Kvadratinės lygtys sprendžia ir sprendimas. Kvadratinės lygtys

Tęsiant temą „Lygčių sprendimas“, šio straipsnio medžiaga supažindins su kvadratinėmis lygtimis.

Išsamiai apsvarstykime viską: kvadratinės lygties esmę ir žymėjimą, nustatykime lydinčius terminus, išanalizuokime nepilnų ir pilnųjų lygčių sprendimo schemą, susipažinkime su šaknų ir diskriminanto formule, nustatysime šaknų ir koeficientų ryšius ir kursą pateiksime vaizdinį praktinių pavyzdžių sprendimą.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratinė lygtis, jos rūšys

1 apibrėžimas

Kvadratinė lygtis lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + c = 0, kur x– kintamasis, a , b ir c yra keletas skaičių, o a nėra nulis.

Dažnai kvadratinės lygtys taip pat vadinamos antrojo laipsnio lygtimis, nes iš tikrųjų kvadratinė lygtis yra antrojo laipsnio algebrinė lygtis.

Pateikiame pavyzdį, iliustruojantį pateiktą apibrėžimą: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ir kt. yra kvadratinės lygtys.

2 apibrėžimas

Skaičiai a , b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c = 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b – antruoju koeficientu, arba koeficientu at x, a c vadinamas laisvuoju nariu.

Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje 6 x 2 – 2 x – 11 = 0 didžiausias koeficientas yra 6 , antrasis koeficientas yra − 2 , o laisvasis terminas lygus − 11 . Atkreipkime dėmesį į tai, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, tada naudojama trumpoji forma 6 x 2 – 2 x – 11 = 0, bet ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Išsiaiškinkime ir šį aspektą: jeigu koeficientai a ir/arba b lygus 1 arba − 1 , tada jie gali nedalyvauti rašant kvadratinę lygtį, o tai paaiškinama nurodytų skaitinių koeficientų rašymo ypatumais. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 − y + 7 = 0 senjorų koeficientas yra 1, o antrasis koeficientas yra − 1 .

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Pagal pirmojo koeficiento reikšmę kvadratinės lygtys skirstomos į redukuotas ir neredukuotas.

3 apibrėžimas

Sumažinta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurios pagrindinis koeficientas yra 1. Kitoms pirmaujančio koeficiento reikšmėms kvadratinė lygtis nesumažinama.

Štai keli pavyzdžiai: kvadratinės lygtys x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sumažinamos, kiekvienoje iš jų pirmaujantis koeficientas yra 1 .

9 x 2 – x – 2 = 0- neredukuota kvadratinė lygtis, kur pirmasis koeficientas skiriasi nuo 1 .

Bet kurią neredukuotą kvadratinę lygtį galima paversti redukuota lygtimi, padalijus abi jos dalis iš pirmojo koeficiento (ekvivalentinė transformacija). Transformuota lygtis turės tokias pačias šaknis kaip ir duota neredukuota lygtis arba neturės šaknų.

Konkretaus pavyzdžio svarstymas leis aiškiai parodyti perėjimą nuo neredukuotos kvadratinės lygties prie redukuotos.

1 pavyzdys

Duota lygtis 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Būtina paversti pradinę lygtį į sumažintą formą.

Sprendimas

Pagal aukščiau pateiktą schemą abi pradinės lygties dalis padalijame iš pirmaujančio koeficiento 6 . Tada gauname: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0:3, ir tai yra tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ir toliau: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 . Iš čia: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Taigi gaunama lygtis, lygiavertė duotajai.

Atsakymas: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Pereikime prie kvadratinės lygties apibrėžimo. Jame mes tai nurodėme a ≠ 0. Panaši sąlyga yra būtina lygčiai a x 2 + b x + c = 0 buvo tiksliai kvadratinis, nes a = 0 ji iš esmės virsta tiesine lygtimi b x + c = 0.

Tuo atveju, kai koeficientai b ir c yra lygūs nuliui (tai įmanoma tiek atskirai, tiek kartu), kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

4 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis a x 2 + b x + c \u003d 0, kur bent vienas iš koeficientų b ir c(arba abu) yra nulis.

Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje visi skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui.

Aptarkime, kodėl kvadratinių lygčių tipams suteikiami būtent tokie pavadinimai.

Jei b = 0, kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 + 0 x + c = 0, kuri yra tokia pati kaip a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratinė lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + 0 = 0, kuris yra lygiavertis a x 2 + b x = 0. At b = 0 ir c = 0 lygtis įgaus formą a x 2 = 0. Mūsų gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų iš karto. Tiesą sakant, šis faktas davė pavadinimą tokio tipo lygtims - neišsamios.

Pavyzdžiui, x 2 + 3 x + 4 = 0 ir − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 yra pilnos kvadratinės lygtys; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Aukščiau pateiktas apibrėžimas leidžia atskirti šiuos nepilnų kvadratinių lygčių tipus:

• a x 2 = 0, koeficientai atitinka tokią lygtį b = 0 ir c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0, kai c = 0.

Paeiliui apsvarstykite kiekvieno tipo nepilnos kvadratinės lygties sprendimą.

Lygties a x 2 \u003d 0 sprendimas

Kaip jau minėta aukščiau, tokia lygtis atitinka koeficientus b ir c, lygus nuliui. Lygtis a x 2 = 0 galima konvertuoti į lygiavertę lygtį x2 = 0, kurį gauname padalydami abi pradinės lygties puses iš skaičiaus a, nelygu nuliui. Akivaizdu, kad lygties šaknis x2 = 0 yra nulis, nes 0 2 = 0 . Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama laipsnio savybėmis: bet kuriam skaičiui p , nelygus nuliui, nelygybė yra teisinga p2 > 0, iš ko išplaukia, kad kada p ≠ 0 lygybė p2 = 0 niekada nepasieks.

5 apibrėžimas

Taigi nepilnai kvadratinei lygčiai a x 2 = 0 yra unikali šaknis x=0.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime nepilną kvadratinę lygtį − 3 x 2 = 0. Tai yra lygiavertė lygčiai x2 = 0, vienintelė jo šaknis yra x=0, tada pradinė lygtis turi vieną šaknį – nulį.

Sprendimas apibendrinamas taip:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 = 0, x \u003d 0.

Lygties a x 2 + c \u003d 0 sprendimas

Toliau eilėje yra nepilnų kvadratinių lygčių sprendimas, kur b \u003d 0, c ≠ 0, tai yra, formos lygtys a x 2 + c = 0. Transformuokime šią lygtį, perkeldami terminą iš vienos lygties pusės į kitą, pakeisdami ženklą į priešingą ir padalydami abi lygties puses iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui:

• ištverti cį dešinę pusę, kuri suteikia lygtį a x 2 = − c;
• padalykite abi lygties puses iš a, gauname kaip rezultatas x = - c a .

Mūsų transformacijos yra lygiavertės, atitinkamai gauta lygtis taip pat yra lygiavertė pradinei, ir šis faktas leidžia padaryti išvadą apie lygties šaknis. Iš kokių vertybių a ir c priklauso nuo išraiškos reikšmės - c a: ji gali turėti minuso ženklą (pavyzdžiui, jei a = 1 ir c = 2, tada - c a = - 2 1 = - 2) arba pliuso ženklas (pavyzdžiui, jei a = -2 ir c=6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); jis nelygus nuliui, nes c ≠ 0. Išsamiau pakalbėkime apie situacijas, kai - c a< 0 и - c a > 0 .

Tuo atveju, kai - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p lygybė p 2 = - c a negali būti teisinga.

Viskas skiriasi, kai - c a > 0: prisiminkite kvadratinę šaknį ir taps akivaizdu, kad lygties x 2 šaknis - c a bus skaičius - c a, nes - c a 2 \u003d - c a. Nesunku suprasti, kad skaičius - - c a - taip pat yra lygties x 2 = - c a šaknis: iš tikrųjų - - c a 2 = - c a .

Lygtis neturės kitų šaknų. Tai galime parodyti naudodami priešingą metodą. Pirmiausia nustatykime aukščiau rastų šaknų žymėjimą kaip x 1 ir − x 1. Tarkime, kad lygtis x 2 = - c a taip pat turi šaknį x2, kuris skiriasi nuo šaknų x 1 ir − x 1. Mes tai žinome pakeisdami į lygtį, o ne x jos šaknis, lygtį paverčiame teisinga skaitine lygybe.

Dėl x 1 ir − x 1 parašykite: x 1 2 = - c a , ir už x2- x 2 2 \u003d - c a. Remdamiesi skaitinių lygybių savybėmis, vieną tikrąją lygybę atimame iš kitos kadencijos, kuri duos mums: x 1 2 − x 2 2 = 0. Naudokite skaičių operacijų savybes, kad perrašytumėte paskutinę lygybę kaip (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Yra žinoma, kad dviejų skaičių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš skaičių lygus nuliui. Iš to, kas pasakyta, išplaukia x1 − x2 = 0 ir/arba x1 + x2 = 0, kuris yra tas pats x2 = x1 ir/arba x 2 = − x 1. Iškilo akivaizdus prieštaravimas, nes iš pradžių buvo sutarta, kad lygties šaknis x2 skiriasi nuo x 1 ir − x 1. Taigi, mes įrodėme, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus x = - c a ir x = - - c a .

Mes apibendriname visus aukščiau pateiktus argumentus.

6 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + c = 0 yra lygiavertis lygčiai x 2 = - c a , kuri:

• neturės šaknų ties - c a< 0 ;
• turės dvi šaknis x = - c a ir x = - - c a , kai - c a > 0 .

Pateiksime lygčių sprendimo pavyzdžius a x 2 + c = 0.

3 pavyzdys

Duota kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 . Būtina rasti jos sprendimą.

Sprendimas

Laisvąjį terminą perkeliame į dešinę lygties pusę, tada lygtis įgaus formą 9 x 2 \u003d - 7.
Abi gautos lygties puses padalijame iš 9 , gauname x 2 = - 7 9 . Dešinėje pusėje matome skaičių su minuso ženklu, o tai reiškia: duotoji lygtis neturi šaknų. Tada pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturės šaknų.

Atsakymas: lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturi šaknų.

4 pavyzdys

Būtina išspręsti lygtį − x2 + 36 = 0.

Sprendimas

Perkelkime 36 į dešinę pusę: − x 2 = − 36.
Padalinkime abi dalis į − 1 , mes gauname x2 = 36. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio galime tai padaryti x = 36 arba x = - 36 .
Ištraukiame šaknį ir užrašome galutinį rezultatą: nepilną kvadratinę lygtį − x2 + 36 = 0 turi dvi šaknis x=6 arba x = -6.

Atsakymas: x=6 arba x = -6.

Lygties a x 2 +b x=0 sprendimas

Išanalizuokime trečiosios rūšies nepilnas kvadratines lygtis, kai c = 0. Rasti nepilnos kvadratinės lygties sprendimą a x 2 + b x = 0, naudojame faktorizavimo metodą. Paskaičiuokime daugianarį, esantį kairėje lygties pusėje, iš skliaustų išimdami bendrą koeficientą x. Šis žingsnis leis originalią nepilną kvadratinę lygtį paversti jos ekvivalentu x (a x + b) = 0. Ir ši lygtis, savo ruožtu, yra lygiavertė lygčių rinkiniui x=0 ir a x + b = 0. Lygtis a x + b = 0 linijinis, o jo šaknis: x = − b a.

7 apibrėžimas

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 + b x = 0 turės dvi šaknis x=0 ir x = − b a.

Sutvirtinkime medžiagą pavyzdžiu.

5 pavyzdys

Reikia rasti lygties 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 sprendinį.

Sprendimas

Išimkime x už skliaustų ir gaukite lygtį x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ši lygtis yra lygiavertė lygtims x=0 ir 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Dabar turėtumėte išspręsti gautą tiesinę lygtį: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Trumpai parašome lygties sprendimą taip:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba x = 3 3 7

Atsakymas: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami rasti kvadratinių lygčių sprendimą, yra pagrindinė formulė:

8 apibrėžimas

x = - b ± D 2 a, kur D = b 2 − 4 a c yra vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas.

Rašymas x \u003d - b ± D 2 a iš esmės reiškia, kad x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bus naudinga suprasti, kaip buvo gauta nurodyta formulė ir kaip ją pritaikyti.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Tarkime, kad mes susiduriame su užduotimi išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• padalykite abi lygties puses iš skaičiaus a, skiriasi nuo nulio, gauname sumažintą kvadratinę lygtį: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• pasirinkite visą kvadratą gautos lygties kairėje pusėje:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Po to lygtis bus tokia: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• dabar galima perkelti paskutinius du narius į dešinę pusę, keičiant ženklą į priešingą, po kurio gauname: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• galiausiai transformuojame paskutinės lygybės dešinėje parašytą išraišką:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Taigi mes priėjome prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , kuri yra lygiavertė pradinei lygčiai a x 2 + b x + c = 0.

Tokių lygčių sprendimą aptarėme ankstesnėse pastraipose (neišsamių kvadratinių lygčių sprendimas). Jau įgyta patirtis leidžia padaryti išvadą apie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 šaknis:

• b 2 – 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, lygtis yra x + b 2 · a 2 = 0, tada x + b 2 · a = 0.

Iš čia vienintelė šaknis x = - b 2 · a yra akivaizdi;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 teisingas yra: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 arba x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , kuris yra toks pat kaip x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 arba x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , t.y. lygtis turi dvi šaknis.

Galima daryti išvadą, kad lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (taigi ir pradinės lygties) šaknų buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos b 2 - 4 a c ženklo. 4 · 2 parašytas dešinėje pusėje. Ir šios išraiškos ženklą suteikia skaitiklio ženklas (vardiklis 4 ir 2 visada bus teigiamas), tai yra išraiškos ženklas b 2 − 4 a c. Ši išraiška b 2 − 4 a c pateikiamas pavadinimas - kvadratinės lygties diskriminantas ir raidė D apibrėžiama kaip jo žymėjimas. Čia galite užrašyti diskriminanto esmę - pagal jo reikšmę ir ženklą jie daro išvadą, ar kvadratinė lygtis turės realias šaknis, o jei taip, tai kiek šaknų - vieną ar dvi.

Grįžkime prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Perrašykime jį diskriminantiniu žymėjimu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Pakartokime išvadas:

9 apibrėžimas

• adresu D< 0 lygtis neturi realių šaknų;
• adresu D=0 lygtis turi vieną šaknį x = - b 2 · a ;
• adresu D > 0 lygtis turi dvi šaknis: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 arba x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Remiantis radikalų savybėmis, šias šaknis galima užrašyti taip: x \u003d - b 2 a + D 2 a arba - b 2 a - D 2 a. O kai atidarome modulius ir sumažiname trupmenas iki bendro vardiklio, gauname: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Taigi, mūsų samprotavimų rezultatas buvo kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D = b 2 − 4 a c.

Šios formulės leidžia, kai diskriminantas yra didesnis už nulį, nustatyti abi tikrąsias šaknis. Kai diskriminantas lygus nuliui, taikant abi formules bus gauta ta pati šaknis kaip vienintelis kvadratinės lygties sprendimas. Tuo atveju, kai diskriminantas yra neigiamas, bandydami naudoti kvadratinės šaknies formulę, susidursime su būtinybe išgauti neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį, o tai nuves mus už realiųjų skaičių. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturės realių šaknų, tačiau yra įmanoma sudėtingų konjuguotų šaknų pora, kurią nustato tos pačios šaknies formulės, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo, naudojant šaknų formules, algoritmas

Kvadratinę lygtį galima išspręsti iš karto naudojant šaknies formulę, tačiau iš esmės tai daroma tada, kai reikia rasti sudėtingas šaknis.

Daugeliu atvejų paieška paprastai skirta ne sudėtingoms, o realioms kvadratinės lygties šaknims. Tada optimalu, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, pirmiausia nustatyti diskriminantą ir įsitikinti, kad jis nėra neigiamas (kitaip padarysime išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o tada pradėti skaičiuoti šaknų vertė.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia suformuluoti kvadratinės lygties sprendimo algoritmą.

10 apibrėžimas

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0, būtinas:

• pagal formulę D = b 2 − 4 a c rasti diskriminanto vertę;
• pas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• jei D = 0, raskite vienintelę lygties šaknį pagal formulę x = - b 2 · a ;
• jei D > 0, nustatykite dvi realiąsias kvadratinės lygties šaknis pagal formulę x = - b ± D 2 · a.

Atkreipkite dėmesį, kad kai diskriminantas lygus nuliui, galite naudoti formulę x = - b ± D 2 · a , ji duos tokį patį rezultatą kaip ir formulė x = - b 2 · a .

Apsvarstykite pavyzdžius.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Pateikiame įvairių diskriminanto vertybių pavyzdžių sprendimą.

6 pavyzdys

Būtina rasti lygties šaknis x 2 + 2 x - 6 = 0.

Sprendimas

Rašome kvadratinės lygties skaitinius koeficientus: a \u003d 1, b \u003d 2 ir c = – 6. Toliau veikiame pagal algoritmą, t.y. Pradėkime skaičiuoti diskriminantą, kurį pakeisime koeficientais a , b ir cį diskriminanto formulę: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Taigi, mes gavome D > 0, o tai reiškia, kad pradinė lygtis turės dvi realias šaknis.
Norėdami juos rasti, naudojame šaknies formulę x \u003d - b ± D 2 · a ir, pakeisdami atitinkamas reikšmes, gauname: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Supaprastiname gautą išraišką, išimdami koeficientą iš šaknies ženklo, o po to sumažindami trupmeną:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 arba x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 arba x = - 1 - 7

Atsakymas: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

7 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Sprendimas

Apibrėžkime diskriminantą: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. Esant šiai diskriminanto reikšmei, pradinė lygtis turės tik vieną šaknį, kuri nustatoma pagal formulę x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Atsakymas: x = 3, 5.

8 pavyzdys

Būtina išspręsti lygtį 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Sprendimas

Šios lygties skaitiniai koeficientai bus tokie: a = 5 , b = 6 ir c = 2 . Diskriminantui rasti naudojame šias reikšmes: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Apskaičiuotas diskriminantas yra neigiamas, todėl pradinė kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Tuo atveju, kai užduotis yra nurodyti sudėtingas šaknis, taikome šaknies formulę atlikdami operacijas su kompleksiniais skaičiais:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 arba x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i arba x = - 3 5 - 1 5 i .

Atsakymas: nėra tikrų šaknų; kompleksinės šaknys yra: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Mokyklos programoje, kaip standartas, nėra reikalavimo ieškoti kompleksinių šaknų, todėl, sprendžiant diskriminantą kaip neigiamą, iškart įrašomas atsakymas, kad tikrų šaknų nėra.

Net antrojo koeficiento šaknies formulė

Šaknies formulė x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) leidžia gauti kitą formulę, kompaktiškesnę, leidžiančią rasti kvadratinių lygčių sprendinius su lyginiu koeficientu x (arba su koeficientu 2 a n formos, pavyzdžiui, 2 3 arba 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Parodykime, kaip gaunama ši formulė.

Tarkime, kad mes susiduriame su užduotimi rasti kvadratinės lygties a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 sprendimą. Veikiame pagal algoritmą: nustatome diskriminantą D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , tada naudojame šaknies formulę:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Tegul išraiška n 2 − a c žymima D 1 (kartais žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties su antruoju koeficientu 2 n šaknų formulė įgis tokią formą:

x \u003d - n ± D 1 a, kur D 1 \u003d n 2 - a c.

Nesunku pastebėti, kad D = 4 · D 1 arba D 1 = D 4 . Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtadalis diskriminanto. Akivaizdu, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas, o tai reiškia, kad D 1 ženklas taip pat gali būti kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

11 apibrėžimas

Taigi, norint rasti kvadratinės lygties su antruoju 2 n koeficientu sprendimą, būtina:

• rasti D 1 = n 2 − a c ;
• ties D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• jei D 1 = 0, nustatykite vienintelę lygties šaknį pagal formulę x = - n a ;
• jei D 1 > 0, nustatykite dvi realiąsias šaknis naudodami formulę x = - n ± D 1 a.

9 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Sprendimas

Antrasis duotosios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2 · (− 3) . Tada duotą kvadratinę lygtį perrašome į 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kur a = 5, n = −3 ir c = −32.

Apskaičiuokime ketvirtąją diskriminanto dalį: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Gauta reikšmė yra teigiama, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis. Mes juos apibrėžiame pagal atitinkamą šaknų formulę:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 arba x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 arba x = - 2

Galima būtų atlikti skaičiavimus naudojant įprastą kvadratinės lygties šaknų formulę, tačiau tokiu atveju sprendimas būtų sudėtingesnis.

Atsakymas: x = 3 1 5 arba x = - 2 .

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais galima optimizuoti pradinės lygties formą, o tai supaprastins šaknų skaičiavimo procesą.

Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 yra aiškiai patogesnė sprendžiant nei 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Dažniau kvadratinės lygties formos supaprastinimas atliekamas abi jos dalis dauginant arba dalijant iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, aukščiau parodėme supaprastintą lygties 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 vaizdavimą, gautą padalijus abi jos dalis iš 100.

Tokia transformacija galima, kai kvadratinės lygties koeficientai nėra santykinai pirminiai skaičiai. Tada paprastai abi lygties dalys dalijamos iš didžiausio bendro jo koeficientų absoliučių dydžių daliklio.

Kaip pavyzdį naudojame kvadratinę lygtį 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Apibrėžkime jo koeficientų absoliučių verčių gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Abi pradinės kvadratinės lygties dalis padalinkime iš 6 ir gausime ekvivalentinę kvadratinę lygtį 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Padauginus abi kvadratinės lygties puses, trupmeniniai koeficientai paprastai pašalinami. Šiuo atveju padauginkite iš mažiausio bendro jo koeficientų vardiklių kartotinio. Pavyzdžiui, jei kiekviena kvadratinės lygties dalis 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 padauginama iš LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tada ji bus parašyta paprastesne forma x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Galiausiai pažymime, kad beveik visada atsikratykite minuso ties pirmuoju kvadratinės lygties koeficientu, keisdami kiekvieno lygties nario ženklus, o tai pasiekiama padauginus (arba padalijus) abi dalis iš −1. Pavyzdžiui, iš kvadratinės lygties - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, galite pereiti prie jos supaprastintos versijos 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Ryšys tarp šaknų ir koeficientų

Jau žinoma kvadratinių lygčių šaknų formulė x = - b ± D 2 · a lygties šaknis išreiškia jos skaitiniais koeficientais. Remdamiesi šia formule, turime galimybę nustatyti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausios ir taikomos yra Vietos teoremos formulės:

x 1 + x 2 \u003d - b a ir x 2 \u003d c a.

Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra antrasis koeficientas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pagal kvadratinės lygties 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0 formą galima iš karto nustatyti, kad jos šaknų suma yra 7 3 , o šaknų sandauga yra 22 3 .

Taip pat galite rasti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų suma gali būti išreikšta koeficientais:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Mes ir toliau nagrinėjame temą lygčių sprendimas“. Mes jau susipažinome su tiesinėmis lygtimis, o dabar susipažinsime kvadratines lygtis.

Pirmiausia aptarsime, kas yra kvadratinė lygtis, kaip ji rašoma bendra forma ir pateiksime susijusius apibrėžimus. Po to, naudodamiesi pavyzdžiais, detaliai išanalizuosime, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys. Toliau pereikime prie pilnų lygčių sprendimo, gaukime šaknų formulę, susipažinkime su kvadratinės lygties diskriminantu ir apsvarstykime tipinių pavyzdžių sprendimus. Galiausiai atsekame ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Puslapio naršymas.

Kas yra kvadratinė lygtis? Jų rūšys

Pirmiausia turite aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė lygtis. Todėl logiška pradėti kalbėti apie kvadratines lygtis su kvadratinės lygties apibrėžimu, taip pat su ja susijusiais apibrėžimais. Po to galite apsvarstyti pagrindinius kvadratinių lygčių tipus: redukuotas ir nesumažintas, taip pat pilnas ir nepilnas lygtis.

Kvadratinių lygčių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Apibrėžimas.

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis a x 2 +b x+c=0, kur x yra kintamasis, a , b ir c yra kai kurie skaičiai, o a skiriasi nuo nulio.

Iš karto pasakykime, kad kvadratinės lygtys dažnai vadinamos antrojo laipsnio lygtimis. Taip yra todėl, kad kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Įgarsintas apibrėžimas leidžia pateikti kvadratinių lygčių pavyzdžių. Taigi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ir t.t. yra kvadratinės lygtys.

Apibrėžimas.

Skaičiai vadinami a , b ir c kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c \u003d 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b yra antrasis koeficientas arba koeficientas x, o c yra laisvasis narys.

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį, kurios forma yra 5 x 2 −2 x−3=0, čia pirmaujantis koeficientas yra 5, antrasis koeficientas yra −2, o laisvasis narys −3. Atkreipkite dėmesį, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, kaip ką tik pateiktame pavyzdyje, naudojama trumpoji kvadratinės lygties forma 5 x 2 −2 x−3=0, o ne 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Verta paminėti, kad kai koeficientai a ir (arba) b yra lygūs 1 arba –1, tada kvadratinės lygties žymėjime jie paprastai nėra aiškiai išreikšti, o tai yra dėl tokių žymėjimo ypatumų. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 −y+3=0 pirmaujantis koeficientas yra vienas, o koeficientas ties y yra −1.

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Priklausomai nuo pirmaujančio koeficiento reikšmės, skiriamos redukuotos ir neredukuotos kvadratinės lygtys. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurios pirmaujantis koeficientas yra 1 redukuota kvadratinė lygtis. Priešingu atveju kvadratinė lygtis yra nesumažintas.

Pagal šį apibrėžimą kvadratinės lygtys x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 ir kt. - sumažintas, kiekviename iš jų pirmasis koeficientas yra lygus vienetui. Ir 5 x 2 −x−1=0 ir t.t. - neredukuotos kvadratinės lygtys, jų pirmaujantys koeficientai skiriasi nuo 1 .

Iš bet kurios neredukuotos kvadratinės lygties, padalijus abi jos dalis iš pirmaujančio koeficiento, galite pereiti prie redukuotos. Šis veiksmas yra lygiavertė transformacija, tai yra, tokiu būdu gauta sumažinta kvadratinė lygtis turi tas pačias šaknis kaip ir pradinė neredukuota kvadratinė lygtis arba, kaip ji, neturi šaknų.

Paimkime pavyzdį, kaip atliekamas perėjimas iš neredukuotos kvadratinės lygties į redukuotą.

Pavyzdys.

Iš lygties 3 x 2 +12 x−7=0 pereikite prie atitinkamos sumažintos kvadratinės lygties.

Sprendimas.

Mums pakanka atlikti abiejų pradinės lygties dalių padalijimą iš pirmaujančio koeficiento 3, jis yra ne nulis, todėl galime atlikti šį veiksmą. Turime (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, tai yra tas pats kaip (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ir t.t. (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , iš kur . Taigi mes gavome sumažintą kvadratinę lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei.

Atsakymas:

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Kvadratinės lygties apibrėžime yra sąlyga a≠0. Ši sąlyga būtina, kad lygtis a x 2 +b x+c=0 būtų tiksliai kvadratinė, nes esant a=0 ji iš tikrųjų tampa b x+c=0 formos tiesine lygtimi.

Kalbant apie koeficientus b ir c, jie gali būti lygūs nuliui tiek atskirai, tiek kartu. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratine lygtimi a x 2 +b x+c=0 Nebaigtas, jei bent vienas iš koeficientų b , c lygus nuliui.

Savo ruožtu

Apibrėžimas.

Pilna kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje visi koeficientai skiriasi nuo nulio.

Šie vardai pateikti neatsitiktinai. Tai paaiškės iš tolesnės diskusijos.

Jei koeficientas b lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 +0 x+c=0 ir yra lygiavertė lygčiai a x 2 +c=0 . Jei c=0, tai yra, kvadratinė lygtis yra a x 2 +b x+0=0, tada ją galima perrašyti į x 2 +b x=0. O su b=0 ir c=0 gauname kvadratinę lygtį a·x 2 =0. Gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų. Iš čia ir kilo jų pavadinimas – nepilnos kvadratinės lygtys.

Taigi lygtys x 2 +x+1=0 ir −2 x 2 −5 x+0,2=0 yra pilnų kvadratinių lygčių pavyzdžiai, o x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Iš ankstesnėje pastraipoje pateiktos informacijos matyti, kad yra trijų rūšių nepilnos kvadratinės lygtys:

• a x 2 =0 , jį atitinka koeficientai b=0 ir c=0;
• ax2 +c=0, kai b=0;
• ir a x 2 +b x=0, kai c=0 .

Paanalizuokime eilės tvarka, kaip sprendžiamos kiekvieno iš šių tipų nepilnos kvadratinės lygtys.

a x 2 \u003d 0

Pradėkime spręsdami nepilnas kvadratines lygtis, kuriose koeficientai b ir c lygūs nuliui, tai yra a x 2 =0 formos lygtimis. Lygtis a·x 2 =0 yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, kuri gaunama iš originalo, padalijus abi jos dalis iš ne nulinio skaičiaus a. Akivaizdu, kad lygties x 2 \u003d 0 šaknis yra lygi nuliui, nes 0 2 \u003d 0. Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama, iš tiesų, bet kuriam nuliui nepriklausančiam skaičiui p įvyksta nelygybė p 2 >0, o tai reiškia, kad esant p≠0 lygybė p 2 =0 niekada nepasiekiama.

Taigi, nepilna kvadratinė lygtis a x 2 \u003d 0 turi vieną šaknį x \u003d 0.

Kaip pavyzdį pateikiame nepilnos kvadratinės lygties −4·x 2 =0 sprendinį. Ji atitinka lygtį x 2 \u003d 0, jos vienintelė šaknis yra x \u003d 0, todėl pradinė lygtis turi vieną šaknies nulį.

Trumpas sprendimas šiuo atveju gali būti pateiktas taip:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Dabar apsvarstykite, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b lygus nuliui, o c≠0, tai yra a x 2 +c=0 formos lygtys. Žinome, kad termino perkėlimas iš vienos lygties pusės į kitą su priešingu ženklu, taip pat abiejų lygties pusių padalijimas ne nuliu skaičiumi, duoda lygiavertę lygtį. Todėl galima atlikti šias lygiavertes nepilnos kvadratinės lygties a x 2 +c=0 transformacijas:

• perkelkite c į dešinę pusę, taip gaunama lygtis a x 2 =-c,
• ir padalyti abi jo dalis iš a , gauname .

Gauta lygtis leidžia daryti išvadas apie jos šaknis. Priklausomai nuo a ir c reikšmių, išraiškos reikšmė gali būti neigiama (pavyzdžiui, jei a=1 ir c=2 , tada ) arba teigiama (pavyzdžiui, jei a=-2 ir c=6 , tada ), jis nėra lygus nuliui , nes pagal sąlygą c≠0 . Atskirai analizuosime atvejus ir .

Jei , tai lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius. Iš to išplaukia, kad kai , tada bet kuriam skaičiui p lygybė negali būti teisinga.

Jei , tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Šiuo atveju, jei prisiminsime apie, tada lygties šaknis iš karto tampa akivaizdi, tai yra skaičius, nes. Nesunku atspėti, kad skaičius taip pat yra lygties šaknis, iš tikrųjų . Ši lygtis neturi kitų šaknų, kurias galima parodyti, pavyzdžiui, prieštaravimu. Padarykime tai.

Ką tik išsakytas lygties šaknis pažymėkime x 1 ir −x 1 . Tarkime, kad lygtis turi kitą šaknį x 2, kuri skiriasi nuo nurodytų šaknų x 1 ir −x 1 . Yra žinoma, kad pakeitimas į lygtį vietoj jos šaknų x paverčia lygtį tikra skaitine lygybe. Jei x 1 ir −x 1 turime , o x 2 turime . Skaitinių lygybių savybės leidžia atlikti tikrąsias skaitines lygybes po termino atimtį, todėl atėmus atitinkamas lygybių dalis gaunama x 1 2 − x 2 2 =0. Veiksmų su skaičiais savybės leidžia gautą lygybę perrašyti į (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Žinome, kad dviejų skaičių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš jų yra lygus nuliui. Todėl iš gautos lygybės išplaukia, kad x 1 −x 2 =0 ir/arba x 1 +x 2 =0 , kuri yra vienoda, x 2 =x 1 ir/arba x 2 = −x 1 . Taigi mes priėjome prie prieštaravimo, nes pradžioje sakėme, kad lygties x 2 šaknis skiriasi nuo x 1 ir −x 1 . Tai įrodo, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus ir .

Apibendrinkime šioje pastraipoje pateiktą informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 +c=0 yra lygi lygčiai, kuri

• neturi šaknų, jei
• turi dvi šaknis ir jei .

Apsvarstykite a·x 2 +c=0 formos nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

Pradėkime nuo kvadratinės lygties 9 x 2 +7=0 . Perkėlus laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, jis įgaus formą 9·x 2 =−7. Padalinę abi gautos lygties puses iš 9 , gauname . Kadangi dešinėje pusėje gaunamas neigiamas skaičius, ši lygtis neturi šaknų, todėl pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 +7=0 neturi šaknų.

Išspręskime dar vieną nepilną kvadratinę lygtį −x 2 +9=0. Devyniuką perkeliame į dešinę pusę: -x 2 \u003d -9. Dabar abi dalis padaliname iš −1, gauname x 2 =9. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio darome išvadą, kad arba . Užrašę galutinį atsakymą: nepilna kvadratinė lygtis −x 2 +9=0 turi dvi šaknis x=3 arba x=−3.

a x 2 +b x=0

Belieka išspręsti paskutinio tipo nepilnų kvadratinių lygčių, kai c=0 , sprendimą. Neišsamios kvadratinės lygtys formos a x 2 +b x=0 leidžia išspręsti faktorizavimo metodas. Akivaizdu, kad galime, esantys kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka iš skliaustų išimti bendrą koeficientą x. Tai leidžia pereiti nuo pradinės nepilnos kvadratinės lygties prie lygiavertės x·(a·x+b)=0 formos lygties. Ir ši lygtis yra lygiavertė aibei dviejų lygčių x=0 ir a x+b=0 , iš kurių paskutinė yra tiesinė ir turi šaknį x=-b/a .

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 +b x=0 turi dvi šaknis x=0 ir x=−b/a.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, analizuosime konkretaus pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Iš skliaustų išimame x ir gauname lygtį. Tai lygi dviem lygtims x=0 ir . Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį: , ir padalijus mišrųjį skaičių iš paprastosios trupmenos, randame . Todėl pradinės lygties šaknys yra x=0 ir .

Įgijus reikiamą praktiką, tokių lygčių sprendinius galima parašyti trumpai:

Atsakymas:

x=0 , .

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami išspręsti kvadratines lygtis, yra šaknies formulė. Užsirašykime kvadratinės lygties šaknų formulė: , kur D=b 2 −4 a c- vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas. Žymėjimas iš esmės reiškia, kad .

Naudinga žinoti, kaip buvo gauta šaknies formulė ir kaip ji taikoma ieškant kvadratinių lygčių šaknų. Spręskime tai.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Išspręskime kvadratinę lygtį a·x 2 +b·x+c=0 . Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• Abi šios lygties dalis galime padalyti iš ne nulinio skaičiaus a, todėl gauname sumažintą kvadratinę lygtį.
• Dabar pasirinkite visą kvadratą jo kairėje pusėje: . Po to lygtis įgis formą .
• Šiame etape galima atlikti paskutinių dviejų terminų perkėlimą į dešinę su priešingu ženklu, mes turime .
• Taip pat pakeiskime išraišką dešinėje pusėje: .

Dėl to gauname lygtį , kuri yra lygiavertė pradinei kvadratinei lygčiai a·x 2 +b·x+c=0 .

Analizuodami , jau išsprendėme panašios formos lygtis ankstesnėse pastraipose. Tai leidžia padaryti tokias išvadas apie lygties šaknis:

• jei , tai lygtis neturi realių sprendinių;
• jei , tada lygtis turi formą , todėl , Iš kurios matoma tik jos šaknis;
• Jei , Tada arba , kuris yra tas pats kaip arba , Tai yra, lygtis turi dvi šaknis.

Taigi, lygties šaknų, taigi ir pradinės kvadratinės lygties, buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos ženklo dešinėje. Savo ruožtu šios išraiškos ženklą lemia skaitiklio ženklas, nes vardiklis 4 a 2 visada yra teigiamas, tai yra išraiškos b 2 −4 a c ženklas. Ši išraiška b 2 −4 a c vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ir pažymėtas raide D. Iš čia aiški diskriminanto esmė – pagal jo reikšmę ir ženklą daroma išvada, ar kvadratinė lygtis turi realias šaknis, o jei taip, koks jų skaičius – vienas ar du.

Grįžtame prie lygties , perrašome ją naudodami diskriminanto žymėjimą: . Ir darome išvadą:

• jei D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jei D=0, tai ši lygtis turi vieną šaknį;
• galiausiai, jei D>0, tai lygtis turi dvi šaknis arba , kurias galima perrašyti į formą arba , o išplėtus ir sumažinus trupmenas iki bendro vardiklio, gauname .

Taigi išvedėme kvadratinės lygties šaknų formules, jos atrodo kaip , kur diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D=b 2 −4 a c .

Su jų pagalba, naudodami teigiamą diskriminantą, galite apskaičiuoti abi realiąsias kvadratinės lygties šaknis. Kai diskriminantas yra lygus nuliui, abi formulės suteikia tą pačią šaknies reikšmę, atitinkančią vienintelį kvadratinės lygties sprendinį. O naudojant neigiamą diskriminantą, bandydami panaudoti kvadratinės lygties šaknų formulę, susiduriame su kvadratinės šaknies ištraukimu iš neigiamo skaičiaus, o tai perkelia mus už mokyklos mokymo programos ribų. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturi tikrų šaknų, bet turi porą kompleksinis konjugatasšaknis, kurias galima rasti naudojant tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo, naudojant šaknų formules, algoritmas

Praktiškai spręsdami kvadratinę lygtį galite iš karto naudoti šaknies formulę, pagal kurią apskaičiuoti jų reikšmes. Bet tai daugiau apie sudėtingų šaknų paiešką.

Tačiau mokykliniame algebros kurse paprastai kalbame ne apie sudėtingas, o apie realias kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, patartina pirmiausia surasti diskriminantą, įsitikinti, kad jis yra neneigiamas (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o po to apskaičiuokite šaknų reikšmes.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums rašyti kvadratinės lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c \u003d 0, jums reikia:

• naudojant diskriminanto formulę D=b 2 −4 a c apskaičiuokite jo reikšmę;
• daryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
• apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę, jei D=0 ;
• Raskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.

Čia tik pažymime, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, formulė taip pat gali būti naudojama, ji duos tokią pat reikšmę kaip .

Galite pereiti prie kvadratinių lygčių sprendimo algoritmo taikymo pavyzdžių.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Apsvarstykite trijų kvadratinių lygčių su teigiamu, neigiamu ir nuliniu diskriminantu sprendinius. Išnagrinėjus jų sprendimą, pagal analogiją bus galima išspręsti bet kurią kitą kvadratinę lygtį. Pradėkime.

Pavyzdys.

Raskite lygties x 2 +2 x−6=0 šaknis.

Sprendimas.

Šiuo atveju turime tokius kvadratinės lygties koeficientus: a=1 , b=2 ir c=−6 . Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą, tam mes pakeisime nurodytus a, b ir c į diskriminanto formulę, turime D=b 2 –4 a c=2 2 –4 1 (-6)=4+24=28. Kadangi 28>0, tai yra, diskriminantas yra didesnis už nulį, kvadratinė lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos pagal šaknų formulę, gausime , čia galime supaprastinti išraiškas, gautas darant išskiriant šaknies ženklą po to frakcijos sumažinimas:

Atsakymas:

Pereikime prie kito tipinio pavyzdžio.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį −4 x 2 +28 x−49=0 .

Sprendimas.

Pradedame rasdami diskriminantą: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Todėl ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį, kurią randame kaip , tai yra,

Atsakymas:

x = 3,5 .

Belieka apsvarstyti kvadratinių lygčių sprendimą su neigiamu diskriminantu.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį 5 y 2 +6 y+2=0 .

Sprendimas.

Štai kvadratinės lygties koeficientai: a=5 , b=6 ir c=2 . Pakeitę šias reikšmes į diskriminacinę formulę, turime D=b 2 –4 a c=6 2 –4 5 2=36-40=-4. Diskriminantas yra neigiamas, todėl ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Jei reikia nurodyti sudėtingas šaknis, tada naudojame gerai žinomą kvadratinės lygties šaknų formulę ir atliekame operacijos su kompleksiniais skaičiais:

Atsakymas:

nėra tikrų šaknų, sudėtingos šaknys yra: .

Dar kartą pažymime, kad jei kvadratinės lygties diskriminantas yra neigiamas, tada mokykla dažniausiai iš karto užrašo atsakymą, kuriame nurodo, kad nėra tikrų šaknų, o sudėtingų šaknų neranda.

Net antrojo koeficiento šaknies formulė

Kvadratinės lygties šaknų formulė , kur D=b 2 −4 a c leidžia gauti kompaktiškesnę formulę, leidžiančią išspręsti kvadratines lygtis su lyginiu koeficientu x (arba tiesiog su koeficientu, kuris atrodo kaip 2 n , pavyzdžiui, arba 14 ln5=2 7 ln5 ). Išveskime ją.

Tarkime, reikia išspręsti kvadratinę lygtį, kurios formos a x 2 +2 n x + c=0 . Raskime jo šaknis pagal mums žinomą formulę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame diskriminantą D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), tada naudojame šaknies formulę:

Išraišką n 2 −a c pažymėkite kaip D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties su antruoju koeficientu 2 n šaknų formulė įgauna formą , kur D 1 =n 2 −a c .

Nesunku pastebėti, kad D=4·D 1 , arba D 1 =D/4 . Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtoji diskriminanto dalis. Aišku, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas. Tai yra, ženklas D 1 taip pat yra kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu 2 n, jums reikia

• Apskaičiuokite D 1 =n 2 −a·c ;
• Jei D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jei D 1 =0, tada formule apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį;
• Jei D 1 >0, tada pagal formulę raskite dvi realias šaknis.

Apsvarstykite pavyzdžio sprendimą naudodami šioje pastraipoje gautą šaknies formulę.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį 5 x 2 −6 x−32=0 .

Sprendimas.

Antrasis šios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2·(−3) . Tai yra, galite perrašyti pradinę kvadratinę lygtį į formą 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, čia a=5 , n=−3 ir c=−32, ir apskaičiuoti ketvirtąją kvadratinės lygties dalį. diskriminuojantis: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Kadangi jos reikšmė yra teigiama, lygtis turi dvi realias šaknis. Juos randame naudodami atitinkamą šaknies formulę:

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės lygties šaknims buvo galima naudoti įprastą formulę, tačiau šiuo atveju tektų atlikti daugiau skaičiavimo darbų.

Atsakymas:

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais, prieš pradedant skaičiuoti kvadratinės lygties šaknis naudojant formules, nepakenks užduoti klausimą: „Ar galima supaprastinti šios lygties formą“? Sutikite, kad skaičiavimų požiūriu kvadratinę lygtį 11 x 2 −4 x −6=0 išspręsti bus lengviau nei 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Paprastai kvadratinės lygties formos supaprastinimas pasiekiamas padauginus arba padalijus abi jos puses iš kokio nors skaičiaus. Pavyzdžiui, ankstesnėje pastraipoje mums pavyko pasiekti lygties 1100 x 2 −400 x −600=0 supaprastinimą, padalijus abi puses iš 100.

Panaši transformacija atliekama su kvadratinėmis lygtimis, kurių koeficientai nėra . Šiuo atveju abi lygties dalys paprastai dalijamos iš absoliučių jo koeficientų verčių. Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 12 x 2 −42 x+48=0. absoliučios jo koeficientų reikšmės: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Abi pradinės kvadratinės lygties dalis padalijus iš 6, gauname lygiavertę kvadratinę lygtį 2 x 2 −7 x+8=0 .

Ir abiejų kvadratinės lygties dalių dauginimas paprastai atliekamas norint atsikratyti trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju dauginimas atliekamas pagal jo koeficientų vardiklius. Pavyzdžiui, jei abi kvadratinės lygties dalys padaugintos iš LCM(6, 3, 1)=6 , tada ji įgis paprastesnę formą x 2 +4 x−18=0 .

Baigdami šią pastraipą pažymime, kad beveik visada atsikratykite minuso esant didžiausiam kvadratinės lygties koeficientui, pakeisdami visų terminų ženklus, o tai atitinka abiejų dalių padauginimą (arba padalijimą) iš −1. Pavyzdžiui, paprastai iš kvadratinės lygties −2·x 2 −3·x+7=0 pereinama prie sprendinio 2·x 2 +3·x−7=0 .

Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšys

Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis jos koeficientais. Remdamiesi šaknų formule, galite gauti kitus ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Labiausiai žinomos ir taikomos formulės iš Vieta teoremos formos ir . Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra laisvasis narys. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties 3 x 2 −7 x+22=0 forma galime iš karto pasakyti, kad jos šaknų suma yra 7/3, o šaknų sandauga yra 22/3.

Naudodami jau parašytas formules, galite gauti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti jos koeficientais: .

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

“, tai yra pirmojo laipsnio lygtys. Šioje pamokoje mes tyrinėsime kas yra kvadratinė lygtis ir kaip tai išspręsti.

Kas yra kvadratinė lygtis

Svarbu!

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią nežinomybės laipsnį.

Jei didžiausias nežinomo laipsnis yra „2“, tada jūs turite kvadratinę lygtį.

Kvadratinių lygčių pavyzdžiai

• 5x2 – 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Svarbu! Bendra kvadratinės lygties forma atrodo taip:

A x 2 + b x + c = 0

„a“, „b“ ir „c“ – pateikti skaičiai.

• „a“ – pirmasis arba vyresnysis koeficientas;
• „b“ – antrasis koeficientas;
• "c" yra nemokama narys.

Norėdami rasti „a“, „b“ ir „c“, turite palyginti savo lygtį su bendrąja kvadratinės lygties „ax 2 + bx + c \u003d 0“ forma.

Pabandykime nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“ kvadratinėse lygtyse.

5x2 – 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Lygtis	Šansai
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = –8

Kaip išspręsti kvadratines lygtis

Skirtingai nuo tiesinių lygčių, kvadratinėms lygtims išspręsti naudojama speciali lygtis. šaknų paieškos formulė.

Prisiminti!

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, jums reikia:

• perkelkite kvadratinę lygtį į bendrą formą „ax 2 + bx + c \u003d 0“. Tai yra, tik „0“ turėtų likti dešinėje pusėje;
• naudokite formulę šaknims:

Naudodami pavyzdį išsiaiškinkime, kaip pritaikyti formulę kvadratinės lygties šaknims rasti. Išspręskime kvadratinę lygtį.

X 2 - 3x - 4 = 0

Lygtis „x 2 – 3x – 4 = 0“ jau redukuota iki bendros formos „ax 2 + bx + c = 0“ ir nereikalauja papildomų supaprastinimų. Norėdami tai išspręsti, tereikia kreiptis kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.

Apibrėžkime šios lygties koeficientus „a“, „b“ ir „c“.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Su jo pagalba išsprendžiama bet kokia kvadratinė lygtis.

Formulėje "x 1; 2 \u003d" šakninė išraiška dažnai pakeičiama
"b 2 − 4ac" raidė "D" ir vadinamas diskriminantu. Diskriminanto samprata plačiau aptariama pamokoje „Kas yra diskriminantas“.

Apsvarstykite kitą kvadratinės lygties pavyzdį.

x 2 + 9 + x = 7x

Šioje formoje gana sunku nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“. Pirmiausia perkelkime lygtį į bendrą formą „ax 2 + bx + c \u003d 0“.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Dabar galite naudoti šaknų formulę.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Atsakymas: x = 3

Būna atvejų, kai kvadratinėse lygtyse nėra šaknų. Ši situacija atsiranda, kai formulėje po šaknimi atsiranda neigiamas skaičius.

Tiesiog. Pagal formules ir aiškias paprastas taisykles. Pirmajame etape

reikia duotą lygtį perkelti į standartinę formą, t.y. į vaizdą:

Jei lygtis jums jau pateikta tokia forma, jums nereikia atlikti pirmojo etapo. Svarbiausia yra teisinga

nustatyti visus koeficientus a, b ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis . Kaip matote, norėdami rasti x, mes

naudoti tik a, b ir c. Tie. šansai iš kvadratinė lygtis. Tiesiog atsargiai įdėkite

vertybes a, b ir cį šią formulę ir suskaičiuokite. Pakeiskite su jųženklai!

pavyzdžiui, lygtyje:

a =1; b = 3; c = -4.

Pakeiskite reikšmes ir parašykite:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Dažniausios klaidos – supainiojimas su vertybių ženklais a, b ir su. Atvirkščiai, su pakeitimu

neigiamas vertes į šaknų skaičiavimo formulę. Čia išsaugo detali formulė

su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, padarykite tai!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

čia a = -6; b = -5; c = -1

Viską dažome detaliai, kruopščiai, nieko nepraleisdami su visais ženklais ir skliausteliais:

Dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių.

Pirmas priėmimas. Nebūk tingus anksčiau sprendžiant kvadratinę lygtį suteikite jį į standartinę formą.

Ką tai reiškia?

Tarkime, po bet kokių transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknų formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c.

Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, x kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvasis narys. Kaip šitas:

Atsikratykite minuso. Kaip? Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

O dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį.

Spręskite patys. Turėtumėte gauti šaknis 2 ir -1.

Antrasis priėmimas. Patikrinkite savo šaknis! Autorius Vietos teorema.

Išspręsti pateiktas kvadratines lygtis, t.y. jei koeficientas

x2+bx+c=0,

tadax 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pilnai kvadratinei lygčiai, kurioje a≠1:

x 2+bx+c=0,

padalykite visą lygtį iš a:

→ →

kur x 1 ir x 2 – lygties šaknys.

Trečias priėmimas. Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginti

bendro vardiklio lygtis.

Išvada. Praktiniai patarimai:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome teisingai.

2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname viską padaugindami

lygtys -1.

3. Jei koeficientai yra trupmeniniai, pašaliname trupmenas, padauginę visą lygtį iš atitinkamos

veiksnys.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienetui, sprendimą galima nesunkiai patikrinti pagal

Paprastesniu būdu. Norėdami tai padaryti, išimkite z iš skliaustų. Gaunate: z(az + b) = 0. Veiksnius galima užrašyti: z=0 ir az + b = 0, nes abu gali baigtis nuliu. Žymėjime az + b = 0 antrąjį perkeliame į dešinę su kitu ženklu. Iš čia gauname z1 = 0 ir z2 = -b/a. Tai yra originalo šaknys.

Jei yra nepilna lygtis, kurios forma yra az² + c \u003d 0, šiuo atveju jos randamos tiesiog perkeliant laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę. Taip pat pakeiskite jo ženklą. Gaunate įrašą az² \u003d -s. Išreikškite z² = -c/a. Paimkite šaknį ir užrašykite du sprendinius – teigiamą ir neigiamą kvadratinės šaknies reikšmę.

pastaba

Jei lygtyje yra trupmeninių koeficientų, padauginkite visą lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad pašalintumėte trupmenas.

Mokėti spręsti kvadratines lygtis būtina ir moksleiviams, ir studentams, kartais tai gali padėti suaugusiajam kasdieniame gyvenime. Yra keletas specifinių sprendimo būdų.

Kvadratinių lygčių sprendimas

A*x^2+b*x+c=0 formos kvadratinė lygtis. Koeficientas x yra norimas kintamasis, a, b, c – skaitiniai koeficientai. Atminkite, kad „+“ ženklas gali pasikeisti į „-“.

Norėdami išspręsti šią lygtį, turite naudoti Vieta teoremą arba rasti diskriminantą. Labiausiai paplitęs būdas yra rasti diskriminantą, nes kai kurioms a, b, c reikšmėms negalima naudoti Vieta teoremos.

Norėdami rasti diskriminantą (D), turite parašyti formulę D=b^2 - 4*a*c. D reikšmė gali būti didesnė už, mažesnė už nulį arba lygi nuliui. Jei D yra didesnis arba mažesnis už nulį, tada bus dvi šaknys, jei D = 0, tada lieka tik viena šaknis, tiksliau galime pasakyti, kad D šiuo atveju yra dvi lygiavertės šaknys. Pakeiskite žinomus koeficientus a, b, c į formulę ir apskaičiuokite reikšmę.

Suradę diskriminantą, norėdami rasti x, naudokite formules: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a čia sqrt yra funkcija, paimanti nurodyto skaičiaus kvadratinę šaknį. Apskaičiavę šias išraiškas, rasite dvi savo lygties šaknis, po kurių lygtis laikoma išspręsta.

Jei D yra mažesnis už nulį, jis vis tiek turi šaknis. Mokykloje šis skyrius praktiškai nėra studijuojamas. Universiteto studentai turėtų žinoti, kad po šaknimi yra neigiamas skaičius. Atsikratome jo, atskirdami įsivaizduojamą dalį, tai yra, -1 po šaknimi visada yra lygus įsivaizduojamam elementui „i“, kuris padauginamas iš šaknies su tuo pačiu teigiamu skaičiumi. Pavyzdžiui, jei D=sqrt(-20), po transformacijos gaunamas D=sqrt(20)*i. Po šios transformacijos lygties sprendimas sumažinamas iki to paties šaknų radinio, kaip aprašyta aukščiau.

Vietos teorema susideda iš x(1) ir x(2) reikšmių parinkimo. Naudojamos dvi identiškos lygtys: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Be to, labai svarbus dalykas yra ženklas prieš koeficientą b, atminkite, kad šis ženklas yra priešingas lygtyje esančiam ženklui. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad apskaičiuoti x(1) ir x(2) yra labai paprasta, tačiau sprendžiant susidursite su tuo, kad skaičius teks parinkti tiksliai.

Kvadratinių lygčių sprendimo elementai

Remiantis matematikos taisyklėmis, kai kurie gali būti koeficientai: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, jei jums pavyko tokiu būdu transformuoti šią kvadratinę lygtį naudojant matematines formules, nedvejodami užrašykite atsakymą. x(1) ir x(2) bus lygūs gretimiems skliaustuose esantiems koeficientams, bet su priešingu ženklu.

Taip pat nepamirškite apie neišsamias kvadratines lygtis. Galbūt jums trūksta kai kurių terminų, jei taip, tada visi jo koeficientai yra tiesiog lygūs nuliui. Jei prieš x^2 arba x nėra nieko, tada koeficientai a ir b yra lygūs 1.