Rešitev kompleksnih neenakosti na spletu. Nekaj ​​točk o reševanju neenakosti

Najprej nekaj besedil, da bi dobili občutek za problem, ki ga rešuje intervalna metoda. Recimo, da moramo rešiti naslednjo neenakost:

(x − 5)(x + 3) > 0

Kakšne so možnosti? Prva stvar, ki pride na misel večini študentov, so pravila »plus krat plus pomeni plus« in »minus krat minus pomeni plus«. Zato je dovolj, da upoštevamo primer, ko sta oba oklepaja pozitivna: x − 5 > 0 in x + 3 > 0. Potem upoštevamo tudi primer, ko sta oba oklepaja negativna: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Naprednejši učenci se bodo spomnili (morda), da je na levi kvadratna funkcija, katere graf je parabola. Poleg tega ta parabola seka os OX v točkah x = 5 in x = −3. Za nadaljnje delo morate odpreti oklepaje. Imamo:

x 2 − 2x − 15 > 0

Zdaj je jasno, da so veje parabole usmerjene navzgor, ker koeficient a = 1 > 0. Poskusimo narisati diagram te parabole:

Funkcija je večja od nič tam, kjer poteka nad osjo OX. V našem primeru sta to intervala (−∞ −3) in (5; +∞) – to je odgovor.

Upoštevajte, da je slika prikazana natančno funkcijski diagram, ne njen urnik. Kajti za pravi grafikon je treba prešteti koordinate, izračunati odmike in drugo sranje, ki ga zdaj sploh ne potrebujemo.

Zakaj so te metode neučinkovite?

Torej, obravnavali smo dve rešitvi iste neenakosti. Oba sta se izkazala za zelo okorna. Pojavi se prva odločitev – samo pomislite! je niz sistemov neenakosti. Druga rešitev tudi ni zelo lahka: zapomniti si morate graf parabole in kup drugih majhnih dejstev.

Bila je zelo preprosta neenakost. Ima samo 2 množitelja. Zdaj si predstavljajte, da ne bosta 2 množitelja, ampak vsaj 4. Na primer:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Kako rešiti takšno neenakost? Pojdite skozi vse možne kombinacije prednosti in slabosti? Ja, zaspali bomo hitreje, kot bomo našli rešitev. Tudi risanje grafa ni možnost, saj ni jasno, kako se takšna funkcija obnaša na koordinatni ravnini.

Za takšne neenakosti je potreben poseben algoritem rešitev, ki ga bomo obravnavali danes.

Kaj je intervalna metoda

Intervalna metoda je poseben algoritem, zasnovan za reševanje kompleksnih neenakosti v obliki f (x) > 0 in f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Rešite enačbo f (x) \u003d 0. Tako namesto neenakosti dobimo enačbo, ki jo je veliko lažje rešiti;
2. Na koordinatni črti označite vse pridobljene korenine. Tako bo ravna črta razdeljena na več intervalov;
3. Ugotovite predznak (plus ali minus) funkcije f (x) na skrajnem desnem intervalu. Za to je dovolj, da v f (x) nadomestimo katero koli število, ki bo desno od vseh označenih korenov;
4. Označite oznake na drugih intervalih. Če želite to narediti, je dovolj, da se spomnite, da se pri prehodu skozi vsak koren znak spremeni.

To je vse! Po tem ostane le še zapisati intervale, ki nas zanimajo. Označeni so z znakom "+", če je bila neenakost v obliki f (x) > 0, ali znakom "−", če je bila neenakost v obliki f (x)< 0.

Na prvi pogled se morda zdi, da je intervalna metoda nekakšen kositer. Toda v praksi bo vse zelo preprosto. Potrebno je malo vaje - in vse bo postalo jasno. Oglejte si primere in se prepričajte sami:

Naloga. Reši neenakost:

(x − 2)(x + 7)< 0

Delamo po metodi intervalov. 1. korak: Zamenjajte neenakost z enačbo in jo rešite:

(x − 2)(x + 7) = 0

Zmnožek je enak nič, če in samo če je vsaj eden od faktorjev enak nič:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Ima dve korenini. Pojdite na 2. korak: označite te korenine na koordinatni črti. Imamo:

Zdaj korak 3: najdemo predznak funkcije na skrajnem desnem intervalu (desno od označene točke x = 2). Če želite to narediti, morate vzeti katero koli število, ki je večje od števila x = 2. Na primer, vzemimo x = 3 (vendar nihče ne prepoveduje vzeti x = 4, x = 10 in celo x = 10.000). Dobimo:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Dobimo, da je f (3) = 10 > 0, zato damo znak plus v skrajni desni interval.

Preidemo do zadnje točke - na preostalih intervalih je treba opozoriti na znake. Ne pozabite, da se mora pri prehodu skozi vsak koren znak spremeniti. Na primer, desno od korena x = 2 je plus (v tem smo se prepričali v prejšnjem koraku), zato mora biti na levi strani minus.

Ta minus sega na celoten interval (−7; 2), zato je minus desno od korena x = −7. Zato je levo od korena x = −7 plus. Te znake je treba še označiti na koordinatni osi. Imamo:

Vrnimo se k prvotni neenakosti, ki je izgledala takole:

(x − 2)(x + 7)< 0

Funkcija mora biti torej manjša od nič. To pomeni, da nas zanima predznak minus, ki se pojavlja samo na enem intervalu: (−7; 2). To bo odgovor.

Naloga. Reši neenakost:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

1. korak: Izenačite levo stran na nič:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Ne pozabite: produkt je nič, če je vsaj eden od faktorjev nič. Zato imamo pravico, da vsak posamezen oklepaj izenačimo z ničlo.

2. korak: označite vse korenine na koordinatni črti:

3. korak: ugotovite znak skrajne desne vrzeli. Vzamemo katero koli število, ki je večje od x = 1. Na primer, lahko vzamemo x = 10. Imamo:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

4. korak: Postavite preostale znake. Ne pozabite, da se pri prehodu skozi vsak koren znak spremeni. Kot rezultat, bo naša slika videti takole:

To je vse. Ostaja samo napisati odgovor. Oglejte si še enkrat prvotno neenakost:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

To je neenakost v obliki f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

To je odgovor.

Opomba o funkcijskih znakih

Praksa kaže, da se največje težave pri intervalni metodi pojavijo pri zadnjih dveh korakih, tj. pri postavljanju znakov. Mnogi študenti se začnejo zmedeti: katere številke vzeti in kam postaviti znake.

Če želite končno razumeti intervalno metodo, upoštevajte dve pripombi, na katerih je zgrajena:

1. Neprekinjena funkcija spreminja predznak samo na točkah kjer je enak nič. Takšne točke razbijejo koordinatno os na kose, znotraj katerih se predznak funkcije nikoli ne spremeni. Zato rešimo enačbo f (x) \u003d 0 in najdene korenine označimo na ravni črti. Najdene številke so "mejne" točke, ki ločujejo pluse od minusov.
2. Če želite ugotoviti predznak funkcije na katerem koli intervalu, je dovolj, da v funkcijo nadomestite katero koli število iz tega intervala. Na primer, za interval (−5; 6) lahko vzamemo x = −4, x = 0, x = 4 in celo x = 1,29374, če želimo. Zakaj je pomembno? Da, ker veliko študentov začne žgati dvome. Na primer, kaj, če za x = −4 dobimo plus, za x = 0 pa minus? Kaj takega se ne bo nikoli zgodilo. Vse točke v istem intervalu dajejo enak predznak. Zapomni si to.

To je vse, kar morate vedeti o intervalni metodi. Seveda smo ga razstavili v najpreprostejši obliki. Obstajajo bolj zapletene neenakosti - nestroge, frakcijske in s ponavljajočimi se koreninami. Zanje lahko uporabite tudi intervalno metodo, vendar je to tema za ločeno veliko lekcijo.

Zdaj bi rad analiziral napreden trik, ki drastično poenostavi intervalno metodo. Natančneje, poenostavitev vpliva le na tretji korak - izračun predznaka na skrajnem desnem kosu vrstice. Iz neznanega razloga te tehnike ne izvajajo v šolah (vsaj meni tega nihče ni razložil). Toda zaman - pravzaprav je ta algoritem zelo preprost.

Torej je predznak funkcije na desnem delu številčne osi. Ta kos ima obliko (a; +∞), kjer je a največji koren enačbe f (x) = 0. Da nam ne bi razpihnili možganov, si oglejmo poseben primer:

(x − 1) (2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Imamo 3 korenine. Naštejemo jih v naraščajočem vrstnem redu: x = −2, x = 1 in x = 7. Očitno je največji koren x = 7.

Za tiste, ki bodo lažje grafično sklepali, bom te korenine označil na koordinatni črti. Poglejmo, kaj se zgodi:

Treba je najti predznak funkcije f (x) na skrajnem desnem intervalu, tj. na (7; +∞). Toda kot smo že omenili, lahko za določitev znaka vzamete katero koli številko iz tega intervala. Na primer, lahko vzamete x = 8, x = 150 itd. In zdaj - ista tehnika, ki je ne učijo v šolah: vzemimo neskončnost kot število. Natančneje, plus neskončnost, tj. +∞.

»Ste zastrupljeni? Kako lahko nadomestite neskončnost v funkcijo? morda, vprašate. Toda pomislite: ne potrebujemo vrednosti same funkcije, potrebujemo le znak. Zato na primer vrednosti f (x) = −1 in f (x) = −938 740 576 215 pomenita isto: funkcija je negativna na tem intervalu. Zato je vse, kar se od vas zahteva, najti znak, ki se pojavi v neskončnosti, in ne vrednost funkcije.

Pravzaprav je zamenjava neskončnosti zelo preprosta. Vrnimo se k naši funkciji:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Predstavljajte si, da je x zelo veliko število. Milijardo ali celo bilijon. Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi v vsakem oklepaju.

Prvi oklepaj: (x − 1). Kaj se zgodi, če od milijarde odštejete eno? Rezultat bo številka, ki se ne bo veliko razlikovala od milijarde in ta številka bo pozitivna. Podobno z drugim oklepajem: (2 + x). Če dvema dodamo milijardo, dobimo milijardo s kopejki - to je pozitivna številka. Končno, tretji oklepaj: (7 − x ). Tukaj bo minus milijarda, od katere je bil "odgrizen" bedni kos v obliki sedmice. tiste. nastalo število se ne bo veliko razlikovalo od minus milijarde - negativno bo.

Ostaja še najti znak celotnega dela. Ker smo imeli v prvih oklepajih plus, v zadnjem pa minus, dobimo naslednjo konstrukcijo:

(+) · (+) · (−) = (−)

Končni znak je minus! Ni pomembno, kakšna je vrednost same funkcije. Glavna stvar je, da je ta vrednost negativna, t.j. na skrajnem desnem intervalu je znak minus. Ostaja še dokončati četrti korak metode intervalov: urediti vse znake. Imamo:

Prvotna neenakost je izgledala takole:

(x − 1) (2 + x )(7 − x )< 0

Zato nas zanimajo intervali, označeni z znakom minus. Odgovor zapišemo:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To je ves trik, ki sem ga hotel povedati. Skratka, obstaja še ena neenakost, ki jo rešujemo z intervalno metodo z uporabo neskončnosti. Da bi vizualno skrajšal rešitev, ne bom pisal številk korakov in podrobnih komentarjev. Napisal bom samo tisto, kar je res treba napisati pri reševanju resničnih problemov:

Naloga. Reši neenakost:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Neenakost zamenjamo z enačbo in jo rešimo:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Na koordinatni črti (takoj z znaki) označimo vse tri korenine:

Na desni strani koordinatne osi je plus, ker funkcija izgleda takole:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

In če nadomestimo neskončnost (na primer milijardo), dobimo tri pozitivne oklepaje. Ker mora biti prvotni izraz večji od nič, nas zanimajo le plusi. Ostaja še napisati odgovor:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

In danes ne more vsak rešiti racionalnih neenakosti. Natančneje, ne more se odločiti le vsak. Malo ljudi zmore.
Kličko

Ta lekcija bo težka. Tako močan, da bodo le Izbrani dosegli konec. Zato pred branjem priporočam, da odstranite ženske, mačke, noseče otroke in ...

V redu, pravzaprav je precej preprosto. Recimo, da ste obvladali intervalno metodo (če je niste obvladali, priporočam, da se vrnete in jo preberete) in ste se naučili reševati neenakosti v obliki $P\left(x \right) \gt 0$, kjer je $P \left(x \right)$ je neki polinom ali produkt polinomov.

Verjamem, da vam ne bo težko rešiti na primer takšne igre (mimogrede, poskusite jo za ogrevanje):

\[\begin(poravnaj) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \desno)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \desno)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(poravnaj)\]

Zdaj pa malo zakomplicirajmo nalogo in upoštevajmo ne le polinome, ampak tako imenovane racionalne ulomke obrazca:

kjer sta $P\left(x \right)$ in $Q\left(x \right)$ enaka polinoma v obliki $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ ali produkt takih polinomov.

To bo racionalna neenakost. Temeljna točka je prisotnost spremenljivke $x$ v imenovalcu. Tu so na primer racionalne neenakosti:

\[\begin(poravnaj) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\levo(3-x \desno))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \desno))\ge 0. \\ \end(poravnaj)\]

In to ni racionalna, ampak najpogostejša neenakost, ki se rešuje z intervalno metodo:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Če pogledam naprej, bom takoj rekel: obstajata vsaj dva načina za reševanje racionalnih neenakosti, vendar so vsi tako ali drugače zmanjšani na metodo intervalov, ki so nam že znani. Zato, preden analiziramo te metode, se spomnimo starih dejstev, sicer novega gradiva ne bo smisla.

Kaj že morate vedeti

Pomembnih dejstev ni veliko. Res potrebujemo samo štiri.

Skrajšane formule za množenje

Da, da: preganjali nas bodo skozi ves šolski učni načrt matematike. In tudi na univerzi. Teh formul je kar nekaj, potrebujemo pa le naslednje:

\[\begin(poravnaj) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \desno)\left(a+b \desno); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \desno)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\desno); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \desno)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\desno). \\ \end(poravnaj)\]

Bodite pozorni na zadnji dve formuli - to je vsota in razlika kock (in ne kocka vsote ali razlike!). Zlahka si jih je zapomniti, če opazite, da je znak v prvem oklepaju enak znaku v prvotnem izrazu, v drugem pa je nasproten znaku v izvirnem izrazu.

Linearne enačbe

To so najpreprostejše enačbe v obliki $ax+b=0$, kjer sta $a$ in $b$ navadni števili, $a\ne pa 0$. To enačbo je enostavno rešiti:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(poravnaj)\]

Opažam, da imamo pravico deliti s koeficientom $a$, ker je $a\ne 0$. Ta zahteva je povsem logična, saj z $a=0$ dobimo to:

Prvič, v tej enačbi ni spremenljivke $x$. To nas na splošno ne bi smelo zmedeti (to se dogaja recimo v geometriji in precej pogosto), a vseeno nismo več linearna enačba.

Drugič, rešitev te enačbe je odvisna samo od koeficienta $b$. Če je tudi $b$ nič, potem je naša enačba $0=0$. Ta enakost je vedno resnična; zato je $x$ poljubno število (običajno zapisano kot $x\in \mathbb(R)$). Če koeficient $b$ ni enak nič, potem enakost $b=0$ ni nikoli izpolnjena, tj. brez odgovorov (napisano $x\in \varnothing $ in prebrano "nabor rešitev je prazen").

Da bi se izognili vsem tem zapletenostim, preprosto predpostavimo $a\ne 0$, kar nas nikakor ne omejuje pri nadaljnjih razmišljanjih.

Kvadratne enačbe

Naj vas spomnim, da se to imenuje kvadratna enačba:

Tukaj na levi je polinom druge stopnje in spet $a\ne 0$ (sicer namesto kvadratne enačbe dobimo linearno). Naslednje enačbe se rešujejo z diskriminanto:

1. Če je $D \gt 0$, dobimo dva različna korena;
2. Če je $D=0$, bo koren ena, vendar druge množine (kakšna je to in kako jo upoštevati - več o tem kasneje). Lahko pa rečemo, da ima enačba dva enaka korena;
3. Za $D \lt 0$ sploh ni korenin in predznak polinoma $a((x)^(2))+bx+c$ za kateri koli $x$ sovpada s predznakom koeficienta $a $. To je, mimogrede, zelo uporabno dejstvo, ki ga iz neznanega razloga pozabijo povedati pri pouku algebre.

Same korenine se izračunajo po dobro znani formuli:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Od tod, mimogrede, omejitve za diskriminant. Konec koncev kvadratni koren negativnega števila ne obstaja. Kar zadeva korenine, ima veliko študentov grozno zmešnjavo v glavi, zato sem posebej posnel celo lekcijo: kaj je koren v algebri in kako ga izračunati - toplo priporočam branje. :)

Operacije z racionalnimi ulomki

Vse, kar je bilo napisano zgoraj, že veste, če ste študirali metodo intervalov. Toda to, kar bomo analizirali zdaj, v preteklosti nima analogov - to je povsem novo dejstvo.

Opredelitev. Racionalni ulomek je izraz oblike

\[\ frac(P\levo(x \desno))(Q\levo(x \desno))\]

kjer sta $P\left(x \right)$ in $Q\left(x \right)$ polinoma.

Očitno je, da je iz takšnega ulomka enostavno dobiti neenakost - dovolj je, da na desno pripišete znak "večje od" ali "manj kot". In malo naprej bomo ugotovili, da je reševanje takšnih težav užitek, tam je vse zelo preprosto.

Težave se začnejo, ko je v enem izrazu več takih ulomkov. Treba jih je zmanjšati na skupni imenovalec – in prav v tem trenutku se naredi veliko število žaljivih napak.

Zato je za uspešno reševanje racionalnih enačb potrebno trdno obvladati dve veščini:

1. Faktorizacija polinoma $P\left(x \right)$;
2. Pravzaprav pripeljemo ulomke do skupnega imenovalca.

Kako faktorizirati polinom? Zelo preprosto. Naj imamo polinom oblike

Izenačimo ga z ničlo. Dobimo enačbo $n$-te stopnje:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Recimo, da smo rešili to enačbo in dobili korenine $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (ne skrbi: v večini primerov ne bo več kot dve od teh korenin). V tem primeru lahko naš izvirni polinom prepišemo takole:

\[\begin(poravnaj) & P\levo(x \desno)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \desno)\cdot \left(x-((x)_(2)) \desno)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \desno) \end(poravnaj)\]

To je vse! Upoštevajte: vodilni koeficient $((a)_(n))$ ni nikjer izginil - bo ločen faktor pred oklepaji, po potrebi pa ga je mogoče vstaviti v katerega koli od teh oklepajev (pokaže praksa da so pri $((a)_ (n))\ne \pm 1$ med koreni skoraj vedno ulomki).

Naloga. Poenostavite izraz:

\[\ frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Odločitev. Najprej si oglejmo imenovalce: vsi so linearni binomi in tukaj ni ničesar za faktoriziranje. Razložimo torej števce na faktorje:

\[\begin(poravnaj) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \desno)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \desno)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\desno)\levo(x-1\desno); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \desno)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \desno)\levo(2-5x \desno). \\\end(poravnaj)\]

Upoštevajte: v drugem polinomu se je višji koeficient "2", v celoti v skladu z našo shemo, najprej pojavil pred oklepajem, nato pa je bil vključen v prvi oklepaj, saj je tam prišel ulomek.

Enako se je zgodilo pri tretjem polinomu, le da je tam tudi vrstni red izrazov zmešan. Vendar pa je koeficient »−5« na koncu vključen v drugi oklepaj (ne pozabite: faktor lahko vnesete v enem in samo enem oklepaju!), kar nas je rešilo nevšečnosti, povezane z delnimi koreni.

Kar se tiče prvega polinoma, je tam vse preprosto: njegove korenine iščemo bodisi na standarden način prek diskriminanta bodisi z uporabo Vietinega izreka.

Vrnimo se k izvirnemu izrazu in ga prepišemo s števci, razčlenjenimi na faktorje:

\[\begin(matrika) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \desno))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \desno)-\levo(x-1 \desno)-\levo(2-5x \desno)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrika)\]

Odgovor: $5x+4$.

Kot lahko vidite, ni nič zapletenega. Malo matematike od 7. do 8. razreda in to je to. Bistvo vseh transformacij je pretvoriti zapleten in strašljiv izraz v nekaj preprostega in enostavnega za delo.

Vendar to ne bo vedno tako. Zdaj bomo razmislili o resnejši težavi.

Toda najprej ugotovimo, kako dva ulomka pripeljati do skupnega imenovalca. Algoritem je zelo preprost:

1. Faktoriziraj oba imenovalca;
2. Upoštevajte prvi imenovalec in mu dodajte faktorje, ki so prisotni v drugem imenovalcu, ne pa v prvem. Nastali produkt bo skupni imenovalec;
3. Ugotovite, kateri faktorji manjkajo vsakemu od prvotnih ulomkov, da postanejo imenovalci enaki skupnemu.

Morda se vam bo ta algoritem zdel le besedilo, v katerem je "veliko črk". Poglejmo si torej konkreten primer.

Naloga. Poenostavite izraz:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \desno)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \desno)\]

Odločitev. Tako obsežne naloge je najbolje rešiti po delih. Zapišimo, kaj je v prvem oklepaju:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Za razliko od prejšnjega problema tukaj imenovalci niso tako preprosti. Razložimo vsakega od njih.

Kvadratnega trinoma $((x)^(2))+2x+4$ ni mogoče faktorizirati, ker enačba $((x)^(2))+2x+4=0$ nima korenin (diskriminanta je negativna) . Pustimo nespremenjeno.

Drugi imenovalec, kubični polinom $((x)^(3))-8$, je ob natančnejšem pregledu razlika kock in ga je mogoče enostavno razstaviti z uporabo skrajšanih formul za množenje:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \desno)\left(((x) ^(2))+2x+4 \desno)\]

Ničesar drugega ni mogoče faktorizirati, saj prvi oklepaj vsebuje linearni binom, drugi pa nam že znano konstrukcijo, ki nima pravih korenin.

Končno je tretji imenovalec linearni binom, ki ga ni mogoče razstaviti. Tako bo naša enačba dobila obliko:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \desno)\left (((x)^(2))+2x+4 \desno))-\frac(1)(x-2)\]

Povsem očitno je, da bo skupni imenovalec $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, in če nanj zmanjšate vse ulomke, morate morate prvi ulomek pomnožiti na $\left(x-2 \right)$, zadnjega pa na $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Nato ostane le prinesti naslednje:

\[\begin(matrika) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ desno))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \desno))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \desno))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \desno))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \desno)-\left(((x )^(2))+2x+4 \desno))(\left(x-2 \desno)\left(((x)^(2))+2x+4 \desno))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \desno)\left (((x)^(2))+2x+4 \desno))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\levo(x-2 \desno)\ levo(((x)^(2))+2x+4 \desno)). \\ \end(matrika)\]

Bodite pozorni na drugo vrstico: ko je imenovalec že skupen, t.j. namesto treh ločenih ulomkov smo napisali enega velikega, oklepajev se ne smete takoj znebiti. Bolje je, da napišete dodatno vrstico in opozorite, da je bil recimo minus pred tretjim ulomkom - in ne bo šel nikamor, ampak bo "visel" v števcu pred oklepajem. To vam bo prihranilo veliko napak.

No, v zadnji vrstici je koristno faktorizirati števec. Poleg tega je to natančen kvadrat in skrajšane formule za množenje nam spet priskočijo na pomoč. Imamo:

\[\ frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Zdaj pa se na enak način ukvarjamo z drugim oklepajem. Tukaj bom preprosto napisal verigo enakosti:

\[\begin(matrika) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \desno)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \desno)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \desno)\levo(x+2 \desno))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\levo(x-2 \desno)\levo(x+2 \desno) ). \\ \end(matrika)\]

Vrnimo se na prvotno težavo in si ogledamo izdelek:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \desno)\levo(x+2 \desno))=\frac(1)(x+2)\]

Odgovor: \[\frac(1)(x+2)\].

Pomen tega problema je enak prejšnjemu: pokazati, koliko racionalnih izrazov je mogoče poenostaviti, če k njihovi transformaciji pristopite pametno.

In zdaj, ko veste vse to, pojdimo na glavno temo današnje lekcije - reševanje ulomnih racionalnih neenakosti. Še več, po takšni pripravi bodo same neenakosti kliknile kot orehi. :)

Glavni način reševanja racionalnih neenakosti

Obstajata vsaj dva pristopa k reševanju racionalnih neenakosti. Zdaj bomo obravnavali enega od njih - tistega, ki je splošno sprejet v šolskem tečaju matematike.

Najprej pa opozorimo na pomembno podrobnost. Vse neenakosti so razdeljene na dve vrsti:

1. Strogo: $f\left(x \right) \gt 0$ ali $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nestrogo: $f\left(x \right)\ge 0$ ali $f\left(x \right)\le 0$.

Neenakosti druge vrste se zlahka zmanjšajo na prvo, pa tudi na enačbo:

Ta majhen "dodatek" $f\left(x \right)=0$ vodi do tako neprijetne stvari, kot so zapolnjene točke - srečali smo jih že v intervalni metodi. Sicer ni razlik med strogimi in nestrogi neenakostmi, zato analizirajmo univerzalni algoritem:

1. Zberi vse elemente, ki niso nič, na eni strani znaka neenakosti. Na primer na levi;
2. Vse ulomke pripeljemo do skupnega imenovalca (če je takih ulomkov več), pripeljemo podobne. Nato, če je mogoče, razporedite v števec in imenovalec. Tako ali drugače dobimo neenakost v obliki $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kjer je kljukica znak neenakosti.
3. Števec izenači z nič: $P\left(x \right)=0$. Rešimo to enačbo in dobimo korenine $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Nato zahtevamo da imenovalec ni bil enak nič: $Q\left(x \right)\ne 0$. Seveda moramo v bistvu rešiti enačbo $Q\left(x \right)=0$ in dobimo korenine $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (v resničnih težavah skoraj ne bodo več kot trije taki koreni).
4. Vse te korenine (tako z zvezdicami kot brez) označimo na eni številski premici, korenine brez zvezdic pa prebarvamo, tiste z zvezdicami pa izluknjamo.
5. Postavimo znaka plus in minus, izberemo intervale, ki jih potrebujemo. Če ima neenakost obliko $f\left(x \right) \gt 0$, bodo odgovor intervali, označeni s "plus". Če je $f\left(x \right) \lt 0$, potem gledamo intervale z "minusi".

Praksa kaže, da točki 2 in 4 povzročata največje težave - kompetentne transformacije in pravilna razporeditev številk v naraščajočem vrstnem redu. No, pri zadnjem koraku bodite izjemno previdni: vedno postavljamo znake na podlagi zadnja neenakost, zapisana pred prehodom na enačbe. To je univerzalno pravilo, podedovano iz intervalne metode.

Torej obstaja shema. Vadimo.

Naloga. Reši neenakost:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Odločitev. Imamo strogo neenakost v obliki $f\left(x \right) \lt 0$. Očitno sta točki 1 in 2 naše sheme že zaključeni: vsi elementi neenakosti so zbrani na levi strani, ničesar ni treba zmanjšati na skupni imenovalec. Torej pojdimo na tretjo točko.

Nastavite števec na nič:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(poravnaj)\]

In imenovalec:

\[\begin(poravnaj) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(poravnaj)\]

Na tem mestu se marsikdo zatakne, ker teoretično morate zapisati $x+7\ne 0$, kot zahteva ODZ (ne morete deliti z nič, to je vse). Toda navsezadnje bomo v prihodnosti izluščili točke, ki so prišle iz imenovalca, zato ne bi smeli še enkrat komplicirati pri izračunih - povsod napišite znak enakosti in ne skrbite. Za to nihče ne bo odbil točk. :)

Četrta točka. Dobljene korenine označimo na številski premici:

Vse točke so preluknjane, ker je neenakost stroga

Opomba: vse točke so preluknjane, ker je prvotna neenakost stroga. In tukaj ni več pomembno: te točke so prišle iz števca ali iz imenovalca.

No, poglejte znake. Vzemite poljubno število $((x)_(0)) \gt 3$. Na primer, $((x)_(0))=100$ (vendar bi lahko enako dobro vzeli $((x)_(0))=3,1$ ali $((x)_(0)) = 1\000\000$). Dobimo:

Torej, desno od vseh korenin imamo pozitivno območje. In pri prehodu skozi vsak koren se znak spremeni (to ne bo vedno tako, ampak o tem kasneje). Zato nadaljujemo do pete točke: postavimo znake in izberemo pravega:

Vrnemo se k zadnji neenakosti, ki je bila pred reševanjem enačb. Pravzaprav sovpada s prvotnim, ker pri tej nalogi nismo izvedli nobenih transformacij.

Ker je treba rešiti neenakost v obliki $f\left(x \right) \lt 0$, sem zasenčil interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - je edini označena z znakom minus. To je odgovor.

Odgovor: $x\in \levo(-7;3 \desno)$

To je vse! Je težko? Ne, ni težko. Dejansko je bila to lahka naloga. Zdaj pa malce zakomplicirajmo nalogo in razmislimo o bolj "fancy" neenakosti. Pri reševanju ne bom več dajal tako podrobnih izračunov - preprosto bom orisal ključne točke. Na splošno bomo uredili tako, kot bi to naredili pri samostojnem delu ali izpitu. :)

Naloga. Reši neenakost:

\[\ frac(\left(7x+1 \desno)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Odločitev. To je nestroga neenakost v obliki $f\left(x \right)\ge 0$. Vsi elementi, ki niso nič, so zbrani na levi, ni različnih imenovalcev. Pojdimo na enačbe.

števec:

\[\begin(poravnaj) & \left(7x+1 \desno)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Puščica desno ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Puščica desno ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(poravnaj)\]

imenovalec:

\[\begin(poravnaj) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(poravnaj)\]

Ne vem, kakšen perverznež je naredil to težavo, a korenine se niso izkazale najbolje: težko jih bo razporediti na številsko premico. In če je vse bolj ali manj jasno s korenom $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (to je edina pozitivna številka - bo na desni), potem $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ in $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ zahtevajo nadaljnjo študijo: kateri je večji?

To lahko ugotovite, na primer:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Upam, da ni treba razlagati, zakaj je številčni ulomek $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Če je potrebno, priporočam, da se spomnite, kako izvajati dejanja z ulomki.

In na številski premici označimo vse tri korenine:

Točke iz števca so osenčene, iz imenovalca so izrezane

Postavili smo znake. Na primer, lahko vzamete $((x)_(0))=1$ in na tej točki poiščete znak:

\[\begin(poravnaj) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Zadnja neenakost pred enačbami je bila $f\left(x \right)\ge 0$, zato nas zanima predznak plus.

Dobili smo dva niza: eden je navaden segment, drugi pa je odprt žarek na številski premici.

Odgovor: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Pomembna opomba o številkah, ki jih nadomestimo, da ugotovimo znak na skrajnem desnem intervalu. Številke blizu skrajnega desnega korena ni treba nadomestiti. Lahko vzamete milijarde ali celo "plus-neskončnost" - v tem primeru je predznak polinoma v oklepaju, števcu ali imenovalcu določen izključno s predznakom vodilnega koeficienta.

Oglejmo si še enkrat funkcijo $f\left(x \right)$ iz zadnje neenakosti:

Vsebuje tri polinome:

\[\begin(poravnaj) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\levo(x\desno)=13x-4. \end(poravnaj)\]

Vsi so linearni binomi in vsi imajo pozitivne koeficiente (številke 7, 11 in 13). Zato bodo pri zamenjavi zelo velikih števil tudi sami polinomi pozitivni. :)

To pravilo se morda zdi preveč zapleteno, vendar le na začetku, ko analiziramo zelo lahke probleme. V resnih neenakostih nam bo zamenjava "plus-neskončnost" omogočila, da ugotovimo znake veliko hitreje kot standardni $((x)_(0))=100$.

S takšnimi izzivi se bomo soočili zelo kmalu. Toda najprej si oglejmo alternativni način reševanja ulomnih racionalnih neenakosti.

Alternativni način

To tehniko mi je predlagal eden od mojih študentov. Sam ga nisem nikoli uporabljal, a praksa je pokazala, da je za marsikaterega dijaka res bolj priročno, da na ta način rešuje neenakosti.

Torej, izvirni podatki so enaki. Rešiti moramo delno racionalno neenakost:

\[\frac(P\levo(x \desno))(Q\levo(x \desno)) \gt 0\]

Pomislimo: zakaj je polinom $Q\left(x \right)$ "slabši" od polinoma $P\left(x \right)$? Zakaj moramo upoštevati ločene skupine korenin (z zvezdico in brez), razmišljati o preluknjanih točkah itd.? Preprosto je: ulomek ima domeno definicije, po kateri je ulomek smiseln le, če je njegov imenovalec drugačen od nič.

Sicer pa ni razlik med števcem in imenovalcem: izenačimo ga tudi na nič, poiščemo korenine, nato jih označimo na številski premici. Zakaj torej ne bi zamenjali ulomne črte (pravzaprav znak delitve) z običajnim množenjem in zapisali vse zahteve DHS kot ločeno neenakost? Na primer, takole:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Upoštevajte: ta pristop vam bo omogočil, da težavo zmanjšate na metodo intervalov, vendar rešitve sploh ne bo zapletlo. Konec koncev bomo polinom $Q\left(x \right)$ vseeno izenačili z nič.

Poglejmo, kako deluje pri resničnih nalogah.

Naloga. Reši neenakost:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Odločitev. Torej, pojdimo na intervalno metodo:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(poravnaj) \desno.\]

Prvo neenakost rešimo elementarno. Samo nastavite vsak oklepaj na nič:

\[\begin(align) & x+8=0\Puščica desno ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Puščica desno ((x)_(2))=11. \\ \end(poravnaj)\]

Z drugo neenakostjo je vse preprosto:

Na realni premici označimo točki $((x)_(1))$ in $((x)_(2))$. Vsi so preluknjani, ker je neenakost stroga:

Izkazalo se je, da je prava točka dvakrat preluknjana. To je v redu.

Bodite pozorni na točko $x=11$. Izkazalo se je, da je "dvakrat izdolbljen": po eni strani ga izdolbemo zaradi resnosti neenakosti, po drugi strani pa zaradi dodatne zahteve ODZ.

V vsakem primeru bo to le preluknjana točka. Zato smo dali znake za neenakost $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - zadnjega, ki smo ga videli, preden smo začeli reševati enačbe:

Zanimajo nas pozitivne regije, saj rešujemo neenakost oblike $f\left(x \right) \gt 0$ in jih bomo obarvali. Ostaja samo, da zapišemo odgovor.

Odgovori. $x\in \levo(-\infty ;-8 \desno)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Na primeru te rešitve bi vas rad opozoril pred pogostimi napakami med študenti začetniki. Namreč: nikoli ne odpirajte oklepajev v neenakostih! Nasprotno, poskusite upoštevati vse – to bo poenostavilo rešitev in vam prihranilo veliko težav.

Zdaj pa poskusimo nekaj težjega.

Naloga. Reši neenakost:

\[\ frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Odločitev. To je nestroga neenakost v obliki $f\left(x \right)\le 0$, zato morate tukaj skrbno spremljati izpolnjene točke.

Pojdimo na intervalno metodo:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(poravnaj) \desno.\]

Pojdimo na enačbo:

\[\begin(poravnaj) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Puščica desno ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Puščica desno ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(poravnaj)\]

Upoštevamo dodatno zahtevo:

Vse dobljene korenine označimo na številski premici:

Če je točka izrezana in izpolnjena hkrati, se šteje za izrezano.

Spet se dve točki "prekrivata" - to je normalno, vedno bo tako. Pomembno je le razumeti, da je točka, označena kot izrezana in izpolnjena, pravzaprav izrezana točka. tiste. "Vrezovanje" je močnejše dejanje kot "barvanje".

To je povsem logično, saj s prebadanjem označujemo točke, ki vplivajo na predznak funkcije, vendar same ne sodelujejo pri odgovoru. In če nam v nekem trenutku številka preneha ustrezati (na primer ne sodi v ODZ), jo izbrišemo iz obravnave do samega konca naloge.

Na splošno nehajte filozofirati. Razporedimo znake in pobarvamo tiste intervale, ki so označeni z znakom minus:

Odgovori. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

In spet sem vas želel opozoriti na to enačbo:

\[\levo(2x-13 \desno)\levo(12x-9 \desno)\levo(15x+33 \desno)=0\]

Še enkrat: v takih enačbah nikoli ne odpirajte oklepajev! Samo sebi otežuješ. Ne pozabite: produkt je nič, če je vsaj eden od faktorjev nič. Posledično ta enačba preprosto »razpade« na več manjših, ki smo jih rešili v prejšnjem problemu.

Ob upoštevanju množice korenin

Iz prejšnjih problemov je zlahka razbrati, da so nestroge neenakosti najtežje, saj je v njih treba slediti zapolnjenim točkam.

Toda na svetu je še večje zlo – to so številne korenine v neenakosti. Tukaj je že treba slediti ne nekaterim zapolnjenim točkam - tukaj se znak neenakosti ne sme nenadoma spremeniti, ko gre skozi te iste točke.

Česa takega v tej lekciji še nismo obravnavali (čeprav smo se pri intervalni metodi pogosto srečevali s podobnim problemom). Torej, predstavimo novo definicijo:

Opredelitev. Koren enačbe $((\left(x-a \right))^(n))=0$ je enak $x=a$ in se imenuje koren $n$-te večkratnosti.

Pravzaprav nas točna vrednost večkratnosti ne zanima posebej. Pomembno je le, ali je prav to število $n$ sodo ali liho. Ker:

1. Če je $x=a$ koren sode večkratnosti, se predznak funkcije pri prehodu skozi njo ne spremeni;
2. In obratno, če je $x=a$ koren lihe večkratnosti, se bo predznak funkcije spremenil.

Poseben primer korena lihe množice so vsi prejšnji problemi, obravnavani v tej lekciji: tam je večkratnost povsod enaka eni.

In še naprej. Preden se lotimo reševanja problemov, bi vas rad opozoril na eno subtilnost, ki se izkušenemu študentu zdi očitna, a mnoge začetnike spravi v omamljenost. in sicer:

Koren množičnosti $n$ se pojavi samo, ko je celoten izraz dvignjen na to stopnjo: $((\left(x-a \right))^(n))$, in ne $\left(((x)^(n) )-a\desno)$.

Še enkrat: oklepaj $((\left(x-a \right))^(n))$ nam daje koren $x=a$ množine $n$, oklepaj pa $\left(((x)^( n)) -a \right)$ ali, kot se pogosto zgodi, $(a-((x)^(n)))$ nam da koren (ali dva korena, če je $n$ sodo) prve večkratnosti , ne glede na to, kaj je enako $n$.

Primerjaj:

\[((\levo(x-3 \desno))^(5))=0\Puščica desno x=3\levo(5k \desno)\]

Tukaj je vse jasno: celoten nosilec je bil dvignjen na peto potenco, tako da smo na izhodu dobili koren pete stopnje. In zdaj:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Puščica desno ((x)^(2))=4\Puščica desno x=\pm 2\]

Dobili smo dve korenini, vendar imata oba prvo večkratnost. Ali pa tukaj je še ena:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Puščica desno ((x)^(10))=1024\Puščica desno x=\pm 2\]

In naj vas deseta stopnja ne zmede. Glavna stvar je, da je 10 sodo število, tako da imamo na izhodu dva korena in oba imata spet prvo večkratnost.

Na splošno bodite previdni: množica se pojavi le, ko stopnja velja za celoten okvir, ne samo za spremenljivko.

Naloga. Reši neenakost:

\[\ frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))((\left(x+7) \desno))^(5)))\ge 0\]

Odločitev. Poskusimo ga rešiti na alternativni način - s prehodom od posameznega k produktu:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\prav.\]

Prvo neenakost obravnavamo z intervalno metodo:

\[\begin(poravnaj) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \desno))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Puščica desno x=0\levo(2k \desno); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Puščica desno x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Puščica desno x=-4; \\ & ((\levo(x+7 \desno))^(5))=0\Puščica desno x=-7\levo(5k \desno). \\ \end(poravnaj)\]

Poleg tega rešimo drugo neenakost. Pravzaprav smo to že rešili, a da recenzenti ne najdejo napake pri rešitvi, je bolje, da jo rešimo še enkrat:

\[((\levo(x+7 \desno))^(5))\ne 0\Puščica desno x\ne -7\]

Upoštevajte, da v zadnji neenakosti ni množic. Dejansko: kakšna je razlika, kolikokrat prečrtati točko $x=-7$ na številski premici? Vsaj enkrat, vsaj petkrat - rezultat bo enak: preluknjana točka.

Zabeležimo vse, kar smo dobili na številski premici:

Kot sem rekel, bo točka $x=-7$ sčasoma izrezana. Množnosti so urejene na podlagi rešitve neenakosti z intervalno metodo.

Ostaja še postaviti znake:

Ker je točka $x=0$ koren sode večkratnosti, se predznak pri prehodu skozi njo ne spremeni. Preostale točke imajo čudno množico in z njimi je vse preprosto.

Odgovori. $x\in \left(-\infty ;-7 \desno)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Ponovno bodite pozorni na $x=0$. Zaradi enakomerne množice se pojavi zanimiv učinek: vse levo od nje je prebarvano, desno - tudi, sama točka pa je popolnoma prebarvana.

Posledično ga pri snemanju odgovora ni treba izolirati. tiste. ni vam treba napisati nekaj takega kot $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (čeprav bi bil formalno tak odgovor tudi pravilen). Namesto tega takoj zapišemo $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Takšni učinki so možni samo za korenine sode množice. In pri naslednji nalogi bomo naleteli na obratno »manifestacijo« tega učinka. pripravljeni?

Naloga. Reši neenakost:

\[\ frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))((\left(x-1 \right))^(2)) \levo(7x-10-((x)^(2)) \desno))\ge 0\]

Odločitev. Tokrat bomo sledili standardni shemi. Nastavite števec na nič:

\[\begin(poravnaj) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Puščica desno ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Puščica desno ((x)_(2))=4. \\ \end(poravnaj)\]

In imenovalec:

\[\begin(poravnaj) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Puščica desno x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Puščica desno x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(poravnaj)\]

Ker rešujemo nestrogo neenakost v obliki $f\left(x \right)\ge 0$, bodo korenine iz imenovalca (ki imajo zvezdice) izrezane, tiste iz števca pa prebarvane .

Razporedimo znake in pogladimo območja, označena s "plusom":

Točka $x=3$ je izolirana. To je del odgovora

Preden zapišete končni odgovor, natančno poglejte sliko:

1. Točka $x=1$ ima sodo množico, vendar je sama preluknjana. Zato ga bo treba v odgovoru izolirati: napisati morate $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ in ne $x\in \levo(-\ infty ;2\desno)$.
2. Točka $x=3$ ima tudi sodo množico in je osenčena. Razporeditev znakov nakazuje, da nam že sama točka ustreza, a korak v levo in desno – in znajdemo se na področju, ki nam vsekakor ne ustreza. Takšne točke imenujemo izolirane in so zapisane kot $x\in \left\( 3 \right\)$.

Vse dobljene kose združimo v skupen niz in zapišemo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;1 \desno)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Opredelitev. Reševanje neenakosti pomeni poišči množico vseh njegovih rešitev, ali dokažite, da je ta niz prazen.

Zdi se: kaj je tukaj lahko nerazumljivega? Ja, dejstvo je, da je mogoče nabore določiti na različne načine. Prepišimo odgovor na zadnji problem:

Dobesedno beremo napisano. Spremenljivka "x" pripada določenemu nizu, ki ga dobimo z združitvijo (simbol "U") štirih ločenih nizov:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, kar dobesedno pomeni "vsa števila manjša od enega, vendar ne eno samo";
• Interval je $\left(1;2 \right)$, tj. "vsa števila med 1 in 2, ne pa tudi samih številk 1 in 2";
• Nabor $\left\( 3 \right\)$, sestavljen iz enega samega števila - tri;
• Interval $\left[ 4;5 \right)$, ki vsebuje vsa števila med 4 in 5, plus samo 4, vendar ne 5.

Tukaj je zanimiva tretja točka. Za razliko od intervalov, ki definirajo neskončne množice števil in označujejo le meje teh množic, množica $\left\( 3 \right\)$ definira natanko eno število s štetjem.

Da bi razumeli, da navajamo določene številke, ki so vključene v nabor (in ne postavljamo meja ali česar koli drugega), se uporabljajo kodraste oklepaje. Na primer, zapis $\left\( 1;2 \right\)$ pomeni točno "množico, sestavljeno iz dveh števil: 1 in 2", ne pa segmenta od 1 do 2. V nobenem primeru ne zamenjujte teh pojmov .

Pravilo seštevanja večkratnosti

No, na koncu današnje lekcije še malo pločevinke Pavla Berdova. :)

Pozorni učenci so si verjetno že zastavili vprašanje: kaj se bo zgodilo, če bomo v števcu in imenovalcu našli enake korenine? Torej deluje naslednje pravilo:

Sešteje se množica enakih korenin. Nenehno. Tudi če se ta koren pojavlja tako v števcu kot v imenovalcu.

Včasih se je bolje odločiti kot govoriti. Zato rešujemo naslednji problem:

Naloga. Reši neenakost:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \desno)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \desno))\ge 0\]

\[\begin(poravnaj) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(poravnaj)\]

Zaenkrat nič posebnega. imenovalec nastavite na nič:

\[\begin(poravnaj) & \left(((x)^(2))-16 \desno)\left(((x)^(2))+9x+14 \desno)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Puščica desno x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Puščica desno x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(poravnaj)\]

Najdena sta dva enaka korena: $((x)_(1))=-2$ in $x_(4)^(*)=-2$. Oba imata prvo množico. Zato jih nadomestimo z enim korenom $x_(4)^(*)=-2$, vendar z večkratnostjo 1+1=2.

Poleg tega obstajajo tudi enaki koreni: $((x)_(2))=-4$ in $x_(2)^(*)=-4$. Prav tako so prve množine, tako da ostane le $x_(2)^(*)=-4$ množnosti 1+1=2.

Upoštevajte: v obeh primerih smo pustili točno »izrezano« korenino, »pobarvanega« pa smo izločili iz obravnave. Ker smo se že na začetku pouka strinjali: če je točka hkrati izrezana in prebarvana, potem jo še vedno štejemo za izrezano.

Posledično imamo štiri korenine in vse se je izkazalo za izdolbene:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\levo(2k \desno); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\levo(2k \desno). \\ \end(poravnaj)\]

Označimo jih na številski premici, pri čemer upoštevamo večkratnost:

Postavimo znake in prebarvamo področja, ki nas zanimajo:

Vse. Brez osamljenih točk in drugih perverzij. Odgovor lahko zapišete.

Odgovori. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

pravilo množenja

Včasih pride do še bolj neprijetne situacije: enačba, ki ima več korenin, se sama dvigne na določeno moč. S tem se spremeni množica vseh prvotnih korenin.

To je redko, zato večina študentov nima izkušenj z reševanjem tovrstnih problemov. In tukaj je pravilo:

Ko se enačba dvigne na potenco $n$, se tudi večkratnost vseh njenih korenin poveča za faktor $n$.

Z drugimi besedami, dvig na potenco ima za posledico množenje množic z isto močjo. Vzemimo to pravilo kot primer:

Naloga. Reši neenakost:

\[\ frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \desno))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\levo(2-x \desno))^(3))((\levo(x-1 \desno))^(2)))\le 0\]

Odločitev. Nastavite števec na nič:

Zmnožek je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. S prvim množiteljem je vse jasno: $x=0$. In tukaj se začnejo težave:

\[\begin(poravnaj) & ((\levo(((x)^(2))-6x+9 \desno))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\levo(2k \desno); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\levo(4k \desno) \\ \end(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, ima enačba $((x)^(2))-6x+9=0$ edinstven koren druge večkratnosti: $x=3$. Celotna enačba je nato kvadratna. Zato bo večkratnost korena $2\cdot 2=4$, kar smo na koncu zapisali.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Tudi z imenovalcem ni težav:

\[\begin(poravnaj) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Puščica desno x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Puščica desno x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(poravnaj)\]

Skupno smo dobili pet točk: dve izbiti in tri izpolnjene. V števcu in imenovalcu ni sovpadajočih korenin, zato jih označimo samo na številski premici:

Znake uredimo ob upoštevanju množic in prebarvamo intervale, ki nas zanimajo:

Spet ena izolirana točka in ena preluknjana

Zaradi korenin enakomerne množice smo spet prejeli nekaj "nestandardnih" elementov. To je $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, ne $x\in \left[ 0;2 \right)$ in tudi izolirana točka $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Odgovori. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Kot lahko vidite, vse ni tako težko. Glavna stvar je pozornost. Zadnji del te lekcije je posvečen transformacijam - tistim, o katerih smo razpravljali na samem začetku.

Prekonverzije

Neenakosti, o katerih bomo razpravljali v tem razdelku, niso zapletene. Vendar pa boste za razliko od prejšnjih nalog morali tukaj uporabiti veščine iz teorije racionalnih ulomkov - faktorizacija in redukcija na skupni imenovalec.

To vprašanje smo podrobno obravnavali na samem začetku današnje lekcije. Če niste prepričani, da razumete, za kaj gre, vam toplo priporočam, da se vrnete in ponovite. Ker nima smisla stiskati metod za reševanje neenakosti, če "plavaš" pri pretvorbi ulomkov.

Pri domačih nalogah bo mimogrede tudi veliko podobnih nalog. Postavljeni so v ločen pododdelek. In tam boste našli zelo netrivialne primere. Toda to bo v domači nalogi, zdaj pa analizirajmo nekaj takšnih neenakosti.

Naloga. Reši neenakost:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Odločitev. Premaknite vse v levo:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Zmanjšamo na skupni imenovalec, odpremo oklepaje, damo podobne izraze v števcu:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ desno))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \desno))(x\left(x-1 \desno)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(poravnaj)\]

Zdaj imamo klasično frakcijsko racionalno neenakost, katere rešitev ni več težka. Predlagam, da ga rešimo z alternativno metodo - z metodo intervalov:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(poravnaj)\]

Ne pozabite na omejitev, ki izhaja iz imenovalca:

Na številski premici označimo vse številke in omejitve:

Vse korenine imajo prvo množico. Ni problema. Samo postavimo znake in pobarvamo področja, ki jih potrebujemo:

To je vse. Odgovor lahko zapišete.

Odgovori. $x\in \left(-\infty ;0 \desno)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Seveda je bil to zelo preprost primer. Zdaj pa si oglejmo problem podrobneje. In mimogrede, raven te naloge je povsem skladna s samostojnim in kontrolnim delom na to temo v 8. razredu.

Naloga. Reši neenakost:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Odločitev. Premaknite vse v levo:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Preden oba ulomka pripeljemo do skupnega imenovalca, te imenovalce razstavimo na faktorje. Nenadoma se bodo pojavili isti oklepaji? S prvim imenovalcem je enostavno:

\[((x)^(2))+8x-9=\levo(x-1 \desno)\levo(x+9 \desno)\]

Drugi je malo težji. V oklepaj, kjer je bil ulomek, lahko dodate konstantni množitelj. Ne pozabite: prvotni polinom je imel celoštevilske koeficiente, zato je zelo verjetno, da bo faktorizacija imela tudi celoštevilske koeficiente (pravzaprav bo vedno, razen če je diskriminanta iracionalna).

\[\begin(poravnaj) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \desno)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\levo(x-1 \desno)\levo(3x-2 \desno) \end(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, obstaja skupni oklepaj: $\left(x-1 \right)$. Vrnemo se k neenakosti in oba ulomka pripeljemo na skupni imenovalec:

\[\begin(poravnaj) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ levo(3x-2\desno))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\levo(3x-2 \desno))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(poravnaj)\]

imenovalec nastavite na nič:

\[\begin(poravnaj) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( poravnaj)\]

Brez množic in brez sovpadajočih korenin. Na ravni črti označimo štiri številke:

Postavimo znake:

Odgovor zapišemo.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ desno) $.

Vse! Takole sem prebral do te vrstice. :)

V članku bomo obravnavali rešitev neenakosti. Pogovorimo se odkrito kako zgraditi rešitev za neenakosti z jasnimi primeri!

Preden se lotimo reševanja neenakosti s primeri, se ukvarjajmo z osnovnimi pojmi.

Uvod v neenakosti

neenakosti se imenuje izraz, v katerem so funkcije povezane z relacijskimi znaki >, . Neenakosti so lahko številčne in abecedne.
Neenakosti z dvema znakoma razmerja imenujemo dvojne, s tremi - trojne itd. Na primer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Neenakosti, ki vsebujejo znak > ali ali niso stroge.
Rešitev neenakosti je katera koli vrednost spremenljivke, za katero velja ta neenakost.
"Rešite neenakost" pomeni, da morate najti nabor vseh njegovih rešitev. Obstajajo različne metode za reševanje neenakosti. Za rešitve neenakosti uporabite številsko premico, ki je neskončna. na primer reševanje neenakosti x > 3 je interval od 3 do +, število 3 pa ni vključeno v ta interval, zato je točka na premici označena s praznim krogom, ker neenakost je stroga.
+
Odgovor bo: x (3; +).
Vrednost x=3 ni vključena v nabor rešitev, zato je oklepaj okrogel. Znak neskončnosti je vedno v oklepaju. Znak pomeni "pripadnost".
Razmislite, kako rešiti neenakosti z drugim primerom z znakom:
x2
-+
Vrednost x=2 je vključena v nabor rešitev, zato sta oglati oklepaj in točka na premici označena z zapolnjenim krogom.
Odgovor bo: x

Preprosto povedano, modul je "število brez minusa". In prav v tej dvojnosti (nekje vam z izvirno številko ni treba storiti ničesar, nekje pa morate tam odstraniti nekaj minusa) in vse težave za študente začetnike.

Obstaja tudi geometrijska definicija. Koristno ga je tudi poznati, vendar se bomo nanj sklicevali le v kompleksnih in nekaterih posebnih primerih, kjer je geometrijski pristop bolj primeren kot algebraični (spoiler: ne danes).

Opredelitev. Naj bo točka $a$ označena na realni premici. Nato modul $\left| x-a \right|$ je razdalja od točke $x$ do točke $a$ na tej premici.

Če narišete sliko, dobite nekaj takega:

Definicija grafičnega modula

Tako ali drugače njegova ključna lastnost takoj sledi iz definicije modula: modul števila je vedno nenegativna vrednost. To dejstvo bo danes rdeča nit skozi celotno našo zgodbo.

Rešitev neenakosti. Metoda razmika

Zdaj pa se ukvarjajmo z neenakostmi. Veliko jih je, a naša naloga je zdaj, da lahko rešimo vsaj najpreprostejše od njih. Tiste, ki so reducirane na linearne neenakosti, pa tudi na metodo intervalov.

Na to temo imam dve veliki vadnici (mimogrede, zelo, ZELO uporabni - priporočam študij):

1. Intervalna metoda za neenakosti (še posebej si oglejte videoposnetek);
2. Ulomno-racionalne neenakosti so zelo obsežna lekcija, vendar po njej ne boste imeli nobenih vprašanj.

Če veste vse to, če vam zaradi fraze "prehodimo od neenakosti k enačbi" ne boste megleno želeli, da bi se ubili ob zid, potem ste pripravljeni: dobrodošli v peklu k glavni temi lekcije. :)

1. Neenakosti v obliki "Modul manj kot funkcija"

To je ena izmed najpogostejših nalog z moduli. Potrebno je rešiti neenakost v obliki:

\[\levo| f\desno| \ltg\]

Karkoli lahko deluje kot funkciji $f$ in $g$, običajno pa so polinomi. Primeri takšnih neenakosti:

\[\begin(poravnaj) & \left| 2x+3\desno| \ltx+7; \\ & \levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\levo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \levo| ((x)^(2))-2\levo| x \desno|-3 \desno| \lt 2. \\\end(poravnaj)\]

Vsi so rešeni dobesedno v eni vrstici po shemi:

\[\levo| f\desno| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(poravnaj) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(poravnaj) \desno.\desno)\]

Zlahka je videti, da se modula znebimo, namesto tega pa dobimo dvojno neenakost (ali, kar je enako, sistem dveh neenakosti). Toda ta prehod upošteva absolutno vse možne težave: če je številka pod modulom pozitivna, metoda deluje; če je negativen, še vedno deluje; in tudi z najbolj neustrezno funkcijo namesto $f$ ali $g$, bo metoda še vedno delovala.

Seveda se postavlja vprašanje: ali ni lažje? Na žalost ne moreš. To je bistvo modula.

Ampak dovolj filozofiranja. Rešimo nekaj težav:

Naloga. Reši neenakost:

\[\levo| 2x+3\desno| \ltx+7\]

Odločitev. Torej imamo klasično neenakost v obliki "modul je manjši od" - niti ni ničesar za preoblikovanje. Delamo po algoritmu:

\[\begin(poravnaj) & \left| f\desno| \lt g\Puščica desno -g \lt f \lt g; \\ & \levo| 2x+3\desno| \lt x+7\Puščica desno -\levo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(poravnava)\]

Ne hitite z odpiranjem oklepajev, pred katerimi je "minus": povsem možno je, da boste zaradi naglice naredili žaljivo napako.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problem je bil reduciran na dve osnovni neenakosti. Njihove rešitve beležimo na vzporednih realnih premicah:

Presečišče mnogih

Presečišče teh nizov bo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \desno)$

Naloga. Reši neenakost:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\levo(x+1 \desno) \lt 0\]

Odločitev. Ta naloga je nekoliko težja. Za začetek izoliramo modul tako, da premaknemo drugi člen v desno:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\levo(x+1 \desno)\]

Očitno se spet soočamo z neenakostjo v obliki "modul je manjši", zato se modula znebimo po že znanem algoritmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \desno) \desno) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \desno)\]

Zdaj pa pozor: nekdo bo rekel, da sem z vsemi temi oklepaji malo perverznež. Še enkrat pa vas opozarjam, da je naš ključni cilj pravilno reši neenakost in dobi odgovor. Kasneje, ko boste popolnoma obvladali vse, kar je opisano v tej lekciji, se lahko sprevržete, kot želite: odprete oklepaje, dodajte minuse itd.

In za začetek se samo znebimo dvojnega minusa na levi:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\levo(x+1\desno)\]

Zdaj pa odprimo vse oklepaje v dvojni neenakosti:

Pojdimo na dvojno neenakost. Tokrat bodo izračuni resnejši:

\[\left\( \begin(poravnaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(poravnaj) \desno.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnaj)\desno.\]

Obe neenakosti sta kvadratni in se rešujeta z intervalno metodo (zato pravim: če ne veste, kaj je, je bolje, da se modulov še ne lotite). Preidemo na enačbo v prvi neenakosti:

\[\begin(poravnaj) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\levo(x+5 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, se je izhod izkazal za nepopolno kvadratno enačbo, ki je rešena elementarno. Zdaj pa se ukvarjamo z drugo neenakostjo sistema. Tam morate uporabiti Vietin izrek:

\[\begin(poravnaj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \desno)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(poravnaj)\]

Dobljena števila označimo na dveh vzporednih premici (ločeno za prvo neenakost in ločeno za drugo):

Spet, ker rešujemo sistem neenakosti, nas zanima presečišče zasenčenih množic: $x\in \left(-5;-2 \right)$. To je odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Mislim, da je po teh primerih shema rešitev zelo jasna:

1. Modul izolirajte tako, da vse ostale izraze premaknete na nasprotno stran neenakosti. Tako dobimo neenakost v obliki $\left| f\desno| \ltg$.
2. Rešite to neenakost tako, da se znebite modula, kot je opisano zgoraj. Na neki točki bo treba od dvojne neenakosti preiti na sistem dveh neodvisnih izrazov, od katerih je vsak že mogoče reševati posebej.
3. Na koncu ostane le še križati rešitve teh dveh neodvisnih izrazov - in to je to, dobili bomo končni odgovor.

Podoben algoritem obstaja za neenakosti naslednjega tipa, ko je modul večji od funkcije. Vendar pa obstaja nekaj resnih "ampak". Zdaj bomo govorili o teh "ampak".

2. Neenakosti v obliki "Modul je večji od funkcije"

Izgledajo takole:

\[\levo| f\desno| \gt g\]

Podobno prejšnjemu? Zdi se, da je. Kljub temu se takšne naloge rešujejo na povsem drugačen način. Formalno je shema naslednja:

\[\levo| f\desno| \gt g\Puščica desno \left[ \begin(poravnaj) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(poravnaj) \desno.\]

Z drugimi besedami, obravnavamo dva primera:

1. Najprej preprosto prezremo modul - rešimo običajno neenakost;
2. Potem dejansko odpremo modul z znakom minus, nato pa oba dela neenakosti pomnožimo z −1 s predznakom.

V tem primeru so možnosti združene z oglatim oklepajem, t.j. Imamo kombinacijo dveh zahtev.

Še enkrat bodite pozorni: pred nami torej ni sistem, ampak agregat v odgovoru so množice združene, ne sekane. To je bistvena razlika od prejšnjega odstavka!

Na splošno ima veliko študentov veliko zmede s sindikati in križišči, zato poglejmo to vprašanje enkrat za vselej:

• "∪" je znak za povezovanje. Pravzaprav je to stilizirana črka "U", ki je k nam prišla iz angleškega jezika in je okrajšava za "Union", tj. "Združenja".
• "∩" je znak križišča. To sranje ni prišlo od nikoder, ampak se je pojavilo samo kot opozicija "∪".

Da si ga boste še lažje zapomnili, le dodajte noge tem znakom, da naredite očala (le ne očitajte mi, da zdaj spodbujam odvisnost od drog in alkoholizem: če resno študirate to lekcijo, ste že odvisnik od drog):

Razlika med presekom in unijo množic

Prevedeno v ruščino to pomeni naslednje: zveza (zbirka) vključuje elemente iz obeh sklopov, torej nič manj kot vsak od njih; vendar presečišče (sistem) vključuje le tiste elemente, ki so tako v prvem kot v drugem nizu. Zato presečišče množic nikoli ni večje od izvornih množic.

Torej je postalo bolj jasno? To je super. Pojdimo na prakso.

Naloga. Reši neenakost:

\[\levo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]

Odločitev. Delujemo po shemi:

\[\levo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\Puščica desno \levo[ \begin(poravnaj) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \desno) \\\end(poravnaj) \ prav.\]

Vsako populacijsko neenakost rešimo:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(poravnaj) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(poravnaj) \desno.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Vsak nastali niz označimo na številski premici in jih nato združimo:

Združenje sklopov

Očitno je odgovor $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odgovor: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Naloga. Reši neenakost:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gtx\]

Odločitev. no? Ne, vse je isto. Od neenakosti z modulom preidemo na množico dveh neenakosti:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(poravnaj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(poravnaj) \desno.\]

Vsako neenakost rešimo. Na žalost korenine tam ne bodo zelo dobre:

\[\begin(poravnaj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(poravnaj)\]

V drugi neenakosti je tudi malo igre:

\[\begin(poravnaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(poravnaj)\]

Zdaj moramo te številke označiti na dveh oseh - eno os za vsako neenakost. Vendar morate točke označiti v pravilnem vrstnem redu: večje kot je število, bolj se točka premakne v desno.

In tukaj čakamo na postavitev. Če je vse jasno s številkami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (izrazi v števcu prvega ulomek je manjši od členov v števcu drugega , zato je tudi vsota manjša), s številkami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ tudi ne bo težav (pozitivno število očitno bolj negativno), pri zadnjem paru pa ni vse tako preprosto. Kaj je večje: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ali $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Razporeditev točk na številskih premicih in pravzaprav odgovor bo odvisen od odgovora na to vprašanje.

Torej primerjajmo:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrika)\]

Izolirali smo koren, dobili nenegativna števila na obeh straneh neenakosti, tako da imamo pravico kvadrirati obe strani:

\[\begin(matrika) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrika)\]

Mislim, da ni pametno, da je $4\sqrt(13) \gt 3$, torej $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, bodo končno točke na oseh razporejene takole:

Primer grdih korenin

Naj vas spomnim, da rešujemo množico, zato bo odgovor združitev in ne presečišče osenčenih množic.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\desno)$

Kot lahko vidite, naša shema deluje odlično tako za preproste naloge kot za zelo težke. Edina »šibka točka« tega pristopa je, da morate pravilno primerjati iracionalne številke (in verjemite mi: to niso samo korenine). Toda ločena (in zelo resna lekcija) bo namenjena vprašanjem primerjave. In gremo naprej.

3. Neenakosti z nenegativnimi "repi"

Tako smo prišli do najbolj zanimivega. To so neenakosti v obliki:

\[\levo| f\desno| \gt\levo| g\desno|\]

Na splošno velja algoritem, o katerem bomo zdaj govorili, samo za modul. Deluje v vseh neenakostih, kjer so na levi in ​​desni zagotovljeni nenegativni izrazi:

Kaj storiti s temi nalogami? Le Zapomni si:

V neenakostih z nenegativnimi repi lahko obe strani dvignemo na katero koli naravno moč. Dodatnih omejitev ne bo.

Najprej nas bo zanimalo kvadriranje - zažiga module in korenine:

\[\begin(poravnaj) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\levo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\\end(poravnaj)\]

Samo ne zamenjujte tega z jemanjem korena kvadrata:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \desno|\ne f\]

Nastalo je nešteto napak, ko je študent pozabil namestiti modul! Toda to je povsem druga zgodba (to so tako rekoč iracionalne enačbe), zato se zdaj ne bomo spuščali v to. Raje rešimo par težav:

Naloga. Reši neenakost:

\[\levo| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \desno|\]

Odločitev. Takoj opazimo dve stvari:

1. To je nestroga neenakost. Točke na številski premici bodo izrezane.
2. Obe strani neenakosti sta očitno nenegativni (to je lastnost modula: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Zato lahko kvadriramo obe strani neenakosti, da se znebimo modula in rešimo problem z običajno intervalno metodo:

\[\begin(poravnaj) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(poravnaj)\]

V zadnjem koraku sem malce goljufal: spremenil sem zaporedje izrazov z uporabo paritete modula (pravzaprav sem izraz $1-2x$ pomnožil z −1).

\[\begin(poravnaj) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ desno)\desno)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \desno)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rešujemo po intervalni metodi. Pojdimo od neenakosti k enačbi:

\[\begin(poravnaj) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(poravnaj)\]

Najdene korenine označimo na številski premici. Še enkrat: vse točke so zasenčene, ker prvotna neenakost ni stroga!

Znebite se znaka modula

Naj vas spomnim za še posebej trmaste: predznake vzamemo iz zadnje neenakosti, ki smo jo zapisali, preden smo prešli na enačbo. In prebarvamo potrebna področja v isti neenakosti. V našem primeru je to $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

To je to. Problem rešen.

Odgovor: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Naloga. Reši neenakost:

\[\levo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \levo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]

Odločitev. Vse delamo enako. Ne bom komentiral - samo poglejte zaporedje dejanj.

Povejmo ga na kvadrat:

\[\begin(poravnaj) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \desno| \desno))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\levo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\levo(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\levo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\levo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\krat \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \desno)\left(2((x)^(2))+4x+5 \desno)\le 0. \\\end(poravnaj)\]

Način razmika:

\[\begin(poravnaj) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna puščica x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Puščica desno D=16-40 \lt 0\Puščica desno \varnothing . \\\end(poravnaj)\]

Na številski premici je samo en koren:

Odgovor je cela vrsta

Odgovor: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Majhna opomba o zadnji nalogi. Kot je natančno ugotovil eden od mojih študentov, sta oba podmodulna izraza v tej neenakosti očitno pozitivna, tako da lahko znak modula izpustimo brez škode za zdravje.

Toda to je že povsem druga raven razmišljanja in drugačen pristop - pogojno ga lahko imenujemo metoda posledic. O njem - v ločeni lekciji. In zdaj pojdimo na zadnji del današnje lekcije in razmislimo o univerzalnem algoritmu, ki vedno deluje. Tudi ko so bili vsi prejšnji pristopi nemočni. :)

4. Način naštevanja možnosti

Kaj pa, če vsi ti triki ne delujejo? Če se neenakost ne zmanjša na nenegativne repove, če je modula nemogoče izolirati, če sploh bolečina-žalost-hrepenenje?

Nato na sceno stopi "težka artilerija" vse matematike - metoda štetja. Glede neenakosti z modulom je videti takole:

1. Zapišite vse izraze podmodula in jih izenačite z nič;
2. Rešite nastale enačbe in na eni številski premici označite najdene korenine;
3. Ravna črta bo razdeljena na več odsekov, znotraj katerih ima vsak modul fiksni predznak in se zato nedvoumno širi;
4. Rešite neenakost na vsakem takem odseku (za zanesljivost lahko ločeno upoštevate mejne korene, pridobljene v odstavku 2). Združite rezultate - to bo odgovor. :)

No, kako? Slabo? Preprosto! Samo za dolgo časa. Poglejmo v praksi:

Naloga. Reši neenakost:

\[\levo| x+2 \desno| \lt\levo| x-1 \desno|+x-\frac(3)(2)\]

Odločitev. To sranje se ne skrči na neenakosti, kot je $\left| f\desno| \lt g$, $\left| f\desno| \gt g$ ali $\left| f\desno| \lt\levo| g \right|$, torej pojdimo naprej.

Zapišemo izraze podmodula, jih enačimo z ničlo in poiščemo korenine:

\[\begin(align) & x+2=0\Puščica desno x=-2; \\ & x-1=0\Puščica desno x=1. \\\end(poravnaj)\]

Skupno imamo dve korenini, ki delita številsko premico na tri odseke, znotraj katerih se vsak modul razkrije edinstveno:

Delitev številske premice z ničlami ​​submodularnih funkcij

Razmislimo o vsakem odseku posebej.

1. Naj bo $x \lt -2$. Potem sta oba izraza podmodula negativna, prvotna neenakost pa se prepiše na naslednji način:

\[\begin(poravnaj) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(poravnaj)\]

Dobili smo dokaj preprosto omejitev. Presečimo ga z prvotno predpostavko, da je $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Očitno spremenljivka $x$ ne more biti hkrati manjša od −2, vendar večja od 1,5. Na tem področju ni rešitev.

1.1. Ločeno razmislimo o mejnem primeru: $x=-2$. Zamenjajmo to številko v prvotno neenakost in preverimo: ali drži?

\[\begin(poravnaj) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \levo| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Puščica desno \varnič . \\\end(poravnaj)\]

Očitno nas je veriga izračunov pripeljala do napačne neenakosti. Zato je tudi prvotna neenakost napačna in $x=-2$ ni vključen v odgovor.

2. Zdaj naj bo $-2 \lt x \lt 1$. Levi modul se bo že odprl s "plusom", desni pa je še vedno z "minusom". Imamo:

\[\begin(poravnaj) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(poravnaj)\]

Spet se sekamo s prvotno zahtevo:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

In spet prazen niz rešitev, saj ni številk, ki so manjše od −2,5 in večje od −2.

2.1. In spet poseben primer: $x=1$. V prvotno neenakost nadomestimo:

\[\begin(poravnaj) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \levo| 3\desno| \lt\levo| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnithing . \\\end(poravnaj)\]

Podobno kot v prejšnjem "posebnem primeru" številka $x=1$ očitno ni vključena v odgovor.

3. Zadnji del vrstice: $x \gt 1$. Tukaj so vsi moduli razširjeni z znakom plus:

\[\begin(poravnaj) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(poravnaj)\ ]

In spet presekamo najdeno množico z izvirno omejitvijo:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \prav)\]

Končno! Našli smo interval, ki bo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Za konec še ena opomba, ki vas lahko reši pred neumnimi napakami pri reševanju resničnih težav:

Rešitve neenakosti z moduli so običajno neprekinjene množice na številski premici – intervali in segmenti. Izolirane točke so veliko redkejše. In še bolj redko se zgodi, da meje rešitve (konec segmenta) sovpadajo z mejo obravnavanega obsega.

Če torej meje (tisti "posebni primeri") niso vključene v odgovor, potem tudi območja levo-desno od teh meja skoraj zagotovo ne bodo vključena v odgovor. In obratno: meja vnesena kot odgovor, kar pomeni, da bodo nekatera območja okoli nje tudi odzivi.

Upoštevajte to, ko preverjate svoje rešitve.

Po prejemu začetnih informacij o neenakostih s spremenljivkami se obrnemo na vprašanje njihove rešitve. Analizirajmo rešitev linearnih neenakosti z eno spremenljivko in vse metode za njihovo reševanje z algoritmi in primeri. Upoštevane bodo samo linearne enačbe z eno spremenljivko.

Kaj je linearna neenakost?

Najprej morate definirati linearno enačbo in ugotoviti njeno standardno obliko ter kako se bo razlikovala od drugih. Iz šolskega predmeta ugotavljamo, da neenakosti nimajo bistvene razlike, zato je treba uporabiti več definicij.

Opredelitev 1

Linearna neenakost z eno spremenljivko x je neenakost v obliki a x + b > 0, če je namesto > uporabljen kateri koli znak neenakosti< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Opredelitev 2

Neenakosti a x< c или a · x >c , pri čemer je x spremenljivka, a in c pa nekaj številk, se imenuje linearne neenakosti z eno spremenljivko.

Ker ni nič povedano o tem, ali je koeficient lahko enak 0 , potem obstaja stroga neenakost v obliki 0 x > c in 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Njihove razlike so:

• zapis a · x + b > 0 v prvem in a · x > c – v drugem;
• dopustnost ničelnega koeficienta a , a ≠ 0 - v prvem in a = 0 - v drugem.

Menijo, da sta neenakosti a x + b > 0 in a x > c enakovredni, ker se dobijo s prenosom izraza iz enega dela v drugega. Reševanje neenakosti 0 · x + 5 > 0 bo pripeljalo do dejstva, da jo bo treba rešiti, primer a = 0 pa ne bo deloval.

Opredelitev 3

Šteje se, da so linearne neenakosti v eni spremenljivki x neenakosti oblike a x + b< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0 in a x + b ≥ 0, kjer sta a in b realni števili. Namesto x je lahko navadno število.

Na podlagi pravila imamo, da je 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 imenujemo linearni.

Kako rešiti linearno neenakost

Glavni način za reševanje takšnih neenakosti je uporaba enakovrednih transformacij za iskanje osnovnih neenakosti x< p (≤ , >, ≥) , p je neko število za a ≠ 0 in v obliki a< p (≤ , >, ≥) za a = 0 .

Če želite rešiti neenakost z eno spremenljivko, lahko uporabite intervalno metodo ali jo predstavite grafično. Vsak od njih se lahko uporablja ločeno.

Uporaba enakovrednih transformacij

Za rešitev linearne neenakosti v obliki a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , je treba uporabiti enakovredne transformacije neenakosti. Koeficient je lahko nič ali ne. Poglejmo oba primera. Za pojasnitev se je treba držati sheme, sestavljene iz 3 točk: bistvo postopka, algoritem, sama rešitev.

Opredelitev 4

Algoritem za reševanje linearne neenakosti a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0

• število b bo preneseno na desno stran neenakosti z nasprotnim predznakom, kar nam bo omogočilo, da pridemo do ekvivalenta a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• oba dela neenakosti bosta deljena s številom, ki ni enako 0. Poleg tega, ko je a pozitiven, predznak ostane, ko je a negativen, se spremeni v nasprotno.

Razmislite o uporabi tega algoritma za reševanje primerov.

Primer 1

Rešite neenakost v obliki 3 · x + 12 ≤ 0 .

Odločitev

Ta linearna neenakost ima a = 3 in b = 12 . Zato koeficient a od x ni enak nič. Uporabimo zgornje algoritme in jih rešimo.

Izraz 12 je treba prenesti na drug del neenakosti s spremembo predznaka pred njim. Nato dobimo neenakost v obliki 3 · x ≤ − 12 . Oba dela je treba razdeliti s 3. Znak se ne bo spremenil, ker je 3 pozitivno število. Dobimo, da (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , kar bo dalo rezultat x ≤ − 4 .

Neenakost v obliki x ≤ − 4 je enakovredna. To pomeni, da je rešitev za 3 x + 12 ≤ 0 katero koli realno število, ki je manjše ali enako 4 . Odgovor je zapisan kot neenakost x ≤ − 4 ali številčni interval v obliki (− ∞, − 4 ] .

Celoten algoritem, opisan zgoraj, je zapisan takole:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

odgovor: x ≤ − 4 ali (− ∞ , − 4 ] .

Primer 2

Navedite vse razpoložljive rešitve neenakosti − 2 , 7 · z > 0 .

Odločitev

Iz pogoja vidimo, da je koeficient a pri z enak - 2, 7, b pa je izrecno odsoten ali enak nič. Ne morete uporabiti prvega koraka algoritma, ampak takoj pojdite na drugi.

Oba dela enačbe delimo s številom - 2, 7. Ker je število negativno, je treba predznak neenakosti spremeniti v nasprotno. To pomeni, da dobimo, da (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Celoten algoritem zapišemo v kratki obliki:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

odgovor: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Primer 3

Rešite neenakost - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Odločitev

Glede na pogoj vidimo, da je treba rešiti neenakost s koeficientom a za spremenljivko x, ki je enak - 5, s koeficientom b, ki ustreza ulomku - 15 22 . Neenakost je treba rešiti po algoritmu, to je: premakniti - 15 22 na drug del z nasprotnim predznakom, oba dela deliti z - 5, spremeniti predznak neenakosti:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Na zadnjem prehodu za desno stran se uporablja pravilo za deljenje števila z različnimi predznaki 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, po katerem navadni ulomek delimo z naravnim številom - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

odgovor: x ≥ - 3 22 in [ - 3 22 + ∞) .

Razmislite o primeru, ko je a = 0. Linearni izraz oblike a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Vse temelji na definiciji rešitve neenakosti. Za vsako vrednost x dobimo številčno neenakost v obliki b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Vse sodbe obravnavamo v obliki algoritma za reševanje linearnih neenakosti 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definicija 5

Številčna neenakost oblike b< 0 (≤ , >, ≥) je res, potem ima izvirna neenakost rešitev za katero koli vrednost, in napačna, če izvirna neenakost nima rešitev.

Primer 4

Rešite neenakost 0 · x + 7 > 0 .

Odločitev

Ta linearna neenakost 0 · x + 7 > 0 ima lahko poljubno vrednost x. Potem dobimo neenakost v obliki 7 > 0. Zadnja neenakost velja za resnično, zato je lahko njena rešitev katero koli število.

Odgovori: interval (− ∞ , + ∞) .

Primer 5

Poiščite rešitev za neenakost 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Odločitev

Če zamenjamo spremenljivko x za poljubno število, dobimo, da bo neenakost imela obliko − 12 , 7 ≥ 0 . To je napačno. To pomeni, da 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nima rešitev.

odgovor: ni rešitev.

Razmislite o rešitvi linearnih neenakosti, kjer sta oba koeficienta enaka nič.

Primer 6

Določi nerešljivo neenakost iz 0 · x + 0 > 0 in 0 · x + 0 ≥ 0 .

Odločitev

Ko nadomestimo poljubno število namesto x, dobimo dve neenakosti v obliki 0 > 0 in 0 ≥ 0 . Prva je napačna. To pomeni, da 0 x + 0 > 0 nima rešitev, 0 x + 0 ≥ 0 pa ima neskončno število rešitev, torej poljubno število.

Odgovori: neenakost 0 x + 0 > 0 nima rešitev, 0 x + 0 ≥ 0 pa ima rešitev.

Ta metoda je obravnavana v šolskem tečaju matematike. Intervalna metoda je sposobna razrešiti različne vrste neenakosti, vključno z linearnimi.

Intervalna metoda se uporablja za linearne neenakosti, kadar vrednost koeficienta x ni enaka 0. V nasprotnem primeru boste morali izračunati z drugo metodo.

Opredelitev 6

Metoda razmika je:

• uvedba funkcije y = a x + b ;
• iskanje ničel za razdelitev domene definicije na intervale;
• določanje znakov za njihov koncept na intervalih.

Sestavimo algoritem za reševanje linearnih enačb a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0 z uporabo intervalne metode:

• iskanje ničel funkcije y = a · x + b za rešitev enačbe v obliki a · x + b = 0 . Če je a ≠ 0, bo rešitev edini koren, ki bo dobil oznako x 0;
• konstrukcija koordinatne črte s podobo točke s koordinato x 0, s strogo neenakostjo je točka označena z izrezano, z nestrogo neenakostjo je zasenčena;
• določitev znakov funkcije y = a x + b na intervalih, za to je treba najti vrednosti funkcije v točkah na intervalu;
• rešitev neenakosti z znakoma > ali ≥ na koordinatni črti, šrafiranje se doda nad pozitivno vrzel,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Razmislite o več primerih reševanja linearne neenakosti z uporabo intervalne metode.

Primer 6

Rešite neenakost − 3 · x + 12 > 0 .

Odločitev

Iz algoritma sledi, da morate najprej najti koren enačbe − 3 · x + 12 = 0 . Dobimo, da je − 3 · x = − 12 , x = 4 . Treba je prikazati koordinatno črto, kjer označimo točko 4. Prekinjen bo, ker je neenakost stroga. Razmislite o spodnji risbi.

Treba je določiti znake na intervalih. Za določitev na intervalu (− ∞ , 4) je treba izračunati funkcijo y = − 3 · x + 12 za x = 3 . Od tu dobimo, da je − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Predznak na vrzeli je pozitiven.

Predznak določimo iz intervala (4, + ∞), nato nadomestimo vrednost x \u003d 5. Imamo − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Rešitev neenakosti izvedemo s predznakom > , šrafiranje pa izvedemo čez pozitivno vrzel. Razmislite o spodnji risbi.

Iz risbe je razvidno, da ima želena rešitev obliko (− ∞ , 4) ali x< 4 .

Odgovori: (− ∞ , 4) ali x< 4 .

Da bi razumeli, kako grafično predstaviti, je treba kot primer upoštevati 4 linearne neenakosti: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 in 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Njihove rešitve bodo x< 2 , x ≤ 2 , x >2 in x ≥ 2. Če želite to narediti, spodaj narišite graf linearne funkcije y = 0 , 5 · x − 1.

To je jasno

Opredelitev 7

• rešitev neenakosti 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• rešitev 0 , 5 x − 1 ≤ 0 je interval, kjer je funkcija y = 0 , 5 x − 1 pod 0 x ali sovpada;
• rešitev 0 , 5 x − 1 > 0 se šteje za interval, kjer se funkcija nahaja nad O x;
• rešitev 0 , 5 x − 1 ≥ 0 je interval, kjer je graf višji od O x ali sovpada.

Pomen grafične rešitve neenakosti je poiskati vrzeli, ki jih je treba prikazati na grafu. V tem primeru dobimo, da ima leva stran y = a x + b, desna stran pa y = 0 in sovpada s približno x.

Opredelitev 8

Izrišemo risbo funkcije y = a x + b:

• pri reševanju neenakosti a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• pri reševanju neenakosti a x + b ≤ 0 se določi interval, kjer je graf prikazan pod osjo O x ali sovpada;
• pri reševanju neenakosti a x + b > 0 se določi interval, kjer je graf prikazan nad O x;
• pri reševanju neenakosti a x + b ≥ 0 se določi interval, kjer je graf nad O x ali sovpada.

Primer 7

Rešite neenakost - 5 · x - 3 > 0 z uporabo grafa.

Odločitev

Treba je zgraditi graf linearne funkcije - 5 · x - 3 > 0 . Ta črta se zmanjšuje, ker je koeficient x negativen. Za določitev koordinat točke njenega presečišča z O x - 5 · x - 3 > 0 dobimo vrednost - 3 5 . Narišemo graf.

Rešitev neenakosti z znakom >, potem morate biti pozorni na interval nad O x. Potreben del letala označimo z rdečo in to dobimo

Zahtevana vrzel je O x del rdeče barve. Zato bo odprt številski žarek - ∞ , - 3 5 rešitev neenakosti. Če bi po pogoju imeli nestrogo neenakost, bi bila tudi vrednost točke - 3 5 rešitev neenakosti. In bi sovpadal z O x.

Odgovori: - ∞ , - 3 5 ali x< - 3 5 .

Grafična rešitev se uporablja, ko bo leva stran ustrezala funkciji y = 0 x + b , to je y = b . Potem bo črta vzporedna z O x ali sovpada pri b = 0. Ti primeri kažejo, da neenakost morda nima rešitev ali pa je katero koli število lahko rešitev.

Primer 8

Določi iz neenakosti 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Odločitev

Predstavitev y = 0 x + 7 je y = 7 , potem bo podana koordinatna ravnina z ravno črto, ki je vzporedna z O x in nad O x. Torej 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graf funkcije y \u003d 0 x + 0 velja za y = 0, to pomeni, da črta sovpada z O x. Zato ima neenakost 0 · x + 0 ≥ 0 veliko rešitev.

Odgovori: druga neenakost ima rešitev za katero koli vrednost x .

Linearne neenakosti

Rešitev neenakosti lahko reduciramo na rešitev linearne enačbe, ki ji pravimo linearne neenakosti.

Te neenakosti so bile obravnavane v šolskem tečaju, saj so bile poseben primer reševanja neenakosti, kar je vodilo k odpiranju oklepajev in redukciji podobnih izrazov. Recimo, da je 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Zgoraj navedene neenakosti so vedno reducirane v obliko linearne enačbe. Po tem se odprejo oklepaji in podajo podobni izrazi, preneseni iz različnih delov, pri čemer se znak spremeni v nasprotno.

Ko reduciramo neenakost 5 − 2 x > 0 na linearno, jo predstavimo tako, da ima obliko − 2 x + 5 > 0 , za zmanjšanje druge pa dobimo 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Treba je odpreti oklepaje, prinesti podobne izraze, vse izraze premakniti na levo stran in prinesti podobne izraze. Izgleda takole:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

To pripelje rešitev do linearne neenakosti.

Te neenakosti štejemo za linearne, saj imajo enak princip rešitve, po katerem jih je mogoče reducirati na elementarne neenakosti.

Da bi rešili tovrstno neenakost te vrste, jo je treba zmanjšati na linearno. To je treba narediti takole:

Opredelitev 9

• odprti oklepaji;
• zbirajte spremenljivke na levi in ​​številke na desni;
• prinesi podobne pogoje;
• delimo oba dela s koeficientom x .

Primer 9

Rešite neenakost 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Odločitev

Oklepaje razširimo, potem dobimo neenakost v obliki 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Po zmanjšanju podobnih členov imamo, da je 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Po premikanju členov od leve proti desni dobimo, da je 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Zato ima neenakost v obliki 32 ≤ 0 iz rezultata, dobljenega pri izračunu 0 · x + 32 ≤ 0 . Vidimo, da je neenakost napačna, kar pomeni, da neenakost, ki jo poda pogoj, nima rešitev.

Odgovori: brez rešitev.

Omeniti velja, da obstaja veliko neenakosti druge vrste, ki jih je mogoče reducirati na linearno ali neenakost, kot je prikazana zgoraj. Na primer, 5 2 x − 1 ≥ 1 je eksponentna enačba, ki reducira na linearno rešitev 2 · x − 1 ≥ 0 . Te primere bomo upoštevali pri reševanju tovrstnih neenakosti.

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter