Podan je algoritem za iskanje korenov kvadratne enačbe. Sestavimo algoritem za reševanje kvadratne enačbe

1. Poiščite diskriminanto D po formuli D= -4ac.

2. Če D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Če je D=0, ima enačba en koren:

4. Če je D>0, ima enačba dva korena:

Zdaj pa začnimo reševati našo enačbo 3 -10x+3=0,

kjer je =3, b=-10 in c=3.

Iskanje diskriminanta:

D= -4*3*3=64

Ker je D>0, ima ta enačba dva korena. Najdemo jih:

; .

Torej, korenine polinoma f(x)=3 -10+3 bosta številki 3 in .

Hornerjeva shema

Hornerjeva shema(ali Hornerjevo pravilo, Hornerjeva metoda) - algoritem za izračun vrednosti polinoma, zapisanega kot vsota polinomov (monomov), za dano vrednost spremenljivke . Ona pa nam pomaga ugotoviti, ali je število koren danega polinoma ali ne.

Najprej razmislite, kako je polinom razdeljen f(x) v binom g(x).

To lahko zapišemo takole: f(x):g(x)=n(x), kje f(x)- dividenda, g(x)- delilec a n(x)- zasebni.

Toda v primeru, ko f(x) ni deljivo z g(x) obstaja splošen zapis izraza

Tukaj je stopnja r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Razmislite o delitvi polinoma z binomom. Naj bo

,

Dobimo

Kjer je r število, ker stopnja r mora biti manjša od stopnje (x-c).

Pomnožimo se s(x) na in priti

Tako je pri deljenju z binomom mogoče iz dobljenih formul določiti koeficiente kvocienta. Ta način določanja koeficientov se imenuje Hornerjeva shema.

				...
	+			...
c				...	r

Zdaj pa si poglejmo nekaj primerov uporabe Hornerjeve sheme.

Primer. Izvedite polinomsko deljenje f(x)= na x+3.

Odločitev. Na začetku je treba napisati x+3) kot ( x-(-3)), saj bo v sami shemi sodelovalo natanko -3. V zgornjo vrstico bomo zapisali koeficiente, v spodnjo vrstico - rezultat dejanj.

f(x)=(x-2)(1)+16.

Iskanje korenin po Hornerjevi shemi. Vrste korenin

Po Hornerjevi shemi lahko najdemo cele korene polinoma f(x). Poglejmo si to s primerom.

Primer. Poišči vse cele korene polinoma f(x)= z uporabo Hornerjeve sheme.

Odločitev. Koeficienti tega polinoma so cela števila. Koeficient pred najvišjo stopnjo (v našem primeru prej) je enak ena. Zato bomo poiskali cele korene polinoma med delitelji prostega člena (imamo 15), to so števila:

Začnimo s številko 1.

Tabela #1

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38

Iz nastale tabele je razvidno, da je za =1 polinom polinoma f(x)= , smo dobili ostanek r=192, ne 0, kar pomeni, da enota ni koren. Zato nadaljujemo preverjanje pri =-1. V ta namen ne bomo ustvarili nove tabele, ampak bomo nadaljevali v stari in prečrtali podatke, ki niso več potrebni.

Tabela številka 2

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22

Kot lahko vidimo iz tabele, se je zadnja celica izkazala za nič, kar pomeni, da je r=0. Zato? število -1 je koren tega polinoma. Delimo naš polinomski polinom f(x)= na ()=x+1 smo dobili polinom

f(x)=(x+1)(),

koeficienti, za katere smo vzeli iz tretje vrstice tabele št. 2.

Lahko naredimo tudi enakovredni zapis

(x+1)(). Označi ga (1)

Zdaj je treba nadaljevati z iskanjem celih korenin, šele zdaj bomo že iskali korenine polinoma. Te korenine bomo poiskali med prostim členom polinoma, številom 45.

Ponovno preverimo številko -1.

Tabela #3

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22

Tako je število -1 koren polinoma, lahko ga zapišemo kot

Ob upoštevanju enakosti (2) lahko zapišemo enakost (1) v naslednji obliki

Zdaj iščemo korenine za polinom, spet med delitelji prostega člena. Ponovno preverimo številko -1.

Tabela št. 4

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21

Glede na tabelo vidimo, da je število -1 koren polinoma.

Glede na (3*) lahko prepišemo enakost (2*) kot:

Zdaj bomo poiskali koren za . Ponovno pogledamo delilnike prostega člena. Začnimo znova preverjati s številko -1.

Tabela številka 5

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19

Dobili smo preostanek, ki ni enak nič, kar pomeni, da število -1 ni koren polinoma. Preverimo naslednjo številko 1.

Tabela št. 6

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21

In vidimo, da spet ne ustreza, ostanek je r(x) = 24. Vzamemo novo število.

Preverimo številko 3.

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15

Tabela številka 7

r(x)= 0, to pomeni, da je število 3 koren polinoma, ta polinom lahko zapišemo kot:

=(x-3)( )

Glede na dobljen izraz lahko zapišemo enakost (5) na naslednji način:

(x-3)( ) (6)

Zdaj preverimo polinom

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+

Tabela št. 8

Na podlagi tabele vidimo, da je število 3 koren polinoma . Zdaj pa zapišemo naslednje:

Enakost (5*) ob upoštevanju nastalega izraza zapišemo na naslednji način:

(x-3)()= = .

Poiščite koren binoma med delitelji prostega člena.

Vzemimo številko 5

Tabela št. 9

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+
	+	-5
-5

r(x)=0, zato je 5 koren binoma.

Tako lahko pišemo

Odločitev ta primer bo miza številka 8.

Kot je razvidno iz tabele, so številke -1; 3; 5 korenine polinoma.

Zdaj pa pojdimo neposredno na vrste korenin.

1 je koren tretje stopnje, saj je oklepaj (x + 1) v tretji stopnji;

3- koren druge stopnje, oklepaj (x-3) v drugi stopnji;

5 je koren prve stopnje ali, z drugimi besedami, preprost.

Pomembne opombe!
1. Če namesto formul vidite abrakadabra, počistite predpomnilnik. Kako to narediti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite najbolj pozorni na naš navigator uporaben vir za

V izrazu "kvadratna enačba" je ključna beseda "kvadratna enačba". To pomeni, da mora enačba nujno vsebovati spremenljivko (isti X) v kvadratu, hkrati pa ne sme biti X-jev v tretji (ali višji) stopnji.

Rešitev številnih enačb se reducira na rešitev kvadratnih enačb.

Naučimo se ugotoviti, da imamo kvadratno enačbo in ne kakšno drugo.

Primer 1

Znebite se imenovalca in vsak člen enačbe pomnožite z

Prestavimo vse na levo stran in razporedimo člene v padajočem vrstnem redu potencij x

Zdaj lahko to z gotovostjo trdimo dano enačbo je kvadratna!

Primer 2

Levo in desno stran pomnožite z:

Ta enačba, čeprav je bila prvotno v njej, ni kvadrat!

Primer 3

Vse pomnožimo z:

Strašno? Četrta in druga stopnja ... Če pa naredimo zamenjavo, bomo videli, da imamo preprosto kvadratno enačbo:

Primer 4

Zdi se, da je, a poglejmo si natančneje. Prestavimo vse na levo stran:

Vidite, skrčila se je - in zdaj je preprosta linearna enačba!

Zdaj poskusite sami ugotoviti, katere od naslednjih enačb so kvadratne in katere ne:

Primeri:

odgovori:

1. kvadratni;
2. kvadratni;
3. ne kvadratna;
4. ne kvadratna;
5. ne kvadratna;
6. kvadratni;
7. ne kvadratna;
8. kvadratni.

Matematiki pogojno razdelijo vse kvadratne enačbe na naslednje vrste:

• Popolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih koeficienti in, kot tudi prosti člen c, niso enaki nič (kot v primeru). Poleg tega so med popolnimi kvadratnimi enačbami dano so enačbe, v katerih je koeficient (enačba iz prvega primera ne le popolna, ampak tudi zmanjšana!)

• Nepopolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

  So nepopolne, ker jim manjka kakšen element. Toda enačba mora vedno vsebovati x na kvadrat !!! Sicer ne bo več kvadratna, ampak neka druga enačba.

Zakaj so prišli do takšne delitve? Zdi se, da je X na kvadrat, in v redu. Takšna delitev je posledica metod reševanja. Razmislimo o vsakem od njih podrobneje.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Najprej se osredotočimo na reševanje nepopolnih kvadratnih enačb – so veliko enostavnejše!

Nepopolne kvadratne enačbe so vrst:

1. , v tej enačbi je koeficient enak.
2. , v tej enačbi je prosti člen enak.
3. , v tej enačbi sta koeficient in prosti člen enaka.

1. i. Ker znamo ekstrahirati Kvadratni koren, potem izrazimo iz te enačbe

Izraz je lahko negativen ali pozitiven. Število na kvadrat ne more biti negativno, saj bo pri množenju dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil rezultat vedno pozitivno število, torej: če, potem enačba nima rešitev.

In če, potem dobimo dve korenini. Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar je, da morate vedno vedeti in se spomniti, da ne more biti manj.

Poskusimo rešiti nekaj primerov.

5. primer:

Reši enačbo

Zdaj je treba izvleči koren iz levega in desnega dela. Konec koncev, se spomnite, kako izvleči korenine?

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!!!

6. primer:

Reši enačbo

odgovor:

7. primer:

Reši enačbo

Joj! Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da je enačba

brez korenin!

Za takšne enačbe, v katerih ni korenin, so matematiki pripravili posebno ikono - (prazen niz). In odgovor se lahko zapiše takole:

odgovor:

Tako ima ta kvadratna enačba dva korena. Tukaj ni omejitev, saj korena nismo izvlekli.
Primer 8:

Reši enačbo

Vzemimo skupni faktor iz oklepajev:

tako,

Ta enačba ima dva korena.

odgovor:

Najpreprostejša vrsta nepopolnih kvadratnih enačb (čeprav so vse preproste, kajne?). Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Tukaj bomo naredili brez primerov.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb

Spomnimo vas, da je popolna kvadratna enačba enačba oblike enačbe, kjer je

Reševanje polnih kvadratnih enačb je nekoliko bolj zapleteno (le malo) od navedenih.

Zapomni si, katero koli kvadratno enačbo je mogoče rešiti z diskriminanto! Celo nepopolna.

Preostale metode vam bodo pomagale narediti to hitreje, če pa imate težave s kvadratnimi enačbami, najprej obvladajte rešitev z uporabo diskriminanta.

1. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo diskriminanta.

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je zelo preprosto, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul.

Če, potem ima enačba koren Posebna pozornost narišite korak. Diskriminant () nam pove število korenov enačbe.

• Če, potem bo formula v koraku zmanjšana na. Tako bo enačba imela samo koren.
• Če, potem ne bomo mogli izvleči korena diskriminante v koraku. To pomeni, da enačba nima korenin.

Vrnimo se k našim enačbam in si oglejmo nekaj primerov.

Primer 9:

Reši enačbo

Korak 1 preskoči.

2. korak

Iskanje diskriminanta:

Torej ima enačba dva korena.

3. korak

odgovor:

Primer 10:

Reši enačbo

Enačba je v standardni obliki, torej Korak 1 preskoči.

2. korak

Iskanje diskriminanta:

Torej ima enačba en koren.

odgovor:

Primer 11:

Reši enačbo

Enačba je v standardni obliki, torej Korak 1 preskoči.

2. korak

Iskanje diskriminanta:

To pomeni, da iz diskriminante ne bomo mogli izvleči korena. Ni korenin enačbe.

Zdaj vemo, kako pravilno zapisati takšne odgovore.

odgovor: brez korenin

2. Rešitev kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka.

Če se spomnite, obstaja taka vrsta enačb, ki se imenujejo zmanjšane (ko je koeficient a enak):

Takšne enačbe je zelo enostavno rešiti z uporabo Vietinega izreka:

Vsota korenin dano kvadratna enačba je enak in produkt korenin je enak.

Primer 12:

Reši enačbo

Ta enačba je primerna za rešitev z uporabo Vietinega izreka, ker .

Vsota korenov enačbe je, t.j. dobimo prvo enačbo:

In izdelek je:

Ustvarimo in rešimo sistem:

• in. Vsota je;
• in. Vsota je;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

odgovor: ; .

Primer 13:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 14:

Reši enačbo

Enačba se zmanjša, kar pomeni:

odgovor:

KVADRATNE ENAČBE. SREDNJA STOPNJA

Kaj je kvadratna enačba?

Z drugimi besedami, kvadratna enačba je enačba v obliki, kjer je - neznano, - nekaj številk.

Število imenujemo najvišja oz prvi koeficient kvadratna enačba, - drugi koeficient, a - brezplačni član.

zakaj? Ker če, ​​bo enačba takoj postala linearna, ker bo izginil.

V tem primeru je in je lahko enako nič. V tej enačbi blata se imenuje nepopolna. Če so vsi izrazi na mestu, je enačba popolna.

Rešitve različnih vrst kvadratnih enačb

Metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb:

Za začetek bomo analizirali metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb - so enostavnejše.

Razlikujemo lahko naslednje vrste enačb:

I. , v tej enačbi sta koeficient in prosti člen enaka.

II. , v tej enačbi je koeficient enak.

III. , v tej enačbi je prosti člen enak.

Zdaj razmislite o rešitvi vsakega od teh podtipov.

Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Število na kvadrat ne more biti negativno, saj bo pri množenju dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil rezultat vedno pozitivno število. Torej:

če, potem enačba nima rešitev;

če imamo dve korenini

Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar, ki si jo je treba zapomniti, je, da ne more biti manj.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!

Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da je enačba

brez korenin.

Če na kratko zapišemo, da problem nima rešitev, uporabimo ikono praznega niza.

odgovor:

Torej ima ta enačba dva korena: in.

odgovor:

Vzemimo skupni faktor iz oklepajev:

Zmnožek je nič, če je vsaj eden od faktorjev nič. To pomeni, da ima enačba rešitev, ko:

Torej, ta kvadratna enačba ima dva korena: in.

Primer:

Reši enačbo.

Odločitev:

Levo stran enačbe faktoriziramo in poiščemo korenine:

odgovor:

Metode za reševanje popolnih kvadratnih enačb:

1. Diskriminantno

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je enostavno, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul. Ne pozabite, da je vsako kvadratno enačbo mogoče rešiti z uporabo diskriminanta! Celo nepopolna.

Ali ste opazili koren diskriminante v korenski formuli? Toda diskriminanta je lahko negativna. Kaj storiti? Posebno pozornost moramo posvetiti 2. koraku. Diskriminanta nam pove število korenov enačbe.

• Če, potem ima enačba koren:
• Če ima enačba enak koren, v resnici pa en koren:

  Takšne korenine imenujemo dvojne korenine.

• Če, potem koren diskriminante ni izvlečen. To pomeni, da enačba nima korenin.

Zakaj obstaja različno število korenin? Obrnimo se na geometrijski pomen kvadratne enačbe. Graf funkcije je parabola:

V določenem primeru, ki je kvadratna enačba, . In to pomeni, da so korenine kvadratne enačbe točke presečišča z osjo x (os). Parabola morda sploh ne prečka osi ali pa jo seka v eni (ko vrh parabole leži na osi) ali dveh točkah.

Poleg tega je koeficient odgovoren za smer vej parabole. Če, potem so veje parabole usmerjene navzgor, in če - potem navzdol.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To pomeni, da ni rešitev.

Odgovor: .

2. Vietin izrek

Uporaba Vietovega izreka je zelo enostavna: samo izbrati morate par številk, katerih produkt je enak prostemu členu enačbe, vsota pa je enaka drugemu koeficientu, vzetemu z nasprotnim predznakom.

Pomembno si je zapomniti, da je Vietin izrek mogoče uporabiti samo za dane kvadratne enačbe ().

Poglejmo si nekaj primerov:

Primer #1:

Reši enačbo.

Odločitev:

Ta enačba je primerna za rešitev z uporabo Vietinega izreka, ker . Drugi koeficienti: ; .

Vsota korenov enačbe je:

In izdelek je:

Izberimo takšne pare števil, katerih produkt je enak, in preverimo, ali je njihova vsota enaka:

• in. Vsota je;
• in. Vsota je;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

Tako sta in korenine naše enačbe.

Odgovor: ; .

Primer #2:

Odločitev:

Izberemo takšne pare števil, ki dajo v produktu, in nato preverimo, ali je njihova vsota enaka:

in: daj skupaj.

in: daj skupaj. Če ga želite dobiti, morate samo spremeniti znake domnevnih korenin: in navsezadnje izdelek.

odgovor:

Primer #3:

Odločitev:

Prosti člen enačbe je negativen, zato je produkt korenin negativno število. To je mogoče le, če je eden od korenov negativen, drugi pa pozitiven. Torej je vsota korenin razlike med njihovimi moduli.

Izberemo takšne pare številk, ki dajejo v produktu in katerih razlika je enaka:

in: njihova razlika je - ni primerna;

in: - ni primeren;

in: - ni primeren;

in: - primerno. Ostaja le, da se spomnimo, da je ena od korenin negativna. Ker mora biti njihova vsota enaka, mora biti koren, ki je po absolutni vrednosti manjši: . Preverimo:

odgovor:

Primer #4:

Reši enačbo.

Odločitev:

Enačba se zmanjša, kar pomeni:

Prosti člen je negativen, zato je produkt korenin negativen. In to je mogoče le, če je en koren enačbe negativen, drugi pa pozitiven.

Izberemo takšne pare števil, katerih produkt je enak, in nato določimo, kateri koreni morajo imeti negativen predznak:

Očitno so samo korenine in so primerne za prvi pogoj:

odgovor:

Primer #5:

Reši enačbo.

Odločitev:

Enačba se zmanjša, kar pomeni:

Vsota korenov je negativna, kar pomeni, da je vsaj eden od korenov negativen. Ker pa je njihov produkt pozitiven, pomeni, da sta oba korena minus.

Izberemo takšne pare številk, katerih produkt je enak:

Očitno so korenine številke in.

odgovor:

Strinjam se, zelo priročno je - izumiti korenine ustno, namesto da bi šteli to grdo diskriminatorko. Poskusite čim pogosteje uporabljati Vietin izrek.

Toda Vietin izrek je potreben, da bi olajšali in pospešili iskanje korenin. Če želite, da vam bo uporaba tega donosna, morate dejanja spraviti v avtomatizem. In za to reši še pet primerov. Ampak ne goljufajte: diskriminanta ne morete uporabiti! Samo Vietin izrek:

Rešitve nalog za samostojno delo:

Naloga 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Po Vietinem izreku:

Kot običajno začnemo izbor z izdelkom:

Ni primerno zaradi količine;

: znesek je tisto, kar potrebujete.

Odgovor: ; .

2. naloga.

In spet naš najljubši Vietin izrek: vsota bi morala delovati, vendar je produkt enak.

Ker pa ne bi smelo biti, ampak spremenimo znake korenin: in (skupaj).

Odgovor: ; .

3. naloga.

Hmm ... kje je?

Vse izraze je treba prenesti v en del:

Vsota korenov je enaka produktu.

Ja, nehaj! Enačba ni podana. Toda Vietin izrek je uporaben le v danih enačbah. Torej morate najprej prinesti enačbo. Če tega ne morete izpostaviti, opustite to idejo in jo rešite na drug način (na primer z diskriminantom). Naj vas spomnim, da prinesti kvadratno enačbo pomeni, da je vodilni koeficient enak:

V redu. Potem je vsota korenov enaka in produkt.

Tukaj je lažje pobrati: navsezadnje - praštevilo (oprostite za tavtologijo).

Odgovor: ; .

4. naloga.

Prosti termin je negativen. Kaj je na tem tako posebnega? In dejstvo, da bodo korenine različnih znakov. In zdaj med izbiro ne preverjamo vsote korenov, ampak razliko med njihovimi moduli: ta razlika je enaka, ampak produkt.

Torej, koreni so enaki in, vendar je eden od njih z minusom. Vietin izrek nam pove, da je vsota korenov enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, tj. To pomeni, da bo manjši koren imel minus: in, saj.

Odgovor: ; .

5. naloga.

Kaj je treba najprej narediti? Tako je, daj enačbo:

Še enkrat: izberemo faktorje števila, njihova razlika pa mora biti enaka:

Korenine so enake in, vendar je ena od njih minus. kateri? Njihova vsota mora biti enaka, kar pomeni, da bo z minusom večji koren.

Odgovor: ; .

Naj povzamem:

1. Vietin izrek se uporablja samo v danih kvadratnih enačbah.
2. Z uporabo Vietovega izreka lahko poiščete korenine z izbiro, ustno.
3. Če enačba ni podana ali ni bil najden ustrezen par faktorjev prostega člena, potem ni celih korenin in jo morate rešiti na drug način (na primer prek diskriminanta).

3. Metoda izbire polnega kvadrata

Če vse člene, ki vsebujejo neznano, predstavimo kot izraze iz formul skrajšanega množenja - kvadrata vsote ali razlike -, potem lahko po spremembi spremenljivk enačbo predstavimo kot nepopolno kvadratno enačbo tipa.

Na primer:

Primer 1:

Reši enačbo: .

Odločitev:

odgovor:

2. primer:

Reši enačbo: .

Odločitev:

odgovor:

AT splošni pogled transformacija bo izgledala takole:

To pomeni:.

Vas ne spominja na nič? To je diskriminator! Točno tako je bila pridobljena diskriminantna formula.

KVADRATNE ENAČBE. NAKRATKO O GLAVNEM

Kvadratna enačba je enačba v obliki, kjer je neznanka, so koeficienti kvadratne enačbe, je prosti člen.

Popolna kvadratna enačba- enačba, v kateri koeficienti niso enaki nič.

Reducirana kvadratna enačba- enačba, v kateri je koeficient, to je: .

Nepopolna kvadratna enačba- enačbo, v kateri sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

• če je koeficient, ima enačba obliko: ,
• če je prosti člen, ima enačba obliko: ,
• če in, ima enačba obliko: .

1. Algoritem za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

1.1. Nepopolna kvadratna enačba v obliki, kjer je:

1) Izrazite neznano: ,

2) Preverite predznak izraza:

• če, potem enačba nima rešitev,
• če, potem ima enačba dva korena.

1.2. Nepopolna kvadratna enačba v obliki, kjer je:

1) Vzemimo skupni faktor iz oklepajev: ,

2) Zmnožek je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Torej ima enačba dva korena:

1.3. Nepopolna kvadratna enačba v obliki, kjer je:

Ta enačba ima vedno samo en koren: .

2. Algoritem za reševanje popolnih kvadratnih enačb v obliki kjer

2.1. Rešitev z uporabo diskriminanta

1) Enačbo pripeljemo do standardni obrazec: ,

2) Izračunajte diskriminanto s formulo: , ki označuje število korenov enačbe:

3) Poiščite korenine enačbe:

• če, potem ima enačba koren, ki ga najdemo s formulo:
• če, potem ima enačba koren, ki ga najdemo s formulo:
• če, potem enačba nima korenin.

2.2. Rešitev z uporabo Vietinega izreka

Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe (enačbe v obliki, kjer je) je enaka, produkt korenin pa je enak, t.j. , a.

2.3. Popolna kvadratna rešitev

Če ima kvadratna enačba oblike korenine, jo lahko zapišemo v obliki: .

No, tema je končana. Če berete te vrstice, potem ste zelo kul.

Ker le 5 % ljudi je sposobno nekaj obvladati sam. In če ste prebrali do konca, potem ste v 5%!

Zdaj najpomembnejša stvar.

Ugotovili ste teorijo na to temo. In, ponavljam, je ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ne bo dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opraviti izpit, za sprejem na inštitut na proračun in, kar je najpomembneje, za življenje.

Ne bom vas v nič prepričeval, povedal bom samo eno stvar ...

Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavna stvar je, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da si na izpitu zagotovo boljši od drugih in na koncu ... srečnejši?

NAPOLNI ROKO, REŠUJTE TEŽAVE NA TO TEMO.

Na izpitu te teorije ne bodo vprašali.

Boste potrebovali pravočasno rešiti težave.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali pa je preprosto ne boste storili pravočasno.

To je kot v športu – za zanesljivo zmago moraš večkrat ponoviti.

Poiščite zbirko kjer koli želite nujno z rešitvami podrobna analiza in se odloči, odloči, odloči!

Lahko uporabite naše naloge (ni nujno) in jih vsekakor priporočamo.

Če želite priskočiti na pomoč s pomočjo naših nalog, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

Kako? Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite dostop do vseh skritih opravil v tem članku -
2. Odklenite dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 člankih vadnice - Kupite učbenik - 499 rubljev

Da, v učbeniku imamo 99 takih člankov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih je mogoče takoj odpreti.

Dostop do vseh skritih opravil je omogočen za celotno življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne prenehajte s teorijo.

"Razumem" in "Vem, kako rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebuješ oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

diapozitiv 2

Cikel kvadratnih enačb pouka algebre v 8. razredu po učbeniku A.G. Mordkovich

Učitelj MBOU Grushevskoy OOSh Kireeva T.A.

diapozitiv 3

Cilji: predstaviti pojme kvadratne enačbe, korena kvadratne enačbe; prikazati rešitve kvadratnih enačb; oblikovati sposobnost reševanja kvadratnih enačb; pokazati način reševanja popolnih kvadratnih enačb s formulo korenin kvadratne enačbe.

diapozitiv 4

diapozitiv 5

Malo zgodovine Kvadratne enačbe v starodavnem Babilonu. Potrebo po reševanju enačb ne le prve, ampak tudi druge stopnje je že v antiki povzročala potreba po reševanju problemov, povezanih z iskanjem površin zemlje in z zemeljska dela vojaške narave, pa tudi z razvojem same astronomije in matematike. Babilonci so znali reševati kvadratne enačbe približno 2000 let pred našo vero. Z uporabo sodobnih algebraičnih zapisov lahko rečemo, da so v njihovih klinopisnih besedilih poleg nepopolnih tudi takšne, na primer, popolne kvadratne enačbe.

diapozitiv 6

Pravilo za reševanje teh enačb, določeno v babilonskih besedilih, sovpada s sodobnim, ni pa znano, kako so Babilonci prišli do tega pravila. Skoraj vsa doslej najdena klinopisna besedila dajejo le težave z rešitvami, ki so podane v obliki receptov, brez navedbe, kako so bile najdene. Kljub visoka stopnja razvoj algebre v Babiloniji, koncept negativnega števila in splošne metode za reševanje kvadratnih enačb v klinopisnih besedilih ni.

Diapozitiv 7

Definicija 1. Kvadratna enačba je enačba v obliki, kjer so koeficienti a, b, c poljubni realne številke, Polinom pa se imenuje kvadratni trinom. a je prvi ali najvišji koeficient b je drugi koeficient c je prosti člen

Diapozitiv 8

Definicija 2. Kvadratna enačba se imenuje reducirana, če je njen vodilni koeficient enak 1; kvadratna enačba se imenuje nereducirana, če je vodilni koeficient drugačen od 1. Primer. 2 - 5 + 3 = 0 - nereducirana kvadratna enačba - reducirana kvadratna enačba

Diapozitiv 9

Definicija 3. Popolna kvadratna enačba je kvadratna enačba, v kateri so prisotni vsi trije členi. a + in + c \u003d 0 Nepopolna kvadratna enačba je enačba, v kateri niso prisotni vsi trije izrazi; je enačba, za katero je vsaj eden od koeficientov v, c enak nič.

Diapozitiv 10

Metode reševanja nepopolnih kvadratnih enačb.

diapozitiv 11

Reši naloge št. 24.16 (a, b) Reši enačbo: ali Odgovori. ali Odgovori.

diapozitiv 12

Definicija 4 Koren kvadratne enačbe je katera koli vrednost spremenljivke x, pri kateri kvadratni trinom izgine; taka vrednost spremenljivke x se imenuje tudi koren kvadratnega trinoma.Rešitev kvadratne enačbe pomeni poiskati vse njene korene ali ugotoviti, da ni korenin.

diapozitiv 13

Diskriminant kvadratne enačbe D 0 D=0 Enačba nima korenin Enačba ima dva korena Enačba ima en koren Formule za korenine kvadratne enačbe

Diapozitiv 14

D>0 ima kvadratna enačba dva korena, ki ju najdemo s formulami Primer. Rešite enačbo Rešitev. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, odgovor: 1; -3

diapozitiv 15

Algoritem za reševanje kvadratne enačbe 1. Izračunajte diskriminanta D po formuli D = 2. Če je D 0, ima kvadratna enačba dva korena.

Programiranje v Lazarus za šolarje.

Lekcija številka 12.

Rešitev kvadratne enačbe.

Matytsin Igor Vladimirovič

Učitelj matematike in računalništva

Srednja šola MBOU s. dekle

Namen: napisati program za reševanje kvadratne enačbe na podlagi katerega koli vhoda.

Dekle 2013.

Kvadratna enačba je ena najpogostejših enačb šolskega tečaja. Čeprav je to precej enostavno rešiti, morate včasih preveriti odgovore. Za to lahko uporabite preprost program. Ne bo trajalo dolgo, da ga napišem.

Začeti morate s samo kvadratno enačbo. Iz tečaja algebre vemo, da je kvadratna enačba enačba oblike sekira 2 + bx + c =0, kjer x - spremenljivo, a , b in c sta nekaj številk in a .

Iz definicije je razvidno, da se v enačbi spreminjajo le koeficienti a , b in c . To so parametri, ki jih bomo vnesli v naš program in za to bomo iz komponent ustvarili tri vnosna polja.

Slika 14.1 Vnosna polja za koeficiente.

Iz definicije tudi izhaja, da a . V tem primeru enačba ne bo kvadratna. In ta pogoj bomo najprej preverili. Ustvarimo gumb "Reši" in njegov razvijalec dogodkov z operaterjemče preveri stanje a . In če a =0 pravimo, da naša enačba ni kvadratna.Tukaj je obdelovalec dogodkov za gumb:procedure TForm1.Button1Click(Pošiljatelj: TObject); var a,b,c:real; začni a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); če je a=0, potem Label4.Caption:="Enačba ni kvadratna";konec;

riž. 14.2 Preizkušanje obstoja enačbe.

Zdaj je treba opisati, kaj se bo zgodilo, če je enačba kvadratna. To bo tudi v isti izjaviče po besedi drugo in pri uporabi sestavljenega operaterja.

Če je enačba kvadratna, jo bomo takoj rešili s formulo diskriminante in korenin kvadratne enačbe.

Diskriminanta najdemo po formuli: D := b * b – 4* a * c ;

Če je diskriminanta manjša od nič, potem enačba nima rešitev. Opisano bo takole:

Če d potem etiketo 4. Napis :='Enačba nima rešitev' drugo …

In potem drugo korenine enačbe bo neposredno iskanje po formulah:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Tukaj je celotna koda operaterjače :

če je a=0, potem Label4.Caption:="Enačba ni kvadratna" drugače

začeti

D:=b*b-4*a*c;

če d

začeti

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

konec;

konec;

riž. 14.3 Delovno okno programske kvadratne enačbe.

Kvadratna enačba je enačba v obliki a*x^2 +b*x+c=0, kjer so a,b,c nekatera poljubna realna (realna) števila, x pa spremenljivka. In število a=0.

Številke a,b,c imenujemo koeficienti. Število a - imenujemo vodilni koeficient, število b je koeficient pri x, število c pa prosti člen.

Reševanje kvadratnih enačb

Rešiti kvadratno enačbo pomeni najti vse njene korenine ali ugotoviti dejstvo, da kvadratna enačba nima korenin. Koren kvadratne enačbe a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 je katera koli vrednost spremenljivke x, tako da kvadratni trinom a*x^2 +b*x+c izgine. Včasih se takšna vrednost x imenuje koren kvadratnega trinoma.

Obstaja več načinov za reševanje kvadratnih enačb. Razmislite o enem od njih - najbolj vsestranskem. Uporablja se lahko za reševanje katere koli kvadratne enačbe.

Formule za reševanje kvadratnih enačb

Formula za korenine kvadratne enačbe je a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), kjer je D =b^2-4*a*c.

To formulo dobimo z reševanjem enačbe a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 v splošni obliki, s poudarkom na kvadratu binoma.

V formuli korenin kvadratne enačbe se izraz D (b^2-4*a*c) imenuje diskriminanta kvadratne enačbe a*x^2 +b*x+c=0. To ime je prišlo iz latinščina, v prevodu "razlikovalec". Glede na vrednost diskriminante bo kvadratna enačba imela dva ali en koren ali pa sploh ne bo korenin.

Če je diskriminanta večja od nič, potem ima kvadratna enačba dva korena. (x=(-b±√D)/(2*a))

Če je diskriminanta nič, potem ima kvadratna enačba en koren. (x=(-b/(2*a))

Če je diskriminanta negativna, potem kvadratna enačba nima korenin.

Splošni algoritem za reševanje kvadratne enačbe

Na podlagi navedenega oblikujemo splošen algoritem za reševanje kvadratne enačbe a*x^2 +b*x+c=0 s formulo:

1. Poiščite vrednost diskriminante s formulo D =b^2-4*a*c.

2. Glede na vrednost diskriminante izračunajte korene po formulah:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Ta algoritem je univerzalen in primeren za reševanje vseh kvadratnih enačb. Popolno in nepopolno, citirano in necitirano.