Własności sinusów i cosinusów wzoru. Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji trygonometrycznych i ich wykorzystaniem w geometrii. Rozwój trygonometrii rozpoczął się w czasach starożytnej Grecji. W średniowieczu naukowcy z Bliskiego Wschodu i Indii wnieśli istotny wkład w rozwój tej nauki.

Artykuł poświęcony jest podstawowym pojęciom i definicjom trygonometrii. Omówiono definicje głównych funkcji trygonometrycznych: sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Wyjaśniono i zilustrowano ich znaczenie w kontekście geometrii.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Początkowo definicje funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest kąt, były wyrażane przez stosunek boków trójkąta prostokątnego.

Definicje funkcji trygonometrycznych

Sinus kąta (sin α) jest stosunkiem nogi przeciwnej do tego kąta do przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta (cos α) to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta (t g α) jest stosunkiem przeciwległego ramienia do sąsiedniego.

Cotangens kąta (ct g α) to stosunek sąsiedniego ramienia do przeciwległego.

Te definicje podano dla kąta ostrego trójkąta prostokątnego!

Podajmy ilustrację.

W trójkącie ABC o kącie prostym C sinus kąta A jest równy stosunkowi odnogi BC do przeciwprostokątnej AB.

Definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa umożliwiają obliczenie wartości tych funkcji ze znanych długości boków trójkąta.

Ważne do zapamiętania!

Zakres wartości sinusa i cosinusa: od -1 do 1. Innymi słowy, sinus i cosinus przyjmują wartości od -1 do 1. Zakres wartości tangens i cotangens to cała oś liczbowa, czyli te funkcje mogą przyjmować dowolną wartość.

Podane powyżej definicje odnoszą się do kątów ostrych. W trygonometrii wprowadza się pojęcie kąta obrotu, którego wartość, w przeciwieństwie do kąta ostrego, nie jest ograniczona ramkami od 0 do 90 st. Kąt obrotu w stopniach lub radianach wyraża się dowolną liczbą rzeczywistą od - ∞ do + ∞.

W tym kontekście można zdefiniować sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta o dowolnej wielkości. Wyobraź sobie okrąg jednostkowy wyśrodkowany na początku kartezjańskiego układu współrzędnych.

Punkt początkowy A o współrzędnych (1 , 0) obraca się wokół środka okręgu jednostkowego o pewien kąt α i przechodzi do punktu A 1 . Definicja jest podana poprzez współrzędne punktu A 1 (x, y).

Sinus (sin) kąta obrotu

Sinus kąta obrotu α jest rzędną punktu A 1 (x, y). sinα = y

Cosinus (cos) kąta obrotu

Cosinus kąta obrotu α jest odciętą punktu A 1 (x, y). cos α = x

Tangens (tg) kąta obrotu

Tangens kąta obrotu α jest stosunkiem rzędnej punktu A 1 (x, y) do jego odciętej. t g α = y x

Cotangens (ctg) kąta obrotu

Cotangens kąta obrotu α jest stosunkiem odciętej punktu A 1 (x, y) do jego rzędnej. c t g α = x y

Sinus i cosinus są definiowane dla dowolnego kąta obrotu. Jest to logiczne, ponieważ odciętą i rzędną punktu po obrocie można wyznaczyć pod dowolnym kątem. Inaczej jest z tangensem i cotangensem. Styczna nie jest zdefiniowana, gdy punkt po obrocie przechodzi do punktu z zerową odciętą (0 , 1) i (0 , - 1). W takich przypadkach wyrażenie na styczną t g α = y x po prostu nie ma sensu, ponieważ zawiera dzielenie przez zero. Podobnie jest z cotangensem. Różnica polega na tym, że cotangens nie jest zdefiniowany w przypadkach, gdy znika rzędna punktu.

Ważne do zapamiętania!

Sinus i cosinus są zdefiniowane dla dowolnych kątów α.

Styczna jest zdefiniowana dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Cotangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Rozwiązując praktyczne przykłady, nie mów „sinus kąta obrotu α”. Słowa „kąt obrotu” są po prostu pominięte, co sugeruje, że z kontekstu już wiadomo, o co toczy się gra.

Liczby

A co z definicją sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby, a nie kąta obrotu?

Sinus, cosinus, tangens, cotangens liczby

Sinus, cosinus, tangens i cotangens liczby t wywoływana jest liczba, która jest odpowiednio równa sinusowi, cosinusowi, tangensowi i cotangensowi in t radian.

Na przykład sinus 10 π jest równy sinusowi kąta obrotu 10 π rad.

Istnieje inne podejście do definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby. Rozważmy to bardziej szczegółowo.

Dowolna liczba rzeczywista t punkt na okręgu jednostkowym jest umieszczany zgodnie ze środkiem w początku prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych. Sinus, cosinus, tangens i cotangens są definiowane w kategoriach współrzędnych tego punktu.

Punktem początkowym na okręgu jest punkt A o współrzędnych (1 , 0).

Liczba dodatnia t

Liczba ujemna t odpowiada punktowi, do którego przesunie się punkt początkowy, jeśli przesunie się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół okręgu i minie ścieżkę t .

Teraz, gdy ustalono związek między liczbą a punktem na okręgu, przechodzimy do definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Sin (sin) liczby t

Sinus liczby t- rzędna punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. grzech t = y

Cosinus (cos) z t

Cosinus liczby t- odcięta punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. cos t = x

Tangens (tg) z t

Tangens liczby t- stosunek rzędnej do odciętej punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. t g t = y x = sin t cos t

Te ostatnie definicje są zgodne i nie są sprzeczne z definicją podaną na początku tej sekcji. Punkt na okręgu odpowiadającym liczbie t, pokrywa się z punktem, do którego przechodzi punkt początkowy po skręcie o kąt t radian.

Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego i liczbowego

Każda wartość kąta α odpowiada pewnej wartości sinusa i cosinusa tego kąta. Tak jak wszystkie kąty α inne niż α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odpowiada pewnej wartości tangensa. Cotangens, jak wspomniano powyżej, jest zdefiniowany dla wszystkich α, z wyjątkiem α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Możemy powiedzieć, że sin α , cos α , t g α , c t g α są funkcjami kąta alfa lub funkcjami argumentu kątowego.

Podobnie można mówić o sinus, cosinus, tangens i cotangens jako funkcjach argumentu liczbowego. Każda liczba rzeczywista t odpowiada określonej wartości sinusa lub cosinusa liczby t. Wszystkie liczby inne niż π 2 + π · k , k ∈ Z odpowiadają wartości tangensa. Cotangens jest podobnie zdefiniowany dla wszystkich liczb z wyjątkiem π · k , k ∈ Z.

Podstawowe funkcje trygonometrii

Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe funkcje trygonometryczne.

Z kontekstu zwykle wynika, z jakim argumentem funkcji trygonometrycznej (argument kątowy czy argument liczbowy) mamy do czynienia.

Wróćmy do danych na samym początku definicji i kąta alfa, który zawiera się w przedziale od 0 do 90 stopni. Trygonometryczne definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa są w pełni zgodne z definicjami geometrycznymi podanymi przez stosunki boków trójkąta prostokątnego. Pokażmy to.

Weźmy okrąg jednostkowy wyśrodkowany na prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych. Obróćmy punkt początkowy A (1, 0) o kąt do 90 stopni i narysujmy od wynikowego punktu A 1 (x, y) prostopadle do osi x. W powstałym trójkącie prostokątnym kąt A 1 OH jest równy kątowi obrotu α, długość ramienia OH jest równa odciętej punktu A 1 (x, y) . Długość odnogi przeciwległej do narożnika jest równa rzędnej punktu A 1 (x, y), a długość przeciwprostokątnej jest równa jedynce, ponieważ jest to promień okręgu jednostkowego.

Zgodnie z definicją z geometrii, sinus kąta α jest równy stosunkowi przeciwległej nogi do przeciwprostokątnej.

grzech α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Oznacza to, że definicja sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym przez współczynnik kształtu jest równoważna definicji sinusa kąta obrotu α, gdzie alfa mieści się w zakresie od 0 do 90 stopni.

Podobnie, zgodność definicji można wykazać dla cosinusa, tangensa i cotangensa.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych.

Rozwiązanie równań trygonometrycznych o dowolnym poziomie złożoności ostatecznie sprowadza się do rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych. I w tym okrąg trygonometryczny ponownie okazuje się najlepszym pomocnikiem.

Przypomnij sobie definicje cosinusa i sinusa.

Cosinus kąta to odcięta (czyli współrzędna wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego obrocie o dany kąt.

Sinus kąta jest rzędną (czyli współrzędną wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego obrocie o dany kąt.

Za dodatni kierunek ruchu po okręgu trygonometrycznym uważa się ruch w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Obrót 0 stopni (lub 0 radianów) odpowiada punktowi o współrzędnych (1; 0)

Używamy tych definicji do rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych.

1. Rozwiąż równanie

Równanie to spełniają wszystkie takie wartości kąta obrotu , które odpowiadają punktom okręgu, którego rzędna jest równa .

Oznaczmy punkt rzędną na osi y:

Narysuj poziomą linię równoległą do osi X, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymamy dwa punkty leżące na okręgu i mające rzędną. Punkty te odpowiadają kątom obrotu i radianom:

Jeśli opuściwszy punkt odpowiadający kątowi obrotu na radian, okrążymy pełne koło, to dojdziemy do punktu odpowiadającego kątowi obrotu na radian i posiadającego tę samą rzędną. Oznacza to, że ten kąt obrotu również spełnia nasze równanie. Możemy wykonać tyle „bezczynnych” zakrętów, ile chcemy, wracając do tego samego punktu, a wszystkie te wartości kątów spełnią nasze równanie. Liczba „bezczynnych” obrotów jest oznaczona literą (lub). Ponieważ możemy wykonywać te obroty zarówno w kierunku dodatnim, jak i ujemnym, (lub ) może przyjmować dowolne wartości całkowite.

Oznacza to, że pierwsza seria rozwiązań pierwotnego równania ma postać:

, , - zbiór liczb całkowitych (1)

Podobnie druga seria rozwiązań ma postać:

, gdzie , . (2)

Jak się domyślasz, ta seria rozwiązań opiera się na punkcie koła odpowiadającym kątowi obrotu przez .

Te dwie serie rozwiązań można połączyć w jeden wpis:

Jeśli weźmiemy pod uwagę ten wpis (czyli nawet), to otrzymamy pierwszą serię rozwiązań.

Jeśli weźmiemy pod uwagę ten wpis (czyli nieparzysty), to otrzymamy drugą serię rozwiązań.

2. Teraz rozwiążmy równanie

Ponieważ jest odciętą punktu okręgu jednostkowego uzyskaną przez obrót o kąt , zaznaczamy na osi punkt z odciętą :

Narysuj pionową linię równoległą do osi, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymamy dwa punkty leżące na kole i mające odciętą. Punkty te odpowiadają kątom obrotu i radianom. Przypomnijmy, że poruszając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymujemy ujemny kąt obrotu:

Wypisujemy dwie serie rozwiązań:

,

,

(Dochodzimy do właściwego punktu, przechodząc z głównego pełnego koła, czyli.

Połączmy te dwie serie w jeden post:

3. Rozwiąż równanie

Linia stycznych przechodzi przez punkt o współrzędnych (1,0) okręgu jednostkowego równoległego do osi OY

Zaznacz na nim punkt o rzędnej równej 1 (szukamy stycznej, której kąty wynoszą 1):

Połącz ten punkt z początkiem linią prostą i zaznacz punkty przecięcia linii z okręgiem jednostkowym. Punkty przecięcia prostej i okręgu odpowiadają kątom obrotu na i :

Ponieważ punkty odpowiadające kątom obrotu, które spełniają nasze równanie, leżą w promieniach od siebie, możemy zapisać rozwiązanie w następujący sposób:

4. Rozwiąż równanie

Linia cotangensów przechodzi przez punkt, którego współrzędne okręgu jednostkowego są równoległe do osi.

Zaznaczamy punkt odciętą -1 na linii cotangensów:

Połącz ten punkt z początkiem prostej i kontynuuj, aż przetnie się z okręgiem. Linia ta przetnie okrąg w punktach odpowiadających kątom obrotu i radianom:

Ponieważ punkty te są oddzielone od siebie odległością równą , to możemy zapisać ogólne rozwiązanie tego równania w następujący sposób:

W podanych przykładach, ilustrujących rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych, zastosowano tabelaryczne wartości funkcji trygonometrycznych.

Jeśli jednak po prawej stronie równania znajduje się wartość nietabeli, to podstawiamy ją w ogólnym rozwiązaniu równania:

ROZWIĄZANIA SPECJALNE:

Zaznacz punkty na okręgu, którego rzędna wynosi 0:

Zaznacz pojedynczy punkt na okręgu, którego rzędna jest równa 1:

Zaznacz pojedynczy punkt na okręgu, którego rzędna jest równa -1:

Ponieważ zwyczajowo podaje się wartości najbliższe zeru, rozwiązanie zapisujemy w następujący sposób:

Zaznacz punkty na kole, którego odcięta wynosi 0:

5.
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego odcięta jest równa 1:

Zaznacz pojedynczy punkt na okręgu, którego odcięta jest równa -1:

I kilka bardziej złożonych przykładów:

1.

Sinus jest jeden, jeśli argumentem jest

Argumentem naszego sinusa jest , więc otrzymujemy:

Podziel obie strony równania przez 3:

Odpowiedź:

2.

Cosinus wynosi zero, jeśli argumentem cosinus jest

Argumentem naszego cosinusa jest , więc otrzymujemy:

Wyrażamy , w tym celu najpierw poruszamy się w prawo z przeciwnym znakiem:

Uprość prawą stronę:

Podziel obie części przez -2:

Zauważ, że znak przed wyrazem nie zmienia się, ponieważ k może przyjmować dowolne wartości całkowite.

Odpowiedź:

Podsumowując, obejrzyj samouczek wideo „Wybór pierwiastków w równaniu trygonometrycznym za pomocą koła trygonometrycznego”

Na tym kończy się rozmowa na temat rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych. Następnym razem porozmawiamy o tym, jak rozwiązać.

Początkowo sinus i cosinus powstały ze względu na konieczność obliczania wielkości w trójkątach prostokątnych. Zauważono, że jeśli wartość miary stopnia kątów w trójkącie prostokątnym nie ulega zmianie, to proporcje, niezależnie od tego, jak bardzo zmieniają się te boki, zawsze pozostają takie same.

W ten sposób wprowadzono pojęcia sinusa i cosinusa. Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem nogi przeciwnej do przeciwprostokątnej, a cosinus jest stosunkiem nogi sąsiedniej do przeciwprostokątnej.

Twierdzenia o cosinusach i sinusach

Ale cosinusy i sinusy mogą być używane nie tylko w trójkątach prostokątnych. Aby znaleźć wartość kąta rozwartego lub ostrego, czyli boku dowolnego trójkąta, wystarczy zastosować twierdzenie cosinus i sinus.

Twierdzenie o cosinusach jest dość proste: „Kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków minus dwukrotność iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi”.

Istnieją dwie interpretacje twierdzenia sinus: mała i rozszerzona. Według małego: „W trójkącie kąty są proporcjonalne do przeciwnych boków”. Twierdzenie to jest często rozszerzane ze względu na właściwość koła opisanego wokół trójkąta: „W trójkącie kąty są proporcjonalne do przeciwnych boków, a ich stosunek jest równy średnicy koła opisanego”.

Pochodne

Pochodna to narzędzie matematyczne, które pokazuje, jak szybko zmienia się funkcja w odniesieniu do zmiany jej argumentu. Pochodne są używane w geometrii oraz w wielu dyscyplinach technicznych.

Rozwiązując problemy, musisz znać tabelaryczne wartości pochodnych funkcji trygonometrycznych: sinusa i cosinusa. Pochodną sinusa jest cosinus, a pochodną cosinusa jest sinus, ale ze znakiem minus.

Zastosowanie w matematyce

Szczególnie często sinusy i cosinusy są używane w rozwiązywaniu trójkątów prostokątnych i problemów z nimi związanych.

Wygoda sinusów i cosinusów znajduje również odzwierciedlenie w technologii. Kąty i boki były łatwe do oceny przy użyciu twierdzeń cosinusów i sinusów, dzieląc złożone kształty i obiekty na „proste” trójkąty. Inżynierowie i często zajmujący się obliczeniami współczynników kształtu i miar stopnia, spędzili dużo czasu i wysiłku na obliczaniu cosinusów i sinusów kątów nietabelowych.

Wtedy na ratunek przyszły tablice Bradis, zawierające tysiące wartości sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów o różnych kątach. W czasach sowieckich niektórzy nauczyciele zmuszali swoich podopiecznych do zapamiętywania stron tablic Bradisa.

Radian - wartość kątowa łuku na długości równej promieniowi lub 57.295779513 stopni.

Stopień (w geometrii) - 1/360 okręgu lub 1/90 kąta prostego.

π = 3,141592653589793238462… (przybliżona wartość pi).

Tabela cosinusów dla kątów: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Kąt x (w stopniach)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Kąt x (w radianach)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
bo x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Nasze badanie trygonometrii rozpoczynamy od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, co to jest sinus i cosinus, a także tangens i cotangens kąta ostrego. To są podstawy trygonometrii.

Odwołaj to prosty kąt to kąt równy 90 stopni. Innymi słowy połowa rozłożonego narożnika.

Ostry róg- mniej niż 90 stopni.

Kąt rozwarty- powyżej 90 stopni. W stosunku do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, a matematycznym terminem :-)

Narysujmy trójkąt prostokątny. Zazwyczaj oznaczany jest kąt prosty. Zauważ, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Tak więc oznaczono stronę leżącą przeciwnie do kąta A.

Kąt jest oznaczony odpowiednią grecką literą.

Przeciwprostokątna Trójkąt prostokątny to strona przeciwna do kąta prostego.

Nogi- boki przeciwległe do ostrych rogów.

Noga naprzeciwko rogu nazywa się naprzeciwko(w stosunku do kąta). Druga noga, która leży po jednej stronie narożnika, nazywa się przylegający.

Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:

Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej (lub równoważnie stosunek cosinusa do sinusa):

Zwróć uwagę na podstawowe współczynniki dla sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, które podano poniżej. Przydadzą się nam w rozwiązywaniu problemów.

Udowodnijmy niektóre z nich.

Dobra, podaliśmy definicje i napisane formuły. Ale po co nam sinus, cosinus, tangens i cotangens?

Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta wynosi.

Znamy związek między imprezy trójkąt prostokątny. Oto twierdzenie Pitagorasa: .

Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki w trójkącie prostokątnym, możesz znaleźć trzeci. Tak więc dla kątów - ich stosunek, dla boków - ich własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znany jest jeden kąt (oprócz prawego) i jedna strona, ale trzeba znaleźć inne boki?

Z tym mierzyli się ludzie w przeszłości, robiąc mapy okolicy i rozgwieżdżonego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.

Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje trygonometryczne kąta- podaj stosunek między imprezy oraz rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i tangensy kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.

Narysujemy również tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.

Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Dla odpowiednich wartości kątów tangens i cotangens nie istnieją.

Przeanalizujmy kilka problemów z trygonometrii z zadań Banku FIPI.

1. W trójkącie kąt to , . Znajdować .

Problem został rozwiązany w cztery sekundy.

O ile , .

2. W trójkącie kąt to , , . Znajdować .

Znajdźmy według twierdzenia Pitagorasa.

Problem rozwiązany.

Często w problemach występują trójkąty z kątami i/lub z kątami i . Zapamiętaj na pamięć podstawowe dla nich proporcje!

Dla trójkąta z kątami i odnogą przeciwną do kąta w jest równe połowa przeciwprostokątnej.

Trójkąt z kątami i równoramiennymi. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.

Rozważaliśmy problemy związane z rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych - czyli znajdowaniem nieznanych boków lub kątów. Ale to nie wszystko! W wariantach egzaminu z matematyki jest wiele zadań, w których pojawia się sinus, cosinus, tangens lub cotangens zewnętrznego kąta trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.

Zrozumienie prostych pojęć: sinus i cosinus i obliczenia cosinus do kwadratu i sinus do kwadratu.

Sinus i cosinus są badane w trygonometrii (nauce o trójkątach pod kątem prostym).

Dlatego na początek przypomnijmy podstawowe pojęcia trójkąta prostokątnego:

Przeciwprostokątna- strona, która zawsze leży pod kątem prostym (kąt 90 stopni). Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego.

Pozostałe dwa boki w trójkącie prostokątnym to nogi.

Pamiętaj też, że trzy kąty w trójkącie zawsze sumują się do 180°.

Przejdźmy teraz do cosinus i sinus kąta alfa (∠α)(dzięki czemu możesz nazwać dowolny kąt nieprosty w trójkącie lub użyć jako symbolu) x - "x", co nie zmienia istoty).

Sinus kąta alfa (sin ∠α)- to postawa naprzeciwko noga (strona przeciwna do odpowiedniego kąta) do przeciwprostokątnej. Jeśli spojrzysz na figurę, to grzech ∠ABC = AC / BC

Cosinus kąta alfa (cos ∠α)- postawa przylegający od kąta nogi do przeciwprostokątnej. Patrząc ponownie na powyższy rysunek, to cos ∠ABC = AB / BC

Dla przypomnienia: cosinus i sinus nigdy nie będą większe niż jeden, ponieważ każda rolka jest krótsza niż przeciwprostokątna (a przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem każdego trójkąta, ponieważ najdłuższy bok znajduje się naprzeciwko największego kąta w trójkącie) .

Cosinus do kwadratu, sinus do kwadratu

Przejdźmy teraz do podstawowych wzorów trygonometrycznych: obliczania cosinusa do kwadratu i sinusa do kwadratu.

Aby je obliczyć, należy pamiętać o podstawowej tożsamości trygonometrycznej:

sin 2 α + cos 2 α = 1(sinus kwadrat plus cosinus kwadrat jednego kąta zawsze równa się jeden).

Z tożsamości trygonometrycznej wyciągamy wnioski dotyczące sinusa:

grzech 2 α \u003d 1 - cos 2 α

sinus kwadrat alfa jest równy jeden minus cosinus podwójnego kąta alfa, a wszystko to jest dzielone przez dwa.

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Z tożsamości trygonometrycznej wyciągamy wnioski dotyczące cosinusa:

cos 2 α \u003d 1 - grzech 2 α

lub bardziej złożona wersja formuły: cosinus kwadrat alfa jest równy jeden plus cosinus podwójnego kąta alfa, a także dzieli wszystko przez dwa.

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Te dwa bardziej złożone formuły sinus do kwadratu i cosinus do kwadratu są również nazywane „redukcją mocy dla kwadratów funkcji trygonometrycznych”. Tych. był drugi stopień, obniżony do pierwszego i obliczenia stały się wygodniejsze.