Kako pretvoriti izraz v identično enak. Identitete, definicija, zapis, primeri

Zadeva "Dokazi o identiteti» 7. razred (KRO)

Učbenik Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

Cilji lekcije

Izobraževalni:

seznaniti in na začetku utrditi pojme »identično enakih izrazov«, »identitete«, »identičnih transformacij«;

razmisliti o načinih dokazovanja identitet, prispevati k razvoju veščin dokazovanja identitet;

preveriti učenčevo asimilacijo obravnavanega gradiva, oblikovati veščine uporabe preučenega za zaznavanje novega.

Razvoj:

Razviti kompetenten matematični govor učencev (obogatiti in zakomplicirati besedni zaklad pri uporabi posebnih matematičnih izrazov),

razvijati mišljenje,

Vzgojni: gojiti delavnost, natančnost, pravilnost zapisovanja rešitve vaj.

Vrsta lekcije: učenje nove snovi

Med poukom

1 . Organiziranje časa.

Preverjanje domače naloge.

Vprašanja o domači nalogi.

Povzetek na tabli.

Potrebna matematika
Brez nje je nemogoče
Učimo, učimo, prijatelji,
Česa se spomnimo zjutraj?

2 . Naredimo vadbo.

Rezultat seštevanja. (vsota)

Koliko številk poznate? (deset)

Stotina števila. (odstotek)

rezultat delitve? (zasebno)

Najmanjše naravno število? (ena)

Ali je možno pri delitvi naravna števila dobiti nič? (ne)

Kaj je največje negativno celo število. (-ena)

S katerim številom ni mogoče deliti? (0)

Rezultat množenja? (delo)

Rezultat odštevanja. (Razlika)

Komutativna lastnost seštevanja. (Vsota se ne spremeni zaradi prerazporeditve mest izrazov)

Komutativna lastnost množenja. (Produkt se ne spremeni od permutacije mest faktorjev)

Študija o nova tema(definicija z beležko v zvezku)

Poiščite vrednost izrazov pri x=5 in y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Dobili smo enak rezultat. Iz distribucijske lastnosti izhaja, da so na splošno za vse vrednosti spremenljivk vrednosti izrazov 3(x + y) in 3x + 3y enake.

Poglejmo zdaj izraza 2x + y in 2xy. Za x=1 in y=2 imajo enake vrednosti:

Lahko pa določite vrednosti x in y, tako da vrednosti teh izrazov niso enake. Na primer, če je x=3, y=4, potem

Opredelitev: Za dva izraza, katerih vrednosti so enake za katero koli vrednost spremenljivk, pravimo, da sta identično enaka.

Izraza 3(x+y) in 3x+3y sta identično enaka, izraza 2x+y in 2xy pa nista identično enaka.

Enakost 3(x + y) in 3x + 3y velja za vse vrednosti x in y. Takšne enakosti imenujemo identitete.

Opredelitev: Enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk, se imenuje identiteta.

Prave številčne enakosti se štejejo tudi za identitete. Z identitetami smo se že srečali. Identitete so enakosti, ki izražajo osnovne lastnosti dejanj na številih (Učenci vsako lastnost komentirajo tako, da jo izgovorijo).

a + b = b + a
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac

Navedite druge primere identitet

Opredelitev: Zamenjava enega izraza z drugim, ki mu je enaka, se imenuje identična transformacija ali preprosto transformacija izraza.

Podobne transformacije izrazov s spremenljivkami se izvajajo na podlagi lastnosti operacij nad števili.

Transformacije identitete izrazov se pogosto uporabljajo pri izračunu vrednosti izrazov in reševanju drugih problemov. Nekaj ​​identičnih transformacij ste že morali izvesti, na primer redukcijo podobnih izrazov, razširitev oklepajev.

5 . št. 691, št. 692 (z izgovorjavo pravil za odpiranje oklepajev, množenje negativnih in pozitivnih številk)

Identitete za izbiro racionalne rešitve:(spredaj delo)

6 . Povzetek lekcije.

Učitelj postavlja vprašanja, učenci pa nanje odgovarjajo, kot želijo.

Katera dva izraza se imenujeta identično enaka? Navedite primere.

Kakšna enakost se imenuje identiteta? Navedite primer.

Katere identične transformacije poznate?

7. Domača naloga. Naučite se definicij, navedite primere enakih izrazov (vsaj 5), jih zapišite v zvezek

Ta članek ponuja začetnico pojem identitet. Tukaj definiramo identiteto, uvedemo uporabljeni zapis in seveda podamo različni primeri identitete

Navigacija po straneh.

Kaj je identiteta?

Predstavitev gradiva je logično začeti s definicije identitete. V učbeniku Yu. N. Makarycheva, algebra za 7 razredov, je definicija identitete podana na naslednji način:

Opredelitev.

Identiteta je enakost resnična za vse vrednosti spremenljivk; vsaka resnična številčna enakost je tudi identiteta.

Hkrati avtor takoj določi, da se bo ta definicija v prihodnosti razjasnila. To razjasnitev poteka v 8. razredu, po seznanitvi z definicijo sprejemljivih vrednosti spremenljivk in ODZ. Definicija postane:

Opredelitev.

identitete so prave številčne enakosti, pa tudi enakosti, ki veljajo za vse dopustne vrednosti spremenljivk, vključenih v njih.

Zakaj torej pri definiranju identitete v 7. razredu govorimo o kakršnih koli vrednostih spremenljivk, v 8. razredu pa začnemo govoriti o vrednostih spremenljivk iz njihovega DPV? Do 8. razreda se delo izvaja izključno s celimi izrazi (zlasti z monomi in polinomi) in so smiselni za vse vrednosti spremenljivk, ki so vključene v njih. Zato v 7. razredu pravimo, da je identiteta enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk. In v 8. razredu se pojavijo izrazi, ki že niso smiselni za vse vrednosti spremenljivk, ampak samo za vrednosti iz njihovega ODZ. Zato z identitetami začnemo klicati enakosti, ki veljajo za vse dopustne vrednosti spremenljivk.

Torej je identiteta poseben primer enakost. Se pravi, vsaka identiteta je enakost. Vendar ni vsaka enakost identiteta, ampak le enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk iz njihovega obsega sprejemljivih vrednosti.

Identitetni znak

Znano je, da se pri pisanju enakosti uporablja znak enakosti v obliki "=", na levi in ​​desni strani katerega je nekaj številk ali izrazov. Če temu znaku dodamo še eno vodoravno črto, dobimo znak identitete"≡", ali kot se tudi imenuje znak enakosti.

Znak identitete se običajno uporablja le takrat, ko je treba poudariti, da imamo pred seboj ne samo enakost, ampak ravno identiteto. V drugih primerih se predstavitve identitet po obliki ne razlikujejo od enakosti.

Primeri identitete

Čas je, da prinesete primeri identitet. Pri tem nam bo v pomoč definicija identitete, podana v prvem odstavku.

Številčne enakosti 2=2 so primeri identitet, saj so te enakosti resnične, vsaka resnična številčna enakost pa je po definiciji identiteta. Lahko jih zapišemo kot 2≡2 in .

Številčne enakosti v obliki 2+3=5 in 7−1=2·3 so prav tako istovetnosti, saj so te enakosti resnične. To je 2+3≡5 in 7−1≡2 3 .

Pojdimo na primere identitet, ki v zapisu ne vsebujejo le številk, temveč tudi spremenljivke.

Razmislite o enakosti 3·(x+1)=3·x+3 . Za katero koli vrednost spremenljivke x je zapisana enakost resnična zaradi distribucijske lastnosti množenja glede na seštevanje, zato je izvirna enakost primer istovetnosti. Tukaj je še en primer identitete: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, tukaj je obseg sprejemljivih vrednosti za spremenljivki x in y vsi pari (x, y) , kjer sta x in y poljubna števila razen nič.

Toda enakosti x+1=x−1 in a+2 b=b+2 a nista istovetnosti, saj obstajajo vrednosti spremenljivk, za katere bodo te enakosti napačne. Na primer, za x=2 se enakost x+1=x−1 spremeni v napačno enakost 2+1=2−1. Poleg tega enakost x+1=x−1 sploh ni dosežena za nobene vrednosti spremenljivke x. Enakost a+2 b=b+2 a se spremeni v napačno enakost, če vzamemo katero koli različni pomeni spremenljivki a in b. Na primer, z a=0 in b=1 bomo prišli do napačne enakosti 0+2 1=1+2 0 . Enakost |x|=x , kjer je |x| - spremenljivka x , prav tako ni identiteta, saj ne drži za negativne vrednosti x .

Primera najbolj znanih identitet sta sin 2 α+cos 2 α=1 in log a b =b .

V zaključku tega članka bi rad poudaril, da se pri študiju matematike nenehno srečujemo z identitetami. Zapisi lastnosti delovanja števila so identitete, na primer a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 in a+(−a)=0 . Tudi identitete so

Osnovne lastnosti seštevanja in množenja števil.

Komutativna lastnost seštevanja: ko se členi prerazporedijo, se vrednost vsote ne spremeni. Za poljubna števila a in b velja enakost

Asociativna lastnost seštevanja: če želite vsoti dveh številk dodati še tretje število, lahko prvemu številu dodate vsoto drugega in tretjega. Za poljubna števila a, b in c velja enakost

Komutativna lastnost množenja: permutacija faktorjev ne spremeni vrednosti produkta. Za poljubna števila a, b in c velja enakost

Asociativna lastnost množenja: če želite pomnožiti zmnožek dveh števil s tretjim številom, lahko prvo število pomnožite z zmnožkom drugega in tretjega.

Za poljubna števila a, b in c velja enakost

Distributivna lastnost: Če želite število pomnožiti z vsoto, lahko to število pomnožite z vsakim izrazom in seštejete rezultate. Za poljubna števila a, b in c velja enakost

Iz komutativnih in asociativnih lastnosti seštevanja izhaja, da lahko v poljubni vsoti izraze preurejate po želji in jih poljubno kombinirate v skupine.

Primer 1. Izračunajmo vsoto 1,23+13,5+4,27.

Če želite to narediti, je priročno kombinirati prvi izraz s tretjim. Dobimo:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

To izhaja iz komutativnih in asociativnih lastnosti množenja: v katerem koli produktu lahko faktorje na kakršen koli način prerazporedite in jih poljubno združite v skupine.

2. primer Poiščimo vrednost produkta 1,8 0,25 64 0,5.

Če združimo prvi faktor s četrtim in drugega s tretjim, bomo imeli:

1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 = 14,4.

Lastnost porazdelitve velja tudi, če se število pomnoži z vsoto treh ali več členov.

Na primer, za poljubna števila a, b, c in d je enakost resnična

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Vemo, da lahko odštevanje nadomestimo z seštevanjem tako, da minuendu dodamo nasprotno število odštevanju:

To omogoča številski izraz tip a-b upoštevajmo vsoto številk a in -b, štejemo številčni izraz oblike a + b-c-d kot vsoto številk a, b, -c, -d itd. Upoštevane lastnosti dejanj veljajo tudi za takšne vsote.

Primer 3 Poiščimo vrednost izraza 3,27-6,5-2,5+1,73.

Ta izraz je vsota številk 3,27, -6,5, -2,5 in 1,73. Z uporabo lastnosti seštevanja dobimo: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Primer 4. Izračunajmo produkt 36·().

Množitelj si lahko predstavljamo kot vsoto številk in -. Z uporabo distribucijske lastnosti množenja dobimo:

36()=36-36=9-10=-1.

identitete

Opredelitev. Za dva izraza, katerih ustrezne vrednosti so enake za katero koli vrednost spremenljivk, pravimo, da sta identično enaka.

Opredelitev. Enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk, se imenuje identiteta.

Poiščimo vrednosti izrazov 3(x+y) in 3x+3y za x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Dobili smo enak rezultat. Iz distribucijske lastnosti izhaja, da so na splošno za vse vrednosti spremenljivk ustrezne vrednosti izrazov 3(x+y) in 3x+3y enake.

Poglejmo zdaj izraza 2x+y in 2xy. Za x=1, y=2 imajo enake vrednosti:

Lahko pa določite vrednosti x in y, tako da vrednosti teh izrazov niso enake. Na primer, če je x=3, y=4, potem

Izraza 3(x+y) in 3x+3y sta identično enaka, izraza 2x+y in 2xy pa nista identično enaka.

Enakost 3(x+y)=x+3y, ki velja za vse vrednosti x in y, je identiteta.

Prave številčne enakosti se štejejo tudi za identitete.

Torej so identitete enakosti, ki izražajo glavne lastnosti dejanj na številkah:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Navedemo lahko druge primere identitet:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identitetne transformacije izrazov

Zamenjava enega izraza z drugim, ki mu je enaka, se imenuje identična transformacija ali preprosto transformacija izraza.

Podobne transformacije izrazov s spremenljivkami se izvajajo na podlagi lastnosti operacij nad števili.

Če želite najti vrednost izraza xy-xz glede na vrednosti x, y, z, morate izvesti tri korake. Na primer, z x=2,3, y=0,8, z=0,2 dobimo:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Ta rezultat je mogoče dobiti v samo dveh korakih z uporabo izraza x(y-z), ki je identično enak izrazu xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Izračune smo poenostavili tako, da smo izraz xy-xz zamenjali z enako enakim izrazom x(y-z).

Transformacije identitete izrazov se pogosto uporabljajo pri izračunu vrednosti izrazov in reševanju drugih problemov. Nekatere enake transformacije so že bile izvedene, na primer redukcija podobnih izrazov, odpiranje oklepajev. Spomnite se pravil za izvedbo teh transformacij:

da prinesete podobne izraze, morate sešteti njihove koeficiente in rezultat pomnožiti s skupnim črkovnim delom;

če je pred oklepaji znak plus, lahko oklepaje izpustimo in ohranimo predznak vsakega izraza v oklepaju;

če je pred oklepaji znak minus, lahko oklepaje izpustimo tako, da spremenimo predznak vsakega izraza v oklepaju.

Primer 1. Seštejmo podobne člene v vsoti 5x+2x-3x.

Za zmanjševanje podobnih izrazov uporabljamo pravilo:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ta transformacija temelji na distribucijski lastnosti množenja.

2. primer Razširimo oklepaje v izrazu 2a+(b-3c).

Uporaba pravila za odpiranje oklepajev, pred katerimi je znak plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Izvedena transformacija temelji na asociativni lastnosti seštevanja.

3. primer Razširimo oklepaje v izrazu a-(4b-c).

Uporabimo pravilo za razširitvene oklepaje, pred katerimi je znak minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Izvedena transformacija temelji na distribucijski lastnosti množenja in asociativni lastnosti seštevanja. Pokažimo. Predstavljajmo drugi izraz -(4b-c) v tem izrazu kot produkt (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Z uporabo teh lastnosti dejanj dobimo:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Pri študiju algebre smo naleteli na pojma polinoma (na primer ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ in tako naprej) in algebraičnega ulomka (npr. $\frac(x+5)(x) )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ itd.) Podobnost teh konceptov je, da tako v polinomih kot v algebrskih ulomkih obstaja so spremenljivke in številčne vrednosti, aritmetične operacije: seštevanje, odštevanje, množenje, stopnjevanje. Razlika med tema konceptoma je v tem, da se deljenje s spremenljivko ne izvaja v polinomih, medtem ko se delitev s spremenljivko lahko izvede v algebraičnih ulomkih.

Tako polinomi kot algebraični ulomki se v matematiki imenujejo racionalni algebraični izrazi. Toda polinomi so celoštevilski racionalni izrazi, algebraični ulomki pa so delno racionalno izrazi.

Lahko se pridobi iz frakcij - racionalno izražanje cel algebraični izraz z uporabo identične transformacije, ki bo v tem primeru glavna lastnost ulomka - redukcija ulomkov. Preverimo v praksi:

Primer 1

Pretvorba:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Odločitev: Pretvori Given frakcijska racionalna enačba mogoče z uporabo glavne lastnosti frakcije - okrajšave, tj. deljenje števca in imenovalca z istim številom ali izrazom, ki ni $0$.

Tega ulomka ni mogoče takoj zmanjšati, potrebno je pretvoriti števec.

Izraz pretvorimo v števec ulomka, za to uporabimo formulo za kvadrat razlike: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Ulomek ima obliko

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\levo(x-2\desno)(x-2))(x-2)\]

Zdaj vidimo, da je v števcu in imenovalcu skupni faktor - to je izraz $x-2$, na katerem bomo zmanjšali ulomek

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\levo(x-2\desno)(x-2))(x-2)=x-2\]

Po redukciji smo dobili, da je prvotni delno-racionalni izraz $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ postal polinom $x-2$, tj. povsem racionalno.

Zdaj bodimo pozorni na dejstvo, da lahko izraza $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ in $x-2\ $ štejemo za enake ne za vse vrednosti spremenljivke, ker da obstaja ulomno-racionalni izraz in da je mogoča redukcija s polinomom $x-2$, imenovalec ulomka ne sme biti enak $0$ (kot tudi faktor, s katerim zmanjšamo. V ta primer imenovalec in množitelj sta enaka, vendar ni vedno tako).

Vrednosti spremenljivk, za katere bo obstajal algebraični ulomek, se imenujejo veljavne spremenljivke vrednosti.

Na imenovalec ulomka postavimo pogoj: $x-2≠0$, nato $x≠2$.

Torej sta izraza $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ in $x-2$ enaka za vse vrednosti spremenljivke razen $2$.

Opredelitev 1

identično enaki Izrazi so tisti, ki so enaki za vse možne vrednosti spremenljivke.

Identična transformacija je vsaka zamenjava prvotnega izraza z identično enakim izrazom, ki vključuje naslednja dejanja: seštevanje, odštevanje, množenje, oklepaje algebraične ulomke na skupni imenovalec, redukcijo algebraičnih ulomkov, redukcijo podobnih členov itd. Upoštevati je treba, da lahko številne transformacije, kot je zmanjšanje, zmanjšanje podobnih izrazov, spremenijo dovoljene vrednosti spremenljivke.

Tehnike, ki se uporabljajo za dokazovanje identitet

Pretvorite levo stran identitete v desno stran ali obratno z uporabo transformacije identitete

Zmanjšajte oba dela na isti izraz z identičnimi transformacijami

Prenesite izraze iz enega dela izraza v drugega in dokažite, da je nastala razlika enaka $0$

Katero od zgornjih metod uporabiti za dokazovanje dane identitete, je odvisno od prvotne identitete.

Primer 2

Dokaži istovetnost $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Odločitev: Za dokaz te identitete uporabimo prvo od zgornjih metod, in sicer bomo preoblikovali levo stran identitete, dokler ni enaka desni strani.

Razmislite o levi strani istovetnosti: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- je razlika dveh polinomov. V tem primeru je prvi polinom kvadrat vsote treh členov. Za kvadriranje vsote več členov uporabimo formulo:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Če želite to narediti, moramo število pomnožiti s polinomom. Spomnimo se, da moramo za to skupni faktor zunaj oklepajev pomnožiti z vsakim členom polinoma v oklepajih. Potem dobimo:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Zdaj se vrnimo k prvotnemu polinomu, ki bo imel obliko:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Upoštevajte, da je pred oklepajem znak "-", kar pomeni, da se ob odpiranju oklepajev vsi znaki, ki so bili v oklepaju, obrnejo.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Če prinesemo podobne izraze, potem dobimo, da se monomi $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ in $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ drug drugega izničijo, tj. njihova vsota je enaka $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Tako smo z enakimi transformacijami dobili enak izraz na levi strani prvotne identitete

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Upoštevajte, da dobljeni izraz kaže, da je prvotna identiteta resnična.

Upoštevajte, da so v izvirni identiteti dovoljene vse vrednosti spremenljivke, kar pomeni, da smo identiteto dokazali z identičnimi transformacijami in velja za vse dovoljene vrednosti spremenljivke.