doma > ISO klasifikator

Geometrijska shema za določanje verjetnosti. Geometrijska definicija verjetnosti dogodka

Kot je prikazano v razdelku Klasična definicija verjetnosti, v naključnih poskusih s končnim številom enako možnih elementarnih izidov uporabljeno klasična definicija verjetnosti.

Uvesti verjetnost dogodkov v naključnih poskusih, katerih možni izidi (elementarni izidi) so tudi enako možno in v celoti zapolni vrzel ravna črta, slika na letalu oz regija v vesolju, uporabljeno geometrijska definicija verjetnosti. Pri takih poskusih je število elementarnih rezultatov ni dokončna, zato zanje ni mogoče uporabiti klasične definicije verjetnosti.

Ponazorimo uvedbo geometrijske definicije verjetnosti s primeri.

Primer 1. Na odsek številske premice se naključno vrže točka. Poišči verjetnost, da je točka padla na odsek (slika 1).

odgovor:

Primer 2. Diagonali KM in LN kvadrata KLMN sekata v kvadrat vpisan krog v točkah E in F, točka O je središče kroga (slika 2).

V kvadrat KLMN se naključno vrže pika. Poiščite verjetnost, da bo točka padla v sektor EOF, označen z roza na sliki 2.

odgovor:

Primer 3. Točka je naključno vržena v stožec z vrhom S in osnovnim središčem O. Poišči verjetnost, da bo točka padla v okrnjen stožec, ki jo dobimo z rezanjem stožca z ravnino, ki poteka skozi središče O" višine stožca in je vzporedna z osnovo stožca (slika 3).

Rešitev . Množica elementarnih rezultatov Ω naključnega poskusa pri metanju točke je množica vseh točk stožca z vrhom S in osnovnim središčem O .

Zadetek točke v okrnjenem stožcu je eden od naključnih dogodkov, ki jih bomo označili s črko A.

Pri geometrijska definicija verjetnost dogodka A se izračuna po formuli

Naj bo R polmer osnove stožca z ogliščem S in osnovnim središčem O, H pa naj bo višina tega stožca. Potem bosta polmer osnove in višina stožca z ogliščem S in središčem osnove O" enaka

oz.

Prostornina stožca z vrhom S in osnovnim središčem O je

Klasična definicija verjetnosti ima omejitev pri uporabi. Predpostavlja se, da je niz elementarnih dogodkov Ω končen ali prešteven, tj. Ω = ( ω 1 , ω 2 , … , ω n, …), in vse ω i – enako možni elementarni dogodki. Vendar pa v praksi obstajajo testi, pri katerih je nabor osnovnih rezultatov neskončen. Na primer, pri izdelavi določenega dela na stroju je treba ohraniti določeno velikost. Tukaj je natančnost izdelave dela odvisna od spretnosti delavca, kakovosti rezalnega orodja, popolnosti stroja itd. Če se test razume kot izdelava dela, potem je kot rezultat takega testa možno neskončno število rezultatov, v tem primeru pridobivanje delov zahtevane velikosti.

Za premagovanje pomanjkljivosti klasične definicije verjetnosti se včasih uporabljajo nekateri koncepti geometrije (če seveda okoliščine testa to dopuščajo). V vseh takih primerih se predvideva možnost izvedbe (vsaj teoretično) poljubnega števila testov in koncept enaka možnost igrajo tudi pomembno vlogo.

Naj se preizkus obravnava s prostorom dogodkov, katerih osnovni izidi so predstavljeni kot točke, ki zapolnjujejo neko območje Ω (v tridimenzionalnem prostoru R 3). Naj dogodek AMPAK sestoji iz zadevanja naključno vržene točke v poddomeni D domena Ω. dogodek AMPAK daje prednost elementarnim dogodkom, pri katerih točka spada v neko poddomeno D. Potem pod verjetnostjo razvoj dogodkov AMPAK razumeli bomo razmerje volumna poddomene D(označeno območje na sliki 1.11) na prostornino površine Ω, R(AMPAK) = V(D) / V(Ω).

riž.1. 11

Tukaj, po analogiji s konceptom ugodnega izida, območje D bo imenovala ugodno za videz dogodka AMPAK. Podobno je opredeljena verjetnost dogodka AMPAK, ko je množica Ω določena površina na ravnini ali odsek na ravni črti. V teh primerih se prostornine regij nadomestijo s površinami številk oziroma dolžinami segmentov.

Tako pridemo do nove definicije - geometrijska verjetnost za teste z neskončnim neštetim nizom elementarnih dogodkov, ki je formuliran na naslednji način.

Geometrijska verjetnost dogodka A je razmerje med mero poddomene, ki daje prednost nastanku tega dogodka, in mero celotnega območja, t.j.

p(A) =mesD / mesΩ,

kje mes– meritev površin D in Ω , D Ì Ω.

Geometrijska verjetnost dogodka ima vse lastnosti, ki so neločljive v klasični definiciji verjetnosti. Na primer, 4. lastnost bi bila: R(AMPAK+ AT) = R(AMPAK) + R(AT).

Klasična definicija verjetnosti

Osnovni koncept teorije verjetnosti je koncept naključnega dogodka. Naključni dogodek se običajno imenuje dogodek, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ, pod določenimi pogoji se lahko zgodi ali pa tudi ne. Na primer, zadeti ali zgrešiti predmet pri streljanju na ta predmet z danim orožjem je naključni dogodek.

Dogodek se običajno imenuje zanesljiv, če se kot rezultat testa nujno zgodi. Običajno je dogodek imenovati nemogoč, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ se ne more zgoditi kot rezultat testa.

Za naključne dogodke se pravi, da so v danem preskušanju nedosledni, če se nobena od njih ne moreta pojaviti skupaj.

Naključni dogodki tvorijo popolno skupino, če se kateri koli od njih lahko pojavi v vsakem poskusu in se ne more pojaviti noben drug dogodek, ki ni v skladu z njimi.

Razmislite o popolni skupini enako možnih nezdružljivih naključnih dogodkov. Takšni dogodki se bodo imenovali rezultati. Rečeno je, da je izid ugoden za nastanek dogodka A, če nastop tega dogodka povzroči nastanek dogodka A.

Geometrijska definicija verjetnosti

Naključni test naj predstavljamo kot naključno metanje točke v neko geometrijsko območje G (na premico, ravnino ali prostor). Elementarni izidi so ϶ᴛᴏ ločene točke G, kateri koli dogodek je ϶ᴛᴏ podmnožica tega področja, prostor elementarnih izidov G. Predpostavimo lahko, da so vse točke G ʼʼenakeʼʼ in nato verjetnost, da točka pade v eno od Podmnožica ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ je sorazmerna svoji meri (dolžina, površina, prostornina) in ni odvisna od njene lokacije in oblike.

geometrijska verjetnost dogodek A je določen z razmerjem: , kjer so m(G), m(A) geometrijske mere (dolžine, površine ali prostornine) celotnega prostora elementarnih izidov in dogodka A.

Primer. Krog s polmerom r () je naključno vržen na ravnino, razmejeno z vzporednimi črtami širine 2d, katerih razdalja med osnimi črtami je 2D. Poišči verjetnost, da krog seka nek trak.

Rešitev. Kot osnovni rezultat tega testa bomo upoštevali razdaljo x od središča kroga do središčne črte traku, ki je najbližji krogu. Nato celoten prostor elementarnih rezultatov - segment ϶ᴛᴏ. Do preseka kroga s trakom bo prišlo, če njegovo središče pade v trak, ᴛ.ᴇ. , ali pa se nahaja od roba traku na razdalji, manjši od polmera, ᴛ.ᴇ. .

Za želeno verjetnost dobimo: .

5. Relativna pogostost dogodka je razmerje med številom poskusov, v katerih se je dogodek zgodil, in skupnim številom praktično izvedenih poskusov. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, relativna frekvenca A je podana z:

(2)kjer je m število ponovitev dogodka, n skupno število poskusov. Če primerjamo definicijo verjetnosti in relativne frekvence, sklepamo: definicija verjetnosti ne zahteva, da se testi izvajajo v resnici; definicija relativne frekvence predvideva, da so bili testi dejansko izvedeni. Z drugimi besedami, verjetnost se izračuna pred izkušnjo, relativna frekvenca pa se izračuna po izkušnji.

Primer 2. Od 80 naključno izbranih zaposlenih imajo 3 osebe resne srčne motnje. Relativna pogostnost ljudi s srčnimi boleznimi

Relativna frekvenca ali število, ki ji je blizu, se vzame kot statična verjetnost.

DEFINICIJA (statistična definicija verjetnosti). Število, h kateremu teži stabilna relativna frekvenca, se običajno imenuje statistična verjetnost tega dogodka.

6. vsota A+B dva dogodka A in B poimenujeta dogodek, sestavljen iz pojava dogodka A ali dogodka B ali obeh teh dogodkov. Na primer, če sta bila iz pištole izstreljena dva strela in je A - zadel pri prvem strelu, B - zadel pri drugem strelu, nato A + B - zadel pri prvem strelu, ali pri drugem ali v obeh strelih.

Zlasti, če sta dva dogodka A in B nezdružljiva, potem je A + B dogodek, ki sestoji iz pojava enega od teh dogodkov, ne glede na to, kateri. Seštevek več dogodkov imenovan dogodek, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ sestoji iz nastopa vsaj enega od teh dogodkov. Dogodek A + B + C je na primer sestavljen iz pojava enega od naslednjih dogodkov: A, B, C, A in B, A in C, B in C, A in B in C. Naj se dogodka A in B nezdružljivi in ​​verjetnosti teh dogodkov so znane. Kako najti verjetnost, da se bo zgodil dogodek A ali dogodek B? Odgovor na to vprašanje daje izrek o seštevanju. Izrek. Verjetnost pojava enega od dveh nezdružljivih dogodkov, ne glede na to, kateri je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:

P (A + B) = P (A) + P (B) Dokaz

Posledica. Verjetnost pojava enega od več parno nezdružljivih dogodkov, ne glede na to, kateri je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:

P (A 1 + A 2 + ... + A n) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).

Geometrijska definicija verjetnosti - pojem in vrste. Klasifikacija in značilnosti kategorije "Geometrijska definicija verjetnosti" 2017, 2018.

  • -

    V praksi se zelo pogosto srečujemo s takšnimi poskusi, katerih število možnih izidov je neskončno. Včasih je v takih primerih mogoče uporabiti metodo izračunavanja verjetnosti, pri kateri še vedno igra glavno vlogo koncept enakoverjetnosti določenih dogodkov .... .


  • - Geometrijska definicija verjetnosti.

    V določenem kvadratu je naključno izbrana točka, kakšna je verjetnost, da bo ta točka znotraj območja D., kjer je SD površina območja D, S je površina celotne kvadratni. Pri klasičnem je imela določena nič verjetnost ... .


  • - Geometrijska definicija verjetnosti.

    Da bi premagali pomanjkljivost klasične definicije verjetnosti, ki je, da ni uporabna za poskuse z neskončnim številom izidov, so uvedene geometrijske verjetnosti - verjetnosti, da točka pade v območje. Naj bo ravna figura g (odsek ali telo)... .


  • - PREDAVANJE 2. TEOREMI SEŠTEVANJA IN MNOŽENJA VERJETNOSTI. STATISTIČNO, GEOMETRIČNO DOLOČANJE VERJETNOSTI

    Klasična definicija verjetnosti PREDAVANJE 1. TEORIJE VERJETNOSTI. ZGODOVINA NASTANKA. KLASIČNA DEFINICIJA VERJETNOSTI A.A. Khalafyan BIBLIOGRAFSKE REFERENCE 1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teorija ... .[preberi več].


  • - Geometrijska definicija verjetnosti

    Ta definicija se uporablja, kadar ima izkušnja nešteto nabor enako možnih rezultatov. V tem primeru lahko prostor elementarnih dogodkov predstavimo kot določeno regijo G. Vsaka točka te regije ustreza osnovnemu dogodku. Zadeti....


  • - Klasična in geometrijska definicija verjetnosti.

    Geometrijska definicija verjetnosti je razširitev koncepta klasične verjetnosti na primer neštetega niza elementarnih dogodkov. V primeru, ko je nešteta množica, se verjetnost ne določi na elementarnih dogodkih, temveč na njihovih nizih....


  • - Geometrijska definicija verjetnosti

    Klasična definicija verjetnosti VERJETNOST NAKLJUČNEGA DOGODKA Teoretična interpretacija operacij nad dogodki Naj se izvede nekaj eksperimenta z naključnim izidom. Veliko &... .


    • Formula P(A)=m/n izgubi pomen, če je število vseh enako možnih nezdružljivih primerov neomejeno (tvori neskončno množico). Vendar pa je včasih mogoče celotnemu nizu neskončnih enako možnih nezdružljivih primerov dati kvantitativno karakteristiko v nekaterih merilih dolžine, površine, prostornine, časa itd., in dati del tega niza, ki daje prednost začetek obravnavanega dogodka A, da se v istih merah poda značilnost S b. Potem je verjetnost pojava dogodka A določena z razmerjem:

    Primer #1. Dve številki x in y sta izbrani naključno iz intervala. Poišči verjetnost, da ta števila izpolnjujejo neenakosti x 2 ≤ 4y ≤ 4x.
    Rešitev. Test je sestavljen iz naključnega izbora para številk x in y iz intervala. To bomo interpretirali kot naključno izbiro točke M(x;y) iz množice vseh točk kvadrata, katerih stranica je enaka dvema. Poglejmo si sliko Ф, ki je množica vseh točk kvadrata, katerih koordinate izpolnjujejo sistem neenakosti x 2 ≤ 4y ≤ 4x. Do zanimivega dogodka pride, če in samo če izbrana točka M(x;y) pripada figuri Ф.

    Po formuli (8) je želena verjetnost enaka razmerju med površino figure Ф in površino kvadrata:

    Primer #2. Dogovorila sta se, da se srečata na določenem kraju. Vsak od njih pride na določeno mesto neodvisno drug od drugega v naključnem trenutku od in čaka največ časa. Kakšna je verjetnost srečanja pod takšnimi pogoji?

    Rešitev. Z x označimo čas prihoda prve osebe na dogovorjeno mesto, z y pa čas prihoda druge osebe tja. Iz pogoja sledi, da x in y neodvisno tečeta skozi časovni interval. Test sestoji iz določitve časa prihoda navedenih oseb na kraj srečanja. Potem se prostor elementarnih izidov tega poskusa interpretira kot množica vseh točk M(x;y) kvadrata Ω=((x;y) : 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T). Dogodek A, ki nas zanima - "sestanek se je zgodil" se zgodi, če in samo če je izbrana točka M(x; y) znotraj figure Ф, ki je množica vseh točk kvadrata, katerih koordinate izpolnjujejo neenakost |x – y| ≤ t. Po formuli (8) je želena verjetnost
    je razmerje med površino figure Ф in površino kvadrata Ω:


    Če analiziramo rezultat, dobljen pri tem problemu, vidimo, da se verjetnost srečanja povečuje z naraščanjem. Naj bo na primer T = 1 ura, t = 20 minut , torej pogosteje kot v polovici primerov se bodo sestanki zgodili, če se bodo večkrat pogajali o zgornjih pogojih.

    Primer #3. Na odseku l sta naključno izbrani dve točki.
    P(0 - ? , verjetnost, da je razdalja med njima manjša od k-l

    Primer #4. Točka se naključno vrže v krog s polmerom r tako, da je katera koli lokacija v krogu enako možna. Poiščite verjetnost, da bo znotraj kvadrata s stranico a v krogu.
    Rešitev. Verjetnost, da bo točka znotraj kvadrata, ki leži v krogu s stranico a je enako razmerju med površino kvadrata in površino kroga.
    Kvadratna površina: Skv \u003d a 2.
    Območje kroga: S = πr 2
    Potem bo verjetnost: p \u003d Skv / S \u003d a 2 / πr 2

    Primer številka 5. Dve realni števili sta izbrani naključno iz intervala. Poišči verjetnost, da je njihova vsota večja od 4 in njun zmnožek manjši od 4.
    Rešitev.
    Skupno je 5 številk: 0,1,2,3,4. Verjetnost njihovega pojava p=1/5 = 0,2
    a) verjetnost, da bo njihova vsota večja od 4
    Skupno število takšnih rezultatov je 8:
    1+4, 2+3, 2+4, 3+4 in 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
    P = 0,2*0,2*8 = 0,32
    b) produkt je manjši od 4.
    Skupno število takšnih rezultatov je 13:
    0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2,1*3 in 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3* ena
    P = 0,2*0,2*13 = 0,52

    Naloge za samostojno reševanje
    4.3. Po neurju je prišlo do pretrganja žice na odseku med 40. in 70. kilometrom telefonskega voda. Kolikšna je verjetnost, da je prišlo do preloma med 45. in 50. kilometrom proge? (Predpostavlja se, da je verjetnost preloma žice na katerem koli mestu enaka).
    Odgovor: 1/6.

    4.4. Točka se naključno vrže v krog s polmerom r. Poišči verjetnost, da je ta točka znotraj pravilnega trikotnika, vpisanega v dani krog.
    odgovor:

    4.5. Poišči verjetnost, da bo vsota dveh naključno izbranih števil iz intervala [-1; 1] je večji od nič, njihov produkt pa je negativen.
    Odgovor: 0;25.

    4.6. Med bojnim usposabljanjem je n-ta eskadrilja bombnikov prejela nalogo, da napade "sovražnikovo" skladišče nafte. Na ozemlju skladišča nafte, ki ima obliko pravokotnika s stranicami 30 in 50 m, so štirje okrogli rezervoarji za olje s premerom 10 m. Poiščite verjetnost neposrednega udarca bombe v rezervoarje za olje, ki je zadela ozemlje skladišča nafte, če bomba z enako verjetnostjo zadene katero koli točko te baze.
    Odgovor: π/15.

    4.7. Dve realni števili x in y sta izbrani naključno, tako da je vsota njunih kvadratov manjša od 100. Kolikšna je verjetnost, da je vsota kvadratov teh številk večja od 64?
    Odgovor: 0;36.

    4.8. Prijatelja sta se dogovorila, da se srečata med 13.00 in 14.00 uro. Prva oseba, ki pride, čaka na drugo osebo 20 minut in nato odide. Določite verjetnost srečanja s prijatelji, če so trenutki njihovega prihoda v določenem časovnem intervalu enako verjetni.
    Odgovor: 5/9.

    4.9. Dva parnika morata priti na isti pomol. Čas prihoda obeh ladij je enako možen v določenem dnevu. Določite verjetnost, da bo moral eden od parnikov počakati na sprostitev priveza, če prvi parnik ostane eno uro, drugi pa dve uri.
    Odgovor: ≈ 0;121.

    4.10. Dve pozitivni števili x in y sta vzeti naključno, od katerih vsako ne presega dveh. Poiščite verjetnost, da je produkt x y največ ena in količnik y/x največ dva.
    Odgovor: ≈ 0;38.

    4.11. V območju G, ki ga omejuje elipsoid , je točka določena naključno. Kolikšna je verjetnost, da bodo koordinate (x; y; z) te točke izpolnjevale neenakost x 2 + y 2 + z 2 ≤4?
    Odgovor: 1/3.

    4.12. Točka je vržena v pravokotnik z oglišči R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0). Poišči verjetnost, da bodo njegove koordinate izpolnjevale neenakosti 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
    Odgovor: 2/3.

    4.13. Območje G je omejeno s krogom x 2 + y 2 = 25, območje g pa s tem krogom in parabolo 16x - 3y 2 > 0. Poišči verjetnost, da padeš v območje g.
    Odgovor: ≈ 0;346.

    4.14. Dve pozitivni števili x in y sta vzeti naključno, od katerih vsako ne presega enega. Poiščite verjetnost, da vsota x + y ne presega 1 in zmnožek x · y ni manjši od 0,09.
    Odgovor: ≈ 0;198.

    Priporočamo tudi

    Nalaganje...Nalaganje...