Trigonometrična tabela. Sinus, kosinus, tangens in kotangens - vse, kar morate vedeti na Enotnem državnem izpitu iz matematike

Osredotočeno na točko A.
α - kot, izražen v radianih.

Opredelitev
Sinus (sin α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino hipotenuze |AC|.

Kosinus (cos α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino hipotenuze |AC|.

Sprejete notacije

;
;
.

Graf sinusne funkcije, y = sin x

Graf kosinusne funkcije, y = cos x

Lastnosti sinusa in kosinusa

Periodičnost

Funkcije y = greh x in y = cos x periodično z obdobjem 2π.

Pariteta

Sinusna funkcija je liha. Kosinusna funkcija je soda.

Področje definicije in vrednosti, ekstremi, naraščanje, padanje

Funkciji sinus in kosinus sta zvezni v svoji definicijski domeni, to je za vse x (glejte dokaz zveznosti). Njihove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli (n - celo število).

	y = greh x	y = cos x
Obseg in kontinuiteta	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Razpon vrednosti	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Povečanje
Sestopanje
Maksimalno, y = 1
Najmanjše vrednosti, y = - 1
Ničle, y = 0
Presečišča z ordinatno osjo, x = 0	y = 0	y = 1

Osnovne formule

Vsota kvadratov sinusa in kosinusa

Formule za sinus in kosinus iz vsote in razlike

;
;

Formule za produkt sinusov in kosinusov

Formule vsote in razlike

Izražanje sinusa skozi kosinus

;
;
;
.

Izražanje kosinusa skozi sinus

;
;
;
.

Izražanje skozi tangento

; .

Ko imamo:
; .

ob:
; .

Tabela sinusov in kosinusov, tangensov in kotangensov

Ta tabela prikazuje vrednosti sinusov in kosinusov za določene vrednosti argumenta.

Izrazi skozi kompleksne spremenljivke

;

Eulerjeva formula

Izrazi s hiperboličnimi funkcijami

;
;

Odvod

; . Izpeljava formul >>>

Izpeljanke n-tega reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzni funkciji sinusa in kosinusa sta arkusin in arkosinus.

Arksin, arcsin

Arkosinus, arkos

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.

Ta članek vsebuje tabele sinusov, kosinusov, tangensov in kotangensov. Najprej bomo podali tabelo osnovnih vrednosti trigonometričnih funkcij, to je tabelo sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov kotov 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stopinj ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Po tem bomo podali tabelo sinusov in kosinusov ter tabelo tangentov in kotangensov V. M. Bradisa in pokazali, kako te tabele uporabiti pri iskanju vrednosti trigonometričnih funkcij.

Navigacija po straneh.

Tabela sinusov, kosinusov, tangensov in kotangensov za kote 0, 30, 45, 60, 90, ... stopinj

Bibliografija.

Algebra: Učbenik za 9. razred. povpr. šola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. Telyakovsky S. A. - M.: Izobraževanje, 1990. - 272 str.: ilustr. - ISBN 5-09-002727-7
Bašmakov M. I. Algebra in začetki analize: Učbenik. za 10-11 razrede. povpr. šola - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 1993. - 351 str .: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. Splošna izobrazba institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Izobraževanje, 2004. - 384 str .: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.
Bradis V. M.Štirimestne tabele matematike: Za splošno izobraževanje. učbenik ustanove. - 2. izd. - M.: Bustard, 1999.- 96 str .: ilustr. ISBN 5-7107-2667-2

Učenje trigonometrije bomo začeli s pravokotnim trikotnikom. Določimo, kaj sta sinus in kosinus, pa tudi tangens in kotangens ostrega kota. To so osnove trigonometrije.

Naj vas spomnimo, da pravi kot je kot enak 90 stopinj. Z drugimi besedami, pol obrnjenega kota.

Oster kot- manj kot 90 stopinj.

Topi kot- več kot 90 stopinj. V zvezi s takšnim kotom "top" ni žalitev, ampak matematični izraz :-)

Narišimo pravokotni trikotnik. Pravi kot je običajno označen z . Upoštevajte, da je stran nasproti vogala označena z isto črko, le majhna. Tako je stranski nasprotni kot A označen.

Kot je označen z ustrezno grško črko.

hipotenuza pravokotnega trikotnika je stranica nasproti pravemu kotu.

Noge- stranice, ki ležijo nasproti ostrih kotov.

Noga, ki leži nasproti kota, se imenuje nasprotje(glede na kot). Druga noga, ki leži na eni od stranic kota, se imenuje sosednji.

Sinus Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo:

Kosinus ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo nogo in hipotenuzo:

Tangenta ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje nasprotne strani do sosednje:

Druga (enakovredna) definicija: tangens ostrega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:

Kotangens ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno (ali, kar je enako, razmerje med kosinusom in sinusom):

Upoštevajte osnovna razmerja za sinus, kosinus, tangens in kotangens spodaj. Koristili nam bodo pri reševanju problemov.

Dokažimo nekatere izmed njih.

V redu, podali smo definicije in zapisali formule. Toda zakaj še vedno potrebujemo sinus, kosinus, tangens in kotangens?

To vemo vsota kotov katerega koli trikotnika je enaka.

Poznamo razmerje med stranke pravokotni trikotnik. To je Pitagorov izrek: .

Izkazalo se je, da če poznate dva kota v trikotniku, lahko najdete tretjega. Če poznate dve strani pravokotnega trikotnika, lahko najdete tretjo. To pomeni, da imajo koti svoje razmerje, stranice pa svojega. Toda kaj storiti, če v pravokotnem trikotniku poznate en kot (razen pravega kota) in eno stran, vendar morate najti druge stranice?

S tem so se srečevali ljudje v preteklosti, ko so izdelovali zemljevide območja in zvezdnega neba. Navsezadnje ni vedno mogoče neposredno izmeriti vseh strani trikotnika.

Sinus, kosinus in tangenta - imenujemo jih tudi funkcije trigonometričnega kota- podajte razmerja med stranke in vogali trikotnik. Če poznate kot, lahko s posebnimi tabelami najdete vse njegove trigonometrične funkcije. In če poznate sinuse, kosinuse in tangente kotov trikotnika in ene od njegovih strani, lahko najdete ostalo.

Narisali bomo tudi tabelo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za "dobre" kote od do.

Prosimo, upoštevajte dve rdeči pomišljaji v tabeli. Pri ustreznih kotnih vrednostih tangens in kotangens ne obstajata.

Oglejmo si več trigonometričnih problemov iz banke nalog FIPI.

1. V trikotniku je kot , . Najti .

Problem je rešen v štirih sekundah.

Zaradi , .

2. V trikotniku je kot , , . Najti .

Poiščimo ga s pomočjo Pitagorovega izreka.

Problem je rešen.

Pogosto so v težavah trikotniki s koti in ali s koti in. Zapomnite si osnovna razmerja zanje na pamet!

Za trikotnik s koti in krakom nasproti kota pri je enako polovica hipotenuze.

Trikotnik s koti in je enakokrak. V njej je hipotenuza krat večja od noge.

Ogledali smo si naloge reševanja pravokotnih trikotnikov – torej iskanja neznanih stranic ali kotov. A to še ni vse! Na Enotnem državnem izpitu iz matematike je veliko nalog, kjer sinus, kosinus, tangens ali kotangens zunanjega kota trikotnika. Več o tem v naslednjem članku.

TABELA VREDNOSTI TRIGONOMETRIČNIH FUNKCIJ

Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij je sestavljena za kote 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 in 360 stopinj ter ustrezne vrednosti kotov v vradianih. Od trigonometričnih funkcij tabela prikazuje sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans in kosekans. Za udobje reševanja šolskih primerov so vrednosti trigonometričnih funkcij v tabeli zapisane v obliki ulomka, pri čemer se ohranijo znaki za pridobivanje kvadratnega korena števil, kar zelo pogosto pomaga zmanjšati zapletene matematične izraze. Za tangento in kotangens vrednosti nekaterih kotov ni mogoče določiti. Za vrednosti tangensa in kotangensa takih kotov je v tabeli vrednosti trigonometričnih funkcij črtica. Splošno sprejeto je, da sta tangens in kotangens takih kotov enaka neskončnosti. Na ločeni strani so formule za redukcijo trigonometričnih funkcij.

Tabela vrednosti za trigonometrično sinusno funkcijo prikazuje vrednosti za naslednje kote: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 v stopinjah, kar ustreza sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi v radianski meri kotov. Šolska tabela sinusov.

Za trigonometrično kosinusno funkcijo tabela prikazuje vrednosti za naslednje kote: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 v stopinjah, kar ustreza cos 0 pi , cos pi za 6, cos pi za 4, cos pi za 3, cos pi za 2, cos pi, cos 3 pi za 2, cos 2 pi v radianski meri kotov. Šolska tabela kosinusov.

Trigonometrična tabela za trigonometrično tangentno funkcijo podaja vrednosti za naslednje kote: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 v stopinjski meri, kar ustreza tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi v radianskih merah kotov. Naslednje vrednosti trigonometričnih tangentnih funkcij niso definirane tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 in veljajo za enake neskončnosti.

Za trigonometrično funkcijo kotangens v trigonometrični tabeli so podane vrednosti naslednjih kotov: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 v stopinjski meri, kar ustreza ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 v radianskih merah kotov. Naslednje vrednosti trigonometričnih kotangensnih funkcij niso definirane ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi in veljajo za enake neskončnosti.

Vrednosti trigonometričnih funkcij sekans in kosekans so podane za iste kote v stopinjah in radianih kot sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij nestandardnih kotov prikazuje vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za kote v stopinjah 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 stopinj in v radianih pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radianov. Vrednosti trigonometričnih funkcij so izražene z ulomki in kvadratnimi koreni za lažje zmanjševanje ulomkov v šolskih primerih.

Še tri trigonometrične pošasti. Prvi je tangens 1,5 stopinje in pol ali pi, deljen s 120. Drugi je kosinus pi, deljen z 240, pi/240. Najdaljši je kosinus števila pi, deljen s 17, pi/17.

Trigonometrični krog vrednosti funkcij sinus in kosinus vizualno predstavlja znake sinusa in kosinusa glede na velikost kota. Zlasti za blondinke so kosinusne vrednosti podčrtane z zelenim pomišljajem, da se zmanjša zmeda. Pretvorba stopinj v radiane je prav tako zelo jasno predstavljena, ko so radiani izraženi s pi.

Ta trigonometrična tabela predstavlja vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za kote od 0 nič do 90 devetdeset stopinj v intervalih po eno stopinjo. Za prvih petinštirideset stopinj je treba imena trigonometričnih funkcij pogledati na vrhu tabele. Prvi stolpec vsebuje stopinje, vrednosti sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov so zapisane v naslednjih štirih stolpcih.

Za kote od petinštirideset stopinj do devetdeset stopinj so imena trigonometričnih funkcij zapisana na dnu tabele. Zadnji stolpec vsebuje stopinje, vrednosti kosinusov, sinusov, kotangensov in tangensov pa so zapisane v prejšnjih štirih stolpcih. Bodite previdni, ker se imena trigonometričnih funkcij na dnu trigonometrične tabele razlikujejo od imen na vrhu tabele. Sinus in kosinus se zamenjata, tako kot tangens in kotangens. To je posledica simetrije vrednosti trigonometričnih funkcij.

Predznaki trigonometričnih funkcij so prikazani na zgornji sliki. Sinus ima pozitivne vrednosti od 0 do 180 stopinj ali od 0 do pi. Sinus ima negativne vrednosti od 180 do 360 stopinj ali od pi do 2 pi. Kosinusne vrednosti so pozitivne od 0 do 90 in 270 do 360 stopinj ali od 0 do 1/2 pi in 3/2 do 2 pi. Tangens in kotangens imata pozitivne vrednosti od 0 do 90 stopinj in od 180 do 270 stopinj, kar ustreza vrednostim od 0 do 1/2 pi in pi do 3/2 pi. Negativne vrednosti tangensa in kotangensa so od 90 do 180 stopinj in od 270 do 360 stopinj ali od 1/2 pi do pi in od 3/2 pi do 2 pi. Pri določanju predznakov trigonometričnih funkcij za kote, večje od 360 stopinj ali 2 pi, morate uporabiti lastnosti periodičnosti teh funkcij.

Trigonometrične funkcije sinus, tangens in kotangens so lihe funkcije. Vrednosti teh funkcij za negativne kote bodo negativne. Kosinus je soda trigonometrična funkcija - vrednost kosinusa za negativni kot bo pozitivna. Pri množenju in deljenju trigonometričnih funkcij je treba upoštevati pravila znakov.

Tabela vrednosti za trigonometrično sinusno funkcijo prikazuje vrednosti za naslednje kote
Dokument
Na ločeni strani so formule za zmanjšanje trigonometričnafunkcije. IN tabelavrednoteZatrigonometričnafunkcijesinusovdanovrednoteZanaslednjivogali: greh 0, greh 30, greh 45 ...
Predlagani matematični aparat je popoln analog kompleksnega računa za n-dimenzionalna hiperkompleksna števila s poljubnim številom prostostnih stopenj n in je namenjen matematičnemu modeliranju nelinearnih
Dokument
... funkcije enako funkcije Slike. Iz tega izreka naj, Kaj Za iskanje koordinat U, V, je dovolj za izračun funkcijo... geometrija; polinar funkcije(večdimenzionalni analogi dvodimenzionalnih trigonometričnafunkcije), njihove lastnosti, mize in uporaba; ...
Priporočamo tudi