Integrala și aplicarea sa practică. Aplicarea integralei la cursuri

Subiect de cercetare

Aplicarea calculului integral în planificarea cheltuielilor familiale

Relevanța problemei

Din ce în ce mai mult în sociale și sfere economice la calcularea gradului de inegalitate în distribuția venitului se folosește matematica și anume calculul integral. studiu uz practic obținem integrala:

Cum ajută integrala și calculul suprafeței folosind integrala în alocarea costurilor materialelor?

Cum va ajuta integrala la economisirea banilor pentru vacanță.

Ţintă

planificați cheltuielile familiei folosind calculul integral

Sarcini

Explora sens geometric integrală.
Luați în considerare metode de integrare în sferele sociale și economice ale vieții.
Faceți o prognoză a costurilor materiale ale familiei atunci când reparați un apartament folosind integrala.
Calculați volumul consumului de energie al familiei pe un an, ținând cont de calculul integral.
Calculați suma unui depozit de economii în Sberbank pentru vacanță.

Ipoteză

calculul integral ajută la calculele economice atunci când planificați veniturile și cheltuielile familiei.

Etapele cercetării

Am studiat sensul geometric al integralei și metodele de integrare în sferele sociale și economice ale vieții.
Am calculat costurile materiale necesare pentru repararea unui apartament folosind integrala.
Am calculat volumul consumului de energie electrică în apartament și costul energiei electrice pentru familie timp de un an.
Am luat în considerare una dintre opțiunile de colectare a veniturilor familiei prin depozite în Sberbank folosind integrala.

Obiect de studiu

calcul integral în sfera socială și economică a vieții.

Metode

Analiza literaturii de specialitate pe tema „Aplicarea practică a calculului integral”
Studiul metodelor de integrare în rezolvarea problemelor privind calculul suprafețelor și volumelor cifrelor folosind integrala.
Analiza cheltuielilor și veniturilor familiei folosind calcul integral.

Proces de lucru

Revizuire a literaturii pe tema „Aplicarea practică a calculului integral”
Rezolvarea unui sistem de probleme pentru calcularea ariilor și volumelor figurilor folosind integrala.
Calculul cheltuielilor și veniturilor familiei folosind un calcul integral: renovarea camerei, volumul de energie electrică, depozite în Sberbank pentru vacanță.

Rezultatele noastre

Cum ajută integrala și calcularea volumului cu ajutorul integralei la prezicerea volumului consumului de energie electrică?

concluzii

Calculul economic al fondurilor necesare pentru repararea unui apartament poate fi efectuat mai rapid și mai precis folosind un calcul integral.

Este mai ușor și mai rapid să calculezi consumul de energie electrică al familiei folosind un calcul integral și Microsoft Office Excel, ceea ce înseamnă previziunea costurilor de energie electrică ale familiei pe un an.

Profitul din depozitele la o bancă de economii poate fi calculat folosind un calcul integral, ceea ce înseamnă planificarea unei vacanțe în familie.

Lista resurselor

Ediții tipărite:

Manual. Algebra și începutul analizei clasa 10-11. A.G. Mordkovici. Mnemosyne. M: 2007
Manual. Algebra și începutul analizei clasa 10-11. A. Kolmogorov Iluminismul. M: 2007
Matematică pentru sociologi și economiști. Akhtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 p.
Calcul integral.Carte de referinta Matematică superioară M. Ya. Vygodsky, Iluminismul, 2000

Ivanov Serghei, student gr.14-EOP-33D

Lucrarea poate fi folosită într-o lecție de generalizare pe temele „Derivată”, „Integrală”.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

GBPOU KNT-i. B. I. Kornilova Cercetare pe tema: „Utilizarea derivatelor și integralelor în fizică, matematică și inginerie electrică”. Student gr. 2014-eop-33d Ivanov Serghei.

1. Istoria apariției derivatului. La sfârșitul secolului al XVII-lea, marele om de știință englez Isaac Newton a demonstrat că Calea și viteza sunt interconectate prin formula: V (t) \u003d S '(t) și o astfel de relație există între caracteristicile cantitative ale celor mai diverse. procese în studiu: fizică, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , impuls P = mV = mx ' , cinetic E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), chimie, biologie și inginerie. Această descoperire a lui Newton a fost un punct de cotitură în istoria științelor naturale.

1. Istoria apariției derivatului. Onoarea de a descoperi legile fundamentale analiză matematicăîmpreună cu Newton aparține matematicianului german Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz a ajuns la aceste legi rezolvând problema trasării unei tangente la o curbă arbitrară, adică. a formulat sensul geometric al derivatei, că valoarea derivatei în punctul de contact este pantă tangentă sau tg unghiul de înclinare a tangentei cu direcția pozitivă a axei O X. Termenul derivat și denumirile moderne y ’ , f ’ au fost introduse de J. Lagrange în 1797.

2. Istoria apariţiei integralei. Conceptul de calcul integral și integral a apărut din necesitatea de a calcula aria (pătratul) oricăror figuri și volumele (cubatura) corpurilor arbitrare. Preistoria calculului integral datează din antichitate. Prima metodă cunoscută de calculare a integralelor este metoda de studiere a ariei sau volumului figurilor curbilinii - metoda epuizării Eudoxus (Eudoxus de Cnidus (c. 408 î.Hr. - c. 355 î.Hr.) - matematician grec antic, mecanic și astronom), care a fost propus în jurul anului 370 î.Hr. e. Esența acestei metode este următoarea: figura, a cărei zonă sau volum s-a încercat să fie găsită, a fost împărțită într-un număr infinit de părți, pentru care aria sau volumul este deja cunoscută.

„Metoda de epuizare” Să presupunem că trebuie să calculăm volumul unei lămâi care are formă neregulată, și, prin urmare, aplicați oricare formula cunoscuta volumul nu este posibil. Folosind cântărirea, este, de asemenea, dificil să găsiți volumul, deoarece densitatea unei lămâi intră părți diferite e diferit. Să procedăm după cum urmează. Tăiați lămâia în felii subțiri. Fiecare felie poate fi considerată aproximativ un cilindru, raza bazei, care poate fi măsurată. Volumul unui astfel de cilindru poate fi ușor calculat din formula finita. Adăugând volumele cilindrilor mici, obținem valoarea aproximativă a volumului întregii lămâi. Aproximația va fi cu atât mai precisă, cu atât părțile mai subțiri putem tăia lămâia.

2. Istoria apariţiei integralei. În urma lui Eudoxus, metoda „epuizării” și variantele sale pentru calcularea volumelor și suprafețelor au fost folosite de anticul savant Arhimede. Dezvoltând cu succes ideile predecesorilor săi, a determinat circumferința, aria cercului, volumul și suprafața mingii. El a arătat că determinarea volumelor unei sfere, a unui elipsoid, a unui hiperboloid și a unui paraboloid de revoluție se reduce la determinarea volumului unui cilindru.

Baza teoriei ecuațiilor diferențiale a fost calculul diferențial creat de Leibniz și Newton. Termenul „ecuație diferențială” în sine a fost propus în 1676 de Leibniz. 3. Istoricul apariţiei ecuaţiilor diferenţiale. Inițial, ecuațiile diferențiale au apărut din problemele mecanicii, în care se cerea să se determine coordonatele corpurilor, vitezele și accelerațiile acestora, considerate ca funcții ale timpului sub diferite influențe. Unele dintre problemele geometrice luate în considerare la acel moment au condus și la ecuații diferențiale.

3. Istoricul apariţiei ecuaţiilor diferenţiale. Din numărul imens de lucrări ale secolului al XVII-lea despre ecuații diferențiale se remarcă lucrările lui Euler (1707-1783) și Lagrange (1736-1813). În aceste lucrări, a fost dezvoltată mai întâi teoria oscilațiilor mici și, în consecință, teoria sisteme liniare ecuatii diferentiale; pe parcurs, au apărut conceptele de bază ale algebrei liniare ( valori propriişi vectori în cazul n-dimensional). După Newton, Laplace și Lagrange, și mai târziu Gauss (1777-1855), au dezvoltat și metodele teoriei perturbațiilor.

4. Aplicarea derivatei și integralei în matematică: În matematică, derivata este utilizată pe scară largă în rezolvarea multor probleme, ecuații, inegalități, precum și în procesul de studiu a unei funcții. Exemplu: Algoritm pentru studierea unei funcții pentru un extremum: 1)O.O.F. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 și rezolvați ecuația. 3) O.O.F. descompune-l în intervale. 4) Determinăm semnul derivatei pe fiecare interval. Dacă f ′(x)>0 , atunci funcția este crescătoare. Dacă f′(x)

4. Aplicarea derivatei și integralei în matematică: integrala (integrala definită) este folosită în matematică (geometrie) pentru a găsi aria unui trapez curbiliniu. Exemplu: Algoritm pentru găsirea ariei unei figuri plate folosind o integrală definită: 1) Construim un grafic al funcțiilor indicate. 2) Indicați figura delimitată de aceste drepte. 3) Aflați limitele integrării, notați integrala definită și calculați-o.

5. Aplicarea derivatei și integralei în fizică. În fizică, derivata este folosită în principal pentru a rezolva probleme, de exemplu: găsirea vitezei sau accelerației oricăror corpuri. Exemplu: 1) Legea mișcării unui punct de-a lungul unei drepte este dată de formula s(t)= 10t^2 , unde t este timpul (în secunde), s(t) este abaterea punctului la timpul t (în metri) de la poziția inițială. Aflați viteza și accelerația la momentul t dacă: t=1,5 s. 2) Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii x(t)= 2+20t+5t2. Aflați viteza și accelerația la momentul t=2s (x este coordonata punctului în metri, t este timpul în secunde).

Mărime fizică Valoare medie Valoare instantanee Viteză Accelerație Viteză unghiulară Curent Forță Putere

5. Aplicarea derivatei și integralei în fizică. Integrala este folosită și în probleme precum găsirea vitezei sau a distanței. Corpul se deplasează cu viteza v(t) = t + 2 (m/s). Găsiți calea pe care corpul o va parcurge în 2 secunde după începerea mișcării. Exemplu:

6. Aplicarea derivatei și integralei în electrotehnică. Derivatul și-a găsit aplicație și în inginerie electrică. În lanț curent electric incarcare electrica se modifică în timp conform legii q=q (t). Curentul I este derivata sarcinii q în raport cu timpul. I=q ′(t) Exemplu: 1) Sarcina care curge prin conductor se modifică conform legii q=sin(2t-10) Aflați puterea curentului în momentul t=5 sec. Integrala în inginerie electrică poate fi folosită pentru a rezolva probleme inverse, de ex. aflarea sarcinii electrice cunoscand puterea curentului etc. 2) Sarcina electrică care curge prin conductor, începând din momentul t \u003d 0, este dată de formula q (t) \u003d 3t2 + t + 2. Aflați puterea curentului la momentul t \u003d 3 s. Integrala în inginerie electrică poate fi folosită pentru a rezolva probleme inverse, de ex. aflarea sarcinii electrice cunoscand puterea curentului etc.

Conceptul de integrală este aplicabil pe scară largă în viață. Integralele sunt utilizate în diferite domenii ale științei și tehnologiei. Principalele sarcini calculate folosind integrale sunt sarcini pentru:

1. Aflarea volumului corpului

2. Găsirea centrului de masă al corpului.

Să luăm în considerare fiecare dintre ele mai detaliat. Aici și mai jos, pentru a desemna o integrală definită a unei funcții f(x), cu limite de integrare de la a la b, vom folosi următoarea notație ∫ a b f(x).

Aflarea volumului unui corp

Luați în considerare următoarea figură. Să presupunem că există un corp al cărui volum este egal cu V. Există și o dreaptă astfel încât dacă luăm un anumit plan perpendicular pe această dreaptă, aria secțiunii transversale S a acestui corp după acest plan va fi cunoscută.

Fiecare astfel de plan va fi perpendicular pe axa x și, prin urmare, îl va intersecta într-un punct x. Adică, fiecărui punct x din segment i se va atribui numărul S (x) - aria secțiunii transversale a corpului, planul care trece prin acest punct.

Rezultă că o anumită funcție S(x) va fi dată pe segment. Dacă această funcție este continuă pe acest segment, atunci următoarea formulă va fi valabilă:

V = ∫ a b S(x)dx.

Dovada acestei afirmații depășește domeniul de aplicare al curriculum-ului școlar.

Calcularea centrului de masă al unui corp

Centrul de masă este cel mai des folosit în fizică. De exemplu, există un corp care se mișcă cu orice viteză. Dar este incomod să considerăm un corp mare și, prin urmare, în fizică acest corp este considerat ca mișcarea unui punct, presupunând că acest punct are aceeași masă ca întregul corp.

Iar sarcina de a calcula centrul de masă al corpului este principala în această chestiune. Pentru că corpul este mare și care punct ar trebui luat ca centru de masă? Poate cel din mijlocul corpului? Sau poate cel mai apropiat punct de marginea anterioară? Aici intervine integrarea.

Următoarele două reguli sunt folosite pentru a găsi centrul de masă:

1. Coordonata x’ a centrului de masă al unui sistem de puncte materiale A1, A2,A3, … An cu mase m1, m2, m3, … mn, respectiv, situate pe o dreaptă în puncte cu coordonatele x1, x2, x3, … xn se găsește prin următoarea formulă:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Atunci când se calculează coordonatele centrului de masă, orice parte a figurii luate în considerare poate fi înlocuită cu punct material, în timp ce îl plasați în centrul de masă al acestei părți separate a figurii și luați masa egală cu masa acestei părți a figurii.

De exemplu, dacă o masă de densitate p(x) este distribuită de-a lungul tijei - un segment al axei Ox, unde p(x) este o funcție continuă, atunci coordonata centrului de masă x' va fi egală cu.

Imaginați-vă că avem un fel de funcție de dependență a ceva față de ceva.

De exemplu, așa puteți reprezenta aproximativ viteza muncii mele în funcție de ora din zi pe grafic:

Măsurez viteza în linii de cod pe minut, în viata reala Eu sunt un programator.

Cantitatea de muncă este rata de muncă înmulțită cu timpul. Adică dacă scriu 3 rânduri pe minut, atunci primesc pe oră 180. Dacă avem un astfel de program, poți afla cât de mult am lucrat într-o zi: aceasta este zona din program. Dar cum o calculezi?

Să împărțim graficul în coloane de lățime egală, în fiecare oră. Și vom face ca înălțimea acestor coloane să fie egală cu viteza de lucru la mijlocul acestei ore.

Aria fiecărei coloane individual este ușor de calculat, trebuie să-i înmulțiți lățimea cu înălțimea. Se pare că zona coloanei de pe plajă este aproximativ cât de multă muncă am făcut pentru fiecare oră. Și dacă însumați toate coloanele, obțineți o aproximativă a muncii mele pentru ziua respectivă.

Problema este că rezultatul va fi aproximativ, dar avem nevoie număr exact. Să împărțim graficul în coloane timp de o jumătate de oră:

Imaginea arată că acest lucru este deja mult mai aproape de ceea ce căutăm.

Deci puteți reduce segmentele de pe grafic la infinit și de fiecare dată ne vom apropia din ce în ce mai mult de zona de sub grafic. Și când lățimea coloanelor tinde spre zero, atunci suma ariilor lor va tinde spre zona de sub grafic. Aceasta se numește integrală și se notează după cum urmează:

În această formulă, f(x) înseamnă o funcție care depinde de valoarea lui x, iar literele a și b sunt segmentul pe care dorim să găsim integrala.

De ce este nevoie de asta?

Oamenii de știință încearcă să exprime toate fenomenele fizice sub forma unei formule matematice. Odată ce avem o formulă, o putem folosi pentru a calcula orice. Iar integrala este unul dintre instrumentele principale pentru lucrul cu funcții.

De exemplu, dacă avem formula pentru un cerc, putem folosi integrala pentru a-i calcula aria. Dacă avem formula pentru o sferă, atunci putem calcula volumul acesteia. Cu ajutorul integrării se găsesc energie, muncă, presiune, masă, sarcină electrică și multe alte cantități.

Nu, de ce am nevoie de el?

Da, nimic - doar așa, din curiozitate. De fapt, integralele sunt incluse chiar și în curiculumul scolar, dar nu mulți oameni din jur își amintesc ce este.

Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, amintiți-vă acele eseuri bune, control, referate, teze, articole și alte documente care se află nerevendicate pe computerul dvs. Aceasta este munca ta, ar trebui să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-le la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.

Pentru a descărca o arhivă cu un document, introduceți un număr de cinci cifre în câmpul de mai jos și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”

Documente similare

Cunoașterea istoriei conceptului de integrală. Distribuția calculului integral, descoperirea formulei Newton-Leibniz. Simbolul sumei; extinderea conceptului de sumă. Descrierea necesității de a exprima toate fenomenele fizice sub forma unei formule matematice.

prezentare, adaugat 26.01.2015

Idei de calcul integral în lucrările matematicienilor antici. Caracteristicile metodei de epuizare. Istoria găsirii formulei volumului torusului Kepler. Fundamentarea teoretică a principiului calculului integral (principiul lui Cavalieri). Conceptul de integrală definită.

prezentare, adaugat 07.05.2016

Istoria calculului integral. Definiția și proprietățile integralei duble. Interpretarea sa geometrică, calculul în coordonate carteziene și polare, reducerea lui la repetat. Aplicație în economie și geometrie pentru a calcula volume și suprafețe.

lucrare de termen, adăugată 16.10.2013

Definirea unei integrale curbilinii peste coordonate, principalele sale proprietăți și calcul. Condiția de independență a integralei curbilinii față de calea integrării. Calcularea ariilor figurilor folosind integrala dublă. Folosind formula lui Green.

test, adaugat 23.02.2011

Condiții pentru existența unei integrale definite. Aplicarea calculului integral. Calcul integral în geometrie. Aplicarea mecanică a integralei definite. Calcul integral în biologie. Calcul integral în economie.

lucrare de termen, adăugată 21.01.2008

Istoria calculului integral și diferențial. Aplicatii ale integralei definite la rezolvarea unor probleme de mecanica si fizica. Momentele și centrele de masă ale curbelor plane, teorema lui Gulden. Ecuatii diferentiale. Exemple de rezolvare a problemelor în MatLab.

rezumat, adăugat 09.07.2009

Conceptul de integrală Stieltjes. Termeni generali existența integralei Stieltjes, clase de cazuri ale existenței sale și trecerea la limita sub semnul său. Reducerea integralei Stieltjes la integrala Riemann. Aplicație în teoria probabilităților și mecanica cuantică.

teză, adăugată 20.07.2009