Lekcja „Okresowość funkcji y=sinx, y=cosx”. Sinus (sin x) i cosinus (cos x) - własności, wykresy, wzory

>> Okresowość funkcji y = sin x, y = cos x

§ 11. Okresowość funkcji y \u003d sin x, y \u003d cos x

W poprzednich akapitach wykorzystaliśmy siedem właściwości Funkcje: domena definicji, parzysta lub nieparzysta, monotoniczność, granica, największa i najmniejsza wartość, ciągłość, zakres funkcji. Wykorzystaliśmy te własności albo do skonstruowania grafu funkcji (jak to było na przykład w § 9) albo do odczytania skonstruowanego grafu (jak to było na przykład w § 10). Teraz nadszedł pomyślny moment wprowadzić jeszcze jedną (ósmą) właściwość funkcji, co doskonale widać na skonstruowanym powyżej wykresy funkcje y \u003d sin x (patrz ryc. 37), y \u003d cos x (patrz ryc. 41).

Definicja. Funkcja nazywa się okresową, jeśli istnieje niezerowa liczba T taka, że dla dowolnego x ze zbiorów, podwójna równość:

Liczba T, która spełnia określony warunek, nazywa się okresem funkcji y \u003d f (x).
Wynika z tego, że ponieważ dla dowolnego x, równości są prawdziwe:

wtedy funkcje y \u003d sin x, y \u003d cos x są okresowe, a liczba 2 P służy jako okres obu funkcji.
Okresowość funkcji jest obiecaną ósmą właściwością funkcji.

Teraz spójrz na wykres funkcji y \u003d sin x (ryc. 37). Aby zbudować sinusoidę, wystarczy zbudować jedną z jej fal (na odcinku, a następnie przesunąć tę falę wzdłuż osi x o. W efekcie za pomocą jednej fali zbudujemy cały wykres.

Spójrzmy z tego samego punktu widzenia na wykres funkcji y \u003d cos x (ryc. 41). Widzimy, że i tutaj, aby wykreślić wykres, wystarczy najpierw wykreślić jedną falę (np. na odcinku)

A następnie przesuń go wzdłuż osi x o
Podsumowując, wyciągamy następujący wniosek.

Jeśli funkcja y \u003d f (x) ma okres T, to aby wykreślić wykres funkcji, musisz najpierw wykreślić gałąź (falę, część) wykresu na dowolnym przedziale długości T (najczęściej zajmują przedział z końcami w punktach, a następnie przesuń tę gałąź wzdłuż osi x w prawo i w lewo do T, 2T, ZT itd.
Funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów: jeśli T jest okresem, to 2T jest okresem, a 3T jest okresem, a -T jest okresem; ogólnie rzecz biorąc, okres jest dowolną liczbą postaci KT, gdzie k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Zwykle, jeśli to możliwe, starają się wyróżnić najmniejszy dodatni okres, nazywa się to okresem głównym.
Tak więc dowolna liczba postaci 2pc, gdzie k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, jest okresem funkcji y \u003d sinn x, y \u003d cos x; 2p to główny okres obu funkcji.

Przykład. Znajdź główny okres funkcji:

a) Niech T będzie głównym okresem funkcji y \u003d sin x. Włóżmy

Aby liczba T była okresem funkcji, tożsamość Ho musi zachodzić, ponieważ rozmawiamy po znalezieniu głównego okresu otrzymujemy
b) Niech T będzie głównym okresem funkcji y = cos 0,5x. Niech f(x)=cos 0,5x. Następnie f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

Aby liczba T była okresem funkcji, musi być spełniona tożsamość cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

Tak więc 0,5t = 2pp. Ale ponieważ mówimy o znalezieniu głównego okresu, otrzymujemy 0,5T = 2 l, T = 4l.

Uogólnieniem wyników otrzymanych w przykładzie jest następujące stwierdzenie: główny okres funkcji

A.G. Algebra Mordkovicha, klasa 10

Treść lekcji podsumowanie lekcji wsparcie ramka prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samokontrola warsztaty, szkolenia, case, questy praca domowa pytania do dyskusji pytania retoryczne od studentów Ilustracje audio, wideoklipy i multimedia zdjęcia, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, żarty, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły chipy dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słowniczek pojęć inne Doskonalenie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementów innowacji na lekcji zastępując przestarzałą wiedzę nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza przez rok wytyczne programy dyskusyjne Zintegrowane lekcje

Wyśrodkowany w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Definicja
Zatoka jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a nogą trójkąt prostokątny, równy stosunkowi długości przeciwległego ramienia |BC| do długości przeciwprostokątnej |AC|.

Cosinus (cos α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniego ramienia |AB| do długości przeciwprostokątnej |AC|.

Przyjęte oznaczenia

;
;
.

Wykres funkcji sinus, y = sin x

Wykres funkcji cosinus, y = cos x

Własności sinusa i cosinusa

Okresowość

Funkcje y= grzech x i y= bo x okresowy z kropką 2 π.

Parytet

Funkcja sinus jest nieparzysta. Funkcja cosinus jest parzysta.

Domena definicji i wartości, ekstrema, wzrost, spadek

Funkcje sinus i cosinus są ciągłe w swojej dziedzinie definicji, to znaczy dla wszystkich x (patrz dowód ciągłości). Ich główne właściwości przedstawiono w tabeli (n - liczba całkowita).

	y= grzech x	y= bo x
Zakres i ciągłość	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Zakres wartości	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Rosnąco
Malejąco
Maksimum, y= 1
Minima, y = - 1
Zera, y= 0
Punkty przecięcia z osią y, x = 0	y= 0	y= 1

Podstawowe formuły

Suma sinusa do kwadratu i cosinusa

Wzory sinus i cosinus na sumę i różnicę

;
;

Wzory na iloczyn sinusów i cosinusów

Wzory na sumy i różnice

Wyrażenie od sinusa do cosinusa

;
;
;
.

Wyrażanie cosinusa przez sinus

;
;
;
.

Wyrażenie w kategoriach stycznych

; .

Dla , mamy:
; .

Na :
; .

Tablica sinusów i cosinusów, tangensów i cotangensów

Ta tabela pokazuje wartości sinusów i cosinusów dla niektórych wartości argumentu.

Wyrażenia poprzez złożone zmienne

;

Wzór Eulera

Wyrażenia w kategoriach funkcji hiperbolicznych

;
;

Pochodne

; . Wyprowadzanie wzorów > > >

Pochodne n-tego rzędu:
{ -∞ < x < +∞ }

Secans, cosecans

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne do sinusa i cosinusa są odpowiednio arcsine i arccosinus.

Arcsine, arcsin

Arccosinus, arccos

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni, Lan, 2009.

Instrukcja

Aby znaleźć okres funkcji trygonometrycznej podniesionej do potęgi, oceń równomierność potęgi. Aby skrócić standardowy okres o połowę. Na przykład, jeśli otrzymasz funkcję y \u003d 3 cos ^ 2x, wówczas standardowy okres 2P zmniejszy się 2 razy, więc okres będzie równy P. Zauważ, że funkcje tg, ctg są okresowe w dowolnym stopniu P.

Jeśli otrzymasz równanie, które zawiera lub jest ilorazem dwóch funkcji trygonometrycznych, najpierw znajdź okres dla każdej z nich osobno. Następnie znajdź minimalną liczbę, która pasowałaby do liczby całkowitej obu . Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję y=tgx*cos5x. Dla tangensa okres to P, dla cosinusa 5x okres to 2P/5. Minimalna liczba, która może zmieścić się w obu tych okresach, to 2 pensy, więc wymagany okres to 2 pensy.

Jeśli masz trudności z działaniem w proponowany sposób lub wątpisz w odpowiedź, spróbuj działać z definicji. Przyjmij T jako okres funkcji, jest większy od zera. Podstaw wyrażenie (x + T) w równaniu dla x i rozwiąż wynikową równość tak, jakby T było parametrem lub liczbą. Dzięki temu znajdziesz wartość funkcji trygonometrycznej i będziesz mógł wybrać minimalny okres. Na przykład w wyniku uproszczenia otrzymujesz grzech tożsamości (T / 2) \u003d 0. Minimalna wartość T przy której jest wykonywana to 2P, to będzie zadanie.

Źródła:

okres grzechu

Funkcja okresowa to funkcja, która powtarza swoje wartości po pewnym niezerowym okresie. Okres funkcji to liczba, której dodanie do argumentu funkcji nie zmienia wartości funkcji.

Będziesz potrzebować

Znajomość podstaw matematyki i początków analizy.

Instrukcja

Powiązane wideo

Uwaga

Wszystko funkcje trygonometryczne są okresowe, a wszystkie wielomiany o stopniu większym niż 2 są aperiodyczne.

Pomocna rada

Okres funkcji składającej się z dwóch funkcji okresowych jest najmniejszą wspólną wielokrotnością okresów tych funkcji.

Równania trygonometryczne to równania zawierające funkcje nieznanego argumentu (na przykład: 5sinx-3cosx =7). Aby dowiedzieć się, jak je rozwiązać - musisz znać kilka metod.

Instrukcja

Rozkład równania na czynniki. Najpierw przenosimy wszystkie warunki w lewo i rozkładamy na czynniki.

Należy pamiętać, że funkcje parzyste i nieparzyste mają linię prostą z dziedziną funkcji. Jeśli, na przykład, parzysty nieparzysta funkcja nie dla x=5, to nie istnieje dla x=-5, czego nie można powiedzieć o funkcji ogólny widok. Przy ustalaniu parzystych i nieparzystych zwróć uwagę na dziedzinę funkcji.

Badanie funkcji pod kątem parzystości i nieparzystości koreluje ze znalezieniem zbioru wartości funkcji. Aby znaleźć zbiór wartości funkcji parzystej, wystarczy wziąć pod uwagę połowę funkcji, na prawo lub na lewo od zera. Jeżeli dla x>0 funkcja parzysta y(x) przyjmuje od A do B, to będzie miała te same wartości dla x<0.
Aby znaleźć zbiór wartości przyjmowanych przez funkcję nieparzystą, wystarczy również wziąć pod uwagę tylko jedną funkcję. Jeżeli dla x>0 funkcja nieparzysta y(x) przyjmuje przedział wartości od A do B, to dla x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

„Trygonometryczne” kiedyś zaczęto nazywać funkcjami, które są określane przez zależność kątów ostrych w trójkącie prostokątnym od długości jego boków. Funkcje te obejmują po pierwsze sinus i cosinus, a po drugie sieczną i cosecans, które są odwrotne do tych funkcji, ich styczne i cotangensowe pochodne oraz funkcje odwrotne arcsinus, arccosinus itp. bardziej poprawne jest mówienie nie o „rozwiązaniu” takich funkcji, ale o ich „obliczeniu”, czyli o znalezieniu wartości liczbowej.

Instrukcja

Jeżeli argument trygonometryczny jest nieznany, to jego wartość można obliczyć pośrednio na podstawie definicji tych funkcji. Aby to zrobić, musisz znać długości boków trójkąta, trygonometryczne dla jednego z kątów, które chcesz obliczyć. Na przykład sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem długości nogi przeciwnej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Wynika z tego, że dla kąta wystarczy znać długości tych dwóch boków. Analogicznie mówi się, że sinus kąta ostrego jest stosunkiem długości nogi sąsiadującej z tym kątem do długości przeciwprostokątnej. Tangens kąta ostrego można obliczyć dzieląc długość przeciwległego ramienia przez długość sąsiedniego i wymaga podzielenia długości sąsiedniego ramienia przez długość przeciwległego. Aby obliczyć sieczną kąta ostrego, konieczne jest znalezienie stosunku długości przeciwprostokątnej do długości nogi sąsiadującej z pożądanym kątem, a cosecans jest określony przez stosunek długości przeciwprostokątnej do długość przeciwnej nogi.

Jeśli znany jest argument funkcji trygonometrycznej, to nie musisz znać długości boków trójkąta - możesz skorzystać z tabel wartości lub kalkulatorów funkcji trygonometrycznych. Jest to jeden ze standardowych programów systemu operacyjnego Windows. Aby go uruchomić, możesz nacisnąć kombinację klawiszy Win + R, wprowadzić polecenie calc i kliknąć przycisk OK. W interfejsie programu otwórz sekcję „Widok” i pozycję „Inżynieria” lub „Nauka”. Następnie możesz wprowadzić argument funkcji trygonometrycznej. Aby obliczyć funkcje sinus, cosinus, a po wpisaniu wartości wystarczy kliknąć odpowiedni przycisk interfejsu (sin, cos, tg) i znaleźć ich odwrotności względem arcus sinus, arccosinus, oraz należy najpierw sprawdzić Pole wyboru Inw.

Istnieją również alternatywne sposoby. Jednym z nich jest wejście na stronę wyszukiwarki Nigma lub Google i wpisanie żądanej funkcji oraz jej argumentu jako zapytania wyszukiwania (np. sin 0,47). Wyszukiwarki te mają wbudowane kalkulatory, więc po wysłaniu takiego zapytania otrzymasz wartość wprowadzonej funkcji trygonometrycznej.

Powiązane wideo

Funkcje trygonometryczne najpierw powstały jako narzędzia do abstrakcyjnych obliczeń matematycznych zależności wielkości kątów ostrych w trójkącie prostokątnym od długości jego boków. Obecnie są bardzo szeroko stosowane zarówno w naukowych, jak i technicznych dziedzinach działalności człowieka. Do praktycznych obliczeń funkcji trygonometrycznych z podanych argumentów można wykorzystać różne narzędzia - kilka z najbardziej dostępnych z nich zostało opisanych poniżej.

Instrukcja

Użyj na przykład programu kalkulatora zainstalowanego domyślnie z systemem operacyjnym. Otwiera się po wybraniu elementu "Kalkulator" w folderze "Narzędzia" z podsekcji "Standard", umieszczonej w sekcji "Wszystkie programy". Tę sekcję można otworzyć, klikając przycisk „Start” w menu głównym sali operacyjnej. Jeśli używasz wersji Windows 7, możesz po prostu wpisać „Kalkulator” w polu „Wyszukaj programy i pliki” w menu głównym, a następnie kliknąć odpowiedni link w wynikach wyszukiwania.

Wprowadź kąt, dla którego chcesz obliczyć funkcję trygonometryczną, a następnie kliknij odpowiedni przycisk - sin, cos lub tan. Jeśli interesują Cię odwrotne funkcje trygonometryczne (arcsine, arccosine lub ), to najpierw kliknij przycisk oznaczony Inv - odwraca funkcje przypisane do przycisków sterujących.

We wcześniejszych wersjach systemu operacyjnego (na przykład Windows XP), aby uzyskać dostęp do funkcji trygonometrycznych, otwórz sekcję „Widok” w menu kalkulatora i wybierz wiersz „Inżynieria”. Dodatkowo zamiast przycisku Inv w interfejsie starszych wersji programu znajduje się checkbox z tym samym napisem.

Możesz to zrobić bez kalkulatora, jeśli masz dostęp do Internetu. Istnieje wiele usług w sieci, które oferują różnie zorganizowane kalkulatory funkcji trygonometrycznych. Jeden z najwygodniejszych jest wbudowany w wyszukiwarkę Nigma. Przechodząc do jego strony głównej, po prostu wpisz interesującą Cię wartość w polu zapytania wyszukiwania - na przykład „ arcus tangens 30”. Po kliknięciu przycisku „Znajdź!” wyszukiwarka obliczy i wyświetli wynik obliczenia - 0.482347907101025.

Powiązane wideo

Trygonometria to gałąź matematyki do nauki, wyrażająca różne zależności boków trójkąta prostokątnego od wielkości kątów ostrych w przeciwprostokątnej. Takie funkcje nazywa się trygonometrycznymi i dla uproszczenia pracy z nimi wyprowadzono funkcje trygonometryczne. tożsamości.

pojęcie tożsamości oznacza równość, która jest spełniona dla dowolnych wartości argumentów zawartych w nim funkcji. Trygonometryczny tożsamości- są to równości funkcji trygonometrycznych, sprawdzone i zaakceptowane w celu ułatwienia pracy ze wzorami trygonometrycznymi.Funkcja trygonometryczna to elementarna funkcja zależności jednego z boków trójkąta prostokątnego od wielkości kąta ostrego w przeciwprostokątnej . Sześć podstawowych funkcji trygonometrycznych najczęściej używanych to sin (sinus), cos (cosinus), tg (tangens), ctg (cotangens), sec (secans) i cosec (cosecans). Funkcje te nazywane są bezpośrednimi, są też

Cel: uogólnienie i usystematyzowanie wiedzy uczniów na temat „Periodyczność funkcji”; wykształcić umiejętności stosowania właściwości funkcji okresowej, znajdowania najmniejszego dodatniego okresu funkcji, wykreślania funkcji okresowych; promować zainteresowanie nauką matematyki; pielęgnuj obserwację, dokładność.

Wyposażenie: komputer, projektor multimedialny, karty zadań, slajdy, zegary, ozdobne stoły, elementy rękodzieła ludowego

„Matematyka jest tym, czego ludzie używają do kontrolowania natury i siebie”
JAKIŚ. Kołmogorów

Podczas zajęć

I. Etap organizacyjny.

Sprawdzenie gotowości uczniów do lekcji. Prezentacja tematu i celów lekcji.

II. Sprawdzam pracę domową.

Sprawdzamy pracę domową według próbek, omawiamy najtrudniejsze punkty.

III. Generalizacja i systematyzacja wiedzy.

1. Praca czołowa w jamie ustnej.

Pytania teoretyczne.

1) Sformułuj definicję okresu funkcji
2) Jaki jest najmniejszy dodatni okres funkcji y=sin(x), y=cos(x)
3). Jaki jest najmniejszy dodatni okres funkcji y=tg(x), y=ctg(x)
4) Użyj koła, aby udowodnić poprawność relacji:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Jak wykreślić funkcję okresową?

ćwiczenia ustne.

1) Udowodnij następujące relacje

a) grzech(740º) = grzech(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) grzech(-1000º) = grzech(80º)

2. Wykazać, że kąt 540º jest jednym z okresów funkcji y= cos(2x)

3. Wykazać, że kąt 360º jest jednym z okresów funkcji y=tg(x)

4. Przekształć te wyrażenia tak, aby kąty w nich zawarte nie przekraczały 90º w wartości bezwzględnej.

a) tg375º
b) ctg530º
c) grzech1268º
d) cos(-7363º)

5. Gdzie spotkałeś się ze słowami OKRES, OKRESOWOŚĆ?

Odpowiedzi uczniów: Okres w muzyce to konstrukcja, w której zawarta jest mniej lub bardziej kompletna myśl muzyczna. Okres geologiczny jest częścią epoki i jest podzielony na epoki o okresie od 35 do 90 milionów lat.

Okres półtrwania substancji radioaktywnej. Frakcja okresowa. Czasopisma to publikacje drukowane, które ukazują się w ściśle określonych terminach. Układ okresowy Mendelejewa.

6. Rysunki przedstawiają fragmenty wykresów funkcji okresowych. Określ okres funkcji. Określ okres funkcji.

Odpowiedź: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Gdzie w swoim życiu spotkałeś się z konstrukcją powtarzających się elementów?

Uczniowie odpowiadają: Elementy ozdoby, sztuka ludowa.

IV. Zbiorowe rozwiązywanie problemów.

(Rozwiązywanie problemów na slajdach.)

Rozważmy jeden ze sposobów badania funkcji okresowości.

Metoda ta omija trudności związane z udowodnieniem, że taki czy inny okres jest najmniejszy, a także nie ma potrzeby dotykania pytań o działania arytmetyczne na funkcjach okresowych io okresowość funkcji zespolonej. Rozumowanie opiera się tylko na definicji funkcji okresowej i na następującym fakcie: jeśli T jest okresem funkcji, to nT(n? 0) jest jej okresem.

Zadanie 1. Znajdź najmniejszy dodatni okres funkcji f(x)=1+3(x+q>5)

Rozwiązanie: Załóżmy, że okres T tej funkcji. Wtedy f(x+T)=f(x) dla wszystkich x ∈ D(f), tj.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Niech x=-0,25 otrzymamy

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Otrzymaliśmy, że wszystkie okresy rozważanej funkcji (jeśli istnieją) należą do liczb całkowitych. Wybierz spośród tych liczb najmniejszą liczbę dodatnią. To jest 1 . Sprawdźmy, czy to rzeczywiście miesiączka 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Ponieważ (T+1)=(T) dla dowolnego T, to f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), tj. 1 - okres fa. Ponieważ 1 jest najmniejszą ze wszystkich dodatnich liczb całkowitych, to T=1.

Zadanie 2. Pokaż, że funkcja f(x)=cos 2 (x) jest okresowa i znajdź jej okres główny.

Zadanie 3. Znajdź główny okres funkcji

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Załóżmy okres T funkcji, a następnie dla dowolnego X stosunek

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Jeśli x=0 to

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

grzech (1,5 T) + 5 cos (0,75 T) = 5

Jeśli x=-T, to

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

grzech (1,5 T) + 5 cos (0,75 T) = 5

– grzech(1,5 t)+5cos(0,75 t)=5

Dodając, otrzymujemy:

10cos (0,75T)=10

2π n, n € Z

Wybierzmy spośród wszystkich liczb "podejrzanych" dla okresu najmniejszą dodatnią i sprawdźmy, czy jest to okres dla f. Ten numer

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Stąd jest główny okres funkcji f.

Zadanie 4. Sprawdź, czy funkcja f(x)=sin(x) jest okresowa

Niech T będzie okresem funkcji f. Następnie dla dowolnego x

sin|x+T|=sin|x|

Jeśli x=0, to sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Przypuszczać. Że dla pewnego n liczba π n jest okresem

rozważana funkcja π n>0. Wtedy sin|π n+x|=sin|x|

Oznacza to, że n musi być jednocześnie parzyste i nieparzyste, co jest niemożliwe. Dlatego ta funkcja nie jest okresowa.

Zadanie 5. Sprawdź, czy funkcja jest okresowa

f(x)=

Niech T będzie okresem f, wtedy

, stąd sinT=0, T=π n, n € Z. Załóżmy, że dla pewnego n liczba π n jest rzeczywiście okresem danej funkcji. Wtedy liczba 2π n również będzie okresem

Ponieważ liczniki są równe, więc ich mianowniki są równe, więc

Stąd funkcja f nie jest okresowa.

Praca grupowa.

Zadania dla grupy 1.

Zadania dla grupy 2.

Sprawdź, czy funkcja f jest okresowa i znajdź jej główny okres (jeśli istnieje).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Zadania dla grupy 3.

Na zakończenie pracy grupy prezentują swoje rozwiązania.

VI. Podsumowując lekcję.

Odbicie.

Nauczyciel daje studentom karty z rysunkami i proponuje zamalowanie części pierwszego rysunku zgodnie z tym, w jakim stopniu, jak im się wydaje, opanowali metody badania funkcji dla okresowości, a w części drugiego rysunku , zgodnie z ich wkładem w pracę na lekcji.

VII. Zadanie domowe

jeden). Sprawdź, czy funkcja f jest okresowa i znajdź jej główny okres (jeśli istnieje)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcja y=f(x) ma okres T=2 i f(x)=x 2 +2x dla x € [-2; 0]. Znajdź wartość wyrażenia -2f(-3)-4f(3,5)

Literatura/