Bestämning av den omvända funktionen av dess egenskaper och graf. Ömsesidigt omvända funktioner

Låt mängderna $X$ och $Y$ inkluderas i mängden av reella tal. Låt oss introducera begreppet en inverterbar funktion.

Definition 1

En funktion $f:X\to Y$ som mappar en mängd $X$ till en mängd $Y$ kallas inverterbar om det för några element $x_1,x_2\i X$ följer av det faktum att $x_1\ne x_2$ att $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Nu kan vi introducera begreppet en invers funktion.

Definition 2

Låt funktionen $f:X\to Y$ som mappar mängden $X$ till mängden $Y$ vara inverterbar. Sedan mappar funktionen $f^(-1):Y\to X$ mängden $Y$ till mängden $X$ och definieras av villkoret $f^(-1)\left(y\right)=x$ kallas inversen för $f( x)$.

Låt oss formulera satsen:

Sats 1

Låt funktionen $y=f(x)$ definieras, monotont ökande (minskande) och kontinuerlig i något intervall $X$. Sedan, i motsvarande intervall $Y$ av värden för denna funktion, har den en invers funktion, som också är monotont ökande (minskande) och kontinuerlig på intervallet $Y$.

Låt oss nu direkt introducera begreppet ömsesidigt omvända funktioner.

Definition 3

Inom ramen för definition 2 kallas funktionerna $f(x)$ och $f^(-1)\left(y\right)$ ömsesidigt inversa funktioner.

Egenskaper för ömsesidigt omvända funktioner

Låt funktionerna $y=f(x)$ och $x=g(y)$ vara ömsesidigt inversa, då

$y=f(g\left(y\right))$ och $x=g(f(x))$

Domänen för funktionen $y=f(x)$ är lika med domänen för värdet för funktionen $\ x=g(y)$. Och domänen för funktionen $x=g(y)$ är lika med domänen för värdet för funktionen $\ y=f(x)$.

Graferna för funktionerna $y=f(x)$ och $x=g(y)$ är symmetriska med avseende på den räta linjen $y=x$.

Om en av funktionerna ökar (minskar) så ökar (minskar) den andra funktionen också.

Hitta den omvända funktionen

Ekvationen $y=f(x)$ med avseende på variabeln $x$ löses.

Från de erhållna rötterna hittas de som hör till intervallet $X$.

De hittade $x$ tilldelas numret $y$.

Exempel 1

Hitta den inversa funktionen för funktionen $y=x^2$ på intervallet $X=[-1,0]$

Eftersom denna funktion är avtagande och kontinuerlig på intervallet $X$, så på intervallet $Y=$, som också är avtagande och kontinuerlig på detta intervall (sats 1).

Beräkna $x$:

\ \

Välj lämplig $x$:

Svar: invers funktion $y=-\sqrt(x)$.

Problem med att hitta inversa funktioner

I den här delen betraktar vi inversa funktioner för vissa elementära funktioner. Uppgifterna kommer att lösas enligt schemat ovan.

Exempel 2

Hitta den inversa funktionen för funktionen $y=x+4$

Hitta $x$ från ekvationen $y=x+4$:

Exempel 3

Hitta den inversa funktionen för funktionen $y=x^3$

Lösning.

Eftersom funktionen är ökande och kontinuerlig på hela definitionsdomänen, har den enligt sats 1 en omvänd kontinuerlig och ökande funktion på sig.

Hitta $x$ från ekvationen $y=x^3$:

Hitta lämpliga värden på $x$

Värdet i vårt fall är lämpligt (eftersom omfattningen är alla siffror)

Om vi ​​definierar variablerna får vi att den inversa funktionen har formen

Exempel 4

Hitta den inversa funktionen för funktionen $y=cosx$ på intervallet $$

Lösning.

Betrakta funktionen $y=cosx$ på uppsättningen $X=\left$. Den är kontinuerlig och avtagande på mängden $X$ och mappar mängden $X=\left$ till mängden $Y=[-1,1]$, därför, genom satsen om förekomsten av en invers kontinuerlig monoton funktion, funktionen $y=cosx$ i mängden $ Y$ finns en invers funktion, som också är kontinuerlig och ökar i mängden $Y=[-1,1]$ och mappar mängden $[-1,1]$ till uppsättningen $\left$.

Hitta $x$ från ekvationen $y=cosx$:

Hitta lämpliga värden på $x$

Om vi ​​definierar variablerna får vi att den inversa funktionen har formen

Exempel 5

Hitta den inversa funktionen för funktionen $y=tgx$ på intervallet $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Lösning.

Betrakta funktionen $y=tgx$ på uppsättningen $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Den är kontinuerlig och ökar på uppsättningen $X$ och mappar uppsättningen $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ på uppsättningen $Y =R$, därför, genom satsen om förekomsten av en invers kontinuerlig monoton funktion, har funktionen $y=tgx$ i mängden $Y$ en invers funktion, som också är kontinuerlig och ökar i mängden $Y=R $ och mappar uppsättningen $R$ till uppsättningen $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Hitta $x$ från ekvationen $y=tgx$:

Hitta lämpliga värden på $x$

Om vi ​​definierar variablerna får vi att den inversa funktionen har formen

Vad är en invers funktion? Hur hittar man funktionen invers av en given funktion?

Definition .

Låt funktionen y=f(x) definieras på mängden D och E är mängden av dess värden. Omvänd funktion med avseende på funktion y=f(x) är en funktion x=g(y), som definieras på mängden E och tilldelar varje y∈E ett sådant värde x∈D att f(x)=y.

Således är domänen för funktionen y=f(x) domänen för den inversa funktionen, och domänen för y=f(x) är domänen för den inversa funktionen.

För att hitta funktionen invers av den givna funktionen y=f(x), måste man :

1) I funktionsformeln, istället för y, ersätt x, istället för x - y:

2) Från den resulterande likheten, uttryck y i termer av x:

Hitta funktionen invers av funktionen y=2x-6.

Funktionerna y=2x-6 och y=0,5x+3 är ömsesidigt inversa.

Grafer för direkta och inversa funktioner är symmetriska med avseende på den direkta linjen y=x(halvledar för I och III koordinatfjärdedelar).

y=2x-6 och y=0,5x+3-. Grafen för en linjär funktion är . För att rita en rak linje tar vi två punkter.



Det är möjligt att unikt uttrycka y i termer av x när ekvationen x=f(y) har en unik lösning. Detta kan göras om funktionen y=f(x) tar vart och ett av sina värden vid en enda punkt i dess definitionsdomän (en sådan funktion kallas reversibel).

Sats (nödvändigt och tillräckligt villkor för att en funktion ska vara inverterbar)

Om funktionen y=f(x) är definierad och kontinuerlig på ett numeriskt intervall, så är det nödvändigt och tillräckligt att f(x) är strikt monoton för att funktionen ska vara inverterbar.

Dessutom, om y=f(x) ökar på intervallet, så ökar funktionen invers till det också på detta intervall; om y=f(x) minskar, så minskar också den inversa funktionen.

Om reversibilitetsvillkoret inte är uppfyllt över hela definitionsdomänen kan man peka ut ett intervall där funktionen bara ökar eller bara minskar, och på detta intervall hitta en funktion invers mot den givna.

Det klassiska exemplet är . Mellan

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - udda funktion, grafen är symmetrisk kring punkten O (0; 0).

båge x = 0 vid x = 0.

båge x > 0 vid x є (0; 1]

båge x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d båge x ökar för valfri x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>båge x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Arc cosinus

Cosinusfunktionen minskar på segmentet och tar på alla värden från -1 till 1. Därför, för alla tal a så att |a|1, finns det en enda rot i ekvationen cosx=a på segmentet. Detta tal in kallas arccosinus för talet a och betecknas arcos a.

Definition . Arccosinus för talet a, där -1 a 1, är ett tal från segmentet vars cosinus är lika med a.

Egenskaper.

1. E(y) =

   y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - funktionen är varken jämn eller udda.

   arccos x = 0 vid x = 1

   arccos x > 0 vid x є [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x minskar för valfri x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - avtagande.

Arctangens

Tangentfunktionen ökar på segmentet -
, därför, enligt rotsatsen, har ekvationen tgx \u003d a, där a är valfritt reellt tal, en unik rot x på intervallet -. Denna rot kallas bågtansen för talet a och betecknas med arctga.

Definition. Bågtangens för ett tal aR detta nummer kallas x , vars tangent är a.

Egenskaper.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - funktionen är udda, grafen är symmetrisk kring punkten O (0; 0).

arctg x = 0 vid x = 0

Funktionen ökar för valfri x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Bågtangens

Cotangensfunktionen på intervallet (0;) minskar och tar alla värden från R. Därför finns det för varje tal a i intervallet (0;) en enda rot av ekvationen ctg x = a. Detta tal a kallas bågtangens för talet a och betecknas med arcctg a.

Definition. Bågtangensen för ett tal a, där ett R, är ett sådant tal från intervallet (0;) , vars cotangens är en.

Egenskaper.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - funktionen är varken jämn eller udda.

arcctg x = 0- existerar inte.

Fungera y = arcctg x minskar för någon х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Funktionen är kontinuerlig för alla x є R.

2.3 Identitetstransformationer av uttryck som innehåller inversa trigonometriska funktioner

Exempel 1 . Förenkla uttrycket:

a)
var

Lösning. Låt oss sätta
. Sedan
och
Att hitta
, vi använder relationen
Vi får
Men . På detta segment tar cosinus endast positiva värden. På det här sättet,
, det är
var
.

b)

Lösning.

i)

Lösning. Låt oss sätta
. Sedan
och
Låt oss först hitta, för vilket vi använder formeln
, var
Eftersom cosinus bara tar positiva värden på detta intervall, alltså
.

Lektionens mål:

Pedagogisk:

• att bilda kunskap om ett nytt ämne i enlighet med programmaterialet;
• att studera egenskapen för en funktions inverterbarhet och att lära ut hur man hittar en funktion invers till en given;

Utvecklande:

• utveckla självkontrollförmåga, ämnet tal;
• behärska konceptet med en invers funktion och lära dig metoderna för att hitta en invers funktion;

Pedagogisk: att forma kommunikativ kompetens.

Utrustning: dator, projektor, duk, SMART Board interaktiv skrivtavla, handout (självständigt arbete) för grupparbete.

Under lektionerna.

1. Organisatoriskt ögonblick.

Mål – förbereda eleverna för arbete i klassrummet:

Definition av frånvarande,

Studenternas inställning till arbetet, organisation av uppmärksamhet;

Meddelande om ämnet och syftet med lektionen.

2. Uppdatering av elevernas grundläggande kunskaper. främre omröstningen.

Mål - att fastställa riktigheten och medvetenheten om det studerade teoretiska materialet, upprepningen av det material som omfattas.<Приложение 1 >

En graf över funktionen visas på den interaktiva skrivtavlan för studenter. Läraren formulerar uppgiften - att betrakta grafen för funktionen och lista funktionens studerade egenskaper. Eleverna listar egenskaperna hos en funktion enligt forskningsdesignen. Läraren, till höger om grafen för funktionen, skriver ner de namngivna egenskaperna med en markör på den interaktiva skrivtavlan.

Funktionsegenskaper:

I slutet av studien rapporterar läraren att de idag på lektionen kommer att bekanta sig med ytterligare en egenskap hos funktionen - reversibilitet. För en meningsfull studie av nytt material uppmanar läraren barnen att bekanta sig med de viktigaste frågorna som eleverna måste svara på i slutet av lektionen. Frågor skrivs på en vanlig tavla och varje elev har ett utdelat material (delas ut innan lektionen)

1. Vad är en reversibel funktion?
2. Är varje funktion reversibel?
3. Vad är den omvända givna funktionen?
4. Hur är definitionsdomänen och värdeuppsättningen för en funktion och dess omvända funktion relaterade?
5. Om funktionen ges analytiskt, hur definierar man den inversa funktionen med en formel?
6. Om en funktion ges grafiskt, hur plottas dess inversa funktion?

3. Förklaring av nytt material.

Mål - att bilda kunskap om ett nytt ämne i enlighet med programmaterialet; att studera egenskapen för en funktions inverterbarhet och att lära ut hur man hittar en funktion invers till en given; utveckla ämnet.

Läraren genomför en presentation av materialet i enlighet med styckets material. På den interaktiva tavlan jämför läraren graferna för två funktioner vars definitionsdomäner och värdeuppsättningar är desamma, men en av funktionerna är monoton och den andra inte, vilket bringar eleverna under begreppet en inverterbar funktion .

Läraren formulerar sedan definitionen av en inverterbar funktion och bevisar den inverterbara funktionsteoremet med hjälp av den monotona funktionsgrafen på den interaktiva skrivtavlan.

Definition 1: Funktionen y=f(x), x X anropas reversibel, om den tar något av dess värden endast vid en punkt av uppsättningen X.

Sats: Om funktionen y=f(x) är monoton på mängden X så är den inverterbar.

Bevis:

1. Låt funktionen y=f(x)ökar med X släpp det x 1 ≠ x 2- två poäng i setet X.
2. För visshetens skull, låt x 1< x 2.
   Sedan från vad x 1< x 2 följer det f(x 1) < f(x 2).
3. Således motsvarar olika värden på argumentet olika värden på funktionen, dvs. funktionen är reversibel.

(Under bevisningen av satsen gör läraren alla nödvändiga förklaringar på ritningen med en markör)

Innan han formulerar definitionen av en invers funktion ber läraren eleverna att avgöra vilken av de föreslagna funktionerna som är reversibel? Den interaktiva skrivtavlan visar grafer över funktioner och flera analytiskt definierade funktioner är skrivna:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Läraren introducerar definitionen av en invers funktion.

Definition 2: Låt en inverterbar funktion y=f(x) definieras på setet X och E(f)=Y. Låt oss matcha var och en y från Y då den enda meningen X, vid vilken f(x)=y. Då får vi en funktion som är definierad på Y, a Xär funktionens omfång

Denna funktion betecknas x=f -1 (y) och kallas inversen av funktionen y=f(x).

Studenter uppmanas att dra en slutsats om förhållandet mellan definitionsdomänen och uppsättningen av värden för inversa funktioner.

För att överväga frågan om hur man hittar den inversa funktionen av en given, involverade läraren två elever. Dagen innan fick barnen en uppgift av läraren att självständigt analysera de analytiska och grafiska metoderna för att hitta den omvända givna funktionen. Läraren fungerade som konsult för att förbereda eleverna för lektionen.

Meddelande från den första studenten.

Obs: monotoniteten för en funktion är tillräcklig villkor för existensen av en invers funktion. Men det är inte nödvändigt tillstånd.

Eleven gav exempel på olika situationer då funktionen inte är monoton, utan reversibel, när funktionen inte är monoton och inte reversibel, när den är monoton och reversibel

Därefter introducerar studenten eleverna för metoden att hitta den inversa funktionen som ges analytiskt.

Hitta algoritm

1. Se till att funktionen är monoton.
2. Uttryck x i termer av y.
3. Byt namn på variabler. Istället för x \u003d f -1 (y) skriver de y \u003d f -1 (x)

Löser sedan två exempel för att hitta funktionen av inversen av det givna.

Exempel 1: Visa att det finns en invers funktion för funktionen y=5x-3 och hitta dess analytiska uttryck.

Lösning. Den linjära funktionen y=5x-3 definieras på R, ökar på R, och dess intervall är R. Därför finns den inversa funktionen på R. För att hitta dess analytiska uttryck löser vi ekvationen y=5x-3 med avseende på x; vi får Detta är den önskade inversa funktionen. Den definieras och ökar med R.

Exempel 2: Visa att det finns en invers funktion för funktionen y=x 2 , x≤0, och hitta dess analytiska uttryck.

Funktionen är kontinuerlig, monoton i sin definitionsdomän, därför är den inverterbar. Efter att ha analyserat definitionsdomänerna och uppsättningen av värden för funktionen, görs en motsvarande slutsats om det analytiska uttrycket för den inversa funktionen.

Den andra eleven gör en presentation om grafisk hur man hittar den inversa funktionen. Under sin förklaring använder eleven funktionerna hos den interaktiva skrivtavlan.

För att få grafen för funktionen y=f -1 (x), invers till funktionen y=f(x), är det nödvändigt att transformera grafen för funktionen y=f(x) symmetriskt med avseende på den räta linjen y=x.

Under förklaringen på den interaktiva skrivtavlan utförs följande uppgift:

Konstruera en graf för en funktion och en graf för dess inversa funktion i samma koordinatsystem. Skriv ner ett analytiskt uttryck för den inversa funktionen.

4. Primär fixering av det nya materialet.

Mål - att fastställa riktigheten och medvetenheten om förståelsen av det studerade materialet, att identifiera luckor i den primära förståelsen av materialet, att korrigera dem.

Eleverna delas in i par. De får ark med uppgifter där de arbetar i par. Tiden för att slutföra arbetet är begränsad (5-7 minuter). Ett par elever arbetar vid datorn, projektorn är avstängd för denna tid och resten av barnen kan inte se hur eleverna arbetar på datorn.

I slutet av tiden (det antas att majoriteten av eleverna slutfört arbetet) visar den interaktiva skrivtavlan (projektorn slås på igen) elevernas arbete, där det under provet klargörs att uppgiften genomfördes i par. Vid behov utför läraren korrigerande, förklarande arbete.

Självständigt arbete i par<Bilaga 2 >

5. Resultatet av lektionen. På frågorna som ställdes inför föreläsningen. Tillkännagivande av betyg på lektionen.

Läxor §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra och början av analys. Betyg 10 i 2 delar för utbildningsinstitutioner (profilnivå) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova och andra; ed. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Ömsesidigt omvända funktioner.

Låt funktionen vara strikt monoton (ökande eller minskande) och kontinuerlig på definitionsdomänen, intervallet för denna funktion, sedan definieras på intervallet en kontinuerlig strikt monoton funktion med ett värdeintervall, vilket är omvänt för .

Med andra ord är det vettigt att tala om den inversa funktionen för en funktion på ett specifikt intervall om den antingen ökar eller minskar på detta intervall.

Funktioner f och g kallas ömsesidiga.

Varför överväga begreppet omvända funktioner överhuvudtaget?

Detta orsakas av problemet med att lösa ekvationer. Lösningar är bara skrivna i termer av omvända funktioner.

Överväga några exempel på att hitta inversa funktioner .

Låt oss börja med linjära ömsesidigt inversa funktioner.

Hitta funktionen invers för.

Denna funktion är linjär, dess graf är en rak linje. Därför är funktionen monoton på hela definitionsdomänen. Därför kommer vi att leta efter funktionen invers till den på hela definitionsdomänen.

.

uttrycka x genom y (med andra ord, lös ekvationen för x ).

- det här är den omvända funktionen, sanningen är här y är ett argument, och x är funktionen av detta argument. För att inte bryta vanor i notation (detta är inte av grundläggande betydelse), ordna om bokstäverna x och y , kommer skriva .

Således, och är ömsesidigt omvända funktioner.

Låt oss ge en grafisk illustration av ömsesidigt inversa linjära funktioner.

Uppenbarligen är graferna symmetriska med avseende på den räta linjen. (halvled av första och tredje kvartalet). Detta är en av egenskaperna hos ömsesidigt omvända funktioner, som kommer att diskuteras nedan.

Hitta den omvända funktionen.

Denna funktion är kvadratisk, grafen är en parabel med spets i en punkt.

.

Funktionen ökar som och minskar som . Det betyder att man kan söka efter den inversa funktionen för en given på ett av de två intervallen.

Låt sedan, och, byta x och y, vi får en invers funktion på ett givet intervall: .

Hitta den omvända funktionen.

Denna funktion är kubisk, grafen är en kubisk parabel med vertex i en punkt.

.

Funktionen ökar kl. Detta innebär att det är möjligt att söka efter en invers funktion för en given på hela definitionsdomänen.

, och genom att byta x och y får vi den inversa funktionen.

Låt oss illustrera detta på en graf.

Låt oss lista egenskaper hos ömsesidigt omvända funktioner och.

och.

Av den första egenskapen kan man se att funktionens omfattning sammanfaller med funktionens omfattning och vice versa.

Grafer av ömsesidigt inversa funktioner är symmetriska med avseende på en rät linje.

Om det ökar så ökar det, om det minskar så minskar det.

För en given funktion, hitta den inversa funktionen:

För en given funktion, hitta inversen och rita de givna och inversa funktionerna: Ta reda på om det finns en invers funktion för den givna funktionen. Om ja, definiera den inversa funktionen analytiskt, plotta den givna och inversa funktionen: Hitta domänen och omfånget för funktionen inverterad till funktionen om:

1. Hitta intervallet för var och en av de ömsesidigt inversa funktionerna och, om deras intervall anges:

Är funktioner ömsesidigt inversa om:

1. Hitta funktionen invers av den givna. Rita graferna för dessa ömsesidigt inversa funktioner på samma koordinatsystem:

   Är denna funktion invers mot sig själv: Definiera en funktion invers till den givna och rita dess graf: