Summan av jämna och udda funktioner. Jämn och udda funktioner

Jämnhet och uddahet hos en funktion är en av dess huvudegenskaper, och jämnhet upptar en imponerande del av skolkursen i matematik. Det bestämmer till stor del arten av funktionens beteende och underlättar i hög grad konstruktionen av motsvarande graf.

Låt oss definiera funktionens paritet. Generellt sett anses funktionen som studeras även om för motsatta värden av den oberoende variabeln (x) som finns i dess domän, motsvarande värden för y (funktion) är lika.

Låt oss ge en mer rigorös definition. Tänk på någon funktion f (x), som är definierad i domänen D. Det kommer att vara även om för någon punkt x som finns i definitionsdomänen:

• -x (motsatt punkt) ligger också i det givna omfånget,

• f(-x) = f(x).

Av definitionen ovan följer det villkor som krävs för definitionsdomänen för en sådan funktion, nämligen symmetri med avseende på punkten O, som är ursprunget till koordinaterna, eftersom om någon punkt b finns i definitionsdomänen för en jämn funktion, då ligger motsvarande punkt - b också i denna domän. Av det föregående följer därför slutsatsen: en jämn funktion har en form som är symmetrisk med avseende på ordinataaxeln (Oy).

Hur bestämmer man en funktions paritet i praktiken?

Låt det ges med formeln h(x)=11^x+11^(-x). Efter algoritmen som följer direkt av definitionen studerar vi först och främst dess definitionsdomän. Uppenbarligen är det definierat för alla värden i argumentet, det vill säga det första villkoret är uppfyllt.

Nästa steg är att ersätta argumentet (x) med dess motsatta värde (-x).
Vi får:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Eftersom addition uppfyller den kommutativa (förskjutnings) lagen är det uppenbart att h(-x) = h(x) och det givna funktionella beroendet är jämnt.

Låt oss kontrollera jämnheten för funktionen h(x)=11^x-11^(-x). Efter samma algoritm får vi h(-x) = 11^(-x) -11^x. Att ta ut minus, som ett resultat, har vi
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Därför är h(x) udda.

Det bör förresten påminnas om att det finns funktioner som inte kan klassificeras enligt dessa kriterier, de kallas varken jämna eller udda.

Även funktioner har ett antal intressanta egenskaper:

• som ett resultat av tillägget av liknande funktioner erhålls en jämn;
• som ett resultat av att subtrahera sådana funktioner erhålls en jämn;
• jämn, även jämn;
• som ett resultat av att multiplicera två sådana funktioner erhålls en jämn;
• som ett resultat av multiplikation av udda och jämna funktioner erhålls en udda;
• som ett resultat av att dela de udda och jämna funktionerna erhålls en udda;
• derivatan av en sådan funktion är udda;
• Om vi ​​kvadrerar en udda funktion får vi en jämn.

En funktions paritet kan användas för att lösa ekvationer.

För att lösa en ekvation som g(x) = 0, där den vänstra sidan av ekvationen är en jämn funktion, räcker det med att hitta dess lösningar för variabelns icke-negativa värden. De erhållna rötterna av ekvationen måste kombineras med motsatta tal. En av dem är föremål för verifiering.

Detsamma används framgångsrikt för att lösa icke-standardiserade problem med en parameter.

Till exempel, finns det något värde för parametern a som skulle få ekvationen 2x^6-x^4-ax^2=1 att ha tre rötter?

Om vi ​​tar hänsyn till att variabeln kommer in i ekvationen i jämna potenser, så är det tydligt att ersättningen av x med - x given ekvation kommer inte att förändras. Det följer att om ett visst tal är dess rot, så är det motsatta talet också. Slutsatsen är uppenbar: rötterna till ekvationen, andra än noll, ingår i uppsättningen av dess lösningar i "par".

Det är tydligt att talet 0 i sig inte är det, det vill säga antalet rötter i en sådan ekvation kan bara vara jämnt och naturligtvis kan det inte ha tre rötter för något värde på parametern.

Men antalet rötter i ekvationen 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 kan vara udda, och för valfritt värde på parametern. Det är faktiskt lätt att kontrollera att uppsättningen av rötter given ekvation innehåller lösningar i "par". Låt oss kontrollera om 0 är en rot. När vi sätter in det i ekvationen får vi 2=2. Således, förutom "parad" är 0 också en rot, vilket bevisar deras udda tal.

En funktion kallas jämn (udda) om för någon och likheten

.

Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring axeln
.

Grafen för en udda funktion är symmetrisk om ursprunget.

Exempel 6.2. Undersök efter jämna eller udda funktioner

1)
; 2)
; 3)
.

Beslut.

1) Funktionen definieras med
. Låt oss hitta
.

De där.
. Så denna funktion är jämn.

2) Funktionen är definierad för

De där.
. Den här funktionen är således udda.

3) funktionen är definierad för , d.v.s. för

,
. Därför är funktionen varken jämn eller udda. Låt oss kalla det en allmän funktion.

3. Undersökning av en funktion för monotoni.

Fungera
kallas ökande (minskande) på något intervall om i detta intervall varje större värde i argumentet motsvarar ett större (mindre) värde på funktionen.

Funktioner som ökar (minskar) på något intervall kallas monotona.

Om funktionen
differentierbar på intervallet
och har en positiv (negativ) derivata
, sedan funktionen
ökar (minskar) i detta intervall.

Exempel 6.3. Hitta intervaller för monotoni av funktioner

1)
; 3)
.

Beslut.

1) Denna funktion är definierad på hela talaxeln. Låt oss hitta derivatan.

Derivatan är noll if
och
. Definitionsdomän - numerisk axel, dividerat med punkter
,
för intervaller. Låt oss bestämma tecknet för derivatan i varje intervall.

I intervallet
derivatan är negativ, funktionen minskar på detta intervall.

I intervallet
derivatan är positiv, därför ökar funktionen på detta intervall.

2) Denna funktion definieras om
eller

.

Vi bestämmer tecknet för det kvadratiska trinomialet i varje intervall.

Alltså omfattningen av funktionen

Låt oss hitta derivatan
,
, om
, dvs.
, men
. Låt oss bestämma derivatans tecken i intervallen
.

I intervallet
derivatan är negativ, därför minskar funktionen på intervallet
. I intervallet
derivatan är positiv, funktionen ökar med intervallet
.

4. Undersökning av en funktion för ett extremum.

Punkt
kallas funktionens maximala (minimum) punkt
, om det finns en sådan grannskap av punkten det för alla
denna stadsdel tillfredsställer ojämlikheten

.

Maximi- och minimumpunkterna för en funktion kallas extrema punkter.

Om funktionen
vid punkten har ett extremum, då är derivatan av funktionen vid denna punkt lika med noll eller existerar inte (ett nödvändigt villkor för existensen av ett extremum).

Punkterna där derivatan är lika med noll eller inte existerar kallas kritiska.

5. Tillräckliga förutsättningar för existensen av ett extremum.

Regel 1. Om under övergången (från vänster till höger) genom den kritiska punkten derivat
ändrar tecken från "+" till "-", sedan vid punkten fungera
har ett maximum; om från "-" till "+", då minimum; om
byter inte tecken, då finns det inget extremum.

Regel 2. Låt vid punkten
första derivatan av funktionen
noll-
, och den andra derivatan existerar och är icke-noll. Om en
, då är maxpoängen, if
, då är minimipunkten för funktionen.

Exempel 6.4 . Utforska max- och minimumfunktionerna:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Beslut.

1) Funktionen är definierad och kontinuerlig på intervallet
.

Låt oss hitta derivatan
och lös ekvationen
, dvs.
.härifrån
är kritiska punkter.

Låt oss bestämma tecknet för derivatan i intervallen,
.

När du passerar genom punkter
och
derivatan ändrar tecken från "–" till "+", därför enligt regel 1
är minimipoängen.

När du passerar en punkt
derivata ändrar tecken från "+" till "-", alltså
är maxpoängen.

,
.

2) Funktionen är definierad och kontinuerlig i intervallet
. Låt oss hitta derivatan
.

Genom att lösa ekvationen
, hitta
och
är kritiska punkter. Om nämnaren
, dvs.
, då existerar inte derivatan. Så,
är den tredje kritiska punkten. Låt oss bestämma derivatans tecken i intervaller.

Därför har funktionen ett minimum vid punkten
, maximalt vid punkter
och
.

3) En funktion är definierad och kontinuerlig if
, dvs. på
.

Låt oss hitta derivatan

.

Låt oss hitta de kritiska punkterna:

Områden med poäng
tillhör inte definitionsdomänen, så de är inte extremum t. Så låt oss utforska de kritiska punkterna
och
.

4) Funktionen är definierad och kontinuerlig på intervallet
. Vi använder regel 2. Hitta derivatan
.

Låt oss hitta de kritiska punkterna:

Låt oss hitta den andra derivatan
och bestäm dess tecken vid punkterna

På punkter
funktion har ett minimum.

På punkter
funktionen har ett maximum.

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningen av bilden är endast i informationssyfte och representerar kanske inte hela omfattningen av presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Mål:

• att bilda begreppet jämna och udda funktioner, att lära ut förmågan att bestämma och använda dessa egenskaper när funktionsforskning, plottning;
• att utveckla elevernas kreativa aktivitet, logiskt tänkande, förmågan att jämföra, generalisera;
• att odla flit, matematisk kultur; utveckla kommunikationsförmåga .

Utrustning: multimediainstallation, interaktiv skrivtavla, handouts.

Arbetsformer: frontal och grupp med inslag av sök- och forskningsverksamhet.

Informationskällor:

1. Algebra klass 9 A.G. Mordkovich. Lärobok.
2. Algebra årskurs 9 A.G. Mordkovich. Uppgiftsbok.
3. Algebra årskurs 9. Uppgifter för lärande och utveckling av elever. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

UNDER Lektionerna

1. Organisatoriskt ögonblick

Att sätta upp mål och mål för lektionen.

2. Kollar läxor

Nr 10.17 (Problembok 9:e klass A.G. Mordkovich).

a) på = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 för X ~ 0,4
4. f(X) >0 kl X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktionen ökar med X € [– 2; + ∞)
6. Funktionen är begränsad underifrån.
7. på hyra = - 3, på naib finns inte
8. Funktionen är kontinuerlig.

(Använde du funktionsutforskningsalgoritmen?) Glida.

2. Låt oss kontrollera tabellen som du blev tillfrågad på bilden.

Fyll bordet
	Domän	Funktion nollor	Konstansintervall		Koordinater för skärningspunkterna för grafen med Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Kunskapsuppdatering

– Funktioner är givna.
– Ange definitionsdomän för varje funktion.
– Jämför värdet för varje funktion för varje par av argumentvärden: 1 och – 1; 2 och - 2.
– För vilken av de givna funktionerna i definitionsdomänen är likheterna f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (lägg in uppgifterna i tabellen) Glida

		f(1) och f(– 1)	f(2) och f(– 2)	diagram	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		och inte definierad.

4. nytt material

- Utför detta jobb, killar, vi har avslöjat ytterligare en egenskap hos funktionen, obekant för dig, men inte mindre viktig än resten - det här är den jämna och udda funktionen. Skriv ner ämnet för lektionen: "Jämna och udda funktioner", vår uppgift är att lära sig hur man bestämmer de jämna och udda funktionerna, ta reda på betydelsen av denna egenskap i studiet av funktioner och plottning.
Så, låt oss hitta definitionerna i läroboken och läsa (s. 110) . Glida

Def. ett Fungera på = f (X) definierad på uppsättningen X kallas även, om för något värde XЄ X pågår likhet f (–x) = f (x). Ge exempel.

Def. 2 Fungera y = f(x), definierad på uppsättningen X kallas udda, om för något värde XЄ X likheten f(–х)= –f(х) är uppfylld. Ge exempel.

Var träffade vi termerna "jämnt" och "udda"?
Vilken av dessa funktioner kommer att vara jämn, tror du? Varför? Vilka är udda? Varför?
För alla funktioner i formuläret på= x n, var när ett heltal, kan man hävda att funktionen är udda för när udda och funktionen är jämn för n- även.
– Visa funktioner på= och på = 2X– 3 är varken jämnt eller udda, eftersom jämställdhet uppfylls inte f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiet av frågan om en funktion är jämn eller udda kallas studien av en funktion för paritet. Glida

Definitionerna 1 och 2 handlade om funktionens värden vid x och -x, därför antas det att funktionen också definieras vid värdet X, och vid - X.

ODA 3. Om en nummeruppsättning tillsammans med vart och ett av dess element innehåller x det motsatta elementet -x, sedan mängden X kallas en symmetrisk mängd.

Exempel:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) är symmetriska mängder och , [–5;4] är icke-symmetriska.

- Har jämna funktioner en definitionsdomän - en symmetrisk mängd? De udda?
- Om D( f) är en asymmetrisk mängd, vad är då funktionen?
– Alltså om funktionen på = f(X) är jämn eller udda, då är dess definitionsdomän D( f) är en symmetrisk uppsättning. Men är det omvända påståendet sant, om domänen för en funktion är en symmetrisk mängd, då är den jämn eller udda?
- Så närvaron av en symmetrisk uppsättning av definitionsdomänen är ett nödvändigt villkor, men inte tillräckligt.
– Så hur kan vi undersöka funktionen för paritet? Låt oss försöka skriva en algoritm.

Glida

Algoritm för att undersöka en funktion för paritet

1. Bestäm om domänen för funktionen är symmetrisk. Om inte, är funktionen varken jämn eller udda. Om ja, gå till steg 2 i algoritmen.

2. Skriv ett uttryck för f(–X).

3. Jämför f(–X).och f(X):

• om f(–X).= f(X), då är funktionen jämn;
• om f(–X).= – f(X), då är funktionen udda;
• om f(–X) ≠ f(X) och f(–X) ≠ –f(X), då är funktionen varken jämn eller udda.

Exempel:

Undersök funktionen för paritet a) på= x 5 +; b) på= ; i) på= .

Beslut.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetrisk mängd.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktion h(x)= x 5 + udda.

b) y =,

på = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymmetrisk mängd, så funktionen är varken jämn eller udda.

i) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Alternativ 2

1. Är den givna mängden symmetrisk: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Undersök funktionen för paritet:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. I fig. plottas på = f(X), för alla X, som uppfyller villkoret X? 0.
Rita funktionen på = f(X), om på = f(X) är en jämn funktion.

3. I fig. plottas på = f(X), för alla x som uppfyller x? 0.
Rita funktionen på = f(X), om på = f(X) är en udda funktion.

Ömsesidig kontroll på glida.

6. Läxor: №11.11, 11.21,11.22;

Bevis på den geometriska betydelsen av paritetsegenskapen.

*** (Tilldelning av alternativet USE).

1. Den udda funktionen y \u003d f (x) definieras på hela den reella linjen. För alla icke-negativa värden på variabeln x, sammanfaller värdet av denna funktion med värdet på funktionen g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Hitta värdet på funktionen h( X) = kl X = 3.

7. Sammanfattning

Diagramkonvertering.

Verbal beskrivning av funktionen.

Grafiskt sätt.

Det grafiska sättet att specificera en funktion är det mest illustrativa och används ofta inom teknik. PÅ matematisk analys det grafiska sättet att ställa in funktioner används som en illustration.

Funktionsdiagram f är mängden av alla punkter (x; y) i koordinatplanet, där y=f(x), och x "löper genom" hela domänen för den givna funktionen.

En delmängd av koordinatplanet är en graf för någon funktion om den har högst en gemensam punkt med någon linje parallell med Oy-axeln.

Exempel. Är figurerna nedan grafer över funktioner?

fördel grafisk uppgiftär dess synlighet. Du kan direkt se hur funktionen beter sig, var den ökar, var den minskar. Från grafen kan du omedelbart ta reda på några viktiga egenskaper hos funktionen.

I allmänhet analytisk grafiska sätt funktionsuppdrag går hand i hand. Att arbeta med formeln hjälper till att bygga en graf. Och grafen föreslår ofta lösningar som du inte kommer att märka i formeln.

Nästan alla elever känner till de tre sätten att definiera en funktion som vi just har behandlat.

Låt oss försöka svara på frågan: "Finns det andra sätt att definiera en funktion?"

Det finns ett sådant sätt.

En funktion kan vara ganska entydigt definierad i ord.

Till exempel kan funktionen y=2x definieras av följande verbala beskrivning: varje reellt värde av argumentet x tilldelas sitt dubblerade värde. Regeln är inställd, funktionen är inställd.

Dessutom är det möjligt att specificera en funktion verbalt, vilket är extremt svårt, för att inte säga omöjligt, att specificera med en formel.

Till exempel: varje värde i det naturliga argumentet x är associerat med summan av siffrorna som utgör värdet av x. Till exempel, om x=3, då y=3. Om x=257 så är y=2+5+7=14. Etc. Det är svårt att skriva ner detta i en formel. Men bordet är lätt att göra.

Metoden för verbal beskrivning är en ganska sällan använd metod. Men ibland händer det.

Om det finns en lag för en-till-en-överensstämmelse mellan x och y, så finns det en funktion. Vilken lag, i vilken form den uttrycks - med en formel, tablett, graf, ord - förändrar inte sakens väsen.

Betrakta funktioner vars definitionsdomäner är symmetriska med avseende på ursprunget för koordinater, dvs. för vem som helst X nummer utanför omfattning (- X) tillhör också definitionsdomänen. Bland dessa funktioner finns jämn och udda.

Definition. Funktionen f kallas även, om för någon X utanför sin domän

Exempel. Tänk på funktionen

Hon är jämn. Låt oss kolla upp det.

För vem som helst X jämlikheterna

Därmed är båda villkoren uppfyllda för oss, vilket gör att funktionen är jämn. Nedan är en graf över denna funktion.

Definition. Funktionen f kallas udda, om för någon X utanför sin domän

Exempel. Tänk på funktionen

Hon är udda. Låt oss kolla upp det.

Definitionsdomänen är hela den numeriska axeln, vilket betyder att den är symmetrisk kring punkten (0; 0).

För vem som helst X jämlikheterna

Därmed är båda villkoren uppfyllda för oss, vilket gör att funktionen är udda. Nedan är en graf över denna funktion.

Graferna som visas i de första och tredje figurerna är symmetriska kring y-axeln, och graferna som visas i de andra och fjärde figurerna är symmetriska om origo.

Vilka av funktionerna vars grafer visas i figurerna är jämna och vilka är udda?

Fungeraär ett av de viktigaste matematiska begreppen. Funktion - variabelberoende på från en variabel x, om varje värde X matchar ett enskilt värde på. variabel X kallas den oberoende variabeln eller argumentet. variabel på kallas den beroende variabeln. Alla värden för den oberoende variabeln (variabel x) utgör funktionens domän. Alla värden som den beroende variabeln tar (variabel y), bildar funktionens omfång.

Funktionsdiagram de kallar uppsättningen av alla punkter i koordinatplanet, vars abskiss är lika med värdena för argumentet, och ordinaterna är lika med motsvarande värden för funktionen, det vill säga värdena på variabeln plottas längs abskissan x, och variabelns värden plottas längs y-axeln y. För att plotta en funktion behöver du känna till funktionernas egenskaper. Funktionens huvudsakliga egenskaper kommer att diskuteras nedan!

För att rita en funktionsgraf rekommenderar vi att du använder vårt program - Graphing Functions Online. Om du har några frågor när du studerar materialet på denna sida kan du alltid ställa dem på vårt forum. Även på forumet får du hjälp att lösa problem inom matematik, kemi, geometri, sannolikhetsteori och många andra ämnen!

Grundläggande egenskaper hos funktioner.

1) Funktionsomfång och funktionsomfång.

Omfattningen av en funktion är uppsättningen av alla giltiga giltiga värden för argumentet x(variabel x) för vilken funktionen y = f(x) definierat.
Omfånget för en funktion är mängden av alla reella värden y som funktionen accepterar.

I elementär matematik studeras funktioner endast på uppsättningen av reella tal.

2) Funktionsnollor.

Värderingar X, vid vilken y=0, kallas funktion nollor. Dessa är abskissorna för skärningspunkterna för grafen för funktionen med x-axeln.

3) Intervaller för teckenkonstans för en funktion.

Intervallet för teckenkonstans för en funktion är sådana värdeintervall x, där funktionens värden y antingen bara positiva eller bara negativa kallas intervaller för teckenkonstans för funktionen.

4) Monotonicitet hos funktionen.

Ökande funktion (i något intervall) - en funktion där ett större värde på argumentet från detta intervall motsvarar ett större värde på funktionen.

Minskande funktion (i något intervall) - en funktion där ett större värde på argumentet från detta intervall motsvarar ett mindre värde på funktionen.

5) Jämna (udda) funktioner.

En jämn funktion är en funktion vars definitionsdomän är symmetrisk med avseende på ursprunget och för eventuella X f(-x) = f(x). Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring y-axeln.

En udda funktion är en funktion vars definitionsdomän är symmetrisk med avseende på ursprunget och för alla X från definitionsdomänen jämlikheten f(-x) = - f(x). Grafen för en udda funktion är symmetrisk om ursprunget.

Jämn funktion
1) Definitionsdomänen är symmetrisk med avseende på punkten (0; 0), det vill säga om punkten a hör till definitionsdomänen, då punkten -a hör också till definitionsdomänen.
2) För vilket värde som helst x f(-x)=f(x)
3) Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring Oy-axeln.

udda funktion har följande egenskaper:
1) Definitionsdomänen är symmetrisk med avseende på punkten (0; 0).
2) för vilket värde som helst x, som hör till definitionsdomänen, jämlikheten f(-x)=-f(x)
3) Grafen för en udda funktion är symmetrisk med avseende på origo (0; 0).

Alla funktioner är inte jämna eller udda. Funktioner allmän syn är varken jämna eller udda.

6) Begränsade och obegränsade funktioner.

En funktion kallas bounded om det finns ett positivt tal M så att |f(x)| ≤ M för alla värden på x . Om det inte finns något sådant nummer är funktionen obegränsad.

7) Funktionens periodicitet.

En funktion f(x) är periodisk om det finns ett icke-nolltal T så att för valfritt x från funktionens domän, f(x+T) = f(x). Sådan minsta antal kallas funktionens period. Allt trigonometriska funktionerär periodiska. (Trigonometriska formler).

Fungera f kallas periodisk om det finns ett tal så att för någon x från definitionsdomänen jämlikheten f(x)=f(x-T)=f(x+T). Tär funktionens period.

Varje periodisk funktion har ett oändligt antal perioder. I praktiken brukar man räkna med den minsta positiva perioden.

Värdena för den periodiska funktionen upprepas efter ett intervall lika med perioden. Detta används när du ritar grafer.