Primeri trigonometrije. Trigonometrične enačbe

Pri reševanju mnogih matematične težave, zlasti tistih, ki se pojavijo pred 10. razredom, je vrstni red izvedenih dejanj, ki bodo pripeljali do cilja, jasno opredeljen. Takšni problemi vključujejo na primer linearne in kvadratne enačbe, linearne in kvadratne neenakosti, ulomne enačbe in enačbe, ki se reducirajo na kvadratno. Načelo uspešne rešitve vsake od omenjenih nalog je naslednje: treba je ugotoviti, kakšno vrsto naloge se rešuje, zapomniti si potrebno zaporedje dejanj, ki bodo privedla do želenega rezultata, tj. odgovorite in sledite tem korakom.

Očitno je uspeh ali neuspeh pri reševanju določenega problema odvisen predvsem od tega, kako pravilno je določena vrsta enačbe, ki jo rešujemo, kako pravilno je reproducirano zaporedje vseh stopenj njene rešitve. Seveda pa je za izvedbo potrebno imeti veščine identične transformacije in računalništvo.

Drugačna situacija se zgodi z trigonometrične enačbe. Ni težko ugotoviti, da je enačba trigonometrična. Težave se pojavijo pri določanju zaporedja dejanj, ki bi vodila do pravilnega odgovora.

Avtor videz enačb je včasih težko določiti njegovo vrsto. In brez poznavanja vrste enačbe je skoraj nemogoče izbrati pravo izmed več deset trigonometričnih formul.

Za rešitev trigonometrične enačbe moramo poskusiti:

1. vse funkcije, ki so vključene v enačbo, spravimo v "enake kote";
2. enačbo pripeljemo na »iste funkcije«;
3. faktorizirati levo stran enačbe itd.

Razmislite osnovne metode za reševanje trigonometričnih enačb.

I. Redukcija na najpreprostejše trigonometrične enačbe

Shema rešitve

Korak 1. Trigonometrično funkcijo izrazite z znanimi komponentami.

2. korak Poiščite argument funkcije s formulami:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3. korak Poiščite neznano spremenljivko.

Primer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Odločitev.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Spremenljivka substitucija

Shema rešitve

Korak 1. Prinesite enačbo v algebraično obliko glede na eno od trigonometričnih funkcij.

2. korak Dobljeno funkcijo označimo s spremenljivko t (če je potrebno, uvedemo omejitve za t).

3. korak Zapiši in reši algebraična enačba.

4. korak Naredite obratno zamenjavo.

5. korak Rešite najpreprostejšo trigonometrično enačbo.

Primer.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Odločitev.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Naj bo sin (x/2) = t, kjer je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ali e = -3/2 ne izpolnjuje pogoja |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukcije vrstnega reda enačb

Shema rešitve

Korak 1. Zamenjati dano enačbo linearno, z uporabo redukcijskih formul za to:

greh 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. korak Rešite dobljeno enačbo z uporabo metod I in II.

Primer.

cos2x + cos2x = 5/4.

Odločitev.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene enačbe

Shema rešitve

Korak 1. Prinesite to enačbo v obrazec

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena enačba prve stopnje)

ali na razgled

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena enačba druge stopnje).

2. korak Obe strani enačbe delite z

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

in dobimo enačbo za tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. korak Rešite enačbo z znanimi metodami.

Primer.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Odločitev.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Potem naj je tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ali t = -4, torej

tg x = 1 ali tg x = -4.

Iz prve enačbe x = π/4 + πn, n Є Z; iz druge enačbe x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda za pretvorbo enačbe s trigonometričnimi formulami

Shema rešitve

Korak 1. Uporaba vseh vrst trigonometrične formule, pripeljemo to enačbo v enačbo, rešeno z metodami I, II, III, IV.

2. korak Rešite dobljeno enačbo z znanimi metodami.

Primer.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Odločitev.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ali 2cos x + 1 = 0;

Iz prve enačbe 2x = π/2 + πn, n Є Z; iz druge enačbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Є Z; iz druge enačbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Kot rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odgovor: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sposobnosti in spretnosti reševanja trigonometričnih enačb so zelo Pomembno je, da njihov razvoj zahteva precejšen trud, tako s strani učenca kot učitelja.

Z reševanjem trigonometrijskih enačb je povezanih veliko problemov stereometrije, fizike itd. Proces reševanja takšnih problemov tako rekoč vsebuje veliko znanja in veščin, ki jih pridobimo pri preučevanju elementov trigonometrije.

Trigonometrične enačbe zavzemajo pomembno mesto v procesu poučevanja matematike in osebnostnega razvoja nasploh.

Imaš kakšno vprašanje? Ne veste, kako rešiti trigonometrične enačbe?
Če želite dobiti pomoč mentorja - registrirajte se.
Prva lekcija je brezplačna!

strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.

Vaša zasebnost nam je pomembna. Zaradi tega smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določene osebe ali stik z njo.

Od vas se lahko zahteva, da navedete svoje osebne podatke kadar koli, ko nas kontaktirate.

V nadaljevanju je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko oddate prijavo na spletnem mestu, lahko zbiramo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Zbrano pri nas osebne informacije nam omogoča, da vas kontaktiramo in vas obvestimo o edinstvene ponudbe, promocije in drugi dogodki ter prihajajoči dogodki.
Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različnih raziskav, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje takšnih programov.

Razkritje tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmete od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

Po potrebi - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnih postopkih in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih razlogov javnega interesa.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega naslednika tretje osebe.

Zaščita osebnih podatkov

Sprejmemo previdnostne ukrepe – vključno z upravnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo, pa tudi pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse zasebnosti.

Lekcija in predstavitev na temo: "Rešitev najpreprostejših trigonometričnih enačb"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov! Vse materiale preveri protivirusni program.

Priročniki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 10. razred od 1C
Rešujemo probleme iz geometrije. Interaktivne naloge za gradnjo v prostoru
Programsko okolje "1C: Matematični konstruktor 6.1"

Kaj bomo študirali:
1. Kaj so trigonometrične enačbe?

3. Dve glavni metodi za reševanje trigonometričnih enačb.
4. Homogene trigonometrične enačbe.
5. Primeri.

Kaj so trigonometrične enačbe?

Fantje, arksinus, arkkosinus, arktangens in arkkotangens smo že preučili. Zdaj pa si poglejmo trigonometrične enačbe na splošno.

Trigonometrične enačbe - enačbe, v katerih je spremenljivka vsebovana pod znakom trigonometrične funkcije.

Ponovimo obliko reševanja najpreprostejših trigonometričnih enačb:

1) Če je |а|≤ 1, ima enačba cos(x) = a rešitev:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Če je |а|≤ 1, ima enačba sin(x) = a rešitev:

3) Če |a| > 1, potem enačba sin(x) = a in cos(x) = a nimata rešitev 4) Enačba tg(x)=a ima rešitev: x=arctg(a)+ πk

5) Enačba ctg(x)=a ima rešitev: x=arcctg(a)+ πk

Za vse formule je k celo število

Najenostavnejše trigonometrične enačbe imajo obliko: Т(kx+m)=a, T- katera koli trigonometrična funkcija.

Primer.

Reši enačbe: a) sin(3x)= √3/2

Odločitev:

A) Označimo 3x=t, nato pa bomo našo enačbo prepisali v obliki:

Rešitev te enačbe bo: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Iz tabele vrednosti dobimo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vrnimo se k naši spremenljivki: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potem je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kjer je n celo število. (-1)^n - minus ena na potenco n.

Več primerov trigonometričnih enačb.

Reši enačbe: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Odločitev:

A) Tokrat bomo šli neposredno na izračun korenin enačbe:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potem je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, kjer je k celo število.

B) Zapišemo v obliki: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vemo, da je: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, kjer je k celo število.

Reši enačbe: cos(4x)= √2/2. In poiščite vse korenine na segmentu.

Odločitev:

Odločili se bomo v splošni pogled naša enačba: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Zdaj pa poglejmo, kakšne korenine padejo na naš segment. Za k Za k=0, x= π/16, smo v danem segmentu.
Pri k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 so ponovno zadeli.
Za k=2 je x= π/16+ π=17π/16, vendar tukaj nismo zadeli, kar pomeni, da tudi za velik k ne bomo zadeli.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dve glavni metodi rešitve.

Upoštevali smo najpreprostejše trigonometrične enačbe, obstajajo pa tudi bolj zapletene. Za njihovo reševanje se uporabljata metoda uvedbe nove spremenljivke in metoda faktorizacije. Poglejmo si primere.

Rešimo enačbo:

Odločitev:
Za rešitev naše enačbe uporabimo metodo uvedbe nove spremenljivke, ki jo označujemo: t=tg(x).

Kot rezultat zamenjave dobimo: t 2 + 2t -1 = 0

Poiščimo korenine kvadratna enačba: t=-1 in t=1/3

Potem tg(x)=-1 in tg(x)=1/3, dobili smo najpreprostejšo trigonometrično enačbo, poiščimo njene korenine.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primer reševanja enačbe

Reši enačbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Odločitev:

Uporabimo istovetnost: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša enačba postane: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Uvedemo zamenjavo t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rešitev naše kvadratne enačbe sta korena: t=2 in t=-1/2

Potem je cos(x)=2 in cos(x)=-1/2.

Ker kosinus ne more imeti vrednosti, večje od ena, potem cos(x)=2 nima korenin.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrične enačbe.

Definicija: Enačbi oblike a sin(x)+b cos(x) pravimo homogene trigonometrične enačbe prve stopnje.

Enačbe obrazca

homogene trigonometrične enačbe druge stopnje.

Za rešitev homogene trigonometrične enačbe prve stopnje jo delimo s cos(x): Ne morete deliti s kosinusom, če je nič, poskrbimo, da ni:
Naj cos(x)=0, potem asin(x)+0=0 => sin(x)=0, vendar sinus in kosinus nista enaka nič hkrati, dobili smo protislovje, tako da lahko varno delimo z ničlo.

Reši enačbo:
Primer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Odločitev:

Odstranite skupni faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Nato moramo rešiti dve enačbi:

cos(x)=0 in cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 za x= π/2 + πk;

Razmislite o enačbi cos(x)+sin(x)=0 Našo enačbo delimo s cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk in x= -π/4+πk

Kako rešiti homogene trigonometrične enačbe druge stopnje?
Fantje, vedno se držite teh pravil!

1. Poglejte, čemu je enak koeficient a, če je a \u003d 0, bo naša enačba dobila obliko cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), katere primer rešitve je na prejšnjem zdrs

2. Če je a≠0, potem morate oba dela enačbe deliti s kvadratnim kosinusom, dobimo:

S spremembo spremenljivke t=tg(x) dobimo enačbo:

Reši primer #:3

Reši enačbo:
Odločitev:

Obe strani enačbe delimo s kosinusnim kvadratom:

Spremenimo spremenljivko t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Poiščite korenine kvadratne enačbe: t=-3 in t=1

Potem: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk in x= π/4+ πk

Reši primer št.: 4

Reši enačbo:

Odločitev:
Preobrazimo svoj izraz:

Rešimo lahko takšne enačbe: x= - π/4 + 2πk in x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk in x=5π/4 + 2πk

Reši primer št.: 5

Reši enačbo:

Odločitev:
Preobrazimo svoj izraz:

Uvedemo zamenjavo tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rešitev naše kvadratne enačbe bodo koreni: t=-2 in t=1/2

Potem dobimo: tg(2x)=-2 in tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 in x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Naloge za samostojno reševanje.

1) Reši enačbo

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Reši enačbe: sin(3x)= √3/2. In poiščite vse korene na segmentu [π/2; π].

3) Reši enačbo: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Reši enačbo: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Reši enačbo: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Reši enačbo: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Ni skrivnost, da je uspeh ali neuspeh v procesu reševanja skoraj vsakega problema odvisen predvsem od pravilnosti opredelitve tipa. dano enačbo, kot tudi o pravilni reprodukciji zaporedja vseh stopenj njegove rešitve. Vendar pa pri trigonometričnih enačbah sploh ni težko ugotoviti, da je enačba trigonometrična. Toda v procesu določanja zaporedja dejanj, ki bi nas morala pripeljati do pravilnega odgovora, lahko naletimo na določene težave. Ugotovimo, kako pravilno rešiti trigonometrične enačbe od samega začetka.

Reševanje trigonometričnih enačb

Če želite rešiti trigonometrično enačbo, morate poskusiti izvesti naslednje točke:

Vse funkcije, ki so vključene v našo enačbo, pripeljemo do "istih kotov";
Dano enačbo je treba spraviti na "identične funkcije";
Levo stran dane enačbe razstavimo na faktorje ali druge potrebne komponente.

Metode

Metoda 1. Takšne enačbe je treba rešiti v dveh fazah. Najprej transformiramo enačbo, da dobimo njeno najenostavnejšo (poenostavljeno) obliko. Enačba: Cosx = a, Sinx = a in podobno imenujemo najpreprostejše trigonometrične enačbe. Drugi korak je reševanje nastale preproste enačbe. Opozoriti je treba, da je najenostavnejšo enačbo mogoče rešiti z algebraično metodo, ki nam je dobro znana iz šolskega tečaja algebre. Imenuje se tudi metoda substitucije in variabilne substitucije. S pomočjo redukcijskih formul morate najprej pretvoriti, nato narediti zamenjavo in nato poiskati korenine.

Nato morate našo enačbo razstaviti na možne faktorje, za to morate vse člene premakniti v levo in nato lahko razgradite na faktorje. Zdaj morate to enačbo spraviti v homogeno, v kateri so vsi izrazi enaki na isti stopnji, kosinus in sinus pa imata enak kot.

Preden rešite trigonometrične enačbe, morate njene člene prenesti na levo stran, jih vzeti z desne strani, nato pa vzamemo vse skupne imenovalce v oklepajih. Naše oklepaje in faktorje izenačimo z nič. Naši izenačeni oklepaji so homogena enačba z zmanjšano stopnjo, ki jo delimo s sin(cos) na najvišjo moč. Zdaj rešujemo algebraično enačbo, ki smo jo dobili v zvezi s tan.

Metoda 2. Druga metoda, s katero lahko rešite trigonometrično enačbo, je prehod na polovični kot. Na primer, rešimo enačbo: 3sinx-5cosx=7.

Moramo iti na polovični kot, v našem primeru je to: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2). Nato vse člene zmanjšamo na en del (za udobje je bolje izbrati pravega) in nadaljujemo z reševanjem enačbe.

Po potrebi lahko vnesete pomožni kot. To se naredi, ko morate zamenjati celo število sin (a) ali cos (a) in znak "a" deluje samo kot pomožni kot.

izdelek sešteti

Kako rešiti trigonometrične enačbe z uporabo vsote? Metoda, znana kot pretvorba produkta v vsoto, se lahko uporablja tudi za reševanje takšnih enačb. V tem primeru je treba uporabiti formule, ki ustrezajo enačbi.

Na primer, imamo enačbo: 2sinx * sin3x= cos4x

To težavo moramo rešiti tako, da levo stran pretvorimo v vsoto, in sicer:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Če zgornje metode niso primerne in še vedno ne veste, kako rešiti najpreprostejše trigonometrične enačbe, lahko uporabite drugo metodo - univerzalno substitucijo. Z njim lahko preoblikujete izraz in naredite zamenjavo. Na primer: Cos(x/2)=u. Zdaj lahko rešimo enačbo z danim parametrom u. In ko ste prejeli želeni rezultat, ne pozabite te vrednosti prevesti v nasprotno.

Številnim "izkušenim" študentom svetujemo, da se za reševanje enačb obrnejo na ljudi na spletu. Kako rešiti trigonometrično enačbo na spletu, se sprašujete. Za spletne rešitve težav, se lahko obrnete na forume ustreznih tem, kjer vam lahko pomagajo z nasveti ali pri reševanju težave. Najbolje pa je, da se poskusite obvladati sami.

Spretnosti in sposobnosti reševanja trigonometričnih enačb so zelo pomembne in uporabne. Njihov razvoj bo od vas zahteval veliko truda. Z rešitvijo takšnih enačb je povezanih veliko problemov iz fizike, stereometrije itd. In sam proces reševanja takšnih problemov pomeni prisotnost veščin in znanj, ki jih je mogoče pridobiti med preučevanjem elementov trigonometrije.

Naučite se trigonometričnih formul

Pri reševanju enačbe lahko naletite na potrebo po uporabi katere koli formule iz trigonometrije. Seveda ga lahko začnete iskati v svojih učbenikih in varalicah. In če vam te formule vnesete v glavo, ne boste le prihranili živcev, ampak tudi precej olajšali nalogo, ne da bi izgubljali čas za iskanje potrebnih informacij. Tako boste imeli priložnost razmisliti o najbolj racionalnem načinu za rešitev problema.

Podana so razmerja med glavnimi trigonometričnimi funkcijami - sinusom, kosinusom, tangentom in kotangensom. trigonometrične formule. In ker je med trigonometričnimi funkcijami precej povezav, to pojasnjuje tudi obilico trigonometričnih formul. Nekatere formule povezujejo trigonometrične funkcije istega kota, druge - funkcije večkratnega kota, druge - omogočajo znižanje stopnje, četrte - izražanje vseh funkcij skozi tangento polovičnega kota itd.

V tem članku po vrsti navajamo vse osnovne trigonometrične formule, ki zadostujejo za reševanje velike večine trigonometrijskih problemov. Zaradi lažjega pomnjenja in uporabe jih bomo združili glede na njihov namen in jih vnesli v tabele.

Navigacija po straneh.

Osnovne trigonometrične identitete

Glavni trigonometrične identitete nastavite razmerje med sinusom, kosinusom, tangentom in kotangensom enega kota. Izhajajo iz definicije sinusa, kosinusa, tangente in kotangensa ter koncepta enotnega kroga. Omogočajo vam, da izrazite eno trigonometrično funkcijo skozi katero koli drugo.

Za podroben opis teh trigonometrijskih formul, njihovo izpeljavo in primere uporabe glejte članek.

Formule za oddajanje

Formule za oddajanje izhajajo iz lastnosti sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa, torej odražajo lastnost periodičnosti trigonometričnih funkcij, lastnost simetrije in tudi lastnost premika za dani kot. Te trigonometrične formule vam omogočajo prehod z dela s poljubnimi koti na delo s koti od nič do 90 stopinj.

Utemeljitev teh formul, mnemonično pravilo za njihovo pomnjenje in primere njihove uporabe lahko preučite v članku.

Formule seštevanja

Trigonometrične formule seštevanja pokažejo, kako so trigonometrične funkcije vsote ali razlike dveh kotov izražene s trigonometričnimi funkcijami teh kotov. Te formule služijo kot osnova za izpeljavo naslednjih trigonometričnih formul.

Formule za dvojno, trojno itd. kota

Formule za dvojno, trojno itd. kota (ime jih tudi formule za več kotov) prikazujejo, kako so trigonometrične funkcije dvojne, trojne itd. koti () so izraženi s trigonometričnimi funkcijami posameznega kota. Njihova izpeljava temelji na formulah za seštevanje.

Podrobnejše informacije so zbrane v formulah članka za dvojno, trojno itd. kot .

Formule polovičnega kota

Formule polovičnega kota pokažejo, kako so trigonometrične funkcije polovičnega kota izražene s kosinusom celega kota. Te trigonometrične formule izhajajo iz formul dvojnega kota.

Njihov zaključek in primere uporabe najdete v članku.

Formule redukcije

Trigonometrične formule za padajoče stopnje so zasnovani tako, da olajšajo prehod od naravnih moči trigonometričnih funkcij do sinusov in kosinusov prve stopnje, vendar več kotov. Z drugimi besedami, omogočajo, da zmanjšamo moči trigonometričnih funkcij na prvo.

Formule za vsoto in razliko trigonometričnih funkcij

Glavni namen formule vsote in razlike za trigonometrične funkcije sestoji iz prehoda na produkt funkcij, kar je zelo uporabno pri poenostavitvi trigonometričnih izrazov. Te formule se pogosto uporabljajo tudi pri reševanju trigonometričnih enačb, saj omogočajo faktoriranje vsote in razlike sinusov in kosinusov.

Formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinusov za kosinusom

Prehod iz produkta trigonometričnih funkcij na vsoto ali razliko se izvede preko formul za produkt sinusov, kosinusov in sinusov za kosinusom.

Bašmakov M.I. Algebra in začetek analize: Zbornik. za 10-11 celic. povpreč. šola - 3. izd. - M.: Razsvetljenje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.

algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 celic. Splošna izobrazba ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnicin in drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Razsvetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.

Avtorske pravice pametnih študentov

Vse pravice pridržane.
Zaščiteno z zakonom o avtorskih pravicah. Noben del www.website, vključno z notranji materiali in zunanji dizajn ni dovoljeno reproducirati v kakršni koli obliki ali uporabljati brez predhodnega pisnega dovoljenja imetnika avtorskih pravic.