Redukcija algebraičnih ulomkov: pravilo, primeri. Kako rešiti algebraične ulomke? Teorija in praksa

Ulomki in njihovo zmanjševanje je še ena tema, ki se začne v 5. razredu. Tu se oblikuje osnova tega dejanja, nato pa te veščine potegnejo za nit v višjo matematiko. Če se učenec ni naučil, ima lahko težave pri algebri. Zato je bolje enkrat za vselej razumeti nekaj pravil. In zapomnite si eno prepoved in je nikoli ne kršite.

Frakcija in njeno zmanjšanje

Kaj je to, ve vsak študent. Kateri koli dve števki, ki se nahajata med vodoravno črto, se takoj zaznata kot ulomek. Vendar pa vsi ne razumejo, da lahko to postane katero koli število. Če je celo število, ga lahko vedno delimo z eno, dobimo napačen ulomek. Toda več o tem kasneje.

Začetek je vedno preprost. Najprej morate ugotoviti, kako zmanjšati pravi ulomek. To je tisti, katerega števec je manjši od imenovalca. Če želite to narediti, se morate spomniti glavne lastnosti ulomka. Navaja, da pri hkratnem množenju (kot tudi deljenju) njegovega števca in imenovalca z istim številom dobimo enakovredni izvirni ulomek.

Dejanja delitve, ki se izvajajo na tej lastnosti, povzročijo zmanjšanje. Se pravi, njegova največja poenostavitev. Ulomek se lahko zmanjša, dokler obstajajo skupni faktorji nad in pod črto. Ko jih ni več, je zmanjšanje nemogoče. In pravijo, da je ta ulomek nezmanjšljiv.

dva načina

1.Korak za korakom zmanjšanje. Uporablja metodo ugibanja, ko sta obe številki deljeni z najmanjšim skupnim faktorjem, ki ga je učenec opazil. Če je po prvem zmanjšanju jasno, da to še ni konec, se delitev nadaljuje. Dokler ulomek ne postane nezmanjšljiv.

2. Iskanje največjega skupnega delitelja števca in imenovalca. To je najbolj racionalen način za zmanjšanje ulomkov. Vključuje faktoriranje števca in imenovalca v prafaktorje. Med njimi morate izbrati vse enako. Njihov produkt bo dal največji skupni faktor, s katerim se zmanjša frakcija.

Obe metodi sta enakovredni. Študent je povabljen, da jih obvlada in uporabi tisto, ki mu je najbolj všeč.

Kaj pa, če obstajajo črke in operacije seštevanja in odštevanja?

S prvim delom vprašanja je vse bolj ali manj jasno. Črke lahko skrajšamo tako kot številke. Glavna stvar je, da delujejo kot množitelji. Toda z drugim imajo mnogi težave.

Pomembno si je zapomniti! Zmanjšate lahko samo številke, ki so dejavniki. Če so pogoji, je nemogoče.

Če želite razumeti, kako zmanjšati ulomke, ki izgledajo kot algebraični izraz, se morate naučiti pravila. Najprej izrazite števec in imenovalec kot produkt. Potem lahko zmanjšate, če obstajajo skupni dejavniki. Za predstavitev kot množitelje so koristni naslednji triki:

• združevanje v skupine;
• oklepaje;
• uporaba skrajšanega množenja.

Poleg tega slednja metoda omogoča takojšnje pridobivanje pogojev v obliki faktorjev. Zato ga je treba vedno uporabiti, če je viden znan vzorec.

Toda to še ni strašljivo, potem se pojavijo naloge s stopnjami in koreninami. Takrat morate zbrati pogum in se naučiti nekaj novih pravil.

Izraz moči

Ulomek. Zmnožek v števcu in imenovalcu. Obstajajo črke in številke. In tudi povzdignjeni so na moč, ki je prav tako sestavljena iz izrazov ali dejavnikov. Nečesa se je treba bati.

Da bi ugotovili, kako zmanjšati ulomke s potenci, se morate naučiti dveh točk:

• če je v eksponentu vsota, jo je mogoče razstaviti na faktorje, katerih moči bodo izvirni izrazi;
• če je razlika, potem v dividendo in delilec, bo prvi v stopnji zmanjšan, drugi - odšteti.

Po zaključku teh korakov postanejo vidni skupni množitelji. V takih primerih ni treba izračunati vseh moči. Dovolj je, da preprosto zmanjšate stopnje z enakimi kazalniki in bazami.

Da bi končno obvladali, kako zmanjšati ulomke s potenci, potrebujete veliko vaje. Po več primerih iste vrste se dejanja izvedejo samodejno.

Kaj pa, če izraz vsebuje koren?

Lahko se tudi skrajša. Še enkrat, samo upoštevajte pravila. Poleg tega vse zgoraj opisano drži. Na splošno, če je vprašanje, kako zmanjšati ulomek s koreninami, potem morate razdeliti.

Lahko ga razdelimo tudi na iracionalne izraze. To pomeni, da če imata števec in imenovalec enake faktorje pod znakom korena, jih je mogoče varno zmanjšati. To bo poenostavilo izraz in opravilo delo.

Če po zmanjšanju ostane neracionalnost pod črto ulomka, se je morate znebiti. Z drugimi besedami, pomnožite števec in imenovalec z njim. Če so se po tej operaciji pojavili skupni dejavniki, jih bo treba ponovno zmanjšati.

To je morda vse o tem, kako zmanjšati ulomke. Malo pravil, a ena prepoved. Nikoli ne skrajšajte rokov!

V tem članku se bomo osredotočili na redukcija algebraičnih ulomkov. Najprej ugotovimo, kaj pomeni izraz "redukcija algebraičnega ulomka" in ugotovimo, ali je algebraični ulomek vedno reducibilen. Nato podamo pravilo, ki nam omogoča izvedbo te transformacije. Na koncu razmislite o rešitvah tipičnih primerov, ki bodo omogočili razumevanje vseh tankosti postopka.

Navigacija po straneh.

Kaj pomeni zmanjšati algebraični ulomek?

Med študijem smo se pogovarjali o njihovem zmanjšanju. poimenovali smo delitev njenega števca in imenovalca s skupnim faktorjem. Na primer, navadni ulomek 30/54 lahko zmanjšamo za 6 (to je, deljeno s 6, njegov števec in imenovalec), kar nas bo pripeljalo do ulomka 5/9.

Zmanjšanje algebraičnega ulomka se razume kot podobno dejanje. Zmanjšaj algebraični ulomek je deliti njegov števec in imenovalec s skupnim faktorjem. Če pa je skupni faktor števca in imenovalca navadnega ulomka lahko samo število, je lahko skupni faktor števca in imenovalca algebraičnega ulomka polinom, zlasti monom ali število.

Na primer, algebraični ulomek se lahko zmanjša s številom 3, ki daje ulomek . Možno je tudi zmanjšati spremenljivko x , kar bo povzročilo izraz . Prvotni algebraični ulomek lahko zmanjšamo z monomom 3 x, pa tudi s katerim koli polinomom x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y ali 3 x 2 +6 x y.

Končni cilj zmanjševanja algebraičnega ulomka je dobiti ulomek enostavnejše oblike, v najboljšem primeru nezmanjšljiv ulomek.

Ali je kateri koli algebraični ulomek podvržen redukciji?

Vemo, da so navadni ulomki razdeljeni na . Nezmanjšljivi ulomki nimajo skupnih faktorjev razen enote v števcu in imenovalcu, zato jih ni mogoče zmanjšati.

Algebraični ulomki imajo lahko skupni števec in imenovalec ali pa tudi ne. V prisotnosti skupnih faktorjev je mogoče zmanjšati algebraični ulomek. Če ni skupnih dejavnikov, potem je poenostavitev algebraičnega ulomka z njegovo redukcijo nemogoča.

V splošnem primeru je s pojavom algebraičnega ulomka precej težko ugotoviti, ali je mogoče izvesti njegovo redukcijo. Nedvomno so v nekaterih primerih skupni faktorji števca in imenovalca očitni. Na primer, jasno je razvidno, da imata števec in imenovalec algebraičnega ulomka skupni faktor 3. Prav tako je enostavno videti, da je algebraični ulomek mogoče zmanjšati za x, za y ali takoj za x·y. Toda veliko pogosteje skupni faktor števca in imenovalca algebraičnega ulomka ni takoj viden, še pogosteje pa preprosto ne obstaja. Na primer, ulomek je mogoče zmanjšati za x−1, vendar ta skupni faktor očitno ni prisoten v zapisu. In algebraični ulomek ni mogoče zmanjšati, ker njen števec in imenovalec nimata skupnih faktorjev.

Na splošno je vprašanje kontraktilnosti algebraičnega ulomka zelo težko. In včasih je lažje rešiti problem z delom z algebraičnim ulomkom v izvirni obliki, kot pa ugotoviti, ali je ta ulomek mogoče predhodno zmanjšati. Toda kljub temu obstajajo transformacije, ki v nekaterih primerih omogočajo, da z razmeroma malo truda najdemo skupne faktorje števca in imenovalca, če obstajajo, ali sklepamo, da je prvotni algebraični ulomek nezmanjšljiv. Te informacije bodo razkrite v naslednjem odstavku.

Algebraično pravilo redukcije ulomkov

Informacije iz prejšnjih odstavkov vam omogočajo, da naravno zaznate naslednje algebraično pravilo redukcije ulomkov, ki je sestavljen iz dveh korakov:

• najprej se najdejo skupni faktorji števca in imenovalca prvotnega ulomka;
• če obstaja, se izvede zmanjšanje s temi dejavniki.

Te korake napovedanega pravila je treba pojasniti.

Najprimernejši način za iskanje skupnih je faktorizacija polinomov, ki so v števcu in imenovalcu prvotnega algebraičnega ulomka. V tem primeru takoj postanejo vidni skupni faktorji števca in imenovalca ali pa postane jasno, da skupnih faktorjev ni.

Če ni skupnih faktorjev, lahko sklepamo, da je algebraični ulomek nereducibilen. Če najdemo skupne dejavnike, jih v drugem koraku zmanjšamo. Rezultat je nov ulomek enostavnejše oblike.

Pravilo redukcije algebrskih ulomkov temelji na glavni lastnosti algebraičnega ulomka, ki je izražena z enakostjo , kjer sta a , b in c nekaj polinomov, b in c pa nista nič. V prvem koraku se izvirni algebraični ulomek reducira na obliko , iz katere postane viden skupni faktor c, v drugem koraku pa se izvede redukcija - prehod na ulomek .

Pojdimo na reševanje primerov z uporabo tega pravila. Na njih bomo analizirali vse možne nianse, ki nastanejo pri razgradnji števca in imenovalca algebraičnega ulomka na faktorje in kasnejšem redukciji.

Tipični primeri

Najprej morate povedati o redukciji algebraičnih ulomkov, katerih števec in imenovalec sta enaka. Takšni ulomki so identično enaki eni na celotnem ODZ spremenljivk, ki so vključene v njem, npr.
itd.

Zdaj se ne boli spomniti, kako se izvaja redukcija navadnih ulomkov - navsezadnje so to poseben primer algebričnih ulomkov. Naravna števila v števcu in imenovalcu navadnega ulomka, po katerih se skupni faktorji zmanjšajo (če obstajajo). na primer . Zmnožek enakih prafaktorjev lahko zapišemo v obliki stopinj in ko zmanjšamo, uporabimo. V tem primeru bi bila rešitev videti takole: , tukaj smo števec in imenovalec razdelili s skupnim faktorjem 2 2 3 . Ali pa je za večjo jasnost na podlagi lastnosti množenja in deljenja rešitev predstavljena v obliki.

Po popolnoma podobnih načelih se izvaja redukcija algebrskih ulomkov, v števcu in imenovalcu katerih so monomi s celimi koeficienti.

Primer.

Zmanjšaj algebraični ulomek .

Odločitev.

Števec in imenovalec prvotnega algebraskega ulomka lahko predstavite kot produkt preprostih faktorjev in spremenljivk, nato pa izvedete redukcijo:

Toda bolj racionalno je rešitev zapisati kot izraz s pooblastili:

odgovor:

.

Kar zadeva redukcijo algebričnih ulomkov, ki imajo ulomne številske koeficiente v števcu in imenovalcu, lahko storite dve stvari: bodisi ločeno razdelite te ulomne koeficiente ali pa se najprej znebite ulomnih koeficientov tako, da pomnožite števec in imenovalec z nekim naravnim številom. O zadnji transformaciji smo govorili v članku, ki algebraični ulomek pripelje do novega imenovalca, ki ga je mogoče izvesti zaradi glavne lastnosti algebraičnega ulomka. Opravimo se s tem s primerom.

Primer.

Izvedite zmanjšanje frakcije.

Odločitev.

Ulomek lahko zmanjšate takole: .

Ulomnih koeficientov se je bilo mogoče znebiti najprej tako, da pomnožimo števec in imenovalec z imenovalci teh koeficientov, torej z LCM(5, 10)=10 . V tem primeru imamo .

odgovor:

.

Lahko se premaknete na algebraične ulomke splošne oblike, v katerih lahko števec in imenovalec vsebujeta tako števila kot monome, pa tudi polinome.

Pri zmanjševanju takšnih ulomkov je glavna težava, da skupni faktor števca in imenovalca ni vedno viden. Poleg tega ne obstaja vedno. Da bi našli skupni faktor ali se prepričali, da ne obstaja, morate faktorizirati števec in imenovalec algebraičnega ulomka.

Primer.

Zmanjšajte racionalni ulomek .

Odločitev.

Za to razložimo polinome v števcu in imenovalcu. Začnimo z oklepaji: . Očitno je mogoče izraze v oklepajih pretvoriti z uporabo

Na podlagi njihove glavne lastnosti: če sta števec in imenovalec ulomka deljena z istim polinomom, ki ni nič, dobimo enak ulomek.

Zmanjšate lahko samo množitelje!

Članov polinomov ni mogoče zmanjšati!

Da bi zmanjšali algebraični ulomek, je treba polinome v števcu in imenovalcu najprej faktorizirati.

Razmislite o primerih zmanjšanja frakcij.

Števec in imenovalec ulomka sta monoma. Zastopajo delo(števila, spremenljivke in njihove stopnje), multiplikatorji lahko zmanjšamo.

Števila zmanjšamo za njihov največji skupni delilec, torej za največje število, s katerim je deljivo vsako od danih števil. Za 24 in 36 je to 12. Po zmanjšanju s 24 ostaneta 2, s 36 - 3.

Stopnje zmanjšamo za stopnjo z najmanjšim indikatorjem. Zmanjšati ulomek pomeni deliti števec in imenovalec z istim deliteljem ter odšteti eksponente.

a² in a⁷ se zmanjšata za a². Hkrati ostane ena v števcu od a² (1 zapišemo le, če po redukciji ni drugih faktorjev. 2 ostane od 24, zato ne zapišemo 1, ki ostane od a²). Od a⁷ po redukciji ostane a⁵.

b in b sta skrajšana z b, nastale enote niso zapisane.

c³º in c⁵ se zmanjšata za c⁵. Od c³º ostane c²⁵, od c⁵ - enota (ne pišemo). tako,

Števec in imenovalec tega algebraičnega ulomka sta polinoma. Nemogoče je zmanjšati člane polinomov! (ni mogoče zmanjšati, na primer 8x² in 2x!). Za zmanjšanje tega deleža je potrebno. Števec ima skupni faktor 4x. Vzemimo iz oklepajev:

Tako števec kot imenovalec imata enak faktor (2x-3). S tem faktorjem zmanjšamo ulomek. V števcu smo dobili 4x, v imenovalcu 1. Glede na 1 lastnost algebrskih ulomkov je ulomek 4x.

Zmanjšate lahko samo faktorje (danega ulomka ne morete zmanjšati za 25x²!). Zato je treba polinome v števcu in imenovalcu ulomka faktorizirati.

Števec je polni kvadrat vsote, imenovalec pa razlika kvadratov. Po razširitvi s formulami skrajšanega množenja dobimo:

Ulomek zmanjšamo za (5x + 1) (da to naredite, prečrtajte dva v števcu kot eksponent, iz (5x + 1) ² bo ostalo (5x + 1)):

Števec ima skupni faktor 2, vzamemo ga iz oklepajev. V imenovalcu - formula za razliko kock:

Kot rezultat razširitve v števcu in imenovalcu smo dobili enak faktor (9 + 3a + a²). Zmanjšamo ulomek na njem:

Polinom v števcu je sestavljen iz 4 členov. prvi člen z drugim, tretji s četrtim in iz prvih oklepajev vzamemo skupni faktor x². Imenovalec razstavimo po formuli za vsoto kock:

V števcu vzamemo skupni faktor (x + 2) iz oklepajev:

Ulomek zmanjšamo za (x + 2):

Ta članek nadaljuje temo preoblikovanja algebričnih ulomkov: razmislite o takem dejanju, kot je redukcija algebrskih ulomkov. Opredelimo sam izraz, formulirajmo pravilo okrajšav in analizirajmo praktične primere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pomen okrajšave algebraične frakcije

Pri materialih na navadni frakciji smo upoštevali njeno redukcijo. Zmanjšanje navadnega ulomka smo definirali kot deljenje njegovega števca in imenovalca s skupnim faktorjem.

Zmanjšanje algebraičnega ulomka je podobna operacija.

Opredelitev 1

Algebraično zmanjšanje ulomkov je deljenje njegovega števca in imenovalca s skupnim faktorjem. V tem primeru lahko za razliko od redukcije navadnega ulomka (samo število je skupni imenovalec) polinom, zlasti monom ali število, služi kot skupni faktor za števec in imenovalec algebraičnega ulomka.

Na primer, algebraični ulomek 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 lahko zmanjšamo za število 3, tako dobimo: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Isti ulomek lahko zmanjšamo s spremenljivko x in to nam bo dalo izraz 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Možno je tudi zmanjšati dani ulomek z monomom 3 x ali kateri koli polinom x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y oz 3 x 2 + 6 x y.

Končni cilj zmanjševanja algebraičnega ulomka je ulomek enostavnejše oblike, v najboljšem primeru nezmanjšljiv ulomek.

Ali so vsi algebraični ulomki predmet redukcije?

Spet iz materialov o navadnih frakcijah vemo, da obstajajo reduktivne in neredčljive frakcije. Nezmanjšljivi - to so ulomki, ki nimajo skupnih faktorjev števca in imenovalca, razen 1.

Pri algebraičnih ulomkih je vse enako: lahko imajo skupne faktorje števca in imenovalca ali pa tudi ne. Prisotnost skupnih faktorjev vam omogoča, da poenostavite prvotni ulomek z zmanjšanjem. Če ni skupnih faktorjev, je nemogoče optimizirati dani ulomek z metodo redukcije.

V splošnih primerih je za določeno vrsto frakcije precej težko razumeti, ali je predmet zmanjšanja. Seveda je v nekaterih primerih prisotnost skupnega faktorja števca in imenovalca očitna. Na primer, v algebraičnem ulomku 3 · x 2 3 · y je povsem jasno, da je skupni faktor število 3 .

V ulomku - x · y 5 · x · y · z 3 tudi takoj razumemo, da ga je mogoče zmanjšati za x, ali y ali za x · y. In vendar so primeri algebrskih ulomkov veliko bolj pogosti, ko skupnega faktorja števca in imenovalca ni tako enostavno videti, še pogosteje pa - preprosto ni.

Ulomek x 3 - 1 x 2 - 1 lahko na primer zmanjšamo za x - 1, medtem ko podanega skupnega faktorja ni v zapisu. Toda ulomka x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ni mogoče zmanjšati, saj števec in imenovalec nimata skupnega faktorja.

Tako vprašanje ugotavljanja krčljivosti algebraičnega ulomka ni tako preprosto in pogosto je lažje delati z ulomkom dane oblike kot poskušati ugotoviti, ali je krčljiv. V tem primeru se zgodijo takšne transformacije, ki nam v določenih primerih omogočajo določitev skupnega faktorja števca in imenovalca ali sklepanje, da je ulomek nereducibilen. To vprašanje bomo podrobno analizirali v naslednjem odstavku članka.

Algebraično pravilo redukcije ulomkov

Algebraično pravilo redukcije ulomkov je sestavljen iz dveh zaporednih korakov:

• iskanje skupnih faktorjev števca in imenovalca;
• v primeru iskanja takega izvedba neposrednega delovanja zmanjševanja ulomka.

Najprimernejša metoda za iskanje skupnih imenovalcev je faktorizacija polinomov, ki so prisotni v števcu in imenovalcu danega algebraičnega ulomka. To vam omogoča, da takoj vizualno vidite prisotnost ali odsotnost skupnih dejavnikov.

Sama akcija redukcije algebraičnega ulomka temelji na glavni lastnosti algebraičnega ulomka, izraženi z enakostjo undefined , kjer sta a , b , c nekaj polinomov, b in c pa nista nič. Prvi korak je, da ulomek zmanjšamo na obliko a c b c , pri čemer takoj opazimo skupni faktor c . Drugi korak je izvedba redukcije, t.j. prehod v ulomek oblike a b .

Tipični primeri

Kljub nekaj očitnosti pa pojasnimo o posebnem primeru, ko sta števec in imenovalec algebraičnega ulomka enaka. Podobni ulomki so identično enaki 1 na celotnem ODZ spremenljivk tega ulomka:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Ker so navadni ulomki poseben primer algebrskih ulomkov, se spomnimo, kako se zmanjšajo. Naravna števila, zapisana v števcu in imenovalcu, se razstavijo na prafaktorje, nato pa se skupni faktorji zmanjšajo (če obstajajo).

Na primer, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Zmnožek preprostih enakih faktorjev lahko zapišemo kot stopnje in v procesu zmanjševanja ulomkov uporabimo lastnost deljenja stopenj z enakimi osnovami. Potem bi bila zgornja rešitev:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(števec in imenovalec deljena s skupnim faktorjem 2 2 3). Ali pa zaradi jasnosti na podlagi lastnosti množenja in deljenja damo rešitvi naslednjo obliko:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Po analogiji se izvede redukcija algebrskih ulomkov, pri katerih imata števec in imenovalec monome s celimi koeficienti.

Primer 1

Podan algebraični ulomek - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Treba ga je zmanjšati.

Odločitev

Števec in imenovalec danega ulomka je mogoče zapisati kot produkt prafaktorjev in spremenljivk in nato zmanjšati:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Vendar pa bi bil bolj racionalen način, če bi rešitev zapisali kot izraz s pooblastili:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

odgovor:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Ko so v števcu in imenovalcu algebrskega ulomka ulomni številčni koeficienti, sta možna dva načina za nadaljnja dejanja: bodisi ločeno razdelite te ulomne koeficiente ali se najprej znebite ulomnih koeficientov tako, da pomnožite števec in imenovalec z nekim naravnim številom. . Zadnja transformacija se izvede zaradi glavne lastnosti algebraičnega ulomka (o tem si lahko preberete v članku "Zmanjšanje algebraičnega ulomka na nov imenovalec").

Primer 2

Podan ulomek 2 5 x 0 , 3 x 3 . Treba ga je zmanjšati.

Odločitev

Ulomek je mogoče zmanjšati na ta način:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Poskusimo rešiti problem drugače, saj smo se prej znebili ulomnih koeficientov - števec in imenovalec pomnožimo z najmanjšim skupnim večkratnikom imenovalcev teh koeficientov, t.j. na LCM(5, 10) = 10. Potem dobimo:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Odgovor: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Ko reduciramo splošne algebraične ulomke, pri katerih so števci in imenovalci lahko monomi in polinomi, je možen problem, ko skupni faktor ni vedno viden takoj. Ali več kot to, preprosto ne obstaja. Nato se za določitev skupnega faktorja ali določitev dejstva njegove odsotnosti faktorizirata števec in imenovalec algebraičnega ulomka.

Primer 3

Dani racionalni ulomek 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Treba ga je skrajšati.

Odločitev

Razložimo polinome v števcu in imenovalcu. Naredimo oklepaje:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vidimo, da je izraz v oklepajih mogoče pretvoriti z uporabo skrajšanih formul za množenje:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jasno je razvidno, da je mogoče ulomek zmanjšati s skupnim faktorjem b 2 (a + 7). Naredimo znižanje:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Kratko rešitev brez pojasnila zapišemo kot verigo enakosti:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

odgovor: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Zgodi se, da se skupni faktorji skrijejo s številčnimi koeficienti. Potem je pri redukciji ulomkov optimalno izvzeti številčne faktorje pri višjih potenjih števca in imenovalca.

Primer 4

Podan algebraični ulomek 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Če je mogoče, ga je treba zmanjšati.

Odločitev

Na prvi pogled števec in imenovalec nimata skupnega imenovalca. Vendar pa poskusimo pretvoriti dani ulomek. V števcu vzamemo faktor x:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Zdaj lahko vidite nekaj podobnosti med izrazom v oklepajih in izrazom v imenovalcu zaradi x 2 y . Vzemimo številčne koeficiente pri višjih potekih teh polinomov:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Zdaj postane skupni množitelj viden, izvedemo zmanjšanje:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

odgovor: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Naj poudarimo, da je spretnost zmanjševanja racionalnih ulomkov odvisna od sposobnosti faktorizacije polinomov.

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Na prvi pogled se zdijo algebraični ulomki zelo zapleteni in nepripravljen učenec lahko pomisli, da je z njimi nemogoče storiti ničesar. Kopičenje spremenljivk, številk in celo moči vzbuja strah. Vendar pa se za zmanjševanje ulomkov (na primer 15/25) in algebraičnih ulomkov uporabljajo ista pravila.

Koraki

Zmanjšanje frakcije

Naučite se delati s preprostimi ulomki. Operacije z navadnimi in algebrskimi ulomki so podobne. Na primer, vzemite ulomek 15/35. Da poenostavimo ta ulomek, poiščite skupni delilec. Obe številki sta deljivi s pet, zato lahko v števcu in imenovalcu izvlečemo 5:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Zdaj lahko zmanjšati skupne dejavnike, torej prečrtaj 5 v števcu in imenovalcu. Kot rezultat dobimo poenostavljen ulomek 3/7 . V algebraičnih izrazih se skupni faktorji razlikujejo na enak način kot v navadnih. V prejšnjem primeru smo zlahka izluščili 5 od 15 – enako načelo velja za bolj zapletene izraze, kot je 15x – 5. Poiščimo skupni faktor. V tem primeru bo 5, saj sta oba člena (15x in -5) deljiva s 5. Kot prej izberemo skupni faktor in ga prenesemo levo.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Če želite preveriti, ali je vse pravilno, je dovolj, da izraz v oklepaju pomnožite s 5 - rezultat bodo enake številke, kot so bile sprva. Kompleksne izraze lahko ločimo na enak način kot preproste. Za algebraične ulomke veljajo enaka načela kot za navadne ulomke. To je najlažji način za zmanjšanje ulomka. Razmislite o naslednjem ulomku:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Upoštevajte, da imata tako števec (zgoraj) kot imenovalec (spodaj) člen (x+2), zato ga je mogoče zmanjšati na enak način kot skupni faktor 5 v 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Kot rezultat dobimo poenostavljen izraz: (x-3)/(x+10)

Zmanjšanje algebraičnih ulomkov

Poiščite skupni faktor v števcu, to je na vrhu ulomka. Pri redukciji algebraičnega ulomka je prvi korak poenostavitev obeh njegovih delov. Začnite s števcem in ga poskusite razložiti na čim več faktorjev. V tem razdelku razmislite o naslednjem ulomku:

9x-3 15x+6

Začnimo s števcem: 9x - 3. Za 9x in -3 je skupni faktor število 3. Vzemimo 3 iz oklepajev, tako kot pri navadnih številih: 3 * (3x-1). Kot rezultat te pretvorbe bomo dobili naslednji ulomek:

3 (3x-1) 15x+6

Poiščite skupni faktor v števcu. Nadaljujmo z izvedbo zgornjega primera in izpišemo imenovalec: 15x+6. Kot prej najdemo, s katerim številom sta oba dela deljiva. In v tem primeru je skupni faktor 3, tako da lahko zapišemo: 3 * (5x +2). Prepišimo ulomek v naslednji obliki:

3 (3x-1) 3 (5x+2)

Zmanjšajte identične izraze. V tem koraku lahko poenostavite ulomek. Prekliči iste člene v števcu in imenovalcu. V našem primeru je to število 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Ugotovite, da ima ulomek najpreprostejšo obliko. Ulomek je popolnoma poenostavljen, če v števcu in imenovalcu ni več skupnih faktorjev. Upoštevajte, da izrazov, ki so v oklepajih, ne morete skrajšati – v zgornjem primeru ni mogoče izvleči x iz 3x in 5x, saj sta (3x -1) in (5x + 2) polnopravna člana. Tako ulomka ni mogoče dodatno poenostaviti, končni odgovor pa je naslednji:

(3x-1)(5x+2)

Vadite zmanjševanje ulomkov sami. Najboljši način za učenje metode je, da sami rešite težave. Pravilni odgovori so navedeni pod primeri.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

odgovor:(x=13)

2x 2-x 5x

odgovor:(2x-1)/5

Posebne poteze

Premaknite negativni predznak iz ulomka. Recimo, da smo dobili naslednji ulomek:

3 (x-4) 5 (4x)

Upoštevajte, da sta (x-4) in (4-x) "skoraj" enaka, vendar ju ni mogoče dokončno preklicati, ker sta "obrnjena". Vendar pa (x - 4) lahko zapišemo kot -1 * (4 - x), tako kot (4 + 2x) lahko zapišemo kot 2 * (2 + x). To se imenuje "obrnitev znakov".

-1*3(4-x) 5 (4x)

Zdaj lahko zmanjšate iste izraze (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Tu je torej končni odgovor: -3/5 . Naučite se prepoznati razliko med kvadrati. Razlika kvadratov je, ko se kvadrat enega števila odšteje od kvadrata drugega števila, kot v izrazu (a 2 - b 2). Razliko popolnih kvadratov lahko vedno razstavimo na dva dela - vsoto in razliko ustreznih kvadratnih korenov. Potem bo izraz dobil naslednjo obliko:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ta trik je zelo uporaben pri iskanju običajnih izrazov v algebraičnih ulomkih.

• Preverite, ali ste pravilno razčlenili ta ali oni izraz. Če želite to narediti, pomnožite faktorje - rezultat mora biti enak izraz.
• Za popolno poenostavitev ulomka vedno izberite največje faktorje.