Vrednosti trigonometričnih enačb. Reševanje trigonometričnih enačb

Zahteva poznavanje osnovnih formul trigonometrije - vsote kvadratov sinusa in kosinusa, izraza tangente skozi sinus in kosinus in drugo. Za tiste, ki so jih pozabili ali ne poznajo, priporočamo branje članka "".
Torej, poznamo osnovne trigonometrične formule, čas je, da jih uporabimo v praksi. Reševanje trigonometričnih enačb s pravim pristopom je to precej razburljiva dejavnost, kot je na primer reševanje Rubikove kocke.

Iz samega imena je jasno, da je trigonometrična enačba enačba, v kateri je neznanka pod znakom trigonometrične funkcije.
Obstajajo tako imenovani preprosti trigonometrične enačbe. Takole izgledajo: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Razmislite, kako rešiti takšne trigonometrične enačbe, za jasnost bomo uporabili že znani trigonometrični krog.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

otroška posteljica x = a

Vsako trigonometrično enačbo rešujemo v dveh stopnjah: enačbo pripeljemo v najenostavnejšo obliko in jo nato rešimo kot najenostavnejšo trigonometrično enačbo.
Obstaja 7 glavnih metod za reševanje trigonometričnih enačb.

Spremenljivka substitucija in substitucijska metoda

Reši enačbo 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Z uporabo redukcijskih formul dobimo:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Za poenostavitev zamenjajmo cos(x + /6) z y in dobimo običajno kvadratno enačbo:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Korenine, katerih y 1 = 1, y 2 = 1/2

Zdaj pa pojdimo nazaj

Najdene vrednosti y nadomestimo in dobimo dva odgovora:

Reševanje trigonometričnih enačb s faktorizacijo

Kako rešiti enačbo sin x + cos x = 1?

Pomaknimo vse v levo, tako da 0 ostane na desni:

sin x + cos x - 1 = 0

Za poenostavitev enačbe uporabljamo zgornje identitete:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Naredimo faktorizacijo:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dobimo dve enačbi

Redukcija na homogeno enačbo

Enačba je homogena glede na sinus in kosinus, če so vsi njeni členi glede na sinus in kosinus enake stopnje istega kota. Če želite rešiti homogeno enačbo, postopajte na naslednji način:

a) vse svoje člane prestavi na levo stran;

b) vse skupne faktorje izključite iz oklepajev;

c) vse faktorje in oklepaje izenači z 0;

d) v oklepajih dobimo homogeno enačbo nižje stopnje, ki jo nato delimo s sinusom ali kosinusom na višjo stopnjo;

e) rešimo dobljeno enačbo za tg.

Reši enačbo 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Uporabimo formulo sin 2 x + cos 2 x = 1 in se znebimo odprtih dveh na desni:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Delite s cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zamenjamo tg x z y in dobimo kvadratno enačbo:

y 2 + 4y +3 = 0, katerih korenine so y 1 =1, y 2 = 3

Od tu najdemo dve rešitvi prvotne enačbe:

x 2 \u003d arctg 3 + k

Reševanje enačb s prehodom na polovični kot

Reši enačbo 3sin x - 5cos x = 7

Pojdimo na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Premik vsega v levo:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Delite s cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Uvedba pomožnega kota

Za premislek vzemimo enačbo v obliki: a sin x + b cos x \u003d c,

kjer so a, b, c nekaj poljubnih koeficientov in x je neznanka.

Obe strani enačbe delimo z:

Zdaj imajo koeficienti enačbe po trigonometričnih formulah lastnosti sin in cos, in sicer: njihov modul ni večji od 1 in vsota kvadratov = 1. Označimo ju kot cos in sin, kjer je tako imenovani pomožni kot. Potem bo enačba dobila obliko:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

ali sin(x + ) = C

Rešitev te preproste trigonometrične enačbe je

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kjer

Treba je opozoriti, da sta oznaki cos in sin zamenljivi.

Reši enačbo sin 3x - cos 3x = 1

V tej enačbi so koeficienti:

a \u003d, b \u003d -1, zato oba dela delimo z \u003d 2

Video tečaj "Dobijte A" vključuje vse teme, potrebne za uspeh opraviti izpit pri matematiki za 60-65 točk. Popolnoma vse naloge 1-13 profilni izpit matematika. Primerno tudi za opravljanje osnovne USE pri matematiki. Če želite izpit opraviti z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za izpit za 10.-11. razrede, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za reševanje 1. dela izpita iz matematike (prvih 12 nalog) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na enotnem državnem izpitu in brez njih ne morejo niti stotočkovni študent niti humanist.

Vsa potrebna teorija. Hitri načini rešitve, pasti in skrivnosti izpita. Analizirane so bile vse relevantne naloge 1. dela nalog Banke FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam USE-2018.

Tečaj vsebuje 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana iz nič, preprosto in jasno.

Na stotine izpitnih nalog. Težave z besedilom in teorija verjetnosti. Preprosti in si lahko zapomni algoritmi za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčno gradivo, analiza vseh vrst nalog USE. Stereometrija. Zapleteni triki rešitve, uporabne varalke, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija iz nič - do naloge 13. Razumevanje namesto nabiranja. Vizualna razlaga kompleksnih konceptov. algebra. Korenine, potenci in logaritmi, funkcija in izpeljanka. Osnova za rešitev zahtevne naloge 2 dela izpita.

Ni skrivnost, da je uspeh ali neuspeh v procesu reševanja skoraj vsakega problema odvisen predvsem od pravilnosti opredelitve tipa. dano enačbo, kot tudi o pravilni reprodukciji zaporedja vseh stopenj njegove rešitve. Vendar pa pri trigonometričnih enačbah sploh ni težko ugotoviti, da je enačba trigonometrična. Toda v procesu določanja zaporedja dejanj, ki bi nas morala pripeljati do pravilnega odgovora, lahko naletimo na določene težave. Ugotovimo, kako pravilno rešiti trigonometrične enačbe od samega začetka.

Reševanje trigonometričnih enačb

Če želite rešiti trigonometrično enačbo, morate poskusiti izvesti naslednje točke:

Vse funkcije, ki so vključene v našo enačbo, pripeljemo do "istih kotov";
Prinesti je treba za dano enačbo na "iste funkcije";
Levo stran dane enačbe razstavimo na faktorje ali druge potrebne komponente.

Metode

Metoda 1. Takšne enačbe je treba rešiti v dveh fazah. Najprej transformiramo enačbo, da dobimo njeno najenostavnejšo (poenostavljeno) obliko. Enačba: Cosx = a, Sinx = a in podobno imenujemo najpreprostejše trigonometrične enačbe. Drugi korak je reševanje nastale preproste enačbe. Opozoriti je treba, da je najenostavnejšo enačbo mogoče rešiti z algebraično metodo, ki nam je dobro znana iz šolskega tečaja algebre. Imenuje se tudi metoda substitucije in variabilne substitucije. S pomočjo redukcijskih formul morate najprej pretvoriti, nato narediti zamenjavo in nato poiskati korenine.

Nato morate našo enačbo razstaviti na možne faktorje, za to morate vse člene premakniti v levo in nato lahko razgradite na faktorje. Zdaj morate to enačbo spraviti v homogeno, v kateri so vsi izrazi enaki na isti stopnji, kosinus in sinus pa imata enak kot.

Preden rešite trigonometrične enačbe, morate njene člene prenesti na levo stran, vzeti jih z desne strani, nato pa vzamemo vse skupne imenovalce v oklepajih. Naše oklepaje in faktorje izenačimo z nič. Naši izenačeni oklepaji so homogena enačba z zmanjšano stopnjo, ki jo delimo s sin(cos) na najvišjo moč. Zdaj se odločimo algebraična enačba, ki je bil pridobljen v zvezi s tan.

Metoda 2. Druga metoda, s katero lahko rešite trigonometrično enačbo, je prehod na polovični kot. Na primer, rešimo enačbo: 3sinx-5cosx=7.

Moramo iti na polovični kot, v našem primeru je to: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2). Nato vse člene zmanjšamo na en del (za udobje je bolje izbrati pravega) in nadaljujemo z reševanjem enačbe.

Po potrebi lahko vnesete pomožni kot. To se naredi, ko morate zamenjati celo število sin (a) ali cos (a) in znak "a" deluje samo kot pomožni kot.

izdelek sešteti

Kako rešiti trigonometrične enačbe z uporabo vsote? Metoda, znana kot pretvorba produkta v vsoto, se lahko uporablja tudi za reševanje takšnih enačb. V tem primeru je treba uporabiti formule, ki ustrezajo enačbi.

Na primer, imamo enačbo: 2sinx * sin3x= cos4x

To težavo moramo rešiti tako, da levo stran pretvorimo v vsoto, in sicer:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Če zgornje metode niso primerne in še vedno ne veste, kako rešiti najpreprostejše trigonometrične enačbe, lahko uporabite drugo metodo - univerzalno substitucijo. Z njim lahko preoblikujete izraz in naredite zamenjavo. Na primer: Cos(x/2)=u. Zdaj lahko rešimo enačbo z danim parametrom u. In ko ste prejeli želeni rezultat, ne pozabite te vrednosti prevesti v nasprotno.

Številnim "izkušenim" študentom svetujemo, da se za reševanje enačb obrnejo na ljudi na spletu. Kako rešiti trigonometrično enačbo na spletu, se sprašujete. Za spletne rešitve težav, se lahko obrnete na forume ustreznih tem, kjer vam lahko pomagajo z nasveti ali pri reševanju težave. Najbolje pa je, da se poskusite obvladati sami.

Spretnosti in sposobnosti reševanja trigonometričnih enačb so zelo pomembne in uporabne. Njihov razvoj bo od vas zahteval veliko truda. Z rešitvijo takšnih enačb je povezanih veliko problemov iz fizike, stereometrije itd. In sam proces reševanja takšnih problemov pomeni prisotnost veščin in znanj, ki jih je mogoče pridobiti med preučevanjem elementov trigonometrije.

Naučite se trigonometričnih formul

Pri reševanju enačbe lahko naletite na potrebo po uporabi katere koli formule iz trigonometrije. Seveda ga lahko začnete iskati v svojih učbenikih in varalicah. In če vam te formule vnesete v glavo, ne boste le prihranili živcev, ampak tudi precej olajšali nalogo, ne da bi izgubljali čas za iskanje potrebnih informacij. Tako boste imeli priložnost razmisliti o najbolj racionalnem načinu za rešitev problema.

Lekcija kompleksna aplikacija znanje.

Cilji lekcije.

Razmislite različne metode rešitve trigonometričnih enačb.
razvoj ustvarjalnost učenci z reševanjem enačb.
Spodbujanje učencev k samokontroli, medsebojnemu nadzoru, samoanalizi svojih izobraževalnih dejavnosti.

Oprema: platno, projektor, referenčni material.

Med poukom

Uvodni pogovor.

Glavna metoda reševanja trigonometričnih enačb je njihova najpreprostejša redukcija. V tem primeru se uporabljajo običajne metode, na primer faktorizacija, pa tudi tehnike, ki se uporabljajo samo za reševanje trigonometričnih enačb. Teh trikov je kar veliko, na primer razne trigonometrične zamenjave, transformacije kotov, transformacije trigonometričnih funkcij. Nediskriminatorna uporaba kakršnih koli trigonometričnih transformacij običajno ne poenostavi enačbe, ampak jo katastrofalno zaplete. Za vadbo v na splošno načrt za reševanje enačbe, začrtati način za zmanjšanje enačbe na najpreprostejše, morate najprej analizirati kote - argumente trigonometričnih funkcij, vključenih v enačbo.

Danes bomo govorili o metodah reševanja trigonometričnih enačb. Pravilno izbrana metoda pogosto omogoča znatno poenostavitev rešitve, zato moramo vse metode, ki smo jih preučevali, vedno držati v coni naše pozornosti, da bi trigonometrične enačbe rešili na najbolj primeren način.

II. (S projektorjem ponovimo metode reševanja enačb.)

1. Metoda redukcije trigonometrične enačbe na algebraično.

Vse mora biti izraženo trigonometrične funkcije skozi enega, z istim argumentom. To je mogoče storiti z uporabo osnovne trigonometrične identitete in njenih posledic. Dobimo enačbo z eno trigonometrično funkcijo. Če ga vzamemo kot novo neznano, dobimo algebraično enačbo. Najdemo njegove korenine in se vrnemo k stari neznani, rešujemo najpreprostejše trigonometrične enačbe.

2. Metoda faktorizacije.

Za spreminjanje kotov so pogosto uporabne formule za redukcijo, vsoto in razliko argumentov ter formule za pretvorbo vsote (razlike) trigonometričnih funkcij v produkt in obratno.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Metoda za uvedbo dodatnega kota.

4. Metoda uporabe univerzalne substitucije.

Enačbe oblike F(sinx, cosx, tgx) = 0 se reducirajo na algebraične enačbe z uporabo univerzalne trigonometrične substitucije

Izražanje sinusa, kosinusa in tangente v smislu tangenta polovičnega kota. Ta trik lahko vodi do enačbe višjega reda. Odločitev o tem je težka.

Vaša zasebnost nam je pomembna. Zaradi tega smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določene osebe ali stik z njo.

Od vas se lahko zahteva, da navedete svoje osebne podatke kadar koli, ko nas kontaktirate.

V nadaljevanju je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko oddate prijavo na spletnem mestu, lahko zbiramo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Zbrano pri nas osebne informacije nam omogoča, da vas kontaktiramo in vas obvestimo o edinstvene ponudbe, promocije in drugi dogodki ter prihajajoči dogodki.
Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različnih raziskav, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje takšnih programov.

Razkritje tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmete od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

Po potrebi - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnih postopkih in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge namene javnega interesa.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega naslednika tretje osebe.

Zaščita osebnih podatkov

Sprejmemo previdnostne ukrepe – vključno z upravnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo, pa tudi pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.