Osnovne formule trigonometrije. Osnovna trigonometrična identiteta
Formule redukcije so razmerja, ki vam omogočajo prehod od sinusa, kosinusa, tangente in kotangensa s koti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` na enake funkcije kota `\alpha`, ki je v prvi četrtini enotnega kroga. Tako nas redukcijske formule "pripeljejo" do dela s koti v območju od 0 do 90 stopinj, kar je zelo priročno.
Vseh skupaj je 32 redukcijskih formul. Nedvomno vam bodo prav prišle na izpitu, izpitih, testih. Toda takoj vas bomo opozorili, da si jih ni treba zapomniti! Morate porabiti nekaj časa in razumeti algoritem za njihovo uporabo, potem vam ne bo težko ob pravem času izpeljati potrebno enakost.
Najprej zapišemo vse formule redukcije:
Za kot (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ali (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Za kot (`\pi \pm \alpha`) ali (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Za kot (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ali (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Za kot (`2\pi \pm \alpha`) ali (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` `ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pogosto lahko najdete redukcijske formule v obliki tabele, kjer so koti zapisani v radianih:
Če ga želite uporabiti, morate izbrati vrstico s funkcijo, ki jo potrebujemo, in stolpec z želenim argumentom. Na primer, če želite s tabelo ugotoviti, kaj bo ` sin(\pi + \alpha)`, je dovolj, da poiščete odgovor na presečišču vrstice ` sin \beta` in stolpca ` \pi + \ alfa`. Dobimo ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
In druga, podobna tabela, kjer so koti zapisani v stopinjah:
Mnemonično pravilo vnosa formul ali kako si jih zapomniti
Kot smo že omenili, si vseh zgornjih razmerij ni treba zapomniti. Če ste jih natančno pogledali, ste verjetno opazili nekaj vzorcev. Omogočajo nam, da oblikujemo mnemonično pravilo (mnemonik – zapomni si), s katerim zlahka dobimo katero koli redukcijsko formulo.
Takoj ugotavljamo, da je za uporabo tega pravila treba biti sposoben določiti (ali si zapomniti) znake trigonometričnih funkcij v različnih četrtinah enotnega kroga. 
Sam cepljenje vsebuje 3 stopnje:
- Argument funkcije mora biti v obliki `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, kjer je `\alpha` vedno oster kot (od 0 do 90 stopinj).
- Za argumente `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` trigonometrična funkcija pretvorjenega izraza se spremeni v kofunkcijo, torej nasprotno (sinus v kosinus, tangenta v kotangens in obratno). Za argumente `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` se funkcija ne spremeni.
- Določen je predznak prvotne funkcije. Nastala funkcija na desni strani bo imela enak predznak.
Če želite videti, kako je to pravilo mogoče uporabiti v praksi, preoblikujemo nekaj izrazov:
1. "cos(\pi + \alpha)".
Funkcija ni obrnjena. Kot ` \pi + \alpha` je v tretjem kvadrantu, kosinus v tem kvadrantu ima predznak "-", tako da bo pretvorjena funkcija imela tudi predznak "-".
Odgovor: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Po navedbah mnemonično pravilo funkcija bo obrnjena. Kot `\frac (3\pi)2 - \alpha` je v tretjem kvadrantu, sinus ima tukaj predznak "-", tako da bo rezultat tudi z znakom "-".
Odgovor: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alfa))`. Predstavljajmo '3\pi` kot `2\pi+\pi`. `2\pi` je obdobje funkcije.
Pomembno: Funkciji `cos \alpha` in `sin \alpha` imata obdobje `2\pi` ali `360^\circ`, njune vrednosti se ne bodo spremenile, če se argument poveča ali zmanjša za te vrednosti.
Na podlagi tega lahko naš izraz zapišemo takole: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Če dvakrat uporabimo mnemonično pravilo, dobimo: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Odgovor: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
pravilo konja
Druga točka zgornjega mnemoničnega pravila se imenuje tudi konjsko pravilo redukcijskih formul. Zanima me zakaj konji?
Torej imamo funkcije z argumenti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, točke `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` so ključne točke, nahajajo se na koordinatnih oseh. "\pi" in "2\pi" sta na vodoravni osi x, "\frac (\pi)2" in "\frac (3\pi)2" pa na navpični osi y.
Postavljamo si vprašanje: "Ali se funkcija spremeni v kofunkcijo?". Če želite odgovoriti na to vprašanje, morate premakniti glavo vzdolž osi, na kateri se nahaja ključna točka.
To pomeni, da za argumente s ključnimi točkami, ki se nahajajo na vodoravni osi, odgovorimo z "ne" tako, da zmajemo z glavo na straneh. In za vogale s ključnimi točkami, ki se nahajajo na navpični osi, odgovorimo z "da" s kimanjem z glavo od zgoraj navzdol, kot konj 🙂
Priporočamo ogled video vadnice, v kateri avtor podrobno razloži, kako si zapomniti redukcijske formule, ne da bi si jih zapomnili.
Praktični primeri uporabe formul za ulivanje
Uporaba redukcijskih formul se začne v 9. in 10. razredu. Veliko nalog z njihovo uporabo se odda na izpit. Tukaj je nekaj nalog, pri katerih boste morali uporabiti te formule:
- naloge za reševanje pravokotnega trikotnika;
- pretvorba številskih in abecednih trigonometričnih izrazov, izračun njihovih vrednosti;
- stereometrične težave.
Primer 1. Uporabite redukcijske formule za izračun a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Rešitev: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `greh 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Primer 2. Ko kosinus izrazite skozi sinus z uporabo redukcijskih formul, primerjajte števila: 1) `sin \frac (9\pi)8` in `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` in `cos \frac (3\pi)10`.
Rešitev: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8)
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5)
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Najprej dokažemo dve formuli za sinus in kosinus argumenta `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` in `cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Ostalo izhaja iz njih. Vzemite enotni krog in na njem točko A s koordinatami (1,0). Pustite po vklopu Iz definicije tangente in kotangensa dobimo ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` in `ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, kar dokazuje redukcijo formule za tangento in kotangens kota `\frac (\pi)2 + \alpha`. Za dokazovanje formul z argumentom `\frac (\pi)2 - \alpha` je dovolj, da ga predstavimo kot `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` in sledimo isti poti kot zgoraj. Na primer, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Kota `\pi + \alpha` in `\pi - \alpha` lahko predstavimo kot `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` in `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` oz. In `\frac (3\pi)2 + \alpha` in `\frac (3\pi)2 - \alpha` kot `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` in `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. V tem članku si bomo izčrpno ogledali . Osnovne trigonometrične identitete so enakosti, ki vzpostavijo razmerje med sinusom, kosinusom, tangentom in kotangensom enega kota in vam omogočajo, da najdete katero koli od teh trigonometričnih funkcij prek znanega drugega. Takoj navajamo glavne trigonometrične identitete, ki jih bomo analizirali v tem članku. Zapišemo jih v tabelo, spodaj pa podamo izpeljavo teh formul in podamo potrebna pojasnila. Navigacija po straneh. Včasih ne govorijo o glavnih trigonometričnih identitetah, navedenih v zgornji tabeli, ampak o eni sami osnovna trigonometrična identiteta prijazen To pomeni, da je še posebej zanimiva enakost, ki je dobila ime glavne trigonometrične identitete. Preden dokažemo osnovno trigonometrično istovetnost, damo njeno formulacijo: vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota je identično enaka ena. Zdaj pa dokažimo. Osnovna trigonometrična identiteta se zelo pogosto uporablja v transformacija trigonometričnih izrazov. Omogoča, da se vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota nadomesti z eno. Nič manj pogosto se osnovna trigonometrična identiteta uporablja v obratnem vrstnem redu: enota se nadomesti z vsoto kvadratov sinusa in kosinusa katerega koli kota. Identitete, ki povezujejo tangento in kotangens s sinusom in kosinusom enega kota oblike in Zaradi te očitnosti identitet in Za zaključek tega razdelka je treba opozoriti, da so identitete in Še bolj očitna trigonometrična identiteta kot prejšnji dve je identiteta, ki povezuje tangento in kotangens enega kota oblike Dokaz formule Torej sta tangenta in kotangens enega kota, pri katerem sta smiselna. Podana so razmerja med glavnimi trigonometričnimi funkcijami - sinusom, kosinusom, tangentom in kotangensom. trigonometrične formule. In ker je med trigonometričnimi funkcijami precej povezav, to pojasnjuje tudi obilico trigonometričnih formul. Nekatere formule povezujejo trigonometrične funkcije istega kota, druge - funkcije večkratnega kota, druge - omogočajo znižanje stopnje, četrte - izražanje vseh funkcij skozi tangento polovičnega kota itd. V tem članku po vrsti navajamo vse osnovne trigonometrične formule, ki zadostujejo za reševanje velike večine trigonometrijskih problemov. Zaradi lažjega pomnjenja in uporabe jih bomo združili glede na njihov namen in jih vnesli v tabele. Navigacija po straneh. Osnovne trigonometrične identitete nastavite razmerje med sinusom, kosinusom, tangentom in kotangensom enega kota. Izhajajo iz definicije sinusa, kosinusa, tangente in kotangensa ter koncepta enotnega kroga. Omogočajo vam, da izrazite eno trigonometrično funkcijo skozi katero koli drugo. Za podroben opis teh trigonometrijskih formul, njihovo izpeljavo in primere uporabe glejte članek. Formule za oddajanje izhajajo iz lastnosti sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa, torej odražajo lastnost periodičnosti trigonometričnih funkcij, lastnost simetrije in tudi lastnost premika za dani kot. Te trigonometrične formule vam omogočajo prehod z dela s poljubnimi koti na delo s koti od nič do 90 stopinj. Utemeljitev teh formul, mnemonično pravilo za njihovo pomnjenje in primere njihove uporabe je mogoče preučiti v članku. Trigonometrične formule seštevanja pokažejo, kako so trigonometrične funkcije vsote ali razlike dveh kotov izražene s trigonometričnimi funkcijami teh kotov. Te formule služijo kot osnova za izpeljavo naslednjih trigonometričnih formul. Formule za dvojno, trojno itd. kota (ime jih tudi formule za več kotov) prikazujejo, kako so trigonometrične funkcije dvojne, trojne itd. koti () so izraženi s trigonometričnimi funkcijami posameznega kota. Njihova izpeljava temelji na formulah za seštevanje. Podrobnejše informacije so zbrane v formulah članka za dvojno, trojno itd. kot . Formule polovičnega kota pokažejo, kako so trigonometrične funkcije polovičnega kota izražene s kosinusom celega kota. Te trigonometrične formule izhajajo iz formul dvojnega kota. Njihov zaključek in primere uporabe najdete v članku. Trigonometrične formule za padajoče stopnje so zasnovani tako, da olajšajo prehod od naravnih moči trigonometričnih funkcij do sinusov in kosinusov prve stopnje, vendar več kotov. Z drugimi besedami, omogočajo, da zmanjšamo moči trigonometričnih funkcij na prvo. Glavni namen formule vsote in razlike za trigonometrične funkcije sestoji iz prehoda na produkt funkcij, kar je zelo uporabno pri poenostavitvi trigonometričnih izrazov. Te formule se pogosto uporabljajo tudi pri reševanju trigonometričnih enačb, saj omogočajo faktoriranje vsote in razlike sinusov in kosinusov. Prehod iz produkta trigonometričnih funkcij na vsoto ali razliko se izvede preko formul za produkt sinusov, kosinusov in sinusov za kosinusom. Avtorske pravice pametnih študentov Vse pravice pridržane. Trigonometrične identitete so enakosti, ki vzpostavljajo razmerje med sinusom, kosinusom, tangentom in kotangensom enega kota, kar vam omogoča, da najdete katero koli od teh funkcij, pod pogojem, da je katera koli druga znana. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 Ta identiteta pravi, da je vsota kvadrata sinusa enega kota in kvadrata kosinusa enega kota enaka eni, kar v praksi omogoča izračun sinusa enega kota, če je njegov kosinus znan in obratno. . Pri pretvorbi trigonometričnih izrazov se zelo pogosto uporablja ta identiteta, ki vam omogoča, da vsoto kvadratov kosinusa in sinusa enega kota zamenjate z enim in izvedete tudi operacijo zamenjave v obratnem vrstnem redu. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace Te identitete so oblikovane iz definicij sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa. Konec koncev, če pogledate, potem je po definiciji ordinata y sinus, abscisa x pa kosinus. Potem bo tangenta enaka razmerju \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), in razmerje \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bo kotangens. Dodamo, da se bodo identitete zgodile samo za takšne kote \alpha, za katere so trigonometrične funkcije, vključene v njih, smiselne, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Na primer: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) velja za kote \alfa, ki se razlikujejo od \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- za kot \alpha, ki ni \pi z , je z celo število. tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 Ta identiteta velja samo za kote \alpha, ki se razlikujejo od \frac(\pi)(2) z. V nasprotnem primeru kotangens ali tangens ne bosta določena. Na podlagi zgornjih točk dobimo to tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Iz tega sledi tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tako sta tangenta in kotangens enega kota, pri katerem sta smiselna, medsebojno vzajemni števili. tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)— vsota kvadrata tangente kota \alpha in 1 je enaka inverznemu kvadratu kosinusa tega kota. Ta identiteta velja za vse \alfa razen \frac(\pi)(2)+ \pi z. 1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- vsota 1 in kvadrata kotangensa kota \alpha je enaka inverznemu kvadratu sinusa danega kota. Ta identiteta je veljavna za vse \alfa razen \pi z. Poiščite \sin \alpha in tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 in \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
; Pokaži rešitev Odločitev Funkciji \sin \alpha in \cos \alpha sta povezani s formulo \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Zamenjava v tej formuli \cos \alpha = -\frac12, dobimo: \sin^(2)\alpha + \levo (-\frac12 \desno)^2 = 1 Ta enačba ima 2 rešitvi: \sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2) Glede na pogoje \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. V drugi četrtini je sinus pozitiven, torej \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2). Za iskanje tg \alpha uporabimo formulo tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3 Poiščite \cos \alpha in ctg \alpha, če in \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Pokaži rešitev Odločitev Nadomestitev v formulo \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 pogojno število \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dobimo \levo (\frac(\sqrt3)(2)\desno)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ta enačba ima dve rešitvi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14. Glede na pogoje \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. V drugi četrtini je kosinus negativen, torej \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12. Za iskanje ctg \alpha uporabimo formulo ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Poznamo ustrezne vrednosti. ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3). To je zadnja in najpomembnejša lekcija, potrebna za reševanje problemov B11. Kote že znamo pretvoriti iz radianske mere v stopinjsko mero (glej lekcijo " Radian in stopenska mera kota"), znamo pa določiti tudi predznak trigonometrične funkcije, pri čemer se osredotočamo na koordinatne četrtine (gl. lekcija "Znaki trigonometričnih funkcij"). Zadeva ostaja majhna: izračunati vrednost same funkcije - tistega števila, ki je zapisano v odgovoru. Tu na pomoč priskoči osnovna trigonometrična identiteta. Osnovna trigonometrična identiteta. Za kateri koli kot α velja trditev: sin 2 α + cos 2 α = 1. Ta formula povezuje sinus in kosinus enega kota. Zdaj, ko poznamo sinus, zlahka najdemo kosinus - in obratno. Dovolj je, da vzamemo kvadratni koren: Opazite znak "±" pred koreninami. Dejstvo je, da iz osnovne trigonometrične identitete ni jasno, kaj sta bila prvotni sinus in kosinus: pozitiven ali negativen. Konec koncev je kvadratura enakomerna funkcija, ki "požge" vse minuse (če obstajajo). Zato so v vseh nalogah B11, ki jih najdemo v USE pri matematiki, nujno dodatni pogoji, ki pomagajo znebiti negotovosti z znaki. Običajno je to oznaka koordinatne četrtine, po kateri je mogoče določiti znak. Pozorni bralec se bo zagotovo vprašal: "Kaj pa tangenta in kotangens?" Te funkcije je nemogoče neposredno izračunati iz zgornjih formul. Vendar pa obstajajo pomembne posledice osnovne trigonometrične identitete, ki že vsebujejo tangente in kotangense. in sicer: Pomemben rezultat: za kateri koli kot α lahko osnovno trigonometrično identiteto prepišemo na naslednji način: Te enačbe je enostavno razbrati iz osnovne identitete – dovolj je, da obe strani delimo s cos 2 α (da dobimo tangento) ali s sin 2 α (za kotangens). Poglejmo vse to s konkretnimi primeri. Sledijo resnični problemi B11, ki so vzeti iz testnih različic USE v matematiki 2012. Poznamo kosinus, vendar ne poznamo sinusa. Glavna trigonometrična identiteta (v svoji "čisti" obliki) povezuje prav te funkcije, zato bomo z njo delali. Imamo: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1. Za rešitev težave je treba najti znak sinusa. Ker je kot α ∈ (π /2; π ), potem se v stopinjski meri zapiše takole: α ∈ (90°; 180°). Zato kot α leži v II koordinatni četrtini - tam so vsi sinusi pozitivni. Zato je sin α = 0,1. Torej, poznamo sinus, vendar moramo najti kosinus. Obe funkciji sta v osnovni trigonometrični identiteti. Zamenjamo: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5. Še vedno se je treba ukvarjati z znakom pred ulomkom. Kaj izbrati: plus ali minus? Po pogoju kot α pripada intervalu (π 3π /2). Pretvorimo kote iz radianske mere v stopinjsko mero - dobimo: α ∈ (180°; 270°). Očitno je to III koordinatna četrtina, kjer so vsi kosinusi negativni. Zato je cosα = −0,5. Naloga. Poiščite tg α, če poznate naslednje: Tangenta in kosinus sta povezana z enačbo, ki izhaja iz osnovne trigonometrične identitete: Dobimo: tg α = ±3. Predznak tangente je določen s kotom α. Znano je, da je α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo kote iz radianske mere v stopinjsko mero - dobimo α ∈ (270°; 360°). Očitno je to IV koordinatna četrtina, kjer so vse tangente negativne. Zato je tgα = −3. Naloga. Poiščite cos α, če poznate naslednje: Še enkrat, sinus je znan, kosinus pa neznan. Zapišemo glavno trigonometrično identiteto: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6. Znak je določen s kotom. Imamo: α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo kote iz stopinj v radiane: α ∈ (270°; 360°) je IV koordinatna četrtina, kosinusi so tam pozitivni. Zato je cos α = 0,6. Naloga. Poiščite sin α, če poznate naslednje: Napišimo formulo, ki izhaja iz osnovne trigonometrične identitete in neposredno povezuje sinus in kotangens: Od tu dobimo, da je sin 2 α = 1/25, tj. sin α = ±1/5 = ±0,2. Znano je, da je kot α ∈ (0; π /2). V stopinjah je to zapisano takole: α ∈ (0°; 90°) - I koordinatna četrtina. Torej je kot v koordinatni četrtini I - vse trigonometrične funkcije so tam pozitivne, zato sin α \u003d 0,2.
kotu `\alpha` bo šel v točko `A_1(x, y)` in po obračanju skozi kot `\frac (\pi)2 + \alpha` do točke `A_2(-y,x)` . Če spustimo navpičnice iz teh točk na premico OX, vidimo, da sta trikotnika `OA_1H_1` in `OA_2H_2` enaka, saj sta njuni hipotenuzi in sosednji koti enaki. Nato lahko na podlagi definicij sinusa in kosinusa zapišemo `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Kako lahko zapišemo, da je `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` in `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, kar dokazuje redukcijo formule za sinus in kosinus kota `\frac (\pi)2 + \alpha`.Razmerje med sinusom in kosinusom enega kota
. Razlaga tega dejstva je precej preprosta: enakosti dobimo iz osnovne trigonometrične identitete, potem ko delimo oba njena dela z oz. 
in 
sledijo definiciji sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa. O tem bomo podrobneje razpravljali v naslednjih odstavkih.Tangenta in kotangensa skozi sinus in kosinus
takoj sledijo definicije sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa. Dejansko je po definiciji sinus ordinata y, kosinus je abscisa x, tangenta je razmerje med ordinato in absciso, tj. 
, kotangens pa je razmerje med absciso in ordinato, tj. 
.pogosto definicije tangenta in kotangensa niso podane z razmerjem abscise in ordinate, temveč z razmerjem sinusa in kosinusa. Torej je tangent kota razmerje med sinusom in kosinusom tega kota, kotangens pa je razmerje med kosinusom in sinusom.velja za vse takšne kote, za katere so trigonometrične funkcije, ki jih vsebujejo, smiselne. Torej formula velja za katero koli drugo kot (sicer bo imenovalec nič in nismo definirali deljenja z nič) in formula - za vse , različno od , kjer je z poljubno .Razmerje med tangento in kotangensom
. Jasno je, da poteka za vse kote, razen , sicer tangenta ali kotangens ni opredeljena.zelo preprosto. Po definiciji in od kod 
. Dokaz bi se lahko izvedel na nekoliko drugačen način. Ker in , potem 
.Osnovne trigonometrične identitete
Formule za oddajanje
Formule seštevanja
Formule za dvojno, trojno itd. kota
Formule polovičnega kota
Formule redukcije
Formule za vsoto in razliko trigonometričnih funkcij
Formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinusov za kosinusom
Zaščiteno z zakonom o avtorskih pravicah. Nobenega dela www.site, vključno z notranjimi materiali in zunanjim dizajnom, ni dovoljeno reproducirati v kakršni koli obliki ali uporabljati brez predhodnega pisnega dovoljenja imetnika avtorskih pravic.Iskanje tangente in kotangensa skozi sinus in kosinus
Razmerje med tangento in kotangensom
Relacije med tangento in kosinusom, kotangensom in sinusom
Primeri z rešitvami problemov z uporabo trigonometričnih identitet
Primer 1
Primer 2
Priporočamo tudi
Nalaganje...