Kakšna je površina pravokotnega trikotnika? Kako najti površino trikotnika (formule)

V osnovni geometriji je pravokotni trikotnik figura, sestavljena iz treh segmentov, povezanih v točkah, s kotoma, od katerih sta dva ostra in en raven (to je enak 90°). Pravokotni trikotnik zanj so značilne številne pomembne lastnosti, od katerih mnoge tvorijo osnovo trigonometrije (na primer razmerje med njegovimi stranicami in koti). Že od šole naprej vsi znamo računati območje pravokotnega trikotnika, in v vsakdanjem življenju se s to geometrijsko figuro srečujemo precej pogosto, včasih ne da bi je sploh opazili. V tehnologiji najde precej široko uporabo, zato morajo inženirji, oblikovalci in arhitekti pogosto reševati tak problem.

Arhitekti morajo to vrednost določiti, ko načrtujejo stavbe s pedimenti, ki so zaključek fasad in imajo trikotna oblika omejena z vencem in ob straneh s strešnimi pobočji. Pogosto je kot med pobočji raven in v takih primerih ima pediment obliko pravokotnega trikotnika. Njegovo območje je treba določiti iz preprostega razloga, ker je treba natančno vedeti, koliko gradbenega materiala je potrebno za njegovo ureditev. Treba je opozoriti, da so zatrepi obvezni elementi nizkih stavb (podeželske hiše, koče, dachas).

Iskanje območja pravokotnega trikotnika

a- noga

b- noga

S- območje pravokotnega trikotnika

Oblika pravokotni trikotnik imajo veliko detajlov, iz katerih je izdelano sodobno pohištvo. Kot veste, morajo biti za čim bolj učinkovito izrabo prostora vsi elementi opreme vanj optimalno umeščeni. Območja, kot so vogali, lahko dobro izkoristite z mizami trikotne oblike, katerih vrhovi so v večini primerov pravokotni trikotniki z nogami, ki mejijo na stene. Pri načrtovanju in izračunu teh elementov oblikovalci pohištvene proizvodnje uporabljajo formulo, po kateri iskanje območja pravokotnega trikotnika se izvaja glede na dolžino njegovih stranic. Poleg tega morajo pogosto razviti načrte za mize, pritrjene neposredno na stene, ki vključujejo nosilne elemente, ki predstavljajo tudi pravokotne trikotnike.

Gradbeniki, ki se ukvarjajo z oblaganjem, morajo v svojih poklicnih dejavnostih pogosto uporabljati keramične ploščice v obliki pravokotnega trikotnika s nogami enake ali različne dolžine. Prav tako morajo določiti površino teh elementov, da bi ugotovili zahtevano število.

Oblika pravokotni trikotnik Ima tudi tako pomembno in potrebno merilno orodje kot kvadrat. Uporablja se za konstruiranje in nadzor pravih kotov in ga uporabljajo zelo široko in mnogi: od navadnih šolarjev pri pouku geometrije do oblikovalcev vrhunske tehnologije.

Pravokotni trikotnik je v resnici skoraj na vsakem vogalu. Poznavanje lastnosti dane figure, kot tudi sposobnost izračuna njene površine, vam bo nedvomno koristilo ne le pri reševanju geometrijskih problemov, ampak tudi v življenjskih situacijah.

Geometrija trikotnika

V elementarni geometriji je pravokotni trikotnik lik, sestavljen iz treh povezanih segmentov, ki tvorijo tri kote (dva ostra in en ravni). Pravokotni trikotnik je izvirna figura, za katero so značilne številne pomembne lastnosti, ki so temelj trigonometrije. Za razliko od običajnega trikotnika imajo stranice pravokotne figure svoja imena:

Hipotenuza je najdaljša stranica trikotnika, nasproti pravemu kotu.
Noge so segmenti, ki tvorijo pravi kot. Odvisno od obravnavanega kota je lahko noga sosednja (tvori ta kot s hipotenuzo) ali nasprotna (leži nasproti kota). Za nepravokotne trikotnike ni nog.

Osnova trigonometrije je razmerje med katetami in hipotenuzo: sinusi, tangente in sekanti so definirani kot razmerje stranic pravokotnega trikotnika.

Pravokotni trikotnik v resnici

Ta številka je v resnici postala zelo razširjena. Trikotniki se uporabljajo v oblikovanju in tehnologiji, zato morajo izračun površine figure opraviti inženirji, arhitekti in oblikovalci. Osnove tetraedrov ali prizem - tridimenzionalnih figur, ki jih je enostavno srečati v vsakdanjem življenju - imajo obliko trikotnika. Poleg tega je kvadrat najpreprostejša predstavitev "ravnega" pravokotnega trikotnika v resnici. Kotnik je kovinsko, risarsko, konstrukcijsko in tesarsko orodje, s katerim sestavljajo kote tako šolarji kot inženirji.

Območje trikotnika

Območje geometrijske figure je kvantitativna ocena, kolikšen del ravnine je omejen s stranicami trikotnika. Območje navadnega trikotnika je mogoče najti na pet načinov, z uporabo Heronove formule ali z uporabo spremenljivk, kot so osnova, stranica, kot in polmer včrtanega ali obremenjenega kroga. Najenostavnejša formula za površino je izražena kot:

kjer je a stranica trikotnika, h njegova višina.

Formula za izračun površine pravokotnega trikotnika je še preprostejša:

kjer sta a in b kraka.

Z našim spletnim kalkulatorjem lahko izračunate površino trikotnika s tremi pari parametrov:

dve nogi;
krak in sosednji kot;
noga in nasprotni kot.

V težavah ali vsakdanjih situacijah vam bodo na voljo različne kombinacije spremenljivk, zato vam ta oblika kalkulatorja omogoča izračun ploščine trikotnika na več načinov. Poglejmo si nekaj primerov.

Primeri iz resničnega življenja

Keramična ploščica

Recimo, da želite kuhinjske stene obložiti s keramičnimi ploščicami, ki imajo obliko pravokotnega trikotnika. Če želite določiti porabo ploščic, morate ugotoviti površino enega elementa obloge in skupno površino obdelane površine. Recimo, da morate obdelati 7 kvadratnih metrov. Dolžina nog enega elementa je 19 cm, potem bo površina ploščice enaka:

To pomeni, da je površina enega elementa 24,5 kvadratnih centimetrov ali 0,01805 kvadratnih metrov. Če poznate te parametre, lahko izračunate, da boste za zaključek 7 kvadratnih metrov stene potrebovali 7 / 0,01805 = 387 elementov obrnjenih ploščic.

Šolska naloga

Recimo, da morate v šolski geometrijski nalogi najti območje pravokotnega trikotnika, pri čemer veste le, da je stranica ene noge 5 cm, nasprotni kot pa 30 stopinj. Naš spletni kalkulator ima ilustracijo, ki prikazuje stranice in kote pravokotnega trikotnika. Če je stranica a = 5 cm, potem je njen nasprotni kot kot alfa, enak 30 stopinj. Vnesite te podatke v obrazec kalkulatorja in dobite rezultat:

Tako kalkulator ne samo izračuna površino danega trikotnika, temveč tudi določi dolžino sosednjega kraka in hipotenuze ter vrednost drugega kota.

Zaključek

Pravokotne trikotnike najdemo v našem življenju dobesedno na vsakem vogalu. Določanje območja takšnih figur vam bo koristilo ne le pri reševanju šolskih nalog iz geometrije, temveč tudi pri vsakdanjih in poklicnih dejavnostih.

Glede na vrsto trikotnika obstaja več možnosti za iskanje njegovega območja. Na primer, za izračun površine pravokotnega trikotnika uporabite formulo S= a * b / 2, kjer sta a in b njegova kraka. Če želite izvedeti površino enakokrakega trikotnika, morate produkt njegove osnove in višine razdeliti na dva. To pomeni, da je S= b*h / 2, kjer je b osnova trikotnika, h pa njegova višina.

Nato boste morda morali izračunati površino enakokrakega pravokotnega trikotnika. Tukaj na pomoč pride naslednja formula: S = a* a / 2, kjer morata imeti noge "a" in "a" enake vrednosti.

Prav tako moramo pogosto izračunati površino enakostraničnega trikotnika. Najdemo ga po formuli: S= a * h/ 2, kjer je a stranica trikotnika, h pa njegova višina. Ali po tej formuli: S= √3/ 4 *a^2, kjer je a stranica.

Kako najti območje pravokotnega trikotnika

Ali morate najti območje pravokotnega trikotnika, vendar izjava o problemu ne označuje dimenzij dveh njegovih nog hkrati? Potem te formule (S= a * b / 2) ne moremo uporabiti neposredno.

Razmislimo o več možnih rešitvah:

Če ne poznate dolžine ene noge, podane pa so dimenzije hipotenuze in druge noge, se obrnemo na velikega Pitagora in z uporabo njegovega izreka (a^2+b^2=c^2), izračunamo dolžino neznane noge, nato pa z njo izračunamo površino trikotnika.
Če sta podana dolžina enega kraka in stopinjski naklon nasprotnega kota: dolžino drugega kraka najdemo po formuli - a=b*ctg(C).
Podano: dolžina enega kraka in stopinjski naklon kota, ki meji nanj: za iskanje dolžine drugega kraka uporabimo formulo - a=b*tg(C).
In nazadnje, glede na: kot in dolžino hipotenuze: izračunamo dolžino obeh njenih katet z naslednjima formulama - b=c*sin(C) in a=c*cos(C).

Kako najti območje enakokrakega trikotnika

Območje enakokrakega trikotnika je mogoče zelo enostavno in hitro najti s formulo S = b * h / 2, če pa eden od indikatorjev manjka, postane naloga veliko bolj zapletena. Navsezadnje je treba izvesti dodatna dejanja.

Možne možnosti naloge:

Podano: dolžina ene od stranic in dolžina osnove. S pomočjo Pitagorovega izreka najdemo višino, to je dolžino drugega kraka. Pod pogojem, da je dolžina osnove, deljena z dvema, noga, prvotno znana stran pa je hipotenuza.
Podano: osnovo in kot med stranico in osnovo. Višino izračunamo po formuli h=c*ctg(B)/2 (ne pozabimo deliti strani "c" z dva).
Podano: višina in kot, ki ju tvorita osnova in stranica: uporabimo formulo c=h*tg(B)*2 za iskanje višine in rezultat pomnožimo z dva. Nato izračunamo površino.
Znano: dolžina stranice in kot med njo in višino. Rešitev: s formulama - c=a*sin(C)*2 in h=a*cos(C) poiščemo osnovo in višino, nakar izračunamo ploščino.

Kako najti območje enakokrakega pravokotnega trikotnika

Če so znani vsi podatki, potem s standardno formulo S= a* a / 2 izračunamo površino enakokrakega pravokotnega trikotnika, če pa nekateri kazalniki v problemu niso navedeni, se izvedejo dodatna dejanja.

Na primer: ne poznamo dolžin obeh stranic (spomnimo se, da sta v enakokrakem pravokotnem trikotniku enaki), podana pa je dolžina hipotenuze. Uporabimo Pitagorov izrek, da poiščemo enaki stranici "a" in "a". Pitagorova formula: a^2+b^2=c^2. V primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika se spremeni v to: 2a^2 = c^2. Izkazalo se je, da morate za iskanje kraka "a" dolžino hipotenuze razdeliti s korenom iz 2. Rezultat rešitve bo dolžina obeh krakov enakokrakega pravokotnega trikotnika. Nato poiščemo območje.

Kako najti območje enakostraničnega trikotnika

Z uporabo formule S= √3/ 4*a^2 lahko preprosto izračunate ploščino enakostraničnega trikotnika. Če je polmer kroga, ki je opisan trikotniku, znan, je ploščino mogoče najti s formulo: S= 3√3/ 4*R^2, kjer je R polmer kroga.

Kot se morda spomnite iz šolskega učnega načrta geometrije, je trikotnik lik, sestavljen iz treh segmentov, povezanih s tremi točkami, ki ne ležijo na isti ravni črti. Trikotnik tvori tri kote, od tod tudi ime figure. Definicija je lahko drugačna. Trikotnik lahko imenujemo tudi mnogokotnik s tremi koti, tudi odgovor bo pravilen. Trikotnike delimo glede na število enakih stranic in velikosti kotov na slikah. Tako trikotnike ločimo na enakokrake, enakostranične in skalne, pa tudi na pravokotne, ostre in tupe.

Obstaja veliko formul za izračun površine trikotnika. Izberite, kako najti območje trikotnika, tj. Katero formulo boste uporabili, je odvisno od vas. Vendar je vredno omeniti le nekatere oznake, ki se uporabljajo v številnih formulah za izračun površine trikotnika. Torej, zapomni si:

S je površina trikotnika,

a, b, c so stranice trikotnika,

h je višina trikotnika,

R je polmer opisanega kroga,

p je polobod.

Tukaj so osnovni zapisi, ki vam bodo morda koristili, če ste popolnoma pozabili tečaj geometrije. Spodaj so najbolj razumljive in nezapletene možnosti za izračun neznanega in skrivnostnega območja trikotnika. Ni težko in bo koristno tako za vaše gospodinjske potrebe kot za pomoč vašim otrokom. Spomnimo se, kako najlažje izračunamo površino trikotnika:

V našem primeru je površina trikotnika: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvadratnih cm. Ne pozabite, da se površina meri v kvadratnih centimetrih (sqcm).

Pravokotni trikotnik in njegova ploščina.

Pravokotni trikotnik je trikotnik, v katerem je en kot enak 90 stopinj (zato se imenuje desni). Pravi kot tvorita dve pravokotni črti (v primeru trikotnika dva pravokotna odseka). V pravokotnem trikotniku je lahko samo en pravi kot, ker... vsota vseh kotov katerega koli trikotnika je enaka 180 stopinj. Izkazalo se je, da bi morala 2 druga kota deliti preostalih 90 stopinj, na primer 70 in 20, 45 in 45 itd. Torej, spomnite se glavne stvari, vse kar ostane je ugotoviti, kako najti območje pravokotnega trikotnika. Predstavljajmo si, da imamo pred seboj takšen pravokotni trikotnik in moramo najti njegovo ploščino S.

1. Najenostavnejši način za določitev površine pravokotnega trikotnika se izračuna po naslednji formuli:

V našem primeru je površina pravokotnega trikotnika: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kvadratnih cm.

Načeloma ni več potrebe po preverjanju površine trikotnika na druge načine, ker Le ta bo koristen in bo pomagal v vsakdanjem življenju. Obstajajo pa tudi možnosti za merjenje površine trikotnika skozi ostre kote.

2. Za druge metode izračuna morate imeti tabelo kosinusov, sinusov in tangentov. Presodite sami, tukaj je nekaj možnosti za izračun površine pravokotnega trikotnika, ki jih je še vedno mogoče uporabiti:

Odločili smo se za prvo formulo in z nekaj manjšimi madeži (risali smo jo v zvezek in uporabili staro ravnilo in kotomer), vendar smo dobili pravilen izračun:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Dobili smo naslednje rezultate: 3,6 = 3,7, vendar ob upoštevanju premika celic lahko odpustimo ta odtenek.

Enakokraki trikotnik in njegova ploščina.

Če se soočate z nalogo izračuna formule za enakokraki trikotnik, potem je najlažji način, da uporabite glavno in tisto, kar velja za klasično formulo za površino trikotnika.

Toda najprej, preden najdemo površino enakokrakega trikotnika, ugotovimo, za kakšno figuro gre. Enakokraki trikotnik je trikotnik, v katerem sta stranici enako dolgi. Ti dve strani se imenujeta stranski, tretja stran se imenuje osnova. Ne zamenjujte enakokrakega trikotnika z enakostraničnim trikotnikom, tj. pravilen trikotnik z vsemi tremi stranicami enakimi. V takem trikotniku ni posebnih nagnjenj k kotom, oziroma k njihovi velikosti. Vendar sta kota pri dnu v enakokrakem trikotniku enaka, vendar se razlikujeta od kota med enakima stranicama. Torej, prvo in glavno formulo že poznate, še vedno je treba ugotoviti, katere druge formule za določanje površine enakokrakega trikotnika so znane.

Pravokotni trikotnik je trikotnik, v katerem je eden od kotov 90°. Njegovo območje je mogoče najti, če sta znani dve strani. Seveda lahko uberete dolgo pot - poiščete hipotenuzo in izračunate ploščino z uporabo, vendar bo v večini primerov to trajalo le več časa. Zato je formula za območje pravokotnega trikotnika videti takole:

Površina pravokotnega trikotnika je enaka polovici produkta nog.

Primer izračuna površine pravokotnega trikotnika.
Podan je pravokoten trikotnik s kraki a= 8 cm, b= 6 cm.
Izračunamo površino:
Površina je: 24 cm 2

Pitagorov izrek velja tudi za pravokotni trikotnik. – vsota kvadratov obeh katet je enaka kvadratu hipotenuze.
Formula za površino enakokrakega pravokotnega trikotnika se izračuna na enak način kot za navaden pravokotni trikotnik.

Primer izračuna površine enakokrakega pravokotnega trikotnika:
Podan je trikotnik s kraki a= 4 cm, b= 4 cm Izračunajte ploščino:
Izračunajte površino: = 8 cm 2

Formula za površino pravokotnega trikotnika s hipotenuzo se lahko uporabi, če je pogoj podana ena noga. Iz Pitagorovega izreka najdemo dolžino neznanega kraka. Na primer glede na hipotenuzo c in nogo a, noga b bo enako:
Nato izračunajte površino z običajno formulo. Primer izračuna formule za površino pravokotnega trikotnika na podlagi hipotenuze je enak tistemu, ki je opisan zgoraj.

Razmislimo o zanimivem problemu, ki bo pomagal utrditi znanje formul za reševanje trikotnika.
Naloga: Površina pravokotnega trikotnika je 180 kvadratnih metrov. glej, poišči manjši krak trikotnika, če je za 31 cm manjši od drugega.
rešitev: označimo noge a in b. Zdaj nadomestimo podatke v formulo ploščine: vemo tudi, da je ena noga manjša od druge a – b= 31 cm
Iz prvega pogoja dobimo to
Ta pogoj nadomestimo v drugo enačbo: