterna som står vid variablerna i planets allmänna ekvation är koordinaterna för guidevektorn. För dessa plan har vi följande koordinater för deras normaler:

ni (3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

Nu hittar vi skalärprodukten av dessa vektorer och deras moduler, vi har:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Nu kan du ersätta de hittade numren i formeln i föregående stycke. Vi får:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Det resulterande värdet motsvarar den spetsiga skärningsvinkeln för planen som anges i problemets tillstånd.

Låt oss nu titta på ett annat exempel. Med tanke på två plan:

Korsar de varandra? Låt oss skriva ut värdena för koordinaterna för deras riktningsvektorer, beräkna deras skalära produkt och moduler:

ni (1; 1; 0);
n2(3; 3; 0);
(n 1 * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

Då är skärningsvinkeln:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Denna vinkel indikerar att planen inte skär varandra, utan är parallella. Att de inte matchar varandra är lätt att kontrollera. Låt oss ta för detta en godtycklig punkt som tillhör den första av dem, till exempel P(0; 3; 2). Genom att ersätta dess koordinater i den andra ekvationen får vi:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Det vill säga, punkten P tillhör endast det första planet.

Således är två plan parallella när deras normaler är det.

Plan och linje

När det gäller den relativa positionen mellan ett plan och en rät linje, finns det flera fler alternativ än med två plan. Detta faktum är kopplat till det faktum att den räta linjen är ett endimensionellt föremål. Linje och plan kan vara:

ömsesidigt parallella, i detta fall skär planet inte linjen;
det senare kan tillhöra planet, medan det också kommer att vara parallellt med det;
båda objekten kan skära varandra i någon vinkel.

Tänk först på det sista fallet, eftersom det kräver införandet av begreppet skärningsvinkel.

Linje och plan, värdet av vinkeln mellan dem

Om en rät linje skär ett plan, kallas det lutande i förhållande till det. Skärningspunkten kallas lutningens bas. För att bestämma vinkeln mellan dessa geometriska objekt är det nödvändigt att sänka en rak vinkelrät mot planet från vilken punkt som helst. Sedan bildar skärningspunkten för vinkelrät med planet och skärningsplatsen för den lutande linjen med den en rak linje. Det senare kallas projiceringen av den ursprungliga linjen på det aktuella planet. Akut och dess projektion är den önskade.

Den något förvirrande definitionen av vinkeln mellan ett plan och en snedställning kommer att förtydligas av figuren nedan.

Här är vinkeln ABO vinkeln mellan linjen AB och planet a.

För att skriva en formel för det, överväg ett exempel. Låt det finnas en rät linje och ett plan, som beskrivs av ekvationerna:

(x; y; z) = (xo; yo; z0) + X* (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

Det är lätt att beräkna önskad vinkel för dessa objekt om du hittar skalärprodukten mellan riktningsvektorerna för linjen och planet. Den resulterande spetsiga vinkeln bör subtraheras från 90 o, sedan erhålls den mellan en rät linje och ett plan.

Figuren ovan visar den beskrivna algoritmen för att hitta den övervägda vinkeln. Här är β vinkeln mellan normalen och linjen, och α är mellan linjen och dess projektion på planet. Det kan ses att deras summa är lika med 90 o .

Ovan presenterades en formel som svarar på frågan om hur man hittar en vinkel mellan plan. Nu ger vi motsvarande uttryck för fallet med en rät linje och ett plan:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Modulen i formeln gör att endast spetsiga vinklar kan beräknas. Arcsinusfunktionen uppträdde istället för arccosinusen på grund av användningen av motsvarande reduktionsformel mellan trigonometriska funktioner (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Problem: Ett plan skär en linje

Nu kommer vi att visa hur man arbetar med formeln ovan. Låt oss lösa problemet: det är nödvändigt att beräkna vinkeln mellan y-axeln och planet som ges av ekvationen:

Detta plan visas i figuren.

Det kan ses att den skär y- och z-axlarna i punkterna (0; -12; 0) respektive (0; 0; 12) och är parallell med x-axeln.

Riktningsvektorn för den räta linjen y har koordinater (0; 1; 0). En vektor vinkelrät mot ett givet plan kännetecknas av koordinater (0; 1; -1). Vi tillämpar formeln för skärningsvinkeln för en rät linje och ett plan, vi får:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

Problem: rak linje parallell med planet

Låt oss nu lösa ett problem som liknar det föregående, frågan om vilken ställs annorlunda. Ekvationerna för planet och den räta linjen är kända:

x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

Det är nödvändigt att ta reda på om dessa geometriska objekt är parallella med varandra.

Vi har två vektorer: riktningslinjen är (0; 2; 2) och riktningsplanet är (1; 1; -1). Vi hittar deras skalära produkt:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Den resulterande nollan indikerar att vinkeln mellan dessa vektorer är 90 o , vilket bevisar parallelliteten mellan den räta linjen och planet.

Låt oss nu kontrollera om denna linje bara är parallell eller också ligger i ett plan. För att göra detta, välj en godtycklig punkt på linjen och kontrollera om den tillhör planet. Låt oss till exempel ta λ = 0, då hör punkten P(1; 0; 0) till linjen. Vi ersätter i ekvationen för planet P:

Punkten P tillhör inte planet, och därför ligger inte hela linjen i det.

Var är det viktigt att känna till vinklarna mellan de betraktade geometriska objekten?

Ovanstående formler och exempel på problemlösning är inte bara av teoretiskt intresse. De används ofta för att bestämma viktiga fysiska kvantiteter av verkliga tredimensionella figurer, såsom prismor eller pyramider. Det är viktigt att kunna bestämma vinkeln mellan planen när man beräknar figurernas volymer och ytorna på deras ytor. Dessutom, om det i fallet med ett rakt prisma är möjligt att inte använda dessa formler för att bestämma de angivna kvantiteterna, är deras användning oundviklig för alla typer av pyramid.

Nedan kommer vi att överväga ett exempel på att använda den angivna teorin för att bestämma vinklarna för en pyramid med en kvadratisk bas.

Pyramid och dess hörn

Bilden nedan visar en pyramid, vid vars bas ligger en kvadrat med sidan a. Höjden på figuren är h. Du måste hitta två hörn:

mellan sidoytan och basen;
mellan sidokanten och basen.

För att lösa problemet måste du först gå in i koordinatsystemet och bestämma parametrarna för motsvarande hörn. Figuren visar att origo för koordinater sammanfaller med punkten i centrum av den kvadratiska basen. I det här fallet beskrivs basplanet av ekvationen:

Det vill säga, för alla x och y är värdet på den tredje koordinaten alltid noll. Sidoplanet ABC skär z-axeln i punkten B(0; 0; h), och y-axeln i punkten med koordinaterna (0; a/2; 0). Den korsar inte x-axeln. Detta betyder att ekvationen för ABC-planet kan skrivas som:

y / (a / 2) + z / h = 1 eller
2 * h * y + a * z - a * h = 0

Vektorn AB¯ är en sidokant. Dess start- och slutkoordinater är: A(a/2; a/2; 0) och B(0; 0; h). Sedan koordinaterna för själva vektorn:

Vi har hittat alla nödvändiga ekvationer och vektorer. Nu återstår att använda de övervägda formlerna.

Först, i pyramiden, beräknar vi vinkeln mellan planen på basen och sidan. Motsvarande normalvektorer är: n 1 ¯(0; 0; 1) och n 2 ¯(0; 2*h; a). Då blir vinkeln: