Dot. Oddelek

Točka je abstrakten predmet, ki nima merilnih lastnosti: brez višine, brez dolžine, brez polmera. V okviru naloge je pomembna le njegova lokacija

Točka je označena s številko ali veliko (veliko) latinično črko. Več pik - različne številke oz različne črke tako da jih je mogoče razlikovati

točka A, točka B, točka C

A B C

točka 1, točka 2, točka 3

1 2 3

Na list papirja lahko narišete tri točke "A" in otroka povabite, naj nariše črto skozi dve točki "A". Toda kako razumeti skozi katero? A A A

Črta je niz točk. Meri samo dolžino. Nima širine ali debeline.

Označeno z malimi črkami (majhno) z latinskimi črkami

vrstica a, vrstica b, vrstica c

a b c

Linija bi lahko bila

1. zaprta, če sta njen začetek in konec na isti točki,
2. odprta, če njen začetek in konec nista povezana

zaprte linije

odprte linije

Zapustil si stanovanje, kupil kruh v trgovini in se vrnil nazaj v stanovanje. Katero vrstico si dobil? Tako je, zaprto. Vrnili ste se na izhodišče. Zapustil si stanovanje, kupil kruh v trgovini, šel v vhod in se pogovarjal s sosedom. Katero vrstico si dobil? Odprto. Niste se vrnili na izhodišče. Zapustil si stanovanje, kupil kruh v trgovini. Katero vrstico si dobil? Odprto. Niste se vrnili na izhodišče.

1. samosekajoča
2. brez samosečišč

samosekajoče se črte

črte brez samosečišč

1. naravnost
2. prekinjena črta
3. krivo

ravne črte

lomljene črte

ukrivljene črte

Ravna črta je črta, ki se ne ukrivlja, nima ne začetka ne konca, lahko se neomejeno podaljša v obe smeri

Tudi ko se vidi majhna parcela naravnost, se predpostavlja, da se nadaljuje v nedogled v obe smeri

Označena je z malo (majhno) latinično črko. Ali dve veliki (veliki) latinični črki - točke, ki ležijo na ravni črti

ravna črta a

a

ravna črta AB

B A

ravne črte so lahko

1. sekajo, če imajo skupno točko. Dve premici se lahko sekata samo v eni točki.
   • pravokotno, če se sekata pod pravim kotom (90°).
2. vzporedno, če se ne sekata, nimata skupne točke.

vzporedne črte

sekajoče črte

pravokotne črte

Žarek je del ravne črte, ki ima začetek, vendar brez konca, lahko se podaljša za nedoločen čas samo v eno smer

Izhodišče za snop svetlobe na sliki je sonce.

sonce

Točka deli premico na dva dela - dva žarka A A

Žarek je označen z malo (majhno) latinično črko. Ali dve veliki (veliki) latinični črki, kjer je prva točka, od koder se žarek začne, druga pa točka, ki leži na žarku

žarek a

a

žarek AB

B A

Žarki se ujemajo, če

1. ki se nahajajo na isti ravni črti
2. začnite na eni točki
3. usmerjen na eno stran

žarka AB in AC sovpadata

žarka CB in CA sovpadata

C B A

Odsek je del premice, ki je omejen z dvema točkama, torej ima tako začetek kot konec, kar pomeni, da je njegovo dolžino mogoče izmeriti. Dolžina segmenta je razdalja med njegovo začetno in končno točko.

Skozi eno točko je mogoče narisati poljubno število črt, vključno z ravnimi črtami.

Skozi dve točki - neomejeno število krivulj, vendar le ena ravna črta

ukrivljene črte, ki potekajo skozi dve točki

B A

ravna črta AB

B A

Kos je bil "odrezan" od ravne črte in segment je ostal. Iz zgornjega primera lahko vidite, da je njegova dolžina najkrajša razdalja med dvema točkama. ✂ B A ✂

Segment je označen z dvema velikima (velikim) latinskima črkama, pri čemer je prva točka, s katere se segment začne, druga pa točka, s katere se segment konča.

segment AB

B A

Naloga: kje je črta, žarek, segment, krivulja?

Zlomljena črta je črta, sestavljena iz zaporedno povezanih segmentov, ki niso pod kotom 180°

Dolg segment je bil "razbit" na več kratkih.

Povezave polilinije (podobno členom verige) so segmenti, ki sestavljajo poličnjo. Sosednje povezave so povezave, v katerih je konec ene povezave začetek druge. Sosednje povezave ne smejo ležati na isti ravni črti.

Vrhovi polilinije (podobno vrhom gora) so točke, od katerih se polilinija začne, točke, na katerih se povezujejo segmenti, ki tvorijo polilinijo, točka, kjer se polilinija konča.

Polilinija je označena tako, da naštejemo vsa njena oglišča.

lomljena črta ABCDE

vrh polilinije A, vrh polilinije B, vrh polilinije C, vrh polilinije D, vrh polilinije E

povezava prekinjene črte AB, povezava prekinjene črte BC, povezava prekinjene črte CD, povezava prekinjene črte DE

povezava AB in povezava BC sta sosednji

povezava BC in povezava CD sta soseda

povezava CD in povezava DE sta soseda

A B C D E 64 62 127 52

Dolžina polilinije je vsota dolžin njenih povezav: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Naloga: katera lomljena črta je daljša, ampak kateri ima več vrhov? V prvi vrstici so vsi členi enake dolžine, in sicer 13 cm. V drugi vrstici so vsi členi enake dolžine, in sicer 49 cm. Tretja vrstica ima vse člene enake dolžine, in sicer 41 cm.

Poligon je zaprta polilinija

Stranice mnogokotnika (pomagale vam bodo zapomniti izraze: "pojdi na vse štiri strani", "teči proti hiši", "na katero stran mize boš sedel?") so povezave prekinjene črte. Sosednje stranice mnogokotnika so sosednje povezave lomljene črte.

Točki poligona so oglišča polilinije. Sosednja oglišča so končne točke ene strani mnogokotnika.

Poligon je označen s seznamom vseh njegovih oglišč.

zaprta polilinija brez lastnega preseka, ABCDEF

poligon ABCDEF

oglišče mnogokotnika A, oglišče mnogokotnika B, oglišče mnogokotnika C, oglišče mnogokotnika D, oglišče mnogokotnika E, oglišče poligona F

oglišče A in oglišče B sta sosednji

oglišče B in oglišče C sta sosednji

oglišče C in oglišče D sta sosednji

oglišče D in oglišče E sta sosednji

oglišče E in oglišče F sta sosednji

oglišče F in oglišče A sta sosednji

stran poligona AB, stran poligona BC, stran poligona CD, stran poligona DE, stran poligona EF

strani AB in BC sta sosednji

stran BC in stran CD sta sosednji

stran CD in stran DE sta sosednji

stran DE in stran EF sta sosednji

stran EF in stran FA sta sosednji

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Obseg mnogokotnika je dolžina polilinije: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Mnogokotnik s tremi oglišči se imenuje trikotnik, s štirimi - štirikotnik, s petimi - peterokotnik itd.

Točka in črta sta osnovni geometrijske oblike na površini.

Starogrški znanstvenik Euclid je rekel: »točka« je tista, ki nima delov. Beseda "točka" v prevodu iz latinščina pomeni rezultat takojšnjega dotika, vboda. Točka je osnova za konstruiranje katere koli geometrijske figure.

Premica ali samo ravna črta je črta, vzdolž katere je razdalja med dvema točkama najkrajša. Ravna črta je neskončna in nemogoče je prikazati celotno črto in jo izmeriti.

Točke so označene z velikimi latinskimi črkami A, B, C, D, E itd., ravne črte pa z istimi črkami, vendar z malimi a, b, c, d, e itd. Ravno črto lahko označimo tudi z dve črki, ki ustrezata točkam, ki ležijo na njej. Na primer, črto a lahko označimo z AB.

Lahko rečemo, da točke AB ležijo na premici a ali pripadajo premici a. Lahko rečemo, da premica a poteka skozi točki A in B.

Najenostavnejši geometrijski liki na ravnini so odsek črte, žarek, prekinjena črta.

Odsek je del premice, ki je sestavljen iz vseh točk te premice, omejen z dvema izbranima točkama. Te točke so konci segmenta. Segment je označen z navedbo njegovih koncev.

Žarek ali polpremica je del premice, ki je sestavljen iz vseh točk te premice, ki ležijo na eni strani njene dane točke. Ta točka se imenuje začetna točka polpremice ali začetek žarka. Žarek ima začetno točko, vendar nima končne točke.

Polovične črte ali žarki so označene z dvema malima latinskima črkama: začetna in katera koli druga črka, ki ustreza točki, ki pripada polovični črti. V tem primeru je izhodišče postavljeno na prvo mesto.

Izkazalo se je, da je črta neskončna: nima ne začetka ne konca; žarek ima samo začetek, vendar nima konca, medtem ko ima segment začetek in konec. Zato lahko merimo le segment.

Več segmentov, ki so med seboj povezani zaporedno, tako da segmenti (sosednji), ki imajo eno skupno točko, niso nameščeni na isti ravni črti, predstavljajo lomljeno črto.

Polilinija je lahko zaprta ali odprta. Če konec zadnjega segmenta sovpada z začetkom prvega, imamo zaprto prekinjeno črto, če ne pa odprto.

strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.

V geometriji sta glavni geometrijski figuri točka in črta. Za označevanje točk je običajno uporabljati velike latinične črke: A, B, C, D, E, F .... Za označevanje ravnih črt se uporabljajo male latinične črke: a, b, c, d, e, f .... Spodnja slika prikazuje ravno črto a in več točk A, B, C, D.

Za upodobitev ravne črte na sliki uporabljamo ravnilo, vendar ne prikažemo celotne črte, temveč le njen del. Ker se črta v našem pogledu razteza v neskončnost v obe smeri, je črta neskončna.

Na zgornji sliki vidimo, da se točki A in C nahajata na ravni črti. ampak. V takih primerih pravimo, da točki A in C pripadata premici a. Ali pa pravijo, da poteka črta skozi točki A in C. Pri pisanju je pripadnost točke premici označena s posebno ikono. In dejstvo, da točka ne pripada črti, je označeno z isto ikono, le prečrtano.

V našem primeru točki B in D ne pripadata premici a.

Kot je navedeno zgoraj, na sliki točki A in C pripadata premici a. Imenuje se del premice, ki je sestavljen iz vseh točk na tej premici, ki ležijo med dvema danima točkama segmentu. Z drugimi besedami, segment je del premice, omejen z dvema točkama.

V našem primeru imamo segment AB. Točki A in B se imenujeta konca segmenta. Da bi označili segment, so njegovi konci označeni, v našem primeru AB. Ena od glavnih lastnosti pripadnosti točk in premic je naslednja lastnine: skozi kateri koli dve točki lahko narišete črto, poleg tega pa samo eno.

Če imata dve premici skupno točko, se pravi, da se premici sekata. Na sliki se premici a in b sekata v točki A. Premici a in c se ne sekata.

Vsaki dve premici imata samo eno skupno točko ali pa nimata skupnih točk. Če predpostavimo nasprotno, da imata premici dve skupni točki, bi šli skozi nju dve premici. Toda to je nemogoče, saj je mogoče skozi dve točki potegniti samo eno črto.

Ogledali si bomo vsako od tem, na koncu pa bodo testi o temah.

Točka v matematiki

Kaj je točka v matematiki? Matematična točka nima dimenzij in je označena z velikimi latiničnimi črkami: A, B, C, D, F itd.

Na sliki lahko vidite podobo točk A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segment v matematiki

Kaj je segment v matematiki? Pri pouku matematike lahko slišite naslednjo razlago: matematični segment ima dolžino in konce. Odsek v matematiki je množica vseh točk, ki ležijo na ravni črti med koncema segmenta. Konca segmenta sta dve mejni točki.

Na sliki vidimo naslednje: segmente ,,,, in , pa tudi dve točki B in S.

Ravne črte v matematiki

Kaj je ravna črta v matematiki? Definicija ravne črte v matematiki: ravna črta nima koncev in se lahko nadaljuje v obe smeri do neskončnosti. Ravno črto v matematiki označujeta poljubni dve točki na ravni črti. Da bi učencu razložili pojem ravne črte, lahko rečemo, da je ravna odsek, ki nima dveh koncev.

Slika prikazuje dve ravni črti: CD in EF.

Ray pri matematiki

Kaj je žarek? Opredelitev žarka v matematiki: Žarek je del premice, ki ima začetek in ni konca. Ime žarka vsebuje dve črki, na primer DC. Poleg tega prva črka vedno označuje točko začetka žarka, zato črk ne morete zamenjati.

Slika prikazuje žarke: DC, KC, EF, MT, MS. Nosilci KC in KD - en žarek, ker imajo skupen izvor.

Številčna črta v matematiki

Definicija številske premice v matematiki: Premica, katere točke označujejo številke, se imenuje številska premica.

Slika prikazuje številsko premico, pa tudi žarek OD in ED

Tečaj uporablja geometrijski jezik, sestavljen iz zapisov in simbolov, sprejetih pri predmetu matematike (zlasti pri novem predmetu geometrije v srednji šoli).

Vso raznolikost oznak in simbolov ter povezav med njimi lahko razdelimo v dve skupini:

skupina I - oznake geometrijskih likov in razmerja med njimi;

označbe logičnih operacij skupine II, ki tvorijo skladenjske osnove geometrijskega jezika.

Naslednje je celoten seznam matematične simbole, uporabljene v tem tečaju. Posebna pozornost je dan simbolom, ki se uporabljajo za označevanje projekcij geometrijskih oblik.

Skupina I

SIMBOLI OZNAČAJO GEOMETRIČNE LIKE IN RAZMERJA MED NJIMI

A. Označevanje geometrijskih oblik

1. Geometrijski lik je označen - F.

2. Točke so označene Velike črke Latinska abeceda ali arabske številke:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Črte, poljubno nameščene glede na projekcijske ravnine, so označene z malimi črkami latinske abecede:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Označene so nivojske črte: h - vodoravno; f- čelni.

Naslednji zapis se uporablja tudi za ravne črte:

(AB) - ravna črta, ki poteka skozi točki A in B;

[AB) - žarek z začetkom v točki A;

[AB] - odsek ravne črte, omejen s točkama A in B.

4. Površine so označene z malimi črkami grške abecede:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Če želite poudariti, kako je površina definirana, morate določiti geometrijske elemente, s katerimi je definirana, na primer:

α(a || b) - ravnino α določata vzporednici a in b;

β(d 1 d 2 gα) - površino β določata vodili d 1 in d 2 , generatrika g in ravnina vzporednosti α.

5. Koti so navedeni:

∠ABC - kot z vrhom v točki B, pa tudi ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Kotni: vrednost (stopinjska mera) je označena z znakom, ki je nameščen nad kotom:

Vrednost kota ABC;

Vrednost kota φ.

Pravi kot je označen s kvadratom s piko v notranjosti

7. Razdalje med geometrijskimi figurami so označene z dvema navpičnima segmentoma - ||.

Na primer:

|AB| - razdalja med točkama A in B (dolžina segmenta AB);

|Aa| - razdalja od točke A do črte a;

|Aα| - razdalje od točke A do površine α;

|ab| - razdalja med vrsticama a in b;

|αβ| razdalja med površinama α in β.

8. Za projekcijske ravnine so sprejete naslednje oznake: π 1 in π 2, kjer je π 1 vodoravna projekcijska ravnina;

π 2 -fryuntalna ravnina projekcij.

Pri zamenjavi projekcijskih ravnin ali uvedbi novih ravnin slednje označujejo π 3, π 4 itd.

9. Osi projekcije so označene: x, y, z, kjer je x os x; y je os y; z - aplicirana os.

Konstantna črta Mongeovega diagrama je označena s k.

10. Projekcije točk, premic, površin, katere koli geometrijske figure so označene z istimi črkami (ali številkami) kot izvirnik, z dodatkom nadpisa, ki ustreza projekcijski ravnini, na kateri so bili pridobljeni:

A", B", C", D", ... , L", M", N", vodoravne projekcije točk; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... čelne projekcije točk; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - vodoravne projekcije premic; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m ", n" , ... čelne projekcije črt; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... vodoravne projekcije površin; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... čelne projekcije površin.

11. Sledovi ravnin (površine) so označeni z enakimi črkami kot vodoravna ali čelna, z dodatkom podpisa 0α, ki poudarja, da te premice ležijo v projekcijski ravnini in pripadajo ravnini (površini) α.

Torej: h 0α - vodoravni sled ravnine (površine) α;

f 0α - čelni sled ravnine (površine) α.

12. Sledovi ravnih črt (črte) so označeni z velikimi črkami, s katerimi se začenjajo besede, ki opredeljujejo ime (v latinski transkripciji) projekcijske ravnine, ki jo prečka črta, s podpisom, ki označuje pripadnost črti.

Na primer: H a - vodoravni sled premice (premice) a;

F a - čelni sled premice (premice) a.

13. Zaporedje točk, črt (katere koli slike) je označeno z indeksi 1,2,3,...,n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1, a 2, a 3,...,a n;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n itd.

Pomožna projekcija točke, dobljena kot rezultat transformacije za pridobitev dejanske vrednosti geometrijske figure, je označena z isto črko z indeksom 0:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Aksonometrične projekcije

14. Aksonometrične projekcije točk, premic, površin so označene z istimi črkami kot narava z dodatkom nadpisa 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundarne projekcije so označene z dodajanjem nadpisa 1:

A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Za lažje branje risb v učbeniku je bilo pri oblikovanju ilustrativnega gradiva uporabljenih več barv, od katerih ima vsaka določeno pomen: črne črte (pike) označujejo začetne podatke; zelena barva uporablja se za linije pomožnih grafičnih konstrukcij; rdeče črte (pike) prikazujejo rezultate konstrukcij ali tistih geometrijskih elementov, ki jim je treba posvetiti posebno pozornost.

B. Simboli, ki označujejo razmerja med geometrijskimi figurami

št.	Poimenovanje	Vsebina	Primer simbolnega zapisa
1	≡	Tekma	(AB) ≡ (CD) - ravna črta, ki poteka skozi točki A in B, sovpada z premico, ki poteka skozi točki C in D
2	≅	Kongruentno	∠ABC≅∠MNK - kot ABC je skladen s kotom MNK
3	∼	Podobno	ΔABS∼ΔMNK - trikotnika ABC in MNK sta si podobna
4	||	Vzporedno	α||β - ravnina α je vzporedna z ravnino β
5	⊥	Pravokotno	a⊥b - premici a in b sta pravokotni
6		križati	z d - premici c in d se sekata
7		Tangente	t l - premica t je tangenta na premico l. βα - ravnina β, ki se dotika površine α
8	→	So prikazani	F 1 → F 2 - lik F 1 je preslikan na sliko F 2
9	S	projekcijski center. Če projekcijsko središče ni prava točka, njegov položaj je označen s puščico, označuje smer projekcije	-
10	s	Smer projekcije	-
11	P	Vzporedna projekcija	p s α Vzporedna projekcija - vzporedna projekcija na ravnino α v smeri s

B. Teoretični zapis

št.	Poimenovanje	Vsebina	Primer simbolnega zapisa	Primer simbolnega zapisa v geometriji
1	M,N	Kompleti	-	-
2	A,B,C,...	Nastavite elemente	-	-
3	{ ... }	Sestoji iz...	F(A, B, C,... )	Ф(A, B, C,...) - slika Ф je sestavljena iz točk A, B, C, ...
4	∅	Prazen komplet	L - ∅ - množica L je prazna (ne vsebuje elementov)	-
5	∈	Pripada, je element	2∈N (kjer je N množica naravna števila) - število 2 pripada množici N	A ∈ a - točka A pripada premici a (točka A leži na premici a)
6	⊂	Vključuje, vsebuje	N⊂M - množica N je del (podmnožica) množice M vseh racionalnih števil	a⊂α - premica a pripada ravnini α (razumljeno v smislu: množica točk premice a je podmnožica točk ravnine α)
7	∪	unija	C \u003d A U B - množica C je unija množic A in B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3) ∪ (4.5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ - lomljena črta, ABCD je zveza segmentov [AB], [BC],
8	∩	Presečišče mnogih	М=К∩L - množica М je presečišče množic К in L (vsebuje elemente, ki pripadajo množici K in množici L). M ∩ N = ∅- presečišče množic M in N je prazna množica (množici M in N nimata skupnih elementov)	a = α ∩ β - premica a je presečišče ravnini α in β in ∩ b = ∅ - premici a in b se ne sekata (nimajo skupnih točk)

II. skupina SIMBOLI, KI OZNAČAJO LOGIČNE OPERACIJE

št.	Poimenovanje	Vsebina	Primer simbolnega zapisa
1	∧	zveza stavkov; ustreza zvezi "in". Stavek (p∧q) je resničen, če in samo če sta p in q resnična	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Presečišče površin α in β je množica točk (premica), sestavljeno iz vseh tistih in samo tistih točk K, ki pripadajo tako površini α kot površini β
2	∨	Disjunkcija stavkov; ustreza zvezi "ali". stavek (p∨q) res, če je vsaj eden od stavkov p ali q resničen (tj. bodisi p ali q ali oboje).	-
3	⇒	Implikacija je logična posledica. Stavek p⇒q pomeni: "če je p, potem q"	(a||c∧b||c)⇒a||b. Če sta dve premici vzporedni s tretjino, sta med seboj vzporedni.
4	⇔	Stavek (p⇔q) se razume v smislu: "če je p, potem q; če q, potem p"	А∈α⇔А∈l⊂α. Točka pripada ravnini, če pripada neki premici, ki pripada tej ravnini. Velja tudi obratno: če točka pripada neki premici, ki pripada ravnini, potem pripada tudi sami ravnini.
5	∀	Splošni kvantifikator se glasi: za vsakogar, za vsakogar, za vsakogar. Izraz ∀(x)P(x) pomeni: "za kateri koli x: lastnost P(x)"	∀(ΔABC)( = 180°) Za kateri koli (za kateri koli) trikotnik je vsota vrednosti njegovih kotov na ogliščih je 180°
6	∃	Eksistencialni kvantifikator se glasi: obstaja. Izraz ∃(x)P(x) pomeni: "obstaja x, ki ima lastnost P(x)"	(∀α)(∃a). Za vsako ravnino α obstaja premica a, ki ne pripada ravnini α in vzporedno z ravnino α
7	∃1	Kvantifikator edinstvenosti obstoja se glasi: obstaja edinstvenost (-th, -th)... Izraz ∃1(x)(Px) pomeni: "obstaja edinstven (samo en) x, imajo lastnost Rx"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Za kateri koli dve različne točke A in B je ena vrstica a, prehod skozi te točke.
8	(px)	Negacija izjave P(x)	ab(∃α )(α⊃а, b). Če se premici a in b sekata, potem ni ravnine a, ki bi ju vsebovala
9	\	Negativni znak	≠ - odsek [AB] ni enak odseku .a? b - premica a ni vzporedna z premico b