Sudėtingo kintamojo funkcijos.
Sudėtingo kintamojo funkcijų diferenciacija.

Šis straipsnis atidaro pamokų, kurias aš pažvelgsiu, seriją tipinės užduotys siejamas su kompleksinio kintamojo funkcijų teorija. Norėdami sėkmingai įvaldyti pavyzdžius, turite turėti pagrindinės žinios apie kompleksinius skaičius. Norint konsoliduoti ir pakartoti medžiagą, pakanka apsilankyti puslapyje. Jums taip pat reikės įgūdžių, kad surastumėte antros eilės daliniai išvestiniai. Štai jie, šie daliniai dariniai... net ir dabar buvau šiek tiek nustebęs, kaip dažnai jie pasitaiko...

Tema, kurią pradedame analizuoti, nėra ypač sunki, o sudėtingo kintamojo funkcijose iš esmės viskas yra aišku ir prieinama. Svarbiausia yra laikytis pagrindinės taisyklės, kurią aš išvedžiau empiriškai. Skaityk!

Sudėtingo kintamojo funkcijos samprata

Pirmiausia atnaujinkime žinias apie vieno kintamojo mokyklos funkciją:

Vieno kintamojo funkcija yra taisyklė, pagal kurią kiekviena nepriklausomo kintamojo reikšmė (iš apibrėžimo srities) atitinka vieną ir tik vieną funkcijos reikšmę. Natūralu, kad „x“ ir „y“ yra tikrieji skaičiai.

Sudėtingu atveju funkcinė priklausomybė pateikiama panašiai:

Sudėtingo kintamojo vienareikšmė funkcija yra taisyklė, kad visi integruotas nepriklausomo kintamojo reikšmė (iš srities) atitinka vieną ir tik vieną visapusiškas funkcijos reikšmė. Teoriškai taip pat svarstomos daugiareikšmės ir kai kurios kitos funkcijos, tačiau dėl paprastumo aš sutelksiu dėmesį į vieną apibrėžimą.

Kokia yra sudėtingo kintamojo funkcija?

Pagrindinis skirtumas yra tas, kad skaičiai yra sudėtingi. Aš ne ironizuoju. Iš tokių klausimų jie dažnai patenka į stuporą, straipsnio pabaigoje papasakosiu šaunią istoriją. Pamokoje Sudėtingi skaičiai manekenams laikėme kompleksinį skaičių formoje . Nuo šiol raidė „Z“ tapo kintamasis, tada žymėsime taip: , o „x“ ir „y“ gali skirtis galioja vertybes. Grubiai tariant, sudėtingo kintamojo funkcija priklauso nuo kintamųjų ir , kurie įgauna „įprastas“ reikšmes. Iš Šis faktas logiškai seka toks punktas:

Sudėtingo kintamojo funkciją galima parašyti taip:
, kur ir yra dvi funkcijos iš dviejų galioja kintamieji.

Funkcija vadinama tikroji dalis funkcijos .
Funkcija vadinama įsivaizduojama dalis funkcijos .

Tai yra, kompleksinio kintamojo funkcija priklauso nuo dviejų realių funkcijų ir . Norėdami galutinai viską išsiaiškinti, pažvelkime į praktinius pavyzdžius:

1 pavyzdys

Sprendimas: Nepriklausomas kintamasis „z“, kaip prisimenate, parašytas kaip , todėl:

(1) pakeista pradine funkcija.

(2) Pirmajam terminui buvo naudojama sumažinta daugybos formulė. Per šį laikotarpį skliausteliuose buvo atidaryta.

(3) Atsargiai kvadratas, nepamirštant to

(4) Terminų pertvarkymas: pirmiausia perrašyti terminus , kuriame nėra įsivaizduojamo vieneto(pirma grupė), tada terminai, kur yra (antra grupė). Pažymėtina, kad nebūtina maišyti terminų ir šis etapas gali būti praleistas (iš tikrųjų tai daroma žodžiu).

(5) Antroji grupė išimama iš skliaustų.

Dėl to mūsų funkcija pasirodė esanti formoje

Atsakymas:
yra tikroji funkcijos dalis.
yra įsivaizduojama funkcijos dalis.

Kokios yra šios funkcijos? Įprasčiausios dviejų kintamųjų funkcijos, iš kurių galima rasti tokių populiarių daliniai dariniai. Be pasigailėjimo – rasime. Bet šiek tiek vėliau.

Trumpai išspręsto uždavinio algoritmą galima parašyti taip: pakeičiame į pradinę funkciją, atliekame supaprastinimus ir visus terminus suskirstome į dvi grupes – be menamo vieneto (realioji dalis) ir su menamu vienetu (įsivaizduojama dalis).

2 pavyzdys

Raskite tikrąją ir įsivaizduojamą funkcijos dalis

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Prieš mesdamas į mūšį sudėtingame lėktuve su skersvėjais, leiskite man jums suteikti kuo daugiau svarbus patarimasšia tema:

BŪK ATSARGUS!Žinoma, visur reikia būti atsargiems, tačiau sudėtingais skaičiais turėtumėte būti atsargesni nei bet kada! Atminkite, kad atsargiai išplėskite skliaustus ir nieko nepraraskite. Mano pastebėjimais, dažniausia klaida yra ženklo praradimas. Neskubek!

Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Dabar kubas. Naudodami sutrumpintą daugybos formulę gauname:
.

Formules labai patogu naudoti praktiškai, nes jos labai pagreitina sprendimo procesą.

Sudėtingo kintamojo funkcijų diferenciacija.

Turiu dvi naujienas: gerą ir blogą. Pradėsiu nuo gero. Sudėtinio kintamojo funkcijai galioja diferenciacijos taisyklės ir elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė. Taigi išvestinė imama lygiai taip pat, kaip ir tikrojo kintamojo funkcijos atveju.

Blogos naujienos yra tai, kad daugeliui sudėtingo kintamojo funkcijų išvestinės išvestinės iš viso nėra ir jūs turite išsiaiškinti yra diferencijuojamas viena ar kita funkcija. Ir „išsiaiškinti“, kaip jaučiasi jūsų širdis, yra susijęs su papildomomis bėdomis.

Apsvarstykite sudėtingo kintamojo funkciją. Kad ši funkcija būtų diferencijuota, būtina ir pakanka, kad:

1) Kad būtų pirmosios eilės dalinės išvestinės. Pamirškite apie šiuos žymėjimus iš karto, nes sudėtingo kintamojo funkcijos teorijoje tradiciškai naudojama kita žymėjimo versija: .

2) Vykdyti vadinamąją Koši-Riemano sąlygos:

Tik šiuo atveju išvestinė bus!

3 pavyzdys

Sprendimas suskirstytas į tris nuoseklius etapus:

1) Raskite tikrosią ir įsivaizduojamą funkcijos dalis. Ši užduotis buvo analizuojama ankstesniuose pavyzdžiuose, todėl parašysiu ją be komentarų:

Nuo tada:

Taigi:

yra įsivaizduojama funkcijos dalis.

Sustosiu prie dar vieno techninis punktas: kokia tvarka terminus rašyti tikromis ir menamomis dalimis? Taip, iš esmės tai nesvarbu. Pavyzdžiui, tikroji dalis gali būti parašyta taip: , o įsivaizduojamas – taip: .

2) Patikrinkime Cauchy-Riemano sąlygų įvykdymą. Jų yra dvi.

Pradėkime nuo būklės patikrinimo. Mes randame daliniai dariniai:

Taigi sąlyga įvykdyta.

Be jokios abejonės, gera žinia yra ta, kad daliniai išvestiniai produktai beveik visada yra labai paprasti.

Tikriname, ar įvykdyta antroji sąlyga:

Paaiškėjo tas pats, bet su priešingais ženklais, tai yra, sąlyga taip pat įvykdyta.

Koši-Riemano sąlygos tenkinamos, todėl funkcija yra diferencijuojama.

3) Raskite funkcijos išvestinę. Išvestinė taip pat labai paprasta ir randama pagal įprastas taisykles:

Įsivaizduojamasis diferenciacijos vienetas laikomas konstanta.

Atsakymas: - tikroji dalis yra įsivaizduojama dalis.
Koši-Riemano sąlygos įvykdytos, .

Yra dar du būdai, kaip rasti išvestinę, žinoma, jie naudojami rečiau, tačiau informacija bus naudinga norint suprasti antrąją pamoką - Kaip rasti sudėtingo kintamojo funkciją?

Išvestinę galima rasti naudojant formulę:

Tokiu atveju:

Taigi

Būtina išspręsti atvirkštinę problemą – gautoje išraiškoje reikia išskirti . Norint tai padaryti, reikia ištraukti terminus ir iš skliaustų:

Atvirkštinį veiksmą, kaip daugelis pastebėjo, atlikti yra šiek tiek sunkiau; norint patikrinti, visada geriau paimti išraišką ir ant juodraščio arba žodžiu atidaryti skliaustus atgal, įsitikinant, kad tai tiksliai

Veidrodinė formulė išvestinei rasti:

Tokiu atveju: , Štai kodėl:

4 pavyzdys

Nustatykite tikrosią ir įsivaizduojamą funkcijos dalis . Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą. Jei įvykdytos Koši-Riemano sąlygos, raskite funkcijos išvestinę.

Greitas Sprendimas ir pavyzdinis pavyzdys baigiamasis štrichas pamokos pabaigoje.

Ar visada tenkinamos Koši-Riemano sąlygos? Teoriškai jie dažniau neįvykdomi, nei yra. Bet į praktinių pavyzdžių Nepamenu atvejo, kad jie nebūtų įvykdyti =) Taigi, jei jūsų dalinės išvestinės „nesusiliejo“, tai su labai didele tikimybe galime sakyti, kad kažkur suklydote.

Apsunkinkime savo funkcijas:

5 pavyzdys

Nustatykite tikrosią ir įsivaizduojamą funkcijos dalis . Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą. Apskaičiuoti

Sprendimas: Sprendimo algoritmas yra visiškai išsaugotas, tačiau pabaigoje pridedama nauja mada: išvestinės radimas taške. Kubui reikalinga formulė jau buvo išvesta:

Apibrėžkime tikrąją ir įsivaizduojamą šios funkcijos dalis:

Dėmesio ir dar kartą dėmesio!

Nuo tada:


Taigi:
yra tikroji funkcijos dalis;
yra įsivaizduojama funkcijos dalis.

Antrosios sąlygos patikrinimas:

Paaiškėjo tas pats, bet su priešingais ženklais, tai yra, sąlyga taip pat įvykdyta.

Koši-Riemano sąlygos yra tenkinamos, todėl funkcija yra diferencijuojama:

Apskaičiuokite išvestinės išvesties vertę reikiamame taške:

Atsakymas:, , įvykdytos Koši-Riemano sąlygos,

Funkcijos su kubeliais yra įprastos, todėl pavyzdys, kurį reikia konsoliduoti:

6 pavyzdys

Nustatykite tikrosią ir įsivaizduojamą funkcijos dalis . Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą. Apskaičiuoti .

Sprendimas ir pavyzdinis užbaigimas pamokos pabaigoje.

Kompleksinės analizės teorijoje apibrėžiamos ir kitos kompleksinio argumento funkcijos: eksponentinė, sinusinė, kosinusinė ir kt. Šios funkcijos turi neįprastų ir net keistų savybių – ir tai tikrai įdomu! Labai noriu jums pasakyti, bet čia taip atsitiko, ne žinynas ar vadovėlis, o sprendimas, todėl apsvarstysiu tą pačią užduotį su kai kuriomis bendromis funkcijomis.

Pirmiausia apie vadinamąjį Eulerio formulės:

Bet kam galioja skaičiai, galioja šios formulės:

Taip pat galite nukopijuoti jį į savo užrašų knygelę kaip nuorodą.

Griežtai tariant, yra tik viena formulė, bet paprastai patogumo dėlei jie taip pat rašo ypatinga byla su minuso indikatoriumi. Parametras nebūtinai turi būti viena raidė, tai gali būti sudėtinga išraiška, funkcija, tik svarbu, kad jie imtų galioja tik vertybes. Tiesą sakant, mes tai pamatysime dabar:

7 pavyzdys

Rasti išvestinę.

Sprendimas: Bendra vakarėlio linija išlieka nepajudinama – būtina išskirti tikrąją ir įsivaizduojamą funkcijos dalis. Pateiksiu išsamų sprendimą ir pakomentuosiu kiekvieną žingsnį žemiau:

Nuo tada:

(1) Pakeiskite „z“.

(2) Po pakeitimo būtina atskirti tikrąją ir įsivaizduojamą dalis pirmasis rodiklis parodos dalyviai. Norėdami tai padaryti, atidarykite skliaustus.

(3) Sugrupuojame įsivaizduojamą indikatoriaus dalį, išskirdami įsivaizduojamą vienetą iš skliaustų.

(4) Naudojimas mokyklos akcija su laipsniais.

(5) Daugikliui naudojame Eilerio formulę , o .

(6) Mes atidarome skliaustus, todėl:

yra tikroji funkcijos dalis;
yra įsivaizduojama funkcijos dalis.

Kiti veiksmai yra standartiniai, patikrinkime Cauchy-Riemano sąlygų įvykdymą:

9 pavyzdys

Nustatykite tikrosią ir įsivaizduojamą funkcijos dalis . Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą. Tebūnie taip, išvestinės nerasime.

Sprendimas: Sprendimo algoritmas yra labai panašus į du ankstesnius pavyzdžius, tačiau jų yra labai svarbius punktus, Štai kodėl Pirmas lygmuo Dar kartą pakomentuosiu žingsnis po žingsnio:

Nuo tada:

1) Vietoj "z" pakeičiame.

(2) Pirmiausia pasirinkite tikrąją ir įsivaizduojamą dalis sinuso viduje. Šiuo tikslu atidarykite skliaustus.

(3) Mes naudojame formulę , while .

(4) Naudojimas hiperbolinio kosinuso paritetas: ir hiperbolinis sinuso nelygumas: . Hiperbolikai, nors ir ne šio pasaulio, bet daugeliu atžvilgių primena panašias trigonometrines funkcijas.

Galiausiai:
yra tikroji funkcijos dalis;
yra įsivaizduojama funkcijos dalis.

Dėmesio! Minuso ženklas reiškia įsivaizduojamą dalį ir jokiu būdu neturėtume jos prarasti! Vaizdinei iliustracijai aukščiau gautą rezultatą galima perrašyti taip:

Patikrinkime Cauchy-Riemano sąlygų įvykdymą:

Koši-Riemano sąlygos įvykdytos.

Atsakymas:, , Cauchy-Riemano sąlygos yra įvykdytos.

Su kosinusu, ponios ir ponai, mes patys suprantame:

10 pavyzdys

Nustatykite tikrąją ir įsivaizduojamą funkcijos dalis. Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą.

Sąmoningai paėmiau sudėtingesnius pavyzdžius, nes kiekvienas gali susitvarkyti kažką panašaus į nuluptus žemės riešutus. Tuo pačiu treniruokite dėmesį! Spragtukas pamokos pabaigoje.

Na, pabaigai apsvarstysiu dar vieną įdomus pavyzdys kai kompleksinis argumentas yra vardiklyje. Porą kartų susitikome praktiškai, paanalizuokime ką nors paprasto. Oi, aš senstu...

11 pavyzdys

Nustatykite tikrąją ir įsivaizduojamą funkcijos dalis. Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą.

Sprendimas: Vėlgi, būtina atskirti tikrąją ir įsivaizduojamą funkcijos dalis.
Jei tada

Kyla klausimas, ką daryti, kai vardiklyje yra „Z“?

Viskas paprasta – standartas padės skaitiklio ir vardiklio dauginimo iš konjuguotos išraiškos metodas, jis jau buvo panaudotas pamokos pavyzdžiuose Sudėtingi skaičiai manekenams. Prisiminkime mokyklos formulę. Vardiklyje mes jau turime , todėl konjuguota išraiška bus . Taigi skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš: